32晶体点群图示
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三十二个点群 32 point groups
14
wangcl@
15
滑移面 slide
平移对称与对称面结合即形成“滑 移面”。滑移面操作为对此平面反 映后，再沿平行于此平面的某个方 向上平移二分之一或四分之一周期， 图形即可自身重合。滑移面的国际 符号为a、b、c、n、d等。
wangcl@
16
例如，a表示沿a轴方向的滑移面， 平移a/2；n表示沿对角线方向的滑 移面，平移（a/2+ b/2），或 （b/2+ c/2）或（c/2+ a/2）；d 表示沿对角线方向的滑移面，但平 移为（a/4+ b/4），或（b/4+ c/4）或（c/4+ a/4）。
wangcl@
36
立方晶系
晶轴。立方晶系的特点是具有四个三次旋转 轴（包括旋转倒反轴），同时不是有三个 相互垂直的四次旋转轴（包括旋转倒反 轴），就是有三个相互垂直的二次旋转轴， 分别选择这些四次或二次轴为a、b、c轴。 晶格常数大小为：a=b=c，晶轴之间夹角 为===90。
M Vujicic et al, J Phys A10 (1977)1271; I Bozovic et al, J Phys A11 (1978) 2133; I Bozovic et al, J Phys A14 (1981) 777
wangcl@
40
坐标轴（x、y、z）。目前都选择z轴与晶轴c重 合；x轴在晶轴a和c组成的平面内，并指向+a 方向；y轴垂直于ac平面，并指向+b方向， 如图1-23所示。
wangcl@
25
图1-23 三斜晶系中的晶轴与坐标系
wangcl@
26
单斜晶系
晶轴。单斜晶系的特点是具有一个二次旋转 轴或二次旋转倒反轴。选二次轴为b轴， 并在与b轴垂直的平面上选择相交的晶棱 方向作为c轴和a轴。晶格常数大小为： abc，a>c，晶轴之间夹角为==90， >90。单斜晶系的实例如图1-24所示。
晶体点群
除了Dn群的特征外， 还含有n个对称面m。
Sn群
含有一个非真轴Sn(n为偶 数)，Sn=Cnh(n为奇数)。
Td与T群
Oh与O群
Ci群
国际符号一般由三 个位构成，每个位代表 一个窥视方向。每个晶 系的晶轴选择都有特别 的规定：
注意各晶系点 群国际符号中的不 同位置所代表的对 称性方向！
Raman
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.1027430 0.1027695 0.1027755 N N N N N N Y Y Y
Point Group=32, Oh
萤石(CaF2) 计算Raman谱
319
分 子 点 群
>32
n
晶体学点群表示
极射赤面投影图
Schonflies符号 国际符号
N
O
S
N
S
N P
P’
S
极 射 赤 面 投 影 图
任何分子的全部对称元 素交于一点，其全部对 称操作必构成点群。 点群用熊夫利斯符号表 示，如Cn、Dn、Cnh等。
Arthur Schö nflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schö nflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
Sn群
含有一个非真轴Sn(n为偶 数)，Sn=Cnh(n为奇数)。
Td与T群
Oh与O群
Ci群
国际符号一般由三 个位构成，每个位代表 一个窥视方向。每个晶 系的晶轴选择都有特别 的规定：
注意各晶系点 群国际符号中的不 同位置所代表的对 称性方向！
Raman
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.1027430 0.1027695 0.1027755 N N N N N N Y Y Y
Point Group=32, Oh
萤石(CaF2) 计算Raman谱
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分 子 点 群
>32
n
晶体学点群表示
极射赤面投影图
Schonflies符号 国际符号
N
O
S
N
S
N P
P’
S
极 射 赤 面 投 影 图
任何分子的全部对称元 素交于一点，其全部对 称操作必构成点群。 点群用熊夫利斯符号表 示，如Cn、Dn、Cnh等。
Arthur Schö nflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schö nflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
晶体结构空间群点群
（二）点群、单形与空间群点群：晶体可能存在的对称类型。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。
只能有32种对称类型, 称32种点群同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。
如错误!未找到引用源。
，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。
理想晶体的形态一单形和聚形：单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。
32种对称型总共可以导出47种单形，如错误！书签自引用无效。
，错误! 书签自引用无效。
，错误!书签自引用无效。
所示聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。
大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。
属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1-4国际通用的空间群符号与其所代表的意义为：P:代表原始格子以与六方底心格子〔六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有〕。
F：代外表心格子。
I :代表体心格子。
C:代表〔001〕底心格子〔即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布〕。
A:代表〔100〕底心格子〔即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布〕。
R:代表三方原始格子。
其它符号：意义与前述一样续表1- 4i续表1- 4续表1- 4续表1- 4空间群符号I4 1md I4 2d P422 P422 P422 P4 22 P422 P4212 P422 P4212中级晶族续表1- 4点群符号 6 2 2m m m23 2 3 m晶系六方晶系等轴晶系晶族中级晶族高级晶族空间群符号F2 3 d I 2 3m P2! 3aI乙3aP43m F43m I 43m P 43n FQ3c I 23d P432 P432 F432点群符号 2 3m43m 432晶系等轴晶系晶族高级晶族空间群符号F4i32 I432 P432 P4i32 I4 i32 P4 3 2m mP4 3 2n nP 42 3 2 mnP 42 3 2 nmF 4 3 2m mF 4 3 2m c点群符号432 上32 m m晶系等轴晶系晶族高级晶族续表1- 4空间群符号F4132 F 4L3£d mI 4i 3 2 a d。
32种点群
表 1 32 种点群的符号及对称情况[2]
晶序
晶 类
符 号
系
号
熊夫利符号
国际符号 (全写)
国际符号 (简写)
三1
C1
1
1
斜2
Ci (S2)
1
1
对称素 —— γi
对称 素数目
具体对称操作
对称 操作数
—— E= 1
1
1
E= 1 反演
2
3
C s (C 1h)
m (= 2)
m
单
4
C2
2
2
斜5
C 2h
32 种点群按是否为纯旋轴对称, 可分为两类: 第一类是纯旋转轴点群; 第二类是除旋转轴外, 还可以 通过其它对称操作与自身重合.
第一类点群——纯旋转轴点群, 包括单轴点群 Cn, D n 点群和多面体群. Cn 点群指只有 1 根 n 次旋转 对称轴的点群. 由于晶体中只能有 5 种旋转轴, 所以它只有 5 种, 即 C1, C2, C3, C4, C6; D n 点群即指具有 n 次旋转轴及 n 个与之垂直的 2 次旋转轴, 共 4 种: D 2, D 3, D 4, D 6 (D 1 即 C2 已并入 Cn 群内) ; 多面体群只有 2 种: 即四面体群 T 和八面体群O. 四面体群 T 表示有 4 个 3 次旋转轴和 3 个 2 次轴. 八面体群O 表示 3 个 互相垂直的 4 次旋转对称轴及 6 个 2 次旋转轴, 4 个 3 次旋转轴. 至此, 我们已找出了点群中所有可能的 纯旋转群, 合计 11 种.
D nh点群是在 D n 群的基础上, 再加上 (n+ 1) 个平面形成的. (这些平面分别垂直主轴和 2 次轴) 共有 4 种: D 2h , D 3h , D 4h 和 D 6h (D 1h 等效于 C 2v).
晶序
晶 类
符 号
系
号
熊夫利符号
国际符号 (全写)
国际符号 (简写)
三1
C1
1
1
斜2
Ci (S2)
1
1
对称素 —— γi
对称 素数目
具体对称操作
对称 操作数
—— E= 1
1
1
E= 1 反演
2
3
C s (C 1h)
m (= 2)
m
单
4
C2
2
2
斜5
C 2h
32 种点群按是否为纯旋轴对称, 可分为两类: 第一类是纯旋转轴点群; 第二类是除旋转轴外, 还可以 通过其它对称操作与自身重合.
第一类点群——纯旋转轴点群, 包括单轴点群 Cn, D n 点群和多面体群. Cn 点群指只有 1 根 n 次旋转 对称轴的点群. 由于晶体中只能有 5 种旋转轴, 所以它只有 5 种, 即 C1, C2, C3, C4, C6; D n 点群即指具有 n 次旋转轴及 n 个与之垂直的 2 次旋转轴, 共 4 种: D 2, D 3, D 4, D 6 (D 1 即 C2 已并入 Cn 群内) ; 多面体群只有 2 种: 即四面体群 T 和八面体群O. 四面体群 T 表示有 4 个 3 次旋转轴和 3 个 2 次轴. 八面体群O 表示 3 个 互相垂直的 4 次旋转对称轴及 6 个 2 次旋转轴, 4 个 3 次旋转轴. 至此, 我们已找出了点群中所有可能的 纯旋转群, 合计 11 种.
D nh点群是在 D n 群的基础上, 再加上 (n+ 1) 个平面形成的. (这些平面分别垂直主轴和 2 次轴) 共有 4 种: D 2h , D 3h , D 4h 和 D 6h (D 1h 等效于 C 2v).
晶体结构空间群点群
(二)点群、单形及空间群点群：晶体可能存在的对称类型。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。
只能有32种对称类型，称32种点群表1- 3 32种点群及所属晶系*2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。
其余类推同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。
如错误!未找到引用源。
，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。
理想晶体的形态―单形和聚形：单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。
32种对称型总共可以导出47种单形，如错误!书签自引用无效。
，错误!书签自引用无效。
，错误!书签自引用无效。
所示聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。
大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。
属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1- 4国际通用的空间群符号及其所代表的意义为：P：代表原始格子以及六方底心格子（六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有）。
F：代表面心格子。
I：代表体心格子。
C：代表（001）底心格子（即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。
A：代表（100）底心格子（即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。
R：代表三方原始格子。
其它符号：意义与前述相同表1- 4 晶体的空间群、点群、晶系、晶族一览表续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4点群符号m 43m2晶 系 等轴晶系 晶 族高级晶族/k/174/stu/content/1.1.3.2.htm。
晶体学点群
222（D2）
mm2（C2v）
mmm（D2h）
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
4. 四方晶系
四方晶系只在单一的方向上有4次轴，或4次反演轴 4 。
（1）点阵有4次轴时构成h为4的点群，即{ 1，41，42＝2，43 } 。可 用4或C4表示。
（2）在点阵垂直于4次轴的方向加一个2次轴，则必有另一个2次轴，
32种点群的表示符号及性质
1.旋转轴(C=cyclic) ：
C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,6
2. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：
C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m,
36 m
,4/m,6/m
3.旋转轴加通过该轴的镜面：
C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm 4.旋转反演轴
点群推导方法
• 外延推演法： 从7种晶系的主要点对称特征出发外延推演， 可以推导出32种点群。优点在于点群与晶系的对应关系十 分明确。
• 旋转群推导法：先推导出11种纯旋转晶体学点群，与反演 操作组合可得11种中心对称的晶体学点群，再推导出另外 10种非中心对称的点群。优点是速度快。
• 循环群推导法：先确定5种循环群，1、2、3、4、6，再在
无
4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm
3,`3, 32,3m, `3m
六方 6,`6, 6/m Z 立方 2,m,4, `4 X
无， 2，m X
无， 2，m 底对 角线
3,`3
体对 无， 2，m 面对
角线
角线
6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm
23,m3,432, `43m, m`3m
附录：32_点群
附录1. 32点群的命名 11
点群国际符号的定义
点群符号表示在三个特定方向 存在对称要素，对于不同的晶 系，特定方向均不同。
晶系 立方 六方 第一方向 第二方向 第三方向
a c c c c b
a+b+c a a a a
a+b 2a+b a+b 2a+b b
所谓对称面在某方向指的是其 四方 法线在某方向。若在某一方向 同时存在轴和面，用分数表示， 三方 分子为轴，分母为面。
附录1. 32点群的命名 7
三 方
三 方
三 方
三 方
C3i(S6):G3C C3v:G33P
光学材料与元件制造
D3:G33G2 D3d:G33G23PC
附录1. 32点群的命名 8
六 方
六 方
六 方
六 方
C6:G6 C6h:G6PC
光学材料与元件制造
C3h:Gi6六次反演轴 D6:G66G2
附录1. 32点群的命名 9
正交
4mm,四方晶系。表示在c轴方向 <001>有一个4次对称轴，a轴方 单斜 向<100>有一个对称面，a+b方 三斜 向<110>有一个对称面。
因为其中只包含1或i，故无特殊方 向
12
光学材料与元件制造
附录1. 32点群的命名
光学材料与元件制造
附录1. 32点群的命名
2
点群熊夫利斯符号的定义
下标中的小写字母表示点群中存在对称面的情况： h:垂直于高次轴必定有一个对称面m的存在。 v:表示反映面（对称面）通过主轴（高次轴）。对于轴系D，不会有下 标v。 d:表示反映面通过高次轴，但平分二次轴的夹角。轴系C不会有下标d。 i:表示有对称中心的存在 对称元素： 对称元素 Gn代表n次旋转轴，P代表反映面，C代表对称中心，Gi4代表4次反演轴。 符号前的数字代表这种元素的数量。
点群国际符号的定义
点群符号表示在三个特定方向 存在对称要素，对于不同的晶 系，特定方向均不同。
晶系 立方 六方 第一方向 第二方向 第三方向
a c c c c b
a+b+c a a a a
a+b 2a+b a+b 2a+b b
所谓对称面在某方向指的是其 四方 法线在某方向。若在某一方向 同时存在轴和面，用分数表示， 三方 分子为轴，分母为面。
附录1. 32点群的命名 7
三 方
三 方
三 方
三 方
C3i(S6):G3C C3v:G33P
光学材料与元件制造
D3:G33G2 D3d:G33G23PC
附录1. 32点群的命名 8
六 方
六 方
六 方
六 方
C6:G6 C6h:G6PC
光学材料与元件制造
C3h:Gi6六次反演轴 D6:G66G2
附录1. 32点群的命名 9
正交
4mm,四方晶系。表示在c轴方向 <001>有一个4次对称轴，a轴方 单斜 向<100>有一个对称面，a+b方 三斜 向<110>有一个对称面。
因为其中只包含1或i，故无特殊方 向
12
光学材料与元件制造
附录1. 32点群的命名
光学材料与元件制造
附录1. 32点群的命名
2
点群熊夫利斯符号的定义
下标中的小写字母表示点群中存在对称面的情况： h:垂直于高次轴必定有一个对称面m的存在。 v:表示反映面（对称面）通过主轴（高次轴）。对于轴系D，不会有下 标v。 d:表示反映面通过高次轴，但平分二次轴的夹角。轴系C不会有下标d。 i:表示有对称中心的存在 对称元素： 对称元素 Gn代表n次旋转轴，P代表反映面，C代表对称中心，Gi4代表4次反演轴。 符号前的数字代表这种元素的数量。
4-第四章-晶体学点群
《晶体学中的对称群》 Crystallographic Symmetry Group
中国科学院金属研究所 隋曼龄
2007.3.1-4.6
第一章 对称操作 第二章 二维晶体学 第三章 群论初步 第四章 晶体学点群 第五章 点阵、晶系与晶体学中的坐标系 第六章 空间群的推导 第七章 空间群图表的认识与使用
G = H U nH
G = HU 1nH
由G可给出 G ：
设G为纯旋转点群，且有个指数为2的子群H，则作出
的集合 G = H U 1(G \ H ) 必为非纯旋转点群。
其中 1(G \ H ) 表示把点群G中除子群H之外的对称
操作n全部换成非纯旋转操作的所得的集合。
找出11个纯旋转晶体学点群G的指数为2的子群H，将
cos w = cosW + cosU cosV sinU sinV
A
w
U=α/2
B V=β/2
cosu = cosU + cosV cosW sinV sinW
v
u
W=γ/2
cosv = cosV + cosW cosU
C
sinW sinU
二、晶体中旋转轴的可能组合
U、V、W为旋转角之半，则对于1，2，3，4，6次旋转轴， U，V，W的值为：
Octahedral
六、小结：
点群
1 2 3 4 6 222 32 422 622 23 432
11个第一类（纯旋转）晶体学点群及子群
阶
子群
11
2 12
31
3
4 12
4
6 123
6
4 12
222
6 123
32
8 12
中国科学院金属研究所 隋曼龄
2007.3.1-4.6
第一章 对称操作 第二章 二维晶体学 第三章 群论初步 第四章 晶体学点群 第五章 点阵、晶系与晶体学中的坐标系 第六章 空间群的推导 第七章 空间群图表的认识与使用
G = H U nH
G = HU 1nH
由G可给出 G ：
设G为纯旋转点群，且有个指数为2的子群H，则作出
的集合 G = H U 1(G \ H ) 必为非纯旋转点群。
其中 1(G \ H ) 表示把点群G中除子群H之外的对称
操作n全部换成非纯旋转操作的所得的集合。
找出11个纯旋转晶体学点群G的指数为2的子群H，将
cos w = cosW + cosU cosV sinU sinV
A
w
U=α/2
B V=β/2
cosu = cosU + cosV cosW sinV sinW
v
u
W=γ/2
cosv = cosV + cosW cosU
C
sinW sinU
二、晶体中旋转轴的可能组合
U、V、W为旋转角之半，则对于1，2，3，4，6次旋转轴， U，V，W的值为：
Octahedral
六、小结：
点群
1 2 3 4 6 222 32 422 622 23 432
11个第一类（纯旋转）晶体学点群及子群
阶
子群
11
2 12
31
3
4 12
4
6 123
6
4 12
222
6 123
32
8 12
晶体学基础第二章-晶体的32种点群及其符号
的反演面，
共2个
群只包含旋转反演轴的点群。 其中
共2个
群 —— 立方点群, 含有48个对称操作 群 —— 正四面体点群, 含有24个对称操作 群 —— 立方点群 的24个纯转动操作 群 —— 正四面体点群 的12个纯转动操作
群
群加上中心反演
晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的国际符号符号：
回转群
只包含一个旋转轴的点群 —— 下标表示是几重旋转轴
—— 4个
双面群
包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群 —— 4个
群
群加上中心反演
群
群加上反演面
群
群加上与n重轴垂直的反演面，共4个
群
群加上含有n重轴的反演面，共4个
Dnh群
群
Dn群加上与n重轴垂直且过二重轴的反演面，
共4个
群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线
2.3 晶体的32种点群及其符号
一、晶体对称元素的组合：
任何晶体的宏观对称性只能有以下十பைடு நூலகம்对称元素:
1, 2, 3, 4, 6, 1, 2, 3, 4, 6
晶体的对称元素间至少有一点重合。
晶体的全部对称元素对应的对称操作的集合——点群。 晶体对称元素组合的推导：
A类组合：高次轴（n > 2）不多于1个 B类组合：高次轴多于1个
二、晶体的32种点群：
理论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群 —— 晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的符号： 国际（Hermann-Mauguin）符号 熊夫利（Schoenflies）符号 C，D，S，T，O i，s，v，h，d
晶体点群的熊夫利符号：
—— 不动操作，只含一个元素，表示没有任何对称性的晶体
32种晶体学点群的记号
32种晶体学点群的记号
Symbols of the 32 Crystallographic Point Groups
点群不存在平移操作，所有的对称要素都集中在一个共同的点上。对称要素包括旋转、反映、反伸（对称中心）与旋转反伸。有这4个对称要素组合出32个点群。
下表中“轴向对称要素的方向和数目”的圆括号内数据代表该对称要素的数目。
2
C2
2/m
m
C3
2/m
C2h
3
正交晶系
222
D2
mmm
mm2
D2v
mmm
D2h
4
四方晶系
c
a
[110]
4
C4
4
4/m
S4
4/m
C4h
422
D4
4
2(2)
2(2)
4/mmm
4mm
C4v
4
m(2)
m(2)
2m
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd
2(2)
m(2)
4/mmm
D4h
5
三方晶系
c
a
3
C3
3
C3i
32
D3
3
2(2)
m
3m
C3v
3
m(3)
m
D3d
6
六方晶系
c
a
[210]
6
C6
6
6/m
C3h
6/m
C6h
622
D6
6
2(3)
2(3)
6/mmm
6mm
C6v
6
m(3)
m(3)
m2
D3h
m(3)
2(3)
Symbols of the 32 Crystallographic Point Groups
点群不存在平移操作，所有的对称要素都集中在一个共同的点上。对称要素包括旋转、反映、反伸（对称中心）与旋转反伸。有这4个对称要素组合出32个点群。
下表中“轴向对称要素的方向和数目”的圆括号内数据代表该对称要素的数目。
2
C2
2/m
m
C3
2/m
C2h
3
正交晶系
222
D2
mmm
mm2
D2v
mmm
D2h
4
四方晶系
c
a
[110]
4
C4
4
4/m
S4
4/m
C4h
422
D4
4
2(2)
2(2)
4/mmm
4mm
C4v
4
m(2)
m(2)
2m
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd
2(2)
m(2)
4/mmm
D4h
5
三方晶系
c
a
3
C3
3
C3i
32
D3
3
2(2)
m
3m
C3v
3
m(3)
m
D3d
6
六方晶系
c
a
[210]
6
C6
6
6/m
C3h
6/m
C6h
622
D6
6
2(3)
2(3)
6/mmm
6mm
C6v
6
m(3)
m(3)
m2
D3h
m(3)
2(3)
(完整版)32种晶体学点群的记号
点群不存在平移操作，所有的对称要素都集中在一个共同的点上。对称要素包括旋转、反映、反伸（对称中心）与旋转反伸。有这4个对称要素组合出32个点群。
下表中“轴向对称要素的方向和数目”的圆括号内数据代表该对称要素的数目。
32种晶体学点群的记号
Symbols of the 32 Crystallographic Point Groups
序号(No.)
晶系(Crystal system)
点群(Point group)
轴向对称要素的方向和数目(Orientation and number of axial symmetry factor)
劳埃群(Laue group)
国际符号(HM)
圣佛利斯符号(Schfl.)
1
三斜晶系
1
C1
Ci
2
单斜晶系
2
C2
2/m
m
C3
2/m
C2h
3
正交晶系
222
D2
mmm
mm2
D2v
mmm
D2h
4
四方晶系
c
a
[110]
4
C4
4
4/m
S4
4/m
C4h
422
D4
4
2(2)
2(2)
4/mmm
4mm
C4v
4
m(2)
m(2)
2m
D2d
2(2)
m(2)
4/mmm
D4h
5
三方晶系
c
a
3
C3
3
C3i
32
D3
3
2(2)
m
3m
C3v
3(4)
下表中“轴向对称要素的方向和数目”的圆括号内数据代表该对称要素的数目。
32种晶体学点群的记号
Symbols of the 32 Crystallographic Point Groups
序号(No.)
晶系(Crystal system)
点群(Point group)
轴向对称要素的方向和数目(Orientation and number of axial symmetry factor)
劳埃群(Laue group)
国际符号(HM)
圣佛利斯符号(Schfl.)
1
三斜晶系
1
C1
Ci
2
单斜晶系
2
C2
2/m
m
C3
2/m
C2h
3
正交晶系
222
D2
mmm
mm2
D2v
mmm
D2h
4
四方晶系
c
a
[110]
4
C4
4
4/m
S4
4/m
C4h
422
D4
4
2(2)
2(2)
4/mmm
4mm
C4v
4
m(2)
m(2)
2m
D2d
2(2)
m(2)
4/mmm
D4h
5
三方晶系
c
a
3
C3
3
C3i
32
D3
3
2(2)
m
3m
C3v
3(4)
晶体学点群
单斜 2,m,2/m
， 正交 2，m
， 四方 4,4，4/m Z
三方 3,3 六方 6,6, 6/m
Z Z
无， 2，m ， 无， 2，m ，
X X
无 无， 2，m ，
立方 2,m,4, 4
X
3,3
， 体对 无， 2，m 角线
点群推导方法
• 外延推演法： 从7种晶系的主要点对称特征出发外延推演， 外延推演法： 种晶系的主要点对称特征出发外延推演， 种晶系的主要点对称特征出发外延推演 可以推导出32种点群。 可以推导出 种点群。优点在于点群与晶系的对应关系十 种点群 分明确。 分明确。 • 旋转群推导法：先推导出11种纯旋转晶体学点群，与反演 旋转群推导法：先推导出 种纯旋转晶体学点群 种纯旋转晶体学点群， 操作组合可得11种中心对称的晶体学点群，再推导出另外 操作组合可得 种中心对称的晶体学点群， 种中心对称的晶体学点群 10种非中心对称的点群。优点是速度快。 种非中心对称的点群。优点是速度快。 种非中心对称的点群 • 循环群推导法：先确定5种循环群，1、2、3、4、6，再在 循环群推导法：先确定 种循环群 种循环群， 、 、 、 、 ， 每种循环群上加上新对称操作， 代替n轴 每种循环群上加上新对称操作，或用 n 代替 轴。优点是 透彻了解各种点群的对称操作。 透彻了解各种点群的对称操作。 • 对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。 对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群 外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群 32
1. 三斜晶系 对称操作是1(C1)或 1 (i) 对称操作是 或 则形成最简单的点群。 （1）如果只有对称操作 ）如果只有对称操作1(C1) ，则形成最简单的点群。 该点群的阶数h是 ，满足群的定义： 该点群的阶数 是1，满足群的定义： 一个元素只能自乘： 1(C1)，具有封闭性 封闭性； 一个元素只能自乘： 1(C1)· 1(C1)= 1(C1)，具有封闭性； 单元素也可有结合律： 单元素也可有结合律： 1(C1)· 1(C1) · 1(C1)=1(C1) · [1(C1)· 1(C1)]; 有单位元素： 有单位元素： 1(C1)· 1(E) = 1(E) · 1(C1)= 1(C1)； ； 1(C1)的逆阵仍是 的逆阵仍是1(C1)。 。 的逆阵仍是
32种结晶学点群对称中心
32种结晶学点群
/course/course/10/build/32.htm[2008/5/22 21:27:08]
32种结晶学点群
表１－４ ７大晶系和１４种布喇非格子
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32种结晶学点群
表１－４ ７大晶系和１４种布喇非格子
/course/course/10/build/32.htm[2008/5/22 21:27:08]
32种结晶学点群
３２种结晶学点群
在３２种点群中，具有中心对称的有１１种，非中心对称的有２１种，其中，点群４３２（Ｏ）晶类对称性很高，通常也 不下显压电、线性电光、二次非线性等特性。 极性晶类１０种：１，２，３，４，６，ｍ，ｍｍ２，４ｍｍ，３ｍ，６ｍｍ 非极性晶类１１种：２２２，３２，４２２，６２２，２３，４３２，４，４ｍ２，６，６ｍ２，４３ｍ １１种中心对称点群： １，２／ｍ， ３， ４／ｍ， ６／ｍ，ｍｍｍ，３ｍ，４／ｍｍｍ，６／ｍｍｍ，ｍ３，ｍ３ｍ 介电晶体３２种晶类晶体， 压电晶体存在于２０种非中心对称的晶类中（需三阶张量）； 热释电晶体存在于１０种极性晶类中（需一阶张量）； 铁电晶体存在于热释电晶体中自发极化可随外加电场反向的晶体。 一阶张量：热释电系数 二阶张量：电导率 三阶张量：压电模量 （电极化矢量的改变 ，介电常数 ）（存在于１０种极性晶类） ，介电不－渗透化率 ，电光系数
（非中心对称） ，弹光系数 （与对称中心无关）
四阶张量：弹性顺服常数
，弹性劲度常数
１． 循环点群（５种）：１，２，３，４，６ ２． 二面体点群（４种）：２２２，３２，４２２，６２２ 循环点群＋加旋转轴（垂直于循环点群旋转轴方向，要保证主轴 仍是对称轴，就只能加２次轴） ３． 立方旋转点群：２３，４３２ ４． １１种纯旋转结晶学点群：１，２，３，４，６，２２２，３２，４２２，６２２，２３，４３２ ５． １１种中心对称点群： １，２／ｍ， ３， ４／ｍ， ６／ｍ，ｍｍｍ，３ｍ，４／ｍｍｍ，６／ｍｍｍ，ｍ３，ｍ３ｍ 用反演算符乘所有纯旋转 结点群 ６． １０种新点群：ｍ，ｍｍ２， ４，４ｍ２，４ｍｍ，３ｍ ，６，６ｍ２，６ｍｍ，４３ｍ从１１种中心对称点群可以找到１０种新点群， 他们没有中心对称（Ｉ或Ｉ），但有除了纯旋转以外的其它对称操作。 ２／ｍ， ４／ｍ， ６／ｍ，ｍｍｍ，３ｍ， ４／ｍｍｍ， ６／ｍｍｍ， ｍ３ｍ （中心对称点群） ｍ，４，６，ｍｍ２，３ｍ ，４ｍ２，４ｍｍ，６ｍ２，６ｍｍ，４３ｍ（新）
晶体化学_晶体理想外形的对称-点群(共58张PPT)
最简单的空间群为简单格子＋点群
点群422
空间群 P422
一个二次轴与六次轴垂直相交
622 L6 6L2
一个二次轴与三次反轴垂直相交
-3m Li3 3L23PC
一个二次轴与四次反轴垂直相交
-4m2 Li4 2L22P
一个二次轴与六次反轴垂直相交
-6m2 Li6 3L24P
一个对称面与A类对称元素平行相交
习惯 记号
L1
P
C
L2 L3 L4 L6 Li3 Li4 Li6
具有一个以上高次轴的对称轴与对称面组合
对称面与点群43的对称轴组合
对称面与点群23的对称轴组合
两个二次轴与一个对称面平行相交 两个三次轴及一个二次轴与一个对称面平 行相交
对称面与点群43的对称轴组合
M-3m 3L44L36L29PC
点群23中两个二次轴与一个对称面平行相交
M-3 3L24L33PC
点群的数学表示
全同操作 (1)全同操作(Identity)，符号表示
为1 (E)，对应于物体不动的对称操 作，对应的变换矩阵为单位矩阵。
矩阵表示
旋转轴
(2)旋转轴(旋转轴) ：绕某轴反时针旋转=360/n度，
n称为旋转轴的次数(或重数)，符号为n (Cn)。其变换矩
阵为：
csio0nsqq
两个对称面与六次轴相交
〔一个垂直，一个平行〕
6/mmm L6 6L27PC
具有一个以上高次轴的对称轴组合
晶体学中要求：
两个高次轴
〔或一个高次轴与一个二次轴〕
相交的角度为特定值
两个三次轴与一个二次轴组合
23 3L24L3
23
一个四次轴及一个三次轴与一个二次轴组合
32晶体点群图示
mm
D4h
Sym. Elem.
6 m
mm
D6
h
Sym. Elem.
Dihedral Groups + sd
42mD2d
82m D4d ?
3mD3d
12 2m D6d ?
42mD2d
Sym. Elem.
3mD3d
Sym. Elem.
Isometric Groups
3. G.Burns, Space Groups for Solid State Physics
4. /wiki/Crystal_sy stem
5. /wiki/Space_gr oup
32 crystallographic point grops With Gif Animations
The 32 crystallographic point groups (point groups consistent with translational symmetry)
32 Point groups can be constructed
m3mOh
432O
Sym. Elem.
m3mOh
Sym. Elem.
crystallographic Point groups into 7 lattice systems
Flowchart for Determining Significant Point Group Symmetry
Allowed Combinations of Pure RotatiPerpendicular 2-folds Dihedral (Dn) Groups
222D2
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Sym. Elem.
combination of rotations with other rotations in other directions
Allowed Combinations of Pure Rotations：
Rotations + Perpendicular 2-folds Dihedral (Dn) Groups
3mD3d
8 2m
D4 d ?
122m
D6 d ?
42m D2d
Sym. Elem.
3m D3d
Sym. Elem.
Isometric Groups
Roto-Combination with no Unique Axis
T Groups
O Groups
T Groups
23T
4. /wiki/Crystal_sy stem 5. /wiki/Space_gr oup
Sym. Elem.
6mm C6v
Sym. Elem.
Rotoreflection Groups
2S1
mC1h
1 S 2
6S3
3 C3h m
4S 4
3S6
1 S2
Sym. Elem.
4 S4
Sym. Elem.
3 S6
222D2
32D3 . Elem.
32 D3
Sym. Elem.
422 D4
Sym. Elem.
622 D6
Sym. Elem.
Dihedral Groups + sh
D2h mmm
6m2D3h
32 crystallographic point grops With Gif Animations
The 32 crystallographic point groups (point groups consistent with translational symmetry)
32 Point groups can be constructed
4 mm D4 h m
6 mm D6 h m
mmm D2h
Sym. Elem.
6m2 D3h
Sym. Elem.
4 mm D4 h m
Sym. Elem.
6 mm D6 h m
Sym. Elem.
Dihedral Groups + sd
42mD2d
Cyclic Point Groups
1C1
2C2
3C3
4C4
6C6
1C1
Sym. Elem.
2 C2
Sym. Elem.
3C3
Sym. Elem.
4 C4
Sym. Elem.
6 C6
Sym. Elem.
Cyclic + Horizontal Mirror Groups
6 C6 h m
Sym. Elem.
Cyclic + Vertical Mirror Groups
mC1v mC1h
mm2C2v
3mC3v
4mmC4v
6mmC6v
mm2 C2v
Sym. Elem.
3m C3v
Sym. Elem.
4mm C4v
mC1h
2 C2 h m
3 C3h m
4 C4 h m
6 C6 h m
m C1h mC1v
Sym. Elem.
2 C2 h m
Sym. Elem.
3 C3 h m
6S3
Sym. Elem.
4 C4 h m
Sym. Elem.
m3Th
43mTd
23T
Sym. Elem.
m3Th
Sym. Elem.
43m Td
Sym. Elem.
O Groups
432O
m3mOh
432 O
Sym. Elem.
m3m Oh
Sym. Elem.
crystallographic Point groups into 7 lattice systems
• From 11 initial pure rotational point groups • inversion centers can be added to produce an additional 11 centrosymmetric point groups • From the centrosymmetric point groups an additional 10 symmetries can be discovered
Flowchart for Determining Significant Point Group Symmetry
14 Bravais lattice types into 7 lattice systems
Table of space groups in 3D
references
1. Lecture Notes, The Univ. of Texas at Austin 2. /degraef/pg/pg.ht ml 3. G.Burns, Space Groups for Solid State Physics