常见的几个函数

几种常见的函数及其应用
1.迭代函数 例1
若()f x =
1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，求()n f x 的表达式。

例2已知()1x
f x x
=
+，0x ≥，若1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，n N +∈，则 2014()f x 的表达式为 .
2.高斯函数：（取整函数）用[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[]1.21=,[]00=,
[]1.42-=-,则()f x
例 设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．
，则正整数n
的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8.（2013湖北卷文科）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数
()[]f x x x =-在R 上为
A.奇函数
B.偶函数
C.增函数
D.周期函数 3.取小数部分函数
例 对任意x R ∈，函数{}[]()f x x x x ==-，例如{}[]1.2 1.2 1.2 1.210.2=-=-=，
{}333330=-=-=，{}[]1.2 1.2 1.2 1.2(2)0.8-=---=---=，则()f x 的图像是
4.符号函数：10()sgn 0010x f x x x x >⎧⎪
===⎨⎪-<⎩
，x
例 设x R ∈，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
，则
A ．|sgn |x x x =
B ．sgn ||x x x =
C ．sgn x x x =
D ．sgn x x x =
5.狄里克莱函数；1
()()0R
x Q f x D x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩
6. 1()2x x shx e e -=-，1()2
x x
chx e e -=+，x x x x e e thx e e --=+，x x x x e e cthx e e -+=-
例1下列函数为偶函数的是
A.()1f x x =-
B.3()f x x x =+
C.()22x x f x -=-
D.()22x x f x -=+
例2函数x x
x x e e y --+=的图像大致为
例3设函数()()x x f x x e ae -=+,x R ∈是偶函数，则实数a =_____.
例4已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=.则()g x =
A ．x x e e -+ B. 1()2x x e e -+ C. 1()2x x e e -- D. 1
()2x x e e --
7. 2311!2!3!!
n
x
x x x x e n =++++++L L
例1 证明不等式x e x +≥1
例2（2010年课标全国卷理21）设函数()21x f x e x ax =---. （Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；
（2）若0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围。

（提示：1x e x ≥+）.
解：（Ⅰ）若0a =时，()1x f x e x =--，()1x f x e '=-，令()10x f x e '=-=，则0x =.
当x 变化时，()f x '、()f x 变化情况如下表
（2）若0x ≥时，1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号. ()12x f x e ax '=--，
()2(12)f x x ax a x '≥-=-，从而当120a -≥，即1
2
a ≤
时，()0f x '≥，()f x 在 [)0,+∞单调递增，又()00f =，于是当0x ≥时()0f x ≥.
由x e x -≥-1，0x ≠，从而当1
2
a >
时，1x e x --≥- ()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --'<-+-=--，设()(1)(2)x x x h x e e e a -=--，令()(1)(2)0x x x h x e e e a -=--=，0x =或ln 2x a =，
当(0,ln 2)x a ∈，()0f x '<，()f x 在(0,ln 2)x a ∈递减，而()00f =，于是(0,ln 2)x a ∈时()0f x <，不满足要求.
综上所述，a 的取值范围为1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
10. 231ln(1+)(1)23n
n x x x x x n
-=-+++-+L L 变形1：ln(1)x x +≤ (1)x >- 变形2：ln 1x x ≤-，(0)x >
例1已知0x >，证明不等式ln(1)x x >+.
例2已知0x >，证明不等式)1ln(2
2
+<-x x x . 例3 已知函数()ln 3f x x x =-+-. （1）求()f x 的单调区间；
（2）证明：ln 2ln 3ln 1
23n n n
⋅⋅⋅<L （2,n n N ≥∈）. 例4已知函数()ln 1f x x mx =-+.
（1）若()0f x ≤恒成立，试确定实数m 的取值范围； （2）证明：
ln 2ln 3ln (1)
(,1)3414
n n n n N n n *-+++<∈>+L . 11.分段函数
例1函数()22log 0410x
x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩，若实数满足()()1f f a =，则实数a 的所有值
和为
A. 1
B.
1716
15
16
- D. 2- 例2已知函数22 0
()log 0
x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数方程(())2f f x =的根的个数 .
12.复合函数 例1函数()3
42
2-+-=x x
x f 的递增区间是 .
例2函数())34(log 22
1-+-=x x x f 的递减区间是 .
例3函数2sin y x =的图像是
例4函数sin y x x =在
,ππ-上的图像大致是
例5函数
sin y x x =+在[],ππ-上的图像大致是
A B C D
A B
C D。