高中数学一轮复习-集合运算的解题技巧

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探索高中数学中的集合问题的解题技巧

探索高中数学中的集合问题的解题技巧高中数学中的集合问题是一个比较难的问题，需要掌握一定的解题技巧。

本文将从基本概念、集合的运算以及应用题等方面进行探讨，帮助读者提升解决集合问题的能力。

一、基本概念集合是指具有一定特定性质的事物的总体。

一个集合可由一个或多个元素组成。

元素是指集合中的个体，用小写字母表示。

集合用大写字母表示，集合中的元素用花括号{}括起来，元素之间用逗号分隔。

例如A={a,b,c}，表示集合A中包含元素a、b、c。

二、集合的运算1. 并集并集是指两个或两个以上集合中所有元素的集合。

用符号∪表示。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集交集是指多个集合中公共元素的集合。

用符号∩表示。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

3. 差集差集是指只属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。

用符号-表示。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。

4. 补集补集是指全集中不属于该集合的元素的集合。

用符号'表示。

例如，设全集为U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，则A'={4,5}。

三、应用题1.韦恩图韦恩图是用两个或多个圆相交来表示集合之间的关系的图形工具。

在韦恩图中，每个集合用一个圆表示，如果两个集合有交集，则圆之间有重叠部分，否则圆之间无重叠部分。

例如，设U为全集，A和B为U的子集，用韦恩图表示交集、并集和差集，则图形如下：(插入一张韦恩图的图片)2. 实际问题集合问题常常涉及到实际问题。

例如，某班有60名学生，其中32名学生喜欢足球，24名学生喜欢篮球，12名学生同时喜欢足球和篮球，则喜欢足球或篮球的学生人数为多少？解题方法：首先，用韦恩图表示该问题：(插入韦恩图的图片)可以看出，喜欢足球或篮球的学生数为32+24-12=44。

四、总结高中数学中的集合问题需要掌握基本概念、集合的运算和应用题解法。

高中数学集合题型及解题方法

高中数学集合题型及解题方法
高中数学中，集合是一个基本概念，对于后续的数学学习有着重要作用。

集合题型多变，但掌握了解题方法，便可迎刃而解。

一、集合的基本概念
集合，即由一定范围内确定的、可以区别的事物构成的整体。

学习集合时，首先要明确元素、集合、属于等基本概念。

二、常见集合题型
1. 集合的表示方法：列举法和描述法是集合的两种常见表示方法，需要通过练习熟练掌握。

2. 集合的关系：等于、包含、真包含等是集合之间的基本关系，需要通过比较元素来判断集合之间的关系。

3. 集合的运算：并、交、补、差是集合的基本运算，需要掌握其定义及运算规则。

三、解题方法
1. 理解题意：仔细阅读题目，明确题目要求，理解集合的相关概念。

2. 表示集合：根据题意，选择合适的表示方法表示集合。

3. 判断关系：根据元素，判断集合之间的关系，注意区分包含和真包含。

4. 进行运算：按照集合运算的定义和规则，对集合进行运算。

5. 检查结果：在完成运算后，检查结果是否符合题意，是否符合集合的性质。

例如，面对一个求集合交集的题目，首先要明确两个集合的所有元素，然后找出同时属于两个集合的元素，这些元素组成的集合就是两个原集合的交集。

以上就是高中数学中集合题型的基本解题方法。

总的来说，解题的关键在于理解题意，熟练掌握集合的相关概念和运算规则，以及灵活运用这些规则解决问题。

考点02 集合运算问题的3种技巧(解析版)

2021-2022学年《高考数学方法研究》（人教A 版2019）专题一集合与常用逻辑用语考点2 集合运算问题的3种技巧【方法点拨】1. 先简后算：进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，区分数集与点集等；2. 遵规守矩：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住公共元素；并集的运算中并是合并的意思；补集的运算要关注你有我无的元素；3. 借形助数：在进行集合的运算时要尽可能地借助Veen 图和数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意短点值的取舍。

【高考模拟】1．已知全集(](]0,4,2,4U U A B A C B =⋃=⋂=，则集合B =（）A ．(],2-∞B ．(),2-∞C ．(]0,2D ．()0,2 【答案】C【分析】集合运算可得()=U U B C AC B ，即可求出结果【解析】 (0,4]A B =，(2,4]=U A C B所以()(0,2]==U U B C A C B故选：C2．设集合{23}A x x =<<∣，{5}B x a x =<<∣，若{25}A B x x ⋃=<<∣，则a 的取值范围是（）A ．[2,3)B ．[2,5)C ．(,2]-∞D ．(,5]-∞【答案】A【分析】根据并集的概念列式可得结果.【解析】因为{23}A xx =<<∣，{5}B x a x =<<∣，且{25}A B x x ⋃=<<∣，所以23a ≤<.故选：A3．已知A ，B 都是R 的子集，且A B ⊆，则()R B A =（）A ．AB ．BC ．∅D ．R【答案】D【分析】利用Venn 图画出集合A 、B 、R 之间的关系，再得出结论.【解析】Venn 图如图所示，易知R B A R ⋃=（）．故选：D ．4．已知集合{1,2,3},{1,3,5}A B ==，则A B （）A ．{1,2,3,5}B ．{1,3}C ．{1,5}D ．{3,5}【答案】B【分析】根据交集的定义可知，交集即为两集合的公共元素所组成的集合，求出即可．【解析】因为{1,2,3},{1,3,5}A B ==所以{1,3}A B ⋂=故选：B5．若集合{}{}|1,|04M x x N x Z x =>=∈≤≤，则()M N R （）A ．{}0B ．()0,1C ．{}0,1D ．{}012，，【答案】C【分析】根据补集运算的定义，求得R M ，再根据交集运算的概念，即可求得答案.【解析】由题得{}0,1,2,3,4N =，{}|1R M x x =≤，所以(){0,1}R N M ⋂=，故选：C.6．已知集合{1,2,3,4},{0,1,2}A B ==，则A B =（）A ．{0}B ．{2}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】C【分析】根据交集定义直接求解即可.【解析】{1,2,3,4},{0,1,2}A B ==，{}1,2A B ∴=.故选：C.7．已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，{2,3}B =，则()U A B ⋃=（）A ．{1,3}B ．{1,2,3}C ．{2,4}D ．{4}【答案】D【分析】先求得A B ，然后求得()U A B .【解析】依题意{}1,2,3A B =，所以{}()4U A B ⋃=.故选：D8．设集合 {}03|P x x =<<，{}|12Q x x =-<<，则P Q ⋃=（）A ．{}|3x x <B ．{}|13x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|0x x >【答案】B【分析】直接对P 、Q 求并集即可.【解析】∵{}03|P x x =<<，{}|12Q x x =-<<，∴P Q ⋃={}|13x x -<<故选：B9．设全集为实数集R ，集合{}12,|P x x x R =≤+∈，集合{}1,2,3,4Q =，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}4B ．{}3,4C ．{}2,3,4D ．{}1,2,3,4【答案】B【分析】图中的阴影部分表示集合Q 中不满足集合P 的元素，由此可得选项．【解析】图中的阴影部分表示集合Q 中不满足集合P 的元素，所以阴影部分所表示的集合为{}3,4，故选：B ．10．已知集合{}22,4,A a =，{}2,6B a =+，若A B B =，则a =（）A ．-3B ．-2C ．3D ．-2或3 【答案】C【分析】由A B B =，可得B A ⊆，再分类讨论计算可得；【解析】解：因为A B B =，所以B A ⊆，若64a +=，则2a =-，24a =，集合A 中的元素不满足互异性，舍去；若26a a +=，则3a =或-2，因为2a ≠-，所以3a =.故选：C.11．定义集合A 与B 的“差集”运算：{|A B x x A -=∈且}x B ∉，已知{}1,2,4A =，{}3,4B =，则A B -=（）A ．{}3B ．{}1,2C ．{}1,2,4D ．{}1,2,3,4【答案】B【分析】根据“差集”定义直接求解即可.【解析】根据{|A B x x A -=∈且}x B ∉，已知{}1,2,4A =，{}3,4B =，可得A B -={}1,2.故选：B.12．已知集合{}2{1,0,1},,M N a a =-=，则使M N N =成立的a 的值为（） A ．1 B ．0 C ．1- D ．1或1-【答案】C【分析】由集合N ，可得1a ≠且0a ≠，依题意可得N M ⊆，即可求出参数的值；【解析】解：因为{}2{1,0,1},,M N a a =-=，所以2a a ≠，即1a ≠且0a ≠因为M N N =所以N M ⊆所以211a a =-⎧⎨=⎩解得1a =-故选：C13．如图，阴影部分所表示的集合为（）A ．()U A CB ⋂B ．()U BC A C ．()U B ⋃A CD ．()U B C A ⋃【答案】B【分析】图中的阴影部分表示的是集合B 与A 的补集的交集形成.【解析】图中的阴影部分表示的是集合B 与A 的补集的交集形成即为()U BC A 故选：B14．设集合{1,0,1}A =-，集合{}B x x t =>，若A 、B 两集合的关系如图，则实数t 的取值范围为（）A ．1t ≤B ．1t ≥C ．1t <D ．1t > 【答案】B【分析】由Venn 图知AB =∅，从而可得t 的范围．【解析】由题意，AB =∅，故1t ≥，故选：B ． 15．已知集合2{|230}A x x x =--=，{}1,B x =，若{}3A B ⋂=，则AB =（） A ．{1,3}B ．{}1,3-C ．{}1,1,3-D ．{}3,1,3-- 【答案】C【分析】根据集合运算法则计算即可．【解析】由题可知，2{|230}{|3A x x x x x =--===或1}x =-．因为{}3A B ⋂=，所以{}1,3B =，所以A B ={}1,1,3-．故选：C ．16．设集合{}14P x x =-≤≤，{}1,0,1,4,5Q =-，则P Q =（）A ．{}1,0,1,4-B ．{}1,4C ．{}0,1D ．{}0,1,4【答案】A【分析】根据交集的概念运算可得结果.【解析】因为{}14P x x =-≤≤，{}1,0,1,4,5Q =-，所以P Q ={}1,0,1,4-.故选：A17．已知集合{}24{|},.|A x x B x x a =-≤≤=>若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为（）A ．2a >-B ．2a <-C ．4a >D ．4a <【答案】D【分析】根据集合,A B 存在相同的元素即可得答案.【解析】因为集合{}24{|},.|A x x B x x a =-≤≤=>若A B ⋂≠∅，则集合,A B 存在相同的元素，所以4a <，故选：D.18．已知全集为U ，集合{2,0,1,2},{|20}A B x x =-=-，集合A 和集合B 的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（）A ．(2,0)-B ．[1,0]-C ．{1,0}-D ．{12,1,2}-【答案】A【分析】图中阴影部分是表示不在集合A 中，但在集合B 中的元素.【解析】图中阴影部分是表示不在集合A 中，但在集合B 中的元素，根据题意，20x -<<，故选：A19．已知集合{}1,0,2,3A =-，{21,}B x x k k ==-∈N ∣，那么A B =（）A ．{}1,0-B ．{}1,2-C ．{}0,3D ．{}1,3-【答案】D【分析】根据交集的定义可求A B .【解析】因为{21,}B x x k k ==-∈N ∣，故B 中的元素为大于或等于1-的奇数，故{}1,3A B =-，故选：D.20．若集合{}13A x x =<<，{}24B x x =<<，则A B =（）A ．{}23x x <<B ．{}14x x <<C ．{}34x x <<D ．{}14x x ≤<【答案】B利用并集的定义可求得集合A B .【解析】由题意可知{}13A x x =<<，{}24B x x =<<，因此，{}14A B x x ⋃=<<.故选：B.21．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3A =，{}3,4,6B =，则()U A B ⋂=（） A ．∅ B ．{2，5} C ．{2，4} D ．{4，6}【答案】D【分析】由补集、交集的定义，运算即可得解.【解析】因为{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3A =，所以{}U 2,4,5,6A =，又{}3,4,6B =，所以(){}U 4,6A B =.故选：D.22．已知全集,U Z =集合{1A x Z x =∈<-或}2x >，则U A （）A ．[)1,2-B ．()1,2-C ．1,0,1,2D ．{}0,1【答案】C【分析】直接利用集合补集的定义求解即可.【解析】因为集,U Z =集合{1A x Z x =∈<-或}2x >，所以{}{}121,0,1,2U A x Z x =∈-≤≤=-.故选：C.23．已知集合{}1A x x =<，集合{B x y ==，则A B =（）A ．{}2x x ≥B ．{}1x x <C ．∅D ．{1x x <或}2x ≥【分析】先求集合B ，再求A B . 【解析】函数y =202x x -≥⇒≥，即{}2B x x =≥，{}1A x x =<，{1A B x x ∴⋃=<或2}x ≥.故选：D24．已知集合2{|60}A x x x =∈+-=R ，{|10}B x ax =∈-=R ，若B A ⊆，则实数a 的值为（）A ．13或12-B ．13-或12C ．13或12-或0D ．13-或12或0 【答案】D【分析】先解出结合A ，再由B A ⊆可得a 的值。

高考数学中的逻辑与集合解题技巧

高考数学中的逻辑与集合解题技巧高考数学是重中之重，而在高考数学中，逻辑与集合题目占据了相当重要的位置。

掌握逻辑与集合解题技巧，能够帮助考生解决这一类题目，提高数学成绩。

本文将分享一些高考数学中的逻辑与集合解题技巧，希望对广大考生有所帮助。

一、逻辑解题技巧逻辑解题是高考数学中的一个重要部分，涉及了数学推理、论证等方面。

以下是一些逻辑解题技巧：1. 矢量与坐标：在解题中，尽量使用坐标和矢量的概念，能够简化问题，提高解题效率。

例如，在解二次函数的问题中，可以使用坐标系来找出函数的性质。

2. 假设法：在解题时，可以假设一些条件，然后通过推理去求解问题。

这种方法常用于解决代数题目，能够减少计算量，提高解题速度。

3. 推理与判断：解题时要善于运用推理和判断能力，根据已知条件合理推断结论。

通过分析题目中的关键信息，进行推理和判断，解决问题。

二、集合解题技巧除了逻辑解题，高考数学中还有很多集合解题的题目。

以下是一些集合解题技巧：1. 集合图像法：在解决集合问题时，可以通过画集合图像的方法来辅助解题。

通过画出集合的图像，可以更直观地理解集合的关系和性质，从而更容易进行推理和判断。

2. 集合的运算：要熟练掌握集合的交、并、差、补等运算。

通过灵活运用集合的运算法则，可以简化解题过程，提高解题效率。

3. 逻辑推理：在集合解题中，也需要运用逻辑推理能力。

通过分析集合之间的关系，进行逻辑推理，可以解决更复杂的集合问题。

三、综合运用在高考数学中，逻辑和集合两个部分经常会相互结合，出现在同一道题目中。

此时，考生需要综合运用逻辑和集合的解题技巧，加强对题目的理解和分析。

在综合运用时，可以按照以下步骤进行解题：1. 分析题目：仔细分析题目中给出的条件和要求，理清思路，确定解题方向。

2. 运用逻辑和集合知识：根据题目中的条件，灵活运用逻辑和集合的解题技巧，进行推理和论证。

3. 检查答案：解题后，要反复检查答案是否符合逻辑和集合的规则，是否满足题目的要求。

集合运算求解题技巧和方法

集合运算求解题技巧和方法集合运算是数学中非常重要的概念和方法，它用来解决各种问题，特别是在概率论、数论、逻辑等领域中。

下面我将介绍一些集合运算求解题的技巧和方法。

1. 并集：并集表示将两个或多个集合中的所有元素合并在一起的操作。

记为A∪B。

求解并集问题时，需要先分别列出两个集合的所有元素，然后将它们合并在一起，去除重复的元素。

例如，求解集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的并集，可以先列出A和B的元素，得到{1, 2, 3}和{2, 3, 4}，然后将它们合并在一起，去除重复的元素，得到并集A ∪B={1, 2, 3, 4}。

2. 交集：交集表示两个或多个集合中共有的元素的集合。

记为A∩B。

求解交集问题时，需要先分别列出两个集合的所有元素，然后找出它们共有的元素。

例如，求解集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的交集，可以先列出A和B的元素，得到{1, 2, 3}和{2, 3, 4}，然后找出它们共有的元素，得到交集A∩B={2, 3}。

3. 差集：差集表示一个集合中去除与另一个集合中共有的元素后的剩余元素的集合。

记为A－B。

求解差集问题时，需要先列出两个集合的所有元素，然后找出第一个集合中与第二个集合中共有的元素，再从第一个集合中去除这些共有的元素，得到差集。

例如，求解集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的差集，可以先列出A和B的元素，得到{1, 2, 3}和{2, 3, 4}，然后找出A和B共有的元素，即{2, 3}，然后从A中去除这些共有的元素，得到差集A－B={1}。

4. 互斥：互斥表示两个集合没有共有的元素。

如果两个集合A和B之间没有共有的元素，即A∩B=∅，则称A 和B是互斥的。

求解互斥问题时，需要先列出两个集合的所有元素，然后判断它们是否有共有的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={4, 5, 6}是互斥的，因为它们之间没有共有的元素；而集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}不是互斥的，因为它们有共有的元素。

轻松理解集合高中数学集合问题的解题技巧

轻松理解集合高中数学集合问题的解题技巧高中数学中的集合问题是一个重要而基础的概念。

学生在学习集合问题时，可能会遇到一些难以理解或解答的挑战。

本文将介绍一些解题技巧，以帮助学生轻松理解和解决高中数学集合问题。

一、概念解释在深入讲解解题技巧之前，我们先来简要介绍一下集合问题的基本概念。

在数学中，集合是由一些特定对象组成的总体。

这些对象可以是数字、字母、符号或其他特定元素。

对于集合问题，我们需要了解以下几个关键概念：1. 元素：集合中的个体，可以是数字、字母等。

2. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

3. 子集：如果一个集合A中的所有元素都属于另一个集合B，那么集合A是集合B的子集。

4. 并集：将两个或多个集合中的所有元素放在一起形成的集合，用符号∪表示。

5. 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合，用符号∩表示。

6. 补集：相对于某个全集，不属于某个特定集合的元素所组成的集合，用符号补(A)表示。

二、解题技巧理解了这些基本概念后，我们来探讨一些解题技巧，以帮助学生更好地解决集合问题。

1. 制定清晰的解题策略在解答集合问题之前，制定一个清晰的解题策略非常重要。

首先，仔细阅读问题，理解问题所给的条件和要求。

然后，明确题目中所涉及的集合及其关系。

最后，选择合适的集合运算和方法来解答问题。

2. 利用绘图和图表工具对于一些复杂的集合问题，绘制图表可以帮助学生更好地进行推理和分析。

例如，使用Venn图可以清晰地表示集合之间的关系，帮助学生更好地理解并解答相关问题。

3. 善于利用已知条件解答集合问题时，善于利用已知条件是非常重要的。

通过确定已知条件中的共同元素和关系，可以更准确地判断并推导出其他有用的信息。

4. 注意全集的选择在解题过程中，需要注意选择合适的全集。

全集是指所有可能元素的集合，对于不同的问题，全集的选择可能会有所不同。

确保选择合适的全集非常重要，以避免出现解答错误或不完整的情况。

5. 灵活运用集合运算掌握和灵活运用集合的并、交、补等运算是解答集合问题的关键。

高中数学必备技巧解集合问题

高中数学必备技巧解集合问题在高中数学中，集合是一个非常重要的概念，涉及到很多问题的解答。

本文将介绍一些高中数学中解集合问题的必备技巧和方法。

一、集合的基本概念在解集合问题之前，我们首先来回顾一下集合的基本概念。

集合是由一些确定的元素组成的整体，元素的概念可以是数字、字母、图形、事物等等。

集合的表示通常用大写字母表示，而具体的元素则用小写字母表示。

例如，集合A={1,2,3,4}，表示A是由1、2、3和4这几个元素组成的集合。

集合间的关系有三种：相等、包含和交集。

当两个集合的元素完全相同时，它们是相等的；当一个集合中的所有元素都属于另一个集合时，前者包含于后者；当两个集合中都有的元素构成的集合称为它们的交集。

这些关系是解集合问题时非常重要的基础。

二、求解集合问题的技巧1. 列举法当我们给出一个集合问题时，一种常见的解法是使用列举法。

其基本思路就是将集合中的元素逐个罗列出来，根据问题的要求进行归类、交集运算等等。

列举法在解决一些简单的集合问题时非常有效。

例如，如果有两个集合A={1,2,3}和B={3,4,5}，要求求出它们的交集和并集，我们可以先将两个集合的元素列举出来，然后进行比较：交集：{3}，即A和B中共有的元素；并集：{1,2,3,4,5}，即A和B中所有的元素。

2. Venn图法Venn图是一种常用的解决集合问题的图形表示方法。

它采用圆形或椭圆形表示集合，通过在图中标注对应的元素来表示集合的关系。

Venn图非常直观，能够清晰地展示出集合的交集、并集等关系。

假设有两个集合A和B，我们可以画出两个圆表示它们，并在对应的区域内标注各自的元素。

如果要求求出两个集合的交集，即A和B共有的元素，我们可以标注在两个圆的交集区域内。

同样地，如果要求求出并集，即A和B所有的元素，我们可以将两个圆都标注上。

3. 区间法在解决一些涉及到数值大小的集合问题时，可以使用区间法。

区间法将数轴划分为几个不同的部分，每个部分都代表一个集合。

高中数学集合题型及解题方法

高中数学集合题型及解题方法摘要：1.集合概念与基本运算2.集合间的逻辑关系3.集合题型分类及解题方法4.高考集合题型解析5.解题技巧与策略正文：一、集合概念与基本运算集合是数学中的基本概念，它由一些元素组成。

集合间的运算主要包括并集、交集、补集和全集等。

熟练掌握集合的基本概念和运算对于解决集合题型至关重要。

二、集合间的逻辑关系集合间的逻辑关系包括子集、超集、真子集、真超集等。

理解这些逻辑关系有助于我们更好地把握集合间的包含关系，为解题打下基础。

三、集合题型分类及解题方法1.集合基本运算题：求解集合间的并集、交集、补集等运算，可以通过列举法、描述法等方法求解。

2.集合逻辑关系题：判断集合间的包含关系、相等关系等，可以利用真子集、真超集等概念进行判断。

3.集合与函数题：集合与函数的关系，如函数的定义域、值域等问题，可以通过对函数的性质进行分析求解。

4.集合与数列题：集合与数列的关系，如求数列的通项公式、求和公式等问题，可以通过集合运算解决。

5.集合与不等式题：集合与不等式的关系，如解集合不等式、求解不等式组等问题，可以通过集合的基本运算解决。

四、高考集合题型解析高考中的集合题型主要涉及集合的基本运算、逻辑关系、与函数、数列、不等式的结合等问题。

解题时要注意审题，把握题目中的关键信息，运用恰当的解题方法。

五、解题技巧与策略1.审题要细，抓住关键信息。

2.善于利用集合的基本性质和运算规律。

3.灵活运用逻辑关系判断方法。

4.分类讨论，化简集合运算过程。

5.结合其他数学知识点，如函数、数列、不等式等，综合分析问题。

通过以上分析和方法，相信大家对高中数学集合题型及解题方法有了更深入的了解。

集合解题方法与技巧

集合解题方法与技巧集合解题方法与技巧1. 引言在数学和逻辑推理中，集合是一种非常重要的概念。

集合可以理解为由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。

集合论是一门研究集合和它们之间关系的数学分支，广泛应用于各个领域，包括数学、计算机科学、统计学等。

在解题过程中，运用集合的常用方法和技巧有助于我们更全面、深刻和灵活地理解问题，找到准确的解决方案。

2. 集合的基本概念与运算在介绍集合解题方法和技巧之前，我们先来复习一下集合的基本概念与运算。

集合可以用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。

集合A={1,2,3,4}表示由元素1、2、3和4组成的集合A。

常用的集合运算有并集、交集、差集和补集。

并集表示两个或多个集合中所有的元素的集合，用符号∪表示；交集表示两个或多个集合中共有的元素的集合，用符号∩表示；差集表示一个集合中除去与另一个集合相同的元素后所剩下的元素的集合，用符号-表示；补集表示一个集合相对于于某个全集的剩余部分的集合，用符号'表示。

3. 集合解题方法3.1 确定问题的关键元素和条件在解题过程中，首先要明确问题给出的条件和需要求解的关键元素。

通过分析问题并提取关键信息，我们可以更好地理解问题的本质和要求。

3.2 利用集合间关系进行推理集合间的运算和关系是我们解题的基础。

通过应用集合的基本运算，我们可以得到更多的信息和结论。

通过求两个集合的交集，我们可以找到两个集合共有的元素；通过求两个集合的差集，我们可以找到一个集合相对于另一个集合的独有的元素。

3.3 使用 Venn 图进行可视化分析Venn 图是一种常用的图形工具，用于可视化分析集合的关系。

通过绘制Venn 图，我们可以清楚地看到集合之间的交集、并集和差集等。

借助Venn 图，我们可以更直观地理解和解决问题。

3.4 利用集合的性质和特点进行推导集合具有多种性质和特点，如互斥性、交换律、结合律等。

通过运用这些性质和特点，我们可以简化问题，从而更容易找到解决方案。

集合的解题方法与技巧

k－1，解得 k<2； k＋1≥4，当 Q ≠∅时，则应有2k－1≤5， k＋1≤2k－1，所以当 k<2 或 k＝3 时，P ∩Q ＝Q . 故当 k≥2 且 k≠3 时，P ∩Q ≠Q .
解得 k＝3.
点评 P ∩Q ≠Q 的情况较复杂，若正面求解，需要一一列举出来分别讨论，然后再求并集，运算量大，且不容易考虑周全．注意到“≠”的反面比较单纯，从问题的反面去思考探究，就容易得到正面结论，这其实就是补集思想的应用.
【例 2】
设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P －Q ＝
{x|x∈P，且 x∉Q }，如果 P ＝{x|log2x<1}， Q ＝{x||x －2|<1}，那么 P －Q 等于 A．{x|0<x<1} C．{x|1≤x<2}
解析
( B．{x|0<x≤1} D．{x|2≤x<3}
)
先将集合 P 、Q 简单化，得 P ＝{x|0<x<2}，
合时也要注意，本题若取S1＝{1}，S2＝{2}，S3＝ {3}，I＝{1,2,3}，选项B、C、D都成立，不能得出结论，还需进一步检验．
【例7】
已知集合P ＝{x|4≤x≤5，x∈R}，Q ＝
{x|k＋1≤x≤2k－1，x∈R}，求当P ∩Q ≠Q 时，实数k的取值范围．
解析若 P ∩Q ＝Q 时，则 Q ⊆P .
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教育类精品资料备课资讯2集合的解题方法与技巧集合是学习数学的基础和工具是高考的必考内容之一由于集合知识的抽象性给相关问题的解决带来一定的困难利用定义法具体化方法直观化方法和简单化方法可以帮您走出困境
【教育类精品资料】
备课资讯 2
集合的解题方法与技巧

高中集合题解题技巧

高中集合题解题技巧
高中集合题的解题技巧包括：
1. 仔细审题：集合中元素的特征是非常明显的，首先应正确理解集合
的概念，做到心中有数，在解题时不要急于求成，而应稳扎稳打，步
步为营。

2. 抓住关键找准关系：有时集合中的关系可能隐藏在复杂的语句之中，因此要仔细分析，找出其中的关键因素，即找出关系。

3. 用好集合的运算性质：利用集合的运算性质进行解题时，应注意清
理解相关的运算法则和性质，并准确进行运算或化简。

4. 选择适当方法解答：对于选择题，有时可以采取特值法、数形结合
法等方法解答。

除了解题技巧外，高中集合部分的内容主要包括集合与元素、集合的
表示方法、集合间的关系、集合的运算律、子集、交集、并集、补集、全集等概念，以及这些运算和关系在数学中应用。

通过多看、多练、
多思考，你会逐渐掌握解决高中集合问题的能力。

以上内容仅供参考，如有问题可以请教老师或同学。

集合问题的常用解题方法

集合问题的常用解题方法
集合问题是指用数学的方法来解决涉及集合的问题。

集合问题在许多数学领域中都有广泛的应用，例如组合数学、概率论、信息论等。

以下是常用的解决集合问题的方法：
1.通过枚举法求解：枚举法是将集合中的所有元素进行枚举，并统
计满足条件的元素个数。

这种方法适用于集合中元素个数较少的情况。

2.利用数学归纳法：数学归纳法是通过证明一个性质在某一类条件
下成立，然后由此推广到所有情况的方法。

这种方法常用于证明某一类集合中的某种性质。

3.利用递推法：递推法是通过对一个问题的答案按照某种递推关系
进行转化，从而求解问题的方法。

这种方法常用于解决一些递推关系的问题。

4.利用构造法：构造法是通过设计特定的构造方法来求解问题的方
法。

这种方法常用于解决构造性问题，例如找出满足某些性质的集合。

5.利用排列组合法：排列组合法是通过统计不同的排列或组合方式
来求解问题的方法。

这种方法常用于解决排列组合问题。

6.利用生成函数法：生成函数法是通过构造特定的生成函数来求解
问题的方法。

这种方法常用于解决组合数学问题。

7.利用计数法：计数法是通过对集合中元素的特征进行计数，从而
求解问题的方法。

这种方法常用于解决计数问题。

上述方法并不是绝对的，在解决集合问题时可能需要结合多种方法，并综合考虑问题的性质、数据规模等因素来选择最适合的方法。

高中数学集合解题技巧

高中数学集合解题技巧数学集合是高中数学中的一个重要概念，涉及到许多解题技巧。

本文将通过具体的题目举例，分析和说明数学集合解题的技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。

一、集合的基本概念在解题过程中，首先需要掌握集合的基本概念。

集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。

常用的表示集合的方法有列举法和描述法。

例如，考虑以下题目：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，求A∪B和A∩B。

解题思路：A∪B表示A和B的并集，即包含A和B中所有元素的集合。

根据题目给出的集合A和B，我们可以将它们的元素列举出来，然后去除重复的元素，得到A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}。

A∩B表示A和B的交集，即同时属于A和B的元素组成的集合。

根据题目给出的集合A和B，我们可以找出它们共有的元素，即A∩B={3, 4}。

通过这个例子，我们可以看到集合的基本概念在解题过程中起到了关键的作用。

二、集合的运算在解题过程中，还需要掌握集合的运算方法。

常见的集合运算有并集、交集、差集和补集。

例如，考虑以下题目：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，求A-B和B-A。

解题思路：A-B表示A和B的差集，即属于A但不属于B的元素组成的集合。

根据题目给出的集合A和B，我们可以找出A中不属于B的元素，即A-B={1, 2}。

B-A表示B和A的差集，即属于B但不属于A的元素组成的集合。

根据题目给出的集合A和B，我们可以找出B中不属于A的元素，即B-A={5, 6}。

通过这个例子，我们可以看到集合的运算在解题过程中能够帮助我们找出符合条件的元素。

三、集合的关系在解题过程中，还需要掌握集合的关系。

常见的集合关系有包含关系、相等关系和不相交关系。

例如，考虑以下题目：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，判断A是否包含B。

解题思路：A包含B表示B的所有元素都属于A。

人教版高中数学高考一轮复习--集合

A.M∩N=⌀B.M=N
C.M⊆N
D.N⊆M
由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则x=k+1(k∈Z),当n为奇
1
数时,设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+ 2 (k∈Z),即N⊆M,故选D.
(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取
(2)看这些元素满足什么限制条件;
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数;
(4)要注意检验集合的元素是否满足互异性.
对点训练1
(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则集合A中元素的个数为
( A )
A.9
B.8
C.5
D.4
(方法一)将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),
已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空
集进行分类讨论,做到不漏解.
(1)若集合中元素是一一列举的,则依据集合间的关系,转化为方程(组)求解,
此时注意集合中元素的互异性;
(2)若集合表示的是不等式的解集,则常依据数轴转化为不等式(组)求解,此
时需注意端点值能否取到.
对点训练2
5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概
念的作用.
备考指导
集合知识高考必考,一般为选择题第1题或第2题,偶尔也可能作为填空题第
1题,难度较小.常与不等式、函数、方程结合,主要考查集合的交、并、补

高中数学集合题解题方法

高中数学集合题解题方法在高中数学中，集合是一个重要的概念，也是解题的基础。

掌握集合的性质和运算法则，对于解决各种数学问题至关重要。

本文将介绍高中数学集合题的解题方法，并通过具体的例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握。

一、集合的基本概念在解集合题之前，我们首先需要了解集合的基本概念。

集合是由一些确定的元素组成的整体，元素可以是数字、字母、符号等。

常用的表示集合的方法有列举法和描述法。

例如，集合A={1,2,3,4}可以用列举法表示，集合B={x|x是自然数，0<x<5}可以用描述法表示。

二、集合的运算法则在解集合题时，我们经常需要用到集合的运算法则，包括并集、交集、差集和补集。

并集表示两个集合中所有元素的总和，交集表示两个集合中共有的元素，差集表示一个集合中有而另一个集合中没有的元素，补集表示一个集合中不属于另一个集合的元素。

下面通过一个例题来说明集合的运算法则的应用：例题：已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={3,4,5,6,7}，求集合A和集合B的并集、交集、差集和补集。

解析：首先，我们可以通过列举法将集合A和集合B的元素写出来：集合A={1,2,3,4,5}集合B={3,4,5,6,7}并集：A∪B={1,2,3,4,5,6,7}交集：A∩B={3,4,5}差集：A-B={1,2}补集：A'={6,7}通过这个例题，我们可以看到集合的运算法则在解题过程中起到了关键的作用。

掌握这些运算法则，可以帮助我们更好地理解和解决集合题。

三、集合题的考点和解题技巧在高中数学中，集合题的考点主要包括集合的运算法则、集合的性质和集合的应用等方面。

在解集合题时，我们可以根据题目的要求，灵活运用这些知识点，采取不同的解题方法。

下面通过一个例题来说明集合题的考点和解题技巧的应用：例题：已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={3,4,5,6,7}，求满足条件A∩B的元素个数大于3的集合。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解1---集合

高考数学一轮复习考点知识专题讲解集合考点要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B ，且x∉A，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B} A∪B交集所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B} A∩B补集全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A} ∁U A常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x ∈N |x 3＝x }，用列举法表示为{－1,0,1}．(×) (2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(×) (3)若1∈{x 2，x }，则x ＝－1或x ＝1.(×) (4)对任意集合A ，B ，都有(A ∩B )⊆(A ∪B )．(√) 教材改编题1．若集合A ＝{x ∈N |2x ＋10>3x }，则下列结论正确的是() A ．22∈A B ．8⊆A C ．{4}∈A D ．{0}⊆A 答案D2．已知集合M ＝{a ＋1，－2}，N ＝{b,2}，若M ＝N ，则a ＋b ＝________. 答案－1解析∵M ＝N ，∴⎩⎨⎧a ＋1＝2，b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－1.3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∩B ＝____________，A ∪(∁UB )＝____________.答案{x |2≤x ≤3}{x |－2<x ≤3}解析∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}＝{x |x ≤－2或x ≥2}， ∴∁U B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}，A ∪(∁U B )＝{x |－2<x ≤3}.题型一集合的含义与表示例1(1)(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为() A ．2B ．3C ．4D ．6 答案C解析A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．(2)若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________. 答案0或1解析①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}， ②当2a －1＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}舍去，③当a 2－4＝－3时，a ＝±1，由②可知a ＝－1舍去，则当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，综上，a ＝0或1. 教师备选若集合A ＝{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数k 的取值集合是________．答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14 解析依题意知，方程kx 2＋x ＋1＝0有且仅有一个实数根，∴k ＝0或⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝1－4k ＝0，∴k ＝0或k ＝14，∴k的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14.思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．跟踪训练1(1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪4x －2∈Z ，则集合A 中的元素个数为() A ．3B ．4 C ．5D ．6 答案C 解析∵4x －2∈Z ， ∴x －2的取值有－4，－2，－1,1,2,4， ∴x 的值分别为－2,0,1,3,4,6，又x ∈N ，故x 的值为0,1,3,4,6. 故集合A 中有5个元素． (2)已知a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b ，则a 2023＋b 2023＝________.答案0解析∵{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b 且a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴a ＝－b ， ∴{1,0，－b }＝{0，－1，b }， ∴b ＝1，a ＝－1，∴a 2023＋b 2023＝0.题型二集合间的基本关系例2(1)设集合P ＝{y |y ＝x 2＋1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}，则集合M 与集合P 的关系是() A ．M ＝P B ．P ∈M C ．M P D ．P M答案D解析因为P ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R ，因此PM .(2)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．答案[－1，＋∞) 解析∵B ⊆A ，①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，解得m >2；②当B ≠∅时，⎩⎨⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4，解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．延伸探究在本例(2)中，若把B ⊆A 改为B A ，则实数m 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，∴m >2； ②当B ≠∅时，⎩⎨⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1<4或⎩⎨⎧2m －1≤m ＋1，2m －1>－3，m ＋1≤4.解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．教师备选已知M ，N 均为R 的子集，若N ∪(∁R M )＝N ，则() A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ⊆∁R N D ．∁R N ⊆M 答案D解析由题意知，∁R M ⊆N ，其Venn 图如图所示，∴只有∁R N ⊆M 正确．思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练2(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |x 2－6x <0}，则满足A C ⊆B 的集合C 的个数为() A ．4B ．6 C ．7D ．8 答案C解析∵A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}，且A C ⊆B ，∴集合C 的所有可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．(2)已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为________．答案0，±1解析∵M ＝{－1,1}，且M ∩N ＝N ， ∴N ⊆M .若N ＝∅，则a ＝0；若N ≠∅，则N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a ， ∴1a ＝1或1a＝－1，∴a ＝±1综上有a ＝±1或a ＝0. 题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)(2021·全国乙卷)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2}，集合N ＝{3,4}，则∁U (M ∪N )等于() A ．{5}B ．{1,2} C ．{3,4}D ．{1,2,3,4} 答案A解析方法一(先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．方法二(先转化再求解)因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3,4,5}，∁U N＝{1,2,5}，所以∁U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．(2)集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|1<x<5}，则集合(∁R A)∩B＝________.答案{x|1<x≤4}解析A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x<－1或x>4}，A＝{x|－1≤x≤4}，∴∁RA)∩B＝{x|1<x≤4}．∴(∁R命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(2022·厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．(0,1)∪(1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)答案D解析由题意得，B＝{x|logx<1}＝{x|0<x<2}，2∵A∩B有2个子集，∴A∩B中的元素个数为1；∵1∈(A∩B)，∴a∉(A∩B)，即a∉B，∴a≤0或a≥2，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－3)∪(4，＋∞)解析A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|－2≤x≤3}，∵A∩B＝∅，∴a－1>3或a＋1<－2，即a>4或a<－3.教师备选(2022·铜陵模拟)已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩(∁R B)≠∅，则实数a的取值范围是()A．1≤a≤2B．1<a<2C．a≤1或a≥2D．a<1或a>2答案D解析A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，B＝{x|a－1<x<a＋1}；所以∁R又A∩(∁R B)≠∅，所以a－1<0或a＋1>3，解得a <1或a >2，所以实数a 的取值范围是a <1或a >2.思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．跟踪训练3(1)(2021·全国甲卷)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N 等于() A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4 C ．{x |4≤x <5}D ．{x |0<x ≤5} 答案B解析因为M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4. (2)(2022·南通模拟)设集合A ＝{1，a ＋6，a 2}，B ＝{2a ＋1，a ＋b }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝________，b ＝________. 答案22解析由题意知，4∈A ，所以a ＋6＝4或a 2＝4，当a ＋6＝4时，则a ＝－2，得A ＝{1,4,4}，故应舍去；当a 2＝4时，则a ＝2或a ＝－2(舍去)，当a ＝2时，A ＝{1,4,8}，B ＝{5,2＋b }，又4∈B ，所以2＋b ＝4，得b ＝2.所以a＝2，b＝2.题型四集合的新定义问题例5(1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为()1A．15B．16C．20D．21答案D解析由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，12＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.(2)若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的1不同分拆种数是________．答案27解析不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，当A1＝∅时，A2＝{1,2,3}，当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，当A 1＝{1,2,3}时，A 2可为A 1的子集，共8种，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆．教师备选非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－6x ＋1≤0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝2x，x ∈[1，4]，其中是“互倒集”的序号是________．答案②③解析①中，{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a 2－4，故－2<a <2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意； ②中，{x |x 2－6x ＋1≤0}，即{x |3－22≤x ≤3＋22}，显然0∉A ，又13＋22≤1x ≤13－22，即3－22≤1x≤3＋22，故1x也在集合中，符合题意；③中，⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝2x ，x ∈[1，4]，易得⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12≤y ≤2，0∉A ，又12≤1y≤2，故1y也在集合A中，符合题意．思维升华解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．跟踪训练4对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝____________.答案{x|－3≤x<0或x>3}解析∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}．∴A*B＝{x|－3≤x<0或x>3}．课时精练1．(2022·天津模拟)设全集U＝{x∈N|x<6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，则∁U(A∪B)等于()A．{5}B．{0,5}C．{0,3,4,5}D．{－5，－4，－3，－2，－1,0,5}答案B解析∵集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，∴A∪B＝{1,2,3,4}，∵U＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{0,5}．2．已知集合U＝R，集合A＝{x|x＋3>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩(∁U B)等于()A．R B．(1,2]C．(1,2) D．[2，＋∞)答案C解析A＝{x|x＋3>2}＝(1，＋∞)，B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，∴∁U B＝(－∞，2)，∴A∩(∁U B)＝(1,2)．3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，则集合N中的元素个数为()A．2B．3C．8D．9答案B解析由题意知，集合N＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N的元素个数为3. 4．(2022·青岛模拟)已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a＋a2＋a3等于()1A．1B．2C．3D．6答案C解析集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集为{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a}，3则所有非空真子集的元素之和为a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9，所以a 1＋a 2＋a 3＝3.5．已知集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则下列说法正确的是() ①P ∪Q ＝R ；②P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}；③P ∩Q ＝{(x ，y )|x ＝0或1，y ＝0或1}； ④P ∩Q 的真子集有3个． A ．①②④B．②③④ C ．②④D．③④ 答案C解析联立⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，∴P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}，故②正确，③错误；又P ，Q 为点集，∴①错误；又P ∩Q 有两个元素，∴P ∩Q 有3个真子集， ∴④正确．6．已知集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是()A ．a <－2B ．a ≤－2C ．a >－4D ．a ≤－4 答案D解析集合A ＝{x |－2≤x ≤2}， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2，由A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，作出数轴如图．可知－a2≥2，即a ≤－4.7．(2022·重庆模拟)已知全集U ＝{x ∈N |log 2x <3}，A ＝{1,2,3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B 不可能为() A ．{3,6}B ．{3,4,5} C ．{2,3,6}D ．{3,5,6} 答案C解析由log 2x <3得0<x <23，即0<x <8，于是得全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，因为∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，则有A ∩B ＝{3},3∈B ；对于A 选项，若B ＝{3,6}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，A 可能；对于B 选项，若B ＝{3,4,5}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，B 可能；对于C 选项，若B ＝{2,3,6}，则A ∩B ＝{2,3}，所以∁U (A ∩B )＝{1,4,5,6,7}，矛盾，故C 不可能；对于D 选项，若B ＝{3,5,6}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，D 可能．8．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B＝B，则下列关系一定正确的个数是()①A∩B＝∅；②A∩B＝B；③A∪B＝U；④(∁U B)∪A＝A.A．1B．2C．3D．4答案B解析令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故①②均不正确；由(∁U A)∪B＝B，知(∁U A)⊆B，∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由(∁U A)⊆B，知(∁U B)⊆A，∴(∁U B)∪A＝A，故③④均正确．9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.答案－3解析由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，即0,3为方程x2＋mx＝0的两个根，所以m＝－3.10．(2022·宁夏模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则下列Venn图中阴影部分的集合为________．答案{－1,2,3}解析集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3<x－1<3}＝{x∈Z|－2<x<4}＝{－1,0,1,2,3}，Venn图中阴影部分表示的集合是M∩(∁R N)＝{－1,2,3}．11．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，则A∪B＝________.答案{－5，－2,4}解析∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，则A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2,4}；若m－3＝－2，则m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)，综上，有A∪B＝{－5，－2,4}．12．已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1<x<2}，且(∁R B)∪A＝R，则实数a的取值范围是____________．答案[2，＋∞)解析由已知可得A＝(－∞，a)，B＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∁RB)∪A＝R，∴a≥2.∵(∁R13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.答案－11解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.14．对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B 都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___人．答案18解析赞成A的人数为40×35＝24，赞成B的人数为24＋3＝27，设对A，B都赞成的学生有x人，则13x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，解得x＝18.15．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系”集合，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为()A ．15B ．16C ．32D ．256答案A解析由题意知，满足“伙伴关系”的集合由以下元素构成：－1,1，12，2，13，3，其中12和2，13和3必须同时出现，所有满足条件的集合个数为24－1＝15. 16．已知集合A ＝{x |8<x <10}，设集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，若(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，则实数a 的取值范围是______________．答案⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92 解析当B ＝∅时，2a －1≤a ，解得a ≤1，此时∁U B ＝U ，(∁U B )∩A ＝U ∩A ＝{x |8<x <9}，符合题意；当B ≠∅时，2a －1>a ，解得a >1，因为集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，所以∁U B ＝{x |0<x ≤a 或2a －1≤x <9}，因为(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，所以2a －1≤8，解得a ≤92，所以B ≠∅时，1<a ≤92，综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92.。

高中数学解集合运算问题的技巧

高中数学解集合运算问题的技巧在高中数学中，集合运算问题是一个常见的考点。

解决这类问题需要掌握一些技巧和方法，本文将介绍一些常见的技巧，并通过具体的题目进行说明和分析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这些技巧。

一、并集运算问题并集运算是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。

在解决并集运算问题时，我们可以使用Venn图来帮助分析和理解。

例如，考虑以下题目：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，求A和B的并集。

解答：我们可以使用Venn图来表示集合A和集合B，如下图所示：A: {1, 2, 3, 4}B: {3, 4, 5, 6}通过观察Venn图，我们可以发现并集包含了A和B中的所有元素，即并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

因此，A和B的并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

在解决并集运算问题时，我们可以利用Venn图的思想，先找出两个集合中的共有元素，然后将它们合并在一起，得到并集。

二、交集运算问题交集运算是指找出两个或多个集合中共有的元素，形成一个新的集合。

在解决交集运算问题时，我们可以使用Venn图或列举法来帮助分析和求解。

考虑以下题目：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，求A和B的交集。

解答：我们可以使用Venn图来表示集合A和集合B，如下图所示：A: {1, 2, 3, 4}B: {3, 4, 5, 6}通过观察Venn图，我们可以发现交集包含了A和B中共有的元素，即交集为{3, 4}。

因此，A和B的交集为{3, 4}。

除了使用Venn图，我们还可以使用列举法来求解交集运算问题。

首先将集合A和集合B的元素列举出来，然后找出它们共有的元素，即为交集。

在这个例子中，我们可以发现共有的元素是3和4，因此交集为{3, 4}。

三、差集运算问题差集运算是指从一个集合中减去另一个集合中的元素，得到一个新的集合。

集合解题方法与技巧

集合解题方法与技巧集合是数学中的一个基本概念，也是解决数学问题时常用的一种工具。

在解决集合问题时，可以采用多种方法和技术，下面将介绍一些常用的集合解题方法与技巧。

1. 定义法根据集合的定义来解题，是解决集合问题的最基本方法。

例如，要证明一个集合中的元素全部属于另一个集合，可以通过对集合中的每一个元素进行验证，然后根据定义得出结论。

2. 特征性质法利用集合的特征性质来解题，是解决集合问题的另一种常用方法。

例如，要证明一个集合中的元素都是正整数，可以通过观察每个元素的特征，然后根据正整数的定义得出结论。

3. 数轴法在解决涉及不等式或绝对值等数学问题时，可以利用数轴的形象化特点来解题。

例如，要证明一个数集中的所有元素都大于0，可以在数轴上画出这个数集的位置，然后根据数轴上的位置关系得出结论。

4. 图表法利用图表来解题，可以将抽象的数学问题变得形象化、具体化。

例如，在解决关于两个集合的交集、并集和补集的问题时，可以通过画出维恩图来形象地表示两个集合之间的关系。

5. 计算法通过计算来解决问题，是数学中常用的方法之一。

在解决集合问题时，也可以利用计算法来得出结论。

例如，要计算两个集合的交集的元素个数，可以通过分别列出两个集合的元素，然后计算它们的交集的元素个数。

6. 归纳法当需要证明一个命题时，归纳法是一种常用的方法。

在解决集合问题时，也可以利用归纳法来得出结论。

例如，要证明一个数列的每一项都是正整数，可以通过观察数列的前几项，然后利用归纳法得出结论。

7. 反证法当直接证明一个命题很困难时，可以采用反证法来证明。

在解决集合问题时，也可以利用反证法来得出结论。

例如，要证明一个集合中的元素都是正整数，可以通过假设这个集合中存在非正整数元素，然后推导出矛盾的结论，从而得出原命题成立。

8. 排除法排除法是一种间接的解题方法，通过排除不可能的情况来得出结论。

在解决集合问题时，也可以利用排除法来得出结论。

例如，要证明一个数集中存在两个不同的元素相等，可以通过观察数集中的所有元素，然后排除所有不相等的元素，从而得出结论。