乘法公式推广及应用
竞赛培训资料乘法公式
乘法公式一、知识要点1、乘法公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3立方差公式：(a-b)( a2+ab+b2)=a3-b32、乘法公式的推广（1）(a+b)(a-b)=a2-b2的推广由(a+b)(a-b)=a2-b2, (a-b)( a2+ab+b2)=a3-b3，猜想：(a-b)( )=a4-b4(a-b)( )=a5-b5(a-b)( )=a n-b n（2）多项式的平方由(a±b)2=a2±2ab+b2，推出(a+b+c)2=( ) , (a+b+c+d)2=( )猜想：(a1+a2+…+a n)2=( )。
二、乘法公式的应用例1、运用公式计算(1) (3a+4b)(3a-4b) (2) (3a+4b)2例2、运用公式，将下列各式写成因式的积的形式。
（1）(2x-y)2-(2x+y)2(2)-49b2(3)25(a-2b) -64(b+2a)例3、填空(1) x2+y2-2xy=( )2(2) x4-2x2y2+y4=( )2(3) 49m2+14m+1=( )2(4) 64a2-16a(x+y)+(x+y)2(5) 若m2n2+A+4=(mn+2)2,则A= ;(6) 已知ax2-6x+1=(ax+b)2，则a= ,b= ;(7) 已知x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m= .例4、计算(1) 200002-19999⨯20001 (2) 372+26⨯37+132(3) -3⨯+-100。
提示：（1）19999=20000-1例5、计算（1）(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)(1+232)+1。
（2）(1+3)(1+32)(1+34)(1+38)…(1+32n)。
例6、已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2。
乘法公式的灵活运用
1乘法公式的灵活运用一、复习：(a+b)（a —b)=a 2—b 2（a+b ）2=a 2+2ab+b 2（a-b)2=a 2—2ab+b 2（a+b ）（a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a —b)（a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ,求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992—2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
七年级数学下期培优学案(1)-同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方
七年级下期数学培优学案（1）同底数幂的乘（除）法、幂的乘方、积的乘方一、同底数幂的乘法1.公式及其推广：m n p m n p a a a a++= 2．公式顺用：例1、计算（1）21n n n aa a ++ （2）232()()x x x -••- （3）432111()()()101010--（4）34(2)(2)(2)x y x y y x --- （5）2132()()()n n a a a ++---练习 231022(1),13m m x x x m m -=-+=若则整式 2(2)2(8)2128,n n n +•-•=-=若则33(3)m a +可以写成（4）2122)2(2)n n n +-+-=为正整数，（ 3.公式的逆用例2.2+14=6435(1)a x x x +=-a 若，解关于的方程：2二、幂的乘方1．公式的应用例3.计算 （1）（34()x - （2）34[()]x -练习：计算下列各题253(1)()x x - 2844(2)()()x x 2332222(3)()()(2)y y y y +-2．公式的逆用32231313694.(1)2,3)()2102,103,103253,4324)(),n n n n a b a b x y m n x y x y x y x y x y m n +-+====+=••=+例已知，求（的值（）已知求的值（）若求的值（）若（求的值三、积的乘方1.公式的顺用例5.125计算：（）（-x b) 322(2)(2)()ab ab23(3)3()x x --练习：计算2233(1)()()(5)ab a b ab -- 122(2)()()n n n c dc d -452342102533(3)()()()()()a a a a a a a --•+----2.公式的逆用例6.计算10010223(1)()()32- (2) 200320011(0.75)(1)3-练习：22(1)2,3,)n n n x y x y ==已知求（的值 2430,216x y x y +-=•（）已知求的值四、拓展100751.23比较与的大小2．试判断10825⨯是几位数？2004200523⨯的个位数字是多少？3．阅读下列材料：为了求1+2+22+23+…+22011的值，可令S=1+2+22+23+…+22011①，则 2S=2+22+23+…+22012②，②﹣①得 2S ﹣S=22012﹣1，即S=22012﹣1，∴1+2+22+23+…+22011=22012﹣1仿照以上推理，请计算：1+4+42+43 (42011)4．几个相同的数码摆成一个数，并且不用任何数学运算符号（含括号），如果要使摆成的数尽可能的大，该怎样摆呢？如用3个1按上述要求摆成一个数，有如下四种形式：①111；②111；③111； ④．显然，111是这四个数中的最大的数．那么3个2有几种摆法？请找出其中的最大数．5．已知2a =3，2b =5，求23a+2b+2的值6.32)1,x x x +-=已知（求整数的值。
奥数乘法公式
初中数学竞赛辅导资料（15）乘法公式1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
概率：乘法公式及其应用
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
B
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
C={囚犯丙被处决} 依题意，P(A)=1/3, P(A| B)=P(A)／[1-P(B)]=1/2, 甲 P(A|C )=1/2, 看守说得对.
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
概率：乘法公式及其应用
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
1000 个
求的是 P(A|B) .
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概 率是多少？
解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
乘法公式的五用
乘法公式的“五用”能否用乘法公式简化运算，关键在于熟悉并掌握应用技巧，乘法公式如下“五用”一定会使你大开眼界。
一、直接用例1 计算：（1）()()b a b a 4343--- （2）()22y x -- 解：（1）原式＝()()2234a b --＝22916a b - （2）原式＝()[]22y x +-＝()22y x +＝2244y xy x ++ 注意：即使是直接使用公式，也别忘了符号变化。
二、连续用例2 计算：()()()y x y x y x --+39322解：原式＝()()()22933y x y x y x --+＝()2229y x - ＝42241881y y x x +-三、推广用例3 计算：（1）()2c b a ++ （2）()223+-y x 解：（1）原式＝()[]2c b a ++ ＝()()222c c b a b a +⋅+++ ＝ac bc ab c b a 222222+++++（2）由上式的结论可得：原式＝()()()222323223222⋅+⋅-⋅+-⋅++-+x y y x y x ＝44126922++--+x y xy y x说明：()ac bc ab c b a c b a 2222222+++++=++实际上是完全平方公式的推广，（1）（2）两题都是利用完全平方公式的推广公式进行计算的，便得计算过程简捷。
四、逆向用例4 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-222411311211…⎪⎭⎫ ⎝⎛-21011 解：原式＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-311311211211…⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-10111011 ＝⨯⨯⨯⨯34322321 (1011)109⨯ ＝101121⨯ ＝2011说明：这里逆用平方差公式，变形相约，使得计算十分简捷。
五、变形用例5 （1）已知4=-b a ，5=ab ，求22b a +的值。
整式的乘除—乘法公式
整式的乘除—乘法公式1整式的乘除—乘法公式【复习】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳⼩结公式的变式，准确灵活运⽤公式：①位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2②符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2⑦连⽤公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧逆⽤公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz【典例分析】例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
2 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
《整数乘法运算定律推广到小数》教案
《整数乘法运算定律推广到小数》教案《整数乘法运算定律推广到小数》教案1教学目标：1、使学生知道整数乘法的运算定律对于小数乘法同样适用，能运用乘法的运算定律正确地、合理地、灵活地进行小数乘法的简便计算。
2、培养学生的观察能力，类推能力和灵活运用所学知识解决问题的能力。
3、让学生相互交流、合作、体验成功的喜悦。
教学重点：1、理解整数乘法的运算定律在小数乘法中同样适用。
2、运用运算定律进行小数乘法的简便计算。
教学难点：运用运算定律进行小数乘法的简便计算。
教具准备：电脑投影、卡片教学过程一、谈话引入师：同学们，在上节课我们通过学习，已经知道了整数混合运算顺序适用于小数，除此以外，还有哪些适用于小数呢，这节课我们一起来探讨整数乘法运算定律适不适用于小数(教师板书课题)。
二、探索新知1、教学整数乘法的运算定律对于小数乘法同样适用。
师：谁来说说你们在整数乘法中学过了哪些运算定律、用定母表示。
生：乘法交换律：a·b=b·a，乘法结合律(a·b)·c=a·(b·c)乘法的分配律：(a+b)·C=ac+bc。
(板书)0.7×1.2=1.2×0.7(0. 8×0.5)×0.4=0.8×(0.5×0.4)(1. 4+3.6)×0.5=2.4×0.5+3.6×0.5师：(手指算式)这些算式各说明了什么呢?生1：第一行算式运用了整数乘法的交换律;生2：第二行算式运用了整数乘法的结合律;生3：第三行算式运用了整数乘法的分配律。
师：谁能用一句话来概括一下这些算式说明了什么?生4：说明了整数乘法的运算定律对于小数乘法同样适用。
2、教学怎样运用乘法运算定律：师：(板书)0.25×4.78×4请同学们认真地观察，看看这道题能不能用简便方便计算，怎样算简便，请把你们的思路在小组里相互交流。
整数乘法运算定律推广到小数乘法
整数乘法运算定律推广到小数乘法1. 引言在数学中，学生们经常学习整数乘法运算定律，例如交换律、结合律和分配律。
这些定律对于整数乘法是非常有帮助的，但是我们是否可以将这些定律推广到小数乘法呢？本文将探讨如何推广整数乘法运算定律到小数乘法，并举例说明其应用。
2. 交换律的推广在整数乘法中，交换律指的是乘法运算的顺序可以交换，即a × a = a × a。
我们可以通过一个例子来推广交换律到小数乘法。
假设我们有两个小数，a = 2.5 和a = 1.2。
根据交换律，我们可以交换两个小数的位置，即a × a = a × a。
将我们的小数代入公式，我们可以得到 2.5 × 1.2 = 1.2 × 2.5，结果都是 3。
这说明在小数乘法中，交换律仍然成立。
3. 结合律的推广结合律指的是无论括号的位置如何改变，乘积的结果都不变，即(a × a) × a =a × (a × a)。
我们来验证结合律在小数乘法中是否成立。
我们假设有三个小数，a = 0.5，a = 1.2，a = 0.3。
根据结合律，我们可以将乘法按照不同的顺序进行运算。
先计算(a × a) × a，代入数值计算得到 (0.5 × 1.2) × 0.3 = 0.6 × 0.3 = 0.18。
再计算a × (a × a)，代入数值计算得到 0.5 × (1.2 × 0.3) = 0.5 × 0.36 = 0.18。
我们可以看到，无论乘法的顺序如何改变，结果都是相同的。
因此，在小数乘法中，结合律也是成立的。
4. 分配律的推广分配律指的是对于三个数a、a和a，a × (a + a) = (a × a) + (a × a)。
我们来验证分配律在小数乘法中是否成立。
乘法公式的常用方法和技巧
乘法公式的常用方法和技巧乘法公式是数学中常用且重要的计算方法之一，它能够帮助我们在进行乘法运算时更加高效和准确。
下面，将为大家详细介绍乘法公式的常用方法和技巧。
一、乘法公式的基本原理乘法公式是指两个或多个数相乘的计算规则。
在进行乘法运算时，我们往往需要根据这些基本原理进行计算。
1.乘法的交换律：a×b=b×a交换律可以帮助我们改变两个数的位置，使乘法运算更加方便。
例如，3×2=2×3=62.乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)结合律指的是，当多个数相乘时，它们的乘积不受括号的位置影响。
例如，(2×3)×4=2×(3×4)=243.乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c分配律适用于当一个数与多个数的和相乘时，可以先将这个数与每个加数分别相乘，再将乘积相加。
例如，2×(3+4)=2×3+2×4=14二、基本的乘数口诀为了在进行乘法运算时更加快速和准确，我们可以掌握一些基本的乘数口诀。
下面列举了几个常用的口诀：1.小学生口诀：小学生口诀是一种简单易记的乘法口诀，通常用于计算两个一位数相乘的结果。
例如，2×3=6，可以快速记忆为“脸上三毛”。
2.九九口诀：九九口诀是指九九乘法口诀表，其中列举了所有1-9的乘法结果。
学习并熟记九九口诀可以帮助我们快速计算两个一位数相乘的结果。
三、乘法的近似计算在实际应用中，我们有时候需要对两个较大的数进行乘法运算，这时候我们可以使用一些近似计算的方法，以减小计算量和提高计算速度。
1.精确数的近似：当两个数中至少有一个数很大时，我们可以对其中一个数取舍近似的值，以减小计算量。
例如，计算142×8时，我们可以近似后计算140×8=1120。
2.分割数的近似：对于两个较大的数相乘，我们可以将其中一个数分解成较小的数的和，再进行计算。
概率论-条件概率与乘法公式
解：设事件 Ai “抽取的产品是 i 等品 ”， （i=1,2,3,）
则
P( A1|( A1
A2 ))
P( A1( A1 A2 )) P( A1 A2 )
P( A1) P( A1 A2 )
0.6 = 2 0.6+0.3 3
当 P(A) 时0 ， P(B A) P( AB) . P( A)
例(补) 摸球试验
设袋中装有r 只红球、t 只白球.每次自袋中 任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入a 只 与所取出的那只球同色的球, 若在袋中连续取球 四次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取 到白球的概率. 解 设 Ai (i 1,2,3,4) 为事件“第 i 次取到红球”
则 A3 、A4 为事件第三、四次取到白球.
因此所求概率为 P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )P( A4 A1 A2 A3 ) r ra t ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
(1)
P( A)
80 100
0.8,
(2)
P( AB) 32 0.32, 100
(3) P(B A) P( AB) 0.32 0.4 P( A) 0.80
或P(B A) 32 0.4. 80
例15.一批产品中一、二、三等品各占 60%，3，0%，10%
抽取一件，求：发现不是三等品时，是一等品的概率？
记A=“取到正品”，B=“取到甲生产的产品”，
写出概率P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B)
解： P( A) 80 , P(B) 60 , P( AB) 50
100
100
人教版数学五年级上册教案-1.4《整数乘法运算定律推广到小数》
人教版数学五年级上册教案-1.4《整数乘法运算定律推广到小数》一、教学目标1.知识与技能：能够运用整数乘法运算定律推广到小数进行计算。
2.过程与方法：培养学生用逻辑推理方法解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真细致的学习态度。
二、教学重点与难点重点：整数乘法运算定律推广到小数的具体应用。
难点：将整数乘法运算定律灵活运用到小数的计算中。
三、教学准备1.教材：人教版数学五年级上册。
2.工具：黑板、彩色粉笔、小数乘法示例题。
3.教具：学生课本、学生练习册。
四、教学过程第一步：导入新知识1.引入新课题目，提出问题：“我们如何将整数乘法运算定律推广到小数的计算中？”2.让学生回顾整数乘法的计算步骤。
第二步：整数乘法运算定律推广到小数1.通过例题解释整数乘法运算定律在小数乘法中的应用。
2.让学生尝试用整数乘法运算定律计算小数乘法题目。
第三步：练习与巩固1.布置一定数量的小数乘法计算题目，让学生课上进行练习。
2.逐个检查学生的答案，进行讲解和订正错误。
第四步：拓展练习1.提供一些拓展练习题，让学生巩固所学知识。
2.引导学生思考小数乘法的实际应用场景。
五、课堂总结1.对整数乘法运算定律在小数乘法中的应用进行总结。
2.强调学生在解决小数乘法问题时要灵活运用所学知识。
六、作业布置1.布置适量的小数乘法计算题目作业。
2.提醒学生认真复习整数乘法运算定律推广到小数的知识点。
以上为本次课程内容，希望同学们能够认真学习，掌握小数乘法的相关知识。
概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义 设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
解 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明 因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
乘法公式
教学课题乘法公式教学目标1.能熟练地运用乘法公式进行计算；2.能正确的根据题目要求选择不同的乘法公式进行运算； 教学重难点重点：正确选择乘法公式进行运算；难点：综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算；一、复习(a+b)(a-b)=a 2-b 2；(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2；(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3；(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3；二、公式的变式（1）位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2（2）符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2（3）指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4（4）系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2（5）换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2（6）增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2（7）连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4（8）逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz运用一：基础练习例1：已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2：已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
《乘法结合律》
在金融计算中的应用
投资收益计算
在金融领域，乘法结合律被广泛应用于投资收益的计算。例 如，可以将投资金额乘以收益率再乘以投资时间来计算投资 收益。
保险费用计算
保险公司在计算保险费用时也会使用乘法结合律。例如，根 据保险金额和保险费率计算出应缴纳的保险费用。
在其他领域的应用和意义
物理科学
在物理科学中，乘法结合律被广泛应用于各种公式和定律的计算。例如，在计算力学量、能量、电荷 等物理量时，乘法结合律都是必不可少的。
影响最终结果。
乘法结合律的公式
乘法结合律可以用公式表示为 (a×b)×c=a×(b×c)，它表明当 三个数相乘时，可以先将任意两 个数相乘，再与第三个数相乘，
也可以将三个数依次相乘。
乘法 ，不同的计算顺序不会导致不同
的结果。
对学习乘法结合律的建议和方法
2. 分配律可逆性：乘法结合律可以看作是乘法分配律的 逆运算。
4. 单位元性质：任何数乘以单位元其结果仍为该数本身 。
1. 结合律不变性：改变乘数的排列顺序，其积不变。
3. 传递性：如果a、b和c都是非零实数，那么 (a×b)×c=a×(b×c)等价于a×b=b×a。
这些性质使得乘法结合律在数学中具有广泛的应用，例 如在简化复杂的数学表达式、解决实际问题以及证明其 他数学定理时，都会用到乘法结合律。
首先证明三个数相乘时，改变顺序后相乘 的结果一致；然后通过逐步推导，证明该 结论对于任何数都成立。
证明的具体过程
定义乘法
设a、b、c为任意整数，称 a×b×c为三数乘积。
分析乘法结合律
证明过程
结论
假设a×b×c为三数乘积，那么 根据乘法定义， a×b×c=(a×b)×c=(a×c)×b=( b×c)×a。
乘法公式
20.乘法公式作者德化一中颜墀策甲 内容提要1.乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用.公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式.公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右向左逆用（因式分解）.要记住一些重要的公式变形及其逆运算——除法等.2.基本公式就是最常用、最基础的公式，可以由此而推导出其它公式.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2m ab+b2)=a3±b3.3.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd.即：多项式的平方等于各项的平方和，加上每两项积的2倍.②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3，(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4，(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5，…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律.③由平方差、立方和（差）公式引申的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4，(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5，(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6，…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律.在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数⑴(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n，⑵(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1，类似地：⑶（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n.4.公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab；(a－b)2=(a+b)2－4ab.由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b).由公式的推广可知：当n为正整数时，a n－b n能被a－b整除；a2n+1+b2n+1能被a+b整除；a2n－b2n能被a+b及a－b整除.乙 例题例1.己知：x+y=a， xy=b .求：①x2+y2； ②x3+y3； ③x4+y4；④x5+y5.解：①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b；②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab；③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2；④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4)＝(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］＝a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］＝a5－5a3b+5ab2.例2.求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方.证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3.(a为整数)a(a+1)(a+2)(a+3)+1＝a(a+3)(a+1)(a+2)+1＝(a2+3a)(a2+3a+2)+1＝(a2+3a)2+2(a2+3a)+1＝(a2+3a+1)2.∵a是整数，整数的和、差、积、幂也是整数.∴a2+3a+1是整数.例3.求证：2222＋3111能被7整除.证明：2222＋3111＝( 22)111＋3111＝4111＋3111.∵a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4）∴4111＋3111能被 4＋3整除.∴2222＋3111能被7整除.例4.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律.解：∵(10a+5)2＝100a2+2×10a×5+25＝100a(a+1)+25.∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数的个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数的十位上数字a乘以(a+1)的积.例如：152＝225，幂的百位上的数字2＝1×2；252＝625，6＝2×3；352＝1225， 12＝3×4；……1052＝11025， 110＝10×11.丙 练习201.填空：①a2+b2＝(a+b)2－_____；②(a+b)2＝(a－b)2+___ ；③a3+b3＝(a+b)3－3ab(＿＿＿)；④a4+b4＝(a2+b2)2－_____ ；⑤a5+b5＝(a+b)(a4+b4)－_____ ； ⑥a5+b5＝(a2+b2)(a3+b3)－______.2.填空：①(x+y)(___________)＝x4－y4； ② (x－y)(__________)＝x4－y4；③(x+y)( ___________)＝x 5+y 5 ； ④（x －y ）(__________)＝x 5－y 5. 3. 计算：①552= ②652= ③752＝ ④852= ⑤952= ⑥1152＝4. 计算下列各题 ，你发现什么规律？①11×19＝ ②22×28＝ ③34×36＝ ④43×47＝ ⑤76×74＝ ⑥68×62＝ 5. 已知：x+x 1＝3, 求：①x 2+21x ； ②x 3+31x ；③x 4+41x的值. 6. 化简： ① (a －b)2(a+b)2 ；②(a+b)3(a 2－ab+b 2)3 ； ③(a －b)(a+b)3－2ab(a 2－b 2) ；④(a+b+c)(a+b －c)(a －b+c)(－a+b+c). 7. 己知：a+b ＝1, 求证：a 3+b 3－3ab ＝1. 8. 己知：a 2＝a+1，求：代数式a 5－5a+2的值. 9. 求证：233＋1能被9整除.10. 求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方. 11. 如图三个小圆的圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是a, b, c.①求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长；②求：大圆面积减去三个小圆面积和的差. 12. x 51+51除以x+1余数是什么？（ ）（A ）0；（B ）1； ( C) 49； (D) 50； (E)51. (美国中学数学竞赛试题) 13. 证明：993993＋991991能被1984整除. （1984年芜湖市初中数学竞赛试题） 14. 你能解释下列图形与所在代数式之间的关系吗？b ab a 22(a+b)(a+b+c)1+3+5+7=15. 设a＜b＜0，＝4ab，则22b a +ba ba −+的值为（ ） （A）3；（B）6；（C）2 ；（D）3. (2002年全国初中数学联赛题)。
乘法公式(题型扩展)
乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，xyyxx2y2② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4④ 系数变化，2ab2ab4a2b2⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz例1．已知，，求的值。
解：∵ ∴=∵， ∴=例2．已知，，求的值。
解：∵∴ ∴=∵， ∴例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）=19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。
〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2（a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x2-z2的值。
〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。
解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。
乘法公式推广及应用
乘法公式推广及应用乘法公式是数学中的一个重要概念，它展示了两个数相乘的结果。
乘法公式有很多不同的形式，比如普通乘法公式、分配律和因式分解等。
这些公式不仅在纯数学问题中有着广泛应用，还在实际生活、科学研究和工程技术等领域中起到了重要作用。
首先，我们来看看乘法公式的基本形式：a×b=c。
其中，a和b是被乘数，c是积。
这个公式表明，两个数相乘的结果是另一个数。
例如，2×3=6，表示2和3的乘积是6在实际生活中，乘法公式可以用于解决很多实际问题。
比如，假设一个商店每天卖出10个苹果，然后求30天内总共卖出的苹果数量。
根据乘法公式，我们可以将每天卖出的苹果数量10乘以30，即10×30=300。
所以，商店在30天内总共卖出的苹果数量是300个。
在科学研究中，乘法公式也经常被应用于各种实验和观测。
比如，当我们测量一个物体的体积时，可以将其长、宽和高相乘得到体积。
同样地，当我们测量一个物体的质量时，可以将它的密度乘以它的体积得到质量。
这些都是基于乘法公式的推广应用。
在工程技术中，乘法公式也扮演着重要的角色。
比如，在电路设计中，电压和电流的乘积等于功率。
这个公式可以帮助我们计算电路中的能量转化。
另外，根据牛顿第二定律，力和加速度的乘积等于物体的质量乘以物体的加速度，即F = ma。
这个公式是力学问题中经常使用的乘法公式。
除了基本的乘法公式，还有一些乘法的运算规律，如分配律和因式分解。
分配律表示乘法可以在加法或减法运算之前或之后进行。
比如，a×(b+c)等于a×b加a×c，这个公式在数学中经常被用到。
因式分解则是将一个复杂的表达式分解为多个乘法的积的形式。
这个技巧可以帮助我们简化复杂的计算过程。
比如，将x²+3x+2分解为(x+1)(x+2)的形式。
乘法公式的推广和应用不仅限于上述几个领域，还包括金融、统计学、几何学等。
在金融领域中，乘法公式可以用于计算利息、投资回报率和复合增长等问题。
概率乘法公式推广
一．概率乘法公式推广
条件概率乘法公式推广如下：
在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记为P ( A | B ).事件A和事件B同时发生的概率，记为P(AB)如何计算P ( A | B )呢？
P(A|B)=P(AB)/P(B)。
例1:从两个仓库运送同类易损坏物品若干件到某销售点，到达目的地后从来自这两个仓库的物品中随机抽查各100件，发现次品数分别为15件和9件。
现在从这200件产品中随机挑选一件，发现它来自仓库1，请问该产品是正品的概率是多少？
解：求P(A|B1)，从矩阵得知，已知来自仓库1的，假设为正品的概率为85/100 同时也可以验证一下公式，P(A|B1)=P(AB1)/P(B1),
P(AB1)，200件商品中，假设来自仓库1，同时假设又是正品的概率，
P(AB1)=85/200，
P(B1)，假设该物品来自仓库1的概率为100/200，
P(AB1)/P(B1)=85/100
再验证一下，P(A|B1)是否等于P(A)
P(A|B1)的条件概率含义，从200件商品中，来自仓库1的正品概率，85/100; P(A)的概率含义为，从200件商品中，假设为正品的概率，176/200;
条件概率公式：P(A|B)=P(AB)/P(B)
推导出的乘法公式：P(AB)=P(A|B)P(B)
多事件的乘法公式：
p(A1A2......An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)......P(An|A1A2......An-1)。
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乘法公式推廣及應用
一、乘法公式：
1、基礎應背的公式
(1)分配率：()()a b c d ac ad bc bd ++=+++
(2)和的平方：222()2a b a ab b +=++ (3)差的平方：222()2a b a ab b -=-+ (4)平方差：22()()a b a b a b -=+- 2、進階推廣：
(1)和的平方推廣：2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ (2)立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ (3)立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ (4)和的立方：333()3()a b a b ab a b +=+++ (5)差的立方：333()3()a b a b ab a b -=--- 3、應用：
(1)簡化計算 (2)幾何面積
例題一 簡化計算
利用乘法公式，求下列各式的值：
(1)250.8 (2)2159.5 (3)90.889.2⨯ (4)229312931921921-⨯⨯+
例題二 求值應用
1、已知5,4a b ab +==求： (1)22a b + (2)22232a ab b -+的值
2、已知5,24a b ab -==，求： (1)22a b + (2)a b +的值
(1)化簡22(2)(2)(1)(3)(3)(1)x x x x x x +-++-+---的結果。
(2)利用(1)的結果，計算22848083857981⨯+-⨯-
二、因式分解：
1、各項提公因式法；
2、分組再分解；
3、利用乘法公式因式分解。
4、利用十字交乘法因式分解。
例一 各項題公因式法 (1)2(1)33x x -+-
(2)2(1)(37)(1)x x x ---- (3)2(5)(204)x x x ---
例二 分組分解 (1)3227931x x x -+- (2)322510x x x +-- (3)3(32)(61)x x x ---
(1)22(31)(3)x x --+
(2)2966121x x -+
(3)22(21)6(21)(2)9(2)x x x x +++-+- (4)2244x y x -++
例四 利用十字交乘法因式分解 (1)215228x x ++ (3)23116x x -+ (5)25176x x -+ (2)2712x x ++ (4)262x x +- (6)2294x x ++
一元二次方程式
一、意義：當一個方程式只含有一個未知數，且這方程式最高的次數為2次時，
我們稱這方程式為一元二次方程式。
二、一元二次的標準型式：20ax bx c ++=
三、一元二次方程式的解：將一個數字代入一元二次方程式中，能讓等號左右的
結果相等，則此數稱為一元二次方程式的解或根。
四、利用因式分解求二元一次方程式的解。
例題一 解一元二次方程式 (1)2230x x -=
(2)2490x -=
(5)2915360x x -+=
(7)218770x x -+= (3)2162490x x -+=
(4)2251010x x ++=
(6)2(3)54(1)x x +-=+
(8)2200x x +-=
五、利用配方法求二元一次方程式的解。
依題目選擇使用和的平方公式與差的平方公式。
六、一元二次方程式的係數與兩根之和、兩根之積的關係： 若一元二次方程式為20ax bx c ++=，其兩根分別為,αβ
則b a
c a αβαβ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪⋅=
⎪⎩
七、利用公式解求一元二次方程式的解： 若一元二次方程式為20ax bx c ++=
則x =。