矩阵秩的研究与应用毕业论文
线性代数中矩阵的秩的应用探讨
坚
有 ｒ ＋ｌ阶子式 （ 若存在 ） 全等于 ０ ， 那 么称 Ｄ为矩 阵 Ａ 的最 高阶非零子式 ， 数 ｒ 称 为矩阵 Ａ的秩 ， 记作 Ｒ （ Ａ） ． 并规定 零 矩 阵的秩等于 ０ ． 显然矩 阵 Ａ 的秩 Ｒ（ Ａ） 就是 Ａ 中不 等于 ０
的子式的最高阶数． 下 面 给 出矩 阵 的秩 的一 组 等价 描述 ．
高 教 视 野
穆 ｜
辑
线性代数 雉降 秩 庶 探 谶
◎王桂 英 （ 青 海广播 电视 大 学， 青海 西宁 ８ １ ０ ０ ０ ８ ）
现代科 学技 术的迅猛发展 ， 计算机 的广泛使 用 ， 使经 济
学理论 与数 学的结合 日益紧 密 ， 线 性代 数在 人们 的生 产 生
活 中显 得 越 来 越 重 要 ， 成 为经 济 类 、 理工类学 生学 习的重要
课 程． 线性代数 与线 性方 程组 的求解 密不可分 ． 矩 阵是研 究 线性代 数中各类 问题 的载体 ， 是 研究线 性方 程组 的 一个 重 要概念 ． 矩 阵的秩 义是矩 阵研 究 的核 心 ， 是研 究线性 代数 问
这 就为学生学习线 性代 数 的知识带 来 困难 ， 对 矩 阵 的 秩 的
一 ｓ Ａ
一
应用难 以掌握 ， 矩 阵的秩 成了学习线性代数的重点 和难 点．
一
、
矩 阵 的 秩 的 定 义 及 等 价 定 义
定义
设矩阵 Ａ 中有一个不等于 ０的 ｒ 阶子 Ａ 一 Ａ
口 １
＋ Ａ
口
目 ： ： 一 Ａ － 。 ａ ＋ Ａ 一 Ａ ３ － Ａ ＋ Ａ 目 ‘
命题 １ 设 Ａ为 ｍ×ｎ矩阵 ， 则 下面各结论等价 ：
矩阵的秩及其应用
山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用杨敏娜姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学11510102班级学号**********指导教师王栋答辩日期成绩矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。
通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。
论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。
第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。
第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。
在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。
最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。
本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。
【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何The Rank of Matrix and the Application of the Rank ofMatrixAbstractThe matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations.First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space.This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples.【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry目录一、引言 (01)二、矩阵的秩 (01)(一)矩阵的秩的定义 (01)(二)矩阵的秩的一般性质及求法 (01)（三）求抽象矩阵的秩 (02)三、矩阵的秩的应用 (03)(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 (03)(二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用 (04)(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 (07)(四)矩阵的秩在特征值方面的应用 (07)(五)矩阵的秩在其他方面的应用 (08)四、小结 (09)参考文献 (10)致谢 (11)矩阵的秩及其应用学生姓名：杨敏娜 指导老师：王栋一、引言矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵的秩作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。
【方案】矩阵的秩及其应用.doc
山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用姓名杨敏娜院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级11510102学号1151010240指导教师王栋答辩日期成绩矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。
通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。
论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。
第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。
第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。
在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。
最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。
本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。
【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何The Rank of Matrix and the Application of the Rank ofMatrixAbstractThe matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations.First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space.This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples.【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry目录一、引言 (01)二、矩阵的秩 (01)(一)矩阵的秩的定义 (01)(二)矩阵的秩的一般性质及求法 (01)（三）求抽象矩阵的秩 (02)三、矩阵的秩的应用 (03)(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 (03)(二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用 (04)(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 (07)(四)矩阵的秩在特征值方面的应用 (07)(五)矩阵的秩在其他方面的应用 (08)四、小结 (09)参考文献 (10)致谢 (11)矩阵的秩及其应用学生姓名：杨敏娜 指导老师：王栋一、引言矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵的秩作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。
矩阵及秩的应用论文
矩阵及秩的应用论文矩阵及秩是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个学科领域。
在本文中，我将介绍几篇应用矩阵及秩的论文，并讨论它们在不同领域中的应用。
第一篇论文是《基于矩阵分解的推荐系统》。
推荐系统是现代互联网应用中的重要组成部分，用于给用户推荐个性化的内容。
该论文通过应用矩阵分解的方法，将用户-物品评分矩阵分解为两个低秩矩阵，从而实现对用户兴趣和物品特征的建模。
矩阵的秩较低意味着模型具有较好的泛化能力，能够在数据稀疏的情况下有效地进行预测，提高推荐准确度。
第二篇论文是《利用秩约束的图像修复方法》。
图像修复在计算机视觉领域中具有重要意义，用于修复受损的图像。
该论文利用矩阵的秩约束，将问题转化为一个低秩矩阵恢复问题。
通过求解最小秩恢复问题，可以在保持图像结构信息的前提下，还原受损的图像内容。
实验结果表明，该方法在图像修复任务中具有较好的效果。
第三篇论文是《基于矩阵分析的脑电信号分类方法》。
脑电信号是在脑部神经元活动产生的电流作用下测得的电生理信号，用于研究脑部功能和神经相关性。
该论文应用矩阵分析方法，将脑电信号分解为若干个矩阵成分，并利用矩阵的秩特性提取脑电信号的特征。
基于这些特征，可以实现对脑电信号的分类和识别，辅助脑部疾病的诊断和治疗。
第四篇论文是《基于大规模矩阵分解的社交网络分析方法》。
社交网络是人们之间相互联系和交互的网络结构，具有复杂的拓扑结构和丰富的节点属性。
该论文利用矩阵分解方法，将社交网络转化为低秩矩阵的表示，从而揭示其隐藏的结构和关系。
通过矩阵的秩特性，可以实现社交网络的社区发现、节点分类和链接预测等任务，为社交网络分析提供了有力的工具。
以上这些论文只是矩阵及秩应用的冰山一角，实际上，矩阵及秩在数据挖掘、图像处理、模式识别等许多领域都有重要应用。
矩阵的秩在这些应用中起到了关键的作用，它能够帮助我们理解和描述数据的结构、关系和特征，从而实现对数据的分析和处理。
随着技术的不断发展和研究的深入，矩阵及秩的应用还将不断扩展和拓展，为各个学科领域的研究和应用带来新的突破和进展。
矩阵秩的研究与应用毕业论文
百度文库-让每个人平等地提升自我3 矩阵秩的研究与应用[摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。
矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。
而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。
它反映矩阵固有特性的一个重要概念。
矩阵一旦确定秩也就确定了。
它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。
本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。
后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。
这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。
[1][2][3][关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。
百度文库-让每个人平等地提升自我4 矩阵秩的研究与应用1 前言矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。
更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。
矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。
如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。
理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。
矩阵的秩 学年论文
学院数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级2009级姓名张晓函论文题目矩阵的秩指导教师彭玉成职称讲师成绩2009年5月25日学年论文成绩评定表目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)引言 (1)1预备知识 (1)2矩阵的秩的性质 (2)3矩阵秩的计算 (4)4矩阵秩的应用 (8)5结束语 (9)参考文献 (9)矩阵的秩学生姓名：张晓函学号：20095034048数学与信息科学学院信息与计算科学系指导教师：彭玉成职称：讲师摘要：本文是关于求一个数字矩阵的秩的方法的初步探究.归纳总结了求矩阵秩的常用方法.关键词：矩阵；初等变换；子式；极大线性无关组Matrix rankAbstract:This article is about for a digital matrix rank of the preliminary inquiry method. Summarizes the commonly used method of matrix rankKeywords: matrix,elementary transformation, son,great linearly independent groups前言矩阵是贯穿线性代数的一块重要内容．而对矩阵秩的探究是我们学习矩阵的一个重要部分.也是我们判断线性方程组解的情形的重要手段．下面就来具体讨论、探究数字矩阵秩的求解方法.1．预备知识定义1.1：矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为A的秩.记作()r A定义1.2：矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩.矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点定义1.3：在一个s n上的2k个元素按原来的次序所组成k级行列式，称为A的一个k级子式.定义1.4：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.2.矩阵的秩的性质1）现在我们来研究矩阵的秩具有哪些性质，从而利用这些性质求矩阵的秩。
几类与矩阵的秩有关的问题研究 毕业论文
几类与矩阵的秩有关的问题研究Study on several issue in relation to rank of matrix专业: ***作者:***指导老师: ***学院二○一一年摘要本文主要研究了有关矩阵的秩的几个问题, 包括向量组线性相关性、线性方程组、矩阵的秩有关运算、二次型等问题, 同时利用其相关性质和结论解决了硕士研究生考试中的一些问题.关键词: 矩阵的秩; 向量组线性相关性; 线性方程组; 二次型.AbstractThis paper mainly study some problem connected with rank of matrix such as linear relativity of vector set、linear equation set、arithmetic of rank of matrix and quadratic form. in the meantime, a number of question derived from Postgraduate Examination are answered.Keywords: rank of matrix; linear relativity of vector set; linear equation set; quadratic form.目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1 向量组线性相关性 (1)2 线性方程组 (3)3 矩阵的秩有关运算 (6)3.1 加法 (6)3.2 减法 (6)3.3 乘法 (7)4 二次型 (8)5 结束语 (15)参考文献 (16)0 引言高等代数课程是本专业基础课, 线性代数占有很大比重, 矩阵作为线性代数的重要工具, 把线性代数各章节贯串成为一个整体. 而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终, 其有关理论是高等代数课程中极重要的内容, 在判断矩阵是否可逆、判断向量组的线性相关性、判断线性方程组是否有解以及有多少解、求矩阵的特征值等方面都有着广泛的应用. 本文就几类与矩阵的秩有关的问题进行研究, 加深对矩阵本身及其相关知识的理解, 更好的掌握这门基础课程.定义 矩阵A ∈m n R ⨯的行向量组或列向量组的秩称为矩阵A 的秩, 记为()r A . 求矩阵的秩主要如下有三种方法:(1) 找出矩阵中非零子式的最高阶数, 该阶数即为矩阵的秩;(2) 标准形法, 求出矩阵的标准形, 主对角线上1的个数即为矩阵的秩;(3) 初等变换法, 对矩阵实施初等行变换, 将其变成行阶梯形矩阵后其中非零行的行数即为矩阵的秩.在这三种方法中, 第三种方法相对另外两种方法更为简便.1 向量组线性相关性设12(,,,),1,2,,i i i is a a a a i n ==.定义1.1 向量组12,,,n ααα线性相关⇔存在不全为零的数12,,n k k k , 使 1122n n k a k a k a ++=0. (1.1)向量组的秩即其极大线性无关组所含向量的个数, 若向量组所含向量个数与其秩相等, 则该向量组线性无关; 若所含向量个数大于秩, 则该向量组线性相关, 用求向量组秩的方法来判断向量组是否线性相关是常用的一种方法. 因矩阵的秩等于矩阵的列(行)秩, 列(行)秩即为列(行)向量组的秩, 向量组的相关性问题可转换为求矩阵的秩问题.设矩阵A =(12,,,n ααα), 则向量组12,,,n ααα线性相关⇔齐次线性方程组0AX =有非零解⇔()r A n <. (令X =()12,,,n x x x ', 则由(1.1)可得出); 同理可得出向量组12,,,n ααα线性无关⇔齐次线性方程组0AX =只有零解⇔()r A n =.若向量组12,,,n ααα线性无关, 那么在每个向量上添加r 分量所得到的s r +维的向量组1,(,,,,)i i is i s r b a a a +=, 1,2,,i n =也线性无关. 因0AX =即111212112122221122000n n n n s s ns n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ (1.2)只有零解, 故1112121121222211221,12,2,000n n n n s s ns n s r s r n s r n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++++=⎧⎪++=⎪⎪⎪⎨++=⎪⎪⎪++=⎪⎩也只有零解, 因此向量组12,,,n b b b 线性无关. 定理: 设12,,r a a a 与12,,s βββ两个向量组, 若向量组12,,r a a a 可由12,,s βββ线性表示, 且r >s , 则向量组12,,r a a a 必线性相关. 推论一: 任意m 个n 维向量组12,,,m a a a (m >n )线性相关. 因每个n 维向量都可以被n 维单位向量组12,,,n εεε线性表示, 又m >n , 由定理可知其线性相关.推论二: 向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示, 那么(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩. 因向量组(Ⅰ)的极大线性无关组12,,r a a a 也可由向量组(Ⅱ)的极大线性无关组12,,s βββ线性表示, 由定理可推出r ≤s , 即向量组(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩.推论三: 等价的向量组有相同的秩. 由推论二可轻易推出.例1. 已知向量1α=(1,0,1)', 2(0,1,1)α'=, 3(1,3,5)α'=不能由向量组1(1,,1)a β'=, 2(1,2,3)β'=, 3(1,3,5)β'=线性表示, 求a 并将123,,βββ由123,,ααα线性表出.解: 由推论一知向量组1231,,,βββα线性相关, 故存在不全为零的常数i k (1,,4i =)使112233410k k k k βββα+++=, 则40k =(否则1α可由123,,βββ线性表示, 与已知矛盾).故123,,βββ线性相关, 因此123|,,|βββ=11123135a =22a -=0, 所以1a =.因为(1231,,,αααβ)=101101311151⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→100201040011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,故112324βααα=+-, 显然2122βαα=+, 33a β=.例2. 设向量组1,,r u u 与向量组1,,s v v 等价, 且1,,r u u 线性无关. (1)说明1,,s v v 不一定线性无关; (2)找出1,,s v v 线性无关的充要条件, 并证明之.解: (1)由题意知向量组1,,r u u 与1,,,0r u u 等价, 但1,,,0r u u 显然线性相关. (2) 1,,s v v 线性无关的充要条件是s r =, 下面来证明: 必要性. 因向量组1,,r u u 的秩为r , 1,,s v v 的秩为s , 由推论三知s r =. 充分性. 根据推论三知向量组1,,s v v 的秩为r , 又s r =, 故1,,s v v 线性无关. 关于向量组线性相关性的问题, 可转化为线性方程组的有关问题, 可根据下面的相关内容来解答.2 线性方程组线性方程组问题是高等代数课程中极其重要的内容, 其常见的问题是方程组是否有解、有解的判定和解的个数以及如何求解.在高等代数课程中, 有一些简单的性质: 齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的行秩()r A 小于未知量个数n , 则它有非零解; 若其系数矩阵为n n ⨯矩阵A , 则其有非零解的充要条件是||A =0; 在非齐次线性方程组AX β=中, 若A 为m n ⨯矩阵, 则有解的充要条件是它的系数矩阵A 与增广矩阵A 有相同的秩r , 当r <n 时它有无穷组解; 当r n =时有唯一解. 若()()r A r A ≠, 则方程组AX β=无解.设A 为n 阶矩阵, 当非齐次线性方程组AX β=有唯一解时, 可用克拉默法则求出该解, 解为: 11,,n n d d x x d d ==, (其中||d A =, i d 为将||A 中第i 列换为β的n 阶行列式).解线性方程组AX β=的一般步骤为: 将增广矩阵A 通过初等变换化为阶梯形矩阵; 然后根据上面性质判断其是否有解, 若有解, 再求出通解(或一般解).有关线性方程组的一些重要结论:一、设齐次方程组0AX =与0BX =, 若0AX =的解都是0BX =的解, 则()r A ≥()r B .证明: 若0AX =只有零解, 则()r A =n ≥()r B ;若0AX =有非零解, 则()r A <n , 设0AX =的基础解系为12(),,,n r A εεε-, 0BX =的基础解系为12(),,,n r B ηηη-, 由题意知12(),,,n r A εεε-可由12(),,,n r B ηηη-线性表示, 由上推论二知n －()r A ≤n －()r B , 即()r A ≥()r B .二、若齐次方程组0AX =与0BX =同解, 则()r A =()r B .证明: 若0AX =只有零解, 则()r A =()r B =n ;若0AX =有非零解, 因0AX =与0BX =同解, 故基础解系所含解的个数相等, 即 n －()r A =n －()r B , 即()r A =()r B . (亦可根据结论一知()r A ≥()r B 且()r A ≤()r B 得出()r A =()r B ).三、设A , B 为n n ⨯矩阵. 若AB =0, 则()r A +()r B ≤n .证明: 因为AB =0, 所以B 的n 个列向量都是0AX =的解, 而0AX =的基础解系所含解的个数为n －()r A , 故()r B ≤n －()r A , 即()r A +()r B ≤n .例1. 已知齐次线性方程组○112312312323023500x x x x x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩和○2123212302(1)0x bx cx x b x c x ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩同解, 求,,a b c 的值. 解: 设方程组的系数矩阵分别为,A B , 由结论二知()()r A r B =, 又()3r B <, 故()3r A <, 所以||A =12323511a =2a -=0, 从而a =2. 此时A =123235112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→101011000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.故方程组○1的一个基础解系为(1,1,1)'--. 将其代入方程组○2中得 b =1, c =2或b =0, c =1.当b =1, c =2时, B =112213⎛⎫ ⎪⎝⎭→101011⎛⎫ ⎪⎝⎭, 故○1与○2同解. 当b =0, c =1时, B =101202⎛⎫ ⎪⎝⎭→101000⎛⎫ ⎪⎝⎭, 故○1与○2不同解. 综上可知a =2, b =0, c =1为所求.例2. 设齐次线性方程组121200n n ax bx bx bx bx ax +++=⎧⎪⎨⎪+++=⎩ 其中,a b 不为零, 1n >. 讨论,a b 为何值时, 方程组仅有零解、有无穷多组解? 在有无穷多组解时, 求出全部解, 并用基础解系表示.解: 方程组的系数行列式为||A =a b b a =1[(1)]()n a n b a b -+--.当a b ≠且(1)a n b ≠-时, 方程组仅有零解.当a b =时, 原方程组的同解方程组为10n x x ++=, 其基础解系为1(1,1,0,,0)α'=-, 2(1,0,1,,0)α'=-, , 1(1,0,0,,1)n α-'=-. 故方程组的解为1111n n X c c αα--=++(11,,n c c -为任意常数).当(1)a n b =-时, 有A =(1)(1)n b b b n b -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭→111100-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭, 原方程组的同解方程组为12n x x x ===. 其基础解系为(1,,1)β'=. 故方程组的解为X c β=(c 为任意常数).3 矩阵的秩有关运算3.1 加法两矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和, 即()r A B +≤()r A +()r B . 证明: 设12,,r a a a , 12,,s βββ分别为.A B 的列向量组的极大线性无关组, 则A +B 的列向量组可由向量组1212,,,,,r s a a a βββ线性表示, 由推论二知()r A B +≤r +s =()r A +()r B .例1. 设A 为n 阶矩阵, 且2A =A , 证明: ()r A +()r A E -=n . 证明: 因为()A A E -=2A -A =0, 由上结论三知()r A +()r A E -≤n . 又有()r A +()r A E -=()r A +()r E A -≥[]()r A E A +-=n . 所以()r A +()r A E -=n .例2. 设A 为n 阶矩阵, 且2A =E , 证明: ()r A E ++()r A E -=n . 证明: 因为()A E +()A E -=2A -E =0, 由上结论三知()r A E ++()r A E -≤n . 又有2A =E , 所以||A =±1, 从而()r A =n .而()r A E ++()r A E -≥[]()()r A E A E ++-=()r A . 即证.3.2 减法两矩阵差的秩不小于两矩阵秩的差, 即()r A B -≥()r A -()r B . 证明: 因为A =()A B B -+, 故()r A =[]()r A B B -+≤()r A B -+()r B , 即证.3.3 乘法定理3.1 矩阵乘积的秩不超过各因子的秩. 即()r AB ≤min [](),()r A r B . （其中A 为n m ⨯矩阵, B 为m s ⨯矩阵. )证明: 设A 的列向量组为12,,,m A A A , B 的行向量组为12,,,m B B B , AB 的行向量组为12,,,n C C C , 列向量组为12,,,s D D D . 则12,,,n C C C 可由12,,,m B B B 线性表示, 12,,,s D D D 可由12,,,m A A A 线性表示. 由上推论二知()r AB ≤()r A 且()r AB ≤()r B . 即()r AB ≤min [](),()r A r B . (亦可由上结论一证明: 考虑线性方程组0BX =与0ABX =, 因0BX =的解都是0ABX =的解, 故()r B ≥()r AB . 再考虑线性方程组0A X '=与0B A X ''=, 因0A X '=的解都是0B A X ''=的解, 故()r A '≥()r B A '', 即()r A ≥()r AB . 从而得证.)本结论可推广至多个矩阵的情形, 用数学归纳法证明.定理3.2 A 是s n ⨯矩阵, P 是s s ⨯可逆矩阵, Q 是n n ⨯可逆矩阵, 则()r A =()r PA =()r AQ =()r PAQ证明: 由定理 3.1知()r PA ≤()r A . 令B =PA , 则A =1P B -, 由定理 3.1知1()r P B -≤()r B , 即()r A ≤()r PA . 故()r A =()r PA . 同理可证明另两个等式.例1. 设A 为实矩阵, 证明()r AA '=()r A A '=()r A .证明: 考虑线性方程组0AX =与0A AX '=, 由0A AX '=可得()0AX AX '=, 从而0AX =, 即0A AX '=的解都是0AX =的解. 由上结论一知()r A A '≥()r A , 又()r A A '≤()r A . 故()r A A '=()r A . 用A '代替A 即可证明()r AA '=()r A .例2. 设A 为s n ⨯矩阵, B 为n m ⨯矩阵, 证明: ()r AB ≥()r A +()r B -n .证明: 根据定理3.2由0n s EA E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭0n EB A ⎛⎫⎪⎝⎭0nm E B E -⎛⎫ ⎪⎝⎭=00nE AB ⎛⎫⎪-⎝⎭可知0n E B r A ⎛⎫ ⎪⎝⎭=()n r E +()r AB -=n +()r AB , 又0nE B r A ⎛⎫⎪⎝⎭≥()r A +()r B , 故而 ()r AB ≥()r A +()r B -n . (0n s E A E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭、0nm E B E -⎛⎫⎪⎝⎭均可逆.)4 二次型二次型即二次齐次多项式, 它有着十分广泛的应用, 尤其是在解决二次曲线与二次曲面以及证明不等式方面有着显著的作用, 高等代数课程中的核心内容是将二次型化为标准型, 它在物理学、工程学、经济学等领域都有十分重要的作用, 常用的方法有: 配方法、初等变换法、正交变换法, 正定二次型也是要重点掌握的内容.二次型的几种表述: (1) 12(,,,)n f x x x =11nnij i j i j a x x ==∑∑;(2) 12(,,,)n f x x x =2221112222nn n ij i j i ja x a x a x a x x <+++∑;(3) 12(,,,)n f x x x =X AX '. 其中12(,,,)n X x x x '=, ()ij n n A a ⨯=且A A '=称A 为二次型f 的矩阵, 矩阵A 的秩有时就称为二次型f 的秩.定义 4.1 二次型12(,,,)n f x x x 经过非退化线性替换所变成的平方和称为12(,,,)n f x x x 的标准形.任意二次型总可以经非退化线性变换X CY =化为标准形, 而且还可以经过不同的非退化线性变换化为不同的标准形, 由于经过非退化线性替换, 二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵, 由上定理3.2可知合同的矩阵有相同的秩, 又标准型的矩阵是对角矩阵, 而对角矩阵的秩等于它对角线上不为零的元素个数, 故这些标准形中所含平方项的个数是相同的, 所含平方项的个数就等于二次型的秩.例1. 用非退化线性替换把二次型(,,)f x y z =22244422x y z xy xz ++++化成标准形. 解: 用配方法可得(,,)f x y z =4211()44x y z +++2151()415y z -+25615z .令123x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=1114410115001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x y z ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 则所做的非退化线性替换为 x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=14141510115001⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 故该二次型的标准形为(,,)f x y z =22212315564415x x x ++. 亦可用初等变换法求解, 先写出二次型f 对应的矩阵A , 然后对其作初等变换, 将其化成对角矩阵, 具体解法如下:[,]A E =411100140010104001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭→40110015110104441140014⎛⎫⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭→40010015110104441151001444⎛⎫⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭→4001001510010445641001151515⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭所作的非退化线性替换为x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=10011044111515'⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=14141510115001⎛⎫--⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 可得标准形为(,,)f x y z =22212315564415x x x ++.正交变换法: 此二次型的矩阵A =411140104, 对应的特征多项式为||E A λ-=2(4)(814)λλλ--+所以A 的特征值为1λ=4, 2λ=4, 3λ=4+由(4)0E A X -=解得特征值1λ对应的特征向量为1α=(0,1,1)'-.由[(4]0E A X -=解得特征值2λ对应的特征向量为2α=1,1)'--.由[(4]0E A X -=解得特征值3λ对应的特征向量为3α='. 由于123,,ααα已经是正交向量组, 因此只需将其单位化, 可得1η=', 2η=11,,)222'--, 3η=11,,)222'. 令矩阵C =123(,,)ηηη=022*******2⎛⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭则C 为正交矩阵. 且C AC '=400040004⎛⎫⎪- ⎪⎝.二次型(,,)f x y z 在正交变换X CY =下的标准形为f=2221234(4(4y y y ++.定义4.2 设二次型12(,,,)n f x x x 的标准形为2221122r r d y d y d y +++, 0i d ≠, 1,2,,i r =.可知二次型f 的秩为r . 则其可进一步作非退化线性替换就变成222211p p r z z z z +++--.称其为实二次型12(,,,)n f x x x 的规范形.在一般的数域内, 二次型的标准形不是唯一的(从上面例题可看出), 与所作的非退化线性替换有关, 但其规范形是唯一的. 在实二次型12(,,,)n f x x x 的规范形中的正平方项的个数p 称为12(,,,)n f x x x 的正惯性指数; 负平方项的个数r p -称为12(,,,)n f x x x 的负惯性指数; 它们的差2p r -称为12(,,,)n f x x x 的符号差.定义4.3 对于任意一组不全为零的实数12,,,n c c c , 若都有12(,,,)n f c c c >0(0≥),则12(,,,)n f x x x 称为正定的(半正定的); 若都有12(,,,)n f c c c <0(0≤), 则12(,,,)n f x x x 称为负定的(半负定的); 若12(,,,)n f x x x 既不半正定也不半负定, 则称是不定二次型.设实二次型12(,,,)n f x x x =X AX ', 其中A 是实对称矩阵, 则下面几个条件都是二次型12(,,,)n f x x x =X AX '为正定二次型的等价条件:(1) 对任意非零实向量C '=12(,,,)n c c c , 都有12(,,,)n f c c c =C AC '>0;(2) 二次型f 的正惯性指数等于n ;(3) 存在实可逆矩阵T , 使T AT '=1n d d ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 其中0i d >（1,2,,i n =）;(4) 存在实可逆矩阵B , 使A B B '=; (5) 矩阵A 的特征值全为正数; (6) 矩阵A 与单位矩阵E 合同; (7) 矩阵A 的顺序主子式全大于零. 下面简单证明一下:(1)C 为非零向量, 故12,,,n c c c 不全为零, 由定义可知二次型12(,,,)n f x x x =X AX '为正定二次型与12(,,,)n f c c c =C AC '>0等价.(2)设二次型12(,,,)n f x x x 经过非退化线性替换变成标准形2221122n n d y d y d y +++ (4.1)则12(,,,)n f x x x 正定当且仅当(4.1)式正定(非退化线性替换保持正定性不变), 而二次型(4.1)正定当且仅当0i d >, 1,2,,i n =, 即它的正惯性指数为n .(3)设(2)中非退化线性替换为X DY =, 则令T =D 即可.(4)取B=⎫⎪⎪ ⎝1T -即可. (5)⇒设A αλα=, 则0A ααλαα''=>, 故λ0>.⇐矩阵A 的特征值全为正数, 故二次型f 的正惯性指数等于n , 由(2)知f 正定.(6)由(4)及合同概念可得知. (7)先证必要性, 设二次型12(,,,)n f x x x =11n nij i j i j a x x ==∑∑是正定的. 对于每个k ,1k n ≤≤, 令1(,,)k k f x x =11kkij i j i j a x x ==∑∑, 对任意一组不全为零的实数12,,,k c c c , 有1(,,)k k f c c =11k kij i j i j a c c ==∑∑=1(,,,0,,0)k f c c 0>因此1(,,)k k f x x 是正定的. 因正定矩阵的行列式大于零(由(4)可得知), 故k f 的矩阵的行列式1111kk kka a a a >0, 1,2,,k n =.即矩阵A 的顺序主子式全大于零.至于充分性, 可用数学归纳法证明. 例2. 设二次型12(,,,)n f x x x =211(1)2ni i i j i i j nb x x x =≤<≤-+∑∑的矩阵为B , 其中0i b >(1,2,,i n =), 1110ni ib =->∑, 则()X B A A X ''-是正定二次型? 还是负定? 还是不定? 其中A 是任意可逆实矩阵.解: 由题意知B =12111111111n b b b -⎛⎫⎪-⎪⎪⎪-⎝⎭, 设k p 为B 的k 阶顺序主子式, 可求得k p =111(1)(1)kkk i ib b b =--∑. 故 ⎩⎨⎧<>为奇数为偶数k k k k ,0p ,0p , 所以B 是负定矩阵. 又A 是可逆实矩阵, 而A A '是实对称矩阵, 由(4)知A A '正定. 故A A '-负定, 由于两负定矩阵之和为负定矩阵. 所以()X B A A X ''-是负定二次型.例3. 设实对称矩阵A 的特征值全大于a , 实对称矩阵的特征值全大于b , 证明:A B +的特征值全大于a b +.证明: 由题意知A aE -的特征值全大于零, 故A aE -正定; 同理可知B bE -也正定, 从而A aE -+(B bE -)=()A B a b E +-+是正定矩阵. 故其特征值全为正数, 即A B +的特征值全大于a b +.高等代数课程中对正定二次型的描述较详细, 但对半正定二次型只提到一条定理, 且未给予证明, 下面对其证明, 定理内容如下:对实二次型12(,,,)n f x x x =X AX '(A 是实对称矩阵), 下列条件等价:(1) 12(,,,)n f x x x 是半正定的;(2) 它的正惯性指数与秩相等;(3) 存在实可逆矩阵C 使C AC '=1n d d ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 其中0i d ≥, 1,2,,i n =;(4) 存在实矩阵C 使A C C '=; (5) A 的所有主子式都不小于零. 证明: (1)⇔(2)设12(,,,)n f x x x 的规范形为222211p p r z z z z +++--. r 为二次型的秩, 12(,,,)n f x x x 半正定⇔p r =, 即它的正惯性指数与秩相等.(1)⇔(3)与正定二次型的性质(3)证明类似.(1)⇔(4)取C=⎫⎪⎪ ⎝1T -符合条件, 其中T 为(3)中的矩阵C . (1)⇔(5)先证必要性. 取A 的任意一个m 阶主子式所对应的矩阵m A =1111mm m mi i i i i i i i a a a a , 其对应的二次型为s ks k i i i i ax x ∑. 令i x =0(1,,m i i i ≠), 代入,10nij i j i j a x x =≥∑得s k s k i i i i a x x ∑0≥. 故存在非退化矩阵m T 使m m m T A T '=1m d d ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭, 其中0(1,,)i d i m ≥=. 故||0(1,,)m A m n ≥=充分性. 设A 的第m 个顺序主子式对应的矩阵为m A =1111m m mm a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(1,,)m n =作||m m E A λ+=111212122212m mm m mma a a a a a a a a λλλ+++, 由行列式性质有||m m E A λ+=11m m m p p λλ-+++(其中i p 是m A 中一切i 阶主子式的和).由题意知i p ≥0. 故当λ>0时, 有||m m E A λ+0>. 即λ>0时, m m E A λ+是正定矩阵. 若A 不是半正定矩阵, 则存在非零向量C , 使C AC '0<. 令C ACC Cλ'=-', 则λ0>且()0C E A C λ'+=, 与λ>0时, m m E A λ+是正定矩阵矛盾, 故A 是半正定矩阵.例4. 证明: 二次型12(,,,)n f x x x =2211()n ni i i i n x x ==-∑∑是半正定的.证明: 12(,,,)n f x x x 的矩阵为A =1111n n ⎛⎫-⎪⎪ ⎪-⎝⎭--, 可求得||A =0且A 的i 阶主子式为1()0i n i n -->, (1,,1i n =-), 由上证明知是12(,,,)n f x x x 是半正定的. 当12(,,,)n f x x x 是负定(半负定)二次型时, 12(,,,)n f x x x -就是正定(半正定)的.因此有关负定和半负定二次型的性质在此不再叙述.5 结束语与矩阵的秩有关问题是高等代数课程中极为重要的内容, 每年考研试题中不少题会涉及, 上面例题均选自不同学校的历年考研题, 由于矩阵的秩知识面涉及广泛, 欲通过一篇论文对其全面研究是很难的, 本文只对矩阵的秩有关问题作部分研究, 但相信通过本文加深对矩阵的秩及其相关问题的理解, 对更好的掌握高等代数这门课程有一定的帮助.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[2] 李志慧, 李永明. 高等代数中的典型问题与方法[M]. 北京: 科学出版社, 2008.[3] 刘丁酉. 高等代数习题精解[M]. 北京: 中国科学技术大学出版社, 2006.[4] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京: 中央名族大学出版社, 2002.[5] 杨子胥. 高等代数精选题解[M]. 北京: 高等教育出版社, 2008.[6]苏芳, 徐湛, 成礼智. 矩阵的秩在线性代数中的应用[J]. 科技创新导报, NO. 27(2010), 205.[7] 张凯. 齐次线性方程组的解与矩阵的秩[J]. 武钢大学学报, 3(1998), 76-78.[8] 贾美娥. 矩阵的秩与运算的关系[J]. 赤峰学院学报(自然科学版), 26: 9(2010), 3-4.[9] 邵逸民. 试论矩阵运算中秩的不等式问题[J]. 苏州教育学院学报, 20:3(2003), 73-75.[10] 王继成. 半正定二次型的性质及应用[J]. 绥化师专学报, 24: 2(2004), 3-4.[11] David C. Lay. Linear Algebra and its application (second edition)[M]. Addison-Wesley Publishing Company, 2000.[12] George Matsaglia, George P. H. Styan. Equalities and Inequalities for Ranks of Matrices[M]. Taylor & Francis, 1974.。
矩阵的秩及其应用
矩阵的秩及其应用嘿，朋友！想象一下你走进了一个充满神秘数字和符号的奇妙世界，那里有一个叫矩阵的家伙，而矩阵还有一个很重要的属性，叫做秩。
这秩啊，就像是矩阵的“身份证号码”，能告诉我们很多关于它的秘密。
先来说说矩阵是啥吧。
比如说，你和你的小伙伴们一起参加一场团队游戏，每个人的得分记录下来，排成一个整齐的数字表格，这就有点像矩阵啦。
那矩阵的秩又是什么呢？咱们来打个比方。
把矩阵想象成一个班级，里面的数字就是同学们。
秩呢，就好比是这个班级里真正能“挑大梁”、发挥关键作用的同学的数量。
如果秩比较大，那就意味着这个班级里能干实事的同学多；要是秩比较小，可能就得好好想想办法，提升一下团队实力了。
在日常生活中，矩阵的秩也有大用处呢！比如说，建筑师在设计大楼的时候，各种结构的数据就可以组成矩阵。
通过分析矩阵的秩，就能知道这个设计是不是稳定可靠，能不能经受住风吹雨打。
这就好像是给大楼做了一次全面的“体检”，是不是很神奇？再想想，工程师们设计电路的时候，那些复杂的电流、电压等参数，也能组成矩阵。
矩阵的秩就能帮助他们判断电路是不是能正常工作，会不会出现短路或者其他故障。
这秩就像是电路世界里的“侦探”，能找出隐藏的问题。
还记得你为了减肥制定的运动计划吗？每天跑步的时间、做瑜伽的时长、跳绳的次数等等，这些也能组成一个矩阵。
而矩阵的秩能告诉你这个计划是不是合理，能不能有效地帮你甩掉赘肉。
我曾经有个朋友，他特别喜欢摄影。
每次拍照，他都会研究光线、角度、焦距等各种参数，这些参数组成的矩阵，通过分析秩，他就能知道怎么拍出更完美的照片。
这秩就像是他摄影路上的“引路人”，指引他走向艺术的高峰。
在学习数学的时候，矩阵的秩更是帮了大忙。
它能帮助我们判断方程组有没有解，有几个解。
这就像是在数学的迷宫里找到了一把万能钥匙，能打开各种难题的大门。
你说，这矩阵的秩是不是特别神奇？它就像一个隐藏在数字世界里的小精灵，虽然有时候不太容易被发现，但一旦被我们抓住，就能发挥出巨大的作用。
矩阵秩的研究与应用
矩阵秩的研究与应用.doc矩阵秩是线性代数中的重要概念，它描述了矩阵所代表的线性方程组中线性无关的方程个数，也可以理解为矩阵列向量的线性无关个数。
在实际应用中，矩阵秩有着广泛的应用，例如解线性方程组、求解线性变换的性质、压缩数据、识别图像等方面。
1. 解线性方程组线性方程组的求解是矩阵秩应用最为广泛的领域之一。
一个m×n的矩阵A表示一个有m个方程、n个未知数的线性方程组，如果这个矩阵的秩rank(A)等于n，则方程组有唯一解；如果rank(A)<n，方程组有无穷多解；如果rank(A)<m，方程组无解。
例如线性方程组2x + 3y + z = -1x - y + 2z = 73x - y + kz = 0其增广矩阵为$$\begin{bmatrix}2 &3 & 1 & -1 \\1 & -1 &2 & 7 \\3 & -1 & k & 0 \\\end{bmatrix}$$对其进行行变换，得到$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 7-k \\0 & 1 & 0 & -4 \\0 & 0 & 1 & 3k-3 \\\end{bmatrix}$$可以看出，当k≠1时，方程组有唯一解；当k=1时，方程组有无穷多解。
2. 求解线性变换的性质线性变换是线性代数中的重要概念，它描述了一个向量空间中任意两个向量之间的关系。
对于一个n维向量空间V，由线性变换T所产生的变换矩阵A是一个n×n的矩阵，可以用矩阵乘法的形式计算。
矩阵A的秩可以用来判断T的性质。
例如，如果矩阵A的秩为n，则T是一个满秩线性变换，它将V映射为一个n维的向量空间，保留了V的所有维度；如果矩阵A的秩小于n，则T 是一个非满秩线性变换，它将V映射到低维向量空间中。
矩阵的秩及其应用本科学位
编号2016010109 研究类型理论研究分类号 013湖北师范大学文理学院学士学位论文论文题目：矩阵的秩及其应用作者姓名周国梁指导老师刘伟明所在院系文理学院专业名称数学与应用数学完成时间2016年4月25日学士学位论文（设计）诚信承诺书中文题目：矩阵的秩及其应用外文题目：The rank of Matrix and its application学生姓名周国梁学生学号2012311010109院系专业文理学院数学与应用数学学生班级1201学生承诺我承诺在学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。
如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。
学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。
指导教师（签名）：年月日矩阵的秩及其应用周国梁（指导教师：刘伟明）（湖北师范大学数学与统计学院中国黄石 435000)摘要：矩阵的秩是线性代数中的一个重要研究工具盒研究对象，以矩阵的秩作为主要的研究对象，分析了矩阵的秩再线性代数中的一部分常见应用与方法，对于学习和掌握线性代数有一定的帮助，进而加深对矩阵的秩的理解，能灵活运用解决相关问题；通过分析初等变换求矩阵的秩、利用初等变换求矩阵的秩与高斯消元法解线性方程组，向量组的线性表示，向量组的线性相关性的相通性原理，将初等变换求秩应用在以上方面，既解决了三个问题的求解判断，更将知识融会贯通，精密联系在一起，为以后相关知识的学习奠定基础。
关键词: 矩阵的秩；线性方程组；线性相关。
中图分类号:O13The rank of Matrix and its application周国梁（指导教师：刘伟明）（湖北师范大学数学与统计学院中国黄石 435000) Abstract：Matrix rank is an important research tool box of linear algebra research object, by matrix rank as the main research object, analyzes the rank of matrix and a part of the common application and the method of linear algebra for learning and mastering the linear algebra has certain help, to deepen the understanding of matrix rank, can apply to solve related problems;By analyzing the elementary transformation of matrix rank, using elementary transformation of matrix rank and gauss elimination method of solving linear equations linear representation of vector group, vector linear correlation principle of phase connectivity, the application of elementary transformation and rank in the above aspects, both the solution to solve the problem of the three judgments, more knowledge to achieve mastery through a comprehensive, precise, lay a foundation for later related knowledge of learning.Keywords: Matrix rank; System of linear equations; Linear correlation.目录1. 引言 (1)2. 秩的概念及其等价描述 (1)2.1 秩的概念 (1)2.2 矩阵秩的等价描述 (1)3. 秩在线性代数中的应用 (5)3.1 在求解线性方程组中的应用 (5)3.2 在特征值中的应用 (8)3.3 在判别线性相关中的应用 (8)3.4 在判断二次型的正定中的作用 (9)4 参考文献 (10)矩阵的秩及其应用周国梁（指导教师：刘伟明 ）（湖北师范大学数学与统计学院 中国 黄石 435000)1. 引言矩阵是研究线性代数各类问题的载体，矩阵的秩即为研究问题的“试金石”。
矩阵的秩及其应用
矩阵的秩及其应用矩阵的秩的及其应用摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。
首先是在解线性方程组中的应用，在多项式中的应用；其次是在二次型中的应用，最后是关于矩阵的秩在几何中的应用。
关键词：矩阵的秩；线性方程组；特征值；多项式；二次型一：引言矩阵的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。
它是矩阵的一个重要性质，它将矩阵的本质展现出来。
在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。
二：矩阵的秩的定义及其性质(1)定义1 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。
定义 2 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 在我们的课本上矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这其实是矩阵的秩的行列式定义。
(2)性质及变化规律(1)转置后秩不变(2)初等变换不改变矩阵的秩;(3)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵(4)r(kA)=r(A),k不等于0(5)r(A)=0 <=> A=0(6)r(A+B)<=r(A)+r(B)(7)r(AB)<=min(r(A),r(B))(8)r(A)+r(B)-n<=r(AB)注：这里的n指的是A的列数。
这里假定A是m×n 阶矩阵。
特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n(8)P,Q为可逆矩阵, 则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)三：矩阵的秩的应用(1)解线性方程组(线性方程组可解的判定方法)对一个线性方程组来说，其可以表示成AX=B的形式，A为线性方程组的系数矩阵，设其增广矩阵为A则有方程组AX=B无解当且仅当R(A)<r(a);< p="">方程组AX=B有唯一解当且仅当R(A)=R(A)=n;方程组AX=B有无穷多解当且仅当R(A)=R(A)<n;< p="">例如讨论齐次线性方程组=-+--=+--+=---+=-++-023055570202x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解的情况解对上面方程组的系数矩阵做初等行变换，得-----------11213555711111211121→ ??------04150009601335021121→----1121000112000032021121可知R(A)=4<5.因此齐次线性方程组有非零解.此时，方程组中四个方程都是有效方方程(2)讨论向量组的相关性向量组的秩既该向量组极大无关组所含向量的个数，而向量组本身所含的向量的个数与秩相等，则该向量组线性无关，所含向量个数大于秩，则该向量组线性相关，这个性质常常用来判断向量组是否线性相关。
矩阵的秩及其应用
35 赤子矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
成书于西汉末、东汉初的《九章算术》用分离系数法表示线性方程组，自然地得到了其增广矩阵。
在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。
但当时并没有现在理解的矩阵概念，虽然它与现在的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。
矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。
1801年，德国数学家高斯把一个线性变换的全部系数作为一个整体。
1844年，德国数学家艾森斯坦讨论了“变换”（矩阵）极其乘积。
1850年，英国数学家西尔维斯特首先使用了矩阵一词。
1858年，英国数学家凯莱发表了《关于矩阵理论的研究报告》。
.他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究。
并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者。
1879年，费罗贝尼乌斯引入了矩阵的秩的概念，在矩阵论的发展史上，他的贡献是不可磨灭的。
在东北师范大学贺昌亭和汪经武等人分别编写的《高等代数》中对矩阵的秩的概念及计算都有介绍。
因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。
矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和列数相等也可以不等。
作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。
1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了行列式论。
1850年，加布里尔·西尔维斯特首先创出m at r i x 一词。
西尔维斯特开创了美国的纯数学研究，并创办了《美国数学杂志》。
矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。
利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。
在北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编写的《高等代数》第三版中，就利用矩阵的秩来解决线性方程组是否有解，及解的个数。
矩阵秩论文
矩阵的秩的一些结论的证明摘要矩阵是高等代数中主要的一个研究对象,它贯穿着整个高等代数的内容,而矩阵的秩作为矩阵最主要的特征,研究它的结论和性质就变得尤其重要.本文主要从矩阵的秩的结论和矩阵的秩的应用两方面介绍了矩阵的秩,并对矩阵的秩的大量性质进行了研究、证明及应用.其中包括矩阵的秩的求解和矩阵的秩的一些不等式,而且还涉及到了矩阵的秩在求解方程组和向量相关问题上的应用.关键词：矩阵的秩；矩阵的秩的定义；矩阵的秩的结论；矩阵的秩的应用The Conclusion of the Matrix rank’s proofAbstractMatrix is an object in the Advanced Algebra to be studied, which runs through the whole content of the Advanced Algebra, however, the rank of matrix as its main characteristics. The conclusions and the nature’s study become such an important part. The paper is divided into two parts to introduce the matrix, which are the conclusions and the application of the rank. At the same time, the nature of the rank has been studied, proved and used in the paper. Among the applications, including the solution to the rank and some inequality, the paper also includes the application of rank about solving the equations and questions of the vector correlation.Keywords: the rank of the matrix; the definition of the rank; the conclusion of the rank; the applications of the rank.目录引言............................................................................................................................................... - 1 -1.矩阵的秩的两种定义 ............................................................................................................ - 2 -2.引理....................................................................................................................................... - 2 -3.矩阵的秩的一些结论及其证明 ............................................................................................. - 4 -命题1 (4)命题2 (5)命题3 (6)命题4 (6)命题5 (7)命题6 (8)命题7 (9)命题8 (9)命题9 (10)命题10（F ROBENIUS不等式） (10)命题11 (11)命题12 (11)命题13 (12)命题14 (13)3.15命题15 (13)命题16 (14)命题17 (15)3.18命题18 (16)4.矩阵的秩的一些结论的应用............................................................................................... - 17 -总结............................................................................................................................................. - 21 -致谢............................................................................................................................................. - 22 -参考文献 ..................................................................................................................................... - 23 -引言矩阵的秩是高等数学中一个极其重要并广泛应用的概念,是高等代数的一个重要研究对象.因此,矩阵的秩的结论作为高等代数的一个重要工具已经渗透到各章节内容之中,它把高等代数的内容紧紧联系在一起,矩阵的秩作为矩阵的一个重要的本质属性则贯穿矩阵理论的始终.所以对于矩阵的秩的研究不仅能够帮助我们更好的学习矩阵,而且他是我们学习好高等代数各章节的有力保障.矩阵A中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵A的矩阵的秩,记为)rank或矩阵的秩)(A.从定义上看, 一个矩阵的秩, 就是一(A个数.事实上,若将矩阵A的每一行看成一个向量,每一列看成一个向量,则行向量组和列向量组中极大无关组中向量的个数是相等的,数量上等与矩阵的秩.若)n)n(mrank≤=,(A)(n(mmrank≤A=,则称A为行满秩的矩阵；若)则称A为列满秩矩阵.n阶方阵的秩等于n时称A为满秩矩阵或可逆矩阵.1. 矩阵的秩的两种定义矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念,秩是矩阵的一个非常重要的数值特征,是由F.G.Frobenius(1877)提出的.定义1设A 是任意矩阵.若O =A 则说A 的秩为0；若O ≠A 则A 的非零子式的最高阶数就称为A 的秩,记为秩A .定义2设在矩阵A 中有一个不等于O 的r 阶子式D ,则所有1+r 阶子式（如果存在的话）全等于O ,那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式,数r 称为矩阵A 的秩,记作)(A r .并规定零矩阵的秩等于0.2. 引理2.1引理1 A 、B 分别为n m ⨯和s t ⨯矩阵,则)()()(B r A r B A r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O 恒成立.[]1证明：设存在可逆矩阵1P ,2P ,1Q ,2Q 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡OO =⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O ⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O ⎥⎦⎤⎢⎣⎡P O O P s r D D Q Q B A 2121, 其中r D 、s D 分别是由r 个和s 个线性无关的单位向量组成,且[]TrD O 与[]Ts D O是线性无关的向量组,所以s r B r A r D D r s r +=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡OO )()()(,因此得出)()()(B r A r B A r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O .引理1中通过分块矩阵构建了秩与两个模块矩阵秩的和相等的矩阵,可以直观方便的通过分块矩阵运算来实现某些性质的证明,有效的简化了证明路径,为以下命题的证明即提供了一种方法,又提供了相应的结论.A 、B 分别为n m ⨯和s t ⨯矩阵,则)()()(B r A r BC A r +≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡O 成立. 证明：由引理1得)()()(B r A r B A r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O , 因为)()(A r C A r ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡, 所以)()()(B r A r B C A r +≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡O .且当)()(A r C A r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡时,)()()(B r A r B C A r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O . 如上证明对引理1做了补充和扩展,对于便于分块的矩阵的秩的确定提供了方法.存在n 阶矩阵A ,T i x x x x ),(21 =为0=Ax 解向量的极大无关组,则n x r A r =+)()(.证明：对方程组,00021212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ n nn n n n n x x x a a a a a a a a a化简得()(),000000001001212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⨯-⨯n r n r n x x x k k k k k k得出(),r A r =方程组解为()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--⨯-⨯--⨯100010001))((2111211r n r n r n r n r n x x x x x x x ,所以r n x r -=)(,即n x r A r =+)()(.该引理将矩阵秩的性质与方程组解维数联系起来,对于判断方程组解的维数或者通过方程组的解了解相乘矩阵的秩的问题提供了方法.注:引理部分为基础性命题,对以下证明过程起辅助作用,是为了便于以下命题的证明.以上证明过的引理下面的命题均可直接引用.以上命题对矩阵秩的范围,以及矩阵秩与极大线性无关组的关系进行了证明与阐述.3. 矩阵的秩的一些结论及其证明设A 是n 阶方阵,则0≠A 当且仅当n A r =)(.[]2证明：令)()(n r r A r <=,则A 与⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O O I r 等价,即存在可逆矩阵P 、Q 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O O I =P rAQ , 取其行列式得0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O O I =P =P r AQ Q A . 所以,当且仅当n A r =)(时,0≠A .该命题是互逆命题,即条件结论可互换,也就是说满秩与行列式非零是等价的,可根据有效条件判断行列式是否等于零或者是否满秩矩阵.矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩.即：设A 是n m ⨯矩阵,B 是s n ⨯矩阵,则{})(),(m in )(B r A r B r ≤A .证明：设非零矩阵n m ij a A ⨯=)(,s n ij b B ⨯=)(.AB 可表示为A 的列向量的线性组合,即：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅=ns n n s s n b b b b b b b b b AB 21222211121121),,(ααα, 所以)()(A r AB r ≤.AB 可表示为B 的行向量的线性组合,即：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n ns n n s s a a a a a a a a a AB βββ 21212222111211,所以)()(B r AB r ≤.可得{})(),(m in )(B r A r B r ≤A .此证明将矩阵分为多个列向量或行向量来处理的,向量组AB 是列向量组A 通过矩阵B 的映射,同时也可说向量组AB 是行向量组B 通过矩阵A 的映射.上述证明说明了映射向量组不能增大基向量组的秩.若可逆矩阵P ,Q 使B PAQ =,则)()(B r A r =.证明：初等行变换与初等列变换不改变矩阵的秩, PAQ 即对矩阵A 进行列变换和行变换，所以)()()(B r A r PAQ r ==.该命题体现了初等变换的性质,以及相似矩阵的特别,对于较为复杂的矩阵的秩的求解起到简化作用,可以通过求解相似或等价矩阵的秩来实现.若2≥n ,则A 的伴随矩阵*A 的秩与A 的秩有如下关系：⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)(01)(1n )()(*n A r n A r A r n A r 当当当. 证明：当2)(-≤n A r ,O =*A ,所以0)(*=A r ；当1)(-=n A r , 即⎪⎩⎪⎨⎧O ≠O=====-⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯)1()1()2(2111n n n n j n j n A A A A A A , 其中，n j ,2,1=.1-≠n j所以1)(*=A r ；当n A r =)(,因为I ⨯=⨯A A A *,所以AA A 1*-=,因为1-A 为满秩矩阵,所以n A r =)(*.伴随矩阵是一特殊矩阵,可用以求解逆矩阵,伴随矩阵的秩与对应矩阵关系如上命题所示,可用以相互求解和验证秩的大小.两矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设 A 、B 均为n m ⨯矩阵,则)()()(B r A r B A r +≤+.[3]证明：由分块矩阵的初等变换①2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡+O −−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡O −−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O ++B B A AB A A B A bc bc br br ,则)()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+O ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡O +O O B A r B B A A r B A r , 由引理1得)()()(B r A r B Ar +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡OO , 所以)()()(B r A r B A r +≤+.此证明过程用到了分块矩阵,分块矩阵使未知矩阵和方便分块的矩阵的变换变得简单,过程清晰,便于理解.分块矩阵初等变换的规则如下注解所示.上述过程证明了两矩阵和的秩小于两矩阵秩的和,可用于判断和矩阵的范围.注① ⎥⎦⎤⎢⎣⎡O −−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O +B A A B A br br 12表示将矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O B A的第一行加到第二行上. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+O −−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡O +B B A AB A A bc bc 21表示将矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡O B A A 的第二列加到第一列上.设A ,B 均为n m ⨯矩阵,则)()()()()(B r A r B A r B r A r +≤±≤-.证明： 由命题5得)()()(B r A r B A r +≤+,即).()()()()(B r A r B r A r B A r +=-+≤-则由分块矩阵的初等变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡O ±−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O ±+B B B AB B BA B B A bc bc br br 2121, 可得)()()(A r B B B A r B BA r ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡OO ± , 由引理1得),()()(B r B A r B BA r +±=⎥⎦⎤⎢⎣⎡OO ±所以).()()(B r B A r A r +±≤即).()()(B A r B r A r ±≤-因此得出结论).()()()()(B r A r B A r B r A r +≤±≤-上述证明同样运用了分块矩阵初等变换.并进一步求解了和矩阵、差矩阵的秩的范围.设A 为n m ⨯,B 为s n ⨯的矩阵,则.)()()(n B r A r AB r -+≥证明：由分块矩阵的初等变换,①2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡I -O −−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡I O −−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡I O O ⋅-⋅+n bc B bc n br A br n B A A AB AB得),()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡I -O =⎥⎦⎤⎢⎣⎡I O O B A r B A r AB r n n 得),()()(B r A r n AB r +≥+即.)()()(n B r A r AB r -+≥通过分块矩阵的初等变换很方便的求出两矩阵积的秩大于等于两矩阵秩的和减去维数.设A 为n m ⨯,B 为s n ⨯的矩阵,满足O =AB ,则n B r A r ≤+)()(.[4]证明：存在极大无关解向量组T n x x x x ),,,(21 =,使得0=Ax ,由引理3得()n m x r A r ,m in )()(=+,因为O =AB ,所以B 为A 的解向量组T s ),,,(21βββ ,是A 极大无关向量组的线性组合,那么)()(x r B r ≤,得证n B r A r ≤+)()(.该命题用到引理3的结论,是通过构建方程组来确定矩阵的秩的特性,对于该命题还可以通过构矩阵的秩为两矩阵的秩和的分块矩阵来证明,实现较为复杂.设A 是n m ⨯阶矩阵,r A r =)(,从矩阵A 中任取s 行组成矩阵B ,则n s r B r -+≥)(.证明：设t B r =)(,把矩阵B 的t 个无关向量扩充到A 的一个极大无关向量组需要扩展t r -个向量,因为A ，B 不一定为满秩矩阵,所以s n m t r -≤-),min(,即n s r B r -+≥)(.3.10命题10（Frobenius 不等式）设A ,B ,C 分别为l m ⨯,s l ⨯,n s ⨯矩阵,证明)()()()(B r BC r AB r ABC r -+≥.证明： 构造如下矩阵,并进行运算得,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡O =⎥⎦⎤⎢⎣⎡I -O I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡O BC B AB C B ABC AB 可知)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡O ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡O BC B AB r B ABC AB r . 由引理2得),()()(B r ABC r B ABC AB r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O ),()()(BC r AB r BC B AB r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O 所以)()()()(BC r AB r B r ABC r +≥+.即).()()()(B r BC r AB r ABC r -+≥命题11 设k A A A ,,,21 均为n m ⨯矩阵,且1)()()(21====k A r A r A r 则k A A A r k ≤+++)(21 .证明：由命题5得.),()()(),()()(),()(),(21432132121k r r r r r r r r r k k k k =A A +A ≤A A +A +A +A ≤A A +A +A ≤A A +A设A 、B 均为n 阶方阵.则)()()(B r A r B A AB r +≤++.证明：构造如下矩阵并进行运算得：,⎥⎦⎤⎢⎣⎡O +O ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O I O I +⎥⎦⎤⎢⎣⎡O A AB B A AB B A B A可知)()()()(B r A r A B A r A AB B A AB r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡O +O ++, 其中),()(B A AB r AAB B A AB r ++≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡O +O ++ 所以)()()(B r A r B A AB r +≤++.设A 、C 均为n m ⨯矩阵, B 、D 均为s n ⨯矩阵,则)()()(D B r C A r CD AB r -+-≤-.证明：构造分块矩阵,并进行如下运算,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-O --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡I O I ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-O O -⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡I O I D B CD AB C A B D B C A C s n n m其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡I O I n mC、⎥⎦⎤⎢⎣⎡I O I s n B 为可逆矩阵,所以 ),()()()(D B r C A r D B CD AB CA r DB CA r -+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-O--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-O O -所以).()()()(D B r C A r D B CD AB CA r CD AB r -+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-O--≤-即)()()(D B r C A r CD AB r -+-≤-.设A 是n 阶方阵,m ,k 为非负整数,则)()()1()(22A ⋅-A ⋅+≥+r m r m A r m .[8]证明：用数学归纳法,当0=m 时显然成立. 由命题10(Frobenius 不等式)).()()()(B r BC r AB r ABC r -+≥得：),()(2)()()()()(23A r A r A r A A r A A r A A A r A r -=-⋅+⋅≥⋅⋅=所以当1=m 时不等式成立. 假设当k m =时不等式成立,即：),()()1()(22A r k A k A r k ⋅-⋅+≥+于是)()1()()2()()()()()1()()()()()(222113A r k A r k A r A r A r k A r k A r A A r A A r A A A r A r k k k ⋅+-⋅+=-+⋅-⋅+≥-⋅+⋅≥⋅⋅=+++,所以当1+=k m 时不等式成立. 故).()()1()(22A r m A r m A r m ⋅-⋅+≥+3.15 命题15 设A 是n 阶方阵,且)()(2A r A r =则对任意自然数k ,有)()(A r A r k =.证明：构造分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡OO 22A A由Frobenius 公式得),()()()()()()(33322222A r A r A A r A A A r A AA r A r A r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O -O =⎥⎦⎤⎢⎣⎡O -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O ≤+ 由)()(2A r A r =,得),()()()()(2223A r A r A r A r A r =-+≥由定理2得),()()(223A r A A r A r ≤⋅=所以),()(23A r A r =以此类推).()()()(432k A r A r A r A r ==所以得)()(A r A r k =.设A 是非异阵,⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A是n m ⨯阵,则 ).()()(1B CA D r A r D C B A r --+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡[5] 证明：,11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-O=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡I -O I ---B CA D BAD CB ACA r m r而A 是个非异阵,所以)()()()(11B CA D r A r B CA D BA r D CB Ar ---+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-O =⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 即).()()(1B CA D r A r D C B A r --+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 7命题17 设A 是n 阶方阵,且I =2A ,试证.))(())((n A r A r k m =I -+I +其中m 、k 为自然数.[6]证明：因为)(22)()(2I +=I ++=I +⨯I +A A A A A ,所以)()(2I +=I +A r A r .由命题15得)()(I +=I +A r A r m .同理)()(I -=I -A r A r k .0)()(22=I -=I -⨯I +A A A ,由命题8得n A r A r ≤I -+I +)()(.又n A A r A r A r =-I ++I ≥-I ++I )()()(.所以n A r A r =I -+I +)()(,即n A r A r k m =I -+I +))(())((.3.18 命题18 设A 是n 阶方阵,且A A =2,试证n A r A r k m =I -+))(()(,其中m 、k 为自然数.证明：因为A A =2,所以)()(2A r A r =,那么)()(A r A r m =. 因为A A A A A -I =I +-=I -⨯I -2)()(2,所以)())((2I -=I -A r A r .所以)())((I -=I -A r A r k .因为O =-=I -⨯A A A A 2)(,由命题8得n A r A r ≤I -+)()(.又因n r A A r A r A r =I =+-I ≥-I +)()()()(.所以n A r A r =I -+)()(,即n A r A r k m =I -+))(()(.注：以上证明中命题5、6、7、10、12、13、15、16都是采用了分块矩阵,其中包括分块矩阵的和、积以及分块矩阵的初等行列变换,不仅降低了处理矩阵相关问题的难度,还缩减了证明过程,使其过程简明概要,可读性强.分块矩阵对于处理多个矩阵之间的不等式,多个矩阵秩的范围的界定和秩的大小的比较有一定的优越性.命题11、14、15、17、18中都对矩阵的N 次幂进行了秩的运算或比较,用到了归纳、递推、叠代等运算方法,了解到高幂次矩阵的秩的大小或范围,对于处理高幂次矩阵问题,认识高幂次矩阵的性质都十分有用.4. 矩阵的秩的一些结论的应用4.1 例1已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A ,求矩阵的秩. 解：存在可逆矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P 941321111, 使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P P -3000200011A , 由命题3可知3)()(1=P P =-A r A r .4.2 例 2 存在矩阵A 、B 分别为n 阶方阵且n B r <)(,试证明0=Ax 的解向量是0=BAx 的解向量的一个子阵.证明：设α为0=A x 的解向量,必然存在0=αBA .由命题2{},)(),(m in )(B r A r B r ≤A得),()(A r BA r ≤则其解向量的秩),()(A r n BA r n -≥-所以0=Ax 的解向量是0=BAx 的解向量的一个子阵.4.3 例3 已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4041050545450001A ,求其伴随矩阵*A 的秩. 解：对A 进行初等变换,求其秩.,00000500054000010041050005400001004105050545000140410505454500012143124⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----r r r c c c c显见3)(=A r .由命题4可知1)(*=A r .4.4 例 4 已知A 是56⨯矩阵, B 为55⨯方矩,4)(=A r ,4)(=B r ,试证明方程组0=ABx 根的个数小于等于3.解：由命题7得,3)()()(=-+≥n B r A r AB r又由命题8,)()(n B r A r ≤+得6)()(≤+x r AB r ,所以3)(=x r ,则命题成立.4.5 例5 已知n 阶方阵A ,证明)(2)2(2A r A A r ≤+. 解：由命题12得),()()(B r A r B A AB r +≤++当A =B 时可写成)()()(A r A r A A AA r +≤++,即)()()(2A r A r A A A r +≤++,因此得).(2)2(2A r A A r ≤+4.6 例6 已知n 阶方阵A 和B ,秩为r B r A r =+)()(,求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡I ++n AB B A B A 的秩. 解：由分块矩阵的初等变换,2212⎥⎦⎤⎢⎣⎡I ++O +−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡I O +−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡I ++++-n r r n c c n BA AB BA ABBA AB AB B A B A 由命题12的结论)()()(B r A r B A AB r +≤++,再由引理2的结论得)()()(n n r B A r BA AB BA r I ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡I ++O +, 因为n r r B A r n +=I ++)()(,所以n r ABB A BA r n +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡I ++)(.4.7 例7 存在矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0106011010530202A ,求)(100A r . 解：计算得3)(=A r .⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=104018103116352095420124010601101053020201060110105302022A .得3)(2=A r ，所以)()(2A r A r =.由命题15的结论)()(A r A r k =,所以3)(100=A r .证明过程用到了命题15的结论,对于幂次为100的矩阵秩的求解,可以迅速的实现.4.8 例8 求⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=M 1785441610512112012311012的秩.解：由命题16的结论)()()(1B CA D r A r D CB Ar --+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡可得)2011102312541011178416512()2312()(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=M -r r r )201421128201(2)(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+=M r r 再次应用命题16[][][])201282014112()1(2)(1⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=M -r r r 5212)(=++=M r .证明过程通过两次用到命题16的结论实现了对维数较高矩阵秩的求解,简化了运算,且大大减少了计算量.小结矩阵的秩的内容是非常丰富的,其应用是十分广泛的,证明矩阵秩的有关性质,除了利用分块矩阵以外,在上面还用到了行（列）向量组的极大线性无关组来证,以及矩阵的初等变换来证明,还可以联系到齐次线性方程组的基础解系来证.本文引用到矩阵秩的基本性质及部分定理,对矩阵秩的多条性质进行了证明,并做了相关的应用.其中涉及到了矩阵秩的求解、判断、向量组的相关性、方程组解的情况分析以及秩的不等式、等式等多方面性质.其结论和证明过程可以应用到所涉及的各个领域,包括电子行业,信息处理行业和控制工程域等多个行业.对矩阵秩的多方面的了解对于处理矩阵相关的问题是很有帮助的,例如方程组解的个数问题,模式识别中事物特征的相关性问题等.上述的命题的涉及面广,结论应用性强,所应用的方法较为新颖,希望能对数学及其它领域的发展有所帮助.相信在解决理论研究和解决实际问题上有一定的作用及意义.致谢参考文献[1]杜现昆原永久牛凤文．高等代数[M].北京:高等教育出版社,2006.65-67[2]同济大学数学系编.工程数学.线形代数[M].北京:高等教育出版社,2007.62-65[3]北京大学数学系.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1988.87-90[4]张禾瑞.郝炳新.高等代数[M]. 北京:人民教育出版社,1979.76-77[5]张远达.线性代数原理[M]. 上海:上海教育出版社,1982.98[6]北京大学数学系.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.67[7]赵树媛.线性代数学习与考试指导[M].北京:中国人民大学出版社,1998.56[8]丘维声.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.87-88[9] 樊恽钱吉林等.代数学辞典[M].武汉:华中师范大学出版社,1994.76[10李书超,蒋君,向世斌等.一类矩阵秩的等式及其推广[J].武汉科技大学学报自然科学版 ,2004 ,27 1 :96-98[11]王松桂,贾忠贞.矩阵不等式[M].合肥:安徽教育出版社,1994.89-90[12]鲍文娣,李维国.关于任意三矩阵秩的一点注记[J].苏州科技学院学报:自然科学版,2005,22（2）：39-43。
矩阵秩的相关结论证明及举例 结课论文
华北水利水电学院矩阵秩的相关结论证明及举例课程名称：线性代数专业班级：测控2011088成员组成：联系方式：2012年11月3日摘要：矩阵的秩是线性代数中一个非常重要的概念，它是研究线性方程组、向量空间、欧式空间及二次型的一个有力工具，为了更好地掌握和运用它，有必要将一些重要结论及证明进行归纳。
关键词：矩阵秩结论证明Proof and Example Of Some Conclusions Of Matrix Rank Abstract:The matrix rank is an important algebraic conception. It is a vigorous tool of studying linear equations,vector space ,Euclidean space,linear transformation and quadratic form.It is necessary for us to master operation formula of matrix rank.Key words:matrix rank conclusion proof正文：1 引言:矩阵的秩是代数学中一个非常重要的概念,它是研究线形方程组、向量空间、欧式空间、线性变换及二次型的一个有力工具。
为了更好的掌握和运用它，很有必要将一些重要的结论进行归纳、证明。
2 矩阵秩的相关结论证明及举例 2.1矩阵几个重要结论的证明：定义：矩阵A=()mn ij a ⨯的秩等于A 中一切不等于零的子式的最高结束，记作：()A r 。
矩阵秩的几个重要结论证明如下：结论1对于任意矩阵A ，有()A r =()'A r 。
其中'A 是矩阵A 的转置矩阵.证 因为A ='A ，则A 与'A 的不等于零的子式的最高阶数相等，即()A r =()'A r . 结论2对于任意矩阵A ，有()kA r =()A r ，其中k 是非零常数. 证 因为KA 与A 的不等于零的子式的最高阶数相等，则()kA r =()A r . 结论3 对于任意矩阵A ，()*A r =()A r ()kA r ，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 证 当()A r =n ，即A 可逆时，由于*A =1-n A，故*A 也是可逆的，即()*A r =n ，当()A r =n-1时，有A =0，于是*AA =A .I=0，从而()≤*A r 1，又因为()A r =n-1，所以至少有一个代数余子式0≠ij A ，从而又由()1≥*A r ，于是()1=*A r ，当()10-≤≤n A r 时，0=*A ，即此时()0=*A r .则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n A r n A r n A r n A r 当当当 即()()A r A r ≤*.结论4()()()().min B r A r AB r ∙≤证 ()(),,A ,,s B r r A r B n l l m ==⨯⨯设因为()r A r =，所以存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=,000⎪⎪⎭⎫⎝⎛rI 于是()()().00011⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛===-B I r B PAQQ r PAB r AB r r其中(),'11ij b Q B ==-所以()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=o o o ob b r b I r AB r n ij r........................ (00)0111显然最右边一个矩阵的秩不超过它的非零行数r ，也不超过(),1s b r =所以()()()().,min B r A r AB r ≤结论5设A,B,C 分别为q p p n n m ⨯⨯⨯,,矩阵，则()()()()B r ABC r BC r AB r +≤+证 因为,00⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-o B ABC BC B AB I o A I 所以 ()()()()B r ABC r o B ABC o r BC B o AB r BC o o AB r BC r AB r +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+ 2.2矩阵不等式的证明：定义1设D=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A 212222111211是分块矩阵，称下面3种变换为分块矩阵的初等变换.（1）对调两行（对调i 、j 两行，记做brj bri ←）；（2）以非零矩阵B 左乘分块阵的某一行（B 左乘第i 行,记做B*bri),分块阵的某一行右乘非零矩阵B （第i 行右乘B,记bri*B);（3）以非零矩阵B 左乘分块阵的某一行加到另一行对应元素上去（B 左乘第i 行加到第j 行，记做brj+B*bri),分块阵的某一行右乘非零矩阵B 加到另一行对应元素上去（第i 行右乘B 加到第j 行，记做brj+bri*B).把定义中的“行”换成“列”，即得到分块矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把"br"换成"bc").结论1 设D=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C O A ，则r(D)≧r(A)+r(B). r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡En O O AB =r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-En A B O ,得 r(AB)+n ≧r(A)+r(B), 即 r （AB)≧r(A)+r(B)-n.结论2 设A ，B 均为n*m 阶矩阵，则r(A+B)≦r(A)+r(B). 证明： 设A=(a1,a2,…，an), B=(b1,b2,…bn)则 A+B=(a1+b1,a2+b2,…，an+bn)于是 r(a1+b1,a2+b2,…，an+bn)≦r(a1,a2,…，an)≦r(b1,b2,…bn) 故 r （AB)≦r(A)+r(B).结论3 设A 是n 阶方阵，则r(A+E)+r(A-E)=n ⇔A 2=E,证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+E A O O E A _⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++−−−→−⨯-+E A EEA E A EA EA r r r r l E b El b 2002112 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-−−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+−−−−→−⨯--⨯+-02)(21002)(21E 22222112E A E E A E A r r r r l E A b l EA b ，则()()()n A E r E A r E A r +-=-++2故()()()E A A E r n E A r E A r =⇔=-⇒=-++220证明 ()()()B r A r B A r B B A AB A A B r r r r b b b E b +≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯+故,0000A E 2112结论 4设A ，B 均为n 阶方阵，则()()()E B r E A r -+-≤E -AB r 证明故,E -B -A -AB 000E-A 2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯+⨯+E B E AB E B A AB E A E B E b b b A b r r r r ()()()Ｂ－Ｅ＋ｒＡ－Ｅｒ－Ｅ≤AB r 例设A 是n 阶可逆矩阵，且n X C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡r 试用A ，B ，C 表示X 。
线性代数课程论文
矩阵的秩及其应用【摘要】矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念。
矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解的情况等都有着密切的联系。
本文将针对其性质进行具体分析 【关键词】矩阵； 秩 ；应用；一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。
所谓矩阵的行秩就矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。
矩阵的行秩等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩。
另外，矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数，这是矩阵的秩的行列式定义。
事实上，以上两种对矩阵的秩的定义是等价的。
（一）矩阵秩的概念定义1 若A 为n m ⨯矩阵，在A 中任意取k 行、k 列),(n k m k ≤≤，则位于这些行与列交叉处的k 2个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式.显然，若A 为n m ⨯矩阵，则A 的k 阶子式共有C C kn km ⋅个.当O A =时，它的任何子式都为零.当O A ≠时，它至少有一个元素不为零，即它至少有一个一阶子式不为零.再考察二阶子式，若A 中有一个二阶子式不为零，则往下考察三阶子式，如此进行下去，最后必达到A 中有r 阶子式不为零，而再没有比r 更高阶的不为零的子式.这个不为零的子式的最高阶数r 反映了矩阵A 内在的重要特征，在矩阵的理论与应用中都有重要意义.定义2 设A 为n m ⨯矩阵，如果存在A 的r 阶子式不为零，而任何1-r 阶子式(如果存在的话)皆为零，则称数r 为矩阵A 的秩，记为)(A R .并规定零矩阵的秩等于0.由定义2，根据行列式的性质易知，矩阵A 的秩)(A R 就是矩阵A 的最高阶非零子式的阶数.（二）矩阵秩的性质性质1 若A 为n m ⨯矩阵，则},min{)(0n m A R ≤≤.性质2 若矩阵A 中有某个s 阶非零子式，则s A R ≥)(；若矩阵A 中所有t 阶子式全为零，则t A R <)(.性质3 若矩阵A 的秩r A R =)(，则)()(A R A R T =. 定义3 设A 为n 阶方阵，若n A R =)(，则称矩阵A 为满秩矩阵；若n A R <)(，则称矩阵A 为降秩矩阵.由此可得定理1 n 阶矩阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A 为满秩矩阵；n 阶矩阵A 为不可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A 为降秩矩阵.性质5 若矩阵B A ~，则)()(B R A R =. 性质6 若矩阵Q P ,可逆，则)()(A R PAQ R =. 性质7 若矩阵A 与B 的秩分别为)(),(B R A R ,则)()(),()}(),(max{B R A R B A R B R A R +≤≤，特别地，当B 为列向量时，则有 1)(),()(+≤≤A R B A R A R .性质8 若矩阵A 与B 的秩分别为)(),(B R A R ，则.)}(),(min{)(B R A R AB R ≤ 性质9 若矩阵OB A l n n m =⨯⨯，则n B R A R ≤+)()(.根据矩阵的性质，可以给出下列例题：例1 设A 为n 阶矩阵，且E A =2,证明.n E A R E A R =-++)()(证 因为E A E E A 2)()(=-++，由性质7得n E R A E R E A R =≥-++)2()()(而)()(E A R A E R -=-，所以n E A R E A R ≥-++)()(.又O E A E A E A =-=-+2))((,由性质9得n E A R E A R ≤-++)()(.综合即得n E A R E A R =-++)()(.（三）矩阵秩的求法定理 矩阵经初等变换后，其秩不变.也就是说，若B A ~，则)()(B R A R = 根据这个定理，我们得到利用初等变换求矩阵的秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变换也不改变矩阵的秩。
浅谈矩阵的秩及其应用定稿
山西师范大学本科毕业论文浅谈矩阵的秩及其应用李欢姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学07510101班级学号**********指导教师张富荣答辩日期2010.12.20成绩浅谈矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。
而在矩阵理论中，矩阵的秩又是一个十分重要的概念，它是矩阵的一个数量特征，而且初等变换不改变矩阵的秩，是初等变换下的不变量。
矩阵的秩与矩阵是否可逆，线性方程组的解得情况等都有密切的关系。
论文开头介绍了矩阵的秩，矩阵的行秩和列秩以及与矩阵有关的常见的命题和定理，部分定理并给出证明。
第二部分介绍了计算矩阵的两种计算方法，求非零子式的最高级数法和初等变换法，并对其优劣进行比较。
在矩阵的运算过程中，矩阵的秩存在某些关系，熟练地掌握这些关系对解有关矩阵的习题很有帮助。
最后详细地介绍了矩阵的秩与线性方程组解的个数之间的关系，并将其应用到解析几何中,判断空间两直线位置关系。
本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。
【关键词】矩阵矩阵的秩线性方程组非零子式的最高级数初等变换A Brief Introduction on the rank of Matrix and theApplication of the rank of MatrixAbstractIn matrix theory, rank of matrix is an important concept. It is a matrix of number of characteristics, and it is invariant under elementary transformations. Rank of matrix may have a close relationship with the solution of linear equations.At the beginning, the paper presents the concept of rank of matrix, the matrix row rank and column rank, and the common matrix-related theorems. And some theorems are given proof. The second section of the paper describes two methods for calculating the rank of matrix, one is seeking the highest grade of the non-zero minor, and the other is elementary transformation. And it compares their advantages and disadvantages. In the process of matrix computation, there are some important relations about the matrix rank .If we have a good understanding about these relations, it will be very helpful. Finally, it has a detail description on the application of the rank of matrix, especially the relationship between the rank of matrix and the solution of linear equations.In this paper, it contains some important concepts related to the rank of matrix, the proof and some specific application.【Key Words】matrix rank of matrix linear equations the highest grade of the non-zero minor elementary transformation目录一、引言 (01)二、矩阵的秩的有关概念 (01)三、矩阵中的相关定理及命题 (02)四、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣的比较 (03)(一)矩阵的秩两种计算方法 (03)(二)两种计算方法的优劣比较 (04)五、矩阵运算中矩阵的秩的关系 (05)六、矩阵秩的应用 (08)(一)矩阵的秩在线性方程组中的应用 (08)(二)矩阵的秩在解析几何中的应用 (10)(三)矩阵的秩在其它方面的应用 (10)参考文献 (12)致谢 (12)浅谈矩阵的秩及其应用学生姓名：李欢 指导老师：张富荣一、引言矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。
毕业论文 矩阵秩的性质与应用
* * * * 学院学生毕业论文（ 2012 届）****学院教务处制-诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信.毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要：本文探讨了矩阵的秩的不变性，矩阵秩的Sylvester与F robenius不等式及其等式成立的条件及应用，矩阵秩与矩阵运算的关系，与矩阵可逆的关系，与向量组的线性相关、与零特征值代数重数的关系等一些性质．从而得到矩阵的秩在线性代数方面，解析几何，概率论等中的应用．关键词：矩阵秩；矩阵秩不变性；矩阵秩不等式；矩阵秩恒等式；线性方程组；零特征值代数重数；齐次线性方程组．Abstract: This article discuss the invariant of matrix rank, Sylvester and Frobenius inequality and the condition of its equality, and the relationship of matrix operations and matrix rank, the relationship of invertible matrix and matrix rank, and the vectors of linear correlation, and zero Eigen value algebra and heavy number relation and so on. Thus we can obtain the rank of matrix’s application in linear algebra, analytic geometry, probability theory and so on.Keyword: matrix rank; invariance of matrix rank; rank of matrix inequalities; rank of matrix equalities; linear equations; zero Eigen value algebra and heavy number; homogeneous linear equations.目录1 矩阵秩的性质 (2)1.1矩阵的秩的不变性 (2)1.2 矩阵的秩的一些基本性质 (7)1.3矩阵的秩与矩阵的运算 (7)1.4 关于矩阵的秩的一些不等式等式及其应用 (8)1.5 矩阵的秩与可逆 (12)2 求矩阵的秩 (13)3 矩阵的秩在线性代数中的应用 (13)3.1 矩阵的秩与解线性方程组 (13)3.2 矩阵的秩与向量组的相关性 (14)3.3 矩阵的秩与零特征值代数重数相关性讨论 (15)4 矩阵的秩在解析几何中的应用． (17)4.1 矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系时的应用． (17)4.2 矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系的应用． (19)4.3 矩阵的秩在判定直线与直线的位置关系的应用． (19)5 矩阵的秩在判定齐次M arkov链遍历性中的应用 (20)参考文献 (22)致谢 (23)矩阵的秩的性质及应用矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成，1801年德国数学家高斯(.F Gauss，)把一个线性变换的全部系数作为一个整体．1844年,德国数学家17771855爱森斯坦()F E i s s e n s t e i n 讨论了“变换”（矩阵）及其乘积．1850.,18231852年,英国数学家西尔维斯特()J a m e s J o s e p h S y l v e s t e r 首先使用,18411897了矩阵一词．1858年,英国数学家凯莱()A Gayley 发表《关于矩.,18211895阵理论的研究报告》．他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列的文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、两矩阵之和，一个数与一个矩阵的数量积、两矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等．并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且m n*矩阵只能用n k*矩阵去右乘．1854年，法国数学家埃米尔特()C Hermitem.,18221901使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝乌斯()..18491817F G F r o h e n i o u s m 发表．1879年，费罗贝乌斯引入矩阵秩的概念．矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是应用数学研究的一个重要的工具．矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量．矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，无论是在线性代数中，还是在解析几何中，甚至在概率论中，都有不可忽略的作用．本文在 1.4提到的Sylvester与F robenius不等式分别由S y l v e s t e与F robenius在1884年及1911年给出的，百年来很多数学家研究了使其等式成立的条件，2004年，2008年，胡付高分别给出了矩阵多项式秩的S y lv e s te r与F robenius不等式成立条件：定理1.4.4，定理1.4.5.本文参考文献[1]、[3]、[9]，给出了矩阵的三种等价的定义，并且探讨了矩阵的几种重要的性质，矩阵的秩与矩阵的运算、零特征值代数重数、可逆的关系．以及矩阵的秩在线性代数，解析几何，概率论中的应用．1 矩阵秩的性质定义 1.1 一个矩阵A 中不等于零的子式的最大阶数r 叫做矩阵的秩.若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零．记为()rank A r =. 1.1矩阵的秩的不变性性质1.1.1 转置矩阵的秩相等，即()()T rank A rank A =. 定理1.1.2 初等变换不改变矩阵的秩． 证明：()1 设把一个矩阵()ij m nA a ⨯=的第i 行与第j 行交换得到矩阵B ：111111111111,n n i in j jn j jn i in m m n m m n a a a a a a a a A B a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 并且矩阵A 的秩为r ，明显地，矩阵B 的秩也为r ．设矩阵B 有s 阶子式D ，s r >．若D 不同时含有第i 行和第j 行的元素，则D 为矩阵A 的一个s 阶子式，则0D =；若D 同时含有第i 行和第j 行的元素，这是有：111111110s s s s s s sslt lt lt lt it it jt jt jt jt it jt kt kt kt kt a a a a a a a a D a a a a a a a a ===． 由此可知()()rank A rank B ≥．而我们同样可以将矩阵B 交换第i 行和第j 行可得到矩阵A ，则()()rank A rank B ≤．所以()()rank A rank B =．由此可证，第一种初等变换不改变矩阵的秩．()2设把矩阵A 的第i 行乘以不等于零的数k 得到矩阵B ．设矩阵B 有s 阶子式D ，s r >，若D 不含有第i 行的元素，则D 为矩阵A 的一个s 阶子式，则0D =；若D 含有第i 行的元素，则有：1111110s s s s sslt lt lt lt it it it it kt kt kt kt a a a a ka ka a a D k a a a a ===． 所以，()()r a n k A r a n k B≥．而将矩阵B 第i 行乘以1k得到矩阵A ，则()()r a n k A r a n k B≤．所以()()rank A rank B =．由此可证第二种初等变换不改变矩阵的秩．()3设把一个矩阵A 的第j 行乘以数k 加到第i 行而得到矩阵B ：111111n i in j jn m m n a a a a A aa aa ⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=mnm jn j jnin j i n a a a a kaa ka a a a B1111111， 并且A 的秩是r ，我们要证明，B 的秩也为r ．我们先证明，B 的秩不能超过r ．若是矩阵B 没有阶数大于r 的子式，那么它当然也没有阶数大于r 的不等于零的子式，因而它的秩显然不能超过r ．设矩阵B 有s 阶子式D ，而s r >．那么有三种可能的情况．①若D 不含第i 行的元素．这时D 也是A 的一个子式，而矩阵A 的秩为r ，但是s r >，由此知，0D =．②若D i 含第行的元素，且含第j 行的元素．这时，有111111111s s s ss s s ssht ht ht ht it jt it jt it it jt jt jt jt lt lt lt lt a a a a a ka a ka a a D a a a a a a a a ++===．③若D 含第i 行的元素，但不含第j 行的元素．这时111111111112s s s s s s s sssht ht ht ht ht ht it jt it jt it it jt jt lt lt lt lt lt lt a a a a a a a ka a ka a a a a D k D kD a a a a a a ++==+=+， 由于1D 和2D 是矩阵A 的一个s 阶子式，所以120,0D D ==．从而，0D =．由以上三种情况可知，矩阵B 的所有大于r 的子式都为0．因此，矩阵B 的秩不大于r ．既是：()()rank A rank B ≥．同样的，我们也可以对矩阵B 施行初等变换得到矩阵A ，这样就可以得到()()rank A rank B ≤．这样子我们就证明了()()rank A rank B =，既第三种初等变换不改变矩阵的秩．有以上三点可证，初等变换不改变矩阵的秩．证毕．事实上，施行一个行或列初等变换相当于把这个矩阵左乘或右乘以一个可逆矩阵.引理1.1.1 设A 为一个m n ⨯矩阵：111212122212n nm m m n a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 则可通过行初等变换和第一种列初等变换将A 化成阶梯型：1010001000000000J *****⎛⎫ ⎪**** ⎪ ⎪ ⎪=** ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，进而化为：()1,112,12,11000010000010000000000000r n r nr r n r r r rn c c c c I C c c ++⨯-+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.证明：若是矩阵A 的元素ij a 都等于零，那么A 已有J 的形式．设某一个ij a 不等于零.必要时交换矩阵的行和列，可以将该元素为与矩阵的左上角．用1ija 乘以第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数．矩阵A 化为100B **⎛⎫ ⎪**⎪= ⎪ ⎪**⎝⎭. 若在B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，那么B 已有J 的形式．设在B 的后1m -行中有一个元素b 不等于零.把b 换到第二行第二列的焦点的位置，然后用与上面同样的方法，可将B 化为 1010000***⎛⎫ ⎪**⎪⎪** ⎪ ⎪ ⎪**⎝⎭如此继续下去，最后可以得到一个形如J 的矩阵.我们只要进一步由第一，第二，第三， ，第1r -行分别减去第r 行的适当倍数，再由第一，第二， ，第2r -行分别减去第1r -行的适当倍数，如此下去，就可以得到形如,00rr n r I C -⎛⎫⎪⎝⎭的矩阵. 事实上，用初等变换将矩阵化为阶梯形，其阶梯形矩阵中非零行的个数的秩就是该矩阵的秩．由此得到矩阵秩的另一种等价的定义：定义1.2 矩阵()ij m n A a ⨯=经过初等变换所形成的阶梯型中非零行的个数成为矩阵的秩．矩阵A 的秩为r ，记为()R A r =．特别，零矩阵0的秩()0R O =．用初等变换将矩阵A 化为等价标准型000r E I ⎛⎫=⎪⎝⎭，由于初等变换不改变矩阵的秩，所以()rank A r =.由此得到以下定理：定理1.1.3 任意一个矩阵A 都可化为000r E I ⎛⎫= ⎪⎝⎭的形式，称I 为A 的等价标准型，且()rank A r =.定理 1.1.4 相似的矩阵具有相同的秩，秩相同的矩阵相似.A B ⇔()()rank A rank B =.证明：若矩阵A B ,则由相似的定义，可知存在可逆矩阵T ,使得1B T AT -=,由于矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变(下面有证明)，所以，()()()()11rank A rank T A rank TAT rank B -===.若()()rank A rank B =，设A 的等价标准型为A I ,则A A I ,B 的等价标准型为B I ,则B B I ,而()()rank A rank B =，则A B I I =,由相似的传递性，知A B .证毕.定理1.1.5 若矩阵A 与B 的Jordan 标准型都为J ,则()()rank A rank B =.证明：设1S J J J ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,11i iiii i n nJ λλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,2,i s = .则矩阵A与矩阵B 的初等因子都为()()()1212,,sn n n s λλλλλλ--- ，所以A B .由定理1.2知，()()rank A rank B =.证毕.由此可得到：推论1.1.1 若矩阵A 的秩为r ，则其Jordan 标准型的秩也为r . 也就是说，矩阵的三种标准型的秩都不变.定理1.1.6 合同的矩阵具有相同的秩.即若A B ≅，则()()rank A rank B =. 证明：若A B ≅，则存在可逆矩阵C ，使得T C AC B =,由性质1.1.1知，()()Trank Crank C =，即TC也是可逆的.由1.3.4知，()()()TTrank C AC rank C A rank A ==.定理1.1.7 如果分块矩阵A 经过有限次分块矩阵的初等变换化为矩阵B ，则其矩阵的秩不变.1.2 矩阵的秩的一些基本性质性质1.2.1 (){}0min ,m n rank A m n ⨯≤≤ 性质1.2.2 ()()T rank A rank A =性质1.2.3 将矩阵A 划去若干行(列)得到矩阵B ,则()()rank A rank B ≥性质1.2.4 设A 为n ()2n ≥阶方阵，则()()()()*1101n rank A n rank A rank A n rank A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩. 1.3矩阵的秩与矩阵的运算性质1.3.1 ()(),00,0rank A k rank kA k ⎧≠=⎨=⎩性质1.3.2 ()()00A rank rank A rank B B ⎛⎫=+⎪⎝⎭性质1.3.3 ()()0A rank rank A rank B CB ⎛⎫≥+⎪⎝⎭性质 1.3.4 ()()(){}m i n ,r a n k A B r a n k A r a n k B ⨯≤．特别，若A 可逆，()()rank A B rank B ⨯=．证明：设A 是一个m n ⨯矩阵，B 是一个n p ⨯矩阵，并且()rank A r =，设A 的等价标准型为,,,000r r n r A m r rm r n r E I ----⎛⎫=⎪⎝⎭． 换句话说，存在m 阶初等矩阵12,,,p E E E 和n 阶初等矩阵12,,,p p q E E E ++ ，使得11p p q AE E AE E I += .所以，有：1111111111q p p q p q A p q A E E AB E E AE E E E B I E E B I B ----+++===这里1111p q B E E --+= ．显然地，1A I B 除了前r 行外，其余各行都为零，所以， ()1A rank I B r ≤．而1q E E A B 是由A B 通过行初等变换得到的，所以它们有相同的秩，这样就证明了()()rank AB rank A ≤.同理可证()()rank AB rank B ≤．如果,A B 中有一个是可逆矩阵，不妨设A 是可逆的，那么，一方面，由上面的证明过程知，()()rank AB rank B ≤，而()1B A A B-=,所以()()rank B rank AB ≤．因此，()()rank AB rank B =．证毕．将该性质推广到任意m 个矩阵的乘积的情形．任意m 个矩阵的乘积的秩不大于每一个因式的秩．性质1.3.5 若矩阵A 和B 是同型矩阵，则()()()rank A B rank A rank B ±≤±. 证明：首先证明()()()rank A B rank A rank B +≤+．由于 00000nn E AB A B E B B +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以：()()()00000.nnE A BA B A B rank A B rank rank rank E B B B rank A rank B ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤=≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤+所以，()()()()r a n k A r a n k A B B r a n k A B r a n k B =-+≤-+，移项得到：()()()rank A B rank A rank B -≤-所以()()()rank A B rank A rank B ±≤±.证毕. 1.4 关于矩阵的秩的一些不等式等式及其应用定理1.4.1 （Sylvester 不等式）设A 为s n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，则()()()rank AB rank A rank B n ≥+-证明：（利用分块矩阵证明）由于1212000n n n ABAB A A br A r bc bc B E E B E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以：000n n ABA rank rank E BE ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即()()()rank AB n rank A rank B +≥+，移项得到()()()rank AB rank A rank B n ≥+-．证毕．推论1. 4.1 若矩阵A 与B 为n n ⨯矩阵，且0A B =，则()()rank A rank B n +≤. 定理1.4.3 ()Frobenious 不等式 设A 、B 、C 依次为m n ⨯、n s ⨯、s t ⨯型矩阵，则 ()()()().rank ABC rank AB rank BC rank B ≥+-证明：因为000st I C AB ABC AB I BBBC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,有性质1.1.3可得：()()()()0000ABAB ABC rank AB rank BC rank rank B BC BABC rank rank ABC rank B B⎛⎫⎛⎫+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤=+⎪⎝⎭移项得到()()()().rank ABC rank AB rank BC rank B ≥+-证毕.性质1.4.1 设矩阵A 、B 为n 阶矩阵，则()()n n rank AB I rank A I -=-()n rank B I =-.证明：因为00000nn n n nnA IB I BAB I B I I B I ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由性质 1.3.2与性质1.3.4得到()000n nn n n n AB I A I B I rank AB I rank rank B I B I ---⎛⎫⎛⎫-≤≤⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以()()()n n n r a n kA B I r a n kAI r a n k B I-≤-+-. 性质1.4.2 若A B 、是n 阶矩阵，则()()()rank AB A B rank A rank B ++≤+. 证明：因为00000nnB I A B AB A B I B B+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以()rank AB A B ++≤ ()()()000AB A BAB rank AB A B rank rank rank A rank B B B ++⎛⎫⎛⎫++≤≤=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 定理1.4.3 设()()[],,n nA Pf xg x P x ⨯∈∈，则：()()()()rank f A rank g A +()()()()rank d A rank m A =+，其中：()()()(),d x f x g x =，()m x 为()f x 与()g x 的最大公因式.证明：如果()(),f x g x 之一为零多形式，则明显的，定理成立.不妨设()(),fx g x 都是非零多项式，由多形式的性质，此时有：()()()1f x d x f x =，()()()1g x d x g x =，()()()()()d x x f x x g x μν=+，()()()()[]11,,,f x g x x x P x μν∈()()()()()d A A f A A g A μν=+.对分块矩阵()()0f Ag A ⎛⎫⎪⎝⎭做分块矩阵的初等变换()()()()()()110000000E Ef A E E A E Ag A E f A E g A E EEνμ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()1100000E Ef A A f A Ag A E g A E f A E g A E μν+⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()1100000E E f A d A E g A E f A E g A E ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()110000E f A d A E f A E g A f A E⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()()11100000d A d A d A g A f A g A f A d A m A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由定理1.1.4及性质1.3.2可得()()()()00f A d A rank rank g A m A ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()rank d A rank m A =+.证毕.由此得到 S ylvester 不等式及Frobenius 不等式等号成立条件：定理1.4.4 设()()()()()(),,,1,n n f x g x F x f x g x A F ⨯∈=∈，则：()()()()()()()rank f A rank g A rank f A g A n +=+.证明：若()()(),1f xg x =,则()1d x =，()()()m x f x g x =，则()()()r a n k d Ar a n k E n ==，()()()()()rank m A rank f A g A =，有定理1.4.4得()()()()()()()rank f A rank g A rank f A g A n +=+.证毕.推论1.4.2 设()()[]()()(),,,,1,n n A F f x g x P x f x g x ⨯∈∈=则()()()()rank fA rank g A n+=⇔()()0fA g A =.证明：若()()()()rank f A rank g A n +=，由定理1.4.4知()()()0.rank f A g A =所以()()0f A g A =.若()()0f A g A =,则()()()0rank f A g A =,则()()()().rank f A rank g A n +=证毕.定理1.4.5 设()()()[]()()(),,,,,1n n A F f x g x h x F x f x h x ⨯∈∈=，则：()()()()()()()()()()()()rank f A g A rank g A h A rank f A g A h A rank g A +=+.证明：由于()()(),1f x h x =，所以()()()()()(),f x g x gx h x g x=，()()()()m x f x g x h x =，由定理1.4.3，可得：()()()()()()()()()()()()rank f A g A rank g A h A rank f A g A h A rank g A +=+.证毕.推论1.4.3 设()()[],,n n i j A F f x g x P x ⨯∈∈，且()()(),1i j f x g x =，1,i m ≤≤1j t ≤≤，则()()()()1111m t m ti j i j i j i j rank f A rank g A n rank f A g A ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏.证明：由于()()(),1i j f x g x =，则()d A E =， ()()()11mti j i j m A f A g A ===∏∏.由定理1.4.3，可得：()()()()1111m t m ti j i j i j i j rank f A rank g A n rank f A g A ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏.典型例题分析：例1：设A 为n 阶矩阵，且2A A =，证明：()()rank A rank A E n +-=,E 为n 阶矩阵.证明：令()f x x =，()1g x x =-，则()()(),1f x g x =，而2A A =,则20A A -=，所以应用定理1.4.4，可得到()()()()()()()()()rank A rank A E rank f A rank g A n rank f A g A +-=+=+()()()20n rank A A E n rank A A n n=+-=+-=+=.例2：设A 为n 阶矩阵，且2A E =,证明()()rank A E rank A E n ++-=. 证明：令()1f x x =+，()1g x x =-，则()()(),1f x g x =，应用定理1.4.4，可得到()()()()()()2rank A E rank A E n rank A E A E n rank A E ++-=++-=+-()00n rank n n =+=+=.例3：设n n A F ⨯∈，n 为正整数，则对任意的正整数l ，k ，有：()()()1klmrank Arank A E n +-=，如果1m AA +=;()()12(2)klm m rank A E rank AAA E n ---+++++= ,如果mA E=.证明：()1令()lfx x =，()()1kmg x x =-，则()()(),1f x g x =，应用定理1.4.4，()()()()()()klmrank Arank A E rankf A rankg A +-=+()()()()()klmn rankf Ag A n rank A AE =+=+-()()()()()()111100k kl m ml m n rank AAA A E n rank AA E n rank n --+-=+--=+-=+=()2令()()()12(1),1klm m f x x g x xxx -+=-=++++ ，则()()(,)1f x g x =应用定理1.4.4，可到：()()()()()()12klm m rank A E rank AAA E rank f x rank g x ---+++++=+()()()()()()12klm m n rank f A g A n rankA E AAA E --=+=+-++++()()()()()111212k l m m m m n rankA E A E A AA E AAA E ---+-+=+--++++++++ ()()()()()()11121212k l mm m m m m n rank A E A A A A AAA E AAA E -------=+-++++-+++++++ ()()()()1112k l mm m n rank A E A E A AA E ---+=+--++++()0n rank n =+=以上三道例题如果用零化多项式的知识去解非常繁琐，但用 S ylvester 不等式来就非常简单且易懂.矩阵秩的不等式在解题中有很好的应用，本文就不一一说明了.1.5 矩阵的秩与可逆性质1.5.1 对于任意一个n 阶矩阵A ，以下三种说法等价()1矩阵A 可逆；()2()rank A n =；()3det 0A ≠.性质1.5.2 矩阵的行秩、列秩、秩相等.性质 1.5.3 设A 为m n ⨯阶矩阵，P 为m 阶可逆矩阵，Q 为n 阶矩阵，则()()()()rank PAQ rank AQ rank PA rank A ===.2 求矩阵的秩.1、利用定义：（子式判别法）即寻找出矩阵中非零子式的最大阶数.2、用初等变换将矩阵化为阶梯型，数出非零行的个数，既为矩阵的秩. 3 矩阵的秩在线性代数中的应用 3.1 矩阵的秩与解线性方程组定理3.1.1（线性方程组可解的判定方法） 设n 元线性方程组A X B =，其中，11121121222212,n n m m m n m a a a b a a a bA B a a a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设其增广矩阵为11121121222212n n m m m nm a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭； 则有()1方程组A X B =无解当且仅当()()rank A rank A<；()2方程组A X B =有唯一解当且仅当()()rank A rank A n ==； ()3方程组A XB =有无穷多解当且仅当()()rank A rank A n =<．证明：利用上面的引理1.1.1所指出的初等变换把A 和A 化为：1,1111,112,1222,12,1,11100100010010,001001000000000000000r n r n r n r nr r rn r r r rn r m c c d c c c c d c c B B c c d c c d d +++++++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由于初等变换不改变矩阵的秩，因此，有()()()()()(),,rank A rank B r rank A rank B rank A rank A===≤．现在设线性方程组A X B =有解，既此时有120r r m d d d ++==== ，而,r m <或者r m =，这两种情况都有()()rank A rank B r ==，所以()()rank A rank A r ==．若方程组只有一个解，则其自由未知量的个数为零，则r n =． 若方程组有无穷多解，则r n <． 反过来，设()()rank A rank A =，则()rank B r =，则有120r r m d d d ++=== ，因而，方程组有解．若r n =，则该方程组自由未知量的个数为零，则该方程组的解只有一个． 若r n <，则该方程组有无穷多个解．由此得证．定理3.1.2（齐次线性方程组有非零解的判定方法） 一个奇次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未知量的个数n ．证明：当r n =时，方程组一个解，既是零解．当r n <时，方程组有无穷多解，因而它除了零解外，还有其它非零解．证毕．定理 3.1.3（齐次线性方程组的解空间的维数） 数域F 上一个n 个未知量的齐次线性方程组的一切解作成n F 的一个子空间，称为这个齐次线性方程组的解空间．如果所给的方程组的系数矩阵的秩为r ，那么解空间的维数等于n r -． 3.2 矩阵的秩与向量组的相关性向量组的线性相关型理论是贯穿线性代数始终的理论主线．由于线性关系是变量比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下，可以转化或近似转化为线性问题来解决．如果称一组向量组12,,,k u u u 是线性无关的，那么等式10kj j j c u ==∑只有12,,0k c c c = 是能成立．否则称这组向量组是线性相关的．假设这组向量组为1m +阶的列向量．这时用矩阵的形式可以将上述的等式写成10kj j j AC c u ===∑，其中()12,,k A u u u = ，()12,,,Tk C c c c = ．这时判断向量12,,,k u u u 组线性无关或相关的问题，可以转换成求方程组A C =是否有非零解的问题来讨论．结合定理5.1.2，可以得到：定理 3.2.1 一组列向量组线性无关当且仅当矩阵()12,,,k A u u u = 的秩等于k ．由此可得到矩阵秩的另一种等价的定义： 定义3.2 矩阵()ij m nA a ⨯=的行（列）向量组的极大无关组的个数成为该矩阵的秩．定理3.2.2 如果方阵n n A C ⨯∈的秩为r ，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组0A X =的解向量组中，必有n r -个是线性无关的． 3.3 矩阵的秩与零特征值代数重数相关性讨论引理3.3.1 设n 阶方阵()ij n nA a ⨯=的特征值为12,,,n λλλ ，则()1122331nna a a a trA ++++=()1232det n A λλλλ=⨯⨯⨯⨯()30A 是的特征值的充分必要条件是detA=0.引理 3.3.2 设i λ是方阵A 的i r 重特征值（称i r 为特征值i λ的代数重数），对应有i s 个线性无关的特征向量（称i s 为特征值i λ的几何重数），则1i i s r ≤≤．定理 3.3.1 如果方阵A 的秩为R ，设A 有零特征值，且其重数为r ,则必定有：n r R n -≤<证明：因为A 有零特征值，由引理3.3.1，则有det 0A =，即R n <，不等式右边成立.先求r 重零特征值对应的特征向量组12,,i x x x ，并设该向量组中有s 个线性无关，则：()()00.I A X I A X AX λ-=-=-=由此可见，零特征值对应的特征向量既为以A 为系数矩阵的n 元齐次线性方程组的解向量．因()rank A R =，由定理5.2.2，知s n R =-，而r 既为对应于零特征值的代数重数，s 既为对应于零特征值的几何重数．由引理 3.3.2可得到r s n r ≥=-，即r n R ≥-，移项得R n r ≥-．所以不等式左边成立．推论3.3.1 如果方阵A 仅有一个零特征值，即1r =，则必有A 的秩1R n =-． 证明：因为n r R n -≤<且1r =，所以1n R n -≤<，又因为R 为矩阵A 的秩，且,,1R n n -均为正整数，所以必有1R n =-．证毕．由n r R n -≤≤移项可得到n R r -≤且零特征值代数重数r n <，则n R r n -≤<，即如果A的秩为R ，则A 的零特征值的代数重数r n R ≥-，由此可得到以下推论．推论3.3.2 如果方阵A 的秩1R =,A 的n 个特征值为12,,,n λλλ ，则必有123,0n trA λλλλ=====证明：因为,1n R r n R -≤<=，所以1n r n -≤<，而R ，n ，1n -均为正整数，类似于推论3.3.1的证明可得1r n =-．由引理3.3.1的结论()1可知112233123nn n a a a a trA λλλλ++++=++++= ，而1,2,,n λλλ 中有1n -个零，则12,,n λλλ 中只有一个非零且等于trA ．定理3.3.3 设方阵n n A ⨯的秩为R ，零特征向量代数重数为r ，几何重数为s ，则R n s =-．证明：求出矩阵A 的若尔当标准型J ，则A 的秩与J 相等，均为R ．11220,'ii J J J J J J J J J ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭． 其中12,,,i J J J 为其它非零特征值所对应的若尔当块，0J 为零特征值对应的若尔当快，设'J 的秩为'R ，则由若尔当标准型性质知，R n r =-．设0J 的秩为0R ，则必有0'R R R =+，如果方阵A 的r 重零特征值对应r 个线性无关的特征向量，即s r =，则0J 可对角化．000r rJ ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，00R r s =-=，则0'R R R n r r s n s =+=-+-=-．如果1s r =-，00100r rJ ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，01R r s =-=，则J的秩0'R R R =+1n r r s n s n r =-+-=-=-+．由此类推，如果零特征值对应的特征向量全相关，即1s =，此时0010110r rJ ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，01R r s r =-=-，则J 的秩0'1R R R n s n =+=-=-．证毕．因此，零特征值代数重数进能限定秩的范围，而在此范围内秩是由特征值的几何重数决定的．4 矩阵的秩在解析几何中的应用．将矩阵的秩推广到解析几何中，会收到很好的效果． 4.1 矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系时的应用．定理4.1.1 已知平面11111:a x b y c z d π++=与平面22222:a x b y c z d π++=，设线性方程组11112222a xb yc zd a x b y c z d ++=⎧⎨++=⎩ ()1的系数矩阵为A 增广矩阵为A ，则：①若()()2rank A rank B ==，平面1π与2π相交于一条直线：②若()()1rank A rank A ==，平面1π与2π重合； ③若()1rank A =，但()2rank A =，平面1π与2π平行．证明： ①若()()2rank A rank A ==，有以上的定理3.1.1，可知，线性方程组()1有无穷多解，设它的一个特解为()0000,,x y z γ=，它的导出方程组为1112220a x b y c z a x b y c z ++=⎧⎨++=⎩ ()2的系数矩阵A 的秩为2，而未知量有3个，因此方程组()2有非零解，且基础解系里解的个数为321-=．设()123,,e e e η=是导出组的一个基础解系，则方程组()1的全部解为()0010203,,k x ke y ke z ke γη+=+++，其中，k 为全体实数．由解析几何的知识知，当k 取遍全体实数是，0k γη+的轨迹为通过点()000,0,x y z γ=，且方向向量为()123,,e e e η=的一条直线．所以当()()2rank A rank A ==时，平面1π与平面2π相交于一条直线．②若()()1r a n k A r a n k A ==，此时，方程组()1有解，并且()1111,,,a b c d 与()2222,,,a b c d 成比例，于是111111112222000a b c d a b c d a b c d ⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以方程组()1的一般解为1111a x b y c z d ++=，既为平面1π，因此，平面1π与平面2π重合．③若()()1,2rank A rank A ==但，此时方程组()1无解，既是平面1π与平面2π无交点，既平行．由于111,,a b c 不全为零，所以()0rank A ≠，因此只有以上三种情况．证毕． 定理4.1.2 设空间三个平面的方程分别为：111122223333;;;A xB yC zD A x B y C z D A x B y C z D ++=++=++= 系数构成的矩阵为111111122222223333333,A B C A B C D A A B C A A B C D A B C A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则：①三平面重合的充要条件为()()1rank A rank A ==．②三平面平行的充要条件为()()1,2rank A rank A ==，且A 的任意两行不成比例．③三平面两两相异且有唯一公共点的充要条件为()()2rank A rank A ==，且A的任意两行不成比例．④三平面中有两平面平行，第三个平面与它们相交的充要条件是()2,rank A =并且，()3rank A =，且A 的任意两行不成比例．⑤两平面重合，且第三平面与它们平行的充要条件是：()1rank A =，()2rank A =，且A 的两行不成比例．⑥三平面有唯一的公共点的充要条件是()3rank A =． 4.2 矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系的应用．定理4.2 设空间平面与直线的一般方程为：222211113333,A B C D A x B y C z D A B C D ++=⎧++=⎨++=⎩． 系数构成的矩阵为111111122222223333333,.A B C A B C D A A B C A A B C D A B C A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则：①直线与平面相交的充要条件为：()()3rank A rank A ==． ②直线与平面没有公共点的充要条件为()()2,3rank A rank A == ③直线属于已知平面的充要条件为()()2rank A rank A ==． 4.3 矩阵的秩在判定直线与直线的位置关系的应用． 定理4.3 设空间两直线的一般方程分别为：1111333322224444,A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D ++=++=⎧⎧⎨⎨++=++=⎩⎩． 系数构成的矩阵为1111111222222233333334444444,A B C A B C D A B C A B C D A A A B C A B C D A B C A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则：两直线异面的充要条件为()()3,4rank A rank A ==；两直线相交的充要条件为()()3rank A rank A ==； 两直线平行的充要条件为()()2,3rank A rank A ==； 两直线重合的充要条件为()()2rank A rank A ==．证明：由定理 3.1.1可知,方程组A X D =有唯一解的充要条件为()()3rank A rank A ==,方程组有唯一解既是两直线相交,所以两直线相交的充要条件为()()3rank A rank A ==.方程组A X D =有无数多解的充要条件为()()3rank A rank A =<,即两直线重合的充要条件为()()3rank A rank A =<,而由定理6.1.1知,()2rank A ≥,所以,两直线重合的充要条件为()()2rank A rank A ==.由定理 4.1知，1113332224442A B C A B C r a n k r a n k A B C A B C ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,齐次线性方程组0A X =由非零解的充要条件为()3rank A <，即()2rank A =,即两直线平行的充要条件为()()2,3rank A rank A ==.5 矩阵的秩在判定齐次M arkov 链遍历性中的应用设(),ij p m m n +为M arkov 链的n 步转移概率,如果(),ij p m m n +只与,i j 及时间间距n 有关时,即称此M arkov 链是齐次的.对于齐次M arkov 链,我们常常关心它的遍历性问题.判断齐次M arkov 链{},0n X n ≥的遍历性的一个充分条件如下:引理 5.1 设齐次M arkov 链{},0n X n ≥的状态空间为{}12,,n S a a a = ,P 是它的一步转移概率矩阵,如果存在整数m ,使得任意的,i j a a S ∈,都有()0,,1,2,,ij p m i j n >=则此链具有遍历性,且有极限分布()12,,,Tn ππππ= ,它是方程组P ππ=,即1,1,2,,Nj ij i i p j n ππ===∑的唯一解,其中满足jπ概率分布条件为10,1Nj i i ππ=>=∑.由引理可知，要判断齐次M arkov 链的遍历性，通常需要找到一个正整数k ，使k 步转移概率矩阵k P 无零元.当k 比较大时，通常的处理比较繁琐而且运算量大．由引理又可知：只有当极限存在（即唯一性）时，齐次M arkov 链才有遍历性，因此可通过判断11nii P πππ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ （1） 或等价于()101n i i P E ππ=⎧-=⎪⎨=⎪⎩∑ （2）是否具有唯一解来判断齐次M arkov 链{},0n X n ≥是否具有遍历性．定理5.2 设{},0k X k ≥为具有n 个状态的齐次M arkov 链，()rank Z m =，则有：当m n =时，齐次M arkov 链{},0k X k ≥具有遍历性； 当m n <时，齐次M arkov 链{},0k X k >不具有遍历性． 其中Z 表示线性方程组（2）的系数矩阵，E 为n n ⨯矩阵．证明：因为{},0k X k ≥为具有n 个状态的齐次M arkov 链，故可设其一步转移概率矩阵为111111j n i ij in n njnn n np p p p p p P p p p ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设Q 为全是1的n 维行向量，即()111Q = ，有方程组（2）得到其增广矩阵为01P EB Q -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(3) 由定理3.1可知，当且仅当()()rank B rank Z n ==时，方程组（1）才有唯一解，结合引理的结论，可知本定理是成立的．由定理可知，在实际问题中，只要求出矩阵Z 的秩m ，判断m 和n 之间的大小，就可以判断齐次M arkov 的遍历性．参考文献[1] 张禾瑞．高等代数（第五版）[M]．北京：高等教育出版社，2007.[2] 吕林根,许道子．解析几何[M]．北京：高等教育出版社，2006.[3] 许以超．线性代数与矩阵[M]．北京：高等教育出版社，1992.[4] 李师正．高等代数解题方法与技巧［M］.北京:高等教育出版社,2004.[5] 徐仲,张凯院,陆全,冷国伟．矩阵论简明教程［M］．北京：科学出版社，2005.[6] 贾美娥．矩阵的秩与运算的关系［J］.赤峰学院学报,2010,26(9):3-4.[7] 屠伯埙．体上线性映射的子空间的维数及应用［J］.数学研究与评论.1990,10(3):327-332.[8] 周华任，廖洪林，李配军.矩阵秩的等式证法[J].教学与研究.2003,24(1):76-79.[9] David C. 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矩阵秩的不等式及其应用文献综述
---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 矩阵秩的不等式及其应用+文献综述摘要：矩阵秩的不等式在矩阵的秩中占有非常重要的地位，同时它与线空间、线性方程组都有密切的联系，通过对矩阵秩的不等式的学习，能够加深我们对线性空间、线性方程组的理解.本文探讨的是一些常见矩阵的秩不等式及其证明方法，例如矩阵秩的基本不等式、不等式、不等式等，并结合实例说明这些矩阵秩不等式的具体应用.7912关键词：矩阵秩；不等式；初等变换Inequality of Rank of Matrix and Its ApplicationAbstract：Inequality of rank of matrix occupies a very important position in the rank of a matrix,at the same time and linear space.The linear equations are closely linked,The inequalities of matrix rank learning,to deepen our understanding of the linear space, linear equations of1 / 5understanding.This paper discusses the method of proof of some Common the rank of a matrix inequality proof,for example,the basic inequality of rank of matrix、inequality、inequality and so on,combined with examples of specific applications of these inequalities.Keywords:The rank of a matrix;Inequality;Elementary transformation目录摘要1引言21．预备知识32．矩阵秩的不等式33．矩阵秩不等式的应用6---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 结束语12参考文献13致谢14矩阵秩的不等式及其应用引言矩阵的秩是矩阵中一个基本概念，同时也是矩阵最重要的数值特征之一.矩阵的秩在代数研究中有着非常重要的研究意义，同时它和线性方程组，线性空间等都存在着密切的联系,因此学好矩阵的秩能够为我们的代数研究打下良好的基础，随着矩阵的秩理论的发展，关于矩阵秩的不等式的新结果层出不穷，这些矩阵秩的不等式在自然科学、社会经济、工程技术等相关领域都有着广泛的应用，所以对矩阵秩的不等式进行归纳总结，并在此基础上研究其应用，具有一定的理论价值和应用价值.3 / 5定理2.2当线性方程组的系数矩阵与它的增广矩阵的秩相同时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解.定理2.3矩阵的秩是的充分必要条件是矩阵中至少存在一个阶子式不等于零，与此同时它的所有+1阶子式全为零.性质2.1 设都为阶矩阵，则证明：因为的解一定是的解，故的基础解系为的基础解系一部分，性质2.2 假设与都是矩阵，则.证明假设和的列向量为和，其中又设的秩分别是因此不妨设的极大线性无关向量组,---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 线性表示，同时可由线性表示.故.性质2.3 设是两个阶方阵，则证明当其中有一个为零时，命题显然成立.假设，则有阶子式有阶子式因此矩阵秩的不等式及其应用+文献综述(2):5 / 5。
毕业论文几类与矩阵的秩有关的问题
几类与矩阵的秩有关的问题Several types of issues related to the rank of matrix专业: 数学与应用数学作者:指导老师:学校二○一摘要本文研究了与矩阵的秩有关的几类问题, 用定理和实例说明了矩阵的秩在向量的线性关系; 求解线性方程组; 判断空间中点线面的位置关系; 二次型; 线性变换等方面的应用.关键词: 矩阵的秩; 向量; 线性方程组; 位置关系; 二次型; 线性变换AbstractThis article study several types of issues related to the rank of matrix, theorem and the examples used the rank of the matrix in the linear relationship between vector, solving linear equations, determine spatial point line surface location relationship, quadratic, linear transformationand other applications.Keywords: Rank of matrix; Vector; Linear equations; Set relations; Quadratic; Linear transformationand目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1矩阵的秩的定义及简单性质 (1)2矩阵的秩与向量的线性关系 (2)3矩阵的秩与线性方程组的解 (4)4矩阵的秩与空间中的点线面位置关系 (7)5矩阵的秩与二次型 (10)6矩阵的秩与线性变换 (13)参考文献 (16)0 引言矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型理; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义[]1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.1.2 矩阵的秩的几个简单性质(1.2.1) 秩(A ) = 0, 当且仅当A 是零矩阵 (1.2.2) 秩(A ) =n , 当且仅当|A |≠0(1.2.3) 设A 是m ×n 矩阵, 则秩(A )≤()min ,m n (1.2.4) 秩()A B ±≤秩A +秩B(1.2.5) r 00()()0AA r r A rB BC B B ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1.2.6) 设A , B 分别为n ⨯m 与m ⨯s 矩阵, 则秩()AB ≤min{秩A ,秩B , n ,m ,s }.2 矩阵的秩与向量的线性关系高等代数中, 判断向量组的线性相关性时, 我们的依据是向量组中的其中一个向量是否可以由其余的向量线性表出来. 这种做法简单易懂, 但对一些较为复杂的这类问题时解法复杂, 上述方法有一定的局限性. 我们可以用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题. 首先, 有以下的结论.2.1 线性相关性的判断定理2.1 设12,,,,n s P ααα∈ 令A =()12,,,s ααα , 其中A 是n s ⨯矩阵, i α为n 维列向量, 且x ='12(,,,)s x x x 则12,,,s ααα 线性相关⇔A x =0有非零解⇔秩A <s . 12,,,s ααα 线性无关⇔A x =0只有零解⇔秩A =s .例2.1 设A 为n 阶方阵, 12,,,n ααα 为n 个线性无关的n 维向量, 证明: 秩A =n 的充要条件是A 1α, A 2α, , A n α线性无关.证明 令B =()12,,,n ααα , 那么B ≠0. 先证明必要性 设秩A =n , 所以A ≠0. 令1122()()()n n k A k A k A ααα+++ =0 （2.1.1） 用1A -左乘（2.1.1）式得1122n n k k k ααα++ =0. 所以120n k k k === . 即 A 1α, A 2α, , A n α线性无关.再证明充分性 因为A 1α, A 2α, , A n α线性无关， 所以12,,,n A A A ααα =AB ≠0,从而A ≠0, 即 秩A =n2.2 极大线性无关组定理2.2 （1） ()I : 12m ααα ，，，, 若在()I 中存在r 个线性无关的向量12r ααα ，，，, 且β∀∈()I 都可以由12r ααα ，，，线性表出, 则称12r ααα ，，，是()I 的一个极大线性无关组, 且称秩()I =r .（2） 两个等价的的向量具有相同的秩.（3） 若12m βββ （，，，）=12(,,,)s ααα A , 其中A 是s m ⨯矩阵, 若12,,,s ααα 线性无关, 则秩{}12,,,m βββ =秩A .例2.2 设有向量组（Ⅰ） 1α=()'1,0,2, 2α=()'1,1,3, 3α=()1,1,2'a -+, （Ⅱ） 1β=()'1,2,3a +, 2β=()'2,1,6a +, 3β=()'2,1,4a +.试问：当a 为何值时, 向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价? 当a 为何值时, 向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？解 作初等行变换, 有 ()123123,,,,αααβββ=111122011211232364a a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪++++⎝⎭→102111011211001111a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪+-+-⎝⎭ （1）当a ≠1-时, 有行列式123ααα=1a +≠0, 秩()123,,ααα=3, 故线性方程组112233x x x ααα++=i β(1,2,3)i =均有惟一解. 所以123,,βββ可由向量组（Ⅰ）线性表示.行列式123βββ=6≠0, 秩()123,,βββ=3, 故123,,ααα可由向量组（Ⅱ）线性表示.因此向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.（2）当a=1-时, 有()123123,,,,αααβββ →102111011211000202-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭由于秩()123,,ααα≠秩()1231,,αααβ , 线性方程组112233x x x ααα++=1β无解, 故向量1β不能由123,,ααα线性表示. 因此, 向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.3 矩阵的秩与线性方程组的求解线性方程组问题是高等代数中极其重要的一类问题, 在解决和讨论线性方程组的解的问题时, 我们可以运用矩阵的秩的知识.而线性方程组要解决的问题可以归纳为以下三类问题：1. 方程组是否有解？2. 方程组有解时, 解的个数是多少？3. 如何求出解? 对于上述三个问题, 无一不与矩阵的秩有关, 既有下面的定理.3.1 齐次线性方程组的求解定理3.1[2] 设齐次线性方程组1111221121222211220,0,0.n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (3.1) 系数矩阵()ij m n A a ⨯=的秩()R A r =. 且方程组(3.1)的解空间为V . 则可以得到下列结论dim()()V n R A =-, 这里dim()V 表示方程组(3.1)解空间的维数．例3.1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系, 并写出全部解123412341234220,240,220.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+++=⎨⎪---+=⎩ 解 设方程组的系数矩阵为为A , 将A 用初等行变换化为阶梯形矩阵A =121212122411001112210000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭因此 秩A =2, 基础解系所含向量个数=4-2=2 所以 原方程的同解方程组为1234342200x x x x x x +-+=⎧⎨-=⎩即 124342x x x x x =--⎧⎨=⎩,取2x =1, 4x =0 代入得 1x =2-, 3x =0 得解向量 1η=()2,1,0,0-;取2x =0, 4x =1 代入得1x =1-, 3x =1 得解向量2η=()1,0,1,1-.所以1η, 2η为原方程组的一个基础解系那么方程组的全部解为1122k k ηη+,其中1k ,2k 为任意常数.3.2 非其次线性方程组的求解定理3.2 设有非齐次线性方程组A XB = (3.2)其中()()()1212,,,...,,,,...TTij n n m n A a X x x x B b b b ⨯===. 则有线性方程组(3.2)有解⇔R(A )=R ()A B , 即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩; 线性方程组(3.2)有唯一解()()()R A R A B n n ⇔==为未知数的个数; 线性方程组(3.2)有无穷多组解()().R A R A B n ⇔=< 例3.2 当c , d 取何值时, 线性方程组123451234523455123451,323,2263,5433.x x x x x x x x x x c x x x x x x x x x x d ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨++++=⎪⎪+++-=⎩ 无解? 有解? 有解时, 求出一般解. 解 对增广矩阵作一系列初等变换：1111111111113211301226301226301226354331012265c c d d ⎛⎫⎛⎫⎪⎪------ ⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭1111111111110000001226301226300000000002000002c c d d ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.从而有：)1当0,c ≠ 或者2d ≠时, ()(),R A R A B ≠ 故方程组无解;)2当0c =, 且2d =时, ()()2R A R A B ==<n =5, 故方程组有无穷多组解, 且解中含有n r -=5-2=3个自由变量;)3为求出一般解, 继续对增广矩阵施行初等变换, 并将c =0, d =2代入111111101152012263012263000003000000000d 2000000⎛⎫⎛----⎫ ⎪ ⎪⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.从而有134523452,226 3.x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ 其中345,,x x x 为自由变量, 它们可以取任意的实数.若令314253,,,x k x k x k ===则11232123314253522263x k k k x k k k x k x k x k =++-⎧⎪=---+⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩. 为所求一般解（其中123,,k k k 为任意实数）.4 矩阵的秩与空间中的点线面位置关系判断空间中点与点; 直线与直线; 直线与平面; 平面与平面的位置关系, 是代数知识在空间解析几何上的应用, 体现了代数与几何的完美结合, 以下我们用矩阵的秩对这几类关系作出详细的研究.4.1相关定理定理4.1 设空间中四个点(),1,2,3,4i iii p x y z i =11122233344411,11x y z x y z A x y z x y z =矩阵A 的秩()R A =r ,则有（1）r =4时, 四点异面; （2）r =3时, 四点共面; （3）r =2时, 四点共线; （4）r =1时, 四点重合.证明 因为1111,3,4210i j i x y z A A A εε-=⎡⎤−−−→=⎢⎥⎣⎦, ()()()121R A R A R A ==+故 （1）当r =4时, ()23,R A = 向量组12PP , 13PP , 14PP线性无关, 张成整个三维空间, 所以异面;（2）当r =3时, ()222,R A A =不妨设的前两行线性无关， 即向量12,PP13PP 线性无关, 于是该组向量可以将向量14PP 线性表示, 故四点共面, 但不共线;（3）当r =2时, ()21R A =, 与前面类似分析可得12PP , 13PP , 14PP 共线;（4）当r =1时, ()20R A =, 即12PP , 13PP , 14PP=0, 四点重合. 定理4.2 设两空间直线1111122220,:0.A x B y C z D L A x B y C z D ì+++=ïïíï+++=ïî3333244440,:0.A xB yC zD L A x B y C z D ì+++=ïïíï+++=ïî 设矩阵1111222233334444AB C D A B C D A A B C D A B C D 轾犏犏犏=犏犏犏臌, 111222333444A B C A B C B A B C A B C 轾犏犏犏=犏犏犏犏臌.矩阵A 的秩为R ，矩阵B 的秩为S ， 则（1）R =4时, 两直线异面; （2）R =S =2时, 两直线重合; （3）R =S =3时, 两直线相交; （4）R =3,S =2时, 两直线平行.定理4.3 111122220,:0.A x B y C z D L A x B y C z D ì+++=ïïíï+++=ïî和平面p : 33330A x B y C z D +++= 设111222333A B C A A B C A B C 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫, 111122223333A B C D B A B C D A B C D 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫. 则有（1）当R (A )=R (B )=3时, 直线L 与平面p 相交; 特别地, 当1313130A A B B C C ++=或者2323230A A B B C C ++=时, 直线L 与平面p 垂直; （2）当R (A )=R (B )=2时, 直线L 在平面p 上; （3）当R (A )=2, R (B )=3时, 直线与平面p 平行.证明 联立直线L 与平面p 方程得线性方程组. A , B 分别为系数矩阵和增广矩阵,且有2£R ()A £3, R ()B £3.（1）当R (A )=R (B )=3时, 方程组有唯一解, 故直线L 与平面p 相交, 当1313130A A B B C C ++=或者2323230A A B B C C ++=时, 构成直线的某一平面法线向量与平面p 的法向量垂直, 这时直线L 与平面p 垂直; 结论（2）和（3）可类似证明.定理4.4 设平面1p , 2p 的方程分别为11110A x B y C z D +++=22220A x B y C z D +++=. 记1122A B A A B 骣÷ç÷=ç÷÷ç桫, 则有 （1）当R (A )=2时, 平面1p 与2p 相交于一条直线; （2）当R (B )=1时, 平面1p 与2p 重合;（3）当R (A )=1, R (B )=2时, 平面1p 与2p 平行.4.2定理的应用例4.1 用矩阵给出平面上n 个点(),i i i p x y 共线的充要条件. 解 设直线为y k xb =+ （4.1.1） n 个点共线是指线性方程组（把k , b 看成未知量）1122n nkx b y kx b y kx b y +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ （4.1.2）有解, 所以n 个点(),i i i p x y 共线⇔方程组（4.1.2）有解⇔秩111n x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ =秩1111nn x y x y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 例4.2 判断两直线1270:270x y z L x y z ì+--=ïïíï-++-=ïî和236380:20x y z L x y z ì+--=ïïíï--=ïî的位置关系. 解 由系数矩阵1217211736382110A 轾-犏犏--犏=犏--犏犏--臌. 进行初等变换得A =12170517000700轾--犏犏--犏犏犏犏臌.A 的秩R =3, 秩S =2, 故两直线平行.例4.3 判断直线L : 00x z y ì+=ïïíï=ïî与平面p : 10x y z -++=的位置关系.解 由系数矩阵101001001111A 轾犏犏=犏犏-臌进行初等变换得101001000001A 轾犏犏=犏犏臌则R =2, S =3. 即直线L 平行与平面p .5 矩阵的秩与二次型矩阵的秩与二次型理论有密切的联系, 我们可以用矩阵的秩的相关理论来解决二次型的问题, 首先, 我们有以下的结论:5.1复数域上二次型的规范形1 复二次型()12,,n f x x x =22111nn n a x a x ++ 称为复数域上的规范性, 其中ii a =1或0（i=1, 2, , n ）2 任何复二次型'x Ax 都可经过非退化线性替换化为规范形：()12,,n f x x x =221r y y ++其中r =秩A , 且规范形是唯一的.3 任何复对称阵A 都合同于对角阵000rE⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 其中r =秩A . 4 两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.5.2实数域上二次型的规范形1 实二次型()12,,n f x x x =22111nn n a x a x ++ 称为实数域上的规范形, 其中 1,10i n ii a =- 或（=1，2，，）. 2 惯性定理 任何实二次型经过非退化实线性替换都可化成标准型, 标准型中的正平方项个数与负平方项个数永远是不变的, 并且若()12,,n f x x x =22221111p p p q p q b y b y c y c y ++++--- ,其中i b >0, j c >0(i =1, 2, , p ; j =1, 2, , q ). 称p 为正惯性指数, q 为负惯性指数, p -q 为符号差; 且秩A =p +q , 其中A 为二次型f 的矩阵.例5.1 求二次型()12,,,n f x x x =2114ni i j i i j nX x x =≤<≤+∑∑的秩与符号差.解 设()12,,,n f x x x 对应的矩阵为A , 则A =1222212222122221⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 于是由E A λ-=[][]1(1)2(1)(1)(2)n n λλ--+-+--=[]1(1)(21)n n λλ-+--可得A 的特征值为111,21n n n λλλ-===-=- ,所以()12,,,n f x x x 的秩=n , ()12,,,n f x x x 的符号差=1(1)2n n --=-.5.3矩阵的秩与二次型的正定设二次型()12,,n f x x x ='x Ax , 其中'A A =, 那么有以下的结论：A 正定⇔f 的正惯性指数与秩都等于n , A 负定⇔f 的负惯性指数与秩都等于n , A 半正定⇔f 的正惯性指数与秩相等.例 5.2设A 为n 阶满秩矩阵, 试证明: X (A 'A )'X 是一个正定二次型, 这里X =()12,,,n x x x .证明 设A 是满秩矩阵, 令'Y ='A 'X , 其中Y =()1,,n y y , 则'X =()1''A Y -是非退化线性替换, 且X (A 'A )'X ='Y =22212n y y y +++ (5.2.1) 由(5.2.1)看出, 此二次型的正惯性指数与秩都等于n . 所以 X (A 'A )'X 是正定二次型.例5.3 设A 为m 阶实对称矩阵, 且正定. B 为m n ⨯实矩阵. T B 为B 的转置矩阵.试证明：T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是秩()B =n .证明 先证明充分性 首先()TT T B AB B AB =1,0n x R x ⨯∀∈≠由秩B =n , 知B x ≠0, 而A 为正定矩阵, 故T x ()()()TT B AB x Bx A Bx =>0此即T B AB 为正定矩阵.再证明必要性 用反证法 若秩B <n , 则0Bx =有非零实数解0x 存在, 即B 0x =0,但0x ≠0, 由T B AB 为正定矩阵, 知0<()T T 00x B AB x =()()T00Bx A Bx (5.3.1)另一方面, 因为B 0x =0, 所以()()T00B B x A x (5.3.2)由于(5.3.1), (5.3.2)矛盾, 故秩B =n所以 T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是秩()B =n .6 矩阵的秩与线性变换线性变换问题是高等代数中的一类重要问题, 同时也是线性代数的一个主要研究对象. 在线性空间中, 基于线性空间的一组基, 可以线性变换与矩阵的关系. 而矩阵的秩是矩阵的一个重要的数量特征. 因此, 可以用矩阵的秩来研究线性变换.6.1矩阵的秩与核的计算1设V 是P 上的n 维线性空间, σ是V 的线性变换, 则称集合{}0,V ασαα=∈ 为σ的核, 记为1(0)σ-或ker σ.2 若12,,,n εεε 为V 的一组基, σ在基12,,,n εεε 下的矩阵为A , 则 (i) dim ()ker σ=n -秩A(ii)若秩A =r , 且0Ax =的基础解系为12,,,n r X X X - , 则ker σ=()12,,n r L ξξξ- , 其中()12,,i n i X ξεεε= ()1,2,,i n r =- 且12,,,n r ξξξ- 为ker σ的一组基.6.2矩阵的秩与值域的计算1设V 是P 上的n 维线性空间, σ是V 的线性变换, 则称集合{}V σαα∈为σ的值域, 记为σV .2 若12,,,n εεε 为V 的一组基, σ在基12,,,n εεε 下的矩阵为A , 则(i) dim σV =秩A(ii) 令A =()12,,,n A A A ,i A 为A 的列向量. 若秩A =r ,且12,,,r i i i AA A 为A 的列向量组的极大线性无关组, 则σV=()12,,,ri i i L δδδ , 其中()12,,,ji n δεεε= jiA ()1,2,,j r =且12,,,r i i i δδδ 为σV 的一组基.3 dim ()ker σ+dim σV =dim V =n .例6.1 设A 是n 维线性空间V 上的线性变换, 试证明: 秩2A =秩A 的充分必要条件是V =A V ⊕()10A -.证明 (1)先证明充分性 设V =A V ⊕()10A -, 因为()2A V A A V AV =⊆ (6.1.1) 且AV β∀∈, 存在V α∈, 使A βα=. 于是可设12ααα=+, 其中()112,0AV A αα-∈∈则()22121.A A A A A A A A V βααααδδ==+===∈此即2AV A V ⊆ (6.1.2) 由(6.1.1), (6.1.2)即证明A V =2A V . 故秩A =dim A V =dim 2A V =秩2A .再证明必要性 设秩A =秩2A , 则秩A +dim ()10A -=dim A V +dim ()10A -=n=dim 2A V +dim ()()120A - (6.1.3)=秩2A +秩()()120A -于是dim ()10A -=dim ()()120A - (6.1.4)但是()10A -⊆()()120A - (6.1.5) 于是由(6.1.4), (6.1.5)有()10A -=()()120A - (6.1.6)再证明A V ()10A -={}0 (6.1.7) 又因为()10AV A β-∀∈ , ,V γ∃∈ 使得A βγ=, 且0A β=, 所以()()()1221000A A AA γβγ--==⇒∈=故0A βγ==, 即证明了(6.1.7).由(6.1.3), (6.1.7). 可得V =A V ⊕()10A -.致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对汪老师表示衷心的感谢!参考文献[1]张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社,2007.[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社,2003.[3]丘维声. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[4]钱吉林.高等代数解题精粹[M]. 北京：中央民族大学出版社, 2002.[5]张贤达. 矩阵分析及应用[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004.[6]萧永震等. 空间解析几何解题指导[M].天津：天津科学技术出版社. 1990[7]刘丁酋. 矩阵分析[M]. 武昌: 武汉大学出版社, 2003. 8.[8]雷雪萍. 高等代数中一道习题的推广[J]. 大学数学, 2006,22（4）：161-163[9] Horn R A,Johnson C R.1989.Matrix Analysis（矩阵分析）. 杨奇. 天津：天津大学出版社.[10]Tian Y.Universal similarirty factorization equalities over generalized clifford Algebra[J]. 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百度文库-让每个人平等地提升自我3 矩阵秩的研究与应用[摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。
矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。
而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。
它反映矩阵固有特性的一个重要概念。
矩阵一旦确定秩也就确定了。
它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。
本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。
后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。
这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。
[1][2][3][关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。
百度文库-让每个人平等地提升自我4 矩阵秩的研究与应用1 前言矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。
更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。
矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。
如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。
理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。
在前人研究的基础上，我主要是对其进行了一个归纳总结，并简单的说了些自己的感想，希望大家能够从中有所收获。
百度文库 - 让每个人平等地提升自我42 矩阵的理论研究2.1矩阵秩的定义：秩的定义形式上看比较简单，但是难于理解为什么这样定义，有什么缘由？事实上矩阵秩的概念是从线性方程组中来的：给出m 个n 元一次方程组成的方程组，其中有些方程可以用别的方程来运算得出，因此这些方程去掉后，不影响方程的通解性。
比如 方程5x y +=可以由以下两个方程相减得出347x y += 232x y +=因此由这三个方程组成的方程组与由后面两个方程组成的方程组是同解的，5x y +=是多余的，可去掉。
这样对于m 个n 元一次方程组成的方程组就可 想办法去掉那些可用其他方程表示的方程，剩下相互独立的方程。
例如高斯消元法来去掉，而剩下的那些独立的方程的个数就是这个方程组的秩，矩阵的秩是从方程组的秩中来的，理解了这个就理解了秩的概念，这也是秩的几何意义。
如果从向量的相关性的角度考虑，可以这样认为：是矩阵的行（列）向量组的极大线性无关组的这个数，即这个向量组的行（列）秩。
传统的代数中有两种定义矩阵的秩的方法：定义1：一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩。
定义2：设m n A F ⨯∈.若有一个r 阶子式不为0，且 A 的所有1r +阶子式（假设A 有1r +阶子式）全为0或不存在，则称r 为A 的秩，记作()rank A ,若0A =，则()0rank A = 。
百度文库-让每个人平等地提升自我5 定义一、定义二，这两个定义是等价的。
它的等价性可由向量的线性相关性来证，课本中已有证明。
关于矩阵秩的刻画方式很多，下面给出的命题1就是关于矩阵秩的等价描述的一组结论．命题1设A为m n⨯矩阵，则下面各结论等价：1)()R A r=;2)A的行向量组的秩等于r;3)A的列向量组的秩等于r；4)A的行空间的维数等于r；5)A的列空间的维数等于r；6)n元其次线性方程组0AX=的解空间的维数等于n r-。
定义3：矩阵A经过初等行变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A的秩.矩阵A的秩为r,记为()R A r=.特别,零矩阵0的秩(0)0R=.该定义不仅便于理解，用该定义计算矩阵的秩也十分方便.只要对矩阵进行初等变换成阶梯型就能直接看出其秩了.实际上定义三就是根据定理“初等变换不改变矩阵的秩”得来的。
下面举例以加深理解和比较这三个定义：例1求矩阵A的秩其中112323571012A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦；解：法一（定义1）百度文库 - 让每个人平等地提升自我6A 有4个3阶子式，1122350101=--，1132370102=--，1232570112=---，1233570012=--.即它的所有3阶子式均为0.我们再随便写几个它的2阶子式，111023=≠，故A 的秩为2.法二（定义2）令1(1,1,2,3)α=，2(2,3,5,7)α=，3(1,0,1,2)α=---.则123A ααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.显然123,,ααα中两两不成比例，故秩不可能是1，但可能是2，这还需要验证， 令31122k k ααα=+.则带入数据，即有121212122130251372k k k k k k k k +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=-⎩，解得1231k k =-⎧⎨=⎩， 即有3123ααα=-+，也就是3α能被12,αα线性表出。
故其秩为2.法三（定义3）百度文库 - 让每个人平等地提升自我73221312112311231123235701110111101201110000r r r r r r --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，最终阶梯型矩阵不为0的行数是2，故其秩为2.[1][2][7]2.2矩阵秩的性质：1、()rank A B rankA rankB +≤+2、()(),rank AB min rankA rankB ≤3、(,)mn rankA min m n ≤4、()()(,)rank PA rank AQ rank P Q ==可逆5、若nn A 的秩为r ，则存在可逆矩阵P 、Q 使得r E O PAQ OO ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 6、()0rank A =，当且仅当A 是零矩阵； 7、()nn rank A n =，当且仅当0A ≠；若0A =，则()nn rank A n <；8、()()A O A O rank rankrank rank A rank B BC B O B ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；由上述性质7，我们又可以得到命题2()0rank A n A =⇔≠，从而有以下一些等价条件：1) n n ⨯矩阵A 的秩等于n ；2)矩阵A 的行列式不为零；3)矩阵A 是可逆矩阵；百度文库 - 让每个人平等地提升自我84)齐次线性方程组0AX =只有零解；5)矩阵A 能表示成一些初等矩阵的乘积的形式12n A Q Q Q =；6)矩阵A 的所有特征值均不为零。
有了这些等价条件，在解决一些具体问题的时候是十分方便的。
[4][5][8] 2.3秩的求法：求矩阵秩的方法很多，拿来一个题目首先要认真仔细审题，尤其要挖掘题设所隐含的、不明显的条件，寻找这些题设与要解得结论的关系，从而确定解题思路。
有时也要做一些技巧的变形，或构造一些辅助的条件，作为解决问题的桥梁，这是难点所在。
也正是数学难学的原因所在，总之，要因题而异，所谓学无定法。
比如对一个具体矩阵来说，秩的求法可利用上面提到的三个定义求得，既简便，又可行，如例1三种方法均可使用，难易程度不分彼此。
而对于一些抽象矩阵则很难一下看出思路和方法，还需利用其他知识等综合考虑问题，这需要学生多多做题，积累经验，具体问题具体分析。
我们来看下面一个例题。
例2.3 设,A B 是n 阶方阵，试证：如果0AB =，则()()rank A rank B n +≤.分析：解这个题需要由题设0AB =联想到秩与齐次线性方程组关联，清楚0AB =与0AX =两者的关系，更深一步是需要明白矩阵乘积的意义.证明：因为0AB =，所以B 的列向量都是齐次线性方程组0AX =的解，所以()rank B 小于或等于方程组0AX =的基础解系的个数()n rank A -，即()()rank B n rank A ≤-，百度文库 - 让每个人平等地提升自我9从而得()()rank A rank B n +≤.现在我们回过头来看例1，比较三个定义来求矩阵秩的方法优劣。
1、从逻辑性方面看：用定义3的方法逻辑推理性不强，没有层次感，学生较难理解接受；相比之下，用定义2，定义1的方法，逻辑推理性较强，层次分明，步骤明确，学生比较容易理解接受。
2、从计算量方面看：定义3的方法计算量较小。
对于常见的4行5列矩阵，用定义3的方法通常只需3—5个步骤、10次左右的初等变换就可求出秩。
如果能够灵活地将初等行变换、初等列变换交替使用，过程就更简单了；相比之下，用定义2的方法计算量非常大。
对于上述常见的4行5列矩阵，存在4、3、2、1阶子式，其中4阶子式有455C =个，3阶子式有334540C C =个，2阶子式有224560C C =个，1阶子式有114520C C =个，这样一个个算，量是非常大的。
对行列数更多的矩阵，要计算的就更多了，计算量也就更大了。
定义1的运算量也相当大，解多元方程组也是一个棘手的过程。
3、从计算难度方面看：对于行列数均3≤的矩阵而言，两种方法难度相差不大。
而对于行列数均3>的矩阵而言，用定义3的方法难度较小，用定义1、定义2的方法难度较大，且矩阵的行列数越大，前者和后两者方法难度的差距也随之增大。
4、从正确率方面看：对于行列数3≤的矩阵而言，三种方法也相差无几。
而对于行列数均3>的矩阵而言，用定义3的方法步骤简练，中间过程较少，因而出错的可能性相对较小，正确率较高；而用定义1、定义2的方法步骤繁多，且有一定难度，因而出错的可能性相百度文库 - 让每个人平等地提升自我10对较大，正确率也较低。
综合以上几个方面，用定义3的方法虽然相对不易理解接受，但实际应用时步骤简练，计算量相对较小，正确率较高；而用定义1、定义2的方法虽然相对较易理解接受，但实际应用时步骤繁琐，计算量很大，正确率也较低。
故而得出下面结论：在求矩阵的秩时，用定义3的方法要优于前面两种方法。