抛物线的性质归纳及证明

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(完整版)抛物线的性质归纳及证明

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抛物线的常见性质及证明概念焦半径:抛物线上一点与其焦点的连线段;焦点弦:两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,倾斜角为α,中点为C(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线,垂足为A ’、B ’、C ’. 1.求证:①焦半径αcos 12||1-=+=p p x AF ;②焦半径αcos 12||2+=+=pp x BF ; ③1| AF |+1| BF |=2p ; ④弦长| AB |=x 1+x 2+p =α2sin 2p ;特别地,当x 1=x 2(α=90︒)时,弦长|AB|最短,称为通径,长为2p ;⑤△AOB 的面积S △OAB =αsin 22p .证明:根据抛物线的定义,| AF |=| AD |=x 1+p 2,| BF |=| BC |=x 2+p2,| AB |=| AF |+| BF |=x 1+x 2+p如图2,过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1,垂足为 A 1、B 1,那么| RF |=| AD |-| FA 1 |=| AF |-| AF |cos θ, ∴| AF |=| RF |1-cos θ=p1-cos θ同理,| BF |=| RF |1+cos θ=p1+cos θ∴| AB |=| AF |+| BF |=p 1-cos θ+p 1+cos θ=2psin 2θ.S △OAB =S △OAF +S △OBF =12| OF || y 1 |+12| OF || y 1 |=12·p2·(| y 1|+| y 1 |)∵y 1y 2=-p 2,则y 1、y 2异号,因此,| y 1 |+| y 1 |=| y 1-y 2 |∴S △OAB =p 4| y 1-y 2 |=p 4(y 1+y 2)2-4y 1y 2=p 44m 2p 2+4p 2=p 221+m 2=p 22sin θ.2.求证:①2124p x x =;②212y y p =-;③ 1| AF |+1| BF |=2p .当AB ⊥x 轴时,有 AF BF p ==,成立; 当AB 与x 轴不垂直时,设焦点弦AB 的方程为:2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.代入抛物线方程: 2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得:()()222222014p k x p k x k -++=∵方程(1)之二根为x 1,x 2,∴1224k x x ⋅=.(122111212111111222x x p p pp AF BF AA BB x x x x +++=+=+=+++()()121222121222424x x p x x p p p p p p x x p x x ++++===+++++. 3.求证:=∠=∠'''FB A B AC Rt ∠.先证明:∠AMB =Rt ∠【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ,如图3,则△ADM ≌△ECM ,∴| AM |=| EM |,| EC |=| AD | ∴| BE |=| BC |+| CE |=| BC |+| AD | =| BF |+| AF |=| AB |∴△ABE 为等腰三角形,又M 是AE 的中点, ∴BM ⊥AE ,即∠AMB =Rt ∠ 【证法二】取AB 的中点N ,连结MN ,则| MN |=12(| AD |+| BC |)=12(| AF |+| BF |)=12| AB |,∴| MN |=| AN |=| BN |∴△ABM 为直角三角形,AB 为斜边,故∠AMB =Rt ∠.【证法三】由已知得C (-p 2,y 2)、D (-p 2,y 1),由此得M (-p 2,y 1+y 22).∴k AM =y 1-y 1+y 22x 1+p 2=y 1-y 22·y 212p +p =p (y 1-y 2)y 21+p 2=p (y 1--p 2y 1)y 21+p 2=p y 1,同理k BM =py 2 ∴k AM ·k BM =p y 1·p y 2=p 2y 1y 2=p 2-p 2=-1∴BM ⊥AE ,即∠AMB =Rt ∠.【证法四】由已知得C (-p 2,y 2)、D (-p2,y 1),由此得M (-p 2,y 1+y 22). ∴MA →=(x 1+p 2,y 1-y 22),MB →=(x 3+p 2,y 2-y 12)∴MA →·MB →=(x 1+p 2)(x 2+p 2)+(y 1-y 2)(y 2-y 1)4=x 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24-(y 1-y 2)24=p 24+p 2(y 212p +y 222p )+p 24-y 21+y 22-2y 1y 24=p 22+y 1y 22=p 22+-p 22=0 ∴MA →⊥MB →,故∠AMB =Rt ∠.【证法五】由下面证得∠DFC =90 ,连结FM ,则FM =DM .又AD =AF ,故△ADM ≌△AFM ,如图4 ∴∠1=∠2,同理∠3=∠4∴∠2+∠3=12×180︒=90︒∴∠AMB =Rt ∠. 接着证明:∠DFC =Rt ∠【证法一】如图5,由于| AD |=| AF |,AD ∥RF ,故可设∠AFD =∠ADF =∠DFR =α, 同理,设∠BFC =∠BCF =∠CFR =β, 而∠AFD +∠DFR +∠BFC +∠CFR =180︒ ∴2(α+β)=180︒,即α+β=90︒,故∠DFC =90︒ 【证法二】取CD 的中点M ,即M (-p 2,y 1+y 22)由前知k AM =py 1,k CF =-y 2+p 2+p 2=-y 2p =p y 1∴k AM =k CF ,AM ∥CF ,同理,BM ∥DF ∴∠DFC =∠AMB =90︒.【证法三】∵DF →=(p ,-y 1),CF →=(p ,-y 2),∴DF →·CF →=p 2+y 1y 2=0 ∴DF →⊥CF →,故∠DFC =90︒.【证法四】由于| RF |2=p 2=-y 1y 2=| DR |·| RC |,即| DR || RF |=| RF || RC |,且∠DRF =∠FRC =90︒ ∴ △DRF ∽△FRC∴∠DFR =∠RCF ,而∠RCF +∠RFC =90︒ ∴∠DFR +∠RFC =90︒ ∴∠DFC =90︒4. C ’A 、C ’B 是抛物线的切线【证法一】∵k AM =p y 1,AM 的直线方程为y -y 1=p y 1(x -y 212p)图6与抛物线方程y 2=2px 联立消去x 得y -y 1=p y 1(y 22p -y 212p),整理得y 2-2y 1y +y 21=0可见△=(2y 1)2-4y 21=0,故直线AM 与抛物线y 2=2px 相切, 同理BM 也是抛物线的切线,如图8.【证法二】由抛物线方程y 2=2px ,两边对x 求导,(y 2)'x=(2px )'x , 得2y ·y 'x=2p ,y 'x =py,故抛物线y 2=2px 在点A (x 1,y 1)处的切线的斜率为k 切=y 'x | y =y 1=p y 1. 又k AM =py 1,∴k 切=k AM ,即AM 是抛物线在点A 处的切线,同理BM 也是抛物线的切线.【证法三】∵过点A (x 1,y 1)的切线方程为y 1y =p (x +x 1),把M (-p 2,y 1+y 22)代入左边=y 1·y 1+y 22=y 21+y 1y 22=2px 1-p 22=px 1-p 22,右边=p (-p 2+x 1)=-p 22+px 1,左边=右边,可见,过点A 的切线经过点M ,即AM 是抛物线的切线,同理BM 也是抛物线的切线.5. C ’A 、C ’B 分别是∠A ’AB 和∠B ’BA 的平分线. 【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ,如图9,则△ADM ≌△ECM ,有AD ∥BC ,AB =BE , ∴∠DAM =∠AEB =∠BAM ,即AM 平分∠DAB ,同理BM 平分∠CBA . 【证法二】由图9可知只须证明直线AB 的倾斜角α是直线AM 的倾斜角β的2倍即可,即α=2β. 且M (-p 2,y 1+y 22)图9∵tan α=k AB =y 2-y 1x 2-x 1=y 2-y 1 y 222p -y 212p=2py 1+y 2. tan β=k AM =y 1-y 1+y 22x 1+p 2=y 1-y 22·y 212p +p =p (y 1-y 2)y 21+p 2=p (y 1--p 2y 1)y 21+p 2=py 1. ∴tan 2β=2tan β1-tan 2β=2py 11-(p y 1)2=2py 1y 22-p 2=2py 1y 22+y 1y 2=2py 1+y 2=tan α ∴α=2β,即AM 平分∠DAB ,同理BM 平分∠CBA .6. AC ’、A ’F 、y 轴三线共点,BC ’、B ’F 、y 轴三线共点 【证法一】如图10,设AM 与DF 相交于点G 1,由以上证明知| AD |=| AF |,AM 平分∠DAF ,故AG 1也是DF 边上的中线, ∴G 1是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D 1,DF 与y 轴相交于点G 2, 易知,| DD 1 |=| OF |,DD 1∥OF , 故△DD 1G 2≌△FOG 2∴| DG 2 |=| FG 2 |,则G 2也是DF 的中点.∴G 1与G 2重合(设为点G ),则AM 、DF 、y 轴三线共点,同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为y -y 1=p y 1(x -y 212p),令x =0得AM 与y 轴交于点G 1(0,y 12),又DF 的直线方程为y =-y 1p (x -p 2),令x =0得DF 与y 轴交于点G 2(0,y 12)∴AM 、DF 与y 轴的相交同一点G (0,y 12),则AM 、DF 、y 轴三线共点,同理BM 、CF 、y 轴也三线共点H .由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形.图107. A 、O 、B ’三点共线,B 、O 、A ’三点共线. 【证法一】如图11,k OA =y 1x 1=y 1 y 212p=2py 1,k OC =y 2 -p 2 =-2y 2p =-2py 2p 2=-2py 2-y 1y 2=2p y 1∴k OA =k OC ,则A 、O 、C 三点共线, 同理D 、O 、B 三点也共线.【证法二】设AC 与x 轴交于点O ',∵AD ∥RF ∥BC∴| RO ' || AD |=| CO ' || CA |=| BF || AB |,| O 'F || AF |=| CB || AB |, 又| AD |=| AF |,| BC |=| BF |,∴| RO ' || AF |=| O 'F || AF |∴| RO ' |=| O 'F |,则O '与O 重合,即C 、O 、A 三点共线,同理D 、O 、B 三点也共线.【证法三】设AC 与x 轴交于点O ',RF ∥BC ,| O 'F || CB |=| AF || AB |,∴| O 'F |=| CB |·| AF || AB |=| BF |·| AF || AF |+| BF |=1 1| AF |+1| BF |=p2【见⑵证】∴O '与O 重合,则即C 、O 、A 三点共线,同理D 、O 、B 三点也共线. 【证法四】∵OC →=(-p 2,y 2),OA →=(x 1,y 1),∵-p 2·y 1-x 1 y 2=-p 2·y 1-y 212p y 2=-py 12-y 1y 2y 12p =-py 12+p 2y 12p =0∴OC →∥OA →,且都以O 为端点∴A 、O 、C 三点共线,同理B 、O 、D 三点共线.【推广】过定点P (m ,0)的直线与抛物线y 2=2px (p >0)相交于点A 、B ,过A 、B 两点分别作直线l :x =-m 的垂线,垂足分别为M 、N ,则A 、O 、N 三点共线,B 、O 、M 三点也共线,如下图:图118. 若| AF |:| BF |=m :n ,点A 在第一象限,θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ=m -nm +n ;【证明】如图14,过A 、B 分别作准线l 的垂线,垂足分别为D ,C ,过B 作BE ⊥AD于E ,设| AF |=mt ,| AF |=nt ,则| AD |=| AF |,| BC |=| BF |,| AE |=| AD |-| BC |=(m -n )t ∴在Rt △ABE 中,cos ∠BAE =| AE || AB |= (m -n )t (m +n )t =m -nm +n∴cos θ=cos ∠BAE =m -nm +n.【例6】设经过抛物线y 2=2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ,且| AF |:| BF |=3:1,则直线AB 的倾斜角的大小为 .则E 的坐标为( p2+x 1 2,y 12),则点E 到y 轴的距离为d = p2+x 1 2=12| AF |故以AF 为直径的圆与y 轴相切, 同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15,设M 是AB 的中点,作MN ⊥准线l 于N ,则| MN |=12(| AD |+| BC |)=12(| AF |+| BF |)=12| AB |则圆心M 到l 的距离| MN |=12| AB |,故以AB 为直径的圆与准线相切. 10. MN 交抛物线于点Q ,则Q 是MN 的中点.【证明】设A (y 212p ,y 1),B (y 222p ,y 1),则C (-p 2,y 2),D (-p 2,y 1),M (-p 2,y 1+y 22),N (y 21+y 224p ,y 1+y 22),设MN 的中点为Q ',则Q ' ( -p 2+y 21+y 224p 2,y 1+y 22)∵ -p 2+y 21+y 224p 2= -2p 2+y 21+y 22 8p = 2y 1y 2+y 21+y 228p = ⎝⎛⎭⎫y 1+y 222 2p∴点Q ' 在抛物线y 2=2px 上,即Q 是MN 的中点.图16。

《抛物线的几何性质》 讲义

《抛物线的几何性质》 讲义

《抛物线的几何性质》讲义一、抛物线的定义在平面内,到定点 F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

其中定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。

我们可以通过一个简单的实例来理解抛物线的定义。

想象一个手电筒,当灯泡位于焦点位置,光线沿着与准线平行的方向射出,被照亮的区域的边界就是一条抛物线。

二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式:1、焦点在 x 轴正半轴上:$y^2 = 2px (p>0)$,焦点坐标为$(\frac{p}{2}, 0)$,准线方程为$x =\frac{p}{2}$。

2、焦点在 x 轴负半轴上:$y^2 =-2px (p>0)$,焦点坐标为$(\frac{p}{2}, 0)$,准线方程为$x =\frac{p}{2}$。

3、焦点在 y 轴正半轴上:$x^2 = 2py (p>0)$,焦点坐标为$(0, \frac{p}{2})$,准线方程为$y =\frac{p}{2}$。

4、焦点在 y 轴负半轴上:$x^2 =-2py (p>0)$,焦点坐标为$(0, \frac{p}{2})$,准线方程为$y =\frac{p}{2}$。

在这些方程中,p 表示焦点到准线的距离,它决定了抛物线的开口大小和形状。

例如,对于方程$y^2 =8x$,我们可以看出$2p =8$,即$p =4$,所以焦点坐标为$(2, 0)$,准线方程为$x =-2$。

三、抛物线的几何性质1、范围对于抛物线$y^2 = 2px (p>0)$,因为$y^2 \geq 0$,所以$x \geq 0$,即抛物线在 x 轴的右侧;对于抛物线$x^2 = 2py (p>0)$,$x \in R$,$y \geq 0$,即抛物线在 y 轴的上方。

2、对称性抛物线都是关于其对称轴轴对称的。

例如,$y^2 = 2px (p>0)$关于 x 轴对称,$x^2 = 2py (p>0)$关于 y 轴对称。

抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质

x
直线与抛物线的关系
例3.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的
直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围:
1. l与抛物线有且仅有一个公共点;
2. l与抛物线恰有两个公共点;
3. l与抛物线没有公共点.
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2 , 1 ) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 2 y 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
l
y
(4) 离心率:
O
F
x
e =1
方程 图
y2 = 2px
(p>0)
y
l O F x
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
(p>0)
y
x
l l F x
(p>0)
y
F
O l
(p>0)
y
x
O F
形 范围
对称 性
O
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于x轴对称 (0,0) e=1
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形:一种是直线 平行于抛物线的 对称轴; 另一种是直线与 抛物线相切.

归纳方法:
1.联立方程组,并化为关于x或y的一元方程;
2.考察二次项的系数是否为0,
①若为0,则直线与抛物线的对称轴平行, 直线与抛物线有且仅有一个交点; ②若不为0,则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离. ⊿=0 直线与抛物线相切; ⊿>0 直线与抛物线相交;

抛物线几何性质(抛物线几何性质总结)

抛物线几何性质(抛物线几何性质总结)

思考: “一条直线和抛物线 y2 2 px( p 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 .则 这条直线过焦点.”成立吗?
例2. 求证: 以抛物线的焦点弦为直径的圆与
抛物线的准线相切.
证明:取AB的中点M, 过A、B、C点作准线的
垂线, 垂足为A1、B1、M1, 则
x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
分析:如图可知原条件等价于M点到F(4, 0)和到
x=-4距离相等,由抛物线的定义,
点M的轨迹是以F(4, 0)为焦点,x=-4为准
线的抛物线.
y
因为p/2=4, 所以p=8,
M(x , y)
所求方程是 y2=16x.
-5 -4
F(4,0) x
例2. M是抛物线y2 = 2px (p>0)上一点, 若点M的
2
∴直线 AB 的方程为 x
y cot
p

x
y cot
p 2
消去
x
并整理
2
y2 2 px
得 y2 2 py cot p2 0
∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2
( x1 , y1 )
( x2 , y2 )
与直线 的倾斜角 无关!
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 = (1 cot2 )( y1 y2很)2奇怪!
三角形,那么∠CFD的大小如何?
yA C
90°
OF
x
D
B
形成结论
过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A、 B两点,焦点弦AB具有如下性质.
1
AB
x1
x2
p
2p

抛物线的性质归纳证明

抛物线的性质归纳证明

抛物线的性质归纳证明
抛物线是一条曲线,它可仨定位于二维坐标系中,曲线的形状通常是自“U”字形型
起伏或驼峰形,它满足一元二次方程。

$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。

抛物线的特征有:有一
个轴对称中心C(x1,y1);抛物线的一条边界线,称为焦点F(x2,y2);它的方程中a、b、c都是常数;抛物线上任意一点(x,y)满足方程,以此可推出抛物线的性质。

(1)抛物线轴对称:抛物线的轴对称中心坐标为(x1,y1)。

根据抛物线的轴对称
的定义,存在一个特定的点(x1,y1)使得图形的曲线在该点处对称。

那么就可以得到,
任意一点(x, y)只要满足:
$x - x_1 = x_1 -x\ 且\ y-y_1=y_1-y, \\ 则\ (x, y) 就在抛物线上$
(2)抛物线焦点:抛物线的焦点坐标为(x2,y2),根据定义我们可以推出,任意
一点(x,y)满足:
(3)方程的系数常数:抛物线的方程为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,其中a、b、c都是
常数,抛物线的形状也就可以根据这3个系数来确定。

(4)定位判断:任意一点(x, y)只要满足:$y=ax^2+bx+c(a≠0)$ ,则该点就
在抛物线上。

(5)关于x的函数:因为抛物线的方程存在一个自变量x,所以抛物线是一条关于x
的函数,它描述了给定y时,x的变化情况。

例如,当方程为$y=x^2-2x$,当y=-1时,
抛物线上会有两个位置x=1和x=-1。

以上就是抛物线的性质归纳证明,可以看出,抛物线的个性性质,包括轴对称、焦点、系数常数、定位判断以及关于x的函数,使得它在平面几何中具有重要的地位。

数学知识点:抛物线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)

数学知识点:抛物线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)

数学知识点:抛物线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)高考数学知识点:抛物线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)抛物线的焦点弦的性质:关于抛物线的几个重要结论:(1)弦长公式同椭圆.(2)对于抛物线y2=2px(p>0),我们有P(x0,y0)在抛物线内部P(x0,y0)在抛物线外部(3)抛物线y2=2px上的点P(x1,y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p>,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=kx+(4)抛物线y2=2px外一点P(x0,y0)的切点弦方程是(5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点M(x0,y0),则(6)自抛物线外一点P作两条切线,切点为A,B,若焦点为F, 又若切线PA⊥PB,则AB必过抛物线焦点F.利用抛物线的几何性质解题的方法:根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质,可以进行求值、图形的判断及有关证明.抛物线中定点问题的解决方法:在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识,在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身,与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合,考查综合分析问题的能力,而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点,充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键,在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。

利用焦点弦求值:利用抛物线及焦半径的定义,结合焦点弦的表示,进行有关的计算或求值。

抛物线中的几何证明方法:利用抛物线的定义及几何性质、焦点弦等进行有关的几何证明是抛物线中的一种常见题型,证明时注意利用好图形,并做好转化代换。

抛物线经典性质总结30条

抛物线经典性质总结30条

抛物线经典性质总结30条1.已知抛物线y=2px(p>0),AB是抛物线的焦点弦,点C 是AB的中点。

AA’垂直准线于A’,BB’垂直准线于B’,CC’垂直准线于C’,CC’交抛物线于点M,准线交x轴于点K。

证明:CC’是梯形AA’BB’的中位线,即|AB|=2|CC’|。

2.证明:|BF|=x^2/(2p)。

3.证明:CC’=AB=(AA’+BB’)/2.4.证明:以AB为直径的圆与准线L相切。

5.证明:∠A’FB’=90°。

6.证明:AA’FK,∴∠A’FK=∠FA’A;|AF|=|AA’|,∴∠AA’F=∠AFA’;同理可证∠B’FK=∠XXX,得证。

7.证明:C’F= A’B’=C’A’=C’B’。

8.证明:AC’平分∠A’AF,BC’平分∠B’BF,A’F平分∠AFK,B’F平分∠XXX。

9.证明:C’F垂直AB,即C’F⋅AB=0.10.证明:AF=(y+y1)/2p(1-cosα),BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。

11.证明:AF/BF=p/(1-cosα)。

12.证明:点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。

1.证明y = 2px的两种方法:方法一:代入y = kx^2求解k,得到k = 2p,证毕。

方法二:对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p,解出y' = p/x,证毕。

2.证明切线AC'和BC'交于焦点F:易证点A处的切线为y = px + py1,点B处的切线为y = px + py2,解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。

(y1+y2)/2),证毕。

3.对于抛物线y^2 = 2px,过准线上任一点P(-2p。

t)作切线,证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点,且PQ1⊥PQ2:设切点为Q(x。

y),则有y' = p/x,代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p),进而得到Q1、Q2的坐标。

抛物线经典性质总结30条

抛物线经典性质总结30条

抛物线性质30条已知抛物线22(0)y px p =>,AB 是抛物线的焦点弦,点C 是AB 的中点. AA’垂直准线于A ’, BB ’垂直准线于B ’, CC’垂直准线于C ’,CC ’交抛物线于点M ,准线交x 轴于点K. 求证:1.12||,||,22p pAF x BF x =+=+ 2.11()22CC AB AA BB '''==+;3.以AB 为直径的圆与准线L 相切;证明:CC’是梯形AA’BB’的中位线,||||||||||2||2AB AF BF AA BB CC r '''=+=+==4.90AC B '∠=;(由1可证)5.90A FB ''∠=;,,||||,,1,2AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠证明:同理:1,2B FK BFK '∠=∠得证. 6.1C F A B 2'''=.证明:由90A FB ''∠=得证.7.AC '垂直平分A F ';BC '垂直平分B F ';证明:由1C F A B 2'''=可知,1||||||,2C F A B C A '''''==||||,.AF AA '=∴又得证 同理可证另一个.8.AC '平分A AF '∠,BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠,B ’F 平分BFK ∠. 证明:由AC '垂直平分A F '可证. 9.C F 'AB ⊥;证明:122121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'⋅=-⋅--22222212211221()02222y y y y y y p x x --=-+=-+=10.1cos P AF α=-;1cos PBF α=+;证明:作AH 垂直x 轴于点H ,则||||||||||cos ,||1cos pAF AA KF FH p AF AF αα'==+=+∴=-.同理可证另一个. 11.112AF BF P+=; 证明:由1cos P AF α=-;1cos PBF α=+;得证.12. 点A 处的切线为11()y y p x x =+;证明:(方法一)设点A 处切线方程为11()y y k x x -=-,与22y px =联立,得21122()0,ky py p y kx -+-= 由2110220,x k y k p ∆=⇒-+=解这个关于k 的一元二次方程(它的差别式也恰为0)得:111,2y pk x y ==得证. 证法二:(求导)22y px =两边对x 求导得1122,,|,x x p p yy p y y y y ='''==∴=得证. 13.AC’是切线,切点为A ;B C’是切线,切点为B ;证明:易求得点A 处的切线为11()y y p x x =+,点B 处的切线为22()y y p x x =+,解得两切线的交点为12(,)22y y p C +'-,得证. 14. 过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线,则过两切点Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且12.PQ PQ ⊥证明:设点(,)()2pP t t R -∈为准线上任一点,过点P 作抛物线的切线,切点为2(,)2y Q y p , 22y px =两边对x 求导得22222,,,20,22PQ p p y tyy p y K y ty p y y y pp -''==∴==∴--=+ 显然22440,t p ∆=+>切点有两个,设为22211221212),(,),2,,2y Q y Q y y y t y y p p+==-则 1212122222221212222222FQ FQ y y py py k k y y y p y p pp p p ∴-=-=----- 1222121211221222220,py py p py y y y y y y y y y =-=-=++++ 所以Q 1Q 2过焦点. 22222222121212121212122(,)(,)()2222444y y y y y y p p p PQ PQ y t y t y y t y y t p p p+⋅=+-⋅+-=+++-++ 22222222222121212()2420,242424y y y y y y p p p t p t t t ++-+=-+-=-+-=-+-=12.PQ PQ ∴⊥15.A 、O 、B '三点共线;B 、O 、A '三点共线; 证明:A 、O 、B '三点共线2211212112.222OA OB y p pk k x y y y y y y p p '⇐=⇐=-⇐=-⇐=-同理可证:B 、O 、A '三点共线.16.122y y p ⋅=-;1224p x x ⋅=证明:设AB 的方程为()2py k x =-,与22y px =联立,得2220,ky py kp --= 212122,,p y y y y p k∴+==- 224212122.2244y y p p x x p p p ∴=⋅== 17.1222sin pAB x x p α=++=证明:1212,2p pAB AFFB x x x x p =+=+++=++||2AB ===222.sin pα==得证.18.22sin AOB p S α∆=;证明:122AOB OFA OFB p S S S ∆∆∆=+=⋅=22sin p α===. 19.322AOB S p AB ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭(定值);AB 22sin AOB p S α∆=得证. 20.22sin ABC p S α'∆= 证明:11||||222ABC S AB PF '∆=⋅=⋅ 22221(1)sin p p k α==+=21.2AB p ≥; 证明:由22sin pAB α=得证. 22.122AB pk y y =+; 证明:由点差法得证.23.121222tan P P y y x x α==--; 证明:作AA 2垂直x 轴于点A 2,在2AA F ∆中,2121tan ,2AA y FA p x α==-同理可证另一个.24.2A B 4AF BF ''=⋅;证明:2212124||4()()22ppA B AF BF y y x x ''=⋅⇔-=++ 2222121212121212242224y y y y x x px px p y y x x p ⇔+-=+++⇔-=+,由122y y p ⋅=-,1224p x x ⋅=得证.25. 设CC ’交抛物线于点M ,则点M 是CC ’的中点;证明:12121212(,),(,),CC ,22224x x y y y yx x p p C C ++++-''-∴中点横坐标为 把122y y y +=代入22y px =,得2221212121222222,2,.444y y y y px px p x x ppx px x +++-+-=∴==所以点M 的横坐标为12.4x x px +-=点M 是CC ’的中点.当弦AB 不过焦点时,设AB 交x 轴于点(,0)(0)D m m >,设分别以A 、B 为切点的切线相交于点P ,求证:26.点P 在直线x m =-上证明:设:,AB x ty m =+与22y px =联立,得21212220,2,2y pty pm y y pt y y pm --=∴+==-,又由221112121222:()(),,222:()PA y y p x x y y y yy y y y PB y y p x x =+⎧+-=-∴=⎨=+⎩,相减得 代入11()y y p x x =+得,22112112,2,,22y y y y px y y px x m +=+∴=∴=-得证.27. 设PC 交抛物线于点M ,则点M 是PC 的中点;证明:121212122(,),(,),,2224x x y y y y x x mC P m PC ++++--∴中点横坐标为 把122y y y +=代入22y px =,得221212121212222422,2,2,.444y y y y px px pm x x mpx y y pm px x +++-+-==-∴==所以点M 的横坐标为122.4x x mx +-=点M 是PC 的中点.28.设点A 、B 在准线上的射影分别是A 1,B 1,则PA 垂直平分A 1F , PB 垂直平分B 1F ,从而PA 平分1A AF ∠,PB 平分1B BF ∠ 证明:1111110()1,,()22PA A F y y p p k k PA A F y p p y p-⋅=⋅=⋅-=-∴⊥-- 又1||||AF AA =,所以PA 垂直平分A 1F. 同理可证另一个. 证法二:1112221112,,0,22AF AP AA y py pk k k y y y p p p ====--1tan tan 1AF APAF AP k k FAP PAA k k -∴∠-∠=+⋅ 12222231111111222221111111122111202()022()101py p p p py y p y y p y y py p p p p ppy p y y y y p y p p y y p y y y p -----+=-=-=-=-=-+++⋅+⋅- 11tan tan ,.FAP PAA FAP PAA ∴∠=∠∴∠=∠ 同理可证另一个29.PFA PFB ∠=∠证明:11111,,,PAA PAF PFA PA A PFB PB B PA A PB B ∆≅∆⇒∠=∠∠=∠∴∠=∠同理:只需证 易证:111111||||||,,PA PF PB PA B PB A ==∴∠=∠11,PA A PB B ∴∠=∠30.2||||||FA FB PF ⋅=证明:22222212121212122||||()()(),2224444y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p+⋅=++=+++=++ 1212(,),22y y y y P p +22222222121212122||,222444y y y y y y y y p p PF p p ++⎛⎫⎛⎫∴=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得证.例1:(2007江苏高考第19题)如图,过C (0,c )(c>0)作直线与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点,一条垂直于x 轴的直线,分别与线段AB 和直线y+c=0交于P 、Q 。

认识抛物线及其性质

认识抛物线及其性质

认识抛物线及其性质抛物线是数学中一种重要的曲线形状,它在物理学、工程学以及其他领域中都有广泛的应用。

本文将介绍抛物线的定义和性质,以及它在现实生活中的应用。

一、抛物线的定义抛物线可以通过以下的定义来描述:任意平面上给定一个定点F及一条直线L,不经过定点F,定点到直线上每一点的距离与点到直线的距离之比是一个常数。

这个比值称为离开定点F的距离与到直线L的距离之比的平方根,用e表示。

抛物线上的点P到定点F的距离与点P 到直线L的距离之比也等于e。

二、抛物线的性质1. 焦点和准线:在抛物线上,定点F称为焦点,直线L称为准线。

焦点是抛物线的重要属性之一,它与离开定点F的距离与到直线L的距离的关系密切相关。

2. 对称性:抛物线具有关于准线的对称性,即抛物线上的任意一点P到准线L的距离等于点P关于准线L的对称点P'到准线L的距离。

这一性质使得抛物线具有很好的对称美。

3. 焦半径:抛物线上任意一点P到焦点F的距离称为焦半径,记为r。

焦半径的值与点P在抛物线上的位置有关,它随着点P在抛物线上的移动而变化。

4. 焦直径:抛物线上两个焦点之间的距离称为焦直径,记为d。

焦直径的长度也是与焦半径相关的,它总是等于4倍的焦半径。

三、抛物线的应用抛物线在现实生活中有广泛的应用,下面介绍几个常见的应用领域:1. 抛物线的光学应用:抛物面是抛物线绕其准线旋转一周形成的曲面,它具有将入射光线聚焦到一个点的特性,因此广泛应用于望远镜、反射望远镜和抛物线反射器等光学仪器中。

2. 抛物线的物理应用:抛物线是自由落体运动的轨迹,因此在物理学中,抛物线被用来描述自由落体物体的运动轨迹。

3. 抛物线的工程应用:抛物线的特性使其在工程学中得到广泛应用。

比如,在桥梁设计中,抛物线的形状使得桥梁能够承受更大的重量。

4. 抛物线的图像应用:抛物线因其美观和对称性,经常在艺术和设计中被使用。

比如,建筑物的设计、家具的造型等都可以运用抛物线的形状。

抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质1.抛物线定义:平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 2.抛物线四种标准方程的几何性质:图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离,p 越大,开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 (0,0)离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α,22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α,则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3.抛物线)0(22>=p px y 的几何性质:(1)范围:因为p>0,由方程可知x ≥0,所以抛物线在y 轴的右侧, 当x 的值增大时,|y |也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性:对称轴要看一次项,符号决定开口方向. (3)顶点(0,0),离心率:1=e ,焦点(,0)2p F ,准线2px -=,焦准距p . (4) 焦点弦:抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ,),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||. 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时,通径最短为2p 。

抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质

y
1 y2
k
(x 4x
2)
Y
可得ky2 4 y 4(2k 1) 0 (1)当k 0时,由方程得 y 1.

把y 1代入y2 4x,得x 1 .
O
X
4
这时,直线l与抛物线只有一个公共点(1 ,1) 4
例1 已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,k 为何值时,直线l与抛物线y²=4x:只有一个公共点;有两个公共 点;没有公共点?
(0,0)
e=1
x2 2 py ( p 0)
y 0, xR
关于y 轴 对称,无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 2 py y 0,
关于y 轴 对称,无
(0,0) e=1
( p 0) x R 对称中心
例3 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点, 并且经过点(2,2 2),求它的标准方程。
(5)一次项系数的绝对值越大,开口越大
课堂小结
(1)抛物线的简单几何性质 (2)抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点 (3)应用性质求标准方程的方法和步骤
小结:
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程
3、注重数形结合的思想。
例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴。
证明:以抛物线的对称轴为x轴,它的顶点为原点,
建立直角坐标系。设抛物线的方程为y2 2 px,
点A的坐标为(
y02 2p
,
y0
),则直线OA的方程为y
抛物线的准线是x p

(完整版)抛物线的性质归纳及证明(最新整理)

(完整版)抛物线的性质归纳及证明(最新整理)

抛物线的常见性质及证明概念焦半径:抛物线上一点与其焦点的连线段;焦点弦:两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦两端点为,,倾斜角为,中点为),(11y x A ),(22y x B αC(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线,垂足为A’、B’、C’.1.求证:①焦半径;②焦半径;αcos 12||1-=+=p p x AF αcos 12||2+=+=pp x BF ③+=; ④弦长| AB |=x 1+x 2+p =;特别地,当x 1=x 2(1| AF |1| BF |2p α2sin 2p =90︒)时,弦长|AB|最短,称为通径,长为2p ;⑤△AOB 的面积S △OAB =.ααsin 22p 证明:根据抛物线的定义,| AF |=| AD |=x 1+,| BF |=| BC |=x 2+,p2p2| AB |=| AF |+| BF |=x 1+x 2+p如图2,过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1,垂足为A 1、B 1,那么| RF |=| AD |-| FA 1 |=| AF |-| AF |cos θ,∴| AF |==| RF |1-cos θp1-cos θ同理,| BF |==| RF |1+cos θp1+cos θ∴| AB |=| AF |+| BF |=+=.p1-cos θp1+cos θ2psin 2θS △OAB =S △OAF +S △OBF =| OF || y 1 |+| OF || y 1 |=·121212p2·(| y 1 |+| y 1 |)∵y 1y 2=-p 2,则y 1、y 2异号,因此,| y 1 |+| y 1 |=| y 1-y 2 |∴S △OAB =| y 1-y 2 |====.p 4p4(y 1+y 2)2-4y 1y 2p44m 2p 2+4p 2p 221+m2p 22sin θ2.求证:①;②;③ +=.2124p x x =212y y p =-1| AF |1| BF |2p 当AB ⊥x 轴时,有成立;AF BF p ==,当AB 与x 轴不垂直时,设焦点弦AB 的方程为:.代入抛物线方程:2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.化简得:2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()222222014p k x p k x k -++=∵方程(1)之二根为x 1,x 2,∴.1224k x x ⋅=111211111122p pAF BF AA BB x x +=+=+=++.()()121222121222424x x p x x p p p p p p x x p x x ++++===+++++3.求证:Rt ∠.=∠=∠'''FB A B AC 先证明:∠AMB =Rt ∠【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ,如图3,则△ADM ≌△ECM ,∴| AM |=| EM |,| EC |=| AD |∴| BE |=| BC |+| CE |=| BC |+| AD |=| BF |+| AF |=| AB |∴△ABE 为等腰三角形,又M 是AE 的中点,∴BM ⊥AE ,即∠AMB =Rt ∠【证法二】取AB 的中点N ,连结MN ,则| MN |=(| AD |+| BC |)=(| AF |+| BF |)=| AB |,∴| MN |=| AN |=| BN |121212∴△ABM 为直角三角形,AB 为斜边,故∠AMB =Rt ∠.【证法三】由已知得C (-,y 2)、D (-,y 1),由此得M (-,).p 2p 2p 2y 1+y 22∴k AM =====,同理k BM =y 1-y 1+y 22x 1+p2y 1-y 22·y 212p+pp (y 1-y 2)y 21+p 2p (y 1-\f(-p 2,y 1))y 21+p2py 1p y 2∴k AM ·k BM =·===-1p y 1p y 2p 2y 1y 2p 2-p 2∴BM ⊥AE ,即∠AMB =Rt ∠.【证法四】由已知得C (-,y 2)、D (-,y 1),由此得M (-p 2p2,).p 2y 1+y 22∴=(x 1+,),=(x 3+,)MA →p 2y 1-y 22MB → p 2y 2-y 12∴·=(x 1+)(x 2+)+MA → MB →p 2p 2(y 1-y 2)(y 2-y 1)4=x 1x 2+(x 1+x 2)+-p 2p 24(y 1-y 2)24=+(+)+-p 24p 2y 212p y 222p p 24y 21+y 22-2y 1y 24=+=+=0p 22y 1y 22p 22-p 22∴⊥,故∠AMB =Rt ∠.MA → MB →【证法五】由下面证得∠DFC =90 ,连结FM ,则FM =DM .又AD =AF ,故△ADM ≌△AFM ,如图4∴∠1=∠2,同理∠3=∠4∴∠2+∠3=×180︒=90︒12∴∠AMB =Rt ∠.接着证明:∠DFC =Rt ∠【证法一】如图5,由于| AD |=| AF |,AD ∥RF ,故可设∠AFD =∠ADF =∠DFR =α,同理,设∠BFC =∠BCF =∠CFR =β,而∠AFD +∠DFR +∠BFC +∠CFR =180︒∴2(α+β)=180︒,即α+β=90︒,故∠DFC =90︒【证法二】取CD 的中点M ,即M (-,)p 2y 1+y 22由前知k AM =,k CF ===p y 1-y 2+p 2+p 2-y 2p py1∴k AM =k CF ,AM ∥CF ,同理,BM ∥DF ∴∠DFC =∠AMB =90︒.【证法三】∵=(p ,-y 1),=(p ,-y 2),DF → CF →∴·=p 2+y 1y 2=0DF → CF →∴⊥,故∠DFC =90︒.DF → CF →【证法四】由于| RF |2=p 2=-y 1y 2=| DR |·| RC |,即| DR || RF |=,且∠DRF =∠FRC =90︒| RF || RC |∴ △DRF ∽△FRC∴∠DFR =∠RCF ,而∠RCF +∠RFC =90︒∴∠DFR +∠RFC =90︒∴∠DFC =90︒4. C ’A 、C ’B 是抛物线的切线图6【证法一】∵k AM =,AM 的直线方程为y -y 1=(x -)p y 1p y1y 212p 与抛物线方程y 2=2px联立消去x 得y -y 1=(-),整理得y 2-2y 1y +=0p y 1y 22p y 212py 2 1可见△=(2y 1)2-4=0,y21故直线AM 与抛物线y 2=2px 相切,同理BM 也是抛物线的切线,如图8.【证法二】由抛物线方程y 2=2px ,两边对x求导,=,(y 2)'x(2px )'x得2y ·=2p ,=,故抛物线y 2=2px 在点A (x 1,y 1)处的切线的斜率为k 切=| y 'x y ' x p y y 'x y =y 1=.py1又k AM =,∴k 切=k AM ,即AM 是抛物线在点A 处的切线,同理BM 也是抛物线的py1切线.【证法三】∵过点A (x 1,y 1)的切线方程为y 1y =p (x +x 1),把M (-,)代入p 2y 1+y 22左边=y 1·===px 1-,y 1+y 22y 21+y 1y 222px 1-p 22p 22右边=p (-+x 1)=-+px 1,左边=右边,可见,过点A 的切线经过点M ,p 2p 22即AM 是抛物线的切线,同理BM 也是抛物线的切线.5. C’A 、C’B 分别是∠A’AB 和∠B’BA 的平分线.【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ,如图9,则△ADM ≌△ECM ,有AD ∥BC ,AB =BE ,∴∠DAM =∠AEB =∠BAM ,E图8即AM 平分∠DAB ,同理BM 平分∠CBA .【证法二】由图9可知只须证明直线AB 的倾斜角α是直线AM 的倾斜角β的2倍即可,即α=2β. 且M (-,)p 2y 1+y 22∵tan α=k AB ===.y 2-y 1x 2-x 1y 2-y 1y 2 22p -y 212p 2py 1+y 2tan β=k AM =====.y 1-y 1+y 22x 1+p 2y 1-y 22·y 2 12p +pp (y 1-y 2)y 2 1+p 2p (y 1-\f(-p 2,y 1))y 2 1+p 2py 1∴tan 2β======tan α2tan β1-tan 2β2p y 11-(\f(p ,y 1))22py 1y 2 2-p 22py 1y 2 2+y 1y 22p y 1+y 2∴α=2β,即AM 平分∠DAB ,同理BM 平分∠CBA .6. AC’、A’F 、y 轴三线共点,BC’、B’F 、y 轴三线共点【证法一】如图10,设AM 与DF 相交于点G 1,由以上证明知| AD |=| AF |,AM 平分∠DAF ,故AG 1也是DF 边上的中线,∴G 1是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D 1,DF 与y 轴相交于点G 2,易知,| DD 1 |=| OF |,DD 1∥OF ,故△DD 1G 2≌△FOG 2∴| DG 2 |=| FG 2 |,则G 2也是DF 的中点.∴G 1与G 2重合(设为点G ),则AM 、DF 、y 轴三线共点,同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为y -y 1=(x -),py 1y 212p图10令x =0得AM 与y 轴交于点G 1(0,),y 12又DF 的直线方程为y =-(x -),令x =0得DF 与y 轴交于点G 2(0,)y 1p p 2y 12∴AM 、DF 与y 轴的相交同一点G (0,),则AM 、DF 、y 轴三线共点,y 12同理BM 、CF 、y 轴也三线共点H .由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形.7. A 、O 、B’三点共线,B 、O 、A’三点共线.【证法一】如图11,k OA ===,y 1x 1y 1y 212p2py1k OC ==-=-=-=y 2-p22y 2p 2py 2p 22py 2-y 1y 22p y 1∴k OA =k OC ,则A 、O 、C 三点共线,同理D 、O 、B 三点也共线.【证法二】设AC 与x 轴交于点O ',∵AD ∥RF ∥BC∴==,=,| RO ' || AD || CO ' || CA || BF || AB || O 'F || AF || CB || AB |又| AD |=| AF |,| BC |=| BF |,∴=| RO ' || AF || O 'F || AF |∴| RO ' |=| O 'F |,则O '与O 重合,即C 、O 、A 三点共线,同理D 、O 、B 三点也共线.【证法三】设AC 与x 轴交于点O ',RF ∥BC ,=,| O 'F || CB || AF || AB |∴| O 'F |====【见⑵证】| CB |·| AF || AB || BF |·| AF || AF |+| BF |11| AF |+1| BF |p 2∴O '与O 重合,则即C 、O 、A 三点共线,同理D 、O 、B 三点也共线.【证法四】∵=(-,y 2),=(x 1,y 1),OC → p 2OA →∵-·y 1-x 1 y 2=-·y 1- y 2=--=-+=0p 2p2y 212p py 12y 1y 2y 12p py 12p 2y 12p图11∴∥,且都以O 为端点OC → OA →∴A 、O 、C 三点共线,同理B 、O 、D 三点共线.【推广】过定点P (m ,0)的直线与抛物线y 2=2px (p >0)相交于点A 、B ,过A 、B 两点分别作直线l :x =-m 的垂线,垂足分别为M 、N ,则A 、O 、N 三点共线,B 、O 、M 三点也共线,如下图:8. 若| AF |:| BF |=m :n ,点A 在第一象限,θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ=;m -nm +n【证明】如图14,过A 、B 分别作准线l 的垂线,垂足分别为D ,C ,过B 作BE ⊥AD于E ,设| AF |=mt ,| AF |=nt ,则| AD |=| AF |,| BC |=| BF |,| AE |=| AD |-| BC |=(m -n )t ∴在Rt △ABE 中,cos ∠BAE ===| AE || AB |(m -n )t (m +n )t m -nm +n∴cos θ=cos ∠BAE =.m -nm +n 【例6】设经过抛物线y 2=2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ,且| AF |:| BF |=3:1,则直线AB 的倾斜角的大小为.【说明】如图15,设E 是AF 的中点,则E 的坐标为(,),p2+x 12y 12则点E 到y 轴的距离为d ==| AF |p2+x 1212故以AF 为直径的圆与y 轴相切,同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15,设M 是AB 的中点,作MN ⊥准线l 于N ,则| MN |=(| AD |+| BC |)=(| AF |+| BF |)=| AB |121212则圆心M 到l 的距离| MN |=| AB |,12故以AB 为直径的圆与准线相切. 10. MN 交抛物线于点Q ,则Q 是MN 的中点.【证明】设A (,y 1),B (,y 1),则C (-,y 2),D (-,y 1),y 212p y 222p p 2p2M (-,),N (,),p 2y 1+y 22y 2 1+y 224p y 1+y 22设MN 的中点为Q ',则Q ' (,)-p 2+y 21+y 224p 2y 1+y 22∵ ===-p 2+y 21+y 224p 2-2p 2+y 2 1+y 2 28p 2y 1y 2+y 2 1+y 228p (y 1+y 22)22p图16∴点Q 在抛物线y2=2px上,即Q是MN的中点.。

初中数学知识归纳抛物线的性质与像

初中数学知识归纳抛物线的性质与像

初中数学知识归纳抛物线的性质与像初中数学知识归纳-抛物线的性质与像抛物线作为数学中的一种特殊曲线形态,具有许多独特的性质和特点。

在初中数学学习中,了解和掌握抛物线的性质与像对于理解曲线方程、解题和图形的变换具有重要的意义。

本文将对抛物线的性质与像进行归纳总结,旨在帮助读者更好地理解和应用抛物线的相关知识。

一、抛物线的基本性质抛物线是由一条不等于零的常数a和变量x的平方项构成的二次函数图像。

其基本形式为:y = ax^2 + bx + c (a≠0)抛物线的顶点是图像的最低点或最高点,当抛物线开口朝上时,顶点为最低点,当开口朝下时,顶点为最高点。

顶点坐标为(h,k),其中 h = -b / (2a), k = c - b^2 / (4a)。

二、抛物线的开口方向与对称轴抛物线的开口方向由二次项系数a的正负决定。

当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。

抛物线的对称轴是通过顶点的一条直线,其方程为 x = h,其中 h为顶点的横坐标。

三、抛物线的焦点与准线抛物线上有两个特殊的点,即焦点和准线。

抛物线的焦点位于对称轴上,其纵坐标为 k + 1 / (4a)。

而准线与对称轴平行,其纵坐标为 k - 1 / (4a)。

四、抛物线的图像变换抛物线在坐标系中可以进行各种图像变换,如平移、伸缩等。

具体变换规律如下:1. 平移变换:将抛物线整体上下或左右移动,平移变换的规律为:对于直线 y = f(x),平移量为 (m, n),则新的直线方程为 y = f(x-m) + n。

2. 垂直方向的伸缩:对于直线 y = f(x),纵坐标整体伸缩为原来的a 倍,则新的直线方程为 y = a * f(x)。

3. 水平方向的伸缩:对于直线 y = f(x),横坐标整体伸缩为原来的b 倍,则新的直线方程为 y = f(x / b)。

五、抛物线的像知道抛物线的性质和图像变换后,我们可以在解题中应用这些知识,求解与抛物线相关的问题。

抛物线30条经典性质及其证明

抛物线30条经典性质及其证明

抛物线的30条经典性质及证明已知抛物线22(0)y px p =>,AB 是抛物线的焦点弦,点C 是AB 的中点.AA’垂直准线于A’,BB’垂直准线于B’,CC’垂直准线于C’,CC’交抛物线于点M ,准线交x 轴于点K.求证:1.12||,||,22p pAF x BF x =+=+2.11()22CC AB AA BB '''==+;3.以AB 为直径的圆与准线L 相切;证明:CC’是梯形AA’BB’的中位线,||||||||||2||2AB AF BF AA BB CC r'''=+=+==4.90AC B '∠=;(由1可证)5.90A FB ''∠= ;,,||||,,1,2AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠ 证明:同理:1,2B FK BFK '∠=∠得证.6.1C F A B 2'''=.证明:由90A FB ''∠=得证.7.AC '垂直平分A F ';BC '垂直平分B F ';证明:由1C F A B 2'''=可知,1||||||,2C F A B C A '''''==||||,.AF AA '=∴ 又得证同理可证另一个.8.AC '平分A AF '∠,BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠,B’F 平分BFK ∠.证明:由AC '垂直平分A F '可证.9.C F 'AB ⊥;证明:122121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'⋅=-⋅-- 22222212211221()02222y y y y y y p x x --=-+=-+=10.1cos P AF α=-;1cos PBF α=+;证明:作AH 垂直x 轴于点H,则||||||||||cos ,||1cos pAF AA KF FH p AF AF αα'==+=+∴=-.同理可证另一个.11.112AF BF P+=;证明:由1cos P AF α=-;1cos PBF α=+;得证.12.点A 处的切线为11()y y p x x =+;证明:(方法一)设点A 处切线方程为11()y y k x x -=-,与22y px =联立,得21122()0,ky py p y kx -+-=由2110220,x k y k p ∆=⇒-+=解这个关于k 的一元二次方程(它的差别式也恰为0)得:111,2y pk x y ==得证.证法二:(求导)22y px =两边对x 求导得1122,,|x x p pyy p y y y y ='''==∴=得证.13.AC’是切线,切点为A;BC’是切线,切点为B;证明:易求得点A 处的切线为11()y y p x x =+,点B 处的切线为22()y y p x x =+,解得两切线的交点为12(,22y y p C +'-,得证.14.过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线,则过两切点Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且12.PQ PQ ⊥证明:设点(,)()2pP t t R -∈为准线上任一点,过点P 作抛物线的切线,切点为2(,)2y Q y p ,22y px =两边对x 求导得22222,,,20,22PQ p p y tyy p y K y ty p y y y pp -''==∴==∴--=+显然22440,t p ∆=+>切点有两个,设为2221211221212(,),(,),2,,22y y Q y Q y y y t y y p p p+==-则1212122222221212222222FQ FQ y y py py k k y y y p y p pp p p ∴-=-=----1222121211221222220,py py p py y y y y y y y y y =-=-=++++所以Q 1Q 2过焦点.22222222121212*********(,)(,)()2222444y y y y y y p p p PQ PQ y t y t y y t y y tp p p +⋅=+-⋅+-=++-++ 22222222222121212()2420,242424y y y y y y p p p t p t t t ++-+=-+-=-+-=-+-=12.PQ PQ ∴⊥15.A 、O 、B '三点共线;B 、O 、A '三点共线;证明:A 、O 、B '三点共线2211212112.222OA OB y p pk k x y y y y y y p p '⇐=⇐=-⇐=-⇐=-同理可证:B 、O 、A '三点共线.16.122y y p ⋅=-;1224p x x ⋅=证明:设AB 的方程为(2py k x =-,与22y px =联立,得2220,ky py kp --=212122,,py y y y p k∴+==-224212122.2244y y p p x x p p p ∴=⋅==17.1222sin p AB x x p α=++=证明:1212,22p pAB AF FB x x x x p =+=+++=++||2AB p =222sin pα==得证.18.22sin AOBp S α∆=;证明:122AOB OFA OFB p S S S ∆∆∆=+=⋅⋅22sin p α==.19.322AOBS pAB∆⎛⎫= ⎪⎝⎭(定值);证明:由22sinpABα=、22sinAOBpSα∆=得证.20.22sinABCp Sα'∆=证明:11||||222 ABCS AB PF'∆=⋅=⋅22221(1)sinppkα==+=21.2AB p≥;证明:由22sinpABα=得证.22.122ABpky y=+;证明:由点差法得证.23.121222tanP Py yx xα==--;证明:作AA2垂直x轴于点A2,在2AA F∆中,2121tan,2AA yFA pxα==-同理可证另一个.24.2A B4AF BF''=⋅;证明:2212124||4()()22p pA B AF BF y y x x''=⋅⇔-=++2222121212121212242224y y y y x x px px p y y x x p⇔+-=+++⇔-=+,由122y y p⋅=-,1224px x⋅=得证.25.设CC’交抛物线于点M,则点M是CC’的中点;证明:12121212 (,),(),CC, 22224x x y y y y x x ppC C++++-''-∴中点横坐标为把122y yy+=代入22y px=,得2221212121222222,2,.444y y y y px px p x x ppx px x+++-+-=∴==所以点M的横坐标为12.4x x px+-=点M是CC’的中点.当弦AB 不过焦点时,设AB 交x 轴于点(,0)(0)D m m >,设分别以A 、B 为切点的切线相交于点P ,求证:26.点P 在直线x m =-上证明:设:,AB x ty m =+与22y px =联立,得21212220,2,2y pty pm y y pt y y pm --=∴+==-,又由221112121222:()(),,222:()PA y y p x x y y y y y y y y PB y y p x x =+⎧+-=-∴=⎨=+⎩,相减得代入11()y y p x x =+得,22112112,2,,22y y y y px y y px x m +=+∴=∴=-得证.27.设PC 交抛物线于点M ,则点M 是PC 的中点;证明:121212122(,),(,),,2224x x y y y y x x mC P m PC ++++--∴中点横坐标为把122y y y +=代入22y px =,得221212121212222422,2,2,.444y y y y px px pm x x mpx y y pm px x +++-+-==-∴== 所以点M 的横坐标为122.4x x mx +-=点M 是PC 的中点.28.设点A 、B 在准线上的射影分别是A 1,B 1,则PA 垂直平分A 1F ,PB 垂直平分B 1F ,从而PA 平分1A AF ∠,PB 平分1B BF∠证明:1111110()1,,()22PA A F y y p p k k PA A F y p p y p-⋅=⋅=⋅-=-∴⊥--又1||||AF AA =,所以PA 垂直平分A 1F.同理可证另一个.证法二:1112221112,,0,22AF AP AA y py pk k k y y y p p p ====--111tan tan 11AP AA AF APAF AP AP AA k k k k FAP PAA k k k k --∴∠-∠=-+⋅+⋅12222231111111222221111111122111202()022()101py p p p py y p y y p y y py p p p p ppy p y y y y p y p p y y p y y y p -----+=-==--=-+++⋅+⋅-11tan tan ,.FAP PAA FAP PAA ∴∠=∠∴∠=∠同理可证另一个29.PFA PFB∠=∠证明:11111,,,PAA PAF PFA PA A PFB PB B PA A PB B ∆≅∆⇒∠=∠∠=∠∴∠=∠同理:只需证易证:111111||||||,,PA PF PB PA B PB A ==∴∠=∠11,PA A PB B ∴∠=∠30.2||||||FA FB PF ⋅= 证明:22222212121212122||||()()(),2224444y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p+⋅=++=+++=++1212(,),22y y y y P p + 22222222121212122||,222444y y y y y y y y p p PF p p ++⎛⎫⎛⎫∴=-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭得证.例1:(2007江苏高考第19题)如图,过C(0,c)(c>0)作直线与抛物线y=x 2相交于A、B 两点,一条垂直于x 轴的直线,分别与线段AB 和直线y+c=0交于P、Q。

完整版抛物线的性质归纳及证明

完整版抛物线的性质归纳及证明

抛物线的常见性质及证明概念焦半径:抛物线上一点与其焦点的连线段;焦点弦:两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦性质及证明y 2= 2px (p >0)焦点F 的弦两端点为 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2),倾斜角为 ,中点为时,弦长|AB|最短,称为通径,长为 鸟卩:⑤^ AOB 的面积S ^OAB =2sin证明:根据抛物线的定义,I AF |= I AD |= x i + p , I BF |= I BC |= X 2+号,| AB |= | AF 1+ | BF |= X 1 + X 2+P如图2,过A 、B 引X 轴的垂线AA i 、BB I ,垂足为A i 、B i ,那么 I RF |= | AD I —I FA 1 |= | AF |- | AF |cos ,•j AF = 1—o^=1—cos同理,I BF |=I RF I=―p—1 + cos 1 + cos•j AB =I AF I+ I BF=血 + 1 + cos = sin 2S5 = SS AF + &OBF = 2| OF II y i |+1OF || y i | =舟-p - (I y i1+1 y i I)■ yi y 2=—P 2,贝y y i 、y 2异号,因此,I y i |+ | y i |= | y i — y 2 |C(x o ,y 0), 1.求证: 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线,垂足为 A'、B'、C . ①焦半径I AF I X i 当 一p —:②焦半径|BF I X 2占 2 1 cos2 ③备 +帀十厂p ;④弦长I AB| = X i + X 2+ p =—;特别地,| AF | | BF 丨 psin 2_p_1 cos当 x i =X 2( =90 )过抛物线2p二SgAB = p| y i —y2 | =艸(y i + y2)2—4y i y2 =哲4m2p2+4p2=^p/ i+m2=2Sn32.求证:①XX2 P:②yy4当AB丄x轴时,有AF BF P,成立;当AB与x轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为: •代入抛物线方程:k2X22 2PX.化简得: k2x2k22•••方程(1 )之二根为k2AF BFX1 X2 p 2P PX1 4 2 1X2X1 , X2, •-X1X2X1 X2BB1X13.求证:AC'BX2X2 X1X2P1 X2X1 X2 p2A'FB' Rt / .则先证明:/ AMB = Rt /•••△ ABE 为等腰三角形,又 M 是AE 的中点,••• BM 丄 AE ,即/ AMB = Rt / 【证法二】取 AB 的中点N ,连结MN ,则 | MN |= 2(| AD 汁 I BC |)= 2(1 AF |+ | BF |)=弓 AB |,A | MN |= | AN |= | BN |=齐瞪+i +臭沁4P!+ 迤=P!+» = 0•••MA 丄1M B ,故/ AMB = Rt / .【证法五】由下面证得/ DFC = 90,连结FM ,贝U FM = DM .又 AD = AF ,故△ ADMAFM ,如图 4•••/ 1 = / 2,同理/ 3 =/ 4•••△ ABM 为直角三角形,AB 为斜边,AMB = Rt / .【证法三】由已知得 C(— 2, y 2)、D( — 2, y i ).由此得M (—2,宁). --k AM =y i + y 2y i - 2 y i — y 2 p(y 1 — y 2) -P 2p(yi —=) y 1 X 1 + Py 2+p 22- S + p2 2卫=卫一=4 =— 1y 2+p 2 y ,,同理k BM =y • I_p --kAM - kBM = • P2,p p 2 (y 1 — y 2)2=X 1X 2 + 2(X 1 + X 2)+ 4 — —•••/ 2+/ 3 = 2X 180 = 90 •••/ AMB = Rt / .接着证明:/ DFC = Rt /【证法一】如图5,由于I AD |= | AF |, AD // RF,同理,设/ BFC =/ BCF = / CFR =, 而/ AFD + / DFR + /BFC +/ CFR = 180故可设/ AFD =/ ADF =/ DFR =••• 2( + ) = 180,即 + = 90,故/ DFC = 90 【证法二】取CD的中点M,即M(—2,豊产)由前知k AM=弗k cF =^—」—Ry i••• k AM = k CF, AM // CF,同理, BM // D F•••/ DFC =/ AMB = 90 .【证法三】••• "DF = (p, —y1), "C F=(P, -y2),• - DF • CF = p2+ y i y2 = 0•••"D F丄"C F,故/ DFC = 90 .【证法四】由于I RF 2= p2=—y i y2= I DR I - I RC |,即IR-j,且/ DRF = / FRC = 90••• △ DRF F RC•••/DFR = / RCF,而/ RCF+/ RFC = 90•••/ DFR + / RFC= 90•••/ DFC = 904. C ' A、C' B是抛物线的切线【证法一】••• k AM=y1,AM的直线方程为y- y1=y^与抛物线方程y2= 2px联立消去x得2 2y—y i=y i(2p―2p),整理得y2—2y i y+ y2= 0可见△= (2y i)2—4y2= 0,故直线AM与抛物线y2= 2px相切,同理BM也是抛物线的切线,如图8.【证法二】由抛物线方程y2= 2px,两边对x求导, 得2y • y x= 2p, y = p,故抛物线y2= 2px在点=yi = Py i(y2)x= (2p x)x,A(x i, y i)处的切线的斜率为k切=y x| y切线.又k AM =牛,• k切=K AM,即AM是抛物线在点A处的切线,同理BM也是抛物线的【证法三】•••过点A(x i, y i)的切线方程为y i y =p(x + x i),把M(—号,左边=y i •呼=y^=沁』=px i —^2,2右边=p(—p + x i)=—p + px i,左边=右边,可见,过点A的切线经过点M,即AM是抛物线的切线,同理BM也是抛物线的切线.5. C'A、C'B分别是/ A 'AB和/ B 'BA的平分线.【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图9,则^ ADM ECM,有AD // BC, AB= BE,•••/ DAM = / AEB = / BAM ,即AM平分/ DAB,同理BM平分/ CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角是直线AM的倾斜角的2倍即可,即=2.且M( - p,宁)「tan =k AB=x 2—i= y ¥y 2.2p —环,即AM 平分/ DAB ,同理 BM 平分/ CBA.【证法一】如图10,设AM 与DF 相交于点G i ,由以上证明知I AD |= I AF I , AM 平分/ DAF ,故AG i 也是 • G i 是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D i , DF 与y 轴相交于点 易知,I DD i I = I OF I , DD i // OF ,故^ DD I G 2BA FOG 2 •••I DG 2 |= | FG 2 I ,则 G 2也是 DF 的中点.•- G i 与G 2重合(设为点 G ),贝U AM 、DF 、线共点,y i + y 2y i —tan = k AM =x i + P—P 2=p(yiF=p y 2+p 2 =y i + P 2 = y i••• tan 2=2ta n_ 1 —tan 22 y i— y 2p(y i — y 2) = 2 = 2・ 2■+ p2py i 2py i 2py i 2pi—(P )2 y 2— p y 2+ yi y 2 屮 + y 2 (y i ) =tan6. AC ' A '、 y 轴三线共点,BC ' B '、y 轴三线共点同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.G 2(0 ,DF 边上的中线,••• 0与0重合,则即 C 、0、A 三点共线,同理 D 、0、B 三点也共线.【证法四】••• 0C = (-p2^y 2), 0A =(x i , y i ),p p y 2py i y i y 2y i—2 - y i — x i y 2= — 2 - y i — y 2 =—牙一 2p 叫血=02 2p••• OC // OA ,且都以0为端点••• A 、0、C 三点共线,同理 B 、0、D 三点共线.【推广】过定点 P(m , 0)的直线与抛物线 y 2= 2px ( p > 0) 相交于点A 、B ,过A 、B 两 点分别作直线I : x =- m 的垂线,垂足分别为 M 、N ,贝U A 、0、N 三点共线, B 、0、M三点也共线,如下图:7. A 、0、B '三点共线,B 、0、A '三点共线.=I C0 |= I BF I I 0F |= I CB I • I AD I = I CA I = I ABI , I AF | = | AB |,又I AD |= I AF I ,I BC |= I BF |,A 罟古辭共线.【证法三】设 AC 与x 轴交于点0,RF // BC ,I0^= ^TZ-*,1 CB 1 1 AB 1=I AF |+ I BF 1= 丄= 2【见⑵证】 I AF I I BF I【证法一】如图11, k 0A =2p =2py ik 0C ==—p 22y 22py 22py 2 = 2p —y 1y 2 y 1--k oA = k oc , A 、0、C 三点共线,同理D 、 0、 B 三点也共线.【证法二】设 AC 与 x 轴交于点 0 ,••• AD // RF // BC••• I R0 I = I OF I ,贝U 0与0重合,即C 、0、A 三点共线,同理 D 、0、 B 三点也...* 0 F *= I CB • I AF I I BF I • I AF |I AB I于 E ,设 I AF |= mt , | AF |= nt ,则| AD |= I AF I , I BC |= I BF |, | AE |= | AD |- | BC | = (m —n)t•••在 Rt △ ABE 中, cos / BAE =仏口 =血皿 吩 n/• cos = cos / BAE=m —nm + n【例6】设经过抛物线 y 2= 2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ,且I AF I : I BF |= 3: 1,则直线AB 的倾斜角的大小为8.若I AF I : I BF |= m : n , 点A 在第一象限,为直线AB 的倾斜角.则cosm + n【证明】如图14,过A 、B 分别作准线I 的垂线,垂足分别为 D ,C , 过B 作BE 丄ADI AB I (m + n)t m +n【答案】60或120 .9.以AF为直径的圆与y轴相切, 以BF为直径的圆与y轴相切;以AB为直径的圆与准线相切;A' B'为直径的圆与焦点弦A'y -—C' / / 1■bK B' 'O4-/X.IIA'.C'.【说明】如图15,设E是AF的中点,AB相切.11同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15,设M 是AB 的中点,作 MN 丄准线I 于N ,则1 1 11 MN |= 1(| AD 汁丨 BC |)= 1(| AF |+ | BF |)=刁 AB |2 【证法二】AM 的直线方程为y — y i =十(x —稽),令x = 0得AM 与y 轴交于点G i (0, y i ),又DF 的直线方程为y =— W (x — p),令x = 0得DF 与y 轴交于点p 2 ••• AM 、DF 与y 轴的相交同一点 G (0,罗),贝U AM 、DF 、8p y 1+ y 22 2pp 十X1 则E 的坐标为(勺一则点E 到y 轴的距离为故以AF 为直径的圆与 y 轴相切,1则圆心M 到I 的距离I MN | = 2| AB故以AB 为直径的圆与准线相切.10. MN 交抛物线于点 Q ,则Q 是MN 的中点.2 2【证明】设 A (21 , y 1), B (22, y 1),则 C (-2,y i ),M(-2,导 N<y 24p y 2 设MN 的中点为 Q ,则 Q ( y 1 + y 2)2 ), -2 . y 1 + y 2—2 十 4p 2 2y轴三线共点,同理BM、CF、y轴也三线共点H .由以上证明还可以得四边形MHFG_ - 2p2+ y2+ y2 2y1y2+ y i + y28p•••点Q在抛物线y2= 2px上,即Q是MN的中点.12。

(完整版)抛物线的几何性质

(完整版)抛物线的几何性质

抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围:因为0p >,由方程22y px =可知,这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥,所以这条抛物线在y 轴的右侧;当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向上方和右下方无限延伸,它的开口向右.2、对称性:以y -代y ,方程22(0)y px p =>不变,因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点:抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中,当0y =时,0x =,因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率:抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比,叫作抛物线的离心率,用e 表示.按照抛物线的定义,1e =知识剖析:抛物线的通径:过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ,线段12M M 叫作抛物线的通径,将02px =代入22y px =得y p =±,故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上,则()22,129f x y x y x =-++的取值范围? 分析:本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数,求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++,又[)0,x ∈+∞,所以当0x =时,(),f x y 取得最小值9,当[)0,x ∈+∞时,()()2,25f x y x =++,无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案:[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质:知识剖析:(1)通过上表可知,四种形式的抛物线的顶点相同,均为()0,0O ,离心率均为1,它们都是轴对称图形,但是对称轴不同.(2)抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异:①它们都是轴对称图形,但椭圆和双曲线又是中心对称图形,抛物线不是中心对称图形; ②顶点个数不同:椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点; ③焦点个数不同:椭圆和双曲线各有2个焦点,抛物线只有1个焦点;④离心率的取值范围不同:椭圆的离心率的取值范围是01e <<,双曲线离心率的取值范围是1e >,抛物线的离心率是1e =;⑤椭圆和双曲线都有两条准线,而抛物线只有一条准线;⑥椭圆是封闭式曲线,双曲线和抛物线都是非封闭式曲线,由于抛物线没有渐近线,因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心,而焦点为椭圆的左顶点,求此抛物线的标准方程.分析:因为该椭圆的中心在坐标原点,左顶点为()3,0-,所以可直接设抛物线的标准方程,求得p 后可得方程.答案:解:由22169144x y +=得:221169y x +=,所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->,由32p=,得6p =,故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图,AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为()00,M x y ,过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为111,,A B M ,则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线,1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论: ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(焦点弦长与中点的关系)③若直线AB 的倾斜角为α,则22sin pAB α= 推导:12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知,当AB 不垂直于x 轴时,()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时,即90α=时,22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即2124p x x =,212y y p =-分析:利用点斜式写出直线AB 的方程,与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导:焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,当AB 不垂直于x 轴时,可设直线AB 的方程为:()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭,由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩,得:2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时,直线AB 的方程为:2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导:由焦半径公式知,12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-,代入上式得:()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质(1)抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切(2)抛物线()220y px p =>中,设AB 为焦点弦,M 为准线与x 轴的交点,则AMF BMF ∠=∠ (3)设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、,若P 为11A B 的中点,则PA PB ⊥;②O 为抛物线的顶点,若AO 的延长线交准线于点C ,连接BC ,则BC 平行于x 轴,反之,若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ,则,,A O C 三点共线. (4)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点,x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为4π的直线,被抛物线所截得的弦长为6,求抛物线方程.解:当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时,可设抛物线的标准方程为()220y px p =>,则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ,过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为点11A B 、,则有:111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消去y ,得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即22304p x px -+= 123x x p ∴+=,代入①式得:336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时,用同样的方法可求出抛物线的标准方程是:23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ,点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上,且2132x x x =+,则有( )123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析:123P P P 、、在抛物线上,且2132x x x =+,两边同时加上p ,得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案:C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点,如果126x x +=,那么AB =?解析:由抛物线定义,得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。

抛物线知识点与性质大全

抛物线知识点与性质大全

抛物线与方程【知识讲解】 1、定义平面,到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹(定点不在定直线上).其中定点称为抛物线的焦点,定直线称为抛物线的准线.【注】若定点在直线上,则轨迹为过该点垂直于直线的一条直线.2、抛物线的方程与其简单性质3、通径过抛物线的焦点F 作直线⊥l x 轴,交抛物线22y px =于,A B 两点,弦长2=AB p ,此时的弦长称为通径,此为所有的焦点弦中最短的弦.4、焦点弦的性质(1)过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点,则①12p AF x =+,22p BF x =+;②12x x ⋅=定值24p ,12y y ⋅=定值2p -;③11||||FA FB +=定值2p ;④()1221122p x y x y y y +=-+. (2)过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为θ(斜率为k )的直线交抛物线于,A B (A 在B 上方)两点,则 ①1cos p A F θ=-上;②1cos p B F θ=+下;③2222s 1i 1n p k AB p θ⎛⎫+ =⎪⎝⎭=. (3)过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作准线l 的垂线,垂足分别为,P Q ,设AB 中点为M ,过M 作准线的垂线,垂足为N ,则①AN BN ⊥;②PF QF ⊥;③NF AB ⊥;④PF AN ⊥;⑤QF BN ⊥;⑥以AB 为直径的圆与准线相切,切点即为N ; ⑦以()AF BF 为直径的圆与y 轴相切;⑧24PQ AF BF =;24PQF APF BQF S S S ∆∆∆=⋅;⑨232sin ABQPp S θ=四边形. (4)过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作准线l 的垂线,垂足分别为,P Q ,准线l 与x 轴交于H 点,O①AHF BHF ∠=∠; ②,,A O Q 三点共线; ③,,B O P 三点共线;(5)过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物 线于,A B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于E 点,则12EF AB =. (6)过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点,G 为准线上的一动点,且直线GA 、GF 、GB 的斜率均存在,则直线GA 、GF 、GB 的斜率成等差数列,即2GA GB GF k k k +=.5、过点()(),00M m m >的直线交抛物线()220y px p =>于()()1122,,,A x y B x y 两点,则 ①12x x ⋅=定值2m ;②12y y ⋅=定值2pm -; ③2OA OB m p ⊥⇔=;④m p =时,2211||||MA MB +=定值21p . 6、设点是抛物线()220y px p =>的焦点,12,,,n P P P 是抛物线上的n 个不同的点,若120n FP FP FP +++=,则12n FP FP FP np +++=.【典型例题】例1、已知动点M 的坐标满足方程3412x y +-,则动点M 的轨迹是() A .椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【变式】已知动点M 的坐标满足方程3412x y +-,则动点M 的轨迹是()A .椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 直线例2、点P 与点()20F ,的距离比它到直线40x +=的距离小2,则P 的轨迹方程为_______.【变式】动圆M 与定直线2y =相切且与定圆C :22(3)1x y ++=相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为_______.【变式2】到y 轴的距离比到点()2,0F 的距离小2的动点P 的轨迹方程为_______.例3、抛物线24y x =的焦点坐标为_______.【变式】1【2014】若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为_______.【变式2】抛物线C 恒过定点()0,2A ,C 的准线为轴,则C 的顶点M 的轨迹方程为_______.例4、在抛物线24y x =上一点P ,使它到定点()2,2M 和焦点F 的距离之和最小,并求出距离之和的最小值.【变式1】设P 是抛物线28y x =上的一个动点,则点P 到直线4360x y -+=与点P 到y 轴的距离之和的最小值为________.【变式2】设P 是抛物线24y x =上的一个动点.(1)求点P 到点()1,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值; (2)求点P 到直线220x y ++=的距离d 与点P 到抛物线焦点F 距离之和的最小值.【变式3】已知FAB ∆,点F 的坐标为(1,0),点A 、B 分别在图中抛物线24y x =与圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动,且AB 总是平行于x 轴,那么FAB ∆的周长的取值围为.例5、已知抛物线26y x =上存在三点,,A B C ,且ABC ∆的重心为抛物线的焦点为F ,则=FA FB FC ++_______.【变式】已知抛物线26y x =的焦点为F ,若该抛物线上存在四点123P P P 、、、4P ,满足1234=0FP FP FP FP +++,则1234=FP FP FP FP +++_______.例6、直线l 过()1,2A ,且与抛物线212y x =交于,M N 两点,且MA AN =,则直线l 的方程为_________;MN =_______.例7、抛物线24y x =的焦点为F ,若过F 点的直线与抛物线相交于,M N 两点,若4FM FN =-,则直线MN 的斜率为_______.【变式】【2014新课标】已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =, 则QF =_______.例8、过抛物线x y 82=的焦点作弦AB ,点()11,A x y 、()22,B x y ,且1021=+x x ,则=AB _____.【变式1】已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点()02,M y ,若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则OM =_____.【变式2】过抛物线x y 82=的焦点作弦AB ,点()11,A x y 、()22,B x y ,且10AB =,则ABO ∆重心的横坐标为_____.【变式3】过抛物线x y 82=的焦点作弦AB ,点()11,A x y 、()22,B x y ,且128y y +=,则=AB _____.例9、抛物线()220y px p =>的动弦AB 长为()2a a p ≥,求弦中点M 到y 轴的最短距离.【变式】抛物线()220y px p =>的动弦AB 长为()02a a p <<,求弦中点M 到y 轴的最短距离.例10、若抛物线2:1C y ax =-上存在关于直线20x y -=对称两点A 和B ,数a 的取值围.例11、【2014】已知F 是抛物线2y x =的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点),则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是____.例12、已知抛物线()220y px p =>,过定点(),0p 作两条互相垂直的直线12l l 、,1l 与抛物线交于,P Q 两点,2l 与抛物线交于,M N 两点,设1l 的斜率为k ,若已知弦PQ 的中垂线在y 轴上的截距为32p pk k+,则弦MN 的中垂线在y 轴上的截距为__________. 例13、设M 为抛物线2:4(0)C x py p =>准线上的任意一点,过点M 作曲线C 的两条切线,设切点为,A B .直线AB 是否过定点?如果是,求出该定点,如果不是,请说明理由.例14、过抛物线()220y px p =>的焦点F 作相互垂直的两条直线12,l l ,抛物线与1l 交于点12,,P P 与2l 交于点12,Q Q .证明:无论如何取直线12,l l ,都有121211PP Q Q +为一常数.例15、抛物线()2:20C y px p =>的焦点恰是椭圆22143x y +=的一个焦点,过点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与抛物线C 交于点,A B . (1)求抛物线C 的方程;(2)O 是坐标原点,求AOB ∆的面积的最小值; (3)O 是坐标原点,证明:OA OB ⋅为定值.【变式1】已知定点(2,0)F ,直线:2l x =-,点P 为坐标平面上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为点Q ,且FQ PF PQ ⊥+().设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ,求证:111||||2AF BF +=; (3)记OA 与OB 的夹角为θ(O 为坐标原点,A 、B 为(2)中的两点),求cos θ的取值围.【变式2】已知抛物线()2:20C y px p =>,直线l 交此抛物线于不同的两个点()11,A x y 、()22,B x y ,且OA OB ⊥.(1)证明21y y ⋅和12x x ⋅均为定值;(2)证明直线l 恒过定点P ; (3)求AB 的中点M 的轨迹方程;(4)过原点作AB 的垂线,垂足为N ,求N 的轨迹方程.(5)对于C 上除原点外的任意一定点()00,Q x y ,若仍有PA PB ⊥,请问是否还有直线l 恒过定点,若是,请求出定点'P ;若否,请说明理由.【变式3】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,经过点F 的动直线交抛物线C 于点11(,)A x y ,22(,)B x y 且124y y =-.(1)求抛物线C 的方程;(2)若()2OE OA OB =+(O 为坐标原点),且点E 在抛物线C 上,求直线倾斜角.(3)若点M 是抛物线C 的准线上的一点,直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k .求证: 当0k 为定值时,12k k +也为定值.例16、在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1,记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹为C 的方程(2)设斜率为k 的直线过定点()2,1P -,求直线与轨迹C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时k 的相应取值围.例17、已知抛物线()2:20C y px p =>,直线交此抛物线于不同的两个点()11,A x y 、()22,B x y .(1)当直线过点(),0M p 时,证明21y y ⋅为定值;(2)如果直线过点(),0M p ,过点M 再作一条与直线垂直的直线l '交抛物线C 于两个不同点D 、E .设线段AB 的中点为P ,线段DE 的中点为Q ,记线段PQ 的中点为N .问是否存在一条直线和一个定点,使得点N 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.例18、动圆C 过定点F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,且与直线2p x =-相切,其中0p >.设圆心C 的轨迹Γ的程为()0,=y x F (1)求()0,=y x F ;(2)曲线Γ上的一定点()00,y x P (0y ≠0) ,方向向量()p y d -=,0的直线(不过P 点)与曲线Γ交与A 、B 两点,设直线PA 与PB 的斜率分别为PA k ,PB k ,计算PB PA k k +;(3)曲线Γ上的两个定点()000,y x P 、⎪⎭⎫ ⎝⎛''000,y x Q ,分别过点00,Q P 作倾斜角互补的两条直线N Q M P 00,分别与曲线Γ交于N M ,两点,求证直线MN 的斜率为定值.例19、已知抛物线()2:20C y px p =>和:M 228120x y x +-+=,过抛物线C 上一点()()000,0P x y y ≥作两条直线与M 相切与,A B 两点,圆心M 到抛物线准线的距离为92. (1)求抛物线C 的方程;(2)当P 点坐标为()2,2时,求直线AB 的方程;(3)设切线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ,且1212k k ⋅=,求点()00,P x y 的坐标.例20、过抛物线()220y px p =>的对称轴上一点()(),00A a a >的直线与抛物线交于,M N 两点,自,M N 向直线:l x a =-作垂线,垂足分别为1M 、1N . (1)当2pa =时,求证:11AM AN ⊥; (2)记1AMM ∆、11AM N ∆、1ANN ∆的面积分别为123,,S S S ,是否存在实数λ,使得对任意的,都有2213S S S λ=成立,若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.M。

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抛物线的常见性质及证明概念焦半径:抛物线上一点与其焦点的连线段;焦点弦:两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦性质及证明2p2sin证明:根据抛物线的定义,I AF I = I AD = x i + P , I BF I = I BC = X 2 + 2,| AB |= | AF 汁 | BF |= x i + X 2+ p如图2,过A 、B 引x 轴的垂线AA i 、BB i ,垂足为A i 、B i ,那么 | RF |= | AD | FA i |= | AF | AF |cos ,...I AF =1 RF 1= pi — cos i — cos•j AB=1 AF |+1 BF=血 +盅=話S5 = S5 + S OBF = 2| OF || y i |+1| OF || y i | =舟舟• y i 1+ I y i I)-yi y 2=— p 2,贝V yi 、y 2异号,因此,| y i |+ | y i |= | y i — y 2 |二 S A O AB = 4| y i — y 2 | = ^/(y i + y 2)2—4y i y 2 = g/4m 2p 2+ 4p 2=■p ^/i + m 2=2^过抛物线 y 2= 2px (p > 0)焦点F 的弦两端点为A(x i , y i ), B(x 2, y 2),倾斜角为 ,中点为C(x o ,y 0),垂足为 A'、B'、C .1.求证: 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线, ①焦半径I AF I x iP -; 11 i2 i cos③rj —i+r^-尸 2;④弦长 I ABI = x i + X 2+ p = 2p;特别地,当 X i =X 2( =90 ) 丨AF丨丨BF 丨Psi n 2②焦半径IBFI X 2号鳥同理,I BF=罟=盘时,弦长|AB|最短,称为通径,长为 鸟卩:⑤厶AOB 的面积S A OAB =22.求证:①x 冷P•,②刘24当AB 丄x 轴时,有AF BF p,成立;•••方程(1 )之二根为 X 1 , X 2,••• x x 2先证明:Z AMB = Rt Z【证法一】延长 AM 交BC 的延长线于E ,如图3, 则△ ADM ◎△ ECM ,• I AM |= | EM |, | EC |= | AD | • | BE |= | BC 汁 | CE |= | BC 汁 | AD |=| BF |十 | AF |= | AB |1 , 12 十 — IAF | | BF | p当AB 与x 轴不垂直时,设焦点弦 AB 的方程为:y k x 卫•代入抛物线方程:22k 2 x 号2p x .化简得:k 2x 22pk 2 2x 中21_ _1_ _1_ _1 AF BF AA , BB 1X 2x-i x 2 p2p px 1x 2x i x 2 —3.求证:________x12P 卫 X 2 Px 1 x 22p_ 4x 1 x 2 pAC'B A'FB' Rt Z .图3•••△ ABE 为等腰三角形,又 M 是AE 的中点, ••• BM 丄 AE ,即/ AMB = Rt /【证法二】取 AB 的中点N ,连结MN ,贝U| MN |= 2(| AD 汁 | BC |)= 2(| AF |+ | BF |)=弓 AB |,二 | MN |= | AN |= | BN |—P 2 . p y l 斗 _y |_ p 2y 1+ yl 2y i y 2=4 + 2(2p + 2p )+ 4 —4=疋+地=丘+二= 02 2 2 2• "MA 丄 P B ,故/ AMB = Rt / .【证法五】由下面证得/ DFC = 90,连结FM ,贝U FM = DM.又 AD = AF ,故△ ADM ◎△ AFM ,如图 4•••△ ABM 为直角三角形,AB 为斜边, 故/ AMB = Rt / .【证法三】由已知得 C(-2, y 2)、D(-2,屮),由此得M(—2, y 〔+y 2) 2).y i + y 2 y i_ 2 k AM =x i +Py — y 2 p(y i —y 2)y 2+ P 2 22 2p+pp(y 「于)y 2+ P 2卫 y i ,同理k BM =p 2,=心 + 躯1 + X 2)+ 孚-•••/ 1 = Z 2,同理/ 3 =Z 41•••/ 2+Z 3 = 2X 180 = 90 •••/ AMB = Rt Z .接着证明:Z DFC = Rt Z【证法一】如图 5,由于| AD |= | AF |, AD // RF , 故可设ZAFD =Z ADF =Z DFR =, 同理,设Z BFC =Z BCF = Z CFR=, 而Z AFD + Z DFR + Z BFC +Z CFR = 180• 2( + ) = 180,即 + = 90,故Z DFC = 90【证法二】取CD 的中点M ,即M(— 2,豊严)由前知 k AM =P, kcF = y~~ =—— =P y 1 + P + p p y 12 2••• k AM = k CF , AM // CF ,同理, BM // DF • Z DFC =Z AMB = 90 .【证法三】••• "D F = (p , — y 1), "C F = (p ,— y 2),• - DF • CF = p 2+ y 1y 2 = 0【证法四】由于I RF 2= p 2=— y 『2= I DR | - | RC |,即嗟^ =1 RF 1,且Z DRF = Z FRC = 901 RC 1• △ DRF FRC• Z DFR = Z RCF ,而Z RCF +Z RFC = 90 • Z DFR + Z RFC = 90 • Z DFC = 904. C ' A 、C ' B 是抛物线的切线 2 【证法一】T k AM = p, AM 的直线方程为y — y 1 = °(x — ¥)y 1 yr 2p 7• "D F 丄"C F ,故Z DFC = 90 .lM 1y\O / € FxN 1A N图7图8与抛物线方程y 2= 2px 联立消去x 得y — y i =y(2p — 2p ,整理得 y 2-2yiy + y2=可见△= (2y i )2— 4y 2{ = 0, 故直线AM 与抛物线y 2= 2px 相切, 同理BM 也是抛物线的切线,如图8.【证法二】由抛物线方程 y 2= 2px ,两边对x 求导,(y 2)x = (2px)x ,得2y • y x = 2p , y * = p ,故抛物线y 2= 2px 在点A(x i , y i )处的切线的斜率为 k 切=y x | y d =P=yi 一. y i又k AM = y i ,••• k 切一 k AM ,即AM 是抛物线在点 A 处的切线,同理 BM 也是抛物线的 切线•【证法三】••过点A(xi , y i)的切线方程为y i y — p(x + x i ),把M( — p ,y; y)代入右边一 p(— p + x”=— p + px i ,左边一右边,可见,过点即AM 是抛物线的切线,同理 BM 也是抛物 线的切线•5. C'A 、C'B 分别是/ A 'AB 和/ B 'BA 的平分线•【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E,如图9,则厶 ADM ◎△ ECM ,有 AD // BC , AB = BE , •••/ DAM 一/ AEB 一/ BAM , 即AM 平分/ DAB ,同理 BM 平分/ CBA. 【证法二】由图 9可知只须证明直线 AB 的倾斜角是直线AM 的倾斜角的2倍即可,即 =2•且M(-p ,中)左边一 y i •y i + y y 2+ y y 2px i — p 22 = 2 = 2=px i —pf 2A 的切线经过点M ,…tan — k y 2— y 1 — y 2—y 1— 2p -tan — K AB =— 22 —X 2 — x i y 2 y 1y i + y2p 2py i + y 2 — p2tan:y i2y i — y 2 p(y i — y 2)p(y iy i)p,py i ,y i +p 2y i +p 2y i—2,即AM 平分/ DAB ,同理 BM 平分/ CBA.y 轴三线共点,BC ' B '、y 轴三线共点【证法一】如图10,设AM 与DF 相交于点G i ,由以上证明知| AD |— | AF |, AM 平分/ DAF ,故AG i 也是DF 边上的中线, •G i 是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D i , DF 与y 轴相交于点 易知,| DD i |— | OF |, DD i // OF , 故厶 DD i G 2^^ FOG 2 •••I DG 2 |— | FG 2 I ,则 G 2也是 DF 的中点.•G i 与G 2重合(设为点 G ),贝U AM 、DF 、线共点,2【证法二】AM的直线方程为y -y i -器x -稽),令x — 0得AM 与y 轴交于点G i (0,等),又DF 的直线方程为y —— ^(x — p),令x — 0得DF 与y 轴交于点p 2■■- AM 、DF 与y 轴的相交同一点 G (0,罗),贝AM 、DF 、y 轴三线共点,/• tan 22tan 1 —2P y i 2py i2py i2221—(p)2 y 2—py 2+ yi y 2— tany i + y 26. AC ' A '、 同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.G 2(0 ,同理BM、CF、y轴也三线共点H .由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.7. A 、0、B '三点共线,B 、0、A '三点共线..I R0 |= | C0 |= | BF | | 0 F |= | CB |'| AD | = | CA | = | AB |, | AF | = | AB |,p p y i py i y i y 2y i 2 • y i -x i y 2= — 2 • y i -右 y 2 =-寸—• (5C // IDA ,且都以0为端点• A 、0、C 三点共线,同理 B 、0、D 三点共线.【推广】过定点 P(m , 0)的直线与抛物线 y 2= 2px ( p > 0)相交于点 A 、B ,过A 、B 两 点分别作直线I : x = — m 的垂线,垂足分别为 M 、N ,贝U A 、0、N 三点共线,B 、0、M 三点也共线,如下图:【证法一】如图11, k °A =比=洛=2P,x i y 1 y 1k oc =—P —22y 2 — 2py 2 _ 2py 22p—2 =—p p 2 — y y y二 k oA = k oc , 则A 、0、C 三点共线,同理D 、0、 B 三点也共线.【证法二】设 AC 与x 轴交于点 0 AD // RF // BC共线.又1AD 冃 AF h1 BC=1 BF「騎1=辭10、A 三点共线,同理 ••• | RO | = | 0F |,贝U 0 与 0 重合,即 C 、 D 、0、 B 三点也【证法三】设 AC 与x 轴交于点0 , RF // BC ,L0FJ= 1AFJ | CB | | AB• | 0 F = I CB • | AF | | BF 丨• | AF |I AB || AF |+ | BF | 1 +1 = 2【见⑵证】 I AF | | BF |• 0与0重合,则即C 、0、A 三点共线,同理D 、0、B 三点也共线.【证法四】••• 5c = (-p , y 2), 0A = (x i , y i ),叫吐=o2 2p2p相切;A ' B '为直径的圆与焦点弦 AB 相切•【说明】如图15,设E 是AF 的中点,则E 的坐标为(8.若| AF |: | BF |= m : n , 点A 在第一象限为直线AB 的倾斜角•则cosm — nm +【证明】如图14,过A 、B 分别作准线I 的垂线,垂足分别为 D ,C ,过B 作BE 丄AD于 E ,设 | AF |= mt , | AF |= nt ,则| AD |= | AF |,| BC |= | BF |, | AE |= | AD |- | BC | = (m — n)t亠 "亠 ,| AE | (m — n)t m —nABEcos BAE/• cos = cos / BAE = m _n. m + n【例6】设经过抛物线 y 2= 2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ,且| AF I : | BF |= 3: 1,则直线AB 的倾斜角的大小为 【答案】60或120 .9•以AF 为直径的圆与y 轴相切,以BF 为直径的圆与 y 轴相切;以AB 为直径的圆与准线M'O Xy <y*则点E到y轴的距离为d = 12l AF |故以AF为直径的圆与y轴相切,同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15,设M是AB的中点,作MN丄准线I于N,则I MN |=刃AD 汁| BC |)= 2(| AF |+ | BF |)=弓AB |1则圆心M到I的距离| MN |= 2| AB |,故以AB为直径的圆与准线相切10. MN交抛物线于点Q,则Q是MN的中点.2 2【证明】设A(2p,屮),B(2p 丫1),则C(- 2,y i),p y i + y2 y?+ y 2M(-2,宁),N (育设MN的中点为Q,则Q y i + y2)2),p 丄y i +y2 I2 4p 2 ' 2p+y1+ y22 十4p —2p2+ y1 + y2 2y i y2+ y f + 鱼2 8p 8p y i + y2 222p•••点Q在抛物线y2= 2px上,即卩Q是MN的中点.。

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