抛物线的性质归纳及证明

抛物线的常见性质及证明

概念

焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；

焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦

性质及证明

2

p

2sin

证明：根据抛物线的定义，I AF I = I AD = x i + P , I BF I = I BC = X 2 + 2,

| AB |= | AF 汁 | BF |= x i + X 2+ p

如图2,过A 、B 引x 轴的垂线AA i 、BB i ，垂足为

A i 、

B i ，那么 | RF |= | AD | FA i |= | AF | AF |cos ,

...I AF =

1 RF 1

= p

i — cos i — cos

•j AB

=

1 AF |+1 BF

=血 +

盅=話

S5 = S5 + S OBF = 2| OF || y i |+1| OF || y i | =舟舟• y i 1+ I y i I)

-y

i y 2=— p 2

,贝V y

i 、y 2异号，因此，| y i |+ | y i |= | y i — y 2 |

二 S A O AB = 4| y i — y 2 | = ^/(y i + y 2)

2—

4

y i y 2 = g/4m 2p 2+ 4p 2=■p ^/i + m 2

=2^

过抛物线 y 2

= 2px (p > 0)焦点F 的弦两端点为

A(x i , y i ), B(x 2, y 2),倾斜角为 ，中点为

C(x o ,y 0),

垂足为 A'、B'、C .

1.求证: 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线， ①焦半径I AF I x i

P -； 1

1 i

2 i cos

③rj —i+r^-尸 2

；④弦长 I ABI = x i + X 2+ p = 2p

;特别地，当 X i =X 2( =90 ) 丨AF

丨

丨

BF 丨P

si n 2

②焦半径IBFI X 2号鳥

同理,

I BF

=罟=盘

时，弦长|AB|最短，称为通径，长为 鸟卩：⑤厶AOB 的面积S A OAB =

2

2.求证：①x 冷P

•，②刘2

4

当AB 丄x 轴时，有

AF BF p,成立；

•••方程（1 ）之二根为 X 1 , X 2,••• x x 2

先证明：Z AMB = Rt Z

【证法一】延长 AM 交BC 的延长线于E ,如图3, 则

△ ADM ◎△ ECM ,

• I AM |= | EM |, | EC |= | AD | • | BE |= | BC 汁 | CE |= | BC 汁 | AD |

=| BF |十 | AF |= | AB |

1 , 1

2 十 — IAF | | BF | p

当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦 AB 的方程为:

y k x 卫•代入抛物线方程:

2

2

k 2 x 号2p x .化简得：k 2x 2

2

pk 2 2x 中2

1_ _1_ _1_ _1 AF BF AA , BB 1

X 2

x-i x 2 p

2

p p

x 1x 2

x i x 2 —

3.求证:

________x1

2

P 卫 X 2 P

x 1 x 2

2

p_ 4

x 1 x 2 p

AC'B A'FB' Rt Z .

图3

•••△ ABE 为等腰三角形，又 M 是AE 的中点, ••• BM 丄 AE ,即/ AMB = Rt /

【证法二】取 AB 的中点N ，连结MN ，贝U

| MN |= 2(| AD 汁 | BC |)= 2(| AF |+ | BF |)=弓 AB |,二 | MN |= | AN |= | BN |

—P 2 . p y l 斗 _y |_ p 2

y 1+ yl 2y i y 2

=

4 + 2(2p + 2p )

+ 4 —

4

=疋+地=丘+二= 0

2 2 2 2

• "MA 丄 P B ，故/ AMB = Rt / .

【证法五】由下面证得/ DFC = 90，连结FM ，贝U FM = DM.

又 AD = AF ，故△ ADM ◎△ AFM ，如图 4

•••△ ABM 为直角三角形，AB 为斜边, 故/ AMB = Rt / .

【证法三】由已知得 C(-2, y 2)、D(-2,

屮),

由此得M(—2, y 〔+y 2

) 2

).

y i + y 2 y i

_ 2 k AM =

x i +

P

y — y 2 p(y i —

y 2)

y 2+ P 2 2

2 2p

+

p

p(y 「于)

y 2+ P 2

卫 y i ,

同理k BM =

p 2,

=心 + 躯1 + X 2)+ 孚-