瞬时速度与导数

动的瞬时速度的步骤： (1)由物体运动的位移 s 与时间 t 的函数关系式求出位 移增量 Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． Δs (2)求时间 t0 到 t0＋Δt 之间的平均速度 v ＝ . Δt Δs (3)求lim Δt→0 Δt 的值，即得 t＝t0 时的瞬时速度．
返回
1．任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t －t2，则物体的初速度是 A．0 B．3 ( )
速度如何变化？
提示：逐渐接近t0时刻的瞬时速度． 返回
1．物体运动的瞬时速度
设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当 Δt→0 时，
ft0＋Δt－ft0 函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率 趋于常 Δt
数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
返回
2．函数的瞬时变化率 设函数 y＝f(x)在 x0 附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近 改变 Δx 时，函数值相应地改变 Δy＝ f(x0＋Δx)－f(x0) ，如果 fx0＋Δx－fx0 Δx 当 Δx 趋近于 0 时， 平均变化率 趋近于一个 常数 l，则常数 l 称为函数 f(x)在点 x0 的瞬时变化率． fx0＋Δx－fx0 记作：当 Δx→0 时， →l，还可记作 liΔx→0 m Δx fx0＋Δx－fx0 ＝l. Δx
返回
[一点通] (1)用导数定义求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的步骤： ①求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 ②求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy ③取极限，得导数 f′(x0)＝liΔx→0 m . Δx (2)求函数在某点处的导数，还可以先求出函数的导数， 再计算此点处的导数值．
返回
29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32 ＝ ＝3Δt－12. Δt Δs ∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为 liΔt→0 m ＝liΔt→0 (3Δt m Δt －12)＝－12， 即物体在 t＝1 时的瞬时速度为－12 m/s.
返回
[一点通]
瞬时速度是平均速度的极限值，求物体运
在区间(a，b)可导．
(2)导函数定义 若f(x)在区间(a，b)可导，则对开区间(a，b)内每个值x， 都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内，f′(x)构 成一个 新的函数 ，把这个 函数 称为函数y＝f(x)的导函数，
简称导数，记为
f′(x)(或y′x、y′)． 返回
1．函数f(x)在x0处的导数即为函数f(x)在x＝x0处的
返回
(2)物体在 t0 时的瞬时速度为当 Δt 趋近零时， v 的极限， 即为 gt0. (3)物体在 t0＝2 s 到 t1＝2.1 s 时，其时间增量 Δt＝t1－t0 1 ＝ 0.1(s) ， 由 (1) 知 平 均 速 度 为 v ＝ 2g ＋ ×0.1g ＝ 2 2.05g≈2.05×9.8＝20.09(m/s)． (4)由(2)知物体在 t0＝2 秒的瞬时速度为 v＝g×2≈9.8×2 ＝19.6(m/s).
返回
1 2 2．已知物体做自由落体运动的位移方程为 s＝ gt (位移单位 2 为 m)，时间单位为 s，g 取 9.8 m/s2. 求：(1)物体在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均速度； (2)物体在 t0 时的瞬时速度； (3)物体在 t0＝2 s 到 t1＝2.1 s 之间的平均速度； (4)物体在 t0＝2 s 时的瞬时速度．
3t2＋2， s＝ 29＋3t－32，
求：(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度 v0； (3)物体在 t＝1 时的瞬时速度．
[思路点拨]
解答本题可先根据要求的问题选好使
用的函数解析式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的 方法求解平均速度和瞬时速度． 返回
[精解详析] Δt＝5－3＝2，
返回
1 解： (1)物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的位移增量为 Δs＝ g(t0 2 1 2 ＋Δt) － gt0， 2
2
因此，物体在这段时间内的平均速度为： 1 1 2 2 gt ＋Δt － gt0 2 Δs 2 0 1 Δt2t0＋Δt v＝ ＝ ＝ g Δt Δt 2 Δt 1 1 ＝ g(2t0＋Δt)＝gt0＋ gΔt. 2 2
返回
3．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 的瞬时变化率定义为函数 y＝f(x) 在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0) 或 y′|x＝x0 ，即 f′(x0)＝
fx0＋Δx－fx0 lim Δx→0 Δx
.
返回
4．函数的导数 (1)可导函数定义 如果f(x)在开区间(a，b)内每一Fra Baidu bibliotekx 导数都存在 ，则称f(x)
第 三 章
理解教材新知 3.1 3.1. 2瞬 时速 度与 导数 考点一
导 数 及 其 应 用
把握热点考向
考点二
应用创新演练
返回
3．1.2
瞬时速度与导数
返回
在庆祝建国60周年阅兵式上，最后出场的教练机梯队
以“零米零秒”的误差通过天安门上空． 问题1：通过天安门上空那一时刻的速度用什么描述？ 提示：瞬时速度． 问题2：当Δt逐渐变小时，梯队在t0到t0＋Δt之间的平均
返回
3．设函数y＝f(x)在点 x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0) ＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则f′(x0)＝________.
aΔx＋bΔx2 Δy 解析：f′(x0)＝liΔx→0 m ＝liΔx→0 m Δx Δx ＝liΔx→0 (a＋bΔx)＝a. m
答案： a
返回
29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32 ＝ ＝3Δt－18， Δt ∴物体在 t＝0 处的瞬时变化率为 Δs liΔt→0 m ＝liΔt→0 (3Δt－18)＝－18， m Δt 即物体的初速度为－18 m/s. (3)物体在 t＝1 时的瞬时速度即为函数在 t＝1 处的瞬 时变化率． Δs ∵物体在 t＝1 附近的平均变化率为 ＝ Δt f1＋Δt－f1 Δt
返回
[例 2]
1 求函数 y＝x在 x＝1 处的导数．
[思路点拨]
返回
[精解详析]
法一：(定义法)
1－1＋Δx －Δx 1 Δy＝ －1＝ ＝ ， 1＋Δx 1＋Δx 1＋Δx Δy 1 ＝－ ， Δx 1＋Δx ∴函数在 x＝1 处的导数 －1 lim ＝－1. Δx→0 1＋Δx
返回
法二：(求导函数的函数值法)． －Δx 1 1 x－x＋Δx Δy＝ －x＝ ＝ ， x＋Δx x＋Δx· x＋Δx· x x －1 Δy ＝ ， Δx x＋Δx· x －1 1 ∴y′＝lim ＝－ 2， Δx→0 x＋Δx· x x ∴当 x＝1 时，导数值为 y′|x＝1＝－1.
C．－2
D．3－2t
返回
解析：物体的初速度即为 t＝0 时物体的瞬时速度， 即函数 f(x)在 t＝0 处的导数． f0＋Δt－f0 f′(0)＝liΔt→0 m Δt 30＋Δt－0＋Δt2－0 ＝liΔt→0 m Δt 3Δt－Δt2 ＝liΔt→0 m ＝3. Δt
答案：B
瞬时变化率．
2．f′(x0)与f′(x)的区别与联系 区别：f′(x0)是一个数值，它由函数y＝f(x)及x0的 值确定，f′(x)是一个函数，它由函数y＝f(x)确定． 联系：f′(x0)是f′(x)当x＝x0时的函数值．
返回
返回
[例 1]
若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s) t≥3， 0≤t<3，
返回
4．求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数．
解： Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx ＋(Δx)2， 2Δx＋Δx2 Δy ∴ ＝ ＝2＋Δx. Δx Δx ∴y′|x＝1＝liΔx→0 (2＋Δx)＝2. m
返回
1．平均变化率刻画函数在 x1 到 x2 之间变化的快慢 程度． 瞬时变化率刻画函数在某一点附近变化的快慢程度． 2．求瞬时变化率，就是求平均变化率当自变量的“增 量”趋近于 0 时的极限值． 3．求函数的导数分三步： Δy (1)计算 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)计算 ； Δx Δy (3)计算lim . Δx→0 Δx
返回
点击下图进入“应用创新演练”
返回
(1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为
物体在 t∈[3,5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在 t∈[3,5]上的平均速度为 Δs 48 ＝ ＝24(m/s)． Δt 2 (2)求物体的初速度 v0 即求物体在 t＝0 时的瞬时速度． ∵物体在 t＝0 附近的平均变化率为 Δs f0＋Δt－f0 ＝ Δt Δt