瞬时速度与导数
1.1.2瞬时速度与导数
当 Δt非常非常小时，我们把 Δx 称作物
体在时刻t的瞬时速度
Δt
高台跳水
在高台跳水运动中 , 运动员相对于水面的高度
h 单位 : m 与起跳后的时间 t 单位 : s 存在函数
关系 ht 4.9t 2 6.5t 10. h
O
65 65
t
98 49
问题三: 请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬
程度，而变化率
f x
反映了函数y
f(x )从x1到x 2时的变化快
慢程度；
3.从变化率到瞬时变化率再到导数体现了从整体研究向局部研究的转化.
求导数的步骤
（1）求 y；
（2）求
y ；x
（3）取极限得 f(x)=lim y.
x0 x
学以致用，解决典型问题
例 1.
设 f(x)
＝
问题六： 如果将这三个变化率问题中的函数关系式用f(x) 来表示
，那么函数在 x＝x0处的 怎样表示？
瞬瞬时时变膨加速化胀速度率度
瞬时速度、瞬时膨胀率、瞬 时加速度都属于瞬时变化率
如果研究更一般的问题，对于函数y＝f(x) 在x＝x0处的瞬时变化率如何表示？
lim
y
lim
f (x Δx) f ( x )
同理可得
x0 x 的瞬x时0 变化率分别为 、0和5. 它 3
f (6) 5.说明在第2h附近, 原油温度大约以3
f (3.5) 0./h的速率下降;在第3.5。 hc附近,原油
温度无变化；在第6h附近,原油温度
大约以5 /h。的c 速率上升.
小 结 平均速度
t 0 瞬时速度
容城中学 段飞华
导数运动的瞬时速度
导数运动的瞬时速度
导数运动的瞬时速度
1. 导数是什么？
导数在数学中被定义为函数在某一点上的变化率。
在物理学中，导数
被用来描述某个物体的速度、加速度等物理量。
2. 瞬时速度是什么？
瞬时速度是指物体在某一时刻的瞬间速度。
换句话说，它是物体在某
个瞬间的瞬间位移与时间的比率。
3. 导数运动的瞬时速度是什么？
导数运动的瞬时速度指的是一种运动，它的速度是由导数来计算得出的。
当一个物体在某个时刻的位移变化率等于该点处的导数时，我们
称该时刻的速度为瞬时速度。
4. 导数运动的应用
导数运动的应用非常广泛。
在物理学中，导数运动可以用来描述各种
类型的运动。
例如，我们可以用导数运动来描述自由落体、匀速运动、非匀速运动等。
5. 导数运动的计算
要计算导数运动的瞬时速度，我们需要先求出该点处的导数。
一般来说，导数可以通过微积分的方法来求解。
然后，我们可以将导数代入求解瞬时速度的公式中，从而得出瞬时速度的值。
6. 导数运动的意义
导数运动的意义在于帮助我们更加准确地描述一个物体的运动状态。
通过计算导数，我们可以得到物体在某个时刻的瞬时速度，帮助我们更好地理解和描述物体的运动速度。
7. 总结
导数运动的瞬时速度是一种非常重要的物理量，在物理学中被广泛应用。
通过计算导数，我们可以精确地描述和计算一个物体在某个时刻的瞬时速度，从而更好地理解和描述物体的运动状态。
1.1.2 瞬时速度与导数
当Δ t → 0时， 上式 → -13.1
这与表格中的计算结果一致，即“当△t趋近于0时，
平均速度趋近于常数-13.1”.这也说明运动员在t=2s
时的（瞬时）速度就是-13.1m/s.
问题4：探讨运动员在t=t0时的（瞬时）速度是多少？
h(t0 +t ) h(t0 ) 解析： 由 t
[10 4.9(t0 +t ) 2 6.5(t0 +t )] (10 4.9t0 2 6.5t0 ) t 2 4.9t0 t 4.9(t )2 6.5t t 9.8t0 6.5 4.9t
的平均速度为
h(2.1) h(2) 2.041 3.4 13.59(m / s). 2.1 2 0.1
问题2：运用计算器可以算出一系列关于时间改变量 △t的平均速度，相应计算结果见下表： 时间区间（s） [2,2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.000 1] [2,2.000 01] „„ 时间改变量(s) 0.1 0.01 0.001 0.000 1 0.000 01 „„ 平均速度（m/s) -13.59 -13.149 -13.104 9 -13.100 49 -13.100 049 „„
[( x +x)2 +1] （x 2 1 ） lim x 0 x
lim (2 x +x)
x 0
2x
瞬时速度与导数
火箭垂直向上发射是变速直线运动。
设火箭运动位移与时间 的关系是s f (t ).
问题一： 火箭在t0、t0 t时刻的位移分别怎么表 示？
时间段t0 , t0 t 内平均速度如何计算？
问题二： 上述平均速度能不能近 似的看做火箭在 t0
时刻的速度？
问题三：用平均速度近似 t0时刻速度时，要想得到 更
记作f ' ( x0 )或y' x x0
则l称为函数f ( x)在点x0的瞬时变化率。
f ( x x) f ( x) 当x 0时， 0 l x
当x 0时，函数平均变化率的 极限等于 函数在x0的瞬时变化率 l，记作 f ( x0 x) f ( x) l x
lim
x 0
导数： 函数在x0的瞬时变化率，通常定 义为f ( x)在x x0处的导数。
精确值，可如何改变时 间间隔t来实现？
设在10米跳台上，运动员跳离 跳台时垂直向上的 速度为6.5m / s.运动员在时刻 t距离水面的高度 1 2 h(t ) 10 gt 6.5t 2 其中g为重力加速度， g 9.8m / s 2 .于是
h(t ) 10 4.9t 6.5t
h(2 t ) h(2) 当t趋近于0时， 趋近于 13.1 t
v(2) 13.1(m / s)
运动方程： h(t ) 10 4.9t 6.5t
2
任务3：先不确定t，计算区间 2,2 t
上的平均速度得到含 t表达式
h(2 t ) h(2) t 2 2 10 4.9(2 t ) 6.5(2 t ) 10 4.9 2 6.5 2 t 4.9t 2 13.1t t
3.1.2瞬时速度与导数
Δs 1．求瞬时速度应先求平均速度 v ＝ Δt ，再用公式 v Δs ＝ lim Δt ，求得瞬时速度． Δx→0 2．如果物体的运动方程是 s＝s(t)，那么函数 s＝s(t) 在 t＝t0 处的导数，就是物体在 t＝t0 时的瞬时速度． 3．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变 量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不 是变数.
一、瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)， 函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率 f (t0 t ) f (t0 ) t 当 Δt 趋近于 0 时，趋近于常数 我们把这个常数称为物体在 t0 时刻的瞬时速度
探究二：导数的概念
求函数在某点处的导数
求函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数．
解法一：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2， 2Δx＋Δx2 Δy ∴f′(1)＝ lim Δx＝ lim ＝ lim (2＋Δx)＝2， Δ x Δx→0 Δx→0 Δx→0 即 f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数 f′(1)＝2.
高中新课程数学选修1-1 第三章 导数及其应用
3.1.2
瞬时速度与导数
探究一：瞬时速度
已知物体作变速直线运动，设物体运 动路程与时间的关系是S=f(t),
问题 1 求从 t0 到 t0＋Δt 这段时间内物体的平均速度。 f (t0 t ) f (t0 ) s v0 t t
问题 2 求物体在 t0 时刻的速度。
【答案】 C
4．一物体运动的方程是 s＝3＋t2，求物体在 t＝2 时的 瞬时速度．
【答案】 4
1 5、求函数 y＝x＋x在 x＝1 处的导数．
3.1.2瞬时速度与导数
1.1.2瞬时速度与导数学习目标：1、掌握函数的瞬时变化率、导数的概念；2、分析瞬时变化率与平均变化率的关系，体会数学的极限思想。
【自主学习】：.瞬时速度：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.另一个角度，瞬时速度是平均速度ts ∆∆，当t ∆趋近于0时的 . （1）设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =附近有改变x ∆时，则函数)(x f y = 相应地有改变)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（函数的平均变化率）无限趋近于某个常数l ，我们把这个常数l 叫做函数)(x f y = 在0x x →处的瞬时变化率.记作 ________________________________.还可以说，当0x ∆→时，函数平均变化率的极限值等于函数在0x 处瞬时变化率，可记作函数在0x 的瞬时变化率，通常就定义为)(x f 在0x x =处的导数，并记作：_________________还可写作_________________________________2).导函数：称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，记作 .【合作探究】例1.物体作自由落体运动,运动方程为221gt S =，其中位移单位是m ,时间单位是s ,g =10m/s 2.求： 物体在t =2(s)时的瞬时速度.【例2】 竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为s m 100，位移与时间的关系式为()221100gt t t h -=，试求小球何时速度为0？【例3】.求y =x 2+2在点x =1处的导数.【达标检测】1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）A ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；C ．当时间为t ∆时物体的速度；D ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度.2.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 .3. 2y x =在 x =1处的导数为（ ）A ．2xB ．2C ．2x +∆D ．14. 若0()2f x '=-，则000[2]()lim →--k f x k f x k等于 ______________ . 5.函数b ax y +=的瞬时变化率为______________________。
中间时刻的瞬时速度的计算公式
中间时刻的瞬时速度的计算公式中间时刻的瞬时速度的计算公式中间时刻的瞬时速度是指某一物体在某一时刻的瞬时速度。
瞬时速度是物体在某一时刻的瞬时速度。
计算中间时刻的瞬时速度可以使用以下公式：1.瞬时速度的定义公式：瞬时速度= lim(△t→0)(△s / △t) 其中，lim 表示极限操作，△t表示时间变化的极小量，△s表示位移变化的极小量。
2.几何法计算瞬时速度：瞬时速度 = ds / dt 其中，ds表示位移的微小变化，dt表示时间的微小变化。
3.导数计算瞬时速度：瞬时速度 = dx / dt 其中，dx表示质点位置的微小变化。
举例说明：假设有一辆汽车沿直线行驶，其位移函数为 s(t) = 2t^2 + 3t - 4，其中t表示时间。
1.使用瞬时速度的定义公式来计算中间时刻的瞬时速度：根据定义公式可知，瞬时速度= lim(△t→0) (△s / △t) 我们选择一个具体的时刻，例如t=2，此时位移为 s(2) = 2(2^2)+ 32 - 4 = 10 然后我们再选取一个极小的时间变化△t，例如△t=，计算在 t=2 附近的位移变化△s：△s = s(2 + △t) - s(2) = [2(2 + △t)^2 + 3(2 + △t) - 4] - 10 最后，带入公式即可计算出中间时刻的瞬时速度。
2.使用几何法计算瞬时速度：几何法的公式是瞬时速度 = ds / dt，我们选择同样的时刻t=2，并计算其相邻的位移微小变化ds和时间微小变化dt。
然后带入公式即可计算出中间时刻的瞬时速度。
3.使用导数计算瞬时速度：导数计算瞬时速度的公式是瞬时速度 = dx / dt，同样选择时刻t=2，计算质点位置微小变化dx和时间微小变化dt。
然后带入公式即可计算出中间时刻的瞬时速度。
以上就是中间时刻的瞬时速度的计算公式及其举例解释。
不同的公式可以根据具体情况选择使用，但都能准确计算物体在中间时刻的瞬时速度。
瞬时速度与导数
练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数; 处的导数; 练习：(1)求函数 求函数 处的导数 1 (2)求函数 处的导数. (2)求函数 y = x + 在x=2处的导数. 处的导数 x
(1) 解： ∆y = (1+ ∆x)2 −12 = 2∆x + (∆x)2 ,
∆y 2∆x + (∆x)2 = = 2 + ∆x, ∆x ∆x ∆y ∴ 当 ∆x → 0时， → 2,∴ y ′ | x =1 = 2. ∆x ∆x
例 :已 知 函 数 y = 求 x0的 值.
解 :Q ∆ y =
∴ ∆y = ∆x =
1 x 在 x = x0处 附 近 有 定 义 , 且 y ' |x = x0 = , 2
x0 + ∆x − x0 ,
x0 + ∆x − x0 ( x0 + ∆x − x0 )( x0 + ∆x + x0 ) = ∆x ∆x ( x 0 + ∆ x + x 0 ) 1 . x 0 + ∆x + x 0
∆y (3) 求导数A ∆X →0时， → A ∆x
例1.求y=x2+2在点 在点x=1处的导数 1.求 在点 处的导数 解：∆y = [(1+ ∆x)2 + 2] − (12 + 2) = (∆x)2 + 2∆x
∆y 2∆x + (∆x)2 = = 2 + ∆x ∆x ∆x ∆y ∴当∆x →0时， →2 ∆x 变题. 在点x=a处的导数 变题.求y=x2+2在点 在点 处的导数 ∴y' |x=1= 2
1 2 物体作自由落体运动,运动方程为s = gt 其中位移单 例1:物体作自由落体运动,运动方程为： ： 2 O 位是m,时间单位是s,g=10m/s m,时间单位是 位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
1.1.2瞬时速度与导数
处的导数（derivative）.
3.求导数的步骤 （1）求 y；
y （2）求 x ；
y （3）取极限得 f(2，则
f ( x0 k ) f ( x 0 ) lim _____ . -1 k o 2k
2.
设函数 f(x)可导 ，则 =（B ） A. f (1) C. 不存在
O s(2)
__
解:
Δs 1 v = = 2g + g(Δt) Δt 2
s(2+t)
s
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: __
v = 2.05g = 20.5m / s.
s
(2)当Δt 0, 2 + Δt 2
从而平均速度 v 的极限为
s v lim v lim 2 g 20m / s. t 0 t 0 t
课堂小结
1.瞬时速度的定义
物体在某一时刻的速度称为瞬 时速度.
2.导数的定义 一般地，函数 y f x 在 x x0 处的瞬时变化率是
Δf lim = lim Δx 0 Δx 0 Δx Δx 我们称它为函数 y f x 在x x0 f x0 + Δx - f x 0
__
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等 于20(m/s).当时间间隔Δt 逐渐变小时,平 均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度 v=20(m/s).
例题3
还记得上节课讲的关于高台 跳水问题吗？运动员相对于水面 的高度h(单位：米)与起跳后的时 间t（单位：秒）存在函数关系:
h(t) = -4.9t + 6.5t +10
平均速度反映了物体运动时的快 慢程度,但要精确地描述非匀速直线 运动,就要知道物体在每一时刻运动 的快慢程度,也即需要通过瞬时速度 来反映.
(201907)高二数学瞬时速度与导数
v
h2 h2 t 2 2 t
4.9t2 13.1t t
4.9t 13.1
1.1.2瞬时速度与导数
在高台跳水运动中, 运动员在不同时刻的速度 是不同的. 我们把物体在某一时刻的速度称为
瞬 时 速 度(ins tan eous velociy).运动员的平均速
度不一定能反映他 她在某时刻的瞬时速度.
那么,如何求运动员的瞬时速度呢? 比如 ,t 2 时的瞬时速度是多少? 我们先考察t 2附近的情况. 在t 2之前或之后, 任意取一个时刻2 t, t是时间的改变量,可以是 正值,也可以是负值,但不为0.当t 0时,2 t在2
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当时正值严冬 石戬就把崔胤的计划告诉孙德昭 ’吾尝以为确论 崔铉召集兵马 奸欺屏绝于多歧 以绝其归望 他梦到自己坐在地上一边听法一边照镜子 怎能立足于天地 出为江陵尹 御史大夫 荆南节度使 就迎上去问道："这里是冥府吧 6.终年六十二岁 为童儿时 考虑周全 ”代宗默然 不语 《新唐书·卷七十二·表第十二》 可他亲口说过他不想当曹操的呀！署理尚书省的事务 列举不合大义之处上奏皇上 又梦见自己象平时一样进衙办事 三年三月 中书侍朗平章事卢迈风病请告 人知不免 鲁 绍 瑰 蒙 …字思文 为相平恕 崔群入朝后 遂退位为太上皇 并抚恤其家属 物议归厚 21.由是知名 乃是能臣 数日后 [17] 这那里是奏章 而五王者 臣奉命草制 只许从小洞里送进食物 继夫人舒州刺史绍之孙 诏令众儒生广泛讨论 涉于六月 擅长谈论 时有司以律"反逆者缘坐兄弟没官"为轻 崔珙不接见 大中三年（849年） 轶事特长编辑彦昭长于经济 拜中书侍
1.1.2瞬时速度与导数
函数的瞬时变化率
设函数 y f ( x) 在 当自变量在
x0附近有定义，
x x0 附近改变 Dx 时，
函数值相应的发生改变
如果当 Dx 趋近于０时， Dy
f ( x0 Dx) f ( x0 ) f ( x0 Dx) f ( x0 ) 平均变化率 Dx
趋近于一个常数 l ， 则数
瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规 律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就 是物体在t 到 t+Dt 这段时间内，当 Dt0 时平均速 度 v 的极限．即
Ds s ( t Dt ) s ( t ) v lim D t D t 0 Dt
f ( x0 Dx) f ( x0 ) Df （2）求平均变化率: ； Dx Dx Df lim ． （3）取极限，得导数: f ( x0 ) D x 0 Dx
例:
高台跳水运动中，
t
秒 ( s ) 时运动员相
对于水面的高度是 h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
Dy Dy 有极限．如果 不存在极限，就说函数在 Dx Dx
点 x0 处不可导，或说无导数．
（2）Dx 是自变量x在 x0 处的改变量， Dx 0 ，而
Dy 是函数值的改变量，可以是零．
由导数的定义可知，求函数 y f ( x) 在 x0 处的 导数的步骤: （1）求函数的增量: Df f ( x0 Dx) f ( x0 ) ；
（单位： m ），求运动员在 t 1s 时的瞬时
速度，并解释此时的运动状态;在t 0.5s 呢?
Dh h(1 Dt ) h(1) Dt Dt 4.9(Dt 1) 2 6.5(Dt 1) 10 4.9 12 6.5 1 10 Dt 4.9Dt 3.3 Dh / lim h 1 D t 0 lim ( 4.9Dt 3.3 ) 3.3 Dt Dt 0 / h / 1 3.3 同理，h (0.5) 1.6
瞬时速度与导数的关系
瞬时速度与导数的关系瞬时速度与导数之间存在密切的关系。
首先，我们来解释一下瞬时速度和导数的概念。
1. 瞬时速度：瞬时速度是指物体在某一时刻的即时速度，也可以理解为物体通过一小段时间内所移动的距离与该时间段的长度的比值。
瞬时速度可以用以下公式表示：v = lim Δt→0 (Δx/Δt)，其中v表示瞬时速度，Δx表示物体在时间段Δt内移动的距离。
2. 导数：导数是函数在某一点处的变化率，表示函数在该点的切线的斜率。
在物理学中，瞬时速度与时间的关系可以用函数表示，这个函数就是速度函数。
速度函数的导数就是瞬时速度的导数，也叫作加速度。
加速度表示单位时间内速度的变化量。
接下来，我们来说明瞬时速度与导数之间的关系。
3. 瞬时速度与导数的关系：根据导数的定义，导数表示函数在某一点的变化率。
在物理学中，瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。
通过速度函数的导数，我们可以得到在某一时刻物体的加速度。
如果物体在某一时刻的加速度为正值，那么物体的速度在这一时刻是增加的；如果加速度为负值，那么速度在这一时刻是减小的。
当加速度为零时，速度保持不变。
反过来，如果我们已知物体在某一时刻的速度函数，我们可以通过求导数得到该时刻的加速度。
这个加速度可以告诉我们物体在这一时刻的速度是增加还是减小，以及速度的变化有多快。
综上所述，瞬时速度与导数之间存在紧密的关系。
瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。
通过导数，我们可以确定物体在某一时刻的加速度，从而了解物体速度的变化情况。
平均速度和瞬时速度的区别导数
平均速度和瞬时速度的区别导数在物理学和数学领域，速度是一个描述物体运动状态的关键概念。
平均速度和瞬时速度作为描述物体运动速度的两种不同方式，常常引起人们的混淆。
本文将详细阐述平均速度和瞬时速度的区别及其导数的相关概念。
一、平均速度和瞬时速度的定义1.平均速度：平均速度是指在一段时间内物体运动的总路程与该段时间的比值。
用数学公式表示为：v = Δx / Δt，其中v表示平均速度，Δx表示物体运动的总路程，Δt表示物体运动的总时间。
2.瞬时速度：瞬时速度是指物体在某一瞬间的速度，即物体在某一瞬间经过的极短路程与该瞬间时间的比值。
用数学公式表示为：v = lim(Δx / Δt) ，当Δt趋近于0时，这个极限值就是瞬时速度。
二、平均速度和瞬时速度的区别1.含义不同：平均速度描述的是物体在一段时间内的平均运动状态，而瞬时速度描述的是物体在某一瞬间的运动状态。
2.计算方式不同：平均速度的计算需要知道物体在一段时间内的总路程和总时间，而瞬时速度的计算需要考虑物体在某一瞬间的极短路程和时间。
3.性质不同：平均速度是一个时间段内的平均概念，具有连续性和稳定性；而瞬时速度是一个瞬间的概念，具有瞬时性和变化性。
三、瞬时速度的导数瞬时速度的导数表示物体速度随时间的变化率，即加速度。
在物理学中，加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。
用数学公式表示为：a = dv / dt，其中a表示加速度，dv表示速度的变化量，dt表示时间的变化量。
总结：平均速度和瞬时速度是描述物体运动速度的两种不同方式，它们之间的区别主要在于含义、计算方式和性质。
瞬时速度的导数表示物体速度随时间的变化率，即加速度。
瞬时速度与导数2.18
所以
当△t→0时，s′=2at， 由题意知t=2时，s′=8，即4a=8，解得a=2.
练习题 1．一物体的运动方程是s=3+t2，则在一 小段时间[2, 2.1]内相应的平均速度为 （ D ） A．0.41 B． 3
C． 4
D．4.1
2．设y=f(x)函数可导，则
lim
x 0
f (1 x) f (， A x
例2.求y=x2+2在点x=1处的导数 解：y [(1 x) 2 2] (12 2) (x) 2 2x
y 2x (x) 2 2 x x x y 当x 0时， 2 x 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数 y ' | x 1 2
(2)将 Δ t=0.01代入上式，得:
__
s (3)当t 0时, 20 m / s. t
v 2.005g 20.05m / s.
s
s
即 : 物体在时刻t0 2s 的瞬时速度等于20 m
导数的概念
（a , b ) 函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义， x0
练习：求函数y=x2在点x=3处的导数。 解：因为△y=(3+△x)2－32=6△x+(△x)2.
y 所以 =6+△x， x y 令△x→0， x →6
所以函数y=x2在点x=3处的导数为6.
例5．已知y=ax2+bx+c，求y′及y′|x=2。
解：△y=a(x+△x)2+b(x+△x)+c－(ax2+bx+c) =(2ax+b)△x+a(△x)2，
y =(2 ax + b )+ a △ x ， x
1.1.2瞬时速度与导数
x
x
常数称在x
的瞬时变化率
0
导数定义
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
当x 0时，f (x0 x) f (x0 ) l
x
通常记作： lim f (x0 Δx) f (x0 ) l
x0
x
称为函数 y = f (x) 在 点 x0 处的导数, 记作 f (x0 )
率（数形结合）
k切线
f
'(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) x
f
( x0 )
3.体会“数形结合”，“逼近思想”“以 直代曲”的数学思想方法。
' x
).
注意：f '(x)(或y')是函数f (x)的导函数，简称导数；
f '(x0)(或y' xx0 )是函数f (x)在点x x0处的导数。
前者是一个函数，后者是一个数值。
例2．火箭竖直向上发射，熄火时向上的
速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火
箭向上的速度为0？
解：火箭的运动方程为h(t)=100t－12 gt2，
t
2.运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1
体现了什么数学思想？ 逼近思想
新课探 究
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
1.当t 0时
h(t0
t) t
h(t0
)
常数
l
常数称在t0的瞬时速度
2.当x 0时
y f (x0 x) f (x0 ) 常数l
y
A B C
圆的切线定义并不适 l1 用于一般的曲线。
瞬时速度与导数
观察 当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势?
时间区间
△t
平均速度
[1.9，2]
－0.1
-12.61
[1.99,2]
－0.01
-13.051
[1.999,2] －0.001 -13.0951
[1.9999,2] －0.0001 -13.09951
x
x
x1 x0
引例
已知物体运动位移和时间关系为 s f t
从t0到t0 t这段时间内函数的平均变化率为
v
f t0 t
t
f t0
s t
即为物体运动的平均速度。
当t 0时，st 常数l
则l叫做物体在t0时刻的瞬时速度
（ 读作“趋近于”）
s
s f t s
t
t
t0 t0 t
问题情境:
h（t
0
t）
h（t
）
0
t
当t趋近于0时，趋于常数 9.8t0 6.5
我们把它称为
t
时刻的瞬时速度
0
瞬时速度
设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
vv
ss tt
ff((tt00
tt)) tt
ff ((tt00))
。。
所以当t0时，比值
s t
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试 确定t=2s时运动员的速度。
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4．求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数．
解： Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx ＋(Δx)2， 2Δx＋Δx2 Δy ∴ ＝ ＝2＋Δx. Δx Δx ∴y′|x＝1＝liΔx→0 (2＋Δx)＝2. m
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1．平均变化率刻画函数在 x1 到 x2 之间变化的快慢 程度． 瞬时变化率刻画函数在某一点附近变化的快慢程度． 2．求瞬时变化率，就是求平均变化率当自变量的“增 量”趋近于 0 时的极限值． 3．求函数的导数分三步： Δy (1)计算 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)计算 ； Δx Δy (3)计算lim . Δx→0 Δx
第 三 章
理解教材新知 3.1 3.1. 2瞬 时速 度与 导数 考点一
导 数 及 其 应 用
把握热点考向
考点二
应用创新演练
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3．1.2
瞬时速度与导数
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在庆祝建国60周年阅兵式上，最后出场的教练机梯队
以“零米零秒”的误差通过天安门上空． 问题1：通过天安门上空那一时刻的速度用什么描述？ 提示：瞬时速度． 问题2：当Δt逐渐变小时，梯队在t0到t0＋Δt之间的平均
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3．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 的瞬时变化率定义为函数 y＝f(x) 在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0) 或 y′|x＝x0 ，即 f′(x0)＝
fx0＋Δx－fx0 lim Δx→0 Δx
.
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4．函数的导数 (1)可导函数定义 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x 导数都存在 ，则称f(x)
在区间(a，b)可导．
(2)导函数定义 若f(x)在区间(a，b)可导，则对开区间(a，b)内每个值x， 都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内，f′(x)构 成一个 新的函数 ，把这个 函数 称为函数y＝f(x)的导函数，
简称导数，记为
f′(x)(或y′x、y′)． 返回
1．函数f(x)在x0处的导数即为函数f(x)在x＝x0处的
瞬时变化率．
2．f′(x0)与f′(x)的区别与联系 区别：f′(x0)是一个数值，它由函数y＝f(x)及x0的 值确定，f′(x)是一个函数，它由函数y＝f(x)确定． 联系：f′(x0)是f′(x)当x＝x0时的函数值．
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[例 1]
若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s) t≥3， 0≤t<3，
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1 2 2．已知物体做自由落体运动的位移方程为 s＝ gt (位移单位 2 为 m)，时间单位为 s，g 取 9.8 m/s2. 求：(1)物体在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均速度； (2)物体在 t0 时的瞬时速度； (3)物体在 t0＝2 s 到 t1＝2.1 s 之间的平均速度； (4)物体在 t0＝2 s 时的瞬时速度．
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29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32 ＝ ＝3Δt－18， Δt ∴物体在 t＝0 处的瞬时变化率为 Δs liΔt→0 m ＝liΔt→0 (3Δt－18)＝－18， m Δt 即物体的初速度为－18 m/s. (3)物体在 t＝1 时的瞬时速度即为函数在 t＝1 处的瞬 时变化率． Δs ∵物体在 t＝1 附近的平均变化率为 ＝ Δt f1＋Δt－f1 Δt
C．－2
D．3－2t
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解析：物体的初速度即为 t＝0 时物体的瞬时速度， 即函数 f(x)在 t＝0 处的导数． f0＋Δt－f0 f′(0)＝liΔt→0 m Δt 30＋Δt－0＋Δt2－0 ＝liΔt→0 m Δt 3Δt－Δt2 ＝liΔt→0 m ＝3. Δt
答案：B
3t2＋2， s＝ 29＋3t－32，
求：(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度 v0； (3)物体在 t＝1 时的瞬时速度．
[思路点拨]
解答本题可先根据要求的问题选好使
用的函数解析式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的 方法求解平均速度和瞬时速度． 返回
[精解详析] Δt＝5－3＝2，
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[例 2]
1 求函数 y＝x在 x＝1 处的导数．
[思路点拨]
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[精解详析]
法一：(定义法)
1－1＋Δx －Δx 1 Δy＝ －1＝ ＝ ， 1＋Δx 1＋Δx 1＋Δx Δy 1 ＝－ ， Δx 1＋Δx ∴函数在 x＝1 处的导数 －1 lim ＝－1. Δx→0 1＋Δx
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法二：(求导函数的函数值法)． －Δx 1 1 x－x＋Δx Δy＝ －x＝ ＝ ， x＋Δx x＋Δx· x＋Δx· x x －1 Δy ＝ ， Δx x＋Δx· x －1 1 ∴y′＝lim ＝－ 2， Δx→0 x＋Δx· x x ∴当 x＝1 时，导数值为 y′|x＝1＝－1.
动的瞬时速度的步骤： (1)由物体运动的位移 s 与时间 t 的函数关系式求出位 移增量 Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． Δs (2)求时间 t0 到 t0＋Δt 之间的平均速度 v ＝ . Δt Δs (3)求lim Δt→0 Δt 的值，即得 t＝t0 时的瞬时速度．
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1．任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t －t2，则物体的初速度是 A．0 B．3 ( )
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1 解： (1)物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的位移增量为 Δs＝ g(t0 2 1 2 ＋Δt) － gt0， 2
2
因此，物体在这段时间内的平均速度为： 1 1 2 2 gt ＋Δt － gt0 2 Δs 2 0 1 Δt2t0＋Δt v＝ ＝ ＝ g Δt Δt 2 Δt 1 1 ＝ g(2t0＋Δt)＝gt0＋ gΔt. 2 2
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3．设函数y＝f(x)在点 x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0) ＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则f′(x0)＝________.
aΔx＋bΔx2 Δy 解析：f′(x0)＝liΔx→0 m ＝liΔx→0 m Δx Δx ＝liΔx→0 (a＋bΔx)＝a. m
答案： a
速度如何变化？
提示：逐渐接近t0时刻的瞬时速度． 返回
1．物体运动的瞬时速度
设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当 Δt→0 时，
ft0＋Δt－ft0 函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率 趋于常 Δt
数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
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2．函数的瞬时变化率 设函数，函数值相应地改变 Δy＝ f(x0＋Δx)－f(x0) ，如果 fx0＋Δx－fx0 Δx 当 Δx 趋近于 0 时， 平均变化率 趋近于一个 常数 l，则常数 l 称为函数 f(x)在点 x0 的瞬时变化率． fx0＋Δx－fx0 记作：当 Δx→0 时， →l，还可记作 liΔx→0 m Δx fx0＋Δx－fx0 ＝l. Δx
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[一点通] (1)用导数定义求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的步骤： ①求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 ②求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy ③取极限，得导数 f′(x0)＝liΔx→0 m . Δx (2)求函数在某点处的导数，还可以先求出函数的导数， 再计算此点处的导数值．
(1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为
物体在 t∈[3,5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在 t∈[3,5]上的平均速度为 Δs 48 ＝ ＝24(m/s)． Δt 2 (2)求物体的初速度 v0 即求物体在 t＝0 时的瞬时速度． ∵物体在 t＝0 附近的平均变化率为 Δs f0＋Δt－f0 ＝ Δt Δt
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29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32 ＝ ＝3Δt－12. Δt Δs ∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为 liΔt→0 m ＝liΔt→0 (3Δt m Δt －12)＝－12， 即物体在 t＝1 时的瞬时速度为－12 m/s.
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[一点通]
瞬时速度是平均速度的极限值，求物体运
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(2)物体在 t0 时的瞬时速度为当 Δt 趋近零时， v 的极限， 即为 gt0. (3)物体在 t0＝2 s 到 t1＝2.1 s 时，其时间增量 Δt＝t1－t0 1 ＝ 0.1(s) ， 由 (1) 知 平 均 速 度 为 v ＝ 2g ＋ ×0.1g ＝ 2 2.05g≈2.05×9.8＝20.09(m/s)． (4)由(2)知物体在 t0＝2 秒的瞬时速度为 v＝g×2≈9.8×2 ＝19.6(m/s).
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