绝对值不等式的解法教学设计.doc

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(完整版)教案含绝对值不等式的解法

含绝对值的不等式解法(一）复习思考1、复习初中学过的不等式的三条基本性质.(1)、如果b a >，那么c b c a +>+（2)、如果0,>>c b a ,那么bc ac >（3）、如果0,<>c b a .那么bc ac <注意:性质（3）是不等式两边都乘以同一个负数,不等号的方向要变。

2、复习绝对值的定义及其几何意义. {0,0,≥<-=x x x x x几何意义：x 在数轴上所对应点到原点的距离（二).探究新知1。

2=x 几何意义是什么，在数轴上在数轴上应该怎样表示?解绝对值不等式 2<x ，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？解绝对值不等 2x >,由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示?2x >的解集有几部分？为什么2x <-也是它的解集？2、(0)x a a <>⇔ (0)x a a >>⇔3、练习：（1）、5x <；（2）、 7x >（3)328x -≤ （4)238x -<（一)解下列不等式:（1）51431<-x （2） 752>+x（3)5|23|3≤-<x （4）|1|2x x +>+（5)|24|3x x -<+ (6）7|52|2≤-<x（7）|9|3x -> （8）|3|1x -<9。

设A =｛x | |x -2|＜3｝,B ={x ｜｜x -1｜≥1｝，则A ∩B 等于（）10。

设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A U 中的元素个数是二、填空题1。

不等式|x +2｜＜3的解集是，不等式｜2x —1｜≥3的解集是 .2。

不等式1211<-x 的解集是___ .三、解答题1.解不等式x2- 2|x｜—3＞02。

2.2绝对值不等式的解法-教学设计公开课

1.2.2绝对值不等式的解法一、教学目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.3．能利用绝对值不等式解决实际问题．二、课时安排1课时三、教学重点理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．四、教学难点会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.五、教学过程（一）导入新课解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)．【解】若2m－1≤0，即m≤，则|2x－1|＜2m－1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m－1＞0，即m＞，则－(2m－1)＜2x－1＜2m－1，所以1－m＜x＜m.综上所述：当m≤时，原不等式的解集为∅，当m＞时，原不等式的解集为{x|1－m＜x＜m}．（二）讲授新课教材整理1 绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解集法1．|ax＋b|≤c⇔.2．|ax＋b|≥c⇔.教材整理3 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法1．利用绝对值不等式的几何意义求解．2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解．（三）重难点精讲题型一、|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法例1求解下列不等式．(1)|3x－1|≤6；(2)3≤|x－2|＜4；(3)|5x－x2|＜6.【精彩点拨】关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．【自主解答】(1)因为|3x－1|≤6⇔－6≤3x－1≤6，即－5≤3x≤7，从而得－≤x≤，所以原不等式的解集是.(2)∵3≤|x－2|＜4，∴3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3，即5≤x＜6或－2＜x≤－1.所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．(3)法一由|5x－x2|＜6，得|x2－5x|＜6.∴－6＜x2－5x＜6.∴∴即∴－1＜x＜2或3＜x＜6.∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}．法二作函数y＝x2－5x的图象，如图所示．|x2－5x|＜6表示函数图象中直线y＝－6和直线y＝6之间相应部分的自变量的集合．解方程x2－5x＝6，得x1＝－1，x2＝6.解方程x2－5x＝－6，得x′1＝2，x′2＝3.即得到不等式的解集是{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}．规律总结：1．形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b)⇔a＜f(x)＜b或－b ＜f(x)＜－a.2．形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式的简单解法是等价命题法，即(1)当a＞0时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a.(2)当a＝0时，|f(x)|＜a无解．|f(x)|＞a⇔|f(x)|≠0.(3)当a＜0时，|f(x)|＜a无解．|f(x)|＞a⇔f(x)有意义．[再练一题]1．解不等式：(1)3＜|x＋2|≤4；(2)|5x－x2|≥6.【解】(1)∵3＜|x＋2|≤4，∴3＜x＋2≤4或－4≤x＋2＜－3，即1＜x≤2或－6≤x＜－5，所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2或－6≤x＜－5}．(2)∵|5x－x2|≥6，∴5x－x2≥6或5x－x2≤－6，由5x－x2≥6，即x2－5x＋6≤0，∴2≤x≤3，由5x－x2≤－6，即x2－5x－6≥0，∴x≥6或x≤－1，所以原不等式的解集为{x|x≤－1或2≤x≤3或x≥6}．题型二、含参数的绝对值不等式的综合问题例2已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【精彩点拨】→【自主解答】(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝2.(2)法一由(1)知a＝2，此时f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|，于是g(x)＝利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.因此g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立，知实数m的取值范围是(－∞，5]．法二当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m恒成立，则实数m的取值范围是(－∞，5]．规律总结：1．第(2)问求解的关键是转化为求f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．[再练一题]2．关于x的不等式lg(|x＋3|－|x－7|)<m.(1)当m＝1时，解此不等式；(2)设函数f(x)＝lg(|x＋3|－|x－7|)，当m为何值时，f(x)<m恒成立？【解】(1)当m＝1时，原不等式可变为0<|x＋3|－|x－7|<10，可得其解集为{x|2<x<7}．(2)设t＝|x＋3|－|x－7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t≤10，因y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数，则lg t≤1，当t＝10，x≥7时，lg t＝1，故只需m>1即可，即m>1时，f(x)<m恒成立．题型三、含两个绝对值的不等式的解法例3 (1)解不等式|x＋2|＞|x－1|；(2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.【精彩点拨】(1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．【自主解答】(1)|x＋2|＞|x－1|，可化为(x＋2)2－(x－1)2＞0，即6x＋3＞0，解得x＞－，∴|x＋2|＞|x－1|的解集为.(2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.所以－1－x＋1－x＝3，得x＝－.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x，所以x－1＋x－(－1)＝3.所以x＝.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是∪.规律总结：|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．[再练一题]3．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)解不等式f(x)>2.【解】(1)f(x)＝函数的图象如图所示．(2)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2.由－2x＋12＝2，得x＝5，根据函数f(x)的图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．（四）归纳小结绝对值不等式的解法—（五）随堂检测1．不等式|x|·(1－2x)>0的解集是( )A.B．(－∞，0)∪C.D.【解析】原不等式等价于解得x<且x≠0，即x∈(－∞，0)∪.【答案】B2．不等式|x2－2|＜2的解集是( )A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－1,0)∪(0,1)D.(－2,0)∪(0,2)【解析】由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，即0＜x2＜4，所以－2＜x＜0或0＜x＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】D3．不等式≥1的实数解为________.【解析】≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|，且x＋2≠0.∴x≤－且x≠－2.【答案】六、板书设计七、作业布置同步练习1.2.2：绝对值不等式的解法八、教学反思。

人教B版数学选修4-5《绝对值不等式的解法》(1)教学设计

人教B版选修4-51．1．3 绝对值不等式的解法（1）教学设计一、教材分析（一）教材内容本节课是数学选修4-5第1章第3节的第一课时．主要内容是从绝对值几何意义出发，介绍两种含有绝对值不等式的解法．绝对值的几何意义、性质是学习的重要基础，两种类型的绝对值不等式解法属于新生成的程序性知识．本节课的上位知识为初中数学已经学习的绝对值概念及一元一次不等式解法；下位知识是含有两个绝对值的不等式解法、绝对值的三角不等式等内容，因此本节课可以说既是对绝对值的升华应用，又是学习双绝对值不等式解法的必备基础．（二）教学目标1．知识与技能目标掌握|x|＞a(a＞0)，|x|＜a(a＞0)型不等式的意义及其解法；会求|ax＋b|＞c(c＞0)，|ax＋b|＜c(c＞0)型不等式的解法．2．过程与方法目标学生经历从具体到抽象的过程，体会几何意义的应用，探索绝对值不等式的多种解法，得出解决绝对值问题的基本方法．3．情感态度与价值观目标通过经历数学发现的过程，发展学生对整体代换、分类讨论、数形结合的理解和运用能力，进一步渗透转化与化归的思想．（三）教学重难点教学重点：掌握|x|＞a(a＞0)，|x|＜a(a＞0)和|ax＋b|＞c(c＞0)，|ax＋b|＜c(c＞0)型不等式的解法．教学难点：如何去掉绝对值符号．二、学情分析学生初中学习过绝对值知识，但仅限于定义，对绝对值几何意义的认识还不够深刻，对去掉绝对值符号的应用较少．所以本节课在注重深化几何意义的基础上，多角度探索去掉绝对值符号的方法，经过对比，帮助学生熟练掌握解决绝对值不等式问题的基本方法．1三、教学策略本节课采用小组合作探究、辅助问答的教学模式．从|x|＝2展开，深入挖掘绝对值的几何意义，以探索|x－1|＜2的多种解法为主体组织教学，在学生深刻理解绝对值几何意义的基础上，思考去掉绝对值符号的方法．经过实践对比后，再回归到解决绝对值不等式问题的通性通法—代数法上，真正达到深入浅出的教学效果．四、教学过程（一）情景引入，复习提问1.情景引入：生活中，我们会发现，超市出售的500g食盐，有的会在包装上印有500±10g 的字样．大家想，食盐的实际质量一定是500g吗？如果设实际质量为x g，你能用绝对值表达x与500g和10g之间的数量关系吗？师生活动：教师描述生活经验，直接引出绝对值不等式．学生回答后，教师多媒体展示数量关系，并引出课题．设计意图：将教学内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，体现数学的应用价值．2.复习提问：问题1解一元一次不等式ax＋b＞0(a≠0)时用到的不等式性质有哪些？问题2去掉|x|绝对值符号的结果怎么表示？问题3数轴上点x与原点的距离如何表示？师生活动：教师多媒体展示3个问题，让学生思考，同时板书课题．学生回答，教师展示问题2和问题3答案，追问|－a|＝a？并进一步说明|x－a|表示数轴上点x 与点a的距离，|x＋a|表示数轴上点x与点-a的距离，这实际上就是绝对值的几何意义．设计意图：不等式性质、绝对值的性质、几何意义是学习本节课的重要基础知识，复习回顾，为知识迁移做准备．（二）新课讲授，练习归纳教师多媒体展示例1：例1(1)方程|x|＝2的解是多少，几何意义是什么？(2)满足不等式|x|＜2的解在数轴上如何表示？解集如何表示？那么|x|＞2呢？(3)不等式|3x|＜6怎么利用几何意义来解释？总结一下|x|＞a，|x|＜a型不等式的解集吗？师生活动：学生口答，教师用多媒体依次展示解集在数轴上的表示，并注意规范绝对值几何意义的术语.(3)的解释是：|3x|表示点3x到原点的距离，可以看成是点x到原点距离的3倍，即|3x|＝3|x|，即|x|＜2；因此要使用几何意义解决系数不是1的绝对值问题，实际上根据不等式的性质先将系数化为1.对结论的归纳，学生容易忽略对参数a取值的讨论，教师通过让学生对x＞-2、x＜-2、x＞0、x＜0四个不等式的实践操作，得出正确答案；同时，教师板书|x|＞a⇔x＞a或x＜-a和|x|＜a⇔-a＜x＜a(a＞0)，并强调：一般情况下，只研究a＞0的情形，将绝对值不等式等价转化为常规一次不等式，进而求出它的解集。

绝对值不等式的解法优秀教学设计

绝对值不等式的解法【教课目的】（1）理解并掌握 ax b c 与 ax b c(c0) 型不等式的解法，并能初步地应用它解决问题；（2）认识数形联合，分类议论的思想，培育数形联合的能力，培育经过换元转变的思想方法，培育抽象思想的能力；（3）绝对值的几何意义的应用；（4）激发学习数学的热忱，培育勇于探究的精神，勇于创新精神，同时领会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教课要点】x a 与 x a(a0) 型不等式的解法。

【教课难点】绝对值意义的应用，和应用xa 与 xa(a 0) 型不等式的解法解决ax b c与ax b c(c 0) 型不等式【讲课种类】新讲课【课时安排】1课时【教课准备】多媒体、实物投影仪【教课过程】一、复习引入：1．什么叫不等式？什么叫不等式组的解集？2．初中已学过的不等式的三条基天性质是什么？你能用汉语语言表达这三条性质吗？假如 a>b, 那么 a+c>b+c;假如 a>b,c>0, 那么 ac > bc;假如 a>b,c<0, 那么 ac < bC.3．实数的绝对值是如何定义的？几何意义是什么？a, a 0绝对值的定义 : | a | = 0, a 0a, a 0|a| 的几何意义：数轴上表示数 a 的点走开原点的距离 |x-a|(a ≥0) 的几何意义是 x 在数轴上的对应点 a 的对应点之间的距离。

实例：按商质量量规定，商铺销售的注明 500g 的袋装食盐，按商质量量规定，其实质数与所标数相差不可以超出 5g，设实质数是 x g，那么， x 应知足如何的数目关系呢？能不可以用绝x 5005,对值来表示？x 500 5. （由绝对值的意义，也能够表示成x 500 5. ）500 x 5.企图：领会知识源于实践又服务于实践，进而激发学习热忱引出课题二、解说新课：1． x a(a 0) 与 x a(a0) 型的不等式的解法先看含绝对值的方程 |x|=2几何意义：数轴上表示数x 的点走开原点的距离等于2．∴ x= 2发问：x 2 与x 2的几何意义是什么？表示在数轴上应当是如何的？数轴上表示数 x 的点走开原点的距离小（大）于 2-2 O 2 x -2 O 2 x即不等式x 2 的解集是x 2 x 2不等式x 2的解集是x x 2,或 x 2 。

含绝对值不等式的解法教案

我今天讲的是普通高中课程标准实验教科书选修4-5不等式选讲中的第一讲第二个问题——绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法一、教学目标（1）掌握|x|<a与|x|>a（a>0）型的绝对值不等式的解法．（2）掌握|ax+b|<c与|ax+b|>c（c>0）型的绝对值不等式的解法．（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；（4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力；二、教学重点：|x|<a与|x|>a（a>0）型的不等式的解法；三、教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题．四、教学过程设计（一）、导入新课提问:正数的绝对值是什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？|a|的几何意义是在坐标轴上表示坐标为a的那个点到原点的距离。

（二）、新课讲授设问1：解绝对值不等式|x|<1，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？根据绝对值的意义，由下面的数轴可以看出，不等式|x|<1的解集就是表示数轴上到原点的距离小于1的点的集合，即（-1,1）．不等式|x|<1的解集表示为{x|-1<x<1}即（-1,1）设问2：解绝对值不等式|x|>1，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？根据绝对值的意义，由下面的数轴可以看出，不等式|x|>1的解集就是表示数轴上到原点的距离大于1的点的集合，即(,1)(1,)．-∞∞不等式|x|>1的解集为{}{}|1|1x x x x <-> 或表示为{x|x<-1或x>1}设问3：如果a>0解绝对值不等式|x|<a ，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？根据绝对值的意义，由下面的数轴可以看出，不等式|x|<a 的解集就是表示数轴上到原点的距离小于a 的点的集合，即（-a,a ）．不等式|x|<a （a>0）的解集表示为{x|-a<x<a}设问4：当a>0时解绝对值不等式|x|>a ，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？根据绝对值的意义，由下面的数轴可以看出，不等式|x|>a 的解集就是表示数轴上到原点的距离大于a 的点的集合，即(,)(,)a a -∞∞ ．不等式|x|>a （a>0）的解集表示为{x|x<-a 或x>a }因而，|x|<a ⇔-a<x<a ；|x|>a ⇔x<-a 或x>a.故不等式|x|<a 的解集是（-a,a ）；不等式|x|>a 的解集是(,)(,)a a -∞∞ .上述绝对值不等式是解其它不等式的基础，即其它绝对值不等式的解一般可以通过转化为上述不等式而得到。

绝对值不等式的解法--课堂教学设计表.doc

问题：公式法的适用范围；
问题;应用几何法应注意哪些方面；
观察归纳思考，类比分析以上练习，进而解决教师问题。
通过对练习类比分析观察归纳，得出公式法与几何法的局限性，以及注意条件。
四;课堂小结
学生讨论，独立回答。
加深印象,增强记忆。将本节课的中心内容进行总结归纳,加以强调、梳理或浓缩,使学生学到的新知识理解得更加清晰、准确,抓住重难点,记忆得更加牢固。
评价
修正
练习1，2较好的实现解绝对值不等式的理解；
对于练习3的教学，增强了学生的对各解集的整合能力；
对于例2的解决，学生学习时有一定难度，应引导学生首先树立去绝对值的意识；
个性化教学
为学有余力的学生所做的调整：利用绝对值的代数意义解决例1，从而探究思考题。
为需要帮助的学生所做的调整：追加不等式集合交并运算问题。
思考：解不等式
提示：解绝对值不等式首先考虑什么?绝对值的代数意义。
课后思考，寻找解决问题的思路。
为学生创造思考空间，提高数学能力，同时为下节内容做铺垫。
巩固
练习
练习1.解绝对值不等式：，
变式：解绝对值不等式：，
独立思考，在黑板上完成练习，师生点评。
通过问题辨析，加深对公式法解绝对值不等式。培养学生的思辨论证能力。
简单绝对值不等式的解法；
解绝对值不等式：去绝入深逐层递进，类比差异解决思维矛盾寻找突破点。在教师的启发指导下，通过观察分析得出结论。
教学难点
含有两个绝对值的不等式利用几何意义的解法；
设置若干有梯度的问题从而引导学生由简单到复杂的思维过程。学生自己运用类比，联想的方法即可突破难点。
课堂教学设计表
分页式模板：
课堂教学设计表
课程名称§2.2绝对值不等式的解法设计者16单位（学校）江油一中授课班级

高一数学《绝对值不等式的解法》教学案

绝对值不等式的解法【教学目标】1. 理解绝对值不等式的几何意义2. 学会解绝对值不等式的一般方法3. 会用绝对值不等式的几何意义解一些特殊的绝对值不等式【教学重点与难点】1. 绝对值不等式的几何意义2. 解绝对值不等式的一般方法【教学过程】I. 自学指导1. 绝对值可以转化为什么样的形式?它有什么几何意义?2. 不等式)0(><a a x 的几何意义是什么?3. 请总结出不等式)0(><a a x 和不等式)0(>>a a x 的解集.4. 绝对值不等式还有其他的解题途径吗?5. 回顾不等式的几何意义,你能用用几种方法来解决不等式521>-++x x ?6. 如果我们将分式不等式和绝对值不等式结合起来,解题的时候应该注意什么?并解不等式232+-x x >1.II. 自学点评与拓展1. 绝对值的几何意义就是表示实数在数轴上所对应的点到原点的距离.2. 不等式)0(><a a x 几何意义就是求数轴上到原点距离小于a 的点所对应的实数x 的集合.3. 绝对值不等式)0(><a a x 的解集为}{a x a x <<-,)0(>>a a x 的解集为}{a x a x x -<>或.4. 绝对值不等式还可以转化为一元二次不等式来解.5. 绝对值521>-++x x 可以用x 分段讨论或用不等式几何意义等多种解法来解决,强调通法,解释几何意义来解不等式.6. 注意提醒绝对值不等式和分式不等式整合时候的解题要领和注意问题.III ．自学检测一．必做题1．解下列不等式（1）462≤-x（2）432>-x x（3）1232>+-x x （4）321≤-+-x x（5）3223+>+x x二．选做题1．解不等式xx x x +>+11 2．已知b a x <-的解集是}93{<<-x x ，求a,b3．若A=}107{>+x x ，B=}0,5{><-a a x x ，且A B=B ，求实数a 的取值范围。

《绝对值不等式的解法及应用》教学设计

《绝对值的不等式的解法及应用》教学设计
教师行为
学生（ppt展示）
学生认真回答问题。
以提问形式复习旧知识，引出新问题。
(二)探索热身
1、师：这节课我们就来研究含有绝对值的不等式的解法及应用。（板书：绝对值不等式的解法及应用）
2、师：下面请大家看看热身练习（ppt展示）
学生做例1待做完后讨论归纳再做变式
学生练习，教师巡视指导。
学生做例2待做完后讨论归纳再做变式
类比旧知识，教师提出新问题，学生解答。
通过启发学生，尽量让学生自己归纳出解法，锻炼学生总结概括能力并加深学生对该知识点的理解。
通过练习，使学生进一步掌握两类不等式的解法。
(三)归纳小结
师：通过本节课的学习，大家学到了哪些数学知识？（ppt展示）
(1)解含有绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号，利用绝对值的定义是去绝对值符号的有效方法．
(2)去绝对值符号时一定要注意不等式的等价性，即去掉绝对值符号后的不等式（组）与原不等式是等价的。
(3)解含多个绝对值符号的不等式，常采用零点分区间法，也可数形结合，将不等式的求解问题转化为考察两函数图象之间的关系．
学生畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点。
使学生对所学的知识有一个总体而深刻的认识。
(四)布置作业
学生课后完成。
作业分层布置，照顾到全体学生；B组第1题有一定的难度，激发学生挑战的意识。
（板书：一、考点一·|f(x)|>g(x)及|f(x)|<g(x)型不等式的解法
（ppt展示）
师：同学们回答得很正确，请大家试归纳写出|f(x)|>g(x)及|f(x)|<g(x)型不等式的解法。
（板书：二、考点二·|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法）

绝对值不等式教案.docx

绝对值不等式的解法 ( 一)教学目标教学知识点1. 掌握 |x|>a与|x|<a (a>0)型不等式的解法。

2.|ax+b|>c与|ax+b|<c型不等式的解法。

3.|x-a|+|x-b|>c与|x-a|+|x-b|<c型不等式的解法。

能力训练要求1.通过不等式的求解，加强学生的运算能力。

2.提高学生在解决问题中运用整体代换的能力。

教学重点|ax+b|>c、 |ax+b|<c 、 |x-a|+|x-b|>c、|x-a|+|x-b|<c型不等式的解法。

教学难点如何去掉绝对值不等式中的不等式符号，将其转化成已会解的不等式。

教学过程：一、引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。

在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。

本节主要研究不等式的解法。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。

主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

即x，如果 x0x0，如果 x 0 。

x，如果 x 02、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。

设 a 为正数。

根据绝对值的意义，不等式x a 的解集是{ x | a x a} ，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合是开区间（－ a，a），如图所示。

a图 1-1a如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型。

设 a 为正数。

根据绝对值的意义，不等式x a 的解集是{x | x a 或 x a }它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(, a), (a, ) 的并集。

如图1-2 所示。

– a a图1-2同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。

第一章第四节含绝对值的不等式解法教案示例人教版教案

第一章第四节含绝对值的不等式解法教案示例●课题§1.4 含绝对值的不等式解法●教学目标(一)教学知识点1.掌握|x|＜a,|x|＞a(a＞0)的解法.2.了解其他类型不等式解法.(二)能力训练要求1.通过求解不等式，加强学生运算能力训练.“等价转化”的数学思想.(三)德育渗透目标渗透由特殊到一般的思想，能准确寻求事物的一般规律.●教学重点|x|＞a及|x|＜a(a＞0)型不等式的求解.●教学难点1.如何将实际问题转化为不等式问题.2.如何将未解过不等式等价转化为已求解过的不等式.3.正确求得不等式的解时，数形结合的思想运用是必要的.4.分类讨论思想在解含有绝对值两个或两个以上不等式问题中的应用.●教学方法发现式教学法通过复习巩固旧知识，发现新问题，并在已有知识的基础上寻求解决问题的方法.再进一步引导学生深入思考讨论其他类型的含绝对值不等式的解法，从而为解决实际问题奠定理论基础.●教具准备幻灯片四X第一X：第一组问题(记作§A)第二X：第二组问题(记作§1.4B)第三X ：第三组问题(记作§)第四X ：第四组问题(记作§1.4D)●教学过程Ⅰ.含绝对值不等式的引入第一组问题——复习巩固提问（幻灯片§A)1.不等式的基本性质有哪些？2.绝对值的定义及其几何意义是什么？3.按商品质量规定，商店出售的标明500 g 的袋装食盐，其实际数与所标数相差不能超过5 g ，如何表达实际数与所标数的关系呢？上述问题学生基本能够准确回答，教师强调：（1）不等式的基本性质虽是初中所学过的内容，它是解决不等式有关问题的基础，因此必须熟练掌握.（2）绝对值的定义，即|a |=⎩⎨⎧<-≥0 0 a a a a 是用分类讨论思想定义的，它可以帮助我们理解绝对值的定义，也可以用来去掉绝对值的符号.（3）实数a 的绝对值表示在数轴上所对应点A 到原点的距离，并且可以得到|a |≥0这一结论.（4）对于问题3，依据条件列出⎩⎨⎧≤-≤-55005500x x ，进而利用绝对值定义及其几何意义将其表述成|x -500|≤5，即一个含绝对值的不等式.（让学生通过对旧知识的探索发现新问题，同时使学生理解“理论源于实践”明白学习含绝对值不等式的解法的必要性）.Ⅱ.含绝对值不等式解法的探究第二组问题——类比旧知识，提出新问题（幻灯片§1.4B)1.如何求解方程|x |=2?|x |=2的几何意义是什么？2.能表述|x |＞2,|x |＜2的几何意义吗？其解集是什么？3.请尝试归纳出一般情况下|x |＞a ,|x |＜a （a ＞0)的几何意义及其解集？上述问题1 学生很容易能答对，教师应引导学生结合绝对值的定义继续思考问题2并总结出：|x |＞2,|x |＜2表示数轴上到原点的距离大于2，小于2的点，其解集分别为{x |x ＞2或x ＜-2}与{x |-2＜x ＜2}.在问题2的基础上学生可类比地得到：一般地，|x |＞a ，|x |＜a (a ＞0)表示数轴上到原点的距离大于a ，小于a 的点，其解集为{x |x ＞a 或x ＜-a }与{x |-a ＜x ＜a }.第三组问题——继续探究，归纳结论（幻灯片§)“x ”应怎样理解？可举例说明吗？2.解不等式|x -500|≤5.3.能否归纳一般形式不等式|ax +b |＞c ，|ax +b |＜c (c ＞0)的解法？上述问题学生能够从代数角度理解“x ”代表代数式并能举出一些例子，教师指出，一般情况下，只要求掌握“x ”是一次式时的解法.提醒学生借数学中的整体代换思想理解不等式|x -500|≤5,并求出其解集，进而由特殊到一般归纳出：一般地，|ax +b |＞c ，（c ＞0)的解法是：先化不等式组ax +b ＞c 或ax +b ＜-c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集，|ax +b |＜c (c ＞0)的解法是：先化不等式组-c ＜ax +b ＜c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集.第四组问题——深入探究，解决新问题（幻灯片§1.4D)1.解不等式|x -1|+|2-x |＞3+x2.解不等式|x +1|+|x -1|＜1AE 行驶，AE 是由AB （长10 km ），BC （长5 km ），CD （长5 km ）,DE (长6 km)组成，根据时刻表，汽车于9时从A 处出发，经过B 、C 、D 等处的时刻分别951时，983，932时，如果汽车以匀速v 行驶，为了使它经过B 、C 、D 等处的时刻与汽车时刻表的差的绝对值之和，再加上从A 到E 的行驶时间不超过51.7分钟，那么汽车行驶的速度v 应是怎样的？对于上述问题1、2，学生可分组讨论，教师提示：绝对值符号的存在是解含有绝对值不等式的一大障碍，所以如何将绝对值符号去掉，使其转化为等价的，不含绝对值符号的不等式是解这一类问题的关键.学生讨论研究可得：欲去掉绝对值符号，需先找出零点，划分区间，利用零点分段讨论，去掉绝对值符号.1.解：把原不等式变为|x -1|+|x -2|＞3+x若|x -1|=0，x =1；若|x -2|=0,x =2.至此，1，2把数轴分成了三部分.（1）当x ≤1时，x -1≤0，x -2＜0原不等式变为-（x -1)(x -2)＞3+x ，即x ＜0此时，得{x |x ≤1}∩{x |x ＜0}={x |x ＜0}（2）当1＜x ≤2时，x -1＞0，x -2≤0原不等式变为x -1-(x -2)＞3+x ，即x ＜-2此时，得{x |1＜x ≤2＝∩{x |x ＜-2}=∅（3）当x ＞2时，x -1＞0，x -2＞0原不等式变为x -1+x -2＞3+x ，即x ＞6.此时，得{x |x ＞2|∩|x |x ＞6}={x |x ＞6}∴取（1）（2）（3）的并集得原不等式解集为{x |x ＜0或x ＞6}(学生口述，教师板书)学生练习2题，教师巡视查看，可能会发现大部分学生都会采取与1题相同的分段讨论法，教师应及时引导学生观察题目本身特征，结合绝对值几何意义去处理，即设数轴上的点P 表示数x ，点A 表示1，点B 表示-1，这样|x +1|,|x -1|分别表示数轴上的线段PB 、PA 的长，而线段AB 的长为2，可直观地发现数轴上找不到这样的P 点，使得PB 、PA 的长度和小于1，故本题的解集为∅.师生共同小结：（1）含绝对值二个或二个以上的不等式，常用零点分段讨论法求解，首先找到绝对值为零的点，然后划分区间，分段讨论，再求各段结果的并集.（2）解含有绝对值的不等式，对于有的问题，利用绝对值的几何意义来处理，有时使问题变得简便、直观、明了.对于上述问题3是一个利用分类讨论思想处理的实际生活问题，提醒学生：（1）将整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，是解分类讨论问题的实质.（2）解分类讨论问题要做到分类不重复，不遗漏.学生经过思考，利用熟练的基础知识，基本方法及分类讨论思想做指导不难解决实际问题. 解：依题意，得v v v v 26|3220||835||5110|+-+-+-≤600517 设m =v 5,则|2m -51|+|3m -83|+|4m -32|+526m ≤600517 (1)当m ≤101时，不等式为：51-2m +83-3m +32-4m +526m ≤600517 解得,m ≥101.∴m =101,v =50 km/h. (2)当101＜m ≤81时，不等式为2m -51-3m +83-4m +52632 m ≤600517 解得，m ≤101,无解. （3）当81＜m ≤61时，不等式为2m -51+3m -83-4m +32+526m ≤600517 解得m ≤62077＜81与m ＞81矛盾.无解. （4）当m ＞61时，不等式为2m -51+3m -83+4m -32+526m ≤600517 解得m ≤6260631＜61与m ＞61矛盾，无解. 综上，v =50 km/h 时满足题意要求.（通过以上实际问题的分析、解决，使学生体会“理论用于实践”，学会数学地处理实际应用问题）Ⅲ.课堂练习课本P 16练习 1，2(1)｜x ｜＜5解：由原不等式可得－5＜x ＜5所以，原不等式解集为{x ｜－5＜x ＜5}(2)｜x ｜＞10解：由原不等式可得 x ＜－10或x ＞10所以，原不等式解集为{x ｜x ＜－10或x ＞10}(3)2｜x ｜≤8解：由不等式性质可知：｜x ｜≤4即－4≤x ≤4所以，原不等式解集为{x ｜－4≤x ≤4}(4)5｜x ｜≥7解：由不等式性质可知｜x ｜≥57即x ≤－57或x ≥57 所以，原不等式解集为{x ｜x ≤－57或x ≥57} (5)｜3x ｜＜12解：由原不等式可得－12＜3x ＜12由不等式性质可知－4＜x ＜4所以，原不等式解集为{x ｜－4＜x ＜4}(6)｜4x ｜＞14解：由原不等式可得4x ＜－14或4x ＞14由不等式性质可知x ＜－27或x ＞27) 所以，原不等式解集为{x ｜x ＜－27或x ＞27}（1）｜x ＋4｜＞9解：由原不等式可得x ＋4＜－9或x ＋4＞9整理，得x ＜－13或x ＞5所以，原不等式解集为{x ｜x ＜－13或x ＞5}(2)｜41＋x ｜≤21 解：由原不等式可得－21≤41＋x ≤21 由不等式性质可知－43≤x ≤41 所以，原不等式的解集为{x ｜－43≤x ≤41} (3)｜2－x ｜≥3解：由原不等式可得2－x ≤－3或2－x ≥3由不等式性质可知x ≤－1或x ≥5所以，原不等式解集为{x ｜x ≤－1或x ≥5}(4)｜x －32｜＜31 解：由原不等式可得－31＜x －32＜31 由不等式性质可得31＜x ＜1 所以，原不等式解集为{x ｜31＜x ＜1} (5)｜5x －4｜＜6解：由原不等式可得－6＜5x －4＜6 由不等式性质可知－52＜x ＜2 所以，原不等式解集为{x ｜－52＜x ＜2} (6)｜21x ＋1｜≥2 解：由原不等式可得21x ＋1≤－2或21x ＋1≥2 由不等式性质可知x ≤－6或x ≥2所以，原不等式解集为{x ｜x ≤－6或x ≥2}Ⅳ.课时小结1.含绝对值不等式解法关键是去掉绝对值符号.2.注意在解决问题过程中绝对值不等式的几何意义.3.其他形式的含有绝对值不等式解法要知道其依据.Ⅴ.课后作业(一)课本P 16习题1.4 1～41.(1){x ｜x ＞1}(2)解：由⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--13214)2(3x x x x 知x －3（x －2）≥4的解为x ≤1 321x +＞x －1的解为x ＜4原不等式组的解应是上述两不等式解集的交集，故原不等式组的解集为{x ｜x ≤1}(3)解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<++<21512512x x x x 知2x ＜51+x 的解为 x ＜32 512-x ＜21+x 的解为x ＞－7 原不等式组的解集应是上述两个不等式解集的交集，故原不等式组的解集为{x ｜－7＜x ＜32} (4)⎪⎩⎪⎨⎧-+≥-+-≤+-)3)(3()1(322211x x x x x x 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-+≥-+-≤+-)3)(3()1(322211x x x x x x 知不等式1－21+x ≤2－32+x 变形为 21+x ≥31-x 得x ≥－5 不等式x （x －1）≥（x ＋3）（x －3)变形为x 2－x ≥x 2－9其解为x ≤9故原不等式解集为{x ｜－5≤x ≤9}2.(1){x ｜x ≤－21或x ≥21}(2){x ｜－3511＜x ＜3511} (3){x ｜5.999＜x ＜6.001}(4){x ｜x ≤5或x ≥11}注：将3≤｜8－x ｜变形，｜x －8｜≥3.3.（1）{x ｜－211＜x ＜21} (2){x ｜x ≤－2或x ≥25} (3){x ｜－35＜x ＜7} (4){x ｜x ≤34或x ≥4}(5){x ｜x ＜－314或x ＞－310} (6){x ｜－207≤x ≤203} x 的不等式(1)｜x －a ｜＜b （b ＞0）解：由原不等式可知－b ＜x －a ＜b利用不等式性质－b ＋a ＜x ＜b ＋a故原不等式解集为{x ｜－b ＋a ＜x ＜b ＋a }(2)｜x －a ｜＞b （b ＞0）解：由原不等式可知x －a ＜－b 或x －a ＞b利用不等式性质x ＜－b ＋a 或x ＞b ＋a故原不等式解集为{x ｜x ＜－b ＋a 或x ＞b ＋a }(二)1.预习内容：课本P 17～P 202.预习提纲：(1)“三个一次”，即一元一次方程，一元一次不等式，一次函数及其相互关系.(2)“三个二次”，即一元二次方程，一元二次不等式，二次函数及其相互关系.(3)一元二次不等式解法依据及步骤.试举一例说明结论.●板书设计。

《绝对值不等式的解法》教案-如何解绝对值不等式

《绝对值不等式的解法》教案教学目标1、理解并掌握x a <和x a >型不等式的解法.2、充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明.教学重、难点重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用.难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件.教学过程一、复习引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解. 请同学们回忆一下绝对值的意义.在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值.即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果.在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式.二、新课学习：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式.下面分别就这两类问题展开探讨.1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式.主要的依据是绝对值的几何意义.2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型.第一种类型：设a 为正数.根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是}|{a x a x <<-，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开区间(－a ，a )，如图所示.a - a如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解.第二种类型：设a 为正数.根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是{|x a x >或a x -<}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间),(),,(∞--∞a a 的并集.如下图所示.-a a同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解.3、c b ax ≤+和c b ax ≥+型不等式的解法.c b ax c c b ax ≤+≤-⇔≤+c b ax c b ax c b ax ≥+-≤+⇔≥+或例3 解不等式31 2.x -≤例4 解不等式237.x -≥4、c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法.例5 解不等式12 5.x x -++≥思考：例5中给出了三种绝对值不等式的方法，你能概括一下它们各自的特点吗？从例5的解题过程看到，上述三种方法各有特点.解法一利用了绝对值不等式的几何意义，体现了数形结合思想.从中可以发现，理解解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.解法二利用10,20x x -=+=的解，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之，体现了分类讨论的思想.从中可以看出，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间的目的是为了确定各个绝对值符号内多项式取值得正、负性，进而去掉绝对值符号.解法三通过构造函数，利用了函数的图象，体现了函数与方程的思想.从中可以发现，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是解题的关键.5、课堂小结回顾本课学习了哪些知识？。

(完整版)含绝对值不等式解法教案

教学案例§1．4含绝对值的不等式解法学校：织金二中组别：数学组姓名：田茂松教学目标：（一）知识目标（认知目标）1、理解并会求()()0x a x a a <>>或的解集；2、掌握()0,0ax b c ax b c a c +<+>≠>与的解法. （二）能力目标1、通过不等式的求解，加强学生的运算能力；2、培养学生数形结合、整体代换、等价转化等的思想. （三）情感目标1、感悟形与数不同的数学形态间的和谐同一美；2、培养学生学习数学的兴趣，增加学习的信心.教学重点：()()0x a x a a <>>或与()0,0ax b c ax b c a c +<+>≠>与型不等式的解法.教学难点：含绝对值不等式变换的等价性问题的技巧. 教学方法：探究研讨法，讲练结合法等. 教学准备(教具)：直尺，彩色粉笔，小黑板. 课型：新授课. 教学过程（一）复习回顾绝对值是怎么定义的呢？（通过抽问回答补充的方式）绝对值定义，一个数a 的绝对值表示数轴上一点a 到原点的距离.结合数轴即可知道，0a <0a >,0,,0.a aa a a ⎧⎨⎩≥=-< （二）创设情景大家先看这样一个数学问题：已知(),M x y 为一次函数23y x =+上一点，若该点到x 轴的距离不大于5，求点M 的横坐标x 的取值范围.（师生讨论）这个问题我们可以用数形结合的方法来解决.我们先作函数23y x =+的图像，由图像易知其上一点M 到x 轴的距离为点M 纵坐标y 的绝对值，依题意得15y ≤，将23y x =+代入得235x ≤+，只要解出此不等式，即可求出点M 的横坐标x 的取值范围.那我们又怎么来解决这类含绝对值的不等式呢？这就是本节我们要讨论的问题，大家先翻开书看书的第14页到第15页. （三）讲授新课 1、不等式()()0x a x a a <>>或的解法先来看一个特殊的例子，55x x <>与.由绝对值的定义可知，它表示到原点距离为5的点，结合数轴，我们可以知道方程的解是55x x ==-或.我们再来看相应的不等式55x x <>与.由绝对值的几何意义，结合数轴表示易知，5x <表示数轴上到原点距离小于5的点的集合，在数轴上表示如下我们用前面学习的集合来表示它的解，则应表示为：{}55x x -<<.同样，5x >表示到原点距离大于5的集合，在数轴上的表示为用集合表示为{}55x x x ><-或.根据上面的思路，结合数轴，我们可以得到一般的情况，()0x a a <>表示到原点的距离小于a 的点，它的解集为{}()0x a x a a -<<>，数轴表示为不等式()0x a a >>表示到原点的距离大于a 的点，不等式的解集为{}()0x x a x a a ><->或，数轴表示如下注：在这里，如果不等式的不等号是“小于”，则解集里用“且”连接，即我们在本章第3节里学习的“交”；如果不等式的不等号是“大于”时，解集里应用“或”连接，即我们学习的“并”.结合数轴，大家可以这样记忆：“大于分两边，小于居中间”；其次就是我们把结果要写成集合的形式.大家思考一下，如果把上面的不等号分别变为≤≥或“”“”，不等式的解集又该是什么呢？其实只需把上面不等式的解集中的不等号“<”与“>”分别改为≤≥或“”“”就行了.练习1：第17页的练习的第1题的（1）、（2）小题. 答案：{}{};.(1)55(2)1010x x x -<<><-或2、不等式()0,0ax b c ax b c a c +<+>≠>与的解法0ax c ax b c b <=<+也可以看成的形式，这里.在小学学习方程和比的时候，诸如2372x +=，是将23x +看为整体，解出2314x +=，再解出x ，我们称这种方法为“整体代换”方法.同样在这里，我们也可以运用这种思想，将ax b +看成一个整体，即令y ax b =+，则yax b=+，不等式就等价于y c <，()0y c c >>与这就是我们刚刚学习了的不等式，我们就容易得出它们的解集分别为{}{}()0y c y c y y c y c c -<<><->与或，我们再将y ax b =+代进去即可求得原不等式的解集.同前面讨论的一样，我们也可以得出ax b c ax b c +≤+≥与()0,0a c ≠≥的解集.现在我们来看以下一些例子.例1解不等式235x +≤.分析：这个不等式就是我们刚刚讲的()0,0ax b c a c ≤+≠≥的类型含绝对值不等式.这里2,3,5a b c ===，我们把23x +看成一个整体，则原不等式可变形为5235x -≤+≤，根据不等式的相关知识，很容易就能得到原不等式的解集，现在我们把步骤写一下.解：由原不等式可得5235x -≤+≤，整理可得41x -≤≤所以原不等式的解集为{}41x x -≤≤.也就是说，当M x 点的横坐标的取值在-4到1这个范围内时，纵坐标y 的绝对值不大于5，即函数23y x =+的图像上的点到x 轴的距离不大于5.说明：大家在以后的解题过程中一定要记住，我们常把结果表示成集合的形式，在计算的过程中也要注意计算的准确性.例2 解不等式257x -+>.分析1：是()0,0ax b c a c >+≠>的类型.这里2,5,7a b c =-==，同样把25x -+看成一个整体，则原不等式可变形为257257x x -+>+<-或-，即可得到原不等式的解集.现在大家想想这个题还有其他解法吗？分析2：绝对值有这样一个性质：a a -=.对这个题，我们可以用这个性质，即2525x x -+=-，这样我们将x 前面的系数由负数变为正数，这样计算比原来的计算更为简便，也可以避免计算上的失误，步骤大家自己下去写一下.答案是{}16x x <<.大家在解这种类型的题时，可以运用绝对值的性质a a -=将x 前面的系数由负数变为正数，这样可以减小计算量.练习2：第16页的练习题的2题（请几位同学上来演练一下，其他同学在下面自己做一下. 对学生的演练进行评价，正确的加以鼓励，错误的指出原因）答案为{}{}{};;;|;;.31(1)|513(2)|441(3)|51(4)132(5)|2(6)|265x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎨⎬⎩⎭><--≤≤≥≤-<<-<<≥≤-或或或（四）课时小结两种类型不等式的解法，即()()0x a x a a <>>或与ax b c +<与()0,0ax b c a c +>≠>的解法，大家在以后的解题过程中结合数轴要理解()()0x a x a a <>>或的解集.在解ax b c +<与ax b c +>(0,a ≠0)c >类型的不等式时，如果x 的系数是负数，可以可以运用绝对值的性质a a-=将（五）课后作业1、16页 1.(1)、(3)； 2.(2)、(4)； 4；2、思考：本节课我们是运用数形结合的思想来将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式来求解，大家思考一下我们能不能用分类讨论的方法来转化呢？即能不能将00x x x ><分为与两种情况来讨论.板书设计。

教学设计1：第1讲绝对值不等式

第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a (－a ，a )∅∅ |x |>a(－∞，－a )∪(a ，＋∞)(－∞，－0)∪(0，＋∞)R(2)|ax ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当a >－b >0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，如果a <－b <0当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时右边等号成立．2．形如|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c 的符号判断，若c <0则不等式解集为R. [试一试]1．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为(－12，12)，则t ＝________________.【解析】|2x －t |<1－t ，t －1<2x －t <1－t ， 2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0.【答案】02．不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围为________．【解析】法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于|P A |－|PB |>k 恒成立．∵|AB |＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <23，x ≥2，，要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图像中可以看出，只要k <－3即可．故k <－3满足题意．【答案】(－∞，－3)含绝对值不等式的常用解法1．基本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . 2．平方法：两边平方去掉绝对值符号．3．零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解． 4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解． [练一练]1．在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为____________．【解析】法一：分类讨论去绝对值号解不等式．当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒x ≥－32.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 法二：利用几何意义求解．原不等式可化为⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 【答案】⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32 2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 【答案】[－2,4]考点一绝对值不等式的解法1.不等式|x －2|的解集为________．【解析】原不等式等价于|x －2|>|x －1|，则(x －2)2>(x －1)2，解得x <32.【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，32 2．(2014·西安质检)若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________．【解析】原不等式可化为a －1<x <a ＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a ＝2. 【答案】23．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．【解析】注意到||x －3|－|x －4||≤|(x －3)－(x －4)|＝1，－1≤|x －3|－|x －4|≤1.若不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集是空集，则有|x －3|－|x －4|≥a 对任意的x ∈R 都成立，即有(|x －3|－|x －4|)min ≥a ，a ≤－1.因此，由不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集可得，实数a 的取值范围是a >－1. 【答案】(－1，＋∞)[备课札记] [类题通法]利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏．考点二绝对值不等式的证明[典例] 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. 【解】(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1，当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4，∴－1≤x ≤1；当x >1时，由2x <4，得1<x <2，∴M ＝(－2,2)． (2)证明：a ，b ∈M 即－2<a <2，－2<b <2. ∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2) ＝(a 2－4)·(4－b 2)<0，∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴2|a ＋b |<|4＋ab |.[备课札记]【解】由f (x )≥0知a ≤|又|x ＋1|＋|x －1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴a ≤2. 故a 的取值范围为(2，＋∞)． [类题通法]证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明； (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明； (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． [针对训练]设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1； (2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．【解】(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1. (2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2，∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，需且只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，1－x ＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x <2，x －1＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞.考点三绝对值不等式的综合应用[典例] (2013·新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43. [备课札记] [类题通法]1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．2．对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．[针对训练](2014·镇江模拟)已知f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－1时，解关于x 的不等式f (x )>5；(2)已知关于x 的不等式f (x )＋a <2 014(a 是常数)的解集是非空集合，求实数a 的取值范围．【解】(1)构造函数g (x )＝|x －1|＋|x －2|－5，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2x ≤1，－41<x <2，2x －8x ≥2.令g (x )>0，则x <－1或x >4，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)． (2)∵f (x )＋a ＝|x ＋a |＋|x －2|＋a ≥|a ＋2|＋a ，又关于x 的不等式f (x )＋a <2 014的解集是非空集合， ∴|a ＋2|＋a <2 014，解得a <1 006.[课堂练通考点]1．(2013·江西高考)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．【解析】依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4. 【答案】[0,4]2．(2013·重庆高考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．【解析】|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8. 【答案】(－∞，8]3．(2014·南昌模拟)若对任意的a ∈R ，不等式|x |＋|x －1|≥|1＋a |－|1－a |恒成立，则实数x 的取值范围是________．【解析】由|1＋a |－|1－a |≤2得|x |＋|x －1|≥2，当x <0时，－x ＋1－x ≥2，x ≤－12；当0≤x ≤1时，x ＋1－x ≥2，无解；当x >1时，x ＋x －1≥2，x ≥32.综上，x ≤－12或x ≥32.【答案】(－∞，－12]∪[32，＋∞)4．(2014·西安检测)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .若函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，则m 的取值范围为________．【解析】函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．【答案】(－∞，5)5．(2014·长春模拟)已知实数t ，若存在t ∈[12，3]使得不等式|t －1|－|2t －5|≥|x －1|＋|x －2|成立，求实数x 的取值范围．【解】∵t ∈[12，3]，∴|t －1|－|2t －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋4，t ≥52，3t －6，1<t <52，t －4，t ≤1，可得其最大值为32.∴只需解不等式|x －1|＋|x －2|≤32即可，当x ≥2时，可解得2≤x ≤94，当1<x <2时不等式恒成立，当x ≤1时可解得34≤x ≤1，综上可得x 的取值范围为[34，94]．。