数学物理方法之行波法与达朗贝尔公式
9 数理方程-行波法
3 x t x t
4/16
数学物理方程——行波法 原方程化为标准型:
2u 8 0 2u 0
u = f1(3x – t ) + f2(x + t )
f 1 (3 x ) f 2 ( x ) 3 x 2 f1 (3 x ) f 2 ( x ) 0
达朗贝尔公式
1 1 x at u ( x, t ) [( x at) ( x at)] xat ( )d 2 2a
10/16
数学物理方程——行波法
x 当 t a
时, x – at ≥0
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at) ( x at)] xat ( )d 2 2a
12/16
数学物理方程——行波法
非齐次方程的柯西问题
(B)
2u 2u a 2 2 f ( x, t ) t 2 x u u t 0 0, t 0 0 t
2w 2w a2 2 t 2 t x w w t 0, t f ( x, ) t
t 0
如果 w(x, t, τ )是齐次方程柯西问题
(B)’
的解,则
u( x, t ) w( x, t , )d 是原问题(B)的解。
13/16
数学物理方程——行波法 引入变换: s = t – τ 则问题(B)’ 化为如下形式
wss a 2 wxx , ( s 0, x ) ( x ) w s 0 0, ws s 0 f ( x, ), ( x )
u t 0
u 3x , 0 t t 0
2
解: 微分方程对应的特征线方程为
07第七章 行波法
u
u( x,0) e x2
4
➢ 非齐次方程 ut t a2ux x f ( x, t) 的特解
a2ux x ut t u f ( a a, )
x a ( ) a t a( )
( x a t ) /(2a) ( x a t ) /(2a)
特解 uspecial d d f ( a a, )
• 二维泊松方程 ux x uy y f ( x, y) 的特解？ a i, t y
5
3. 一维波动方程的达朗贝尔公式
( x at) ( x at) 1 xat
u( x, t)
() d
2
2a xat
通解 u( x, t) f1( x a t) f2( x a t)
由初始条件定任意函数 f1, f2
自由振动
2
2a xat
1
t
xa(t )
d
d f ( , )
2a 0
xa(t )
纯强迫振动
14
xa t
2 d
2
2a xa t
cos x cos(a t) 2t
(2) 因式分解 ux x 2ux y 3 u y y ( x 3 y )( x y )u u
x 3 y
x
y
dx d d dy 3d d
4d dx dy 4d 3dx dy
8
作变换
(x y)/ 4 (3x y) / 4
第七章 行波法
Traveling waves
无界弦的自由振动 达朗贝尔公式 无界弦的强迫振动 泊松公式 推迟势
➢ 波动方程初值问题的解法
1
§7.1 达朗贝尔公式
1. 物理背景
当弦振动问题只关心在离边界较远的一段范围 中的运动时，边界条件的影响可忽略，波将 一直向前传播，称之为行波。
数学物理方法课件第七章-----行波法
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
• 考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：
这里“无界”的理解： 如果考察的弦线长度很 长，而需要知道的 又仅仅是在较短的、离 开边界很远的一段范围 内的振动情况，则 远处的边界条件可以忽 略，可以那弦线的长度 视为无限或无界。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
两边再对积分，得
x at x at
u ( , ) f ( )d G ( ) F ( ) G ( ) 还原自变量，得到①的 通解为 u ( x, t ) F ( x at) G ( x at) ⑤ 其中，F ( )和G ( )为任意函数。
故 只 要 遇 到形 如 § 7.1中 的 定 解 问题 ( Ⅰ )的 问 题 ， 或 者 变 形 后 够 能化 为 这 类
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
四、关于达朗贝尔公式的应用
例2：使用行波法求解定解 问题 utt a 2u xx 0, - x , t 0 1 u | 0 , u | t t 0 t 0 1 x2 解：本例题为一维波动 方程的标准形式，可以 直接使用达朗贝尔 公式求解。 这里 ( x) 0, ( x) 1 , 故由达朗贝尔公式得 2 1 x
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
A7.行波法求解一维波动方程的初值问题—半无界问题
行波法求解一维波动方程的初值问题—半无界问题行波法求解一维波动方程的两个基本公式：1.达朗贝尔（d'Alembert ）公式：⎰+-+-++=at x at x d aat x at x t x u ξξψφφ)(21))()((21),(； 2.Kirchhoff 公式：⎰⎰⎰----+-++-++=t t a x t a x at x at x d d f a d a at x at x t x u 0)()(),(21)(21))()((21),(τττξτξξξψφφ半无界弦的振动问题对于半无界域上波动方程初值问题的讨论，需要根据端点所处的物理状态不同分别加以讨论。
1. 端点固定（1）齐次端点条件 考虑定解问题.0,0,0,00),0(),()0,(),()0,(),,(2≥+∞<≤>+∞<<⎪⎩⎪⎨⎧===+=t x t x t u x x u x x u t x f u a u t xx tt ψφ求解上述问题的基本思路是以某种方式延拓函数,,,ψφf 使其在0<<∞-x 也有定义，这样把半无界区域+∞<≤x 0上的问题转变为+∞<<∞-x 上的初值问题。
然后利用达朗贝尔公式，求出在+∞<<∞-x 上的解),(t x u 。
同时使此解),(t x u 满足0),0(=t u 。
这样当x 限制在+∞<≤x 0上就是我们所要求的半无界区域+∞<≤x 0上的解。
由微积分知识可知，如果一个连续可微函数)(x g 在),(+∞-∞上是奇函数，则必有0)0(=g 。
因此，要使解),(t x u u =满足0),0(=t u ，只要),(t x u 是x 的奇函数便可。
因此对函数ψφ和,f 关于x 作奇延拓。
我们定义)()(),,(x x t x F ψΦ和如下：⎩⎨⎧≥<--≥≥⎩⎨⎧<≥--=ψ<≥⎩⎨⎧--=Φ.0,0),,(,0,0),,(),(.0,0),(),()(.0,0),(),()(t x t x f t x t x f t x F x x x x x x x x x x ψψφφ 显然函数在和)()(),,(x x t x F ψΦ+∞<<∞-x 上是奇函数。
23讲 行波法
u
t2
初始时刻，两波相互抵消，合波振幅为0，随着时间的增加， 合振幅不为0，且振动区域逐渐扩大，这称为弥漫效应。 二、端点反射 例如，半无限长弦的自由振动，其定解方程为：
utt a 2u xx 0, (0 x ) u t 0 ( x ), ut t 0 ( x ), u x 0 0.
4 3
u
t0 0
1
2
x u
3
1
t1
x
t2
u
x u
t3
x
ux
0. 需要作偶延拓， x 0
1
u
3
t4
x
边界条件分别延拓为：
( x 0) ( x), Φ( x) ( x). ( x 0) ( x), 和Ψ ( x) ( x). ( x 0) ( x 0)
h( ) 0, 即 ( 0) h( ) 0.
把两区域的解代入衔接条件得：
f (t ) g (t ) h(t ), g h f Y1 Y2 Y1 x x x 0 x x 0 (t 0)
,
x 0
f f 1 1 f , 其中， x 1 x a1 1 f 1 f 当x=0时，1=t， x x 0 a1 1Biblioteka 43u
t0 0
1
2
u
3
1
x
t1
1
u
x
3
t2
相应的半无界的解为：
1 x at x 1 2 [ ( x at) ( x at)] 2a x at ( )d , (t a ) u 1 [ ( x at) (at x)] 1 x at ( )d at x ( )d , (t x ) 0 2 2a 0 a
行波法和达朗贝尔公式
第二章数学物理方程的解§2.1 行波法 达朗贝尔公式读者已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。
偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？ （一）达朗贝尔公式试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式即（7-4-1）（1）通解方程（7-4-1）的形式提示我们作代换（7-4-2）因为在这个代换下，方程（7-4-1）就成为。
但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2）修改为,0 22222=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂u x a t .0 =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂u x a t x a t , ),(ηξηξ-=+=t a x , x a t x x t t ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ξξξ, ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂x a tx x t t ηηη0) /(2=∂∂∂u ηξ即在此代换下，方程（7-4-1）化为（7-4-3）就很容易求解了。
先对积分，得（7-4-4）其中是任意函数。
再对积分，就得到通解（7-4-5）其中和都是任意函数。
式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。
不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。
通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。
以而论，改用以速度沿正方向移动的坐标轴，则新旧坐标和时间之间的关系为而与时间T 无关。
这就是说，函数的图象在动坐标系中保持不变，亦即是随着动坐标系以速度沿正方向移动的行波。
同理，是以速度沿负方向移动的行波。
这样，偏微分方程（7-4-1）描写以速度向两方向传播的行波。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=),(21),(21ηξηξa t x ⎩⎨⎧-=+=.,at x at x ηξ,0 2=∂∂∂ηξuη)( ξξf u=∂∂f ξ),()( )()()()(21212at x f at x f f f f d f u -++=+=+=⎰ηξηξξ1f 2f )(2at x f -a x X ⎩⎨⎧=-=,,t T at x X ),()(22X f at x f =-a x )(1at x f +a x a（2）函数与 的确定通解（7-4-5）中的函数与可用定解条件确定。
第十章波动方程的达朗贝尔解
第十章波动方程的达朗贝尔解(9)一、内容摘要1．行波法达朗贝尔公式行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有。
一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：()()()()()()()20,,0,0,,0.tt xx t u a u x t u x x x u x x x ϕψ⎧-=-∞<<∞≥⎪=-∞<<∞⎨⎪=-∞<<∞⎩ 可以证明，原问题具有如下形式的通解：()(),u x t f x t α=+将该通解代入泛定方程得到该方程的附加方程：220a α-=； 且解为a α=±。
原方程的通解可以表示为:()()()12,u x t f x at f x at =++-．原方程满足初始条件的特解可以表示为:()()()()11,[]+''22x at x at u x t x at x at x dx aϕϕψ+-=++-⎰，这个式子就是达朗贝尔公式()(),x x ϕψ为任意二次可微函数.达朗贝尔解可以理解为扰动在弦上总是以行波的形式沿相反的两个方向传播出去，因此该解发又称为行波法或传播波法。
2．行波法要点行波法始原于研究行进波，其解题要领为：（1）引入变量代换，将方程化为变量可积的形式，从而求得其通解；（2）用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解。
由于大多偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法有较大局限性，但对于研究波动问题而言，有它的特殊优点。
二、习题1．求解初值问题（1）()()()()()2,,,0,;,0cos ,,0 2.,.tt xx t u a u x t u x x u x x ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==∈-∞∞⎪⎩．（2）()()()()(),0,,,.tt xx u u x t u x x x u x x x ϕψ=-∞<<∞>⎧⎪⎨-==⎪⎩．（3）()()()()22,,,0,;1,00,,0.1+tt xx t u a u x t u x u x x ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==⎪⎩． （4）()()()()()()2,,,0,;,0,,0'.tt xx t u a u x t u x x u x a x ϕϕ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==-⎪⎩．2．验证()()(),3u x y x y x y ϕψ=-++是偏微分方程230xx xy yy u u u +-=的解，其中,ϕψ是充分光滑的任意函数。
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。
保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。
如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。
保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。
由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。
通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。
由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。
最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。
由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。
第9章 行波法与达朗贝尔公式部分习题及解答
第9章 行波法与达朗贝尔公式部分习题及解答9.1设弦的初始位移为()x ϕ，初始速度为()x ψ，求解无限长弦的自由振动. 解：定解问题：2000, (),()tt xx t t t u a u x u x u x ϕψ==⎧−=−∞<<+∞⎪⎨==⎪⎩ 由达朗贝尔公式可得：11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+−=++−+⎰ 9.2半无限长弦的初始位移和初速度都为0，端点作微小振动，0sin x u A t ω==，求弦的振动。
解：定解问题：20000, 0sin 0,0tt xx x t t t u a u x u A t u u ω===⎧−=<<+∞⎪=⎨⎪==⎩方法1：由题意可得：通解为(,)()u x t F x at =−，代入边界条件，0()sin x u F at A t ω==−=令0at ξ=−<，则：t a ξ=−，()sin(), 0F A a ωξξξ=−< 所以：(,)sin[()]sin[()], 0x u x t A x at A t x at a aωω=−−=−−< 所以，定解问题的解为sin[()], (,)0, x x A t t a a u x t x t a ω⎧−>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩方法2：由题意得，对于x>at ，u (x,t )=0,将定解问题延拓到-∞<x <+∞, 20000, 0sin 0,00,0(),(),0(),0tt xx x t t t u a u x u A t x x u x u x x x x ωϕψ===⎧−=<<+∞⎪=⎪⎨≥≥⎧⎧⎪=Φ==⎨⎨⎪<<⎩⎩⎩ 所以，11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aξξ+−=Φ++Φ−+ψ⎰ 且满足: 0011()()sin 22x atu at d A t a ϕψξξω=−=−+=⎰ 记：0x at =−<，则011sin()()()d 22x A x a aηωϕψξξ−=+⎰， 可取：()2sin x x A aωϕ=−，()0x ψ= 则： 1(,)()sin[()]sin[()],2x x u x t x at A x at A t t a a aωϕω=−=−−=−>， 9.5已知初始电压分布为cos A kxcos kx ，求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况。
数学物理方法之行波法与达朗贝尔公式
数学物理方法泰山医学院于承斌cbyu@第十四章行波法与达朗贝尔公式14.1 二阶线性偏微分方程的通解对于给定的偏微分方程，一般不能简单的确定通解，但对简单的标准形式的方程或一个标准形式进一步化简后，有的可以得到通解。
例14.1.1 求偏微分方程的通解为:板书讲解P280例14.1.2 求偏微分方程的通解为:板书讲解P28114.2 二阶线性偏微分方程的行波解通解法中有一种特殊的解法――行波法, 即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类型的求解十分有效.1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程xx xy yy au bu cu ++=(14.2.1)方程中的系数,,a b c 为实常数．,,a b c (,)x y （说明：这里我们用了小写字母表示它是实常数，而不是的函数）假设方程的行波解具有下列形式(,)()u x y F y x λ=+代入方程即得2()()()0a F y x b F y x cF y x λλλλλ′′′′′′+++++=需要求方程的非零解，故20a b c λλ++=(14.2.2)''()0F y x λ+≠上述方程变为(i) 240b ac ∆=−>12(,)()()u x y F y x G y x λλ=+++(14.2.3)240b ac ∆=−=(ii) 122b aλλ==−对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根11(,)()()u x y F y x xG y x λλ=+++(14.2.4)对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根12,λλ240b ac ∆=−<12i ,i λαβλαβ=+=−(iii) ，对应于椭圆型方程，式（14.2.4），则有两个虚根12(,)()()[()i ][()i ]u x y F y x G y x F y x x G y x x λλαβαβ=+++=++++−(14.2.5)2. 更为一般的含实常系数的偏微分方程如果方程具有更一般的形式222220u u u u u a b c d e fu x x y y x y ∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂(14.2.6)其中,,,,,a b c d e f 均为实常数．我们可以令(14.2.7)代入方程（14.2.6）得(14.2.8)(,)mx ny u x y e+=220am bmn cn dm en f +++++=12()()12(,)mx n m y mx n m y u x y c ec e ++=+14.2.92(i) 40,b ac −>双曲型，上述方程有两个不同的实根，则1(),n m 2()n m 2(ii) 40,b ac −=抛物型，上述方程有相等的实根，则12()()n m n m =(14.2.11)2(iii) 40,b ac −<椭圆型，上述方程有两个共轭虚根，则12()(),()()n m i m n m i m αβαβ=+=−[()()][()()]12(,)mx m i m y mx m i m yu x y c e c e αβαβ+++−=+(14.2.10)（注明：上式中的第二项乘以x 是为了保证两根线性独立）12()()12(,)mx n m y mx n m yu x y c e c xe ++=+例题14.2.1 14.2.2 14.2.3 14.2.4 讲解本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.14.3.1 达朗贝尔公式设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为14．3 达朗贝尔公式2,0(14.3.1)0(,0)()(.0)()tt xx t x t u a u u x x u x x ϕψ−∞<<+∞>−===容易得知偏微分方程的判别式240a ∆=>，该方程为双曲型．由22a λ−=12 , a aλλ==−泛定方程（14.3.1）的通解为12(,)()()u x t F x at F x at =++−(14.3.2)其中12,F F 是任意两个连续二次可微函数．我们使用初始条件可确定12,F F 函数．注：本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，只有初始条件。
数学物理方程——6 行波法
u ( x) = =
=
1 2
1 2
1 2
[e
− ( x + at ) 2
+e +e
+e
− ( x − at ) 2
]+
1 2
1 2
1 2a
[e
[e
− ( x + at ) 2
− ( x + at ) 2
− ( x − at ) 2
− ( x − at ) 2
]+
பைடு நூலகம்]+
∫
x − at x + at
ξ = y − 3x ∂ 2u =0 η = y+x ∂ξ∂η u = f1 (ξ ) + f 2 (η ) = f1 ( y − 3 x) + f 2 ( y + x)
u ( x,0) = e
− x2
= f1 (−3x) + f 2 ( x)
∂u ( x,0) 1 ′(−3x) + f 2′ ( x) = 0 = f1 − f 1 (−3x) + f 2 ( x) = C ∂y 3 3 − x2 / 9 3 3 − x2 3 3 − x2 3 f1 ( x) = e − C f 2 ( x) = e + C f1 (−3 x) = e − C 4 4 4 4 4 4 3 −( y −3 x )2 3 3 −( y + x )2 3 3 −( y −3 x )2 3 −( y + x )2 u= e − C+ e + C = e + e 4 4 4 4 4 4
下午9时27分
数学物理方法
行波法与积分变换法——数学物理方程
1 3 u f1 3 x f1 f2 x f 2 1 3 f1 0 f2 0 C
其解中得f1 , ff21是3两x个二94x次2连34续C可微函数.
于是原方程 f的1 通x 解 为14 x 2
4
4
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
例 求方程 u x x 2 s in xu x y c o s2x u y y c o sx u y 0
的一般解. 解 特征方程为
d y 2 2 s in x d x d y c o s 2x d x 2 0
dy sinx1 dx
rat 1( )d , r at 0
at)
u
(r,t)
(r
at
)
0
(r
at
)
(at
r
)
0
(at
r
)
2r
1 2ar
atr
atr 1( )d , r at 0
3.2 三维波动方程的泊松公式
二. 一般情况
令
u(r,
t)
f1 x f2 x x ……………①
u t| t 0 a f ' 1 ( x a 0 ) a f 2 ' ( x a 0 )
a '1 x f a '2 x fx ……………②
由第二式得
f1xf2xa10xdC.............③
进一步有
2tu 2 a22ru rr2u 20 2(tr2u)a22(rr2u)0
数学物理方程第三章达朗贝尔公式
例3 用达朗贝尔公式求解下列问题
u tt − a 2 u xx = 0, − ∞ < x < ∞ − x2 − x2 u |t = 0 = e , u t |t = 0 = 2 axe
解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有 将初始条件代入达朗贝尔公式，
u ( x, t ) = [e
1 2
1 0.8 0.6 0.4
0.2
0
解的动画演示（ 解的动画演示（my2） ）
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 -5
0
5
10
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
1 0.8
1 0.8
t=0.2
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
t=0.5
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
t=1
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Байду номын сангаас
1
1
1 0.8
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
t=2
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
t=4
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
第三章 行波法(1)
第三章 行波法§3.1 达朗贝尔公式（P150-152） 1．确定下列初值问题的解（1）()()20,,00,,01tt xx t u a u u x u x -=== 解：因为()()0,1x x ϕψ== 由达朗贝尔公式有： ()()()()1,22x at x atx at x at u x t d aϕϕψαα+--++=+⎰=t（2）()()220,,0sin ,,0tt xx t u a u u x x u x x -=== 解：因为()()2s i n ,x x x x ϕψ==由达朗贝尔公式有： ()()()()1,22x at x atx at x at u x t d aϕϕψαα+--++=+⎰=2231sin cos 626x at x at a t a ⎡⎤++⎣⎦=2231sin cos 3x at x t a t ++ （3）()()230,,0,,0tt xx t u a u u x x u x x -=== 解：因为()()3,x x x x ϕψ== 由达朗贝尔公式有： ()()()()1,22x at x atx at x at u x t d aϕϕψαα+--++=+⎰=()()1cos cos 122x at x atx at x at e d aα+---+++⎰=1cos cos x at e t -+2．求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为()x ϕ，初始速度为()'a x ϕ-。
解：该问题的数学模型为：()()()()2',,0,0,,0t t x x t u a u x t u xx u x a xϕϕ⎧=-∞<<+∞>⎪⎨==-⎪⎩由达朗贝尔公式：()()()()'1,22x at x atx at x at u x t a d aϕϕϕαα+--++=+-⎰=()x at ϕ-2．求解弦振动方程的古沙问题()()()()()(),,,,tt xx u u u x x x x u x x x x ϕψ=⎧⎪-=-∞<<+∞⎨⎪=-∞<<+∞⎩ 解：该方程的通解为：()()()12,u x t f x t f x t =++- （1） 令：t x =-()()()1202x f f x ϕ=+令： t x =()()()1220x f x f ψ=+令2y x =，则有：()()()()12210202y f y f y f y f ψϕ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩所以：()()1102x t f x t f ψ+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()2202x t f x t f ϕ-⎛⎫-=-⎪⎝⎭()()()12,0022x t x t u x t f f ψϕ+-⎛⎫⎛⎫=+-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭又 ()()121(0)(0)002f f ϕψ+=+⎡⎤⎣⎦所以古沙问题解为： ()()()00,222x t x t u x t ϕψψϕ++-⎛⎫⎛⎫=++⎪⎪⎝⎭⎝⎭3．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况。
第十一章：行波法与达朗贝尔公式
第11章综合习题11.1，设弦的初始位移为()xϕ，初始速度为()xψ，求解无限长弦的自由振动.[答案：解即为答朗贝尔公式11(,)[()()]()d 22x atx atu x t x at x ataϕϕψξξ+-=++-+⎰11.2 半无限长弦的初始位移和速度都是零，端点作微小振动0|sin x u A t ω==，求解弦的振动.【答案 0,();sin (),()x x x u t u A t t a a aω=<=->】 11.3 求解细圆锥形均质杆的纵振动.【提示 作变换 u x =v/】【答案 12()()f x at f x at u x-++=】 11.4 半无限长杆的端点受到纵向力()sin F t A t ω=作用，求解杆的纵振动.【答案 00()()1,()d 221 ()d cos ()2x at at x x at at x x t u a a aA x aA t a YS a YS ϕϕψξξψξξωωω+-++->=+++--⎰⎰】 11.5已知初始电压分布为cos A kx ，cos kx ，求解无线长理想传输线上电压和电流的传播情况，【答案cos (),cos ()A k x at i k x at -=-v =】11.6 在GL CR =条件下求无限长传输线上的电报方程的通解.【答案 11{[()()]()d 22R x at t L x at e x at x at aϕϕψξξ+--++-+⎰】 11.7已知端点通过电阻R 而相接，初始电压分布为cos A kx ，初始电流分布为cos kx .求解半无限长理想传输线上电报方程的解；在什么条件下端点没有反射（遮住情况叫作匹配）？【答案 匹配的条件是0R =叫作特征阻抗】本章计算机仿真11.8 试用计算机仿真的方法，将11.2的弦振动规律以图形的分式表示出来.【解】计算机仿真程序w=pi;a=2;A=1.2;x=0:0.01:10;for t=1:0.5:25u=A*sin(pi*(t-x/a));plot(x,u);title('弦振动')xlabel('x')ylabel('u')pause(0.0000001);end ;11.9试用计算机仿真的方法，将11.5中的电压分布和电流分布用图形表示出来．【解】计算机仿真程序w=pi;a=2;A=1.2;k=2*pi;C=0.006;L=0.003;x=0:0.001:10;for t=1:0.5:25subplot(2,1,1);v=A*cos(k*(t-x/a));plot(x,v);title('电压动态分布')xlabel('x')ylabel('v')pause(0.0000001);subplot(2,1,2);i=sqrt(C/L)*A*cos(k*(t-x/a));plot(x,i);title('电流动态分布')xlabel('x')ylabel('i')pause(0.0000001);end;。
第2章行波法与达朗贝尔公式
例2：
2u 2u a2 2 , t 2 x u ( x,1) cos x, ut ( x,1) 0,
x R, t 1 xR
行波法
例3:
utt a 2u xx , x R, t 0 1 x, x [1, 0] u ( x, 0) 1 x , x [0,1] 0, 其它 ut ( x, 0) 0, x R
1 1 x C f1 ( x) ( x) x0 ( )d 2 2 2a 1 1 x C f 2 ( x) ( x) x0 ( )d 2 2 2a
u f1 ( x at ) f 2 ( x at )
1 1 x at u [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a x at
2u 0
令：
x a( ) 1 x ( ) 2 x at
2u 0
t
1 t ( ) 2a x at
对积分
u f ( )
再对ζ积分
u f ( )d f 2 ( ) f1 ( ) f 2 ()
当 1/2a t 1/a
1 (1 x at ), 2 1 2 (1 x at ), u ( x, t ) 1 at , 1 (1 x at ), 2 1 (1 x at ), 2 1 at x at at x 1 at 1 at x 1 at 1 at x at at x 1 at
x (t ) a
x x at 即t a
1 1 xat u [( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a x a t 1 1 xat [ ( x at ) (at x)] ( )d 2 2a 0 1 0 [ ( )]d 2a x a t 1 0 1 0 xa t [ ( )]d 2a a t x ( )d 2a
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) xat ( )d 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
2u 2u a2 2 , x 0, t 0 t 2 x x0 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), u (0, t ) 0, t0
(3.1.3)
物理解释： 认为弦很长，考虑弦线某端附近而远离另一端在较短时 间内的振动，其中给定初始位移和速度，没有强迫外力作 用，弦线一端被固定。
s 2
x at
[e
e
( x at ) 2
] [ e
s2
x at
]
x at
e
( x at ) 2
8
数学物理方程
utt c 2u xx 0, x u |t 0 sin x, ut |t 0 cos x
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
20
数学物理方程
例子：
utt a 2u xx , x, u ( x, 0) 1 x , 0, u ( x, 0) 0， t u (0, t ) 0, x 0, t 0 x [0, 1 ] 2 x [ 1 ,1] 2 其它 xR t0
1 2a
代入通解得： ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] u
x at
x at
( s)ds
第三章-行波法
第三章 行波法§3.1 达朗贝尔法（行波法）考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂)()0,()()0,(22222x x u x x u x u a t u tψϕ ∞+<∞-+∞<<∞->+∞<<∞-x x t x 0, 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线1c at x =+，2c at x =-作变换at x +=ξ，at x -=η由上面的方程变为：02=∂∂∂ηξu 求上面偏微分方程的解先对η积分一次得)(1ξηf u =∂∂ 再对ξ积分一次得：⎰+=+=)()()()(2ηξηξξG F f d f u其中G F ,是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为)()(),(at x G at x F t x u -++=下面通过初始条件确定上面的任意函数G F ,∵ )(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==∴ )()()(x x G x F ϕ=+ （1）)()()(//x x aG x aF ψ=- （2）对（2）从0x 到x 积分得：⎰-+=-x x x G x F d ax G x F 0)()()(1)()(00ααψ （3） （1）+（3）得 )]()([21)(21)(21)(000x G x F d a x x F x x -++=⎰ααψϕ ⎰---=x x x G x F d a x x G 0)]()([21)(21)(21)(00ααψϕ ∴ ⎰+-+++-=at x atx d a at x at x t x u ααψϕϕ)(21)]()([21),( 该公式叫达朗贝尔公式例：确定初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==>∞+<∞∂∂=∂∂-122222)0,( cos )0,(0 e x u x x u ,t x -x u a tu t 解：略。
达朗贝尔方程的物理定义：先讨论0)(=x ψ （即振动只有初始位移）)]()([21),(at x at x t x u ++-=ϕϕ 先看)(at x -ϕ项：当0=t 时若观察者位于c x =处，此时 )()(c at x ϕϕ=-在x 轴上，若观察者以速度a 沿轴正方向运动，则在t 时刻观察者位于at c x +=处，此时：)()()(c at at c at x ϕϕϕ=-+=-由于t 是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正方向传播。
第三章 行波法
第三章 行波法§3.1 达朗贝尔法（行波法）考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂)()0,()()0,(22222x x u x x u x u a t u tψϕ ∞+<∞-+∞<<∞->+∞<<∞-x x t x 0, 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线1c at x =+，2c at x =-作变换at x +=ξ，at x -=η由上面的方程变为：02=∂∂∂ηξu 求上面偏微分方程的解先对η积分一次得)(1ξηf u =∂∂ 再对ξ积分一次得：⎰+=+=)()()()(2ηξηξξG F f d f u其中G F ,是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为)()(),(at x G at x F t x u -++=下面通过初始条件确定上面的任意函数G F ,∵ )(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==∴ )()()(x x G x F ϕ=+ （1）)()()(//x x aG x aF ψ=- （2）对（2）从0x 到x 积分得：⎰-+=-x x x G x F d ax G x F 0)()()(1)()(00ααψ （3）（1）+（3）得)]()([21)(21)(21)(000x G x F d a x x F x x -++=⎰ααψϕ ⎰---=x x x G x F d a x x G 0)]()([21)(21)(21)(00ααψϕ ∴ ⎰+-+++-=at x atx d a at x at x t x u ααψϕϕ)(21)]()([21),( 该公式叫达朗贝尔公式例：确定初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==>∞+<∞∂∂=∂∂-122222)0,( cos )0,(0 e x u x x u ,t x -x u a t u t 解：略。
达朗贝尔方程的物理定义：先讨论0)(=x ψ （即振动只有初始位移）)]()([21),(at x at x t x u ++-=ϕϕ 先看)(at x -ϕ项：当0=t 时若观察者位于c x =处，此时 )()(c at x ϕϕ=-在x 轴上，若观察者以速度a 沿轴正方向运动，则在t 时刻观察者位于at c x +=处，此时：)()()(c at at c at x ϕϕϕ=-+=-由于t 是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正方向传播。
2.1达朗贝尔公式
三、分析解答：
1、适定性：
§2.1
达朗贝尔公式
达朗贝尔公式存在、唯一、稳定。 2、物理意义： ϕ ( x − at ) : 以速度 a 沿 x 轴正向传播的波－正波 ϕ ( x + at ) : 以速度 a 沿 x 轴反向传播的波－反波 达朗贝尔解表示正行波和反波的叠加。 附 含参变量求导公式：
∂ ∂t
t sin x cos at + (3x 2 + a 2t 2 ) 答： 3
§2.1
达朗贝尔公式
⎧u xx − u yy = 0 ⎪ ⎨u ( x,0) = x , u ( x, y ) = ? ⎪u ( x,0) = 0 ⎩ y
Wuhan University
答： x
五、小结
1、
§2.1
达朗贝尔公式
⎧utt = a 2uxx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0
1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) 2 1 x + at + (6) ∫x − at ψ (α ) d α 2a
(5)
u (ξ ,η ) = f1 (ξ ) + f 2 (η ) ( 4 )
通解： u ( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
Wuhan University
二、求解
3、用初始条件定特解：
§2.1
达朗贝尔公式
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数学物理方法泰山医学院于承斌cbyu@第十四章行波法与达朗贝尔公式14.1 二阶线性偏微分方程的通解对于给定的偏微分方程，一般不能简单的确定通解，但对简单的标准形式的方程或一个标准形式进一步化简后，有的可以得到通解。
例14.1.1 求偏微分方程的通解为:板书讲解P280例14.1.2 求偏微分方程的通解为:板书讲解P28114.2 二阶线性偏微分方程的行波解通解法中有一种特殊的解法――行波法, 即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类型的求解十分有效.1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程xx xy yy au bu cu ++=(14.2.1)方程中的系数,,a b c 为实常数．,,a b c (,)x y （说明：这里我们用了小写字母表示它是实常数，而不是的函数）假设方程的行波解具有下列形式(,)()u x y F y x λ=+代入方程即得2()()()0a F y x b F y x cF y x λλλλλ′′′′′′+++++=需要求方程的非零解，故20a b c λλ++=(14.2.2)''()0F y x λ+≠上述方程变为(i) 240b ac ∆=−>12(,)()()u x y F y x G y x λλ=+++(14.2.3)240b ac ∆=−=(ii) 122b aλλ==−对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根11(,)()()u x y F y x xG y x λλ=+++(14.2.4)对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根12,λλ240b ac ∆=−<12i ,i λαβλαβ=+=−(iii) ，对应于椭圆型方程，式（14.2.4），则有两个虚根12(,)()()[()i ][()i ]u x y F y x G y x F y x x G y x x λλαβαβ=+++=++++−(14.2.5)2. 更为一般的含实常系数的偏微分方程如果方程具有更一般的形式222220u u u u u a b c d e fu x x y y x y ∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂(14.2.6)其中,,,,,a b c d e f 均为实常数．我们可以令(14.2.7)代入方程（14.2.6）得(14.2.8)(,)mx ny u x y e+=220am bmn cn dm en f +++++=12()()12(,)mx n m y mx n m y u x y c ec e ++=+14.2.92(i) 40,b ac −>双曲型，上述方程有两个不同的实根，则1(),n m 2()n m 2(ii) 40,b ac −=抛物型，上述方程有相等的实根，则12()()n m n m =(14.2.11)2(iii) 40,b ac −<椭圆型，上述方程有两个共轭虚根，则12()(),()()n m i m n m i m αβαβ=+=−[()()][()()]12(,)mx m i m y mx m i m yu x y c e c e αβαβ+++−=+(14.2.10)（注明：上式中的第二项乘以x 是为了保证两根线性独立）12()()12(,)mx n m y mx n m yu x y c e c xe ++=+例题14.2.1 14.2.2 14.2.3 14.2.4 讲解本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.14.3.1 达朗贝尔公式设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为14．3 达朗贝尔公式2,0(14.3.1)0(,0)()(.0)()tt xx t x t u a u u x x u x x ϕψ−∞<<+∞>−===容易得知偏微分方程的判别式240a ∆=>，该方程为双曲型．由22a λ−=12 , a aλλ==−泛定方程（14.3.1）的通解为12(,)()()u x t F x at F x at =++−(14.3.2)其中12,F F 是任意两个连续二次可微函数．我们使用初始条件可确定12,F F 函数．注：本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，只有初始条件。
由初始条件得到12(,0)()()()u x F x F x x ϕ=+=(14.3.3a)12()()()a x aF x x F ψ′−=′(14.3.3b)将(14.3.3b)积分得到121()()()d xx F x F x caψξξ−=+∫(14.3.3c)0,x cx x =其中均为常数．其中c 可以通过上式令代入确定，即为1020()()c F x F x =−由式(14.3.3a)和(14.3.3c)联立求解得到001102021020111()()()d [()()]222111()()()d [()()]222x x x x F x x F x F x a F x x F x F x a ϕψξξϕψξξ=++−=−−−∫∫将上两式代入(14.3.2)得到定解问题的解11(,)[()()]()d 22x atx atu x t x at x at a ϕϕψξξ+−=++−+∫(14.3.4)()x ϕ()x ψ当函数是二次连续函数，函数是一次连续可微的函数时，(14.3.4)式即为无界弦自由振动定解问题的解，表达式(14.3.4)称为达朗贝尔(D.Alembert)公式. 无界弦自由振动定解问题的解称为达朗贝尔解.§14.3.2 达朗贝尔解的物理意义()()()12,u x t f x at f x at =−++000()(),.x f x x x a t d x a d t−==0对于函数f 来说，其图形相对原点向右移动x 一段距离，其表达式变为若令，则其移动速度为()()x a t x a t x −−11所以函数f 的物理意义为：弦上质点的振动所构成的外形函数f 以常速a 向轴正向传播，即它代表一个以速度为a 沿x 轴正向传播的行波或正向波。
()x a t +1与此类似，函数f 代表一个以速度为a 沿x 轴负方向传播的行波或反向波。
通解(14.3.2)表示弦上的任意扰动总是以行波的形式向相反的两个方向传播出去,传播的速度为泛定方程中的常数a，这就是达朗贝尔公式的物理意义，故达朗贝尔解法又称为传播波解法.T Ta ρρ==i ２千克米／秒米／秒千克／米由于,可见张力越大,或者说弦拉的越紧,波就传播的越快Ta ρ=密度越小或者说弦越轻细,波也传播的越快.达朗贝尔公式的意义补充例题⎪⎩⎪⎨⎧==∞<<∞−=−−=−=222|,|,0002x t t x t xx tt axeu e u x u a u ∫+−−−−+−++=atx atx s aat x at x dsase eex u 2222][)(21)()(21解：将初始条件代入达朗贝尔公式∫+−−−−+−++=atx atx s at x at x ds eee221)()(21222][at x atx sat x at x e e e +−−−−+−−++=222[][21)()(212)(at x e−−=达朗贝尔公式的意义图示10.80.60.40.2-224681010.80.60.40.2-224681010.80.60.40.2-224681010.80.60.40.2-224681010.80.60.40.2-2246810§14.3.3 达朗贝尔公式的应用为了加深对达朗贝尔公式的理解，让我们来讨论达朗贝尔公式的应用.齐次方程类型主要讨论自由振动问题, 即没有强迫力作用，故泛定方程是齐次的. 可以直接利用达朗贝尔公式求解.例14.3.1已知初始速度为零，初始位移如图14.2所示的无界弦振动，求此振动过程中的位移.2,0(14.3.1)00(,0)()00(.0)0t t x x tx t u a u c x h c x c c x u x x h x cc x cu x ϕ−∞<<+∞>⎧−=⎪⎧⎪+−≤≤⎪⎪⎪⎪⎪−⎪==≤≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪>⎩⎪⎪=⎩例x()x ϕhc−c如上即为如图所示的无界弦自由振动的定解问题，按达朗贝尔公式得其位移函数：()()()11,22u x t x at x at ϕϕ=−++uc−c2c c −−2c c +2c−2cxx x x x x 当t=0时当t= 时4ca 当t= 时24ca 当t= 时34ca 当t= 时44ca54c 54c −34c c +34c c −−54c c +54c c −−当t= 时54c a(),0[||]2,[||][||]22[||]2x c at c at x x c at x c at x c at hc x at c at c u x t h hc x at c x at c at c c h c x at c at c−∞<<−−+<<+∞<<−+<<−<<+⎧⎪⎪−+−−⎪⎪=⎨−++−−−+⎪⎪⎪−−−⎪⎩或0ct t a=<<当常数，且时ct t a=<<+∞当常数，且时(),0[||]2,0[||]2x c at c at x x c at x c at x c athc x at c at cu x t c at hc x at c at c−∞<<−−+<<+∞<<−<<−+<<+⎧⎪⎪−+−−⎪=⎨−⎪⎪−−−+⎪⎩或具体课本上作了证明，实质是把x ，t 的二维区域进行划分，在不同区域对应不同的函数关系式。
找到这些关系式即得弦的位移函数式。
()x at ϕ−、()x at ϕ+【解】根据达朗贝尔公式，初始速度为0，而初始位移为)(x ϕ2,0(14.3.1)(,0)()(.0)0tt xx tx t u a u u x x u x ϕ−∞<<+∞>−===⎧⎪⎨⎪⎩例得到无界弦自由振动的定解问题：),(21x x 上不为零，且在221x x x +=处达到最大值u 由于初始位移只在区间)(x ϕ故的表达式应为：)(x ϕ补充例题：已知初始速度为零，初始位移如图14.1所示的无界弦振动，求此振动过程中的位移.1x 2x 0u x()x ϕ图 11.1x112012********* ( )2()2 ()20 x x x x u x x x x x x x x x u x x x x ϕ−+≤≤−−+=≤≤−12 (,) x x x ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪∉⎪⎩根据达朗贝尔公式（14.3.4）即得位移为()()()11,22u x t x at x at ϕϕ=−++根据上面例题，分析求出位移的具体表达式。