浅谈一元整系数多项式的因式分解方法

浅谈一元整系数多项式的因式分解方法

作者：尹雯静

来源：《速读·下旬》2018年第01期

摘要：多项式的因式分解是数学学习中一项基本的技能。在分式运算、解方程和各种恒等变换中都常用到因式分解。但多项式因式分解的方法灵活多变，在分解时需要各种技巧。本文对一元多项式的因式分解进行了初步探索，阐述了一元多项式分解的两种方法。

关键词：一元多项式；因式分解；分组分解；待定系数

在实际学习的过程中，总会遇到多项式因式分解的问题，但由于多项式的因式分解没有刻板的程序可以依循，往往使人感觉难度较大，不好掌握。本文主要是给出因式分解的两种比较容易和实用的方法。

1分组分解法

分组分解法是因式分解中常用的一种方法，运用此类方法分解的多项式各项之间的联系比较明显，有些项之间存在公因式，因此可以进行提取公因式等步骤。而此类解法常与拆项添项法合并使用，通过拆项或添项建立起各项之间的联系。

第一步：观察多项式的结构，可以适当利用拆项或添项的方法将多项式分成若干组；第二步：将分组情况进行适当的调整，使每组中各项可以提取公因式，且各组之间也有公因式存在；第三步：通过多次提取公因式，将多项式表示为几个部分的乘积，完成分解。

例题1：在有理数集内分解[x3+6x2+11x+6]的因式。

解：首先我们可以通过拆项将多项式分为有公因式的两组：

原式[=x3+6x2+11x+6=x3+6x2+9x+（2x+6）]

[=xx2+6x+9+2x+3=x（x+3）2+2（x+3）]

[=（x+3）xx+3+2] （1）

式有两项构成，但是方括号内的部分显然没有分解完成，而且项与项之间不含公因式，也不能直接利用公式和分组分解，故需打开括号重新组合。为了方便说明我们将中括号中的多项式单独提出来进行分解。

[xx+3+2=x2+3x+2=x2+x+2x+2=xx+1+2x+1=（x+1）（x+2）]

故[x3+6x2+11x+6=（x+1）（x+2）（x+3）]。

例题2：在有理数集内分解[x5+x-1]。

解：首先通过观察，我们发现，本题中[x5]与[x]的次数相差较大，我们可以考虑通过添加一些中间项，使它们产生联系。需要注意的是为了保持原式的不变，添加的项最后一定要减去。

原式[=x5+x+1=x5+x2-x2+x+1]

[=x2x3+1-（x2-x+1）]

[=x2x+1（x2-x+1）-（x2-x+1）]

[=（x2-x+1）（x3+x2-1）]。

2待定系数法

待定系数法相对于其他因式分解的方法更易掌握且适用范围较广，但其中利用到了综合除法的知识且最后需要求出各系数的值，计算较为繁杂。

第一步：利用综合除法试除常数项的因式，判定原式分解后所成的因式的乘积形式。

第二步：列出方程组，确定待定系数的值。

第三步：将各个待定系数的值代入相应的位置，完成分解。

例题3：在有理数集上分解因式[x4-x3+6x2-x+15]。

解：先用综合除法。可能的试除数是±1，±3，±5，±15，试除结果都被排除，因此原式在Q上没有一次因式。假定原式含有x的二次因式，设：

[x4-x3+6x2-x+15=x2+mx+kx2+nx+l]

[=x4+m+nx3+k+mn+lx2+ml+nkx+kl]

比较等式两端的系数，得[m+n=-1 （1）k+mn+l=6（2）ml+nk=-1 （3）kl=15 （4）]

（4）式中的k，l同是常数项15的因数，因此k和l的值可能是：

[k=3l=5k=5l=3k=-3l=-5k=-5l=-3]

将[k=3l=5]代入（3）得5m+3n=-1 （5）

将（1）（5）联立得[m=1n=-2]且k=3，l=5，m=1，n=-2满足（2）式。

因此m=1，n=-2，k=3，l=5是方程组的解。

所以[x4-x3+6x2-x+15=x2+x+3x2-2x+5]。

3利用因式定理和综合除法

此方法主要是利用因式定理（f（x）有因式x-a的充分必要条件是f（a）=0）来寻找整系数多项式f（x）的一次因式。当a是有理数时，可用综合除法来确定，这种方法的理论性较强，其主要依据是：若整系数多项式f（x）=[anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0]有因式x[-pq]（p，q 互质且均为整数），则p，q一定分别是[an]和[a0]的约数。

第一步：写出f（x）的首项系数[an]和常数项[a0]的所有因数；第二步：以[an]的因数为分母，[a0]的因数为分子，写出所有可能的既约分数，作为试除数；第三步：利用综合除法试除，确定f（x）的根；第四步：写出f（x）的标准分解式。

例题4：分解整系数多项式f（x）[=3x3-2x2+9x-6]的因式。

解：可能的试除数是±1，±2，±3，±6，±1/3，±2/3。

因为f（x）的奇次项系数都是正数，偶次项系数都是负数，故只选正的试除数即可，即：1，2，3，6，1/3，2/3。

f（1）=3-2+9-6≠0，则1排除，用2试除：

f（2）=28≠0，则2排除，同样3，6，1/3都排除，用2/3试除：

所以f（x）[=（x-23）3x2+9=（3x-2）（x2+3）]。

参考文献：

[1]牛继武.因式分解及其应用[M].天津科学出版社，1988，1.

[2]李长明，周焕山.初等数学研究[M].高等教育出版社，2016，12.

[3]张霞.多项式因式分解的方法[J].黑龙江科技信息，2012.