浅谈一元整系数多项式的因式分解方法
浅谈多项式分解的几种方法
浅谈多项式分解的几种方法摘要：多项式分解是数学中极为重要的一类问题，具有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的多项式分解方法：因式分解、配方法、综合除法和提取公因式法，并比较它们的优缺点，帮助读者更好地理解多项式分解问题。
关键词：多项式、因式分解、配方法、综合除法、提取公因式法正文：多项式分解是数学中重要的一类问题，对于求解方程、展开式、计算复杂度等都有极大的帮助。
本文将介绍几种常见的多项式分解方法。
第一种方法是因式分解。
这个方法比较简单，即将多项式表示成乘积的形式。
例如，对于x2-4x+4这个多项式，可以进行因式分解为(x-2)2。
这种方法的优点是简单明了，但是只适用于特定形式的多项式，对于一些复杂的多项式不一定适用。
第二种方法是配方法。
这个方法可以将多项式化简成更可分解的形式。
例如，对于x2+2x+1这个多项式，可以进行配方法(x+1)2。
这种方法比因式分解适用范围更广，但是需要有一定的技巧。
第三种方法是综合除法。
这个方法通过将多项式除以一次式，得到商和余数，继续对余数进行除法，直到得到一次式或零。
例如，对于x3-2x2+3x-6这个多项式，可以进行综合除法(x-3)。
这种方法适用于任何多项式，但是需要进行多次除法运算，比较繁琐。
第四种方法是提取公因式法。
这个方法是通过将多项式中的公因式提取出来，得到一个更简化的多项式。
例如，对于3x3+6x2+9x，可以将其提取公因式3x得到3x(x2+2x+3)。
这种方法简单易懂，但是需求有一定的观察力。
综上所述，多项式分解是数学中的一个很重要的问题，本文介绍了其中的几种方法，并比较它们的优缺点。
我们可以根据具体情况选择不同的方法，以实现更快速、更准确的多项式分解。
除以上四种方法外，还有其他的多项式分解方法，如用幂级数展开的方法、有理方法、变量替换法等，但这些方法的适用范围较窄，不予深入讨论。
在实际应用中，我们需要根据不同的情况来选择不同的方法进行多项式分解。
整系数多项的因式分解问题
整系数多项式的因式分解问题摘要：多项式理论是高等代数与解析几何的重要内容，是进一步学习代数学及其他数学分支的必要基础。
多项式理论是整个高等代数与解析几何课程中一个相对独立而自成体系的部分，它不以高等代数与解析几何的其他章节的内容为基础，但却为高等代数与解析几何的其他部分提供理论依据。
本文主要讨论整系数多项式的基本概念与性质，多项式的根及其值，和在有理数域上的因式分解问题。
关键词：多项式；因式分解；Eisenstein 判断法；多项式的根；有理数域。
引言：在Q 上讨论多项式的因式分解问题，我们已经论证了在有理数域Q 上和在整数环Z 上其可约性是一致的，即在整数环Z 上若)()()(x h x g x f = （1）当然可以看成有理数域Q 上的多项式分解结果。
反过来，（1）式中)(x f 为整系数多项式，而)()(x h x g 、是有理数域Q 上的多项式，那么通过)()(x h x g 、的系数处理可以使其成为整系数多项式)()(11x h x g 、，满足)()()(11x h x g x f =，因此在Q 上讨论因式分解问题往往给出的只是整数环Z 上的多项式。
一.Eisenstein 判断法的研究此处介绍判断整系数多项式可约性的如下方法：定理1.1 设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--是一个整系数多项式，若是能够找到一个素数p 。
使1）最高次项系数n a 不能被p 整除； 2）其余各项的系数都能被p 整除； 3）常数项0a 不能2p 整除， 那么多项式)(x f 在有理数域不可约。
这一方法叫做Eisenstein 判断法。
在判断一些多项式可约性及诸如无理数判断有其直接作用。
例1. 存在有理数域上的任意次不可约多项式。
事实上，下列整系数多项式2)(-=n x x f不论其n 取任意正整数，都存在素数p=2满足Eisenstein 判断法的条件。
一元多项式因式分解方法归纳
一元多项式因式分解方法归纳摘要：给出了一元多项式因式分解的几种常用方法，如提公因式法，运用公式法，分组分解法，十字相乘法，配方法，拆项补项法等等。
解释了这些方法的理论来源，给出具体实例，并指出每种方法的具体做法.关键词：一元多项式因式分解提公因式法运用公式法分组分解法因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技术性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必须的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，即可以培养学生的观察,思维发展性，运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.一提公因式法1 定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式分解的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2 具体做法：⑴确定公因式的方法①定系数：当各项系数都是整数时，公因式的系数应该取各项系数的最大公约数；②定字母：字母取各项的相同的字母；③定指数：各字母的指数取次数最低的.⑵如果多项式的第一项是负的，一般要提出“—”号，使括号内的第一项的系数成为正数.提出“—”号时，多项式的各项都要变号.3 提公因式法基本步骤：⑴找出公因式；⑵提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式，可按照确定公因式的方法，先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同. 4 注意：①提公因式后，另一个因式的项数与原多项式一致； ②提公因式后，另一个因式不能再含有公因式.二 运用公式法1 定义：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.2 因式分解常用公式：⑴代数中常用的乘法公式有：平方差公式：()()b a b a -+ 22b a -=完全平方公式：()2b a ± 222b ab a +±=将上述乘法公式反过来就得到用公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：两根法： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=++a ac b b x a ac b b x a c bx ax 2424222平方差公式：22b a -=()()b a b a -+完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±⑵其他公式立方和公式： ()()2233bab a b a b a +-+=+立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-完全立方公式：()3322333b a b ab b a a ±=±+±例1 因式分解1646-x 分析 664x 可变形为()238x ，或变形为()324x ，而1既可看作21，也可看作31，这样，本题可先用平方差公式分解. 解 方法一1646-x=()238x 1- （把664x 变形为()238x ）()()181833-+=x x （利用平方差公式）=()183+x ()()124122++-x x x()()()()124121241222++-+-+=x x x x x x方法二 1646-x ()1432-=x （把664x 变形为()324x ）()()141614242++-=x x x （运用立方差公式） ()()()224418161212xx x x x -++-+= （把24x拆为2248x x -）()()()()[]2222141212x x x x -+-+= （利用完全平方公式）()()()()124124121222+-++-+=x x x x x x （运用平方差公式）点评:在分解因式时,尽管采用的方法不同,但结果应是相同的,本题的两种解法,显然第一种方法比较简单.例2 已知A ()()()()495432+-+-+=x x x x (x 为整数),求证: A 为一个完全平方数. 证明：因为A ()()()()495432+-+-+=x x x x ()()4920622+----=x x x x()()()222221316926--=+---=x x x x x x所以A 是一个完全平方数.三 分组分解法1 定义：把各项适当分组，先把因式分组，再使分解因式在各组之间进行.2 注意：在用分组分解法因式分解时，要注意分组不能使一个多项式变为乘积形式，分组的目的是分好的各组能提取各自的公因式同时使各组提取公因式后剩下的多项式又是各组的公因式，可以再提取，从而使问题得到解决，上述规律可以通俗的归纳成：“分组的目的是为了提取，提取的目的是为了再提取”，若多项式带有括号，且括号内的式子相同时，可用换元后进行分组分解，若括号内式子不相同，又不便直接分组时，要将括号去掉，重新整理后再分组分解. 3分组分解法的实质是分组后能直接提公因式或运用公式法. 4 具体方法：5 总结利用分组的手段为提公因式法创造条件，因此分组分解法是转化的数学思想在因式分解中的集中体现，分组的目的是经过适当的分组以后，将原来不显现的条件通过分组显现出来，将其转化为用已学过的提公因式法或运用公式法来进行因式分解。
整系数多项式因式分解的方法归纳
｛ ２ 原 ＝＋一）一＋。 ， 式（３２ｘｙ） 故 ｘｙ （２３
二 、 除法 试
解 ： 视 察 法 ， ＝ 时 ， ｙ ｚ ｚ ｘ ＋ ｘ ｙ ＝ ， 用 当ｘ ｙ ｘ（— ）ｙ （— ） ｚ — ）０ 从
而 ｘ ｙ ｆｘ， ｚ 的一 个 因式 。 同 理 ，－ ，～ 也 是ｆ ｘ Ｙ， ） — 是 （ Ｙ，） ｙ ｚ ｚｘ （ ， ｚ 的 因式 。 可设 ｆｘ Ｙ ｚ ＝ （－ ） ｙ ｚ （－ ） 且 令ｘ ０ ｙ ｌ ｚ 一 故 （ ， ，）ｋ ｘ ｙ （－ ）ｚ ｙ ， ＝ ，＝ ， ：
、
有 时 被 分 解 的 多 项 式 可 以 表 示 成 适 当 的行 列 式 ，就 可 根 据 行 列 式 的 性 质 ， 行 初 等 变 换 ， 步 转 化 成 因 式 乘 积 的 进 逐
形式 。
例４分 解 因 式ｆｘ ＝ 。 ｘ ｘ－ ４ 一 ０ ． （ ） ｘ＋ ＇２ ｘ ２ 。 ６ ＋
解 ： ｘ ＝ ，＋ ＝ ， 令 ｙ ａ ｘ ｙ ｂ
贝 原 式 ＝ ｂ ２ （ 一 ａ ＋（ 一 ） ０ （ 一 ） ｂ ２ ） ａ １
＝
又 由视 察法 ，（ ） ３ １一 × ｆ １ ： × ２ １
＋ ｘ 一 ＝ ≠Ｏ １ 除 ； 用 ２ ９ ｌ６ ４ ，排 再 去试 除 ：（ ） ２ ＃ ０ ２ 除 ； ｆ２ ＝ ８ － ， 排 同理 ： ３６ 二 都排除。 ，，
一
方 法
待定 系数 法 用 待 定 系 数 法 分 解 因式 ， 是 根 据 题 设 条 件 ， 定 原 式 就 判 分 解 后 所 成 的 因 式 乘 积 的 形 式 ， 其 构 成 恒 等 式 ， 利 用 多 将 再 项 式 恒 等 定 理 ， 出 方 程 （ ） 定 待 定 系 数 的 值 ， 而 进 行 列 组 确 从 因式 分 解 。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
因式分解技巧讲解002
七、综合运用及技巧
1、换元（即整体法）
因式分解时可以用一个字母代替一个整式，也可以将原式中的某个部分变形后的式子用
一个字母代替，（一般都是既约多项式），分解完后再将其带入。
2、主次分清
我们在处理一个项数多的多项式的时候，可以按照一个主要字母（任选）的降幂整理后，
然后分解。
十字相乘法解决。
[例]分解因式：6x2-7x+2
解：采用类似的办法：把6分解成2×3，写在第一列；把2分解成(-1)×(-2)，写在第二
列；然后交叉相乘，把积相加，最后把得到的和写在横线下面。如下：
2 -1
3 -2
-7
这个和恰好是一次项的系数，于是有：
上面的算式称之为长十字相乘，式子中的三个十字，就是上面所说的三个十字相乘，我
们省略了横线及其底下的数。
如果二次式中的缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用。
[例]分解因式：x2-y2+5x+3y+4[缺少含有字母的项]
解：由如下算式
(x) (y) (1)
1 1 1
=2a2b(x+y)(b+c)[(x+y)+3a3b3(b+c)]
=2a2b(x+y)(b+c)(x+y+3a3b4+3a3b3c)
其实这是一种整体的思想，在因式分解中应用广泛。
3、切勿漏1
4、注意符号
在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变。
5、化“分”为整
数学论文——因式巧分解
史虓
◎综述
所谓多项式的因式分解，是把一个多项式写成几个整式的积的形式。因式分解并不复杂，
因式分解的方法
因式分解（factorization）的方法把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。
在数学求根作图方面有很广泛的应用。
原则：1、分解必须要彻底（即分解之后因式均不能再做分解）2、结果最后只留下小括号3、结果的多项式首项为正。
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m（a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.⑵运用公式法①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2).立方差公式：a^3-b^3＝(a-b)(a^2+ab+b^2).④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.⑸十字相乘法①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）a \-----/b ac＝k bd＝nc /-----\d ad＋bc＝m※多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。
关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法
关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法【标题】关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法【引言】在代数学中，多项式函数是一种极其重要的数学对象。
而多项式函数的有理根（或称为有理零点）则是代数方程的根的一种特殊情况，值得我们深入研究和探索。
本文将围绕着整系数多项式的有理根展开论述，介绍其中几个重要定理及其求解方法，以期帮助读者更加全面、深刻地理解这一主题。
【正文】1. 整系数多项式及有理根的基本概念整系数多项式指的是系数全为整数的多项式。
对于一个整系数多项式p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中 a_n \neq 0，整数根（或称整数零点）是指满足 p(x) = 0 的整数解。
而有理根则是指满足 p(x) = 0 的有理数解，可以表示为 p(x) = (x -\frac{p}{q})q_nq^{n-1}...q_1 = 0，其中 p 和 q 都是整数，且 q \neq 0。
2. 整系数多项式有理根的判别式对于整系数多项式 p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x +a_0，假设存在有理根 x = \frac{p}{q}，其中 p 和 q 互质。
那么根据有理根定理，p 必须是 a_0 的因子，而 q 必须是 a_n 的因子。
基于这个结论，我们可以提出整系数多项式有理根的判别式：设整系数多项式 p(x) 的首项系数为 a_n，常数项为 a_0，其所有有理根为\frac{p_i}{q_i} (i = 1,2,...,m)。
那么有理根的判别式可以表示为如下形式：- 对于 p(x) 的每一个有理根 \frac{p_i}{q_i}，其 p_i 为 a_0 的因子，q_i 为 a_n 的因子；- 对于 p(x) 的每一个整数根 x_i，其必为 a_0 的因子。
3. 整系数多项式有理根的求解方法接下来，我们将介绍一些求解整系数多项式有理根的方法，以帮助读者解决类似的问题。
因式分解的14种方法
因式分解的14种方法1因式分解的14种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：??1332xxxx）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
因式分解的通用方法(目前最牛完整的课程教案)(4)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解最好方法
因式分解最好方法因式分解是一种数学方法，用于将一个多项式分解成若干个乘积。
它在代数运算中具有重要的应用，能够帮助我们简化计算、理解问题的本质和发现数学规律。
在本文中，我将详细介绍因式分解的最佳方法。
因式分解的最佳方法包括两个关键步骤：提取公因式和分解二次因式。
第一步是提取公因式。
当我们面对一个多项式时，首先要做的是找出多项式中每一项的公因式。
公因式是多项式中可以整除每一项的因子。
提取公因式的最佳方法是观察并找出多项式中所有项的最高公因式，并将其提出。
例如，对于多项式3x^2+9x，我们可以观察到其中每一项都可以被3整除，因此可以提取出公因式3，从而得到3(x^2+3x)。
第二步是分解二次因式。
如果多项式的项数超过两项，我们就需要考虑是否可以将其分解为二次因式的乘积。
分解二次因式的最佳方法是寻找两个因式，并将它们相乘以得到原始多项式。
常用的分解二次因式的方法包括提取平方根、配方法和求和与积等。
在用提取平方根的方法分解二次因式时，我们需要找到一个二次因式的平方，使得乘以这个平方后能够得到原始多项式。
例如，对于多项式x^2+6x+9，我们可以观察到它可以被分解为(x+3)(x+3)，其中x+3是一个平方因式，因为(x+3)(x+3)=x^2+6x+9在配方法中，我们将多项式的项进行重新排列，然后根据一些数学规律进行分解。
例如，对于多项式x^2+5x+6，我们可以将其重新排列为x^2+2x+3x+6，然后根据分组的原则，将其分解为(x^2+2x)+(3x+6)，再继续进行分解为x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)。
在求和与积方法中，我们需要寻找两个因式，使得它们的和与积分别等于原始多项式中相邻项的系数。
例如，对于多项式x^2+7x+10，我们可以观察到x^2的系数为1，而10的系数为10，因此我们需要找到两个数，它们的和为7，积为10。
根据这个规律，我们可以将其分解为(x+2)(x+5)。
因式分解的最佳方法还应该考虑到多项式是否存在特定的模式。
多项式的综合除法与因式分解
多项式的综合除法与因式分解二、整系数多项式的因式分解整系数多项式因式分解的原理是，先试出有理根 r ，多项式对线性因子 x-r 做多项式除法，逐步降低次数。
1. 试有理根试根定理：设 f(x) 为 n 次整系数多项式（ n \geq 1 ），其形式为：f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0 ， a_0 \neq 0若 x = \frac{p}{q} 为 f 的有理根（ p,q 互质，公约数只有 \pm 1 ），则 p 必为常数项 a_0 的整数因子， q 必为首项 a_n 的整数因子。
根据多项式除法原则，有f(x)=(x-k)d(x)+r，故余数可表示为 r=f(k) ，从而，若 k 是 f(x) 的根，则 f(k)=0 .基于以上事实，对于一个整系数多项式，就可以先找出其有理根候选 k_i ，再验证是否满足 f(k_i)=0 ，就可以确定 k_i 是否为根。
例. 多项式 2x^3-3x^2-5x-12 ，其可能的有理根为：分子： 12 的整数因子， 1,2,3,4,6,12分母： 2 的整数因子， 1,2故可能的有理根为： \Big\{ \pm \frac{1,2,3,4,6,12}{1}, \, \pm \frac{1,2,3,4,6,12}{2} \Big\} =\Big\{ \pm\frac{1}{2}, \pm 1, \pm \frac{3}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \Big\}2. 综合除法若 k_i 是 f(x) 的根，则 f(x)=(x-k_i)g(x) , 其中， g(x) 为 n-1 次多项式。
为了得到 g(x) ，就需要用 f(x) 除以 (x - k_i) .与整数做除法类似，举例来看，多项式的普通除法：优化上述算法：（1）变量 x 的幂次依次降幂排列，只要对应好位置，完全可以省略之，即（2）观察同一列的 -5, -12 只是每次重复地落下来，把有用的数压缩上去，避免这种重复落下，得到（3）继续优化，因子 x-3 对应的根是 3 ，把（2）中的 -3 换成 3 ，把原来的竖直方向“做差”换成“做和”，也相当于乘以个 -1 变号，得到结果是，下面的 2,3,4 结合对应的 x 幂次，得到商 2x^2 + 3x +4 ，余数是 0 .这就是“综合除法”。
一元整系数多项式因式分解的思路及方法再探讨
技术创新49一元整系数多项式因式分解的思路及方法再探讨◊陕西省宝鸡市陈仓高级中学李利芳因式分解是代数学习的一个重要内容，本文举例说明了一元整系数多项式不能在有理数域内进行因式分解的充分条件，以及在能分解的情况下如何进行因式分解的几种方法，从而帮助学生进一步理解和掌握因式分解的方法技巧。
1概述因式分解就是把一个多项式在一定的范围内(比如有理数范围)化为几个因式积的形式。
是代数学习里面的一个非常重要内容，无论是对代数式的恒等变形，还是对高次方程求解，以及二次函数的理解，甚至对高等代数里面的矩阵对角化都有很大的帮助，因此学好这部分内容就显得尤为重要。
但是初中课程因为降低了对这部分内容的要求，讲解的求解方法主要有：提公因式法，公式法，十字相乘法和分组分解法这四种。
事实上面对多种多样，千变万化的题目，这些方法经常失效，因此面对因式分解，学生时常感觉无从下手。
其次，因为中学很多数学题目的最终落脚点是求解一元整系数方程的有理根，此外一元有理系数多项式可以通过同乘公因子的方法化为一元整系数多项式，因此本文分两个部分举例说明了一元整系数多项式能否在有理数范围内进行分解以及如何在有理数范围内进行分解。
这对学生进一步掌握因式分解的内容，熟练应用因式分解去解决相关题目，提高学习效率将大有帮助。
2判断一元整系数多项式能否在有理数域内进行因式分解定理因式分解定理每个次数>1的有理系数多项式都能唯一的分解成不可约的有理系数多项式的乘积。
定理2"」(艾森斯坦因(Eisenstein)判别法)设/(X)=a”x"+%_必"7+A+a Q f(x)=a”x"+A+a0,(1) f(x)=a n x n+a n_x x n+A+a0是〜整系数多项式，如果有〜素数卫使得：(1)p I;(2”|%_/”_2儿％；<3)P2|%;那么/(x)在有理数域上是不可分解的约的。
上述定理1给出了有理系数多项式可以分解的定性说明，定理2是一元整系数多项式不能在有理数域内进行分解的充分条件，即完全满足定理2三个条件的一元整系数多项式不能在有理数域内继续分解，但是能分解的并非三条全部都不满足，只要其中一条不成立，就是可分解的类型。
因式分解方法：因式定理综合除法分解因式
因式分解方法：因式定理综合除法分解因式因式定理、综合除法分解因式
对于整系数一元多项式f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0
由因式定理可先判断它是否含有一次因式(x-)（其中p，q 互质），p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数
若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解
例8分解因式x3-4x2+6x-4
解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4
可能出现的因式为x1,x2,x4
∵f(1)0,f(1)0
但f(2)=0,故(x-2)是这个多项式的因式，再用综合除法
21-46-4
2-44
1-220
所以原式=(x-2)(x2-2x+2)
当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4
=x(x-2)2+(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2)
分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，。
整系数多项式的因式分解方法研究
整系数多项式的因式分解是指将多项式拆分成若干个因数的过程。
这是一种常见的多项式运算，在数学中有很多应用。
常见的整系数多项式因式分解方法包括：
1.分解因式法。
该方法需要找出多项式中最高次项的系数和常数项，将它们作为因式的系数和常数，然后将多项式化为两个因式的乘积的形式。
2.辗转相除法。
该方法是将多项式与较小的多项式取模，直到得到的余数为0 为止。
每次辗转相除都会生成一个新的因式，最终可以将多项式表示为若干个因式的乘积。
3.因式分解定理。
该定理认为，多项式的因式分解是一种通用的方法，可以将多项式分解为若干个因式的乘积。
它主要用于数学建模、函数求根、求解方程等场合。
常见的因式分解定理包括：
1.高斯消元法。
该方法可以将线性方程组消元为三角形式，从而求解方程组的解。
2.光速方程。
该方程是描述物体的运动规律的方程，常用于物理学中的运动问题。
3.图解法。
该方法是通过画图来解决函数的根的方法。
因式分解是数学中一种常用的方法，可以帮助我们求解复杂的问题。
因式分解的方法与技巧
因式分解的方法与技巧因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。
是解决许多数学问题的有力工具。
把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解的方法与技巧1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-6分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x2 +6x-40解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]=(x+10)(x-4)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
(完整版)因式分解的常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
浅谈因式分解的几种方法(论文)
因式分解常用的几种方法摘要：数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深——高斯。
因式分解，它或许很普通，但它往往能使我们进一步地了解数学的博大精深。
因式分解的应用十分的广泛，它在我们的身边时刻存在着。
可这一条条有趣的因式分解题，我渐渐地被它吸引住了。
让我们先来认识一下因式分解吧：把一个多相式的积化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
它是中国数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地初中数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
关键词：因式分解双十字相乘法分组分解法分解因式前言：因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力。
分解因式的方法有很多，比如提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式。
下面，就让我带领大家走进因式分解的奇妙的美丽数学世界。
在我的学习经历中，我最喜欢的就是十字相乘法。
双十字相乘法运用很巧妙，可以将一个很复杂的数据简单地呈现，我们一起来学习一下吧！！双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+fx、y为未知数，其余都是常数用一道例题来说明如何使用。
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解：图如下，把所有的数字交叉相连即可x 2y 2① ② ③x 3y 6∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．双十字相乘法其步骤为：①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。
如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。
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浅谈一元整系数多项式的因式分解方法
作者：尹雯静
来源：《速读·下旬》2018年第01期
摘要：多项式的因式分解是数学学习中一项基本的技能。
在分式运算、解方程和各种恒等变换中都常用到因式分解。
但多项式因式分解的方法灵活多变，在分解时需要各种技巧。
本文对一元多项式的因式分解进行了初步探索，阐述了一元多项式分解的两种方法。
关键词：一元多项式；因式分解；分组分解；待定系数
在实际学习的过程中，总会遇到多项式因式分解的问题，但由于多项式的因式分解没有刻板的程序可以依循，往往使人感觉难度较大，不好掌握。
本文主要是给出因式分解的两种比较容易和实用的方法。
1分组分解法
分组分解法是因式分解中常用的一种方法，运用此类方法分解的多项式各项之间的联系比较明显，有些项之间存在公因式，因此可以进行提取公因式等步骤。
而此类解法常与拆项添项法合并使用，通过拆项或添项建立起各项之间的联系。
第一步：观察多项式的结构，可以适当利用拆项或添项的方法将多项式分成若干组；第二步：将分组情况进行适当的调整，使每组中各项可以提取公因式，且各组之间也有公因式存在；第三步：通过多次提取公因式，将多项式表示为几个部分的乘积，完成分解。
例题1：在有理数集内分解[x3+6x2+11x+6]的因式。
解：首先我们可以通过拆项将多项式分为有公因式的两组：
原式[=x3+6x2+11x+6=x3+6x2+9x+（2x+6）]
[=xx2+6x+9+2x+3=x（x+3）2+2（x+3）]
[=（x+3）xx+3+2] （1）
式有两项构成，但是方括号内的部分显然没有分解完成，而且项与项之间不含公因式，也不能直接利用公式和分组分解，故需打开括号重新组合。
为了方便说明我们将中括号中的多项式单独提出来进行分解。
[xx+3+2=x2+3x+2=x2+x+2x+2=xx+1+2x+1=（x+1）（x+2）]
故[x3+6x2+11x+6=（x+1）（x+2）（x+3）]。
例题2：在有理数集内分解[x5+x-1]。
解：首先通过观察，我们发现，本题中[x5]与[x]的次数相差较大，我们可以考虑通过添加一些中间项，使它们产生联系。
需要注意的是为了保持原式的不变，添加的项最后一定要减去。
原式[=x5+x+1=x5+x2-x2+x+1]
[=x2x3+1-（x2-x+1）]
[=x2x+1（x2-x+1）-（x2-x+1）]
[=（x2-x+1）（x3+x2-1）]。
2待定系数法
待定系数法相对于其他因式分解的方法更易掌握且适用范围较广，但其中利用到了综合除法的知识且最后需要求出各系数的值，计算较为繁杂。
第一步：利用综合除法试除常数项的因式，判定原式分解后所成的因式的乘积形式。
第二步：列出方程组，确定待定系数的值。
第三步：将各个待定系数的值代入相应的位置，完成分解。
例题3：在有理数集上分解因式[x4-x3+6x2-x+15]。
解：先用综合除法。
可能的试除数是±1，±3，±5，±15，试除结果都被排除，因此原式在Q上没有一次因式。
假定原式含有x的二次因式，设：
[x4-x3+6x2-x+15=x2+mx+kx2+nx+l]
[=x4+m+nx3+k+mn+lx2+ml+nkx+kl]
比较等式两端的系数，得[m+n=-1 （1）k+mn+l=6（2）ml+nk=-1 （3）kl=15 （4）]
（4）式中的k，l同是常数项15的因数，因此k和l的值可能是：
[k=3l=5k=5l=3k=-3l=-5k=-5l=-3]
将[k=3l=5]代入（3）得5m+3n=-1 （5）
将（1）（5）联立得[m=1n=-2]且k=3，l=5，m=1，n=-2满足（2）式。
因此m=1，n=-2，k=3，l=5是方程组的解。
所以[x4-x3+6x2-x+15=x2+x+3x2-2x+5]。
3利用因式定理和综合除法
此方法主要是利用因式定理（f（x）有因式x-a的充分必要条件是f（a）=0）来寻找整系数多项式f（x）的一次因式。
当a是有理数时，可用综合除法来确定，这种方法的理论性较强，其主要依据是：若整系数多项式f（x）=[anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0]有因式x[-pq]（p，q 互质且均为整数），则p，q一定分别是[an]和[a0]的约数。
第一步：写出f（x）的首项系数[an]和常数项[a0]的所有因数；第二步：以[an]的因数为分母，[a0]的因数为分子，写出所有可能的既约分数，作为试除数；第三步：利用综合除法试除，确定f（x）的根；第四步：写出f（x）的标准分解式。
例题4：分解整系数多项式f（x）[=3x3-2x2+9x-6]的因式。
解：可能的试除数是±1，±2，±3，±6，±1/3，±2/3。
因为f（x）的奇次项系数都是正数，偶次项系数都是负数，故只选正的试除数即可，即：1，2，3，6，1/3，2/3。
f（1）=3-2+9-6≠0，则1排除，用2试除：
f（2）=28≠0，则2排除，同样3，6，1/3都排除，用2/3试除：
所以f（x）[=（x-23）3x2+9=（3x-2）（x2+3）]。
参考文献：
[1]牛继武.因式分解及其应用[M].天津科学出版社，1988，1.
[2]李长明，周焕山.初等数学研究[M].高等教育出版社，2016，12.
[3]张霞.多项式因式分解的方法[J].黑龙江科技信息，2012.。