高数下期末考试试题及答案解析讲解学习

2017学年春季学期

《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）

注意：

1、本试卷共 3 页；

2、考试时间110分钟；

3、姓名、学号必须写在指定地方

一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．

1．已知a 与b

都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2.极限2

2

22

00

1

lim()sin

x y x y x y

→→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ).

（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f

x y x y c c =++为实数

（C ）(,)f x y =

（D ）(,)e x y

f x y +=

4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).

（A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2

2

:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=

⎰⎰，2D

I σ=，3D

I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<

6．设椭圆L ：13

422=+y x 的周长为l ，则22

(34)d L x y s +=⎰Ñ（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12

7．设级数

∑∞

=1

n n

a

为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）.

(A)该级数收敛 (B)该级数发散

(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数

1n

n a

∞

=∑发散，则级数21n

n a

∞

=∑也发散 （B ）若级数21n

n a

∞

=∑发散，则级数1n

n a ∞=∑也发散 （C ）若级数

21n

n a

∞

=∑收敛，则级数

1n

n a

∞

=∑也收敛

（D ）若级数

1

||n

n a

∞=∑收敛，则级数2

1

n n a ∞=∑也收敛

二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．

1.直线3426030

x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 .

2．设(,)ln(),y f x y x x

=+则(1,0)y f '=______ _____.

3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .

4．设2

2

:2D x y x +≤，二重积分

()d D

x y σ-⎰⎰= .

5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω

+⎰⎰⎰在柱面坐标系下

的三次积分为 . 6.幂级数

1

1

(1)

!

n

n n x n ∞

-=-∑的收敛域是 . 7.将函数2

1,0

()1,0x f x x x ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩

以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛

于 .

三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名

……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………

三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字

说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求u

x

∂∂，u y ∂∂．

解： 2．求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程． 解：

3.交换积分次序，并计算二次积分0

sin d d x

y

x y y

ππ

⎰⎰

． 解：

4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω

=⎰⎰⎰. 解：

5．求幂级数1

1

n n nx

∞

-=∑的和函数()S x ，并求级数

1

2

n

n n ∞

=∑的和． 解：

三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名

……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………

四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形． 解

2．计算积分22

()d L

x y s +⎰

Ñ，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)． 解：

3．利用格林公式，计算曲线积分2

2()d (2)d L

I x

y x x xy y =+++⎰Ñ，其中L 是由抛物线2y x =和

2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．

4． 计算d x S ∑

⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.

解：

5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分

d d d d d d x y y z z x S

++蝌，

其中∑为圆锥面2

2

2

z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：

三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名

……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………

2y x = 2x y =

y