导数应用—函数单调性
知识讲解_导数在函数性质中的应用——单调性
导数在函数性质中的应用——单调性编稿：张林娟审稿：孙永钊【学习目标】1. 知识与技能能用导数判断函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调区间；掌握求函数单调区间的方法和步骤.2. 过程与方法通过利用导数研究函数的单调区间的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法.总结求函数单调区间和极值的一般步骤，体会其中的算法思想，认识到导数在研究函数性质中的应用.3. 情感、态度与价值观通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值.【要点梳理】要点一：函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数()f x在这一区间具有单调性.f x在某个区间是增函数或减函数，那么就说()已知函数2=-+的图象如图所示，f x x x()43由函数的单调性易知，当2f x是增函数.现在我们看看各个单f x是减函数；当2x<时，()x>时，()调区间内任意一点的切线情况：考虑到曲线()f x在改点的导数值，从图象可以看到：y f x=的在某点处切线的斜率就是函数()在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即'()240f x x =<时，()f x 为减函数.在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即'()240f x x =>时，()f x 为增函数.导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若()0f x '>，则()f x 在这个区间上为增函数；（2）若()0f x '<，则()f x 在这个区间上为减函数；（3）若恒有()0f x '=，则()f x 在这一区间上为常函数.反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．要点诠释：①导函数的正负决定了原函数的增减；②在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.注意：只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.例如：32()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，而()f x 在R 上递增.③当在某区间内恒有()0f x '=，这个函数()y f x =在这个区间上才为常数函数.要点二：利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法：设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数；（2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数；（3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数.利用导数求函数()f x 单调区间的基本步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数'()f x ；（3）在函数()f x 的定义域内解不等式'()0f x >或'()0f x <；（4）确定()f x 的单调区间.或者：令'()0f x =，求出它在定义域内的一切实数根。
导数的应用--函数的单调性
普宁市第一中学数学组
一、复习
1、怎样利用导数的符号判断函数的单调性。 怎样利用导数的符号判断函数的单调性。 设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f (x)>0， f(x)为 设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f´(x)>0，则f(x)为 y=f(x)在某个区间内可导 增函数；如果f (x)<0， f(x)为减函数。 增函数；如果f´(x)<0，则f(x)为减函数。 为减函数 如果在某个区间内恒有f (x)=0， f(x)为常数。 如果在某个区间内恒有f´(x)=0，则f(x)为常数。 为常数 ☆值得注意的是：在判断函数的单调性时，如果出现个别点 值得注意的是：在判断函数的单调性时， (x)=0不会影响包含该点在某个区间上的单调性 不会影响包含该点在某个区间上的单调性， 使f´(x)=0不会影响包含该点在某个区间上的单调性， 例如： f )内 例如： ( x ) = x 3 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 内 是 增 函 数 ， 但 f ′(0)=0
年浙江理) 4、例题：(04年浙江理)设 f ′( x ) 是函数 f ( x ) 例题：(04年浙江理
y o
y = f ′(x )
1 2
y 的导函数， 的图象如图(1)所示， (1)所示 的导函数， = f ′( x ) 的图象如图(1)所示，
x
的图象最有可能是( )。 则 y = f ( x ) 的图象最有可能是( C )。
y 2 1 -2 -1 0 1 -1 -2 2 x -2 -1
3 2 1 0 -1 -2 1 2 x
)。 )。
y y 4 3 2 1 2 x -2 -1 0 -1 -2 1 2 x
图(3)
y 4 3 2 -2 -1 1 0 -1 -2
高中数学知识重组、网络建构之函数与导数：专题三 导数应用之函数的单调性 含解析
● 主干知识互联，提纲挈领1．函数的单调性定义：设()f x 的定义域为D ，区间I D ⊆，若对于1212,,x xI x x ∀∈<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间．若对于1212,,x xI x x ∀∈<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间． 2．导数与函数的单调性：在某个区间(),a b 内，如果()0f x '≥,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．●重点难点突破,抓住核心考向1 利用导数判断函数的单调性或求单调区间【例1】【2016北京高考，理18】设函数()a xf x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（I)求a ，b 的值；（II ）求()f x 的单调区间．【答案】(Ⅰ)2a =，b e =；（II ）●方法规律提升，融会贯通 求可导函数单调区间的一般步骤和方法（1）确定函数()f x 的定义域．（2)求()f x '，令()0f x '=，求出它们在定义域内的一切实数)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞． 【解析】（I ）()ea xf x x bx-=+，∴()e e (1)e a xa x a x f x xb x b---'=-+=-+．∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+，∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=-，即2(2)2e22(e 1)4a fb -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-②由①②解得：2a =，e b =． (II)由（I ）可知:2()ee xf x x x-=+，2()(1)e ex f x x -'=-+．令2()(1)e xg x x -=-,∴222()e(1)e (2)e xx x g x x x ---'=---=-根．（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间．（4）确定()f x '在各个开区间内的符号，根据()f x '的符号判定函数()f x 在每个相应小开区间内的增减性．∴()g x 的最小值是22(2)(12)e 1g -=-=-，∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=->,即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增,无减区间．综上可知，0)(>'x f ,),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞．【变式训练】已知函数22()2()ln 22f x x a x xax a a =-++--+，其中0a >．设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性;【答案】当104a <<时，()g x 在区间)+∞上单调递增， 在区间11(22上单调递减;当14a ≥时,()g x 在区间(0,)+∞上单调递增．【解析】由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，。
《导数在函数中的应用——单调性》教学反思(精选15篇)
《导数在函数中的应用——单调性》教学反思〔精选15篇〕篇1：《导数在函数中的应用——单调性》教学反思本节课是一节新授课，教材所提供的信息很简单，假如直接得出结论学生也能承受。
可学生只能进展简单的模拟应用，为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课。
设计思路如下以便学生会考虑解决问题。
1、首先从同学们熟悉的过山车模型入手，将实际问题转化为数学模型，提出如何刻画函数的变化趋势，引出课题。
研究从学生熟悉的一次函数，二次函数入手，寻找导数和单调性的`关系，用几何画板演示特殊的三次函数的图像，研究单调性和导数。
在此根底上提出问题：单调性和导数到底有怎样的关系？学生通过考虑、讨论、交流形成结论。
也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
2、在结论得出后，继续引导学生考虑，提出自己的困惑，因为确实有学生对结论有不一样的想法，所以，尽可能地暴露问题，让学生彻底理解、掌握。
3、铺垫：在引入部分，我涉及到了一个三次的函数，而例2就是此题的变式，这样既可以在开场引起学生兴趣，后来他们自己解决了看似复杂的问题，增加了信心，也做到了首尾照应。
4、在知识应用中重点指导学生解题步骤，在学生自己总结解题步骤时，发现学生忽略了第一点求函数定义域，所以我就将错就错，给出了求函数的单调区间，很多学生栽了跟头，然后自己总结出应该先求函数定义域。
虽然这道题花了些时间，但我觉得很值得，我想学生印象也会更深化。
5、数形结合：数形结合不是光口头去说，而是利用一切时机去施行，在例1的教学中，我让学生先纯熟法那么，再从形上分析^p ，加深印象，这样在后面紧接的高考题中〔没有给解析式〕，学生会迎刃而解。
为了培养学生的自主学习、自主考虑的才能，激发学习兴趣，在教学中采取引导发现法，利用多媒体等手段引导学生动口、动脑、参与数学活动，发挥主观能动性，主动探究新知。
让学生分组讨论，合作交流，共同讨论问题。
但是，真正做到以学生为中心，学生100%参与，表达三维目的，培养学习才能还是比拟困难。
导数在函数单调性中的应用
导数在函数单调性中的应用利用导数判断函数的单调性是高考必考内容之一，是高考考查的重点，其主要题型以函数单调区间的求解，单调性的证明，求参变量的取值范围为主。
而熟练掌握导数与函数单调性的关系是解题的突破口。
题型一、函数单调性的证明例1：已知a>0，且a ≠1，证明函数y=a x -xlna 在（-∞，1）内是减函数。
分析：此题是利用导数证明单调性的问题，直接利用导数的符号与函数单调性的关系证明即可。
解：y`=a x lna-alna当a>0时因为y`=lna(a x -a)，lna>0，a x <a所以y`<0，即y 在（-∞，1）上是减函数当0<a<1时因为lna<0，a x >a所以y`<0，即y 在（-∞，1）上是减函数点评：在求解一个函数单调区间时，函数的导数往往可以化成两个基础函数的积或商的形式，我们要在基础函数成立的基础上加以讨论。
题型二、确定函数的单调区间例2：确定函数f （x ）=x 2-x 3的单调区间分析：根据求函数的单调区间的步骤，先求出f ’（x ），然后解不等式f ’（x ）>0，可得单调递增区间，再解不等式f ’（x ）<0得单调递减区间。
解：因为f ’（x ）=2x-3x 2，令2x-3x 2>0，解得320<<x 所以，函数f （x ）的单调递增区间为（0，32） 令2x-3x 2<0，解得x>32或x<0 所以，函数f （x ）的单调递减区间为（-∞，0），（32，+∞） 点评：使y ’>0的取值区间如为一个，则此区间为其单调区间，如为两个或两个以上，在各自区间上均为单调函数，在这里不能将这两个区间并起来。
如：此函数单调递减区间写成 （-∞，0）∪（32，+∞）就错了，这是一个取值范围，而在其上函数不具有单调性。
题型三、求参变量的范围例3：已知函数f （x ）=ax 3-x 2+x-5在（-∞，+∞）上是单调递增函数，求a 的取值范围。
导数应用-含参函数的单调性讨论
导数应用：含参函数的单调性讨论(一)一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。
二、典例讲解例1 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。
变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。
即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号。
一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。
变式练习2. 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。
对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。
导数在研究函数单调性中的应用
导数在研究函数单调性中的应用
导数在研究函数单调性中的应用在数学中，单调性是由函数的变化来衡量的，根据函数的变化特征可以判断函数的单调性特点。
若函数在某一区间上单调递增或单调递减，则称该函数为单调函数。
这种函数的单调性有着十分重要的意义，它可以帮助我们更好地理解数学问题，因此，单调性研究是数学中一个重要的课题。
在研究函数单调性时，导数可以发挥重要作用。
导数表示函数在某一点变化率，如果函数在某一区间上单调递增或单调递减，那么该函数在该区间上的导数都应该是正数或负数，而不能是零。
因此，导数可以用来判断函数的单调性特点。
另外，导数也可以用来求解函数的极值问题，极值是指函数在某一区间上的最大值或最小值，如果函数在某一点处的导数为零，这就表明该点处可能是函数的极值点，也就是说，该函数在该点可能是最大值或最小值。
同时，导数还可以用来判断函数在某一点处是最大值还是最小值，如果函数在某一点处的导数为正，表明该点处可能是函数的最大值，反之，函数在某一点处的导数为负，表明该点处可能是函数的最小值。
总之，导数在研究函数单调性中发挥着重要的作用，它可以用来判断函数的单调性特点，也可以用来求解函数的极值问题，同时还可以用来判断函数在某一点处是最大值还是最小值。
因此，导数在研究函数单调性中有着十分重要的作用，是必不可少的数学工具。
导数在函数单调性中的应用
导数在函数单调性中的应用
随着科学技术和互联网的进步，导数在函数单调性中的应用受到了人们的广泛
关注。
导数是求解函数单调性的关键，其扮演了重要的技术作用。
导数可以描述函数及其变化的趋势，更精确地了解函数的单调性。
在求解单调
函数的时候，可以借助导数来鉴定函数的最值问题，即函数有极大值和极小值时，导数一定为零。
当导数恒大于等于零时，函数为单调递增；当导数恒小于等于零时，函数为单调递减。
导数在函数单调性中的应用也使得函数单调性更容易理解。
当函数满足单调性
条件时，就可以得到函数的最大值和最小值，有利于准确反映函数的特点。
此外，导数在函数单调性中的应用还使得求解函数的过程更为简易。
根据导数
的定义，对导数进行进一步处理，就可以获得单调函数的解析解法。
总之，导数在函数单调性中的应用为求解函数单调性提供了有用的信息，有利
于提高函数求解的准确性和效率，从而在互联网技术的发展道路上发挥着重要的作用。
导数综合应用 研究函数单调性及应用 教案
导数综合应用— 研究函数单调性及应用教学目标：1:知识目标：（1）理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；（2）理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有着广泛的应用。
2:能力目标: （1）通过导数的单调性在上述具体问题中的应用，培养学生分析问题，解决问题的能力。
（2）进一步加强学生的分类讨论能力，以及变换与转化的数学能力。
教学重点：通过构造函数，利用导数解决不等式，方程的根，曲线交点个数问题。
教学难点：将有关不等式，曲线交点个数问题转化为函数问题。
教学过程一．知识回顾问题一 常见函数的导函数………………………………………….'0c ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a ='()x x e e ='1(log )log a a x e x ='1(ln )x x=问题二 导数主要有哪几方面的应用………………………………（1） 利用导数研究函数的单调性；（2） 利用导数求曲线的切线斜率和切线方程；（3） 利用导数求函数的极值和最值。
二．例题讲解例题1 求函数32()=f x x x x --的单调区间和极值，并画出其草图。
设计意图：通过求简单的三次函数的单调区间和极值，复习巩固导数在研究函数单调性中的作用，并使学生尽快进入学习状态，同时为下面的教学作铺垫。
问题1讨论曲线32()=f x x x x --与直线y=a 的交点个数。
问题2讨论曲线32()=f x x x -与()g x x a =+图像交点个数.设计意图 引导学生构造函数()()()x f x g x ϕ=-，则问题转化为三次函数 32()x x x x a ϕ=---与x 轴的交点个数。
可以通过函数的单调性与极值研究函数图象与x 轴的交点个数。
变式训练1：(2005全国高考)设a 为实数,函数()f x =32x x x a --+，当a 在什么X 围内取值时曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点.变式训练2 已知a 为实数，求当方程32x x x a --=有三个相异实数根时a 的取值X 围。
第16讲 导数在函数中的应用——单调性
点评：求可导函数 f(x)的单调区间的步骤： ①求函数 f(x)的定义域； ②求导数 f′(x)； ③解不等式 f′(x)＞0 和 f′(x)＜0； ④确定函数 y＝f(x)的单调区间：使 f′(x)＞0 的 x 的取值 区间为增区间，使 f′(x)＜0 的 x 的取值区间为减区间．
【变式探究】
考点二·已知函数的单调性求参数的范围
【例 2】 (2014·新课标卷Ⅱ)若函数 f(x)＝kx－ln x 在区间
(1，＋∞)上单调递增，则 k 的取值范围是
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
解：依题意得 f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立， 即 k≥1x在(1，＋∞)上恒成立． 令 g(x)＝1x，因为 x>1，所以 0<g(x)<1， 所以 k≥1，即 k 的取值范围为[1，＋∞)． 答案：D
1．(2017·新课标卷Ⅱ节选)设函数 f(x)＝(1－x2)ex.讨论 f(x) 的单调性．
解：f′(x)＝(1－2x－x2)ex. 令 f′(x)＝0 得 x＝－1－ 2或 x＝－1＋ 2. 当 x∈(－∞，－1－ 2)时，f′(x)<0； 当 x∈(－1－ 2，－1＋ 2)时，f′(x)>0； 当 x∈(－1＋ 2，＋∞)时，f′(x)<0. 所以 f(x)在(－∞，－1－ 2)，(－1＋ 2，＋∞)上单调递减， 在(－1－ 2，－1＋ 2)上单调递增．
1．“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调
递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：f′(x)>0 在(a，b)上成立⇒f(x)在(a，b)上单调递增； 反之，不一定成立，如 y＝x3 在(－1,1)上单调递增，但在 (－1,1)上 f′(x)＝3x2≥0.
导数的应用(一)---单调性
01 课前自助餐 02 授人以渔 03 课外阅读
课前自助餐
函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内_可_导__，若 f′(x)__>_ 0，则 f(x) 在这个区间内为增函数；若 f′(x)__<_ 0，则 f(x)在这个区间内为 减函数． (2)求可导函数 f(x)单调区间的步骤： ①确定 f(x)的_定__义_域__； ②求导数 f′(x)； ③令 f′(x)__>_ 0(或 f′(x) _<__0)，解出相应的 x 的范围； ④当_f′_(x_)_>_0___时，f(x)在相应区间上是增函数；当_f_′(_x)_<_0___ 时，f(x)在相应区间上是减函数．
【思路】
根据题意当x≥0时f′(x)＝1－
2 3
cos2x>0，又f(x)
是定义在R上的奇函数，则f(x)在定义域上单调递增，tan
2π 5
>tanπ4 ＝1，0<cos2π 5 <1，log3cos2π 5 <0，由函数的单调性可得出
答案．
【解析】 由题意知当x≥0时，f′(x)＝1－23cos2x>0，所以f(x)在
2．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x) 的图象可能是( C )
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x) 单调递增；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)单调递减；当x>x1 时，f′(x)>0，即函数f(x)单调递增．观察选项易知C正确．故选C.
授人以渔
题型一 求函数的单调区间(自主学习)
例1 求下列函数的单调区间．
导数的应用(单调性、极值、最值)
例5 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
通常用列表讨论。
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
2、若在 (a, b) 内 f '( x) 0，则 f ( x) 在 (a, b) 上单减.
例1 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 y ex 1, 且 D (, ).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
导数的应用-函数的单调性与极值和最值和应用
课本练习
思考,已知函数 在区间[1,5] 思考,已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间 在区间 内的最小值为2, 内的最小值为 ,求m的值 的值
导数的定义
导数的几何意义
导数
求导公式与法则
多项式函数的导数
函数单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
基本练习 1,曲线 ,曲线y=x4-2x3+3x在点 在点P(-1,0)处的切线的 在点 , 处的切线的 斜率为( 斜率为 ) (A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8 2,函数y=x100+2x50+4x25的导数为 ) ,函数 的导数为( (A)y'=100(x99+x49+x24) (B) y'=100x99 (C) y'=100x99+50x49+25x24 (D) y'=100x99+2x49
定义法 公式法
练习: 练习: 1,求下列函数的导数 ,
)(x (1)y=(x2-3x+2)( 4+x2-1) ) ( )( ) (2)y=(x/2+t)2 ) ( )
2,设f(x)=ax3-bx2+cx,且f /(0)=0, , ( ) , ) , f /(1)=1,f /(2)=8,求a,b,c ) , ) , , , 3,抛物线f(x)=x2-2x+4在哪一点处的 ,抛物线 ( ) 在哪一点处的 切线平行于x轴 在哪一处的切线与x轴的 切线平行于 轴?在哪一处的切线与 轴的 交角为45 交角为 0?
5, 求导的公式与法则 , 求导的公式与法则——
/
(C ) = 0 n / n 1 * ( x ) = nx (n ∈ N )
导数在研究函数中应用之函数单调性
导数在研究函数中应用之函数单调性函数的导数在研究函数的性质时有着广泛的应用，其中之一就是研究函数的单调性。
函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
在实际应用中，研究函数的单调性可以帮助我们分析函数的变化趋势，找出函数取值的最大值和最小值，进而解决一些实际问题。
首先，我们来回顾一下函数的导数定义：对于函数y=f(x)，如果在点x处导数存在，那么函数在点x处的导数就是函数在该点的切线斜率，用符号f'(x)表示。
注意，函数的导数可以看作是函数的变化率，因此函数在其中一区间上单调增加的条件就是函数在该区间上导数恒大于0；同理，函数在其中一区间上单调减少的条件就是函数在该区间上导数恒小于0。
在研究函数的单调性时，我们可以通过分析函数的导数来判断函数在其中一区间上的单调性。
具体来说，我们通过以下几个步骤来研究函数的单调性：1.首先，找出函数的定义域。
函数的定义域是指使得函数有意义的x的取值范围。
在研究函数单调性时，我们只关注函数的定义域内部的区间。
2.接下来，求出函数的导函数。
导函数是函数的导数函数，用来描述函数的变化趋势。
3.然后，解方程f'(x)=0，找出函数导数的零点。
当导数的值为0时，函数可能存在极值点，因此我们需要找出这些点。
4.根据求出的导数的零点，将函数的定义域划分成多个区间，在每个区间内分别讨论函数的单调性。
5.最后，根据导函数的正负变化情况判断函数在每个区间上的单调性。
导函数的正负变化可以通过判断导函数的符号来实现。
如果导函数在一些区间上始终为正，那么函数在该区间上单调增加；如果导函数在一些区间上始终为负，那么函数在该区间上单调减少。
通过以上分析，我们可以得出一个重要结论：函数在导数大于0的区间上单调增加，在导数小于0的区间上单调减少。
当然，导数为0的点除外，因为这些点可能是函数的极值点。
函数的单调性在实际应用中有着很重要的作用。
例如，我们在经济学中经常研究产品的生产与销售关系。
导数的应用函数的单调性
导数的应用函数的单调性1. 导数与函数的单调性在数学中，导数是函数的重要性质之一，它描述了函数在每个点的变化率。
函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势，可以是递增、递减或者保持不变。
通过导数的概念，我们可以研究函数的单调性。
在导数为正的区间上，函数递增；在导数为负的区间上，函数递减；在导数为0的点处，函数可能存在极值。
2. 导数与函数的单调性的关系函数的单调性与其导数之间存在重要的关系。
具体而言，对于一个可导函数，我们可以根据其导数的正负性来判断函数在哪些区间上单调。
•如果函数的导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间上严格递增；•如果函数的导数在某个区间上恒小于0，则函数在该区间上严格递减；•如果函数的导数在某个区间上恒大于等于0，则函数在该区间上递增；•如果函数的导数在某个区间上恒小于等于0，则函数在该区间上递减；•如果函数的导数在某个区间上恒等于0，则函数在该区间上保持不变。
通过以上性质，我们可以通过计算导数来研究一个函数在定义域上的单调性。
3. 导数的应用函数的单调性导数的应用函数的单调性是指通过对函数求导，来研究函数在定义域上的变化趋势。
具体而言，我们可以通过计算函数的导数来判断函数在哪些区间上是递增、递减或者保持不变。
下面通过几个例子来展示导数的应用函数的单调性。
3.1 一次函数的单调性考虑一个一次函数f(x)=ax+b，其中a和b是实数。
对函数f(x)求导，得到的导数为f′(x)=a。
根据导数的正负性，我们可以得出以下结论：•如果a>0，则函数f(x)在整个定义域上是递增的；•如果a<0，则函数f(x)在整个定义域上是递减的；•如果a=0，则函数f(x)在整个定义域上保持不变。
3.2 二次函数的单调性考虑一个二次函数f(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c是实数，且a eq0。
对函数f(x)求导，得到的导数为f′(x)=2ax+b。
根据导数的正负性，我们可以得出以下结论：•如果a>0，则函数f(x)在 $(-\\infty, -\\frac{b}{2a})$ 和$(\\frac{-b}{2a}, +\\infty)$ 区间上是递增的，而在 $\\left(-\\frac{b}{2a}, \\frac{-b}{2a}\\right)$ 区间上是递减的；•如果a<0，则函数f(x)在 $(-\\infty, -\\frac{b}{2a})$ 和$(\\frac{-b}{2a}, +\\infty)$ 区间上是递减的，而在 $\\left(-\\frac{b}{2a}, \\frac{-b}{2a}\\right)$ 区间上是递增的。
导数的应用1——函数的单调性
f '( x) <0; 当x>4,或x<1时， f '( x) =0.则函数f(x)图象的大致 当x=4,或x=1时， 形状是( D ）。
y
y f ( x)
4 x
y
y f ( x)
4 x
y
y
y f ( x)
o1
y f ( x)
1
o1
o 1
4
x o
4
x
A
B
C
D
练习1
自学《智力报》P7下文
2 2 3 3 9 x1 x2 x1x2 0 2 2 2
2 2 2( x1 x2 ) x1 x 2 x1x2 3x1 3x2 2 2
∴ f ( x1) f ( x2 ) 0
f '( x ) 0 f ( x )在(a, b)内单调递减
结论：导数与单调性关系
f '( x ) 0
f ( x )在(a, b)内单调递增
f '( x ) 0 f ( x )在(a, b)内单调递减
可用于判断函数单调性，或者证明函数单调性 或者求函数单调区间
应用一：确定函数单调区间 例题1、已知导函数 f '( x) 的下列信息： f '( x) >0; 当1<x<4时，
1 3a
)( x
1 3a
) ,易知此时f(x)
1 3a
,
1 3a
).
1 1 )、 ( , ). 单调递减区间: (, 3a 3a
应用五：画函数大致图象
例题11 画出函数f(x)=2x3－6x2+7的大致图象
3.2导数在函数中的应用(单调性)
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 3.2导数在函数中的应用（单调性）考纲定位 会利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.【考点整合】1、导数与函数单调性的关系：（设()f x 在区间(,)a b 有定义，且存在导函数()f x '）单调递增单调递减 在某区间(,)a b 内，有()f x ' 0在某区间(,)a b 内，有()f x ' 0 【典型例题】一、判断函数的单调性1、利用导数判断下列函数的单调性：（1）33y x x =+ （2）4,[2,)y x x x =+∈+∞二、求函数的单调区间2、求下列函数的单调区间：（1）3211232y x x x =+- （2）232ln y x x =-小结：利用导数判断函数单调性的步骤： ； ； ； .三、判断含有参数的函数的单调性3、已知函数3()1f x x ax =--.（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的范围；（2）若函数()f x 在(-1,1)上单调递减，求实数a 的范围；四、高考真题演练4、（2008 湖北）若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+∞上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A.[1,)-+∞ B.(1,)-+∞ C.(,1]-∞- D.(,1)-∞-5、（2009 江苏）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .6、（2011 江西）设3211()232f x x x ax =-++.若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围.7、（2010 全国）设函数2()1x f x e x ax =---.（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，有()0f x ≥，求a 的取值范围.【作业】《胜券在握》P2页 第题【课后反思】。
导数应用--含参数函数单调性分析 精品教案
《导数应用—含参函数的单调性判断》教学设计一、课题背景导数是高中数学的重要概念之一，也是高中数学过渡到高等数学的桥梁，因此高考试题中对于导数这一模块倍加“青睐”，在与导数相关问题的求解中常伴随有参数，要解题，就必须对参数进行讨论，那么参数怎么讨论，怎么去分类，分类的依据又是什么，这是我们导数应用教学的一块难点所在。
本课时的设计主要是要解决含有参数的函数单调性的确定，意在巩固、提升学生分类讨论以及整合的能力技巧，把策略性知识化身高级规则知识，由此突破此难点。
二、学情分析学生对于函数的单调性的求解有了一个基本的认识，但还是存在一系列的问题：1、作答不规范：忽略定义域。
2、对于参数的分类缺乏方向，体现在乱分类，怕分类。
三、教学目标1、帮助学生正确理解利用导数判断函数单调性的原理；2、解决函数的求导后转化为含参的一元二次不等式的单调性问题，帮助学生掌握不同类型下的不同处理方法；3、解决在分类讨论时如何确定分类讨论标准、如何开展分类讨论以及分类后的整合，培养学生的转化与化归的数学思想。
四、教学重难点教学重点：能够对含参数函数的单调性进行讨论教学难点：分类谈论的标准的确定五、教学过程1、巡回导学•静心独学导数与函数单调性的关系：。
在该区间内为常值函数那么若在该区间内为减函数；那么若在该区间内为增函数；那么若在某个区间内可导，一般地，设函数)(,0)()(,0)()(,0)()(x f x f x f x f x f x f x f ='<'>'②的单调区间。
求函数x x x f ln )(-=设计意图:强调利用导数求函数单调性的一般步骤，并指出研究单调性、极值、最值等问题都必须先求定义域。
生：自行解决该例题。
师：给出正确答案，引导学生复习基础知识。
2、解疑导惑•群思互学——延伸导思•展示共学的单调区间。
求：已知函数例)(),(1)(123x f R a x ax x x f ∈+++=生：小组合作探究，给出展示。
导数的应用函数的单调性与凹凸性
导数的应用函数的单调性与凹凸性在微积分学中，导数是研究函数变化率的重要工具。
除了可以用来求函数的变化率外，导数还可以用来探讨函数的单调性和凹凸性。
本文将详细介绍导数在分析函数的单调性和凹凸性时的应用。
一、导数与单调性在数学中，函数的单调性指的是函数在其定义域内是否具有递增或递减的趋势。
导数可以帮助我们判断函数的单调性。
1.1 单调递增的判断对于一个定义在区间 (a, b) 上的函数 f(x)，如果在 (a, b) 内任意两个不同的数 x₁和 x₂满足 f'(x₁) ≤ f'(x₂)，那么函数 f(x) 在区间 (a, b) 上是单调递增的。
1.2 单调递减的判断对于一个定义在区间 (a, b) 上的函数 f(x)，如果在 (a, b) 内任意两个不同的数 x₁和 x₂满足 f'(x₁) ≥ f'(x₂)，那么函数 f(x) 在区间 (a, b) 上是单调递减的。
通过上述判断条件，我们可以利用导数来确定函数的单调性。
二、导数与凹凸性凹凸性是指函数图像的弯曲程度，也可以理解为函数的曲率。
通过导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。
2.1 凹函数的判断对于一个定义在区间 (a, b) 上的函数 f(x)，如果在 (a, b) 内任意一点x 满足f''(x) ≤ 0，那么函数 f(x) 在区间 (a, b) 上是凹函数。
2.2 凸函数的判断对于一个定义在区间 (a, b) 上的函数 f(x)，如果在 (a, b) 内任意一点x 满足f''(x) ≥ 0，那么函数 f(x) 在区间 (a, b) 上是凸函数。
根据上述判断条件，我们可以利用导数的二阶导数来确定函数的凹凸性。
三、实例分析为了更好地理解导数在分析函数单调性和凹凸性时的应用，我们来分析一个具体的例子。
考虑函数 f(x) = x³ - 3x² + 2x，我们需要判断函数 f(x) 的单调性和凹凸性。
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应用一：确定函数的图像大致形状
例题1、已知导函数 f '( x ) 的下列信息： 当1<x<4时，f '( x ) >0;
当x>4,或x<1时，f '( x ) <0;
当x=4,或x=1时，f '( x ) =0.则函数f(x)图象的大致
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研 究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数 的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数 的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的 了解.正是因科学家们对数量的变化规律进行了长期的 研究,导致了微积分的创立.
本节课,我们就来探究函数的单调性与导数的关 系.
5、导数的四则运算法则
(uv)uv (uv)uvuv
u' v
u'vu'v
v2
(v0)
6、复合函数的导数
fx ((x ) )f( u )(x )
7、对数函数的导数
（1） (lnx) 1 x
8、指数函数的导数
（2）
(logax)
1 xlna
(ex)' ex
(ax)'ax lna
2020/9/15
形状是( D ）。
y
y f (x)
y
y
y
y f (x) y f (x)
y f (x)
o1 4 x o 1 4 x o1 4 x o 1 4 x
A
B
C
D
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
练习1
已知函数 f (x的) 导函数 f (x的) 图像
如图所示，那么函数 f 的(x图) 像最
有可能的是 下图中的( A ).
x
-2 o 2 x
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
应用二：证明函数单调性或求单调区间
问题 1.求证:函数 f ( x) 法一:可用定义证明.
x2
2x
3
在 1,
上是增函数. 哪
由证明定：义任证取明x1函<x2数∈的1,单调 ，性的一般步骤：
(1)f设(x1x)－1、f(xx22)是=（给x1定2－区2x间1－的3）任－意（两x22个－值2x2,－且3x）1<x2.
y
2020/9/15
a 0b
若有错误请批评指正谢谢！
cx
预备知识
2．函数的单调性
如果函数 y＝f(x) 在某个区间是增函数或 减函数，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间具 有（严格的）单调性，这一区间叫做 y＝f(x) 的 单调区间．
在单调区间上增函数的图象是上升的，减 函数的图象是下降的．
2020/9/15
3、导函数的定义
f(x)limf(xΔ x)f(x)
Δ x 0
Δ x
4、四个常见函数的导数公式
公式1 C 0（C 为常数） 公式2 ( xn ) n xn1(n Q)
公式3
2020/9/15
(sin x) cos x. 公式4 (cos x) sin x.
若有错误请批评指正谢谢！
课前复习
y
点 ( x, f ( x)) 处的切线的
斜率.(如图)
f (x) 0
f (x) 0
a
0b
cx
观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的大
小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小,你
发现了什么规律? 2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
我们发现,当曲线上升时, f ( x) 0 ;
当曲线下降时, f ( x) 0 , y
反之也成立.
导数的符号显示了函
数值变化的增减情况a.
f (x) 0若有限在个某点个f使区(xf间)’(x上)0=有0,
0
其f b’(x余)>0的，则点c函数恒
有
f(xx)
仍为增函数
函数的单调性与导数的符号有如下关系: 在 某 个 区 间 (a ,b) 内 , 如 果 f ( x) 0 , 那 么 函 数 y f ( x) 在这个区间内单调递增；如果 f ( x) 0 ，那么 函数 y f ( x) 在这个区间内单调递减．
y x2
函数 单调区间
f (x) 符号
y x3 增区间 R
0
y 1
x
减区间
减区间
(,0) (0,)
—
—
2020/9/1这5 里是具体函数，若那有错么误请一批评般指正情谢谢况！ 是否满足呢？
导数的几何意义:
导数 f (x) lim f (x x) f (x) 的几何意义是:
x0
x
函数 y f ( x) 的图象在
若有错误请批评指正谢谢！
预备知识
3 . 单调函数图像特征
直观地来看,如图从a到b曲线是上升的,说函数f(x) 在区间(a,b)上是增函数;
从b到c曲线是下降的,
y
说函数f(x)在区间(b,c)上
是减函数.
y f(x)
a
0b
cx
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
探究一：函数单调性与导数符号的关系
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
导数的应用 —函数的单调性
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
课前复习
1、函数f(x)在点x0处的导数定义
f
(
x0
)
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
2、某点处导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线y=f(x)在点 M(x0,y0)处的切线的斜率.
f (x)
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
练习2
已知函数y=xf’(x)的图像如左图所示，其中f’(x)是
函数f(x)的导函数，则函数f(x)的图象大致是(C ).
y
A 2 1
-2 -1 o 1 2 3 x
-2
y
y
2
Bห้องสมุดไป่ตู้
1
-1 o 1 2 x
-2
y
C4
4D
2
2
2020/9/15
-2 1 若有错误请批评指正o谢谢！
若有错误请批评指正谢谢！
预备知识
1．增函数、减函数的定义
一般地，设函数 f(x) 的定义域为 I：如果对 于属于定义域 I 内某个区间上的自变量任意两个 值 x1，x2，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么 就说 f(x)在这个区间上是增函数．
当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．
2020/9/15
t 0 ,a ,h (t)递h 增 (t) 0， 若有错t误请 批评a 指正,谢b 谢！,h (t)递h 减 (t) 0，
y 1
y 2x
函数
yx
y x2
单调区间
增区间 R
增区间
(0,)
f (x) 符号
2020/9/15
+
+
若有错误请批评指正谢谢！
减区间
(,0)
—
y 3x2