8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
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B
B
B2r 0I B 0 I
2 r
长圆柱形载流导线外的 磁场与长直载流导线激
发的磁场相同！
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o
返回
退R 出
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B d l B2r
当 r R ，且电流均匀
分布在圆柱形导线表面层时
I
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Q
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当 r R ，且电流均匀
分布在圆柱形导线截面上时
B2r
0
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B d l Bdl cos 0
B dl B 2r 0I
当ｒ>Ｒ时
B 0 I 2 r
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B
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
I
设圆柱电流呈轴对称分布， 导线可看作是无限长的，磁场对 圆柱形轴线具有对称性。
B d l B2r
当 rR
r
Q
IB
Rr P
安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒 定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安 培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。
静电场的高斯定理说明静电场为有源场，环 路定理又说明静电场无旋；稳恒磁场的环路 定理反映稳恒磁场有旋，高斯定理又反映稳 恒磁场无源。
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静电场是有源无旋场 稳恒磁场无源有旋场
对于一闭合曲面，一般规定取向外的指向为正 法线的方向，这样，磁感应线从闭合曲面穿出处 的磁通量为正，穿入处的为负。
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§8-4 稳恒磁场的高斯定理与
安培环路定理
一、稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
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3.载流螺绕环内的磁场
设环上线圈的总匝数为N，电
流为I。
由于对称性，环内
r1
磁场的磁感应线都是 一些同心圆。
O r2
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P
在同一条磁感应线上各点磁感应线强度的量值
相等，方向处处沿圆的切线方向。
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3.载流螺绕环内的磁场
设环上线圈的总匝数为N，电
§8-4 稳恒§磁8场-的4高斯稳定恒理与磁安场培的环路高定斯理定理与 安培环路定理
对比 静电场的基本规律为高斯定理和电场强度的
环路定理； 稳恒电流产生的磁场也可总结出磁高斯定理
和安培环路定理两个基本规律。
在8-2节，讨论了磁感应线和磁通量描绘磁场
的方法，通过有限曲面S的磁r 通r量可表达为
s BgdS
LB dl 0 I
物理意义：
B 空间所有电流共同产生的磁场
I3
L 在场中任取的一闭合线，任 意规定一个绕行方向 dl L上的任一线元 I 空间中的电流
I2
I1
r
dl
L
I 环路所包围的所有电流的代数和
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几点注意：
任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。
环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所 有电流在空间产生磁场的叠加。
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三、安培环路定理的应用
应用安培环路定理的解题步骤： (1)分析磁场的对称性；
(分2)易过于场计点算选：择B适的当量的值路恒径定，，使B与得dlB的沿夹此角环处路处的积相
等,一般为900或00 ； (3)求出环路积分；
(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的 正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强
A
B
P
D
C
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2.载流长直螺线管内的磁场
设螺线管长度为l,共有N匝。
B d l
B d l
B0
Bdl AB
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B d l B d l
CD DA
I
B d l B AB AB
B
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I
A
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L
L1
L2
0I ( d d ) 0
2 L1
L2
表明：闭合曲线不包围电流时，磁感应强度矢
量的环流为零。
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上述结论虽是从长直载流导线磁场得来，却具普遍性
安培环路定理
在磁场中，沿任一闭合曲线 B 矢量的线积
分（也称 B矢量的环流），等于真空中的磁导
率0乘以穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲
B dS 0
S
高斯定理的积 分形式
穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零，这就 是稳恒磁场的高斯定理。
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对比 静电场的高斯定理与磁场的高斯定理
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Ò E
s
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0
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Ò B d S 0 s
激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或尾 闾，所以静电场是属于发散式的场，可称为有源 场；而磁场的磁感应线无头无尾，恒是闭合的， 所以磁场可称作无源场。
即：右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的 方向一致时, 拇指的指向即为电流的正方向。
举例说明：
若有三个电流穿过环路
+I I
I1
I2
I3
l
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右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致 时, 拇指的指向即为电流的正方向。
举例说明：
若有三个电流穿过环路
则有：
+I 1
+I 2 -I 3
静电场 有源场 磁 场 无源场
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激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或尾闾， 所以静电场是属于发散式的场，可称作有源场；而 磁场的磁感线无头无尾，恒是闭合的，所以磁场可 称作无源场。
在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电 荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反 映了静电场是有源场。而在磁场中,磁力线的连续性 表明,像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场 是无源场。
B
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P
当 r R B2r 0I
B
B 0 I
2 r
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
(1) 设圆柱电流均匀分布 在圆柱形导线表面层，导线 可看作是无限长，则磁场对 圆柱形轴线具有对称性。
B d l Bdl cos 0
B
B dl B 2r
当 r R B2r 0
B
B
B
0 2
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在圆柱形载流导线内部， 磁感应强度和离开轴线
的距离r成正比！
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R
r
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2.载流长直螺线管内的磁场
设螺线管（密绕）长度为l,共有N匝。
管内中间部分的磁场可以看 成是无限长螺线管内的磁场，因 此是均匀磁场。
管内磁感应线是一系列与轴 线平行的直线。
I
管外磁场很弱，可以忽略不计。
I
R rQ B
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P
B
B0
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(2)如圆柱电流均匀分布在整 个横截面上，则磁场对圆柱形 轴线仍具有对称性。
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当ｒ＜Ｒ时
I
I
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r
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(2)如圆柱电流均匀分布在整 个横截面上，则磁场对圆柱形 轴线仍具有对称性。
l B .dl =μ 0 (I 1+I 2 I 3 )
l
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右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致 时, 拇指的指向即为电流的正方向。
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I2
I3
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I I
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l B dl o (I1 I2)
l B dl o ( 2I I) oI
l B dl o I内
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度 B的大小。
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
(1) 设圆柱电流均匀分布在圆柱形导 线表面层，导线可看作是无限长，则 磁场对圆柱形轴线具有对称性。即磁 感线是在垂直轴线平面内以轴线为中
心的同心圆 。
B d l Bdl cos 0
I
R rQ B
B dl B 2r
1913年英国物理学家狄拉克曾从理论上预言磁 单极子的存在，但至今未被观察到。
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二、安培环路定理
在恒定电流的磁场中，磁感应强度 B 矢量沿任 一闭合路径 L的线积分（即环路积分）,等于什么?
1. 长直电流的磁场
I
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在垂直于导线的平面内任 作的环路上取一点，到电流的
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L
L
L B cos dl 2 0I d
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B
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B
L
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结果为负值！
若认为电流为-I 则结果可写为
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L
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如果闭合曲线不在垂直于
导线的平面内：
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B
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B
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结果一样！
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表明：磁感应强度矢量的环流与闭合 曲线的形状无关，它只和闭合曲线内所 包围的电流有关。
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环路不包围电流
Q
I
L2
L1
O
P
结果为零！
B • dl B d l B d l
面的各恒定电流的代数和。
LB dl 0 I
I I为正值
电流I的正负规定：积 分路径的绕行方向与电流 成右手螺旋关系时，电流I 为正值；反之I为负值。
绕行方向 I
I为负值
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电流正负符号按右手螺旋定则： 电流和回路绕行方向构成右旋关系的取正值，
反之取负值。若电流在环路外面，则不计。
距离为r，磁感应强度的大小：
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由几何关系得：
B
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如果沿同一路径但改变绕
行方向积分：
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流为I。
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选择进入下一节 §8-0 教学基本要求 §8-1 恒定电流 §8-2 磁感应强度 §8-3 毕奥-萨伐尔定律 §8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理 §8-5 带电粒子在电场和磁场中的运动 §8-6 磁场对载流导线的作用 §8-7 磁场中的磁介质 §8-8 有磁介质时的安培环路定理 磁场强度 §8-9 铁兹质
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长圆柱形载流导线外的 磁场与长直载流导线激
发的磁场相同！
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当 r R ，且电流均匀
分布在圆柱形导线表面层时
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当 r R ，且电流均匀
分布在圆柱形导线截面上时
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
I
设圆柱电流呈轴对称分布， 导线可看作是无限长的，磁场对 圆柱形轴线具有对称性。
B d l B2r
当 rR
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IB
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安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒 定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安 培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。
静电场的高斯定理说明静电场为有源场，环 路定理又说明静电场无旋；稳恒磁场的环路 定理反映稳恒磁场有旋，高斯定理又反映稳 恒磁场无源。
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静电场是有源无旋场 稳恒磁场无源有旋场
对于一闭合曲面，一般规定取向外的指向为正 法线的方向，这样，磁感应线从闭合曲面穿出处 的磁通量为正，穿入处的为负。
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§8-4 稳恒磁场的高斯定理与
安培环路定理
一、稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
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3.载流螺绕环内的磁场
设环上线圈的总匝数为N，电
流为I。
由于对称性，环内
r1
磁场的磁感应线都是 一些同心圆。
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在同一条磁感应线上各点磁感应线强度的量值
相等，方向处处沿圆的切线方向。
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3.载流螺绕环内的磁场
设环上线圈的总匝数为N，电
§8-4 稳恒§磁8场-的4高斯稳定恒理与磁安场培的环路高定斯理定理与 安培环路定理
对比 静电场的基本规律为高斯定理和电场强度的
环路定理； 稳恒电流产生的磁场也可总结出磁高斯定理
和安培环路定理两个基本规律。
在8-2节，讨论了磁感应线和磁通量描绘磁场
的方法，通过有限曲面S的磁r 通r量可表达为
s BgdS
LB dl 0 I
物理意义：
B 空间所有电流共同产生的磁场
I3
L 在场中任取的一闭合线，任 意规定一个绕行方向 dl L上的任一线元 I 空间中的电流
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几点注意：
任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。
环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所 有电流在空间产生磁场的叠加。
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三、安培环路定理的应用
应用安培环路定理的解题步骤： (1)分析磁场的对称性；
(分2)易过于场计点算选：择B适的当量的值路恒径定，，使B与得dlB的沿夹此角环处路处的积相
等,一般为900或00 ； (3)求出环路积分；
(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的 正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强
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2.载流长直螺线管内的磁场
设螺线管长度为l,共有N匝。
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表明：闭合曲线不包围电流时，磁感应强度矢
量的环流为零。
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上述结论虽是从长直载流导线磁场得来，却具普遍性
安培环路定理
在磁场中，沿任一闭合曲线 B 矢量的线积
分（也称 B矢量的环流），等于真空中的磁导
率0乘以穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲
B dS 0
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高斯定理的积 分形式
穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零，这就 是稳恒磁场的高斯定理。
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对比 静电场的高斯定理与磁场的高斯定理
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激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或尾 闾，所以静电场是属于发散式的场，可称为有源 场；而磁场的磁感应线无头无尾，恒是闭合的， 所以磁场可称作无源场。
即：右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的 方向一致时, 拇指的指向即为电流的正方向。
举例说明：
若有三个电流穿过环路
+I I
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右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致 时, 拇指的指向即为电流的正方向。
举例说明：
若有三个电流穿过环路
则有：
+I 1
+I 2 -I 3
静电场 有源场 磁 场 无源场
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激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或尾闾， 所以静电场是属于发散式的场，可称作有源场；而 磁场的磁感线无头无尾，恒是闭合的，所以磁场可 称作无源场。
在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电 荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反 映了静电场是有源场。而在磁场中,磁力线的连续性 表明,像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场 是无源场。
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
(1) 设圆柱电流均匀分布 在圆柱形导线表面层，导线 可看作是无限长，则磁场对 圆柱形轴线具有对称性。
B d l Bdl cos 0
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在圆柱形载流导线内部， 磁感应强度和离开轴线
的距离r成正比！
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2.载流长直螺线管内的磁场
设螺线管（密绕）长度为l,共有N匝。
管内中间部分的磁场可以看 成是无限长螺线管内的磁场，因 此是均匀磁场。
管内磁感应线是一系列与轴 线平行的直线。
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管外磁场很弱，可以忽略不计。
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(2)如圆柱电流均匀分布在整 个横截面上，则磁场对圆柱形 轴线仍具有对称性。
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(2)如圆柱电流均匀分布在整 个横截面上，则磁场对圆柱形 轴线仍具有对称性。
l B .dl =μ 0 (I 1+I 2 I 3 )
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右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致 时, 拇指的指向即为电流的正方向。
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l B dl o ( 2I I) oI
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度 B的大小。
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
(1) 设圆柱电流均匀分布在圆柱形导 线表面层，导线可看作是无限长，则 磁场对圆柱形轴线具有对称性。即磁 感线是在垂直轴线平面内以轴线为中
心的同心圆 。
B d l Bdl cos 0
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1913年英国物理学家狄拉克曾从理论上预言磁 单极子的存在，但至今未被观察到。
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二、安培环路定理
在恒定电流的磁场中，磁感应强度 B 矢量沿任 一闭合路径 L的线积分（即环路积分）,等于什么?
1. 长直电流的磁场
I
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在垂直于导线的平面内任 作的环路上取一点，到电流的
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结果为负值！
若认为电流为-I 则结果可写为
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如果闭合曲线不在垂直于
导线的平面内：
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结果一样！
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表明：磁感应强度矢量的环流与闭合 曲线的形状无关，它只和闭合曲线内所 包围的电流有关。
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环路不包围电流
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结果为零！
B • dl B d l B d l
面的各恒定电流的代数和。
LB dl 0 I
I I为正值
电流I的正负规定：积 分路径的绕行方向与电流 成右手螺旋关系时，电流I 为正值；反之I为负值。
绕行方向 I
I为负值
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电流正负符号按右手螺旋定则： 电流和回路绕行方向构成右旋关系的取正值，
反之取负值。若电流在环路外面，则不计。
距离为r，磁感应强度的大小：
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由几何关系得：
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如果沿同一路径但改变绕
行方向积分：
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流为I。
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r1 O
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B 0 NI r2 r1 r 2r
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选择进入下一节 §8-0 教学基本要求 §8-1 恒定电流 §8-2 磁感应强度 §8-3 毕奥-萨伐尔定律 §8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理 §8-5 带电粒子在电场和磁场中的运动 §8-6 磁场对载流导线的作用 §8-7 磁场中的磁介质 §8-8 有磁介质时的安培环路定理 磁场强度 §8-9 铁兹质