8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
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2安培环路定理
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
《大学物理》稳恒磁场
42
第四节 安培环路定理
Bdl L
0 (I1 I2 )
（0 I1
I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1
问（1）B 是否与回路 L 外电流有关？
（2）若
LB d l 0 ,是否回路 L 上各处
B
0
？
是否回路 L 内无电流穿过？
43
第四节 安培环路定理
安培环路定理的应用
例题 无限长载流圆柱体的磁场
33
第三节 磁通量 磁场的高斯定理
例题 如图载流长直导线的电流为 I, 试求通过矩形面积的磁通量.
B
I
l
d1 d2
o
x
解
B 0I
2π x
dΦm
BdS
0I
2πx
ldx
Φm
B dS 0Il
S
2π
d2 dx x d1
Φm
0 Il
2π
ln
d2 d1
34
第三节 磁通量 磁场的高斯定理 磁场的高斯定理
d
I
B1
r1
dl1
B2 dl2
r2
l
B1
0I ，
2 π r1
B2
0 I
2 π r2
B1
dl1
B2
dl2
0 I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0
l B d l 0
40
第四节 安培环路定理
多电流情况
I1
I2
I3
l
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
第13章
第四节 安培环路定理
Bdl L
0 (I1 I2 )
（0 I1
I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1
问（1）B 是否与回路 L 外电流有关？
（2）若
LB d l 0 ,是否回路 L 上各处
B
0
？
是否回路 L 内无电流穿过？
43
第四节 安培环路定理
安培环路定理的应用
例题 无限长载流圆柱体的磁场
33
第三节 磁通量 磁场的高斯定理
例题 如图载流长直导线的电流为 I, 试求通过矩形面积的磁通量.
B
I
l
d1 d2
o
x
解
B 0I
2π x
dΦm
BdS
0I
2πx
ldx
Φm
B dS 0Il
S
2π
d2 dx x d1
Φm
0 Il
2π
ln
d2 d1
34
第三节 磁通量 磁场的高斯定理 磁场的高斯定理
d
I
B1
r1
dl1
B2 dl2
r2
l
B1
0I ，
2 π r1
B2
0 I
2 π r2
B1
dl1
B2
dl2
0 I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0
l B d l 0
40
第四节 安培环路定理
多电流情况
I1
I2
I3
l
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
第13章
磁场的高斯定理
惟一的一次 从宇宙射线中捕捉到磁单极子的实验记录：
斯坦福大学Cabrera等人的研究组利用超导 线圈中磁通的变化测量来自宇宙的磁单极子。
基本装置:
有磁单极子穿过时，感应电流
qm
超导线圈 Φ2Φ0
I
电感 L
I 2Φ0 / L
I
8Φ 0 L
t
1982.2.14,13:53
qm
超导线圈 Φ2Φ0
I
电感 L
y
Idl rˆ
R I
o
Idl r组成的平面
r
dB
x
.d
d BPx
B
yz
x
z
BxIdBsinI 40 πIrd2lR r 4π 0Ir3R Idl
0 IR 2 2r3
由对称性可知 每一对对称的电流元在P点的 磁场垂直分量相互抵消 所以
y
Idl rˆ
R I
o
Idl r组成的平面
r
dB
x
.d
一、磁场 电流 或运动电荷周围既有电场 又有磁场 磁场的宏观性质： 1）对运动电荷(或电流)有力的作用 2）磁场有能量 二、磁感强度 运动电荷在电磁场中受力：
fqE q B
洛仑兹力公式
§3 磁场的高斯定理 一、磁力线 磁通量 二、 磁通连续原理
§3 磁场的高斯定理 一、磁力线 磁通量
I
1.磁力线的特征 无头无尾 闭合曲线
若考虑方向，则可写成
B
0 pm
2πr3
结论：磁偶极子的场沿磁矩方向
4）电磁学中物质分子的模型
3) 平面载流线圈的磁矩 磁偶极子
定义平面载流线圈的磁矩 Pm IS
如果 场点距平面线圈的距 离很远，这样的平面载流
稳恒磁场
二、电流的磁效应 二、电流的磁效应
I
S N •磁针和磁针 •在磁场 中运动的 电荷受到 的磁力 •磁铁与载流导 线的相互作用 S N S N
•电流的磁效应
I I
•载流导 线与载流 导线的相 互作用
三、磁场 三、磁场
1、概念
在运动电荷（或电流）周围空间存在的一种特殊形式的物质。
2、磁场的特性
•磁场对磁体、运动电荷或载流导 线有磁场力的作用； •载流导线在磁场中运动时，磁场 力要作功——磁场具有能量。
∧
Idl
r
R Idl’ θ
dB ⊥
dB dB//
P dB’
μ0 Idl sin(d l r ) μ0 Idl dB = = sin 90° 4π r2 4π r 2
分解 dB
dB ⊥ = dB cos θ
dB// = dB sin θ
电流对称
2
∫ dB
⊥
=0
μ0 I B = ∫ dB // = 4π
第八章 第八章
稳恒磁场 稳恒磁场
核心内容 基本概念：磁感应强度 磁矩 磁通量 磁场强度 基本规律：毕奥-萨伐尔定律 磁场高斯定理和安培 环路定理 安培定律 洛仑兹力 •静止电荷——静电场 •运动电荷——电场、磁场 •稳恒电流产生的磁场不随时间变化——稳恒磁场
一、电流 一、电流
8.1 电流 current
线圈所包围的面积
I
en
pm
其中 e n 与电流环绕方向符合右手螺旋法则
μ 0 IπR μ 0 pm B = (1)当x=0时,有 BO = = = 3 3 2( R 2 + x 2 ) 3 2 2R 2πR 2πR
2
μ0 I
高斯定理和安培环路定理
r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
dI ' dI
P
B0
例 无限大平面电流的磁场．有一无限大的导体平面，均匀地 流着自下而上的面电流．设其电流线密度(垂直于电流线的单 位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B．
2、任意两条磁力线在空间不相交。 3、磁力线与电流方向之间可以用右手定则表示。
二.磁通量
磁场的高斯定理
静电场： e E dS qi / 0 S 磁 场： B dS ?
B dN dS
d B dS BS cos
m
通过面元的磁力线条数 —— 通过该面元的磁通量
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内，电流I穿 过L. 设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I 成右螺旋）
载流长直导线的磁感强 度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
讨论 (1) 积分回路方向与电流方向呈右手螺旋关系 满足右螺旋关系时 I i 0 反之 I i 0
(2) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想 的一段载流导线不成立
例如 图中载流直导线, 设 θ 1 θ 2 / 4 则 L 的环流为:
B dl
L
I
2
L 4a cos1 cos 2 dl
2 2 2a
0 I
a
0 I
4a
2
0 2I
2
L
0 I
第六章 第二讲 磁场的高斯定理和安培环路定理
Bdl
L
0 I i 证明略.
说明：1)式中各量的含义 B～环路上各点的磁感强度， 由环路内、外所有电流产生. Ii ～穿过环路的电流的代数和.
I1
I2 I 3
I1
L
I1
0 I1 I 2） B d l （
L
注意： I 的正负的确定方法：先任选L 的绕向，
D
0 Ib ra [( a r ) ln a] 2a r
5
§6.4 安培环路定理 一、安培环路定理 静电场的环路定理
B
的环流 B d l ＝？ L
环路
等于 0 乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和. 说明：静电场是保守场
在真空的稳恒磁场中，磁感强度 沿任一闭合路径的积分值， B E d l 0 的环流 E L
真空中的安培环路定理 L B0 d l 0 I i 介质中: B r B0 0 r B d l r
二、 磁介质中的安培环路定理
传导电流
包括真空 定义：磁场强度矢量 H H d l I 0 ------磁介质中的安培环路定理.
H=0
B= H=0
H d l =H2r
L
(2) R1< r < R2 过场点 P2 作图示环路.
I 2 2 ( r R 1 ) 2 2 ( R2 R1 )
俯视图 P2
(r 2 R12 ) H 2 2( R2 R12 ) r I
r
B= H=
L
L
B=0 (2) R1< r < R2 ,
R2
稳恒磁场的环路定理表达式
稳恒磁场的环路定理表达式稳恒磁场的环路定理是电磁学中的重要定理之一，它描述了磁场沿闭合回路的总磁通量等于该回路所包围的电流的代数和的一半。
这个定理的数学表达式如下：∮B·dl = μ₀I其中，∮B·dl代表磁场B沿闭合回路的环路积分，μ₀代表真空中的磁导率，I代表回路所包围的电流。
稳恒磁场的环路定理是基于对磁感应强度的定义和安培环路定理的推导而来的。
根据安培环路定理，磁感应强度B沿闭合回路的环路积分等于该回路所包围的电流的代数和。
但是，当磁场是一个稳恒磁场时，即磁场随时间不变，我们可以进一步推导出稳恒磁场的环路定理。
对于一个稳恒磁场，磁感应强度B是空间中的矢量场，可以表示为B = B·n，其中B是磁场的大小，n是磁场的方向。
当磁场是一个稳恒磁场时，磁感应强度B是一个常矢量，与时间无关。
根据磁场的定义，磁感应强度B是由电流所产生的。
因此，我们可以将磁感应强度B表示为B = μ₀I/(2πr)，其中r是距离电流所在位置的距离。
这个表达式描述了磁感应强度B随距离r的变化规律。
根据安培环路定理，磁感应强度B沿闭合回路的环路积分等于该回路所包围的电流的代数和。
因此，我们可以得到稳恒磁场的环路定理的表达式：∮B·dl = μ₀I这个表达式说明了磁场沿闭合回路的总磁通量等于该回路所包围的电流的代数和的一半。
换句话说，稳恒磁场的环路定理可以用来计算磁场沿闭合回路的总磁通量。
稳恒磁场的环路定理在电磁学中有着广泛的应用。
例如，在电动机和发电机中，稳恒磁场的环路定理可以用来计算磁场产生的磁通量，从而进一步分析电机的性能和特性。
在电磁感应中，稳恒磁场的环路定理可以用来计算感应电动势，并分析电磁感应现象的原理。
稳恒磁场的环路定理是电磁学中的重要定理之一，它描述了磁场沿闭合回路的总磁通量等于该回路所包围的电流的代数和的一半。
这个定理的数学表达式为∮B·dl = μ₀I。
稳恒磁场的环路定理在电磁学中有着广泛的应用，能够帮助我们分析和理解磁场的性质和行为。
[理学]稳恒磁场与安培环路定理
![[理学]稳恒磁场与安培环路定理](https://img.taocdn.com/s3/m/c0043f0a81c758f5f71f67b4.png)
L1
r
IR
L2 r
0I B
2π R
oR r
解 0 r R, B d l 0 l r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r
小结：
• 应用安环定理求磁场分布的关键:选择合适闭合路径 • 要求: • 1)闭合路径经过待求场点；
• 2)B与dl的夹角θ最好为0，π，或π/2；
I
I
I
I
S
I
S
N
N
磁感线是不相交，无头无尾的闭合曲线.（涡旋场）
dS B
B dm dS
磁场中某点处垂直B矢量 的单位面积上通过的磁感 线数目等于该点 B的数值.
nB
s s
B dS
B
四 磁通量： 通过某一曲 面的磁感线数为通过此曲 面的磁通量.
Φ BS cos BS
Φ B S B nS dΦ B dS
3）x 0 4）x R
B 0I
2R
B
0IR 2
2x3
，
B
0 IS
2π x3
（1） I
R o
B0
x
B0
0I
2R
（2 ） I R
o
B0
0I
4R
（3） I R o
B0
0I
8R
（4）
（5） I
BA
0I
4π d
d *A
R1
R2
*o
B0
0I
4R2
0I
4R1
0I
4π R1
例4 载流直螺线管轴线上的磁场
如图所示，有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
磁场环路定理
dl
dl
r B
cos l B rd B dl l Bdl
l
0I 0 I d 0 I rd l 2 r 2 l d l 0 3)电流在环路外 B
l
.
I r
dφ
θ
dl
若环路与电流成右手螺旋关系，积分>0，即I>0 若环路与电流成左手螺旋关系，积分<0，即I<0
5
B d l I 安培环路定理 0 int l
磁感应强度沿任意闭合路径一周的线积分 等于 穿过闭合路径所包围面积的恒定电流代数和的0倍
说明
1、它只适用于稳恒电流
2、Iint 有正、负,与L成右手螺旋关系为正,反之为负 3、B 是全空间电流的贡献, B d l 只 I 与 有 关 in t 4 、 Bdl 0,说明磁场为涡漩场
0 0 r 2 0r I sin t r R B Id i 2 2 0 R 2r 2r R 2 0 0 0 r R B i I0 sin t Id 2 r 2r 2 r
18
作
业
12.13、12.15、12.18、12.19
19
l
沿任意闭合路 径一周的线积分
I1 l
I2 I3
I4
穿过 l 所包围面 积的恒定电流代 数和
( I 1 I2 I 3) 0 Bdl
l
3
证明
B d l I 0 int
l
I
1.无限长载流直导线的磁场
1)环路为垂直于直导线的圆形闭合曲线 0 I 0 I 2r 0 I dl B dl Bdl l l l 2r 2r 2)环路为垂直于直导线的任意闭合曲线
磁场中的高斯定理及安培环路定理
P
r B
则 B dN -磁感应线密度
dS
2. 几种典型的磁感应线
I
直线电流
圆电流
载流长螺线管
3. 磁感应线特性
磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； 磁感应线不相交。
二. 磁通量(magnetic flux)
1. 定义 通过磁场中任一给定面的
磁感线数目称为通过该面的 磁通量，用 表示。 2. 磁通量的计算 ① 磁场不均匀，S 为任意曲面
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
Ñ B dl μ0 NI
l
B 0 NI
2 r
Amperian loop
B
o R1 R2 r
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 ：
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动， 在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i （电流密度）。求此电流产生的磁场。
因而，同静电场中利用高斯定理确定已知电荷分 布的电场分布一样，需要满足一定的对称性。
例题1 ：
已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布， 求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布
解： 首先分析对称性
电流分布——轴对称
I
磁场分布——轴对称
R
r
dS1
dB
dB2 dB1
O
l
P
dS2
电流及其产生的磁场具有轴对称分布时
B 0I 2 x
方向：
I
a
阴影部分通过的磁通量为:
rr B dS
磁场的高斯定理和安培环路定理
磁场是无源场 磁场是 无源场 比较 静电场 稳恒 磁场 磁感应线闭合成环，无头无尾 不存在磁单极。 磁感应线闭合成环，或两端伸向 不存在磁单极（？） 高斯定理 环路定理
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考： 如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I
n
B内 0nI
外
B
I //
0 //
I B 2r
练习： 半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求： 内部 B ?
已知：
解：
R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献； 对 LB dl 无贡献
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考： 如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I
n
B内 0nI
外
B
I //
0 //
I B 2r
练习： 半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求： 内部 B ?
已知：
解：
R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献； 对 LB dl 无贡献
物理-磁场的高斯定理和安培环路定理
(1)环路要经过所研究的场点。
(2)环路的长度便于计算；
(3)环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环路方向 一致，或 B的方向与环路方向垂直。
五、安培环路定理的应用
例1 无限长均匀载流圆柱体的磁场
解: 对称性分析：磁感应线为同心圆环状
任取一半径为r 的磁感应线为积分回路
L
LB d l LB d l BLd l 2 π rB
的法线 n 的夹角为 ，今以圆周为边界，作一个半
球面 S，S 与圆形平面组成封闭面如图，求通过S 面
的磁通量 。
例4
r2B cos
三、磁场的高斯定理
随堂练习2:
在匀强磁场 B 中，取一半径为 R 的圆，圆面
的法线 n 与 B 成 60°角，如图所示，则通过以该圆
周为边线的如图所示任意曲面S的磁通量。
磁场集中在螺绕环内，
磁感应线为同心圆环状。
任取一半径为r 的磁感线为
积分回路L
（
R 1
<
r
<
R2
）
B dl L
2πrB
μ0 NI
结果:
B外 0
R2
R1
r
五、安培环路定理的应用
例3 载流螺绕环内的磁场
（ R1 < r < R2 ）
非均匀磁场，磁感应线内疏外密。
讨论
如果螺绕环截面积很小,则：
B
0 NI 2r
一、磁感应性
直电流的磁感应线
圆形电流的磁感应线
一、磁感应性
直螺线管电流的磁感线
环形螺线管电流的磁感线
磁 (1)磁感应线为闭合曲线或两头伸向无穷远；
力 线
(2)任意两条磁感应线不相交；
8-4 安培环路定理
1. 圆形环路 I 0 B dl cos0 l B . dl = lμ l r 0 I π r =μ 0 I = B . 2π r = 2 πr 2 B 2. 平面内环路 μ0 I d l cos θ l B . dl = l 2 r r dφ= dl cos θ π μ 0I = 2 r r dφ B π μ 0I I = 2π dφ . d θ φ r dl
0 I 2 B d l dl cos l l 2r 0 I 0 I rd d a 2r 2 0 I b 0 I a d d 0 a 2 2 b
.
b
1
上述结果虽然是从长直载流导线的磁场 的特例导出的，但其结论具有普遍性，对任 意形状的通电导线的磁场都是适用的。而且
3. 任意环路
I dl
l B . dl
B
dl dl
3. 任意环路
I dl
l B . dl = l B . ( dl + dl )
= l B . dl + l B . dl B
dl dl
3. 任意环路
I dl
l B . dl = l B . ( dl + dl )
= l B . dl + l B . dl
0
dl dl
B
B
dl
3. 任意环路
I dl
l B . dl = l B . ( dl + dl )
= l B . dl + l B . dl
0
dl dl
μ 0I
B
B
dl
3. 任意环路
I dl
l B . dl = l B . ( dl + dl )
磁场高斯定理 安培环路定理
l
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
已知： 例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 ， 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元， 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等， r 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致，目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
已知： 例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 ， 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元， 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等， r 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致，目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0
稳恒磁场 安培环路定理
L i
I1
I2
I3
L 规定：当电流方向与环路的 绕行方向服从右手螺旋定则时， I i内 I1 2I 2 电流为正，反之为负。
讨论
B d l I 0 i内
L i
1）安培环路定理是稳恒电流磁场的基本性质
方程。它表明磁场是涡旋场（非保守场）。
2）正确理解定理中各量的含义
dB P
μ0 I B (cos θ1 cos θ2 ) 4πa 若场点在直电流延长线上 ˆ 0 B0 Idl r
I
P
μ0 I 讨论 B (cos θ1 cos θ2 ) 4πa ⑴ 无限长直载流导线的磁场
2
μ0 I B 2πr
I B
⑵ 半无限长直载流导线的磁场 π θ1 θ2 π μ0 I 2 B π 4πr 或 θ1 0 θ2 2
沿轴向与电流成右手螺旋关系讨论1圆电流中心的场亥姆霍兹线圈bx曲线平面载流线圈的磁矩磁偶极子定义如果如果场点距平面线圈的距离很远这样的平面载流线圈称为磁偶极子磁偶极矩2rir磁矩dlcoscoscoscos载流直螺线管的磁场有一长为l半径为r的载流密绕直螺线管总匝数为n通有电流i
结论：圆电流轴线上任一点的磁感强度
解：电流均匀分布，则电流密度为
I I J 2 S πR
R
根据电流分布的柱对称性，取过 场点的圆作为安培环路 由安环定理有 2πrB 0 I i
i
I
B dl B2πr
l
J
r
B
2πrB 0 I i
i
解得
2πr 若场点在圆柱内，即 r < R
B
0 N I B 2 r 取小面积元： dΦm B dS Bhdr d Φm B dS d2 Bhdr
I1
I2
I3
L 规定：当电流方向与环路的 绕行方向服从右手螺旋定则时， I i内 I1 2I 2 电流为正，反之为负。
讨论
B d l I 0 i内
L i
1）安培环路定理是稳恒电流磁场的基本性质
方程。它表明磁场是涡旋场（非保守场）。
2）正确理解定理中各量的含义
dB P
μ0 I B (cos θ1 cos θ2 ) 4πa 若场点在直电流延长线上 ˆ 0 B0 Idl r
I
P
μ0 I 讨论 B (cos θ1 cos θ2 ) 4πa ⑴ 无限长直载流导线的磁场
2
μ0 I B 2πr
I B
⑵ 半无限长直载流导线的磁场 π θ1 θ2 π μ0 I 2 B π 4πr 或 θ1 0 θ2 2
沿轴向与电流成右手螺旋关系讨论1圆电流中心的场亥姆霍兹线圈bx曲线平面载流线圈的磁矩磁偶极子定义如果如果场点距平面线圈的距离很远这样的平面载流线圈称为磁偶极子磁偶极矩2rir磁矩dlcoscoscoscos载流直螺线管的磁场有一长为l半径为r的载流密绕直螺线管总匝数为n通有电流i
结论：圆电流轴线上任一点的磁感强度
解：电流均匀分布，则电流密度为
I I J 2 S πR
R
根据电流分布的柱对称性，取过 场点的圆作为安培环路 由安环定理有 2πrB 0 I i
i
I
B dl B2πr
l
J
r
B
2πrB 0 I i
i
解得
2πr 若场点在圆柱内，即 r < R
B
0 N I B 2 r 取小面积元： dΦm B dS Bhdr d Φm B dS d2 Bhdr
§8-4 磁场的高斯定理与安培环路定理
一闭合路径的积分的值，等于 所包围的各电流的代数和. 注意
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
0 乘以该闭合路径
I
电流 I 正负的规定 ：I 与 为正；反之为负.
L 成右螺旋时，
B dl 0 ( I1 I1 I1 I 2 )
L
I1 I1
L
I2 I 3
l
L
R R
r
2π r 2 r 0r R l B dl 0 R2 I 0r 2 0 Ir 2π rB 2 I B 2 2π R R
B
0 I
B
dB
I
.
dI
B
B
的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
r R,
I
2π R 0 I B 2π r
B
I
l
d1 d2
o
B // S 0 I d BdS ldx 2 x 0 Il d dx B dS S 2 d x
0 I B 2 x
2 1
x
0 Il d2 ln 2 d1
二、安培环路定理
载流长直导线的磁感强 度为
0 I B 2π R
I
B2 dl B1 dl1 B2 dl2 d 2 dl1 2π r1 r2 B1 dl1 B2 dl2 0 l
B dl 0
l
0 I 0 I B1 ， B2 2π r1 2π r2 0 I
多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B dl ( I I ) 0 2 3
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距离为r，磁感应强度的大小：
B 0I 2r
由几何关系得：
B
o I d r
L
B r P dl
dl • cos rd
B • dl B cosdl Br d
L
L
L
2 0 0 2
I r d 0I
r
2
2
d
0
0I
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如果沿同一路径但改变绕
行方向积分：
B • dl B cos( ) d l
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三、安培环路定理的应用
应用安培环路定理的解题步骤： (1)分析磁场的对称性；
(分2)易过于场计点算选：择B适的当量的值路恒径定，，使B与得dlB的沿夹此角环处路处的积相
等,一般为900或00 ； (3)求出环路积分；
(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的 正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强
B
B
B
0 2
Ir R2
在圆柱形载流导线内部， 磁感应强度和离开轴线
的距离r成正比！
o
R
r
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2.载流长直螺线管内的磁场
设螺线管（密绕）长度为l,共有N匝。
管内中间部分的磁场可以看 成是无限长螺线管内的磁场，因 此是均匀磁场。
管内磁感应线是一系列与轴 线平行的直线。
I
管外磁场很弱，可以忽略不计。
B d l Bdl cos 0
B dl B 2r 0I
当ｒ>Ｒ时
B 0 I 2 r
I I
I R r
B
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
I
设圆柱电流呈轴对称分布， 导线可看作是无限长的，磁场对 圆柱形轴线具有对称性。
B d l B2r
当 rR
r
Q
IB
Rr P
L
L1
L2
0I ( d d ) 0
2 L1
L2
表明：闭合曲线不包围电流时，磁感应强度矢
量的环流为零。
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上述结论虽是从长直载流导线磁场得来，却具普遍性
安培环路定理
在磁场中，沿任一闭合曲线 B 矢量的线积
分（也称 B矢量的环流），等于真空中的磁导
率0乘以穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲
I
R rQ B
Rr
P
B
B0
o
R
r
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(2)如圆柱电流均匀分布在整 个横截面上，则磁场对圆柱形 轴线仍具有对称性。
B d l Bdl cos 0
B dl B 2r 0I
当ｒ＜Ｒ时
I
I
R 2
r
2
B
0 2
Ir R2
I R
dS δ I
r B
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(2)如圆柱电流均匀分布在整 个横截面上，则磁场对圆柱形 轴线仍具有对称性。
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3.载流螺绕环内的磁场
设环上线圈的总匝数为N，电
流为I。
由于对称性，环内
r1
磁场的磁感应线都是 一些同心圆。
O r2
P
在同一条磁感应线上各点磁感应线强度的量值
相等，方向处处沿圆的切线方向。
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3.载流螺绕环内的磁场
设环上线圈的总匝数为N，电
B
Rr
P
当 r R B2r 0I
B
B 0 I
2 r
o
R
r
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
(1) 设圆柱电流均匀分布 在圆柱形导线表面层，导线 可看作是无限长，则磁场对 圆柱形轴线具有对称性。
B d l Bdl cos 0
B
B dl B 2r
当 r R B2r 0
即：右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的 方向一致时, 拇指的指向即为电流的正方向。
举例说明：
若有三个电流穿过环路
+I I
I1
I2
I3
l
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右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致 时, 拇指的指向即为电流的正方向。
举例说明：
若有三个电流穿过环路
则有：
+I 1
+I 2 -I 3
对于一闭合曲面，一般规定取向外的指向为正 法线的方向，这样，磁感应线从闭合曲面穿出处 的磁通量为正，穿入处的为负。
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§8-4 稳恒磁场的高斯定理与
安培环路定理
一、稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
面的各恒定电流的代数和。
LB dl 0 I
I I为正值
电流I的正负规定：积 分路径的绕行方向与电流 成右手螺旋关系时，电流I 为正值；反之I为负值。
绕行方向 I
I为负值
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电流正负符号按右手螺旋定则： 电流和回路绕行方向构成右旋关系的取正值，
反之取负值。若电流在环路外面，则不计。
LB dl 0 I
物理意义：
B 空间所有电流共同产生的磁场
I3
L 在场中任取的一闭合线，任 意规定一个绕行方向 dl L上的任一线元 I 空间中的电流
I2
I1
r
dl
L
I 环路所包围的所有电流的代数和
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几点注意：
任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。
环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所 有电流在空间产生磁场的叠加。
静电场 有源场 磁 场 无源场
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激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或尾闾， 所以静电场是属于发散式的场，可称作有源场；而 磁场的磁感线无头无尾，恒是闭合的，所以磁场可 称作无源场。
在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电 荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反 映了静电场是有源场。而在磁场中,磁力线的连续性 表明,像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场 是无源场。
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1913年英国物理学家狄拉克曾从理论上预言磁 单极子的存在，但至今未被观察到。
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二、安培环路定理
在恒定电流的磁场中，磁感应强度 B 矢量沿任 一闭合路径 L的线积分（即环路积分）,等于什么?
1. 长直电流的磁场
I
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在垂直于导线的平面内任 作的环路上取一点，到电流的
B
B
B2r 0I B 0 I
2 r
长圆柱形载流导线外的 磁场与长直载流导线激
发的磁场相同！
上页
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o
返回
退R 出
r
B d l B2r
当 r R ，且电流均匀
分布在圆柱形导线表面层时
I
r
Q
IB
B2r 0 B 0
当 r R ，且电流均匀
分布在圆柱形导线截面上时
B2r
0
I
R 2
r 2
Rr P
L
L
L B cos dl 2 0I d
0 2
B
oI
d r
B
L
drr P
0I
结果为负值！
若认为电流为-I 则结果可写为
B • dl
L
0
I
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如果闭合曲线不在垂直于
导线的平面内：
B • dl L
L B (d l d l// )
L
I dr dr
dr//
B dS 0
S
高斯定理的积 分形式
穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零，这就 是稳恒磁场的高斯定理。
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对比 静电场的高斯定理与磁场的高斯定理
ur
Ò E
s
d
ur S
qi
0
ur ur
Ò B d S 0 s
激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或尾 闾，所以静电场是属于发散式的场，可称为有源 场；而磁场的磁感应线无头无尾，恒是闭合的， 所以磁场可称作无源场。
度 B的大小。
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
(1) 设圆柱电流均匀分布在圆柱形导 线表面层，导线可看作是无限长，则 磁场对圆柱形轴线具有对称性。即磁 感线是在垂直轴线平面内以轴线为中
心的同心圆 。
B d l Bdl cos 0
I
R rQ B
B dl B 2r
l B .dl =μ 0 (I 1+I 2 I 3 )
l
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右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致 时, 拇指的指向即为电流的正方向。
I1
I2
I3
l
I I
l
l B dl o (I1 I2)
l B dl o ( 2I I) oI
l B dl o I内
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流为I。
B //d l
Bdl B dl
L
L
B2r 0NI
r2
r1 O
P
B 0 NI r2 r1 r 2r
B 0nI
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选择进入下一节 §8-0 教学基本要求 §8-1 恒定电流 §8-2 磁感应强度 §8-3 毕奥-萨伐尔定律 §8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理 §8-5 带电粒子在电场和磁场中的运动 §8-6 磁场对载流导线的作用 §8-7 磁场中的磁介质 §8-8 有磁介质时的安培环路定理 磁场强度 §8-9 铁兹质
B 0I 2r
由几何关系得：
B
o I d r
L
B r P dl
dl • cos rd
B • dl B cosdl Br d
L
L
L
2 0 0 2
I r d 0I
r
2
2
d
0
0I
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如果沿同一路径但改变绕
行方向积分：
B • dl B cos( ) d l
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三、安培环路定理的应用
应用安培环路定理的解题步骤： (1)分析磁场的对称性；
(分2)易过于场计点算选：择B适的当量的值路恒径定，，使B与得dlB的沿夹此角环处路处的积相
等,一般为900或00 ； (3)求出环路积分；
(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的 正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强
B
B
B
0 2
Ir R2
在圆柱形载流导线内部， 磁感应强度和离开轴线
的距离r成正比！
o
R
r
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2.载流长直螺线管内的磁场
设螺线管（密绕）长度为l,共有N匝。
管内中间部分的磁场可以看 成是无限长螺线管内的磁场，因 此是均匀磁场。
管内磁感应线是一系列与轴 线平行的直线。
I
管外磁场很弱，可以忽略不计。
B d l Bdl cos 0
B dl B 2r 0I
当ｒ>Ｒ时
B 0 I 2 r
I I
I R r
B
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
I
设圆柱电流呈轴对称分布， 导线可看作是无限长的，磁场对 圆柱形轴线具有对称性。
B d l B2r
当 rR
r
Q
IB
Rr P
L
L1
L2
0I ( d d ) 0
2 L1
L2
表明：闭合曲线不包围电流时，磁感应强度矢
量的环流为零。
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上述结论虽是从长直载流导线磁场得来，却具普遍性
安培环路定理
在磁场中，沿任一闭合曲线 B 矢量的线积
分（也称 B矢量的环流），等于真空中的磁导
率0乘以穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲
I
R rQ B
Rr
P
B
B0
o
R
r
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(2)如圆柱电流均匀分布在整 个横截面上，则磁场对圆柱形 轴线仍具有对称性。
B d l Bdl cos 0
B dl B 2r 0I
当ｒ＜Ｒ时
I
I
R 2
r
2
B
0 2
Ir R2
I R
dS δ I
r B
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(2)如圆柱电流均匀分布在整 个横截面上，则磁场对圆柱形 轴线仍具有对称性。
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3.载流螺绕环内的磁场
设环上线圈的总匝数为N，电
流为I。
由于对称性，环内
r1
磁场的磁感应线都是 一些同心圆。
O r2
P
在同一条磁感应线上各点磁感应线强度的量值
相等，方向处处沿圆的切线方向。
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3.载流螺绕环内的磁场
设环上线圈的总匝数为N，电
B
Rr
P
当 r R B2r 0I
B
B 0 I
2 r
o
R
r
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
(1) 设圆柱电流均匀分布 在圆柱形导线表面层，导线 可看作是无限长，则磁场对 圆柱形轴线具有对称性。
B d l Bdl cos 0
B
B dl B 2r
当 r R B2r 0
即：右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的 方向一致时, 拇指的指向即为电流的正方向。
举例说明：
若有三个电流穿过环路
+I I
I1
I2
I3
l
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右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致 时, 拇指的指向即为电流的正方向。
举例说明：
若有三个电流穿过环路
则有：
+I 1
+I 2 -I 3
对于一闭合曲面，一般规定取向外的指向为正 法线的方向，这样，磁感应线从闭合曲面穿出处 的磁通量为正，穿入处的为负。
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§8-4 稳恒磁场的高斯定理与
安培环路定理
一、稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
面的各恒定电流的代数和。
LB dl 0 I
I I为正值
电流I的正负规定：积 分路径的绕行方向与电流 成右手螺旋关系时，电流I 为正值；反之I为负值。
绕行方向 I
I为负值
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电流正负符号按右手螺旋定则： 电流和回路绕行方向构成右旋关系的取正值，
反之取负值。若电流在环路外面，则不计。
LB dl 0 I
物理意义：
B 空间所有电流共同产生的磁场
I3
L 在场中任取的一闭合线，任 意规定一个绕行方向 dl L上的任一线元 I 空间中的电流
I2
I1
r
dl
L
I 环路所包围的所有电流的代数和
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几点注意：
任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。
环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所 有电流在空间产生磁场的叠加。
静电场 有源场 磁 场 无源场
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激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或尾闾， 所以静电场是属于发散式的场，可称作有源场；而 磁场的磁感线无头无尾，恒是闭合的，所以磁场可 称作无源场。
在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电 荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反 映了静电场是有源场。而在磁场中,磁力线的连续性 表明,像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场 是无源场。
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1913年英国物理学家狄拉克曾从理论上预言磁 单极子的存在，但至今未被观察到。
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二、安培环路定理
在恒定电流的磁场中，磁感应强度 B 矢量沿任 一闭合路径 L的线积分（即环路积分）,等于什么?
1. 长直电流的磁场
I
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在垂直于导线的平面内任 作的环路上取一点，到电流的
B
B
B2r 0I B 0 I
2 r
长圆柱形载流导线外的 磁场与长直载流导线激
发的磁场相同！
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o
返回
退R 出
r
B d l B2r
当 r R ，且电流均匀
分布在圆柱形导线表面层时
I
r
Q
IB
B2r 0 B 0
当 r R ，且电流均匀
分布在圆柱形导线截面上时
B2r
0
I
R 2
r 2
Rr P
L
L
L B cos dl 2 0I d
0 2
B
oI
d r
B
L
drr P
0I
结果为负值！
若认为电流为-I 则结果可写为
B • dl
L
0
I
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如果闭合曲线不在垂直于
导线的平面内：
B • dl L
L B (d l d l// )
L
I dr dr
dr//
B dS 0
S
高斯定理的积 分形式
穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零，这就 是稳恒磁场的高斯定理。
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对比 静电场的高斯定理与磁场的高斯定理
ur
Ò E
s
d
ur S
qi
0
ur ur
Ò B d S 0 s
激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或尾 闾，所以静电场是属于发散式的场，可称为有源 场；而磁场的磁感应线无头无尾，恒是闭合的， 所以磁场可称作无源场。
度 B的大小。
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
(1) 设圆柱电流均匀分布在圆柱形导 线表面层，导线可看作是无限长，则 磁场对圆柱形轴线具有对称性。即磁 感线是在垂直轴线平面内以轴线为中
心的同心圆 。
B d l Bdl cos 0
I
R rQ B
B dl B 2r
l B .dl =μ 0 (I 1+I 2 I 3 )
l
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右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致 时, 拇指的指向即为电流的正方向。
I1
I2
I3
l
I I
l
l B dl o (I1 I2)
l B dl o ( 2I I) oI
l B dl o I内
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流为I。
B //d l
Bdl B dl
L
L
B2r 0NI
r2
r1 O
P
B 0 NI r2 r1 r 2r
B 0nI
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选择进入下一节 §8-0 教学基本要求 §8-1 恒定电流 §8-2 磁感应强度 §8-3 毕奥-萨伐尔定律 §8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理 §8-5 带电粒子在电场和磁场中的运动 §8-6 磁场对载流导线的作用 §8-7 磁场中的磁介质 §8-8 有磁介质时的安培环路定理 磁场强度 §8-9 铁兹质