四点共圆

四点共圆的判定五：
相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P， 若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆。
解析：对角线AC、BD交于P， 若PA·PC=PB·PD 则A,B,C,D四点共圆
知识点
四点共圆的判定六：
割线定理的逆定理：对于凸四边形ABCD两边AB、DC的延长线相交于P， 若PB·PA=PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。
第一讲 四点共圆的性质及判定
CONTENTS
1 技巧讲解 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
初中数学知识点精讲课程
P a r t 1 四点共圆的性质及判定
知识点
一.四点共圆的判定方法：
1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。 2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。 3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两 个点和这条线的两个端点共圆。 5、若、两线段相交于点，且，则、、、四点共圆。 6、若、两线段延长后相交于点，且，则、、、四点共圆。 7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。
A
E
B
D
图7
F C
知识点
四点共圆的判定七：
若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆
解析：四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积
ABCD AD BC AC BD
则A,B,C,D四点共圆
下次课见
A
E
B
D
图7
F C
知识点
四点共圆的判定三：
若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆
解析： 在四边形ABCD中，若四边形的外角∠BCE=∠DAB 则A,B,C,D四点共圆
典例精讲
如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长
解：延长 AB、DC 相较于点 P ∵∠A=60°∴∠PCB=60° 又∠PBC=90° ∴PC=2BC，PB= 3 BC ∵四边形 ABCD 是圆的内接四边形 ∴PA·PB=PD·PC ∴（PB+AB）·PB=（PC+CD）·PC ∴（ 3 BC+2）· 3 BC=（2BC+1）·2BC ∴BC=2 3 -2
C、6组
D、7组
知识点
四点共圆的判定二：
若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。 (若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直 径．)
解析： 在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB=180°
则A,B,C,D四点共圆
典例精讲
如图，正方形ABCD的面积为5，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P， 求AP的长
A
E
B
D
图7
F C
知识点
四点共圆的判定四：
若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么 这两个点和这条线的两个端点共圆。
解析： 在△ABC和△BDC 中，∠BAC=∠BDC 则A,B,C,D四点共圆
经典例题
例3如图,在△ABC中,BD、CE是AC、AB边上的高,∠A=60°. 求证:ED=1/2BC
解：连接 BF。 ∵DF=CE，CD=BC，∠CDF=∠BCE∴△CDF≌△BCE ∴∠CFD=∠BEC∵∠DCF+∠CFD=90°∴∠DCF+∠BEC=90° ∴∠EPC=90°又∠BAF=90°∴∠EPC+∠BAF=180° ∴F、A、B、P 四点共圆∴AP·BF=PF·AB+AF·PB ∵△CDF∽△CPE∴CD：CP=CF：CE=DF：PE
P
B A
C D
对应习题
如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长
连接EF ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°
∵DF⊥AC ∴∠AFD=90° ∴∠AED+∠AFD=180° ∴A、E、D、F四点共圆 ∴∠ADE=∠AFE ∵∠EAD+∠B=90°，∠EAD+∠ADE=90° ∴∠B=∠ADE ∴∠B=∠AFE ∴B、C、F、E四点共圆
证明 在△ABC 中，BD、CE 是 AC、AB 边上的高． ∴∠BEC=∠BDC=90°，且 E、D 在 BC 的同侧， ∴E、B、C、D 四点共圆． ∠AED=∠ACB，∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB．
变式练习
在半⊙O中，AB为直径，直线CD交半圆于C、D，交AB延长线于M（MB<MA， AC<MD），设 K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点， 求证：∠MKO=90°
∴PB：BE=PC：CD
∴PB：BD=PC：CD

E B
D
A
O C
变式练习
如图7，在△ABC中，AD为高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求证：B、C、F、E四点共圆。
在△ABD中，由射影定理得 AD2=AE·AB 同理在△ACD中，由射影定理得 AD2=AF·AC ∴AE·AB =AF·AC ∴B、C、F、E四点共圆
解：连接 PB、PC、ME、NE
∵PM⊥AB，PE⊥BC
∴∠PMB+∠PEB=180°
∴P、M、B、E 四点共圆
∴∠PME=∠PBE
同理可证 P、N、C、E 四点共圆
∴∠NCP=∠NEP
∴△PME∽△PEN
∵AC 是圆的切线
∴PM：PE=PE：PN
A
∴∠NCP=∠PBE
∴PE2=PM·PN
∴∠PME=∠NEP
又 AD⊥PO，∴PA2=PD·PO
∵PA 是⊙O 的切线，∴PA2=PB·PC
∴PD·PO=PB·PC
∴B、C、O、D 四点共圆，
∵BE∥CD
∴∠BDE=∠BCO
∴∠BED=∠CDO
∵OB=OC，
∴∠BDE=∠BED
∴∠BCO= ∠CBO，
∴BD=BE
∴∠BDE=∠CBO
∵BE∥CD
又∵∠CBO= ∠CDO，
解析：对角线AB、DC的延长线交于P， 若PB·PA=PC·PD 则A,B,C,D四点共圆
经典例题
如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O切于点A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D， 求证：PB：BD=PC：CD
证明:过点 B 作 BE∥CD 交 PO 于 E,连接 OA、OB、OC
∵PA 是⊙O 的切线，∴PA⊥OA
知识点
四点共圆的判定一：
若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）
解析： 点A,B,C,D四点到O点的距离相同， 则A,B,C,D四点共圆
典例精讲
锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中．能
组成四点共圆的组数是（ ）
A、4组
B、5组
∴PE2=6×4=24
同理可证∠PEM=∠PNE
∴PE=2
B M
EO P N
C
对应习题
如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长
连接EF ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°
∵DF⊥AC ∴∠AFD=90° ∴∠AED+∠AFD=180° ∴A、E、D、F四点共圆 ∴∠ADE=∠AFE ∵∠EAD+∠B=90°，∠EAD+∠ADE=90° ∴∠B=∠ADE ∴∠B=∠AFE ∴B、C、F、E四点共圆
∴ ：CP= ： = ：PE
∴CP=1，PE=1 ∴PF=CF-CP=5 -1= 3 ，PB=BE-PE=5 -1 =2
2
22
22
∴AP×5 =3 × + ×2，∴AP=
22
对应练习
如图，直线AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，P到AB、AC的距 离分别为6cm、4cm，求P到BC的距离
证明：连接BC、BK、CK、AD，则 ∠BMC=∠ACD-∠BAC
=∠ABD-∠OKC =∠ODB-∠OKC =∠OKB-∠OKC =∠BKC ∴B、M、K、C四点共圆 ∴∠MKO =∠MKB+∠OKB =∠MCB+∠ODB
=∠BAD+∠ODB =∠ADO+∠ODB =90°
K D
C
A
O
B
M
知识点