成人高考专升本数学
成人高考专升本高等数学公式大全
成人高考专升本高等数学公式大全1.代数基本公式：-平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$-三角恒等式：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$- 正弦余弦定理：$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$- 二项式定理：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$2.函数与极限公式：-导数的四则运算：- $(u \pm v)' = u' \pm v'$- $(uv)' = u'v + uv'$- $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$- 泰勒公式：$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)(x - a)^2}{2!} + \cdots$-常用极限：- $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$- $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$- $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{k}{x})^x = e^k$- $\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{x}{n})^n = e^x$3.微分公式：-求导法则：-$(c)'=0$- $(x^n)' = nx^{n-1}$-$(e^x)'=e^x$- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$-高阶导数：-$(f(x)g(x))''=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)$-$(f(g(x)))''=f''(g(x))(g'(x))^2+f'(g(x))g''(x)$-微分运算法则：- $\frac{d(u \pm v)}{dx} = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}$ - $\frac{d(kv)}{dx} = k\frac{dv}{dx}$- $\frac{d(uv)}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$- $\frac{d(\frac{u}{v})}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} -u\frac{dv}{dx}}{v^2}$4.积分公式：-不定积分法则：- $\int k \,dx = kx + C$- $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, (n \neq -1)$- $\int e^x \,dx = e^x + C$- $\int \frac{1}{x} \,dx = \ln ，x， + C$-定积分法则：- $\int_a^b kf(x) \,dx = k\int_a^b f(x) \,dx$- $\int_a^b [f(x) + g(x)] \,dx = \int_a^b f(x) \,dx +\int_a^b g(x) \,dx$- $\int_a^b (f(x) - g(x)) \,dx = \int_a^b f(x) \,dx -\int_a^b g(x) \,dx$5.级数公式：-等比级数求和：$S_n = \frac{a(1-q^n)}{1-q}$，其中 $S_n$ 是前n 项和，a 是首项，q 是公比。
2024年成人高考专升本《数学》考卷真题及答案
2024年成人高考专升本《数学》考卷真题及答案一、选择题（每小题5分，共25分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = x^2 + 12. 下列数列中，是等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7,B. 1, 2, 4, 8,C. 1, 3, 9, 27,D. 1, 2, 3, 4,3. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x + 3 > 5x 1B. 3x 4 < 2x + 5C. 4x + 7 > 5x 2D. 5x 3 < 4x + 14. 下列立体图形中，是圆柱的是（）A. 圆锥B. 球体C. 长方体D. 圆柱5. 下列积分中，正确的是（）A. ∫(x^2 + 1)dx = (1/3)x^3 + x + CB. ∫(x^3 + 1)dx = (1/4)x^4 + x + CC. ∫(x^4 + 1)dx = (1/5)x^5 + x + CD. ∫(x^5 + 1)dx = (1/6)x^6 + x + C二、填空题（每小题5分，共25分）1. 函数y = x^2 4x + 3的顶点坐标是______。
2. 等差数列1, 3, 5, 7, 的前10项和是______。
3. 不等式3x 4 < 2x + 5的解集是______。
4. 圆柱的体积公式是______。
5. 积分∫(x^3 + 1)dx的值是______。
三、解答题（每小题10分，共50分）1. 解方程组：\[\begin{align}2x + 3y &= 8 \\4x 5y &= 10\end{align}\]2. 求函数y = x^3 6x^2 + 9x 1的极值。
3. 求证：等差数列1, 3, 5, 7, 的前n项和是n(n + 1)/2。
4. 求圆柱的表面积。
5. 计算积分∫(x^4 + 1)dx。
四、证明题（每小题10分，共20分）1. 证明：对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0。
2023年成人高考专升本高等数学(一)试题及答案详解
2023年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学(一)本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间150分钟.第I卷(选择题，共40分)一、选择题(1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.当x→0时，5x-si n5x是x的【】A.高阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D.低阶无穷小量2.设y=√2x+1,则y'=【】A.B.C.D.3.设y=e*,则d y=】【A.er d x B.-e^d x C.e'd x D.一e'd x~4.设函数在x =0处连续，则b=【】A.2C.0B.1D.—15.【】A.s i nx+CB.—s i n x+CC.c o s x+CD.—c o s x+C6.【】A.2B.1C.D.0【】7.设,则D.A.C.8.幂级数【】的收敛域是D.[-1,1]B.(-1,1)C.(-1,1)A.(-1,1)【】在平面3x-2y+z-7=0上，则k=9.已知直线A.0B.1C.2D.3【】10.微分方程y"+y=e²r的一个特解是A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题，共110分)(t为参数),二、填空题(11～20小题，每小题4分，共40分)贝12.设13.设y=x+e²,则y”=14.设y=x+s i n x,则y'=15.16.17.设z=e²,则d z=18.过点(0,1,1)且与直线垂直的平面方程为19.设区域D=((x,y)|O≤x≤2,-l≤y≤1},则20.微分方程xy'+y=0满足初始条件y(1)=1的解为y=三、解答题(21～28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤)21.(本题满分8分)计算22.(本题满分8分)计23.(本题满分8分)求微分方程的通解.25.(本题满分8分)求函数f(x)=x²e*的单调区间和极值.26.(本题满分10分)设D是由曲线y=1-x²(x≥0),x=0,y=0所围成的平面图形.(1)求D的面积S;(2)求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.,其中D是由曲线y=√1-x²,y=x,y=-x所围成的闭区域.计28.(本题满分10分)已知函数f(x)连续，且满参考答案及解析一、选择题1.【答案】A【考情点拨】本题考查了高阶无穷小量的知识点.【应试指导】,故5x-sin5x是x的高阶无穷小量.2.【答案】D【考情点拨】本题考查了复合函数求导的知识点.【应试指导】3.【答案】B【考情点拨】本题考查了微分的知识点.【应试指导】dy=(e*)'dx=-e*dx,4.【答案】B【考情点拨】本题考查了分段函数连续性的知识点.【应试指导】因f(x)在x=0处连续，则有b=1.5.【答案】D【考情点拨】本题考查了不定积分的知识点.【应试指导】6.【答案】C【考情点拨】本题考查了洛必达法则的知识点.【应试指导】7.【答案】B【考情点拨】本题考查了偏导数的知识点.【应试指导】8.【答案】D【考情点拨】本题考查了幂级数收敛域的知识点.【应试指导】收敛半径,所以幂级数的收敛区间为(-1,1).当x=-1时，级数为收敛的p级数.故该级数的收敛为收敛的交错级数；当x=1时，级数域为[-1,1].9.【答案】C【考情点拨】本题考查了直线与平面的位置关系的知识点.【应试指导】由题可知直线的方向向量s=(k,1,-4),平面的法向量n=(3,-2,1).由于s上n,因此有3k-2-4=0,故k=2.10.【答案】A【考情点拨】本题考查了二阶常系数线性非齐次微分方程特解的知识点.【应试指导】可验证，四个选项中只有A项满足微分方程，故其特解为.二、填空题11.【答案】e²【考情点拨】本题考查了两个重要极限的知识点.【应试指导】12.【答案】3【考情点拨】本题考查了参数方程求导的知识点.【应试指导】13.【答案】e'【考情点拨】本题考查了高阶导数的知识点.【应试指导】y'=1+e²,故y”=e².14.【答案】1+c o s x【考情点拨】本题考查了导数的运算的知识点.【应试指导】y'=(x+sinx)'=1+cosx.15.【答案】【考情点拨】本题考查了不定积分的计算的知识点.【应试指导】16.【答案】【考情点拨】本题考查了反常积分的计算的知识点.【应试指导】17.【答案】e²>(y d x+x d y)【考情点拨】本题考查了全微分的知识点.【应试指导】dz= de^>=e²d(x y)=e*(y dx+xdy).18.【答案】x+2y+z-3=0【考情点拨】本题考查了平面点法式方程的知识点.【应试指导】由题意，平面法向量为n=(1,2,1),又过点(0,1,1),故方程为x+2(y-1)+(z-1)=0,即x+2y+z-3=0.19.【答案】4【考情点拨】本题考查了二重积分的知识点.【应试指导】20.【答案】【考情点拨】本题考查了一阶线性齐次微分方程的知识点.【应试指导】由xy+y=0得,通解为,将y(1)=1代入通解，得C=1,故所求的解为三、解答题21.=1.２２．２３．由题可知２４．２５．ｆ（ｘ）的定义域为（－α，＋ｏ），ｆ＇（ｘ）＝２ｘｅ＋－ｘ２ｅ＋＝ｅ＊（－ｘ２＋２ｘ），令ｆ＇（ｘ）＝０，得ｘｊ＝０，ｘ２＝２．列表如下：２０（０，２）（２，＋ｏ）x（－α，０）y０＋０极小值极大值y由表可知，函数的单调增区间为（０，２）；单调减区间为（一～，０），（２，＋ｏ）．极大值为ｆ（２）＝４ｅ２，极小值为ｆ（０）＝ ０．；２７．积分区域用极坐标可表示为２８．由两边同时求导得（１＋ｘ２）ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎｘ＋ｘｃｏｓｘ，所以。
成人高考成考高等数学(二)(专升本)试卷与参考答案
成人高考成考高等数学(二)(专升本)自测试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))在区间[-2, 2] 上的最大值为：A、2B、4C、6D、82、已知函数(f(x)=e x lnx)，则该函数的定义域是：A.((0,+∞))B.((−∞,0))C.((0,1))D.((1,+∞))3、设函数f(x)=x3−3x2+2在区间[−1,3]上的最大值为M，最小值为m。
则M−m 的值是：A. 4B. 6C. 8D. 10)，则该函数的间断点是：4、设函数(f(x)=11+x2A.(x=0)B.(x=1)C.(x=−1)D.(x)无间断点5、设函数(f(x)=x3−3x+1)，则该函数在区间 [-2, 2] 上的最大值为：A、4B、3C、2D、16、设函数f(x)=x3−6x2+9x+1，则该函数的极值点为：A.x=1B.x=2C.x=3D.x=47、若函数(f(x)=ln(x2+1))，则(f(x))在(x=1)处的导数(f′(1))是：)A、(12B、1C、2)D、(238、设函数(f(x)=x3−6x2+9x+1)，则函数的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 39、设函数(f(x)=3x2−4x+5)，则该函数的对称轴为：A.(x=1))B.(x=−13)C.(x=23D.(x=2)10、在下列函数中，连续函数为：（）)（x∈R）A.(f(x)=1x3)（x∈R）B.(f(x)=√xC.$( f(x) =)$D.(f(x)=|x|)（x∈R）)，则(f′(0))的值为：11、已知函数(f(x)=1x2+1A. 0B. 1C. -1D. 不存在)，求(f′(x))。
12、设函数(f(x)=2x+3x−1)A.(2(x−1)2B.(2x2−1)C.(2(x+1)(x−1))D.(1x−1)二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数(f(x)=e ax+b)，其中(a,b)为常数，若(f(x))的单调递减区间为((−∞,1a))，则(a)的取值范围为______ 。
历年成人高考专升本高等数学真题及答案汇总
第一章 函数与极限一. 基础题1. 设映射:,,.f X Y A X B Y →⊂⊂证明 (1) ()()();f A B f A f B ⋃=⋃ (2) ()()().f A B f A f B ⊂证 (1)(),y f A B x A B ∈⇔∃∈ 使得()y f x =x A ⇔∈或x B ∈,且()y f x =()y f A ⇔∈或()y f B ∈()()y f A f B ⇔∈ .(2)(),y f A B x A B ∈⇒∃∈ 使得()y f x =x A ⇒∈且x B ∈, ()y f x =()y f A ⇔∈且()y f B ∈()()y f A f B ⇒∈ .2. 设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数,若()f x 在(0,)l 内单调增加,证明()f x 在(,0)l -内单调增加.证 设120l x x -<<<,则120x x l <-<-<,由()f x 在(0,)l 内单调增加得21()()f x f x -<-.又()f x 为(,)l l -内的奇函数,故21()()f x f x -<-,从而21()()f x f x >,即()f x 在(,0)l -内单调增加.3.设()ln(f x x =,讨论它的奇偶性. 解 显然()f x 的定义域是(,)-∞+∞.又因为()ln[ln(f x x x -=-+=-+ln=ln(()x f x ==-+=-.所以()f x 为奇函数.4. 设1(1),21xf x x +-=-求()f x . 解 设1,u x =-得1x u =-,于是()()()11221112u uf u u u+--==---,从而()212x f x x -=-.5. 设数列{}n x 的一般项为1sin 3n n x n π=.问lim n n x →∞=?求出N 使当n N >时n x 与其极限之差的绝对值小于ε.当0.001ε=时,求出N .解 lim 0n n x →∞=.我们证明如下:0,ε∀>为使110sin 3n n x n n πε-=≤<,只需1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,就有0n x ε-<.当0.001ε=时, 取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1000==1000,此时只要1000n >,就有00.001n x -<.6. 用极限定义证明:(1)1n →∞=; (2)lim0.99991n n→∞= . (3) 21214lim 2;21x x x →--=+(4)lim 0x =证 (1)0,ε∀>为使1a nn nε=≤=<,只需an ε>.取aN ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,1ε-<,即lim 1n n→∞=.(2) 0ε∀> (不妨设1ε<),为使10.9999110n nε-=<,只需1lg n ε>.取1lg N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,就有0.99991nε-< ,即 lim0.99991n n→∞=. (3) 因为11,22x x →-≠- 0ε∀>,为使214121222()212x x x x ε--=--=--<+,只需1()22x ε--<.取2εδ=,则当10()2x δ<--<时,就有214221x x ε--<+.故21214lim 2;21x x x →--=+ (4) 因为,x →-∞所以0x <.又10x-≤≤=-,为使0ε-<只需1x ε<-.所以0ε∀>,取1X ε=,则当x X <-时, 就有0ε-<.故21214lim 221x x x →--=+. 7. 设2()f x x =.问2lim ()x f x →=?求出δ使当2x δ-<时()f x 与其极限之差的绝对值小于ε.当0.001ε=时,求出δ.解 22lim 4x x →=.我们给出如下证明.0,ε∀>由于2,x →不妨设13x <<.为使2()44(2)(2)52f x x x x x ε-=-=+-≤-<,只需25x ε-<.取5εδ=,则当2x δ-<时,就有()4f x ε-<.当0.001ε=时, 取0.0002δ=,此时只要20.0002x -<,就有()40.001f x -<. 8.证明函数()f x x =当0x →时极限为零.证明 0,ε∀>为使()000f x x x x ε-=-==-<,只需取5εδ=,则当0x δ-<时,就有0x ε-<,即0lim 0x x →=.9.求(),()x xf x x x xϕ==当0x →时的左、右极限,并说明它们的极限是存在. 解 000l i m ()l i m l i m 11,x x x x f x x +++→→→=== 000l i m ()l i m l i m 11.x x x xf x x ---→→→=== 由于0lim ()x f x +→=0lim ()x f x -→1=知0lim ()1x f x →=；0000lim ()lim lim lim11,x x x x x x x x x ϕ++++→→→→====0000lim ()lim lim lim 1 1.x x x x x x x x x ϕ----→→→→-==-=-由于lim ()x x ϕ+→≠0lim ()x x ϕ-→1=知0lim ()x x ϕ→不存在． 10．根据定义证明： （１）21(1)sin (1)y x x =--为当0x →时的无穷小； （２）12xy x+=为当0x →时的无穷大．问x 应满足什么条件，能使410y >． 证（１）0,ε∀>为使22110(1)sin 0(1)sin 1(1)(1)y x x x x x ε-=--=-≤-<--,只需取δε=,则当01x δ<-<时,就有21(1)s i n 0(1)x x ε--<-,即21(1)sin(1)y x x =--为当0x →时的无穷小. （２）0M ∀>，为使121122x M x x x +=+≥->，只要12M x->，即12x M <+． 因此，取1,2M δ=+当00x δ<-<时，就有12xM x +>．故12x y x +=为当0x →时的无穷大．当410,M =取4112102M δ==++时，就能使41210xy x +=>．11．求极限21lim x x x →∞+并说明理由．解 21lim x x x →∞+＝1lim(2)2x x→∞+=．理由：令()2f x α=+，其中1xα=．因为x →∞时，x 是无穷大，由无穷大与无穷小的关系知1xα=为无穷小．再由无穷小与极限的关系得1lim(2)2x x →∞+=．12. 计算下列极限:(1) 220()lim h x h x h→+-; (2) 22468lim 54x x x x x →-+-+;(3) 2468lim 31x x x x x →∞++-+; (4) 2lim(21)x x x →∞-+;(5) 32121lim()82x x x →---; (6)12(1)lim [()()()]n a a n ax x x n n n n→∞-++++++ ;解 (1) 22222000()2limlim lim(2)2h h h x h x x xh h x x h x h h →→→+-++-==+=. (2) 2244468(4)(2)22lim lim lim 54(4)(1)13x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+---.(3) 223443416868lim lim031311x x x x x x x x x x x→∞→∞++++==-+-+ (4) 因为22211lim lim 011212x x x x x x x→∞→∞==-+-+,所以2lim(21)x x x →∞-+=∞.(5) 2332222121122(2)(4)lim()lim lim 828(2)(42)x x x x x x x x x x x x x →→→---+-==----++ 2241lim 422x x x x →+==++. (6) 原式=1lim [(1)(12(1)]n an x n n n →∞-++++-=1(1)lim [(1)]2n a n n n x n n →∞--+=2ax +. 13.利用有界变量与无穷小之积仍为无穷小计算下列极限:(1)201lim cosx x x →; (2)arctan lim x xx→∞.解 (1) 因为0,x →所以2x 0→,1cos 1x≤.故201lim cos 0x x x →=.(2) 因为,x →∞所以1x 0→,arctan 2x π<.故arctan 1limlim arctan 0x x x x xx →∞→∞==. 14.利用两个重要极限计算下列极限:(1) 0sin lim(0,0)x xxααββ→≠≠; (2) 20tan(1)lim 2x x x x →-+-;(3) 20cos 7cos5lim sin 3x x x x →-; (4) lim 2sin (2nn n x x →∞为不等于零的常数) (5)120lim(13)x x x →-; (6) 21lim()xx x x→∞+. 解 (1) 00sin sin limlim .x x x x x x x x ααααβαββ→→== (2) 2000tan(1)tan(1)tan(1)11lim lim lim 2(1)(2)122x x x x x x x x x x x x →→→---==∙=+--+-+. (3) 20cos 7cos5lim sin 3x x x x →-202sin 6sin lim sin 3x x xx→-=2220sin 6sin (3)642lim 6sin 3(3)3x x x x x x x x x x →⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. (4) 22sin 2lim 2sin lim 22n n n n x x x x x →∞→∞⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.(5) 120lim(13)x x x →-=1(3)13232lim (13)e x xxx x ---→⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦.(6) 21lim()x x x x →∞+=221lim e xx x x →∞⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 15.当0x →时,无穷小(1)x π-和(1)31x -,(2)sin x π是否同阶?是否等价?解 (1)因为322111(1)(1)lim lim lim 1(1)(1)13x x x x x x x x x x x ππππ→→→--===--++++,所以当0x →时,无穷小(1)x π-和31x -同阶,但不等价.(2) 因为111sin sin (1)sin (1)lim lim lim 1(1)(1)(1)x x x x x x x x x ππππππ→→→---===---,所以当0x →时,无穷小(1)x π-和sin x π是等价的.16.利用等价无穷小的性质,求下列极限:(1)0sin lim (,(sin )nm x x n mx →为正整数); (2)30sin tan lim sin x x x x→-;(3)0x →. 解 (1)000,,sin limlim 1,,(sin ).n n m m x x n m x x n m x x n m →→>⎧⎪===⎨∞<⎪⎩ (2) 因为332000sin tan sin (1sec )1sec lim lim lim sin sin sin x x x x x x x xx xx →→→---==,而2220002sin 1sec 1cos 112lim lim lim 1cos cos ()222x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 所以 233220000sin tan sin (1sec )1sec 12lim lim lim limsin 2x x x x x x x x x x x x →→→→----====-.(3)0x →=0x →201sin x x →=+ =201cos x x x →- =1114612-+=-. (21cos 12x x - ). 17.讨论下列函数的连续性:(1).()(11)f x x x =+-; (2) {,11,()1,1 1.x x f x x x -≤≤=<->或 解 (1) 222,1,(),1,,1.x x x f x x x x x ⎧-<⎪==⎨>⎪⎩当1x <或1x >时()f x 为初等连续函数,所以连续;当1x =时,有221111lim ()lim 1(1),lim ()lim(2)1(1),x x x x f x x f f x x x f ++--→→→→====-== 因此()f x 在1x =连续函数,故()f x 在定义域(,)-∞+∞内连续. (2) 显然()f x 在(,1)-∞-与(1,)-+∞内连续.而在1x =-11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==- ,但 11lim ()lim 11,x x f x --→-→-== 即 11lim ()lim ()x x f x f x +-→-→-≠.故()f x 在1x =-间断. 18.试确定,a b ,使函数1sin ,0,(),0,1sin .0.x x x f x b x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续.解 显然()f x 在(,0)-∞与(0,)+∞内连续.而在分断点0x =处,由于1lim ()lim sin 0.x x f x x x++→→== , 001lim ()lim (sin )1,x x f x x a a x--→→=+=+ 根据 0lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→==, 得 10,a b +== 即 1,0a b =-=.19.求下列函数的间断点,并确定其类型.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1) 1e ,0,()0,0,1arctan .0.x x f x x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪>⎪⎩(2) ()tan x f x x =; (3)221()lim1nnn x f x x x →∞-=+. 解 (1)()f x 为分段函数,当0x ≠时, ()f x 显然连续.当0x =时,因为11lim ()lim e 0,lim ()lim 2xx x x x f x f x arctan x π--++→→→→====. 所以0x =是()f x 的第一类间断点(跳跃间断点). (2) ()f x 的无定义点为(0,1,2,)2x k x k k πππ=+==±± 和.对0x =, 因为0lim 1,tan x xx→=所以0x =是()f x 的第一类间断点,且为可去间断点,重新定义函数:1,,,(0,1,2,)tan 2()1,0,x x k k k x f x x πππ⎧≠+=±±⎪⎪=⎨=⎪⎪⎩则1()f x 在0x =处连续. 对(0,1,2,)2x k k ππ=+=±± ,因为2lim0,tan x k xxππ→+=所以2x k ππ=+(0,1,k =±2,)± 是()f x 的第一类间断点,且为可去间断点,重新定义函数:2,,,tan 2()(0,1,2,)0,,2xx k k x f x k x k πππππ⎧≠+⎪⎪==±±⎨⎪=+⎪⎩.则2()f x 在(0,1,2,)2x k k ππ=+=±± 处连续.对(0,1,2,)x k k π==±± ,lim,tan x k xxπ→=∞所以(0,1,2,)x k k π==±± 是()f x 的第二类间断点(无穷间断点)(3) 221()lim1n nn x f x x x →∞-=+,1,0,1,,1.x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪<⎩为分断函数. 在分断点1x =-处,因为1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-,11lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠.所以1x =-为()f x 的第一类间断点(跳跃间断点).在分断点1x =处,因为1111lim ()lim 1,lim ()lim()1x x x x f x x f x x --++→→→→===-=-,11lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠. 所以1x =为()f x 的第一类间断点(跳跃间断点).20.求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间,并求极限03lim (),lim ()x x f x f x →→-及2lim ()x f x →.解 因为()f x 在123,2x x =-=点无意义,所以123,2x x =-=这两个点为间断点.故函数()f x 的连续区间为(,3),(3,2),(2,)-∞--+∞.32200331lim ()lim 62x x x x x f x x x →→+--==+-.32222333333(1)(3)(1)8lim ()lim lim lim 6(3)(2)(2)5x x x x x x x x x x f x x x x x x →-→-→-→-+---+-====-+-+--. 32222222233(1)(3)(1)lim ()lim lim lim 6(3)(2)(2)x x x x x x x x x x f x x x x x x →→→→+---+-====∞+-+--. 21.设函数()f x 与()g x 在点0x 处连续,证明函数{}{}()max (),(),()min (),()x f x g x x f x g x ϕψ==在点0x 处也连续.证 因为 {}1()max (),()[()()()()]2x f x g x f x g x f x g x ϕ==++-, {}1()m i n (),()[()()()()]2x f x g x f x g x f x g x ψ==+--, 而连续函数的绝对值、和、差仍连续，故(),()x x ϕψ在点0x 处也连续.22.利用复合函数的极限与连续定理计算下列极限(1) 1lim1x x →- (2)sin sin limx a x a x a →--;(3)lim x →+∞;(4) x →∞(5); ()()(2)()()lim ()x a x b x a b x x a x b x a b ++++→+∞++++;(6)0x →; 解(1) 12x x →→==.(2)2sin cos sinsin sin 222lim lim lim limcos cos 2x a x a x a x a x a x a x a x a x a a x a x a x a →→→→-+--+==⋅=---.(3) lim limx x →+∞=1lim2x==. (4)因为x x →∞=,而lim lim1x x →+∞==lim lim1x x →-∞==-故x →∞不存在.(5) ()()(2)()()lim ()x a x b x a b x x a x b x a b ++++→+∞++++()()()()()()lim lim ()()x a x b x a x b x x x a x b x a b x a b ++++→+∞→+∞++=⋅++++()()()()1111lim lim lim lim (1)(1)(1)(1)b a x x x x x a x b x a x b b ab a b a x a x b x a x b →+∞→+∞→+∞→+∞++++=⋅=⋅⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦()11e .e ea b b a-+==(6) 00x x →→=0s i n l i m n x x x →=00s i n l i m l nx x x x x →→→=⋅=22220011)11112lim lim 1)2sin 2sin 22x x x x x x →→=⋅=. 23.证明方程sin x a x b =+,其中0,0a b >>,至少有一正根,并且它不越过a b +. 证 令()sin f x x a x b =--.显然()f x 在闭区间[0,]a b +上连续,(0)0,f b =-< ()[1sin()]f a b a a b +=-+.当sin()1a b +<时,()0f a b +>.由零点定理知,存在(0,)a b ξ∈+.使()0f ξ=,即ξ为原方程小于a b +的正根;当sin()1a b +=时, ()0f a b +=,a b +为原方程的正根.综合之, 方程sin x a x b =+至少有一正根,并且它不越过a b +.24.设函数()f x 对于闭区间[,]a b 上的任意两点,x y ,恒有()()f x f y L x y -≤-,其中L 为正常数,且()()0f a f b ⋅<.证明:至少有一点(,),a b ξ∈使得()0f ξ=.证 任取0(,),0,x a b ε∈∀>取00min ,,x a b x Lεδ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭,则当0x x δ-<时,依假设有00()()f x f x L x x L δε-≤-<≤.所以()f x 在0x 点连续.由0x 的任意性知, ()f x 在(,)a b 内连续. 当0x a =或0x b =时,取Lεδ=,当0x a δ<-<或0b x δ<-<时,有()()()f x f a L x a L x a L δε-≤-=-<≤.或 ()()()f x f b L x b L b x L δε-≤-=-<≤.故()f x 在x a =右连续, ()f x 在x b =左连续,从而()f x 在闭区间[,]a b 上连续.再借助()()0f a f b ⋅<及零点定理知,存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ=.25. 若()f x 在闭区间[,]a b 上连续,12n a x x x b <<<<< , 1,2,,n C C C 为任意正数,1(,)n x x 内至少有一点ξ, 使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .证 因()f x 在闭区间[,]a b 上连续,又1[,][,]n x x a b ⊂,所以()f x 在1[,]n x x 上连续.设{}{}11max (),min ()n n M f x x x x m f x x x x =≤≤=≤≤.则有 112212()()()n n nC f x C f x C f x m M C C C +++≤≤+++ .若上面不等式为严格不等号,则由介值定理知, 存在1(,)n x x ξ∈,使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .若上面不等式中出现等号,如112212()()()n n nC f x C f x C f x M C C C +++=+++ ,则有1122[()][()][()]0n n C M f x C M f x C M f x -+-++-= . 于是 12()()()n f x f x f x M ==== .此时任取121,,,n x x x - 中任一点为ξ,即有1(,)n x x ξ∈,使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .同理可证112212()()()n n nC f x C f x C f x m C C C +++=+++ 的情形.26.证明:若()f x 在(,)-∞+∞内连续,且lim ()x f x →∞存在,则()f x 必在(,)-∞+∞内有界.证 设lim (),x f x A →∞=则给定10ε=>,可存在0X >,当x X >时,有()1f x A ε-<=.从而()()1f x f x A A ≤-+<+.由假设,显然()f x 在[,]X X -上连续,故()f x 在[,]X X -上有界,即存在K ,使[,]x X X ∀∈-,有().f x K ≤取 {}max ,1M K A =+,则(,)x ∀∈-∞+∞,有()f x M ≤.二. 提高题1. 设1,1,()0, 1.x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()e xg x =，求[()]f g x .解 因为当0x ≤时，()e 1x g x =≤；当0x >时，()e 1xg x =>．所以1,0,(())0.0.x f g x x ≤⎧=⎨>⎩2. 计算下列极限.(1)n →∞; (2)2352limsin 53x x x x→∞++; (3)1101e lim ex x xx +→-+; (4)2013sin coslim (1cos )ln(1)x x x x x x →+++;(5) x →+∞;(6))n →∞);(7) 0lim x +→(8) 11lim ln x x x x x →- (9) 120e e e lim()x x nx x x n→+++ ; (10) 2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求a ;(11)(0lim xx π+→;解(1)n→∞=limn→∞n==(2)当x→∞时, 有22sinx x.因此223523526lim sin lim53535x xx xx x x x→∞→∞++=⋅=++.(3)1111001e e1lim lim1e e1x xx xx xx x++-→→---==-++.(4)21 0013sin1 3sin cos cos3 lim lim(1cos)ln(1)2(1cos)ln(1)x xxxx x xx x xx xx x→→++== ++++.(5) 原式= limx→+∞lim0x→+∞==.(6))2) 1.n n nnπ→∞→∞→∞===(7) 由于当0x+→时,12x- ,21cos2xx- ,所以(200001cos1lim lim lim lim2122x x x xxxx++++→→→→-====⋅⋅+.(8) 由于当1x→时,lne1lnx x x x- ,所以xlnx1111e1lnlim lim lim1ln ln lnxx x xx x xx x x x x x→→→--===. (9) 当0x→时, 有ln(1),e1kxx x kx+-,于是22001e e e1e e elim ln lim ln(1)x x nx x x nxx xnx n x n→→++++++-=+22001e e e1(e1)(e1)(e1) lim ln lim lnx x nx x x nxx xnx n x n→→+++--+-++-==2121lim(1).2xx x nx nnnx n→++++++===+故12e e elim()x x nxxx n→+++=1(1)2e n+.(10) 因为333233l i m l i m1l i m1ex a a xx xa x aax x xx a a ax a x a x a-⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以328l i m exaxx ax a→∞+⎛⎫==⎪-⎝⎭,故ln2a=.(11) ()00lim lim11)x xx xππ++→→⎡⎤=+⎣⎦2lim11)e.xπ+-→⎡=+=⎣3.比较下列无穷小:(1).当0→时，xxx++是x的几阶无穷小？(2).已知当x→1时，)(xf是1-x的等价无穷小，则)]()(1ln[xxfxf+-是1-x的几阶无穷小？解：(1)81limxxxxx++→=1lim2141++→xxxxx=1所以当x→0时，xxx++是x的81阶无穷小.(2)当x→1时，)(xf 1-x,所以)]()(1ln[xxfxf+-=)()1(1ln[xfx-+ )1(-x)(xf 2)1(-x即当1x→时，)]()(1ln[xxfxf+-是1-x的二阶无穷小.4．根据条件，解答下列各题：(1)当x0→时，1)1(31-+ax与1cos-x是等价无穷小，求a；(2)已知)1(lim2baxxxx--+→=0，（ba,为常数），求ba,;(3)设)(25)(22bkxxxxxf+-+--=，若)(lim xfx∞→=0，求k与b的值；(4)已知1)sin)(1ln(lim0-+→xx axxf=3,(),1,0≠>aa求2)(limxxfx→；(5)若xx xxfx1))(1(lim++→＝e，求xx xxf1))(1(lim+→；解(１)当0→x时，1)1(312-+ax≈23xa，1cos-x≈221x-，则当213-=a即a=23-时，两者是等价无穷小．(２因为1)()1(lim2+-+--∞→xbxbaxax＝０，所以1=a，1-=-=ab．(３)由)(lim xfx∞→＝2)2)(()5(lim2+++---∞→xxbkxxxx＝225)21()1(lim2+--++--∞→xbxbkxkx＝０．得01=-k，3,121-==⇒=++bkbk（４）由已知有,xxxfxx))(1ln(lim++→＝３，所以0sin)(lim=→xxfx．从而=-+→1)sin)(1ln(lim0xx axxfaxxxfx lnsin)(lim→＝axxfx ln)(lim2→＝３，故2)(limxxfx→＝aaaxxfxln3lnln)(lim2=⋅→．（５）由若xx xxfx1))(1(lim++→＝3e，得()ln(1)lim3xf xxxx→++=．所以 0()lim()0x f x x x→+=．从而 00()()ln(1)limlim 3x x f x f x x x x x x x→→+++==．故 0()lim 2x f x x x→=，因此 0()lim0x f x x →=． 由是()1()2()()lim 1lim 1e f x x x x f x x x x x f x f x x x →→⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦．5.求下列函数的间断点,并判断其类型:(1)22(4),0,sin ()(1)0,,1x x x x f x x x x x π⎧-⎪<⎪=⎨+>⎪⎪-⎩ (2)11().1e xxf x -=- 解 (1)当0x <时,()f x 在1,2,x =-- 无定义.对于2x =-,28lim ()x f x π→-=,所以2x =-为()f x 的可去间断点.易验证1,3,4,x =--- 是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点.当0x >时, ()f x 在1x =无定义,且1lim ()x f x →=∞,所以1x =是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点.当0x =时,由于220000(1)(4)4lim ()lim 0,lim ()lim 1sin x x x x x x x x f x f x x x ππ++--→→→→+-====--,所以0x =是()f x 的第一类间断点且为跳跃间断点.(2)0,1x x ==是()f x 的间断点.因为0011lim ()lim ,1e x x x x f x →→-==∞-所以0x =是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点; 又11111111lim ()lim 1,lim ()lim 01e 1e x xx x x x x xf x f x ++--→→→→--====--,所以1x =是()f x 的第一类间断点且为跳跃间断点.6.设2122()lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+是连续函数,求,a b 的值.解 当1x <时,有lim 0n n x →∞=,从而21222()lim 1n n n x ax bx f x ax bx x -→∞++==++. 当1x >时,有lim nn x →∞=∞,从而21222212211()lim lim 111n n n n n n na b x ax bx x x x f x x x x---→∞→∞++++===++. 当1x =时,11(1),(1)22a b a bf f ++-+-=-=. 因为()f x 是连续函数,所以11lim ()lim ()(1),x x f x f x f +-→→==即112a ba b ++=+=.及11lim ()lim ()(1),x x f x f x f +-→-→-==- 即 112a ba b -+--=-=, 解之得0,1a b ==. 7．试确定,a b 的值，使e ()()()x bf x x a x b -=--有无穷间断点x e =，可去间断点1x =．解 因为x e =是()f x 无穷间断点，所以a e =或b e =．若a e =，e ()()()x bf x x e x b -=--，再由1x =为间断点知1b =．此时11e 1lim ()lim ,()(1)x x x f x x e x →→-==∞--即1x =是()f x 无穷间断点，这与假设矛盾． 若b e =，e ()()()x ef x x a x e -=--，再由1x =为间断点知1a =．此时11e e lim ()lim ,lim ()lim ()(1)1()(1)x x x x x ex e e e ef x f x x e x e x e x →→→→--====∞-----． 因此地当1,a b e ==时， ()f x 有无穷间断点x e =，可去间断点1x =．三. 考研试题１．（９０，３分）设函数,1,1,0,1)(>≤⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f 则)](([x f f ＝ ．解 由)(x f 的定义知，当1≤x 时，有1)(=x f ．又1)1(=f ，于是当1≤x 时，复合函数1)](([=x f f ．当1>x 时，有0)(=x f ．又1)0(=f ，于是当1>x 时，复合函数1)](([=x f f ． 因此，对任意),(+∞-∞∈x ，有1)](([=x f f ．２．（03，4分）设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ，1lim =∞→n n b ，∞=∞→n n c lim ，则必有（Ａ）n n b a <对任意n 成立． (B) n n c b < 对任意n 成立． (C)极限0lim =∞→n n n c a 不存在． (D ）极限0lim =∞→n n n c b 不存在．解 因为由数列极限的不等式只能得出数列“当n 充分大时”有相应的不等式，而不能得出“对于任意n ”成立的不等式，所以(A)、（B ）不对．又因为“无穷小与无穷大之积”是未定型，极限可能存在也可能不存在，故（Ｃ）也不对．因此应选（Ｄ）．３（92，3分）．当1→x 时，函数112e 11---x x x 的极限 （Ａ）等于2． （Ｂ）等于0．（Ｃ）为∞． （Ｄ）不存在但不为∞解 因为002e )1(lim e 11lim 1111121=⋅=+=---→-→--x x x x x x x ， ∞=+=---→-→++1111121e )1(lim e 11lim x x x x x x x ．所以当1→x 时，函数112e 11---x x x 的极限不存在，也不为∞．故应选（Ｄ）． ４．（00，5分）求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x xx x sin e 1e 2lim 410．解 当0→x 时，对x1e 与x ，都必须考虑左、右根限．110sin e 1e e 2lim sin e 1e 2lim 4340410=+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---→→++x x x x xx x x x x x ， 110102sin e 1e 2lim sin e 1e 2lim 410410=-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--→→x x x x xx x x x x ． 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x x x x sin e 1e 2lim 410＝１． 5.（93，5分）求xx xx )1cos 2(sin lim +∞→．解 )11cos 2(sin 1cos sin 1)11cos 2(sin 1[lim )1cos 2(sinlim -+⋅-+∞→∞→-++=+x x x xx x x x xx x x ． 而 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x x x 111cos 12sin lim 111cos 2sin lim)11cos 2(sin lim2021212sinlim 2=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=∞→x x xx x ． 故 2)11cos 2(sin 11cos 2sin 1e )11cos 2(sin 1[lim )1cos 2(sinlim =-++=+-+⋅-+∞→∞→x x x xx x x x xx x x ．６．（０３，４分）21ln(1)lim(cos )x x x +→=解 因为)1ln(1cos 1cos 10)1ln(1)]1(cos 1[lim )(cos lim x x x x x x x x +-⋅-→+→-+=．而212lim )1ln(1cos lim 22020-=-=+-→→x x x x x x ．故 )1ln(1cos 1cos 10)1ln(122)]1(cos 1[lim )(cos lim x x x x xx x x +-⋅-→+→-+==21e-．７．（９７，３分）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→． 解 注意到,1)1ln(lim ,1sin lim00=+=→→xx x x x x 则 23)1ln()cos 1(1cossin 3lim )1ln()cos 1(1cos sin 3lim20=+++=+++→→x x x x x x x x x x x x x x ． 8．（97，3分）设{=)(x f 0,0,)(cos 2=≠-x a x x x 在0=x 处连续，求a 的值．解 1e e lim )(cos lim )(lim 0cos ln 022=====-→-→→xxx x x x x x f a ．9．（95，3分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++∞→n n n n n n n n 22222211lim ． 解 记=n x n n n nn n n +++++++++22222211 ，则)21(11)21(2122n n x n n n n ++++≤≤++++ ． 故由夹逼法则得21)21(11lim )21(21limlim 22=++++=++++=∞→∞→∞→n n n n n x n n n n ．四.测试题１．单项选择题：（１）设22(),(())2,x f x x f x ϕ==则()()x ϕ=（Ａ）．2x （).2x B （Ｃ）2.log x （Ｄ）．22log x ．（２）函数()log ((1)a f x x a =+>为（ ）（Ａ）．有界函数 （).B 偶函数 （Ｃ）．奇函数 （Ｄ）．非奇非偶函数（３）011lim(sin sin )()x x x x x →+=．（Ａ）．０ （B ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）．不存在．（４）0lim (xx x a x a →⎛⎫ ⎪+⎝⎭为常数)等于（ ） （Ａ）．e a - （Ｂ）．e a （Ｃ）．1e a - （Ｄ）． 1e a-（５）0ln(1sin )lim()x x x→-= （Ａ）．e Ｂ．e - Ｃ．1 Ｄ． 1- （６）设()232xxf x =+-，则当0x →时，有（ ）（Ａ）．()f x 与x 是等价无穷小 （Ｂ）()f x 与x 同阶但非等价无穷小 （Ｃ）．()f x 是比x 高阶的无穷小 （Ｄ）．()f x 是比x 低阶的无穷小２．填空题（１）设函数()f x 的定义域为[1,1]-，则(ln )f x 的定义域为 ．（２）若214lim3,1x x ax x →-+=--则a = ． （３）设22,11(),1x bx x x f x a x ⎧++≠⎪-⎪=⎨=⎪⎪⎩，在点1x =处连续，则 b = ，a = ．３．计算题 （１）cos sin lim(0)cos sin 2n nn n n θθπθθθ→∞-≤≤+； （２）11021lim21xx x →-+； （３）10lim (0,0,0)3x x xxx a b c a b c →⎛⎫++>>>⎪⎝⎭； （４）()tan 2lim sin xx x π→. ３．设()lim e x x xxxn n n f x n n ---→∞-=+，研究()f x 的连续性． ５．证明下列各题：（１）设()f x 在[,]a b 连续，且a c d b <<<a c d b <<<，证明：在[,]a b 上至少存在一点ξ，使()()()()pf c qf d p q f ξ+=+其中,p q 为任意正常数．（２）设()f x 在[0,1]上连续，又设()f x 只取有理数，且1()22f =，试证()f x 在[0,1]上处处为()2f x =．测试题解答１．（１）（Ｂ）；（２）（C ）；(3) （B ）；(4) (A)；(5) （D ）；(6) （B ）. 2．（１）1[,e]e；（２）5a =；（３）1a =，3b =-；３．（１）当04πθ≤≤时，有sin limlim tan 0cos n nn n n θθθ→∞→∞==，从而 sin 1cos sin os lim lim 1sin cos sin 1os n n n n n n n n n n c c θθθθθθθ→∞→∞--==++； 当4πθ=时，有sin cos 2θθ==，从而cos sin lim 0cos sin n n n n n θθθθ→∞-=+； 当42ππθ<≤时，有cos lim lim cot 0sin n nn n n θθθ→∞→∞==，从而os 1cos sin sin lim lim 1os cos sin 1sin n n n n n n n n n n c c θθθθθθθθ→∞→∞--==-++． (2) 因为11100111212lim lim 1,11212x x x x x x++→→--==++1102101lim 10121x x x -→--==-++,所以11021lim 21x x x →-+不存在. (3) 因为1111()1333003lim lim 133x x x x x x a b c x x xxxx x x x xa b c x x a b c a b c ---++++-→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++-⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,而3303lim 1e 3xxx x x xab c x a b c ++-→⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭,000111limln ,lim ln ,lim ln x x x x x x a b c a b c x x x→→→---===. 故1111()1333003lim lim 133x x x x x x a b c x x xxxxx x x xa b c x x a b c a b c ---++++-→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++-⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11(ln ln ln )33e()a b c abc ++==.(4) 因为()()1tan (sin 1)tan sin 122lim sin lim 1(sin 1)xx x x x x x x ππ⋅-⋅-→→=+-()(sin 1)tan 1sin 12lim 1(sin 1)x xx x x π-⋅-→⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦.而 ()1s i n 12l i m 1(s i n 1)ex x x π-→+-=, 222sin (sin sin )2lim(sin 1)tan lim(sin 1)tan limsin()2x x x x x x x x x x πππππ→→→--=-=+2222sincos22limsin 222sin cos 22x x x x x x πππππ→-+=⋅++=2sin()24lim sin 0sin()24x x x x πππ→-=⋅=+. 故()tan 2lim sin 0xx x π→=.５．0x >时，有221()lim e lim e e 1x x x x x xx x xn n n n n f x n n n -------→∞→∞--===++；当0x =时，有11()lim e lim e 011x x x xxx n n n n f x n n ----→∞→∞--===++； 当0x <时，有221()lim e lim e e 1x x x x xx xx x n n n n n f x n n n -----→∞→∞--===-++． 故e ,0()0,0e ,0x xx f x x x --⎧-<⎪==⎨>⎪⎩．而0lim ()lim e 1,lim ()lim e 1x x x x x x f x f x --++--→→→→=-=-==，所以()f x 在(,)-∞+∞内除0x =为第一类间断点外，其余各点都连续．５．证（１）令()()()()()F x p q f x pf c qf d =+--，则()F x 在[,]c d 上连续，且()()()()()[()()]F c p q f c pf c qf d q f c f d =+--=-． ()()()()()[()()]F d p q f d pf c qf d q f d f c =+--=-．则当()()0f c f d -=时，可知,c d 均可取作ξ；而当()()0f c f d -≠时，又0,p >0q <，于是有2()()[()()]0F c F d p q f c f d =--<，由零点定理知，至少存在一点[,][,]c d a b ξ∈⊂，使()0F ξ=，即()()()()pf c qf d p q f ξ+=+．（２）设0x 为[0,1]上异于12的任意一点，因为()f x 在[0,1]上连续，如果01()()22f x f ≠=，则由介值定理知，()f x 必取得介于0()f x 与2之间的任何值，包括有理值和无理值．这与()f x 只取有理值矛盾，故01()()22f x f ==，因此在[0,1]上()2f x ≡.。
2024年山东成人高考专升本高等数学(一)真题及答案
2024年山东成人高考专升本高等数学(一)真题及答案1. 【选择题】当x→0时，ln(1+x2)为x的( )A. 高阶无穷小量B. 等价无穷小量C. 同阶但不等价无穷小量D. 低阶无穷小量正确答案：A参考解析：2. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：C参考解析：3. 【选择题】设y(n-2)=sinx，则y(n)=A. cosxB. -cosxC. sinxD. -sinx正确答案：D参考解析：4. 【选择题】设函数f(x)=3x3+ax+7在x=1处取得极值，则a=A. 9B. 3C. -3D. -9正确答案：D参考解析：函数f(x)在x=1处取得极值，而f'(x)=9x2+a，故f'(1)=9+a=0，解得a=-9．5. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：B参考解析：6. 【选择题】A. sin2xB. sin2xC. cos2xD. -sin2x正确答案：B参考解析：7. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：D参考解析：8. 【选择题】函数f(x，y)=x2+y2-2x+2y+1的驻点是A. (0，0)B. (-1，1)C. (1，-1)D. (1，1)正确答案：C参考解析：由题干可求得f x(x，y)=2x-2，f y(x，y)=2y+2，令f x(x，y)=0，f y(z，y)=0，解得x=1，y=-1，即函数的驻点为(1，-1)．9. 【选择题】下列四个点中，在平面x+y-z+2=0上的是A. (-2，1，1)B. (0，1，1)C. (1，0，1)D. (1，1，0)正确答案：A参考解析：把选项中的几个点带入平面方程，只有选项A满足方程，故选项A是平面上的点．10. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：B 参考解析：11. 【填空题】参考解析：12. 【填空题】参考解析：13. 【填空题】参考解析：14. 【填空题】参考解析：15. 【填空题】参考解析：16. 【填空题】参考解析：17. 【填空题】参考解析：18. 【填空题】参考解析：19. 【填空题】参考解析：20. 【填空题】过点(1，0，-1)与平面3x-y-z-2=0平行的平面的方程为____.参考解析：平面3x-y-z-2=0的法向量为(3，-1，-1)，所求平面与其平行，故所求平面的法向量为(3，-1，-1)，由平面的点法式方程得所求平面方程为3(x-1)-(y-0)-(z+1)=0，即3x-y-z-4=0．21. 【解答题】参考解析：22. 【解答题】参考解析：23. 【解答题】求函数f(x)=x3-x2-x+2的单调区间．参考解析：24. 【解答题】求曲线y=x2在点(1，1)处的切线方程．参考解析：25. 【解答题】参考解析：26. 【解答题】参考解析：27. 【解答题】参考解析：28. 【解答题】证明：当x>0时，e x>1+x．参考解析：设f(x)=e x-1-x，则f'(x)=e x-1．当x>0时，f'(x)>0，故f(x)在(0，+∞)单调递增．又因为f(x)在x=0处连续，且f(0)=0，所以当x>0时，f(x)>0．因此当x>0时，e x-1-x>0，即e x>1+x．。
成人高考成考高等数学(二)(专升本)试卷及解答参考
成人高考成考高等数学(二)(专升本)复习试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=2x−3x)，则函数的零点个数是：A. 1B. 2C. 3D. 02、设函数(f(x)=e x sinx)，则该函数的导数(f′(x))为：A.(e x(sinx+cosx))B.(e x(sinx−cosx))C.(e x cosx)D.(e x sinx)3、设函数f(x)=x3-6x2+9x，若函数在x=1处取得极值，则该极值是：A. 4B. 0C. -4D. 84、下列函数中，定义域为实数集的有（）A、f(x) = √(x^2 - 1)B、g(x) = 1/xC、h(x) = |x| + 1D、k(x) = √(-x)5、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))的极值点为：A.(x=−1)和(x=1)B.(x=−1)和(x=2)C.(x=0)和(x=1)D.(x=0)和(x=2)6、设函数(f(x)=3x2−4x+1)，则该函数的图像开口方向是：A. 向上B. 向下C. 水平D. 垂直)，其定义域为((−∞,0)∪(0,+∞))，则函数(f(x))在(x=0)处7、设函数(f(x)=1x的极限值为：A. -∞B. +∞C. 0D. 不存在8、若函数(f(x)=x3−3x2+4x+1)在点(x=1)处可导，且其导数的反函数为(g(x))，则(g′(1))等于：B. -1C. 0D. 29、若函数(f(x)=11+x2)的定义域为(D f)，则(D f)为：A.((−∞,+∞))B.((−∞,−1)∪(−1,+∞))C.((−∞,−1]∪[−1,+∞))D.((−1,1]∪[1,+∞))10、设函数f(x)=1xlnx，则f(x)的导数f′(x)为：A.−1x2lnx+1x2B.1x2lnx−1x2C.1x lnx−1x2D.−1x lnx+1x211、设函数(f(x)=11+x2)，则(f′(0))的值为：A.(−1)B.(0)C.(12)D.(11+02)12、设函数f(x)=x 3−3xx2−1，则f′(1)的值为：A. 1C. 0D. 无定义二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数f(x) = x² - 3x + 2，若f(x)在x=1处的导数为0，则f(x)的极值点为______ 。
专升本成人高考数学试卷
一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1. 若函数f(x) = 2x - 1在区间[1, 3]上单调递增，则函数f(x)的值域为（）A. [1, 5]B. [0, 5]C. [1, 4]D. [0, 4]2. 已知等差数列{an}的公差d=2，且a1+a5=20，则该数列的通项公式为（）A. an=2n+1B. an=2n-1C. an=2nD. an=2n+23. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(2, -1)，则向量a·b的值为（）A. 3B. -3C. 5D. -54. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上的最大值为（）A. 0B. 1C. 4D. 55. 已知等比数列{an}的公比q=2，且a1+a4=48，则该数列的通项公式为（）A. an=2n+1B. an=2n-1C. an=2nD. an=2n+26. 若函数f(x) = 3x - 2在区间[0, 2]上单调递减，则函数f(x)的值域为（）A. [0, 4]B. [1, 5]C. [2, 6]D. [3, 7]7. 已知等差数列{an}的公差d=3，且a1+a5=30，则该数列的通项公式为（）A. an=3n+1B. an=3n-1C. an=3nD. an=3n+38. 若向量a=(1, 2)，向量b=(2, -1)，则向量a×b的值为（）A. 3B. -3C. 5D. -59. 若函数f(x) = x^2 + 2x + 1在区间[1, 3]上的最小值为（）A. 0B. 1C. 4D. 510. 已知等比数列{an}的公比q=3，且a1+a4=108，则该数列的通项公式为（）A. an=3n+1B. an=3n-1C. an=3nD. an=3n+311. 若函数f(x) = 4x - 3在区间[0, 2]上单调递增，则函数f(x)的值域为（）A. [0, 5]B. [1, 7]C. [2, 8]D. [3, 9]A. an=2n+1B. an=2n-1C. an=2nD. an=2n+213. 若向量a=(1, 2)，向量b=(2, -1)，则向量a·b的值为（）A. 3B. -3C. 5D. -514. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 9在区间[1, 3]上的最大值为（）A. 0B. 1C. 4D. 515. 已知等比数列{an}的公比q=4，且a1+a4=192，则该数列的通项公式为（）A. an=4n+1B. an=4n-1C. an=4nD. an=4n+416. 若函数f(x) = 5x - 4在区间[0, 2]上单调递减，则函数f(x)的值域为（）A. [0, 6]B. [1, 8]C. [2, 10]D. [3, 11]17. 已知等差数列{an}的公差d=3，且a1+a5=36，则该数列的通项公式为（）A. an=3n+1B. an=3n-1C. an=3nD. an=3n+318. 若向量a=(1, 2)，向量b=(2, -1)，则向量a×b的值为（）A. 3B. -3C. 5D. -519. 若函数f(x) = x^2 - 8x + 16在区间[1, 3]上的最小值为（）A. 0B. 1C. 4D. 520. 已知等比数列{an}的公比q=5，且a1+a4=800，则该数列的通项公式为（）A. an=5n+1B. an=5n-1C. an=5nD. an=5n+5二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）21. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[1, 3]上的最大值为（）22. 已知等差数列{an}的公差d=2，且a1+a5=30，则该数列的通项公式为（）23. 若向量a=(1, 2)，向量b=(2, -1)，则向量a·b的值为（）24. 若函数f(x) = 3x - 2在区间[0, 2]上单调递减，则函数f(x)的值域为（）26. 若函数f(x) = 4x - 3在区间[0, 2]上单调递增，则函数f(x)的值域为（）27. 已知等差数列{an}的公差d=2，且a1+a5=28，则该数列的通项公式为（）28. 若向量a=(1, 2)，向量b=(2, -1)，则向量a×b的值为（）29. 若函数f(x) = 5x - 4在区间[0, 2]上单调递减，则函数f(x)的值域为（）30. 已知等比数列{an}的公比q=4，且a1+a4=192，则该数列的通项公式为（）三、解答题（本大题共2小题，每小题20分，共40分）31. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求函数f(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。
成人高考专升本数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = |x|B. y = 1/xC. y = √xD. y = x^22. 已知等差数列{an}的公差d=3，且a1+a5=30，则a3=（）A. 9B. 12C. 15D. 183. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an=3^n-2^n，则S4=（）A. 85B. 90C. 95D. 1005. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，若f'(x) = 0，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知等比数列{an}的公比q=2，且a1+a4=18，则a2=（）A. 2B. 4C. 6D. 87. 已知函数f(x) = (x-1)^2，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 58. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an=2^n-1，则S4=（）A. 15B. 16C. 17D. 189. 已知函数f(x) = (x-1)^3，则f'(2)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知等差数列{an}的公差d=-2，且a1+a5=0，则a3=（）A. 0B. 2C. 4D. 6二、填空题（每题3分，共30分）11. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3在x=2时取得最小值，则该最小值为______。
12. 已知等比数列{an}的公比q=1/2，且a1=8，则a4=______。
13. 若函数f(x) = (x-1)^3在x=2时取得最大值，则该最大值为______。
14. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an=2^n+1，则S4=______。
15. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1在x=1时取得极值，则该极值为______。
成人高考专升本考试高等数学(二)真题汇编3(含答案)
成人高考专升本考试高等数学（二）真题汇编3 一、单项选择题√解析：本题考查了不定积分的知识点.本题考查了不定积分的知识点.A.∞B.0C.1√解析：本题考查了极限（洛必达法则）的知识点．A.一定有定义B.一定有f（x0）=AC.一定连续D.极限一定存在√解析：本题考查了极限的知识点．A.1 √B.2C.3D.4解析：本题考查了函数在一点处连续的知识点．f（x）在x=0处连续，所以f（x）在x=0处左连续、右连续，5.对于函数z=xy，原点（0，0）（）A.不是函数的驻点B.是驻点不是极值点√C.是驻点也是极值点D.无法判定是否为极值点解析：本题考查了函数的驻点、极值点的知识点．6.下列反常积分发散的是（）√解析：本题考查了无穷区间反常积分的发散性的知识点．7.函数f（x）=x4-24x2+6x在定义域内的凸区间是（）A.（-，0）B.（-2，2）√C.（0，+∞）D.（-∞，∞）解析：本题考查了函数的凸区间的知识点．8.设y=xn，n为正整数，则y（n）=（）A.0B.1C.nD.n! √解析：本题考查了一元函数的高阶导数的知识点．9.下列四个函数不能做随机变量x的分布函数的是（）√解析：本题考查了分布函数的知识点．A.F（cosx）+CB.F（sinx）+C√C.-F（cosx）+CD.-F（sinx）+C解析：本题考查了不定积分的换元积分法的知识点．二、填空题填空项1:__________________（正确答案：无）解析：本题考查了简单有理函数的积分的知识点．填空项1:__________________（正确答案：mk）解析：本题考查了函数在一点处连续的的知识点.填空项1:__________________（正确答案：f1y+f2）解析：本题考查了复合函数的一阶偏导数的知识点．14.设曲线y=x2+x-2在点M处切线的斜率为2，则点M的坐标为（）填空项1:__________________（正确答案：无）解析：本题考查了曲线上一点处的切线的知识点．15.填空项1:__________________（正确答案：-1）解析：本题考查了定积分的性质的知识点．填空项1:__________________（正确答案：1/2）解析：本题考查了无穷区间的反常积分的知识点．填空项1:__________________（正确答案：1）解析：本题考查了函数可导的定义的知识点．填空项1:__________________（正确答案：e-1）解析：填空项1:__________________（正确答案：无）解析：本考题考查了一元函数的一阶倒数的知识点填空项1:__________________（正确答案：1/2）解析：本题考查了极限的知识点．三、问答题_____________________________________________________________________ _____________________正确答案：（无）解析：_____________________________________________________________________ _____________________正确答案：（无）_____________________________________________________________________ _____________________正确答案：（无）解析：24.电路由两个并联电池A与B，再与电池C串联而成，设电池A、B、C损坏的概率分别是0.2，0.2，0.3，求电路发生间断的概率。
2024年成人高考专升本《数学》试卷真题附答案
2024年成人高考专升本《数学》试卷真题附答案一、选择题（每小题5分，共30分）1. 设集合A={x|x^24x+3<0}，B={x|x^24x+3≥0}，则A∪B=______。
A. RB. (∞, 3]C. (3, +∞)D. 空集2. 函数f(x)=x^33x+2的导数f'(x)的零点个数是______。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 若等差数列{an}的通项公式为an=2n1，则数列{an^2}的前5项和是______。
A. 55B. 60C. 65D. 704. 设函数f(x)=ln(x+1)，则f(x)在区间(0, +∞)上是______。
A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增5. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，则三角形ABC是______。
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形6. 若直线y=2x+3与圆x^2+y^2=9相切，则圆的半径是______。
A. 3B. 2C. 1D. √2二、填空题（每小题5分，共20分）7. 已知函数f(x)=x^24x+3，则f(x)的极小值为______。
8. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1+a2+a3=14，a1a2a3=8，则q=______。
9. 已知抛物线y=x^24x+3的顶点坐标为______。
10. 已知直线y=2x+3与圆x^2+y^2=9相切，则切点坐标为______。
三、解答题（每小题10分，共30分）11. 解不等式组：x2y≤4，2x+y≥6。
12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+3n，求an。
13. 已知函数f(x)=x^33x+2，求f(x)的单调区间和极值。
四、证明题（10分）14. 已知等差数列{an}的公差为d，证明：an+1an1=2d。
五、应用题（10分）15. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且满足a^2+b^2+c^2=36，求长方体的最大体积。
2023年成人高考专升本数学考试真题与答案
2023年成人高考专升本数学考试真题与答案一、选择题1. 题目：以下哪个不是函数的定义域？- A. 实数集- B. 自然数集- C. 有限集- D. 空集- 正确答案：B2. 题目：已知函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求 f(2) 的值。
- A. 3- B. 8- C. 7- D. 9- 正确答案：C二、填空题1. 题目：求解方程 2x + 3 = 7 的解。
- 答案：x = 22. 题目：已知三角形 ABC，其中∠B = 90°，边 AC = 5，边BC = 3，求∠A 的大小。
- 答案：∠A = 45°三、计算题1. 题目：计算 2^3 × 4^2 - (5 + 3^2) 的值。
- 答案：402. 题目：已知三角形 ABC，其中∠A = 60°，边 AB = 3，边BC = 4，求边 AC 的长度。
- 答案：边AC ≈ 5.36四、简答题1. 题目：什么是平行线？如何判断两条直线是否平行？- 答案：平行线是在同一个平面内永不相交的两条直线。
判断两条直线是否平行，可以使用以下方法：- 方法1：如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行线。
- 方法2：如果两条直线的法向量相等，则它们是平行线。
2. 题目：简述解一元一次方程的步骤。
- 答案：解一元一次方程的步骤如下：- 1. 将方程转化为标准形式，即将所有项移到等式左边，等式右边为0。
- 2. 通过合并同类项，化简方程。
- 3. 通过移项，将未知量的项移到方程的一边，使另一边为0。
- 4. 根据未知量的系数和常数项的值，进行运算，求得未知量的解。
以上为2023年成人高考专升本数学考试的真题与答案。
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成人高考专升本数学试卷
成人高考专升本数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 函数y = √(x - 1)的定义域是（）A. (-∞,1]B. [1,+∞)C. (-∞,0]D. [0,+∞)2. 设函数y = f(x)在点x_0处可导，则limlimits_Δ x→0(f(x_0 + Δ x)-f(x_0))/(Δ x)等于（）A. f(x_0)B. f'(x_0)C. 0D. 不存在。
3. 过点(1,2)且与直线2x - y + 3 = 0平行的直线方程为（）A. 2x - y = 0B. 2x - y + 4 = 0C. 2x - y - 4 = 0D. 2x + y = 04. 已知向量→a=(1,2)，→b=(3,-1)，则→a·→b等于（）B. -1C. 5D. -55. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的顶点坐标是（）A. (-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})B. ((b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})C. (-(b)/(2a),-frac{4ac - b^2}{4a})D. ((b)/(2a),-frac{4ac - b^2}{4a})6. 设A=(12 34)，则| A|等于（）A. -2B. 2C. -1D. 17. 若sinα=(3)/(5)，且α是第二象限角，则cosα等于（）A. (4)/(5)B. -(4)/(5)C. (3)/(4)D. -(3)/(4)8. 在等比数列{a_n}中，a_1 = 1，公比q = 2，则a_5等于（）B. 32C. 8D. 49. 函数y=ln x在x = e处的切线方程为（）A. y=(1)/(e)xB. y = (1)/(e)x+1C. y=(1)/(e)x - 1D. y = ex10. 定积分∫_0^1x^2dx的值为（）A. (1)/(3)B. (1)/(2)C. 1D. 0二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 函数y = (1)/(x - 1)的间断点是x=_1。
2023年成人高考专升本高等数学(二)真题+参考答案解析
2023年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学（二）真题一、选择题（1~10小题，每题4分，共40分。
在每小给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的）1.x→∞x2+1 x2+xlim=()A.-1B.0C.12D.12.设f(x)=x3+5sin x,f'(0)=()A.5B.3C.1D.03.设f(x)=ln x-x,f'(x)=()A.xB.x-1C.1x D.1x-14.f(x)=2x3-9x2+3的单调递减区间为()A.(3,+∞)B.(-∞,+∞)C.(-∞,0)D.(0,3)5.x23dx=()A.x32+CB.35x53+C C.x53+C D.x13+C6.设函数f(x)=x ,则1-1f(x)dx=()A.-2B.0C.1D.27.连续函数f(x)满足x0f(t)dt=e x-1,求f'(x)=()A.e xB.e x-1C.e x+1D.x+18.设z=e xy,dz=()A.e xy dx+e xy dyB.e x dx+e y dyC.ye xy dx+xe xy dyD.e y dx+e x dy9.设z=14(x2+y2),∂2z∂x∂y=()A.x2B.0 C.y2D.x+y10.扔硬币5次，3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.二、填空题(11~20小题，每题4分，共40分)11.x→31+x-2x-3=lim。
12.x→∞(x+1 x-1)lim x=。
13.f(x)=e2x,则f(n)(0)=。
14.f(x)=x2-2x+4在(x0,f(x))处切线与直线y=x-1平行，x=。
15.曲线y=xe x的拐点坐标为。
16.y=2x1+x2的垂直渐近线是。
17.xx2+4dx=。
18.曲线y=x2与x=y2所围成图形的面积是。
19.+∞0xe-x2dx=。
20.z=x2+y2-x-y-xy的驻点为。
三、解答题(21~28小题，共70分。
全国成人高考专升本高等数学(一)考点汇编
第一章极限和连续【考点1】极限的三大性质1.唯一性2.局部保号性3.局部有界性【考点2】极限的四大运算法则若lim f (x )=A ,lim g (x )=B ，那么1.lim f (x )士g (x )=lim f (x )士lim g (x )=A 士B2.lim f (x ).g (x )=lim f (x ).lim g (x )=A .B3.limf g x x =l l i i m m f g x x =AB(B 子0)4.lim f (x )g (x )=lim f (x )lim g (x )=A B (A >0)【考点3】夹逼准则若数列{xn },{y n },{z n }满足y n <x n <z n ，且l n y n =lnz n =a ，则数列的极限存在，且l nx n =a若函数f (x ),g (x ),h (x )满足g (x )<f (x )<h (x )，且lim g (x )=lim h (x )=A ，则lim f (x )存在，且lim f (x )=A 【考点4】无穷小量与无穷大量的比阶是在同一自变量变化过程中的无穷小，且a 子0若lim=0，则β是a 的高阶无穷小，记为β=o (a )；若lim =父，则β是a 的低阶无穷小；若lim =c 产0，则β是a 的同阶无穷小；若lim =1，则β是a 的等价无穷小，记为β~a ；若lim=c 产0(k >0)，则β是a 的k 阶无穷小。
【考点5】无穷小量的性质无穷小乘有界函数仍为无穷小；有限个无穷小的和仍为无穷小；有限个无穷小的乘积仍为无穷小。
【考点6】两个重要极限1.lim =1x →0x (1)x2.lx1+x )|=e 【考点7】连续与间断(|l x|l l x=lx=f (x 0)若f (x 0+0),f (x 0−0)均存在，则x 0是第一类间断点f (x 0+0)=f (x 0−0)产f (x 0)时，x 0为可去间断点f (x 0+0)产f (x 0−0)时，x 0为跳跃间断点若f (x 0+0),f (x 0−0)至少有一个不存在，则x 0是第二类间断点极限不存在且为无穷大时，x 0为无穷间断点极限不存在且为振荡时，x 0为振荡间断点sin x 连续：〈第二章一元函数微分学【考点1】导数的概念与几何意义增量式：f '(x 0)=ix,f '(x )=ix（证明用）差值式：f '(x 0)=lx（计算用）切线方程：y −f (x 0)=f '(x 0)(x −x 0)法线方程：y −f (x 0)=−(x −x 0)(f '(x 0)士0)【考点2】导数的计算C '=0(x a)'=axa −1(cos x )'=−sin x (tan x )'=sec 2x(sec x )'=sec x tan x (csc x )'=−csc x cot x (e x)'=ex(log a x )'=(arcsin x )'=(arccos x )'=−(arccot x )'=−(ln (x +))'=(u 土v )'=u '土v '(Cu )'=Cu '(uv )'=u 'v +uv '1.复合函数求导2.反函数求导3.隐函数求导4.幂指函数求导5.参数方程求导6.分段函数求导(sin x )'=cos x (cot x )'=−csc 2x(a x)'=axln a(ln x )'=(arctan x )'=(ln (x +))'='=(v 士0)1−x1−x【考点3】微分中值定理1.罗尔定理：设f (x )在[a ,b ]内连续，(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )，则二ξe (a ,b )，使得f '(ξ)=0.2.拉格朗日中值定理：设f (x )在[a ,b ]内连续，(a ,b )内可导，则二ξe (a ,b )，使得f '(ξ)=f (b )−f (a ).【考点4】洛必达法则若lim f (x )=0(伪/?),lim g (x )=0(伪)，f (x ),g (x )在点x 0的某去心邻域内可导，且limf '(x )存在或为无穷大，则limf (x )=limf '(x )x →x 0g '(x )x →x 0g (x )x →x 0g '(x )【考点5】单调性与极值1.单调性设函数y =f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内可导如果在(a ,b )内f '(x )之0，且等号仅在有限个点成立，则y =f (x )在上单调递增；如果在(a ,b )内f '(x )<0，且等号仅在有限个点成立，则y =f (x )在上单调递减；2.极值f (x )在x =x 0处连续，且在x 0的某去心邻域内可导若x e (x 0−δ,x 0)时，f '(x )<0，x e (x 0,x 0+δ)时，f '(x )>0，则x 0为极小值点若x e (x 0−δ,x 0)时，f '(x )>0，x e (x 0,x 0+δ)时，f '(x )<0，则x 0为极大值点【考点6】凹凸性与拐点b −ax →x 0x →x 0设y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导若f''(x)>0，则称y=f(x)为凹函数；若f''(x)<0，则称y=f(x)为凸函数2.拐点若f(x)在x0处连续，在x0的某去心邻域二阶可导，f''(x)在点(x0,f(x0))两侧变号（f'(x)单调性相反），则点(x0,f(x0))为y=f(x)的拐点【考点7】曲线的渐近线1.铅直渐近线：若x mx0f(x)=伪，则x=x0为一条铅直渐近线(x→x+0)(x→x−0)2.水平渐近线：若lx=b，则y=b为一条水平渐近线第三章一元函数积分学【考点1】原函数与不定积分的概念1.原函数的定义：如果F(x)在区间I上可导，而且对v x=I，都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数2.原函数存在定理①连续函数必有原函数②含有跳跃、可去、无穷间断点的函数一定没有原函数③含有震荡间断点的函数可能有也可能没有原函数3.原函数之间的关系：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数，其中C为任意常数，这说明，原函数若存在，不唯一。
2024年成人高考专升本《数学》考试真题附答案
2024年成人高考专升本《数学》考试真题附答案一、选择题（每题1分，共5分）A. 牛顿B. 欧拉C. 高斯D. 希尔伯特2. 设函数f(x)在区间(∞, +∞)内连续，且f(x) = f(x)，则f(x)是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 周期函数D. 非奇非偶函数A. 交换两行B. 两行相加C. 两行互换D. 两行相乘4. 若函数y = f(x)在点x0处可导，则f'(x0)表示（）A. 曲线在点(x0, f(x0))处的切线斜率B. 曲线在点(x0, f(x0))处的法线斜率C. 函数在点x0处的极值D. 函数在点x0处的拐点5. 设A、B为两个事件，若P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，P(A∩B) =0.2，则P(A|B) = （）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何实数的平方都是非负数。
（）2. 若矩阵A的行列式为零，则A不可逆。
（）3. 函数的极值点必定在导数为零的点处取得。
（）4. 概率论中的大数定律表明，随机事件的频率会随着试验次数的增加而稳定在概率附近。
（）5. 线性方程组的解一定是唯一的。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = x^3 3x，则f'(x) = _______。
2. 矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]的行列式值是 _______。
3. 在平面直角坐标系中，点(1, 2)到原点的距离是 _______。
4. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则μ表示 _______。
5. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b) < 0，则根据闭区间上连续函数的零点定理，至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f(ξ) = _______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的条件和结论。
2. 什么是矩阵的秩？如何求矩阵的秩？3. 简述导数的物理意义。
成人高考专升本《高等数学(一)》通关资料
(特殊情况：对数求导法时，先两边同时取对数， 再求解）
一、求导方法
（七）对数函数求导法
利用对数函数的运算性质可以将原来的函数两边同时取对数后化简 然后利用隐函数求导法或复合求导法求导，因此称为对数求导法 通常解决函数类型为：
y u( x)v( x) 步骤为： （1）两边同时取对数得 ln y vx.lnu( x)
0,则函数f (x)在区间(a, b)内是递增的 0,则函数f (x)在区间(a, b)内是递减的 0不影响f (x)的单调性.
五、导数的应用
（四）函数的极值
1.极值的第一充分条件
设f (x)在x0的某领域内可导.
1 若x x0 时，f"(x) 0，x 0 x ，" f (x) 0时则0 称x 为极大值点，0f (x )为极大
在连续的曲线上的凹弧与凸弧之间的分界点称为曲线的拐点。
五、导数的应用
（六）曲线的水平渐近线与铅直渐近线
定义：
若 lim f (x) A或 lim f (x) A或 lim f (x) A，
dt
三、导数
（六）隐函数的求导
解析法表示函数通常有两种： （1）.y f（x）来表示的，称之为显函数。
如y sinwx，y xe ln（x 1 2 x ） （2）.x与y之间的函数关系是由一 个方程F（x，y）
这种称之为隐函数，
0来确定
如2x y3 -1 0，xy -x e y e 0 对于隐函数的求导通常做法： 可直接在方程F（x，y） 0的两端同时对x求导，而把y 视为中间变量，利用复合函数求导法即可。
M (x0，f (x0 ))的切线方程为：
y - f (x ) "f (x )(x x )
成人高考专升本数学真题
成人高考专升本数学真题一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数y=f(x)在点x=a处的导数为f'(a)，若f'(a)=0，则在x=a处A. 函数值最小B. 函数值最大C. 函数值不变D. 函数值可能最小也可能最大2. 设集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B为A. {1,2}B. {3,4}C. {3}D. {1,2,4,5}3. 若直线y=kx+b与曲线y=x^2相切，则k的值为A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1, a2, a3，且a1+a3=6，a2=3，则该数列的公差d为A. 1B. 2C. 3D. 46. 圆的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，其圆心坐标为A. (3,-4)B. (-3,4)C. (0,0)D. (3,4)7. 函数y=sin(x)的周期为A. πB. 2πC. π/2D. 4π8. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，则AB的行列式为A. 0B. 1C. 4D. 89. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为A. 0B. 1C. -1D. ∞10. 函数y=e^x的导数为A. e^xB. e^-xC. -e^xD. 0二、填空题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(2)=____。
2. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b3=____。
3. 圆的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，其半径为____。
4. 函数y=ln(x)的定义域为____。
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-----------------------P a g e1-----------------------中国石油大学（华东）现代远程教育招生统一考试考试大纲及综合练习题（专升本）中国石油大学（华东）远程教育学院专升本高等数学综合练习题一、函数、极限和连续1．函数y ? f (x) 的定义域是（） A ．变量x 的取值范围 B ．使函数y ? f (x) 的表达式有意义的变量x 的取值范围 C ．全体实数 D ．以上三种情况都不是 2 ．以下说法不正确的是（） A ．两个奇函数之和为奇函数B ．两个奇函数之积为偶函数C ．奇函数与偶函数之积为偶函数D ．两个偶函数之和为偶函数 3 ．两函数相同则（） A ．两函数表达式相同 B ．两函数定义域相同 C ．两函数表达式相同且定义域相同 D ．两函数值域相同 4 ．函数y ? 4 ?x ? x ?2 的定义域为（） A ．(2, 4) B ．[2, 4] C ．(2, 4]D ．[2, 4) 3 5 ．函数f (x) ? 2x ?3sinx 的奇偶性为（） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶D ．无法判断1? x 6 ．设f (1? x) ? , 则f (x) 等于( )2x ?1 x x? 2 1? x2 ?xA ．B ．C ．D ．2x?1 1? 2x 2x?1 1? 2x 7 ．分段函数是( ) A ．几个函数 B ．可导函数 C ．连续函数 D ．几个分析式和起来表示的一个函数8．下列函数中为偶函数的是( ) ?x 3A ．y ? eB ．y ? ln(?x)C ．y ? x cos xD ．y ? ln x 9 ．以下各对函数是相同函数的有( )8A ．f (x) ? x与g(x) ? ?xB ．f (x) ? 1? sin 2 x与g(x) ? cos xx ? 2 x ? 2x ? C ．f (x) ? 与g(x) ? 1 D ．f (x) ? x ? 2 与g(x) ? ?x ?2 ?x x ? 2 10．下列函数中为奇函数的是( )x ?x ? e ? e3 2 A ．y ? cos(x ? ) B ．y ? xsin x C ．y ?D ．y ? x ? x 32 11．设函数y ? f (x) 的定义域是[0,1],则f (x ? 1) 的定义域是( ) A ．[?2,?1]B ．[?1,0]C ．[0,1] D．[1,2]x ? 2 ? 2 ? x ? 0 ? ? 12．函数f (x) ? ?0 x ? 0 的定义域是( ) ? 2 ?x ?2 0 ? x ? 2 A ．(?2,2) B ．(?2,0] C ．(?2,2]D ．(0,2] 2x?3 13．若f (x) ? 1?x ? , 则f (?1) ?( ) 3 x ? 2x A ． B ．3C ．D ．1 ?3 ?1 14．若f (x) 在(??,??) 内是偶函数,则f (?x) 在(??,??) 内是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．f (x) ? 0 15．设f (x) 为定义在(??,??) 内的任意不恒等于零的函数,则F(x) ? f (x) ? f (?x) 必是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．F(x) ? 0x ?1, ?1? x ? 1 ? ? 2 16．设 f (x) ? ? 2x ?1, 1? x ? 2 则f (2?) 等于( ) ? ?0, 2 ? x ? 4A ．2? ?1B ． 2C ．0D ．无意义8? ?1 2 17．函数y ? x sin x 的图形（）oxoy y ? x A ．关于轴对称B ．关于轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线对称y 18．下列函数中,图形关于轴对称的有( )93 A ．y ? xcos xB ．y ? x ? x ? 1 x ?x x ?x e ?e e ? e C ．y ? D ．y ?2 2 f (x) ?1 19.函数与其反函数f (x) 的图形对称于直线( ) A ．y ? 0 B ．x ? 0C ．y ? xD ．y ? ?x x 20. 曲线y ? a 与y ? loga x(a ? 0, a ?1) 在同一直角坐标系中,它们的图形( ) x A ．关于轴对称B ．关于轴对称C ．关于直线轴对称D ．关于原点对称y y ? x 2 1．对于极限lim f (x) ，下列说法正确的是（）x?0 A ．若极限lim f (x) 存在，则此极限是唯一的x?0 B ．若极限lim f (x) 存在，则此极限并不唯一x?0 C ．极限lim f (x) 一定存在x?0 D ．以上三种情况都不正确22 ．若极限lim f (x) ? A 存在，下列说法正确的是（）x?0 A ．左极限lim f (x) 不存在 B ．右极限lim f (x) 不存在x?0? x?0? C ．左极限lim f (x) 和右极限lim f (x) 存在，但不相等x?0? x?0?D ．lim f (x) ? lim f (x) ? lim f (x) ? A x?0? x?0? x?0ln x?1 23 ．极限lim 的值是( ) x?e x?e1 e A ．1B ．C ．0D ． e ln cot x 24 ．极限lim 的值是( ) ．＋x?０ln x A ．0 B ． 1C ．D ．?1 ?2 ax ?b 25 ．已知lim ? 2 ，则（）x?0 xsin x A ．a ? 2,b ? 0 B ．a ? 1,b? 1 C ．a ? 2,b ? 1 D ．a ? ?2,b?0 10----------------------- Page 13-----------------------26 ．设0 ? a ? b ，则数列极限n n n 是lim a ?b n??? aA ．B ．C ．1D． b a?b 1 27 ．极限lim 的结果是 1 x?02 ? 3x 1 1 A ．0B ．C ．D ．不存在 2 51 28 ．lim xsin 为( ) x?? 2x1 A ．2 B ． C ．1 D．无穷大量2 sin mx 29 ．lim (m, n为正整数）等于（）x?0 sin nx m n mn A ． B ． C ．(?1)m?nD ．(?1)n?m n m nm 3 ax ?b 30 ．已知lim ? 1，则（）2 x?0 xtan x A ．a ? 2,b ? 0 B ．a ? 1,b ? 0 C ．a ? 6,b? 0D ．a ? 1,b? 1 x ? cos x 31 ．极限lim ( )x?? x ? cos x A ．等于1 B．等于0 C ．为无穷大D ．不存在sin x?1 x ?0 ? ? 32 ．设函数f (x) ? ? 0x ? 0 则lim f (x) ? ( )x?0 ? x ? e ?1 x ? 0 A ．1 B．0 C ． D ．不存在?1 33 ．下列计算结果正确的是( )1 1 xx 4 A ．lim(1? ) x ? e B ．lim(1? ) x ? ex?0 4 x?0 4 11 1 x ? ?4 x C ．lim(1? ) x ? e D ．lim(1? ) x ? e4 x?0 4x?0 4 1 34 ．极限lim ( )tan x 等于( ) x?0? x 1 A ． 1 B．? C ．0D ． 211----------------------- Page 14-----------------------? 1 1 ? 35 ．极限lim xsin ? sin x 的结果是? ? x?0 ? x x ?A ．B ．1 C．0 D ．不存在?11 36 ．lim xsin ?k ? 0?为( ) x?? kx1 A ．k B ． C ．1 D ．无穷大量k 37 ．极限lim sin x =( ) ? x??2 ??1 ? A ．0 B．1C ．D ．2 1 38 ．当x ? ? 时,函数(1? )x 的极限是( ) x e ? e A ． B ． C ．1 D ．?1sin x?1 x ? 0 ? ? 39 ．设函数f (x) ? 0x ? 0 ，则lim f (x) ? ? ?x?0 cos x?1 x ? 0 ? A ．1B ．0C ．D ．不存在?1 2 x ? ax?6 40 ．已知lim ? 5, 则a 的值是( ) x?1 1?xA ．7B ．C ． 2D ．3 ? 7 ?tan ax ?x ? 0 f (x) ? a 41 ．设? x ,且lim f (x) 存在,则的值是( ) ?x ? 2 x ?0 x?0 ? A ．1B． C ．2D ．?1 ? 2 42 ．无穷小量就是（） A ．比任何数都小的数 B ．零 C ．以零为极限的函数 D ．以上三种情况都不是 3sin(2x ? x ) x 43 ．当x ? 0 时，与比较是( ) A ．高阶无穷小 B ．等价无穷小 C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小 D ．低阶无穷小x ?0 x 44 ．当时，与等价的无穷小是（）sin x 2 A ． B ．ln(1?x) C ．2( 1? x ? 1?x) D ．x (x?1)x 3 45 ．当时，tan(3x? x ) 与比较是（）x ? 0 x12----------------------- Page 15-----------------------A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小1?x 46 ．设f (x) ? , g(x) ? 1? x, 则当x ? 1时（）2(1? x) A ．f (x) 是比g(x) 高阶的无穷小 B ．f (x) 是比g(x) 低阶的无穷小C ．f (x) 与g(x) 为同阶的无穷小D ．f (x) 与g(x) 为等价无穷小? a x ? 0 f (x) ? 1? x ?1x 47 ．当时, 是比高阶的无穷小,则( )a A ．a ? 1 B ．a ? 0 C ．为任一实常数 D ．a ?1 2 48 ．当时，与比较是（）x ? 0 tan 2x x A ．高阶无穷小 B ．等价无穷小 C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小 D ．低阶无穷小49 ．“当x ? x0 ，f (x) ? A为无穷小”是“lim f (x) ? A” 的（）x?x0A ．必要条件，但非充分条件B ．充分条件，但非必要条件C ．充分且必要条件D ．既不是充分也不是必要条件50 ．下列变量中是无穷小量的有( ) 1 (x ? 1)(x?1)A ．limB ．lim x?0 ln(x ? 1)x?1 (x? 2)(x ?1) 1 1 1 C ．lim cos D ．lim cos xsin x?? x xx?0 x 51．设f (x) ? 2x ?3x ?2, 则当x ? 0时( ) xx A ．f (x) 与是等价无穷小量 B ．f (x) 与是同阶但非等价无穷小量x xC ．f (x) 是比较高阶的无穷小量D ．f (x) 是比较低阶的无穷小量52 ．当x ? 0? 时,下列函数为无穷小的是( ) 11 1 xsinx sin xA ．B ．C ．D ．e ln x xx 53 ．当x ? 0 时,与sin x2 等价的无穷小量是( )A ．B ．tan xC ．D ．x ln(1? x)2 1? cos x e ?1 ? ?13----------------------- Page 16-----------------------1 54 ．函数y ? f (x) ? xsin , 当x ? ? 时f (x) ( ) x A ．有界变量 B ．无界变量 C ．无穷小量 D ．无穷大量55 ．当x ? 0 时,下列变量是无穷小量的有( ) 3 xcosx ? xA ．B ．C ．D ．ln xe x x sin x56 ．当x ? 0 时,函数y ? 是( )1? sec x A ．不存在极限的 B ．存在极限的 C ．无穷小量 D ．无意义的量57 ．若x ? x0 时, f (x) 与g(x) 都趋于零,且为同阶无穷小,则( ) f (x) f (x)A ．lim ? 0B ．lim ? ? x?x0 g(x) x?x0 g(x) f (x)f (x) C ．lim ? c(c ? 0,1) D ．lim 不存在x?x0 g(x) x?x0 g(x)x x 58 ．当x ? 0 时,将下列函数与进行比较,与是等价无穷小的为( )3 2 21 A ．tan x B ．1? x ?1 C ．csc x ? cot x D．x ? x sinx x x 59 ．函数f (x) 在点有定义是f (x) 在点连续的（）0 0A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．即非充分又非必要条件x 60 ．若点为函数的间断点，则下列说法不正确的是（）0lim f (x) ? A f (x) x f (x) x A ．若极限存在，但在处无定义，或者虽然在处有定义，但0 0 x?x0 A ? f (x )x f (x) ，则称为的可去间断点0 0 lim f (x) lim f (x) xf (x) B ．若极限与极限都存在但不相等，则称为的跳跃间断点0 ? ? x?xx?x 0 0 C ．跳跃间断点与可去间断点合称为第二类的间断点 D ．跳跃间断点与可去间断点合称为第一类的间断点61 ．下列函数中,在其定义域内连续的为( )?sin x x ? 0 A ．f (x) ? ln x ? sin x B ．f (x) ? ? x? e x ? 014----------------------- Page 17-----------------------x ? 1 x ?0 ? ?1? ? x ? 0 C ．f (x) ? 1x ? 0 D ．f (x) ?x ? ?? ?0 x ? 0x ?1 x ? 0 ? ? 62 ．下列函数在其定义域内连续的有( )1 ?sin x x ? 0 A ．f (x) ?B ．f (x) ? ? x ?cos xx ? 0 x ? 1 x ?0 ? ?1 ?? x ? 0 C ．f (x) ? 0 x ?0 D ．f (x) ?x ? ?? ?0 x ? 0x ?1 x ? 0 ? ? 63 ．设函数? 1 arctan x ?0 ? f (x) ? ? x 则f (x) 在点x ?0 处( ) ?? ? x ? 0 ? 2A ．连续B ．左连续C ．右连续D ．既非左连续,也非右连续64 ．下列函数在x ? 0 处不连续的有( )1 ?e?x2 x ? 0 ?2 ? ?xsin x x ? 0A ．f (x) ? ?B ．f(x) ? ? ? 0 x ?0 ? ?? 1 x ? 0 ?x x ? 0ln(x ? 1) x ? 0 ? ?C ．f (x) ? ? 2D ．f (x) ? ?2 ?x x ? 0 ??xx ? 0 ? 2 ?x ?1 x ? 1 65 ．设函数f (x) ? ? x ?1 , 则在点x ? 1处函数f (x)( ) ? 2 x ? 1 ? A ．不连续 B ．连续但不可导 C ．可导,但导数不连续 D ．可导,且导数连续? 2 x ? 1 x ? 066 ．设分段函数f (x) ? ? ,则f (x) 在x ? 0 点( ) ?x ?1 x ? 0 A ．不连续B ．连续且可导C ．不可导D ．极限不存在y ? f (x) x x x ? ?x时, 相应函数的改变量?y 67 ．设函数,当自变量由变到=( ) 0 0 A ．f (x ? ?x)B ．f ' (x )?xC ．f (x ? ?x) ? f (x )D ．f (x )?x 00 0 0 0 ?exx ? 0 ? 68 ．已知函数f (x) ? 0 x ? 0 ，则函数f (x) ( ) ? ?2x? 1 x ? 0 ?15----------------------- Page 18-----------------------A ．当x ? 0 时,极限不存在B ．当x ? 0 时,极限存在C ．在x ?0 处连续 D ．在x ? 0 处可导 169 ．函数y ? 的连续区间是( ) ln(x?1)A ．[1,2] ?[2,??)B ．(1,2) ?(2,??)C ．(1,??)D ．[1,??) 3nx 70 ．设f (x) ? lim ,则它的连续区间是( ) x?? 1? nx 1 A ．(??,??) B ．x ? (n为正整数)处n 1 C ．(??,0) ?(0 ? ?)D ．x ? 0及x ? 处n 71 ．设函数? 1? x ?1 ? x ?0 ? f (x) ? ? x ，则函数在x ? 0 处( ) ? 1 x ? 0 ?3 ? A ．不连续 B ．连续不可导 C ．连续有一阶导数 D ．连续有二阶导数?x ?x ? 0 72 ．设函数y ? ? x ，则f (x) 在点x ? 0 处( ) ?0 x ? 0 ? A ．连续B ．极限存在C ．左右极限存在但极限不存在D ．左右极限不存在2 1 73 ．设f (x) ? x ? arccot ，则x ? 1是f (x) 的（）x?1 A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．无穷间断点D ．振荡间断点x? ey 74 ．函数z ? 2 的间断点是( )y ?x y A ．(?1,0), (1,1), (1,?1) B ．是曲线y ? ?e 上的任意点2 C ．(0,0), (1,1), (1,?1) D ．曲线y ? x 上的任意点4(x ? 1) 75 ．设y ? 2 ? 2 ,则曲线( ) x A ．只有水平渐近线y ? ?2 B ．只有垂直渐近线x ? 0C ．既有水平渐近线y ? ?2 ,又有垂直渐近线x ? 0D ．无水平,垂直渐近线1 76 ．当x ? 0 时, y ? xsin ( ) x16----------------------- Page 19-----------------------A ．有且仅有水平渐近线B ．有且仅有铅直渐近线C ．既有水平渐近线,也有铅直渐近线D ．既无水平渐近线,也无铅直渐近线二、一元函数微分学x 77 ．设函数f (x) 在点处可导，则下列选项中不正确的是（）0 ?y f (x ? ?x) ?f (x ) A ．f ' (x ) ? lim B ．f ' (x ) ? lim 0 0 00 ?x?0 ?x ?x?0?x1 f (x ? h) ?f (x ) f (x) ?f (x )0 0 02 C ．f ' (x ) ? lim D ．f ' (x ) ? lim0 0 x?x0x ?x h?0 h0 x 78 ．若y ? e cosx ，则y '(0) ?( ) A ．0B ．1C． D ．?12 x 79 ．设f (x) ? e , g(x) ? sin x ，则f [g'(x)] ? ( )sin x ?cos x cos x ?sin x A ．eB ．eC ．eD ．e1 f (x ? h) ?f (x )0 02 x f ' (x ) ? 2 lim 80．设函数f (x) 在点处可导,且,则等于( ) 0 0h?0 h1 ?A ．B ．2C ．1 D．?12 f (a? x) ? f (a?x) 81．设f (x) 在x ? a处可导,则lim =( )x?0 x A ．f ' (a) B ．2f '(a) C ．0D ．f ' (2a) f (2 ? h) ?f (2 ? h) 82．设f (x) 在x ? 2 处可导，且f ' (2) ? 2 ，则lim ? （）h?0 h A ．4 B ．0 C ．2 D ．3 83．设函数f (x) ? x(x ?1)(x ? 2)(x ?3) ，则f ' (0) 等于（） A ．0B ．C ．1 D．3 ? 6f (h) ?f (?h) 84．设f (x) 在x ? 0 处可导，且f ' (0) ? 1，则lim ? （）h?0 h A ．1 B．0 C ．2 D ．3f ( x - h ) ? f (x ) 00 f (x) x lim 85．设函数在处可导,则( ) 0 h?0 h x x A ．与,h 都有关 B ．仅与有关，而与h 无关0 017----------------------- Page 20-----------------------x x C ．仅与h 有关,而与无关 D ．与,h 都无关00 f (1? 2h) ? f (1) 1 86．设f (x) 在x ? 1处可导，且lim ? ，则f ' (1) ? （）h?0 h 2 1 1 11 ? ?A ．B ．C ．D ． 22 4 4 2 ?x 87．设f (x) ? e 则f '' (0) ?( ) ?1 ? 2 A ． B ．1 C． D ．2 88．导数(loga x)' 等于( ) 1 11 1 A ．ln aB ．C ．loga xD ．xxln a x x 2 109 4 2 (29) 89．若y ? (x ? 2) (x ? x ?x ?1), 则y =( )A ．30B ．29!C ．0D ．30 ×20 ×10x f (x) 90 ．设y ? f (e )e ,且f '(x)存在, 则y' =( ) x f (x) x f (x) x f (x) A ．f ' (e )e ? f (e )eB ．f ' (e )e ?f ' (x)C ．x x?f (x) x f (x)D ．x f (x) f ' (e )e ? f (e )e ?f '(x) f'(e )e 91 ．设f (x) ? x(x ? 1)(x ? 2) ?(x ? 100), 则f ' (0) ? ( ) A ．100B．100!C． D ．?100！?100 x 92 ．若y ? x , 则y' ?( ) x?1 x xA ．x ?xB ．x ln xC ．不可导D ．x (1? ln x) 93 ．f (x) ? x ? 2 在点x ? 2处的导数是( ) A ．1 B．0C ．D ．不存在?194 ．设y ? (2x)?x , 则y' ?( ) A ．?x(2x)?(1?x)B ．(2x)?x ln 2 1C ．(?2x)x ( ? ln 2x)D ．? (2x)?x (1? ln 2x) 2 95 ．设函数f (x) 在区间[a,b] 上连续,且f (a)f (b) ? 0, 则( ) A ．f (x) 在(a,b) 内必有最大值或最小值18----------------------- Page 21-----------------------B ．f (x) 在(a,b) 内存在唯一的?,使f (?) ? 0C ．f (x) 在(a,b) 内至少存在一个?,使f (?) ?0 D ．f (x) 在(a,b) 内存在唯一的?,使f '(?) ? 0 f (x)dy 96 ．设y ? , 则? ( ) g(x) dx y f '(x) g'(x) y 1 1 1 f '(x) y f ' (x) A ．[ ? ] B ．[ ? ] C ．?D ．? 2 f (x) g(x) 2 f (x) g(x)2y g(x) 2 g(x) 97 ．若函数f (x) 在区间(a,b) 内可导，则下列选项中不正确的是（） A ．若在(a,b) 内f ' (x) ? 0 ，则f (x) 在(a,b) 内单调增加B ．若在(a,b) 内f ' (x) ? 0 ，则f (x) 在(a,b) 内单调减少C ．若在(a,b) 内f ' (x) ? 0 ，则f (x) 在(a,b) 内单调增加D ．f (x) 在区间(a,b) 内每一点处的导数都存在y ? f (x) x (x , f (x )) 98 ．若在点处导数存在，则函数曲线在点处的切线的斜率为（）0 0 0 A ．f '(x ) B ．f (x )C ．0D ．1 0 0 99 ．设函数y ? f (x) 为可导函数，其曲线的切线方程的斜率为，法线方程的斜率为，则与k k k1 2 1 k2 的关系为（） 1A ．k ?B ．k ?k ? ?1C ．k ?k ? 1D ．k ?k ? 0 1 1 2 1 21 2 k 2 x f (x)x 100．设为函数在区间?a,b?上的一个极小值点，则对于区间?a,b?上的任何点，下列说0 法正确的是（） A ．f (x) ? f (x )B ．f (x) ? f (x ) 0 0C ．f (x) ? ?f (x )D ．f (x) ? ?f (x ) 00 f (x) x f ' (x ) ? 0 f '(x ) 101．设函数在点的一个邻域内可导且（或不存在），下列说法不正确0 00 的是（）x ? x f ' (x) ? 0 x ? x f ' (x) ? 0f (x) x A ．若时, ；而时, ,那么函数在处取得极大值00 019----------------------- Page 22-----------------------x ? x x ? xx B ．若时, f ' (x) ? 0 ；而时, f ' (x) ? 0 ,那么函数f (x) 在处取得极小值0 00 x ? x x ? xx C ．若时, f ' (x) ? 0 ；而时, f ' (x) ? 0 ,那么函数f (x) 在处取得极大值0 00 x xx D ．如果当在左右两侧邻近取值时, f ' (x) 不改变符号,那么函数f (x) 在处没有极值0 0 f'(x ) ? 0 f ''(x ) ? 0 f ''(x ) ? 0 x102．, ，若，则函数f (x) 在处取得（）0 0 00 A ．极大值 B ．极小值 C ．极值点 D ．驻点103．a? x ? b时，恒有?? ，则曲线在? ? 内（） f (x) ? 0 y ? f (x) a, bA ．单调增加B ．单调减少C ．上凹D ．下凹104．数f (x) ?x ?ex 的单调区间是( ) ． A ．在(??,??) 上单增B ．在(??,??) 上单减C ．在(??,0) 上单增，在(0, ??) 上单减 D ．在(??,0) 上单减，在(0, ??) 上单增 43 105．数f (x) ?x ?2x 的极值为（）． A ．有极小值为f (3) B ．有极小值为f (0)C ．有极大值为f (1)D ．有极大值为f (?1) x 106．y ? e 在点(0,1)处的切线方程为( ) A ．y ? 1? x B ．y ? ?1? xC ．y ? 1? xD ．y ? ?1?x 1 3 1 2 107 ．函数f (x) ? x ? x ? 6x ? 1的图形在点(0,1)处的切线与x 轴交点的坐标是( )3 2 1 1 A ．(? ,0)B ．(?1,0)C ．( ,0)D ．(1,0) 66 108 ．抛物线y ? x 在横坐标x ? 4 的切线方程为( ) A ．x ? 4y ? 4 ? 0B ．x ? 4y ? 4 ? 0C ．4x ?y ? 18 ? 0D ．4x ? y ?18 ? 0 109．线y ? 2( x ?1)在(1,0) 点处的切线方程是( ) A ．y ? ?x? 1 B ．y ? ?x ?1C ．y ? x ? 1D ．y ? x ?1 x 110．曲线y ? f (x) 在点处的切线斜率为f ' (x) ? 1? 2x, 且过点(1,1),则该曲线的方程是( )2 2 A ．y ? ?x ? x? 1B ．y ? ?x ? x?1 20----------------------- Page 23-----------------------2 2 C ．y ? x ? x? 1D ．y ? x ? x?1 2x 1 2 111．线y ? e ? ( x ? 1) 上的横坐标的点x ? 0 处的切线与法线方程( ) 2 A ．3x ?y ? 2 ? 0与x? 3y ?6 ? 0 B ．?3x ? y ? 2 ? 0与x?3y ? 6 ? 0 C ．3x ?y ? 2 ? 0与x ? 3y ? 6 ? 0D ．3x ? y ? 2 ? 0与x ?3y ? 6 ? 0 3 112．函数f (x) ? x, 则f (x)在点x ? 0处( ) A ．可微 B ．不连续 C ．有切线,但该切线的斜率为无穷 D ．无切线113．以下结论正确的是( ) A ．导数不存在的点一定不是极值点 B ．驻点肯定是极值点 C ．导数不存在的点处切线一定不存在f ' (x ) ? 0 f (x) x D ．是可微函数在点处取得极值的必要条件0 0 114．若函数f (x) 在x ? 0 处的导数f ' (0) ? 0, 则x ? 0 称为f (x) 的( ) A ．极大值点 B ．极小值点 C ．极值点 D ．驻点 2 115．曲线f (x) ? ln(x ?1) 的拐点是( ) A ．(1, ln 1) 与(?1, ln 1)B ．(1, ln 2) 与(?1, ln 2)C ．(ln 2,1) 与(ln 2,?1)D ．(1,?ln 2) 与(?1,?ln 2) 116．线弧向上凹与向下凹的分界点是曲线的( ) A ．驻点 B ．极值点 C ．切线不存在的点 D ．拐点117．数y ? f (x) 在区间[a,b]上连续,则该函数在区间[a,b]上( ) A ．一定有最大值无最小值 B ．一定有最小值无最大值 C ．没有最大值也无最小值D ．既有最大值也有最小值118．下列结论正确的有( ) x A ．是f (x) 的驻点,则一定是f (x) 的极值点0 x B ．是f (x) 的极值点,则一定是f (x) 的驻点0 x x C ．f (x) 在处可导,则一定在处连续0 021----------------------- Page 24-----------------------x x D ．f (x) 在处连续,则一定在处可导0 0 x?ydy 119．由方程xy ? e 确定的隐函数y ? y(x) ? ( )dx x(y ?1) y(x ?1) y(x ? 1)x(y ? 1)A ．B ．C ．D ．y(1?x) x(1?y)x(y ?1) y(x ?1) y 120 ．y ? 1? xe , 则y'x ?( )ey ey 1? eyA ．B ．C ．D ．(1? x)ey 1?xey yy xe ?1 1?xex 121．设f (x) ? e , g(x) ? sin x ，则f [g'(x)] ? （）sin x ?cos xcos x ?sin x A ．e B ．e C ．e D ．ex 122．设f (x) ? e , g(x) ? ?cos x ，则f [g'(x)] ? sin x ?cos xcos x ?sin x A ．e B ．e C ．eD ．e 123．设y ? f (t), t ??(x) 都可微，则dy ? A ．f '(t)dt B ．?'(x) dxC ．f ' (t) ?'(x) dtD ．f ' (t) dx sin2 x 124．设y ? e , 则dy ? （）x 2 sin2 x 2A ．e dsin xB ．e dsin x sin2 x sin 2xC ．e sin 2xd sin xD ．e dsin x 1 125．若函数y ? f (x) 有f ' (x ) ? , 则当?x ? 0时,该函数在x ? x 处的微分dy是( )0 02 A ．与等价的无穷小量 B ．与同阶的无穷小量?x ?x C ．比低阶的无穷小量 D ．比高阶的无穷小量?x ?xxdx 126．给微分式,下面凑微分正确的是( )1?x2 2 22 2 d(1?x ) d(1?x )d(1?x ) d(1?x ) A ．?B ．C ．?D ．1?x2 1?x22 1? x2 2 1?x2 127．下面等式正确的有( )1 x x x x A ．e sin e dx ? sin e d(e )B ．? dx ? d( x)x 22----------------------- Page 25-----------------------2 2 ?x ?x 2cos x cos x C ．xe dx ? e d(?x ) D ．e sin xdx ?e d(cos x) 128．设y ?f (sin x) ,则dy ? ( ) A ．f ' (sin x)dx B ．f ' (sin x) cos x C ．f ' (sin x) cos xdx D ．? f ' (sin x) cos xdx sin2 x 129．设y ?e , 则dy ? x 2 sin 2 x 2sin 2 x sin 2x A ．e d sin x B ．e d sin x C ．e sin 2xd sin x D ．e d sin x 三、一元函数积分学130．可导函数F(x) 为连续函数f (x) 的原函数，则( ) A ．f ' (x) ? 0 B ．F' (x) ? f (x)C ．F' (x) ? 0D ．f (x) ? 0 131．若函数和函数都是函数在区间上的原函数，则有( )F(x) ?(x) f (x) I A ．?' (x) ? F(x), ?x ?IB ．F(x) ? ?(x), ?x ?IC ．F' (x) ? ?(x), ?x ?ID ．F(x) ? ?(x) ? C, ?x ?I 2 132．有理函数不定积分? x dx 等于（）．1?x 22 x xA ．?x?ln 1?x ?CB ．?x?ln 1?x ?C2 2 22 x x xC ．?x?ln 1?x ?CD ．? ?ln 1?x ?C 22 2 ?2 133．不定积分? dx 等于（）．1?x2 A ．2arcsin x?CB ．2arccos x?C C ．2arctan x?CD ．2arccot x?C ?x ex 134．不定积分?e (1? 2 )dx 等于（）．x 11 A ．e?x ? ? C B ．ex ? ? Cx x23----------------------- Page 26-----------------------1 1 C ．ex ? ? CD ．e?x ? ? C x x 135．函数f (x) ? e2x 的原函数是( ) 1 2x 2x1 2x 1 2x A ．e ? 4 B ．2eC ．e ? 3D ．e 23 3 136．?sin 2xdx等于( ) 12 1 A ．sin 2x? c B ．sinx ? c C ．? 2 cos 2x ? c D ．cos 2x ? c 22 137．若xf (x)dx ? xsin x ? sin xdx ,则f (x) 等于（）? ? sin x cos x A ．sin xB ．C ．cos xD ．xx 138．设e?x 是f (x) 的一个原函数，则?xf '(x)dx ?（）?x ?x ?x?x A ．e (1?x) ? c B ．? e (1? x) ? c C ．e (x?1) ? c D ． e (1? x) ? c ?x f ' (ln x) 139．设f (x) ? e , 则? dx? ( ) x1 1 A ．? ? c B ．? c C ．? ln x ?c D ．ln x ? c x x 140．设f (x) 是可导函数，则??f (x)dx?' 为（） A ．f (x) B ．f (x) ? c C ．f ' (x) D ．f ' (x) ?c 141．以下各题计算结果正确的是( ) dx1 A ．? arctan x B ．xdx ? ?c ?1? x2 ? 2 x2 C ．?sin xdx ? ?cos x? c D ．?tan xdx ? sec x ? c 142．在积分曲线族?x xdx中,过点(0,1)的积分曲线方程为( ) 25 5 5 A ．2 x ?1B ．( x) ? 1C ．2 xD ．( x) ? 15 2 1 143．? 3 dx=( ) x 24----------------------- Page 27-----------------------?4 1 1 21 ?2 A ．?3x ? c B ．? ? c C ．? x ?c D ．x ? c 2x22 2 144．设f (x) 有原函数xln x ,则?xf (x)dx=( ) 21 12 1 1 A ．x ( ? ln x) ?c B ．x ( ? ln x) ? c 2 44 2 2 1 1 2 1 1C ．x ( ? ln x) ? cD ．x ( ? ln x) ? c 42 2 4 145．?sin xcos xdx ? ( )1 1 1 21 2 A ．? cos 2x? c B ．cos 2x? c C ．? sinx? c D ．cos x? c 4 42 2 1 146．积分?[ 1? x2 ]'dx ?( )1 1 A ．2 B ． 2 ? cC ．arg tan xD ．arctan x ? c 1? x 1? x 147．下列等式计算正确的是( ) ?3 ?4 A ．?sin xdx ? ?cos x ? c B ．?(?4)x dx ? x ? c2 3 x x C ．?x dx ? x ? cD ．?2 dx ? 2 ? c x ?sin tdt 148．极限lim 0 的值为（）x?0 x ?xdx0 A ． B ．0 C ．2 D ．1 ?1 x ?sin2 tdt 149．极限lim 0 的值为（）x?0 x 2 ?x dx 0A ．B ．0C ．2D ．1 ?1x 3 ?sin t dt 150．极限lim 0=( ) x?0 4 x 11 1A ．B ．C ．D ．14 3 2 ln x2 dt?1 151．dx ?e dt ? （）025----------------------- Page 28-----------------------22 x ?1 A ．e(x ?1)B ．exC ．2exD ．e d x 152．若f (x) ? dx?sin tdt ，则（）0 A ．f (x) ? sin xB ． f (x) ? ?1?cos xC ．f (x) ? sin x?cD ．f (x) ? 1?sin xx 3t ? ? 153．函数? x ? ? 2 dt在区间[0，1] 上的最小值为（）t ?t?1 0 11 1A ．B ．C ．D ．0 23 4 c 2x x 2t 2 1f ' (x) 3 ? ?2 154．若g(x) ? x e ,f (x) ? e 3t ? 1 dt ，且lim ? 则必有（）? x??? g' (x)2 0 A ．c? 0 B ．c? 1C ．c? ?1D ．c? 2 d x 4 155．(? 1? tdt) ?( ) dx 1 2 41 12 1 1 A ．1? x B ．1? xC ．? xD ．? x2 x 2 x d x 2 156．[? sin t dt] ? ( ) dx 0 2 22 2 A ．cos x B ．2xcos xC ．sin xD ．cost ?x ??sintdt ? 0 f (x) ?a 157．设函数? x ? 0 在x ? 0 点处连续,则等于（）2 ? x ?a x ?0 ? 1A ．B ．C ．D ． 21 ?2 2x 158．设f (x) 在区间[a,b] 连续, F(x) ? f (t)dt(a ? x ? b), 则F(x) 是f (x) 的( ) ?a A ．不定积分B ．一个原函数C ．全体原函数D ．在[a,b] 上的定积分2 x x 159．设F(x) ? ?a f (t)dt, 其中f (x)为连续函数, 则lim F(x) =( ) x ? ax?a 2 2 A ．a B ．a f (a)C ．0D ．不存在 1 160．函数 2 的原函数是( ) sin x26----------------------- Page 29-----------------------1 A ．tan x ? c B ．cot x ? c C ．?cot x ? cD ．?sin x x 161．函数f (x) 在[a,b]上连续, ?(x) ? f (t)dt,则( ) ?aA ．?(x) 是f (x) 在[a,b]上的一个原函数B ．f (x) 是?(x) 的一个原函数C ．?(x) 是f (x) 在[a,b]上唯一的原函数D ． f (x) 是?(x) 在[a,b]上唯一的原函数?? 162．广义积分?x( ) ? e dx ? 0 A ．0B ．2C ．1 D．发散? 163．? 1? cos2xdx ?( ) 0 A ．0 B ． 2 C ．2 2 D ．2 x 164．设f (x) 为偶函数且连续,又有F(x) ? f (t)dt,则F(?x)等于? ( )0 A ．F(x) B ．?F(x) C ．0 D ． 2 F(x) 165．下列广义积分收敛的是（）?? dx ??dx ?? ?? dx A ．? B ．?C ．? xdxD ．?3 2 1 x 1 x x1 1 x 166．下列广义积分收敛的是（）??dx ?? ?? ??A ．B ．C ．D ．xcos xdx ln xdx e dx ?3 ? ? ? x1 1 11 ?? ?px 167．?e dx(p ? 0) 等于( ) a1 11 ?pa ?pa ?pa ?pa A ．e B ．e C ．e D ．(1? e )a p p ?? dx 168．?e x(ln x)2 ? ( ) 1e ? ? A ．1B． C ． D ．(发散)e ?kx ?? 169．积分? e dx收敛的条件为（）0 A ．k ? 0 B ．k ? 0 C ．k ? 0 D ．k ?0 170．下列无穷限积分中,积分收敛的有( )27----------------------- Page 30-----------------------0 ?? dx A ．xB ．? e dx ? ??1 x 00 C ．?x D ．? edx ? cosxdx ?? ?? ?? ln x 171．广义积分?e dx为( ) x1 A ．1 B．发散 C ． D ．22 172．下列广义积分为收敛的是( ) ?? lnx ?? dx A ．?e x dxB ．?e xln x ?? 1 ?? 1C ．dxD ．dx ?e x(ln x)2 ?e 1x(ln x) 2 173．下列积分中不是广义积分的是( ) ??4 1 A ．? ln(1? x)dx B ．? 2 dx0 2 x ?1 1 10 1 C ．dxD ．dx ? 2 ? -1 x -3 1? x b 174 ．函数f (x) 在闭区间[a,b]上连续是定积分?a f (x)dx在区间[a,b]上可积的（）． A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又飞必要条件 1 sin x 175．定积分dx 等于（）．??11?x2 ?1 A ．0B ．1C ．2D ． 12 176．定积分??2 x | x | dx 等于（）．1717 A ．0 B ． 1C． D ．?4 4 4 177．定积分?0 (5x ? 1)e5xdx等于（）．e5 -e52e5 A ．0B ．C ．D ．2 2 178．设f (x) 连续函数，则?xf (x )dx ? （）028----------------------- Page 31-----------------------4 2 44 1 1 A ．2 ?f (x)dx B ．2 ?f (x)dxC ．2?f (x)dxD ．?f (x)dx 0 00 0 1 x ?x e ? e 179．积分?2 xsin xdx ? （）?1 A ．0 B ．1C ．2D ．3l?T 180．设f (x) 是以T 为周期的连续函数,则定积分I ? ?lf (x)dx 的值( ) A ．与有关 B ．与T 有关 C ．与,T 均有关 D ．与,T 均无关ll l 2f ( x) 181．设f (x) 连续函数，则? dx ? （）x 0 1? 2 1? 22 2 1 A ．2 ?f (x)dx B ．2 ?f (x)dxC ．?f (x)dxD ．2 ?f (x)dx 0 00 0 1 182．设f (x) 为连续函数,则?f ' (2x)dx等于（）011 ? ? ?? A ．f (2) ? f (0) B ． f (1) ? f (0) C ． f (2) ?f (0)D ．f (1) ?f (0) 2 2 b 183．C 数f (x) 在区间[a,b]上连续,且没有零点,则定积分?a f (x)dx的值必定( )A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．不等于零184．下列定积分中,积分结果正确的有( ) bb A ．?a f ' (x)dx ? f (x) ?c B ．?a f '(x)dx ? f (b) ? f (a)b 1 b C ．?a f '(2x)dx ? [f (2b) ? f (2a)] D ．?a f '(2x)dx ? f (2b) ?f (2a) 2 185．以下定积分结果正确的是( ) 1 1 11 1 1 A ．dx ? 2B ．dx ? 2C ．dx ? 2D ．xdx ?2 ? ?2 ? ? ?1x ?1x ?1 ?1 a 186．? (arccos x)'dx ?( )0 ?1 ?1 ?A ．B ．? cC ．arccos a? ? cD ．arccos a? arccos 0 1?x2 1?x22 187．下列等式成立的有( ) 11A ．B ．x ? xsin xdx ? 0 ? e dx ?0 ?1 ?1 a x C ．[ tan xdx]' ? tan b? tan a D ．d sin xdx ? sinxdx ? ?b 0 188．比较两个定积分的大小( ) 29----------------------- Page 32-----------------------2 2 2 22 3 2 3A ．x dx ? x dxB ．x dx ? xdx ? ? ? ?1 1 1 12 2 2 22 3 2 3C ．x dx ? x dxD ．x dx ? xdx ? ? ? ?1 1 1 12 2 x sin x 189．定积分dx等于( ) ? 2 ?2 x ? 1 A ．1B．-1 C．2 D ．0 1 190 ．? x dx ? ( ) -1 A ．2 B ．? 2 C ．1 D ．?1 191 ．下列定积分中,其值为零的是( ) 22 A ．? xsin xdx B ．? xcos xdx -20 2 2 C ．xD ．? (e ? x)dx ? (x?sin x)dx -2 -2 2 192 ．积分? xdx ?( ) ?1 13 5 A ．0B ．C ．D ．2 2 2 193．下列积分中,值最大的是( ) 1 1 11 2 3 45 A ．? x dx B ．? x dx C ．? x dx D ．? x dx 0 0 00 2 194．曲线y ? 4 ?x 与y 轴所围部分的面积为（） 2 2 4 4 ?2 ? ? 2 ? A ．? 4 ? y dy B ．? 4 ?y dy C ．? 4 ? xdx D ．? 4 ?xdx ?20 0 ?4x 195．曲线y ? e 与该曲线过原点的切线及y 轴所围形的为面积（） e 1 xx ? ?A ．? ?B ．ln y ?y ln ydy ? e ? xe dx ? 10 1 e ?x ? ln y ?yln y dy C ．? e ? ex dxD ．?? ? 01 196．曲线y ? x与y ? x2 所围成平面图形的面积( ) 11 A ． B ．? C ．1D．-1 3 3 四、常微分方程? y ?c ?x c x? y? y ? 1 197 ．函数（其中为任意常数）是微分方程的（）．30 ----------------------- Page 33-----------------------A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解198．函数y ? 3e2x 是微分方程??的（）．y ?4y ? 0A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解?? 2 ? 199 ．(y ) ?y sin x ?y ?x 是（）． A ．四阶非线性微分方程 B ．二阶非线性微分方程 C ．二阶线性微分方程D ．四阶线性微分方程200 ．下列函数中是方程?? ? 的通解的是（）．y ?y ? 0 A ．y ?C sin x ?C cosx B ．y ?Ce?x 12?x C ．y ?CD ．y ?Ce ?C1 231专升本高等数学综合练习题参考答案1．B 2 ．C 3．C 4 ．B 5 ．A 6 D 2 ? 2t?1 1?7 ．解：选D 8．解：选D 9．解：选B 10．解：选C 11．B 12．解：选C 13．解：选B 14．解：选B 15．解：选B 16． C 18．解：选C 19. 解：选C 20 C 21 ．A 22 ．D 23 B 24 D 25选A 26 ．解：b? b ? a ?b ? b ?b ? b 2 ?b选B 27 ．解：选D28 B29 A 30 B 31 A 32 D 33 D 34 C 35 A 36 B 37 B 38 A 39 D 40 B 41 C 42C 43 C 44 B 45 C 46 C 47 A 48D 49 C 50 C 51 B 52 ．解：选A 53选C 54 A 55 ．解：选A 56 C 57 ．解：选C 58 ．D 59选B 60 ．C 61 ．解：选A 62 ．解：选A 63,选B 64 A 65 A 66 ． C 67 ．解：选C 68 ．选B 69 ．解：选B 70 ． A 71 A 72 ．C73 ．B74 ．D75 ．C76 ． A 77 ．D78 ． C ．79 ．C80．C81 ．B82 ．A83 ．B84 ．C85 ． B 86 D 87 ．C88 ． B 89 ．B90 ．C91 ．B92 ．D93 ．D94 ．D95 ． C 96 ． A 97 ．C 98 ．A 99 ．B 100．A 101． C 102．B 103．C 104． C ．105． A 106． A 107 ．A108 ．A109 ．D110．A111．A112．C113．D114．D115． B 116．D 117．D 118．C 119．B120 ．A121 ．C122 ．A123 ． A 124 ． B 125． B 126． C 127 ． A 128 ． C 129 ． B 130 ．B 131．D132． C ．133． B ．e?x 1 1x x x 134．解：?e (1? 2 )dx ??(e ? 2 )dx ?e ? ?C x x x135．A136 ．B137 ．C138 ．B139 ． B 140．A141 ．B143 ． B144 ．B145 ．A146 ．A148 ．D149 ．D150 ．A151 ．C152 ． A153．D154 ．B155 ．D156 ．B158 ．B159 ．B160 ．C163 ．C164 ．B165 ． B 166．A167 ．C168 ．A169 ．A170 ．B172 ． B174 ． B ．175． A ．176． C ．177． B ．178． A 179． A 180． B 181． D 182．C183．C185． C 186．D187．A189． D 190 ．C191．D192 ． D 193． A 194． A 195． C 196． A 197 ． D 198． B 199．B 200 ．D35。