3-5群的自同构群.ppt

例1 求Klein四元群
K4 {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
的自同构群.
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解 : 把K 4的四个元素依次记为 e, a , b, c.再令x, y,z 代表a, b, c ,中三个不同的元素 , 则xyz是a, b, c的任 意一个排列 .由于自同构把单位元变 成单位元, 故 根据K 4中元素的乘法易知 , 置换 e a b c e x y z 是K 4的一个自同构 .由于三个元素共有 3! 6个排列, 从而K 4共有6个自同构 .因此, 在同构意义下 , K 4的自 同构群就是三次对称群 S3 , 即Aut K4 S3 .这里S3是集 合{a , b, c}上的三次对称群 .
近世代数
§5 群的自同构群
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本节讨论群的全体自同构作成 的群.首先我们来考虑更一般的代 数系统的自同构群.
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定理1 设M是一个有代数运算(叫做乘法)的集合,则M的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群,称为M 的自同构群. 推论1 群G的全体自同构关于变换的乘法作成 一个群,这个群称为群G的自同构群,记为 AutG.
. 作成一个子群 因此, InnG Aut G, 即InnG , a 是G的任意一个 3)设是G的任意一个自同构 .任取x G, 令 1 (x) y,即 (y) x,则 内自同构
a 1 (x) a (y) (aya-1 ) (a -1 ) (a)x (a)-1 (a) (y)
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2 ,因此, G的中心 1
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例4 证明:循环群G=<a>的子群都是全特征子群.
全特征子群、特征子群和正规子群间的关系是
全特征子群 特征子群 正规子群
定理4 设C是群G的中心,则
InnG G C
证:易知
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定理2 无限循环群的自同构群是一个2阶循环群;n阶 循环群的自同构群是一个 (n) 阶群,其中 (n) 为Euler函数. 证: 由于在同构映射下,循环群的生成元与生成 元相对应,而生成元的相互对应完全决定 了群中所有元素的对应,因此一个循环群有多 少个生成元就有多少个自同构.
[ (x)c] [ (x)] (c) x (c),
1 -1
即 (c) C, (C) C.即C是G的一个特征子群 .
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例3 有理数域Q上的2阶线性群G=Gl2(Q)的中心(Q 上的所有2阶纯量矩阵)不是全特征子群.
证 : 任取A G, 即A为有理数域Q上的一个2阶满秩 方阵, 则行列式A 是个有理数.因此可令 b n(A) A 2 , a 其中a , b为奇数, n(A)是与A有关的整数. 由于 AB A B , 故有 n(AB) n(A) n(B).
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(H ) H ,
则称H为群G的一个全特征子群. 全特征子群一定是特征子群.
例2 群G的中心C是G的一个特征子群. Βιβλιοθήκη Baidu : 任取c C, x G, AutG, 则
(c)x (c) [ (x)] [c (x)]
-1 -1
由于无限循环群有两个生成元,n阶循环群有 (n) 个生成元,从而其自同构群分别为2阶循环
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群和
(n) 阶群.
推论2 无限循环群的自同构群与三阶循环群的自同 构群同构. 定理3 设G是一个群, a G. 1)
则
a : x axa1 ( x G)
是G的一个自同构,称为G的一个内自同构;
a b (x) a ( b (x)) a (bxb-1 )
-1 a(bxb-1 )a -1 (ab)x(ab) ab (x)
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. 即 a b ab仍为G的一个内自同构 又易知 a 是 a的逆元, 即 a
1 1
a -1 .
2) G的全体内自同构作成一个群,称为群G的内 自同构群,记为InnG;
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3)
InnGAutG
-1 a(xy)a (axa-1 )(aya-1 ),
证 : 1)易知 a 是G的一个双射变换 .又由于 即 a (xy) a (x) a (y),故 a 是G的一个自同构 . 2)设 a 与 b为G的任二内自同构 , 则对G中任 意元素x有
(a) (x) .故 即 a 1 (a)仍是G的一个内自同构 Aut G InnG
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定义1 对群G的所有自同构都不变的子群,亦即对 G的任何自同构

都有
(N ) N
的子群N,叫做G的一个特征子群.
特征子群一定是正规子群反之不成立. 定义2 设H是群G的一个子群.如果H对G的每个自同 态映射都不变,即对G的每个自同态映射 都有
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于是易知 1 n(A) : A 0 1 是G到自身的一个映射 .又由于 1 ( AB) ( 0 n( AB) 1 ) 0 1 n( A) n( B ) 1
1 n( A) 1 n( B ) ( A) ( B ), 0 1 0 1 故是群G的一个自同态映射 .但是, 把中心元素 2 0 1 0 2 却变成非中心元素 0 不是全特征子群 .
编辑：cvdfbgnyhtt993456
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: a a
(a G )
是群G到InnG的一个满射 .又由定理2知 ab a b , 即 (ab) (a) (b),故G ~ InnG. 又若 a 是G的恒等自同构 , 即对G中任意元素x 都有 a (x) x,即有axa-1 x , ax xa, 则a C. 反之, 任取c C, 则显然 c是G的恒等自同构 ,故 C Ker . 于是由群同态基本定理 知, InnG G C.
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小结 1.群的自同构群的概念，循环群的自同构群。 2.内自同构群，特征子群，全特征子群。 作业： 5.6
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