直线的参数方程(t的几何意义)复习教案

二轮复习：选修4-4 直线的标准参数方程t 的几何意义应用

一.考纲要求： 参数方程

1. 了解参数方程，了解参数的意义；

2. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 二. 一轮知识课前回顾（请同学们独立默写完成）

1. 过点，倾斜角为的直线标准参数方程为____________________ 其中t 的意义如下：

设,则是直线方向上的单位向量，

若M 为直线上任一点，则，则,即直线上动点M 到定点的距离，等于直线标准参数方程中参数t 的__________

即

⎩⎨

⎧+=+=)(为参数t Bt n y At

m x 为直线标准参数方程的条件为:①=+22B A __________ ②______>0 2.直线的非标准参数处理方案 ①转为________方程解决问题. ②转为标准参数方程：

如： 将直线：（为参数）的方程化为标准参数方程____________________

3.已知过点M 0(x 0，y 0)的直线的参数方程为：（为参数），点M 、N 为直线l

上相异两点，点M 、N 所对应的参数分别为、，

请根据下列图象判断、的符号以及用、表示下列线段长度：

（2） (3）

请用、表示线段长度:

4.若点Q 是线段MN 的中点，则点Q 对应的参数t=_________

()000,y x M αl ()ααsin ,cos =e e l ______=e l e t M M =0_________0=M M ()000,y x M l ⎪⎩⎪⎨

⎧=方向向下，若方向向上

若M M M M M M 000______,||l 222x t

y t =+⎧⎨=-⎩

t l ⎩

⎨⎧+=+=αα

sin cos 00t y y t x x t 1t 2t 1t 2t 1t 2t ()11t 2t 图示 (1) (2) (3) |M 0M|+|M 0N|

|M 0M||M 0N|（乘积）

|MN|

5.若点M 0(x 0，y 0)是线段MN 的中点，则+=____________

三.直线的标准参数方程t 的几何意义应用

应用（一）利用t 的几何意义求直线上定点坐标或动点轨迹方程

问题1.已知直线：，圆：，

求与的的交点坐标；

方法1： 方法2：

【思维提升】直线上每一个点与参数方程中的参数t 存在一一对应关系。利用参数方程求直线上某一点的坐标，只需求出该点对应的参数t.

你能利用t 的几何意义解决以下问题吗？

变式1.已知直线：，圆： 求与的的交点坐标；

变式2.已知直线：，过原点作直线的垂线，垂足为A ，求点A 的坐标。

变式3.圆：，点D 是圆上一点，若圆在D 处的切线与直线垂直，求点D 的坐标。

【及时总结】利用直线标准参数方程t 的几何意义求直线上某点坐标坐标的步骤： 1. 确定该点所在直线的标准参数方程；

2. 数形结合确定该点对应的参数t （注意起点与该点的______________） 应用（二）利用t 的几何意义求解与线段长（弦长）有关的问题

1t 2t 1C )(3sin 3cos 1为参数t t y t x ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=ππ2C )(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 1C 2C 1C )(3sin

3cos 1为参数t t y t x ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=π

π3

C ()4122=+-y x 1C 3C 1C )(3sin

3cos 1为参数t t y t x ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=π

π1

C 3C ()4122

=+-y x 3C 3C 23+=x y

问题2.（2016年全国II 改编）在直角坐标系中，圆C 的方程为．

直线的参数方程是（t 为参数），与C 交于A 、B 两点，

求的斜率．

变式1.若直线的参数方程为)(sin 2cos 4为参数t t y t x ⎩⎨⎧+-=+-=α

α，交圆

C:()25622

=++y x 于A,B 两点，定点)2,4(--P ,求的取值范围。

变式2.若直线的参数方程为),(22122R a t t y t a x ∈⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=+=为参数，交x y C 4:21=于 A,B 两点，点)1,(a P 在线段AB 上，若,求实数的值。

你能在变式2的基础上提出什么新问题？

【及时总结】

当直线与曲线相交于两点，解决有关弦长或以直线所过定点为起点的线段长的有关问题的方法：

1.将线段长表示为____________.

2.联立直线的标准参数方程与曲线的普通方程，得到关于参数t 的一元二次方程，联系_____________解决问题。

3.解决问题的关键是___________________ 四.小结

xOy ()2

2625x y ++=l cos sin x t y t α

α=⎧⎨=⎩

l AB l l l ||||PB PA -l l ||2||PB PA =a

今天的课你有什么收获？请你尝试用思维导图（或流程图）的方式做一下总结。

五.课后作业

(2010年新课标)已知直线：（为参数），圆：（为参数），

(Ⅰ)当=时，求与的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

(2018全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程

为（为参数）． (1)求和的直角坐标方程；

(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． (2018全国卷Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点且倾

斜角为的直线与交于，两点． (1)求的取值范围；

(2)求中点的轨迹的参数方程．

【活学活用】

（2018新课标2 理12）已知，是椭圆的左，右焦点，是的

左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的

离心率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

1C x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩t 2C x cos sin y θ

θ=⎧⎨=⎩

θα3π

1C 2C O 1C A P OA αP xOy C 2cos ,

4sin ,

=⎧⎨=⎩x θy θθl 1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α

t C l C l (1,2)l xOy O cos sin x y θ

θ

=⎧⎨=⎩

θ(0,αl O A B αAB P 1F 2F 22

221(0)+=>>：x y C a b a b

A C P

A 6

12△PF F 12120∠=︒F F P C 2312131

4