高考数学 二项分布及其应用
二项分布及其应用
P(B)＝q2，P(－B )＝1－q2. 根据分布列知：当 X＝0 时，
－ P( A
－ B
－B )＝P(－A )P(－B )P(－B )＝0.75(1－q2)2＝0.03，
所以 1－q2＝0.2，q2＝0.8.
当 X＝2 时，P1＝P(－A B－B ＋－A －B B)＝P(－A )P(B)P(－B )＋
P(－A )P(－B )P(B)＝0.75q2(1－q2)×2＝0.24，
当 X＝3 时， P2＝P(A－B －B )＝P(A)P(－B )P(－B ) ＝0.25(1－q2)2＝0.01， 当 X＝4 时， P3＝P(－A BB)＝P(－A )P(B)P(B)＝0.75q22＝0.48，
当 X＝5 时，P4＝P(A－B B＋AB)＝P(A－B B)＋P(AB)
3．已知 P(B|A)＝12，P(AB)＝38，则 P(A)等于( C )
3
13
A.16
B.16
3
1
C.4
D.4
解析：由 P(AB)＝P(A)P(B|A)，可得 P(A)＝34.
4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正
面向上”为事件 A，“骰子向上的点数是 3”为事件 B，则
事件 A，B 中至少有一个发生的概率是( C )
生的条件概率
2.事件的相互独立性
(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝_P_(_A_)_P_(_B_)_，则
称事件 A 与事件 B 相互独立．
(2)性质： ①若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝____P_(_B_)___，
P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝__P_(_A_)_P_(B__)_． ②如果事件 A 与 B 相互独立，那么__A__与__－B____，__－_A_与___B__， __－A__与__－B____也相互独立．
高考数学一轮复习6 第6讲 二项分布及其应用
第6讲二项分布及其应用最新考纲考向预测1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，了解条件概率与独立性的关系．2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.命题趋势条件概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复事件、二项分布和正态分布仍是高考考查的热点，三种题型均有可能出现．核心素养数据分析、数学建模1．条件概率(1)定义设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P（AB）P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．(2)性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．事件的相互独立性(1)定义设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．3．独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n在n次独立重复试验中，用X表示事件A次试验称为n次独立重复试验发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率计算公式用A i(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n) ＝P(A1)P(A2)…P(A n)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ck n p k(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)常用结论1．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．两个概率公式(1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝P（AB）P（B）.注意其与P(B|A)的不同．(2)若事件A1，A2，…，A n相互独立，则P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．常见误区运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时，一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．()(2)相互独立事件就是互斥事件．()(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.()(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B 同时发生的概率．()答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2．(易错题)天气预报，在元旦假期甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.38D ．0.56解析：选C.设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ， 则两地恰有一地降雨为A B －＋A －B ， 所以P (A B －＋A －B )＝P (A B －)＋P (A －B ) ＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38.3．先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数，且x ≠y ”，则概率P (B |A )＝( )A.13B.14C.15D.16解析：选A.因为P (A )＝2×3×336＝12，P (AB )＝3×236＝16，所以P (B |A )＝1612＝13.4．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝________．解析：因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，所以P (X ＝3)＝C36⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. 答案：5165．(2020·高考天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝16，甲、乙两球都不落入盒子的概率为(1－12)×(1－13)＝13，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23.答案：16 23条件概率(1)某道数学试题含有两问，当第一问正确做对时，才能做第二问，为了解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为( )A ．0.9B ．0.8C ．0.72D ．0.576(2)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12【解析】 (1)做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为80100＝0.8.既做对第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都做对的频率为72100＝0.72.设“做对第一问”为事件A ，“做对第二问”为事件B ，则P (A )＝0.8，P (AB )＝0.72，某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.720.8＝0.9，故选A.(2)P(A )＝C23＋C22C25＝410＝25，P(AB)＝C22C25＝110，由条件概率公式，得P(B|A)＝P（AB）P（A）＝11025＝14.【答案】(1)A(2)B【引申探究】(变条件)将本例(2)中的“和”改为“积”，求P(B|A)．解：事件A：“取到的2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，所以P(A)＝710.事件B：“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2，4)，所以P(AB)＝110，所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝110710＝17.条件概率的两种求解方法1．(2021·云南师大附中月考)小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是()A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.5解析：选 D.记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B ，“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件C ，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，P (AB )＝0.2，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.20.4＝0.5.故选D.2．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P (A |B )的值为( )A.14B.34C.29D.59解析：选C.因为P (B )＝3344，P (AB )＝A3344，所以P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝29.相互独立事件的概率(2020·高考全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．【解】 (1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116； 乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1－116－116－18＝34. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18.比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18.因此丙最终获胜的概率为18＋116＋18＋18＝716.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．1．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为23和34，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16解析：选 B.因为两人加工零件成一等品的概率分别为23和34，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P ＝23×14＋13×34＝512.2．(2021·沈阳市教学质量检测(一))在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并超过对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两支球队进行排球比赛：(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局，接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率．(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局，在决胜局(第5局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者获得下一球的发球权．设两队打了x (x ≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x 的取值及相应的概率P (x )．解：(1)依题意，若甲队赢得整场比赛，则甲队将以3∶1或3∶2的比分赢得比赛．若甲队以3∶1的比分赢得比赛，则第4局甲赢，若甲队以3∶2的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢． 故甲队最后赢得整场比赛的概率为12＋12×12＝34.(2)依题意，每次发球，发球队得分的概率为25，接球队得分的概率为35.甲接下来可以以16∶14或17∶15赢得比赛，故x 的取值为2或4.若甲、乙比分为16∶14，则x 的取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，所以P (x ＝2)＝25×25＝425.若甲、乙比分为17∶15，则x 的取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，所以P (x ＝4)＝25×35×35×25＋35×35×25×25＝72625.独立重复试验与二项分布(2021·合肥第一次教学检测)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型 科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X ，求X 的分布列． 【解】 (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15，若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为P ＝C23⎝ ⎛⎭⎪⎫252×15＋C23⎝ ⎛⎭⎪⎫152×25＝18125.(2)X 的可能取值为0，1，2，3.则P (X ＝0)＝C03⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，P (X ＝1)＝C13×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125，P (X ＝2)＝C23⎝ ⎛⎭⎪⎫252×35＝36125，P (X ＝3)＝C33⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P 2712554125361258125(1)独立重复试验的特点①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． (2)判断随机变量X 服从二项分布的条件(X ～B (n ，p )) ①X 的取值为0，1，2，…，n ；②P (X ＝k )＝Ck n p k (1－p )n －k (k ＝0，1，2，…，n ，p 为试验成功的概率)． [提醒] 在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．为了拓展网络市场，某公司为手机客户端用户推出了多款APP 应用 ，如“农场”“音乐”“读书”等．市场调查表明，手机用户在选择以上三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为12，13，16.现有甲、乙、丙三位手机客户端用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加．(1)求三人所选择的应用互不相同的概率；(2)记ξ为三人中选择的应用是农场与音乐的人数，求ξ的分布列．解：记第i 名用户选择的应用是农场、音乐、读书分别为事件A i .B i ，C i ，i ＝1，2，3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1，2，3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13，P (C i )＝16.(1)他们选择的应用互不相同的概率P ＝3！·P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝16.(2)设3位用户选择的应用是“读书”的人数是η，由已知得η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，16，且ξ＝3－η，所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C33×⎝ ⎛⎭⎪⎫163＝1216，P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C23×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×56＝15216＝572， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C13×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝75216＝2572，P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C03×⎝ ⎛⎭⎪⎫563＝125216.故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P12165722572125216[A 级 基础练]1．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是( ) A.18 B.38 C.58D.78解析：选D.硬币正面向上的次数服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，12，由二项分布概率公式知，三次均反面向上的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，所以至少一次正面向上的概率是1－18＝78.故选D 项．2．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )A.23B.512C.59D.79解析：选C.记“第i (i ＝1，2)支晶体管是好的”为事件A i (其中i ＝1，2)，依题意知，要求的概率为P (A 2|A 1)．由P (A 1)＝35，P (A 1A 2)＝6×510×9＝13， 所以P (A 2|A 1)＝P （A1A2）P （A1）＝1335＝59.3．(2021·山东烟台第一中学联考)首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为12，13，14，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有一家购买该机床设备的概率是( )A.2324B.524C.1124D.124解析：选 C.记“甲企业购买该机床设备”为事件A ，“乙企业购买该机床设备”为事件B ，“丙企业购买该机床设备”为事件C ，则P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，所以P (A －)＝1－P (A )＝12，P (B －)＝1－P (B )＝23，P (C －)＝1－P (C )＝34.记“三家企业中恰有一家购买该机床设备”为事件D ，则P (D )＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝1124.故选C.4．(多选)(2020·山东潍坊临朐模拟)下列说法正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中含x 2y 3项的二项式系数为20B ．事件A ∪B 为必然事件，则事件A 、B 是互为对立事件C ．am 2>bm 2是a >b 的充分不必要条件D ．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点各不相同”，事件B ＝“甲独自去一个景点”，则P (A |B )＝29解析：选CD.A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式的通项为T k ＋1＝Ck 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－k·(－2y )k ，要求含x 2y 3项的二项式系数，则k ＝3，所求二项式系数为C35＝10，故A 错误；B.事件A ∪B 为必然事件无法说明事件A 、B 是互为对立事件，缺少A ∩B 为不可能事件的条件，故B 错误；C.因为am 2>bm 2，所以a >b ，但a >b 且m ＝0时有am 2＝bm 2，所以a >b 时，am 2>bm 2不一定成立，故C 正确．D.P (A )＝4！44＝332，P (B )＝4×3344＝2764，P (AB )＝4×3！44＝332，则P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝29，故D 正确．5．(2021·江西五校联考)非洲成员代表团团长及相关的人员参加了中非合作论坛北京峰会，会后某记者在场地外随机进行采访，假设第一次采访到的人恰好是参会的代表团团长的概率为0.7，连续两次采访到的人都是代表团团长的概率为0.6，则在第一次采访到的人是代表团团长的条件下，第二次采访到的也是代表团团长的概率为________．解析：记“第一次采访到的人是代表团团长”为事件A ，“第二次采访到的人是代表团团长”为事件B ，则P (A )＝0.7，P (AB )＝0.6，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝67.答案：676．一个口袋内有n (n >3)个大小相同的球，其中3个红球和(n －3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p ，6p ∈N ，若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827，则n ＝________．解析：由题设知，C24p 2(1－p )2>827，因为p (1－p )>0，所以不等式化为p (1－p )>29，解得13<p <23，故2<6p <4.又因为6p ∈N ，所以6p ＝3，即p ＝12，由3n ＝12，得n ＝6.答案：67．为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2019年该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立．根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为38，并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率．(1)求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率p 1和进入“心理社”的概率p 2； (2)学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分，求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率．解：(1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧p1p2＝124，1－（1－p1）（1－p2）＝38，p1<p2，所以p 1＝16，p 2＝14.(2)设该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为ξ，则P (ξ＝1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－14×16＝18，P (ξ＝1.5)＝14×16＝124，所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率为P ＝18＋124＝16.8．(2021·湖北省部分重点中学10月联考)某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛培训的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学的这四门课程考试是否合格相互独立，每门课程考试合格的概率均相同(见下表)，且各个同学每一门课程考试是否合格相互独立．(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛培训的资格的人数，求ξ的分布列． 解：(1)分别记甲初等代数课程、初等几何课程、初等数论课程、微积分初步课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，则“甲能取得参加数学竞赛复赛培训的资格”的概率为P (ABCD )＋P (ABC D －)＋P (AB C －D )，事件A ，B ，C ，D 相互独立，故P (ABCD )＋P (ABC D －)＋P (AB C －D )＝34×23×23×12＋34×23×23×12＋34×23×13×12＝512. (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.由(1)可得，每位同学取得参加数学竞赛复赛培训资格的概率为512，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，512，P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7123＝3431 728，P (ξ＝1)＝C13×512×⎝ ⎛⎭⎪⎫7122＝245576，P (ξ＝2)＝C23×⎝ ⎛⎭⎪⎫5122×712＝175576，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5123＝1251 728.因此，ξ的分布列为9．博彩公司曾经对当年NBA 总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛，前4场，马刺队胜利的概率为12，第5，6场马刺队因为平均年龄大，体能下降厉害，所以胜利的概率降为25，第7场，马刺队因为有多次打第7场的经验，所以胜利的概率为35.(1)分别求马刺队以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率；(2)随机变量X 为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“马刺队以4∶0胜利”为事件A ，“马刺队以4∶1胜利”为事件B ，“马刺队以4∶2胜利”为事件C ，“马刺队以4∶3胜利”为事件D ，“总决赛马刺队获得冠军”为事件E ，则P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，P (B )＝C34×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×25＝110，P (C )＝C34×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×35×25＋C24×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝325，P (D )＝C34×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＋C24×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×C12×25×35×35＋C14×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×25×25×35＝93500.所以P (E )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝9372 000.(2)随机变量X 的可能取值为4，5，6，7，P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124×2＝18，P (X ＝5)＝C34×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝ ⎛⎭⎪⎫25＋35＝14，P (X ＝6)＝2C34×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×25×35＋C24×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝ ⎛⎭⎪⎫425＋925＝63200，P (X ＝7)＝1－P (X ＝4)－P (X ＝5)－P (X ＝6)＝31100.所以随机变量X 的分布列为地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片．为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为12，游客之间选择意愿相互独立．(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X ，求X 的分布列；(2)(i)若从游客中随机抽取m 人，记总得分恰为m 的概率为A m ，求数列{A m }的前10项和；(ii)在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n 的概率为B n ，探讨B n 与B n －1之间的关系，并求数列{B n }的通项公式．解：(1)X 的可能取值为3，4，5，6.P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝4)＝C13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝5)＝C23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝6)＝C33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.所以X 的分布列为(2)(i)总得分恰为m 的概率A m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以数列{A m }是首项为12，公比为12的等比数列， 前10项和S 10＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12101－12＝1 0231 024. (ii)已调查过的累计得分恰为n 的概率为B n ，得不到n 分的情况只有先得(n －1)分，再得2分，概率为12B n －1，B 1＝12.所以1－B n ＝12B n －1，即B n ＝－12B n －1＋1， 所以B n －23＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫Bn －1－23.所以B n －23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫B2－1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，所以B n ＝23－16⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝23＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.[C 级 创新练]11．(2020·武汉部分学校质量检测)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A ＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B ＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C ＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}．给出下列说法：①P (A )＝P (B )＝P (C )；②P (AB )＝P (AC )＝P (BC )；③P (ABC )＝18；④P (A )P (B )P (C )＝18.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选D.由古典概型的概率计算公式，得P (A )＝P (B )＝24＝12，P (C )＝84×4＝12，所以P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，①正确；P (A )P (B )P (C )＝18，④正确；而事件A ，B ，C 不可能同时发生，故P (ABC )＝0，所以③不正确；又P (AB )＝2×24×4＝14，P (AC )＝2×24×4＝14，P (BC )＝2×24×4＝14，所以P (AB )＝P (AC )＝P (BC )，②正确．故选D.12.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为23，13，求小球落入A 袋中的概率．解：方法一：由题意知，小球落入A 袋中的概率为：P (A )＝1－P (B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13×13＋23×23×23＝23. 方法二：因为小球每次遇到障碍物时有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A 袋，所以小球落入A 袋中的概率为C13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝23.。
高考数学复习点拨 选修（2-3）二项分布及其应用教材解读
高中新课标选修（2-3）二项分布及其应用教材解读一、条件概率1．事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率称为“事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率”，记为()P B A |；2．由古典概型可得：()()()n AB P B A n A =|；一般情况，()()()P AB P B A P A =|； 3．条件概率具有概率的性质，即0()1P B A |≤≤；4．如果Ｂ，Ｃ是两个互斥事件，那么()()()P B C A P B A P C A =+|||；如：在一副扑克牌的13张红心中，当先抽出红心A 后，再抽一张恰是红心2或3的概率是多少此题中A 表示抽到的是红心A 的事件，B 表示抽到的是红心2的事件，C 表示抽到的是红心3的事件，显然事件B 与事件C 互斥．而1()12P B A =|，1()12P C A =|，那么111()()()12126P B C A P B A P C A =+=+=|||； 二、事件的相互独立性1．概念： （1）若事件A 的发生对事件B 是否发生没有影响，事件B 的发生对事件A 是否发生也没有影响，则称事件A 与事件B 相互独立．如：抛骰子两次，第一次出现3点记为事件A ，第二次出现5点记为事件B ，显然，事件A 与事件B 相互独立．（2）若事件Ａ与事件Ｂ满足()()()P AB P A P B =，则称事件Ａ与事件Ｂ相互独立．如：某射击运动员射击一次，命中目标的概率为0．9，问他连续射击两次都命中的概率是多少本题中，可把第一次命中目标记为事件A 、第二次命中目标记为事件B ，则两次都命中就是事件AB ，由于事件A 与事件B 相互独立，所以()()()0.90.90.81P AB P A P B ==⨯=·． 2．相互独立事件的性质：（1）事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念．两事件“互斥”是指两事件不可能同时发生，两事件“相互独立”是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．（2）若事件A 与B 相互独立，则A 与，与与也都相互独立．（3）()()()P AB P A P B =使用的前提是为相互独立事件．也就是说，只有两个相互独立事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．一般地，如果事件12n A A A ，，，相互独立，则这个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =．同样，只有当12n A A A ，，，相互独立时，这个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．（4）1()()P A P B -表示两个相互独立事件至少有一个不发生的概率．三、独立重复试验与二项分布1．一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；2．二项分布的概念：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生次的概率为()(1)(012)k k n k n P X k C p p k n -==-=，，，，，．此时称随机变量服从二项分布，记作~()X B n p ，，并称为成功概率．四、注意事项1．求解条件概率时，必须认真分析题意，对照条件概率模式，有时的转化是隐含的、巧妙的．2．对事件的独立性，要结合以前学习的互斥事件、对立事件，加以理解独立事件的概念．注意应用独立事件的概念，证明两个事件的独立性．3．在求事件的概率时，有时遇到求“至少…”或“至多…”等事件概率的问题，如果从正面考查这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但“至少…”、“至多…”这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出，此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，进而求得原来事件的概率．4．二项分布指的是随机变量的概率，两点分布指的是随机变量的分布列为两点分布列，这是它们的区别．。
高三数学二项分布及其应用
二项分布
在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次 独立重复试验中这个事件恰发生x次,显然x是一个随机 变量.
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0 1… k … n
p … … C
0 n
p
0q
n
C
1 n
p1q n-1
Cnk pk qn-k
C
n n
p
nq
0
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作 x ~ B(n, p,)
1.条件概率 P(B A) P( AB)
P( A)
2.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P(AB) 表 示 在 样 本 空 间 中,计 算 AB发 生
的 概 率,而 P(B A) 表 示 在 缩 小 的 样 本 空 间A 中, 计 算 B 发 生 的 概 率.用 古 典 概 率 公 式,则
N ⑵如果是不放回地取, 则x 服从超几何分布.
P(x
k)
C C k n-k M N-M
C
n N
(k
0,1, 2,
, m) (其中 m min(M , n)
例4
一名学生骑自行车上学，从他家到学校 的路途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗 遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都 是1/3。
AB 中 样 本 点 数 P(B A) A 中 样 本 点 数,
P(AB)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AB 中 样 本 点 数 中样本点数
一 般 来 说, P(B A)比 P(AB) 大.
例1
在某次考试中，要从20道题中随机地 抽出6题，若考生至少能答对其中4道题 即可通过；若至少答对其中5题就获得 优秀，已知某考生能答对其中10题，并 且知道他在这次考试中已经通过，求他 获得优秀成绩的概率。
二项分布及其应用
与
n1 5 时），可看作近似正
或
态分布，即
x ~ N n , n 1
appro .
1 p ~ N , n
appro .
二项分布的正态近似示意图
二项分布的累计概率:
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
k1
1、概念：若试验 E 只有两种相互对立的结果(A及 A ),
并且 P( A) ， ， 把 E 独立地重复 n
次的试验称为 n 重贝努里试验（Bernoulli trial）。
n 重贝努里试验中事件A发生的次数 x 所服从的分布
即为二项分布（binomial distribution），记为 x ~
年胃溃疡患者是否较一般患者更易发生胃出血？
H0成立时, 304例老年胃溃疡患者中胃出血发生人数的分布
x n n
p( x) C 1
x n x
n x
p(0) p(1) p(n) 1
例. 求前例中三只小白鼠死亡2只的概率。
p( x 2) C 1
2 3 2
32
3 0.8 0.2 0.384
2 1
一、二项分布的概念及应用条件
k2
三、二项分布的应用
（一）估计总体率的可信区间
1、率的抽样误差
p
sp
1
n
(理论值)
p1 p n
(估计值)
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用 2、总体率的区间估计 (1)查表法——样本量较小时(n50)
二项分布及其应用
二项分布及其应用二项分布及其应用◇条件概率◇一、条件概率的定义与性质如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。
1.定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．（2）如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝二、典型例题1、利用定义求条件概率例1：抛掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？（2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。
（1）求P(A),P(B),P(AB);(2)在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。
2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率例1：一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求（1）第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。
（2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。
例2：设10件产品中有4件次品，从中任取2件，那么（1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。
（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。
3、条件概率的性质及应用例1：在某次考试中，要从20道中随机地抽出6道题，若考试至少答对其中4道即可通过；若至少答对其中5道就获得优秀，已知某生能答对其中10道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。
例2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A={赵家得到6张梅花}，B={孙家得到3张梅花} （1）求P(B|A)(2)求P(AB)三、课堂练习1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？2、一个盒子中装有6件合格产品和4件次品，不放回地任取两次，每次取一件。
高考数学复习二项分布及其应用
引例:抛掷两枚骰子 (1)两枚出现的点数都是偶数的概率是多少? (2)若两枚都出现偶数点,就说这次实验成功, 试求在3次实验中成功次数X的分布列.
1.事件的相互独立性定义: 设A，B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则 称事件A与事件B相互独立。
引例:抛掷两枚骰子 (1)两枚出现的点数都是偶数的概率是多少? (2)若两枚都出现偶数点,就说这次实验成功, 试求
C n2 5 (1)设“世博会会徽”卡有 n 张,由 2 ,得 n 5 , C9 18 C42 1 故“海宝”卡有 4 张,抽奖者获奖的概率为 2 ; C9 6
(2) ~ B(4, ) 的分布列为 P( k ) C 4 ( ) ( )
k k
1 6
1 6
5 6
4 k
例 3.某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动, 进行现场 抽奖.盒中装有 9 张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有 “世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案; 抽奖规则 是: 参加者从盒中抽取卡片两张, 若抽到两张都是“海宝” 卡即可获奖,否则,均为不获奖. 卡片用后放回盒子,下一位 参加者继续重复进行.活动开始后,一位参加者问:盒中有几 张“海宝”卡?主持人答:我只知道,从盒中抽取两张都是 5 “世博会会徽”卡的概率是 , 18 (1)求抽奖者获奖的概率; (2)现有 4 人依次抽奖,用 表示获奖的人数,求 的分布列.
例1:甲乙两人独立地对同一目标各射击一次,其中 命中率分别是0.6和0.5
(1)求两人都击中目标的概率 (2)求两人中恰有一人击中目标的概率 (3)求两人中至多有一人击中目标的概率
变式.若甲连续射击4次，且各次射击是否击中目标
相互之间没有影响，有下列结论:
二项分布及其应用理
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)任选1名下岗人员,设“该人参加过财会培 训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B,由题设知, 事件A与B互独立,且P(A)＝0、6,P(B)＝0、75、 法一:任选1名下岗人员,该人没有参加过培训得概率就是 P1＝P( )＝P( )·P( )＝0、4×0、25＝0、1、 所以该人参加过培训得概率就是P2＝1－P1＝1－0、1＝0 、9、
4、二项分布 在n次独立重复试验中,设事件A发生得次数为X,在每 次试验中事件A发生得概率为p,那么在n次独立重复试 验中,事件A恰好发生k次得概率为P(X＝k)＝ pk(1－p)n－k (k＝0,1,2,…,n)、 此时称随机变量X服从二项分布,记作 X～B(n,p) ,并 称 p 为成功概率、
[课堂笔记] 记事件A:最后从2号箱中取出得就是红球;
事件B:从1号箱中取出得就是红球、
则P(B)＝
,P( )＝1－P(B)＝ ,
P(A|B)＝
,P(A| )＝
,ห้องสมุดไป่ตู้
从而P(A)＝P(AB)＋P(A )
＝P(A|B)P(B)＋P(A| )P( )
1、相互独立事件就是指两个试验中,两事件发生得概率 互
【解】 (1)依题意知X～B(4, ),即X得分布列为
X0
1
2
3
4
┄┄┄(6分)
P
(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时,击中第i部 分”,i＝1,2、
Bi表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i ＝1,2、依题意知P(A1)＝P(B1)＝0、1,P(A2)＝P(B2)＝0、 3,A＝A1 ∪ B1∪A1B1∪A2B2,┄┄┄┄┄┄(9分)
故所求得概率为 P(A)＝P(A1 )＋P( B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2) ＝P(A1)P( )＋P( )P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2) ＝0、1×0、9＋0、9×0、1＋0、1×0、1＋0、3×0、3 ＝0、28、┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)
高中数学总复习专题67 二项分布及其应用(解析版)
专题67二项分布及其应用最新考纲1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布．3.能解决一些简单的实际问题.基础知识融会贯通1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P ABP A (P (A )>0)．在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n ABn A . (2)条件概率具有的性质 ①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件， 则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件(1)对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A ，B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B )．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．重点难点突破【题型一】条件概率【典型例题】某班组织由甲，乙，丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设事件A＝{学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场}，事件B＝{学生丙第一个出场}，所以P（AB）P（A），所以P（B|A）．故选：A．【再练一题】在由直线x＝1，y＝x和x轴围成的三角形内任取一点（x，y），记事件A为y＞x3，B为y＞x2，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【解答】解：设S（AB）表示A和B同时发生所构成区域的面积，S（A）表示事件A发生构成区域的面积．根据条件概率的概率计算公式P（B|A）．故选：D．思维升华 (1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P ABP A ，这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A .【题型二】相互独立事件的概率【典型例题】为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为， 若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为， 则他第2球投进的概率为： p．故选：B ． 【再练一题】在某段时间内，甲地不下雨的概率为P 1（0＜P 1＜1），乙地不下雨的概率为P 2（0＜P 2＜1），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（ ） A ．P 1P 2 B ．1﹣P 1P 2C ．P 1（1﹣P 2）D ．（1﹣P 1）（1﹣P 2）【解答】解：在某段时间内，甲地不下雨的概率为P1（0＜P1＜1），乙地不下雨的概率为P2（0＜P2＜1），在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为：P＝（1﹣P1）（1﹣P2）．故选：D．思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；【题型三】独立重复试验与二项分布命题点1根据独立重复试验求概率【典型例题】将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率是P．故选：B．【再练一题】某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率．【解答】解：（1）∵某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为••．（2）至少有8次击中目标的概率为••••．命题点2根据独立重复试验求二项分布【典型例题】设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．（1）当p＝q时，求数学期望E（ξ）及方差V（ξ）；（2）当p+q＝1时，将ξ的数学期望E（ξ）用p表示．【解答】解：（1）∵每位投球手均独立投球一次，当p＝q时，每次试验事件发生的概率相等，∴ξ～B（3，），由二项分布的期望和方差公式得到结果∴Eξ＝np＝3，Dξ＝np（1﹣p）＝3（2）ξ的可取值为0，1，2，3．P（ξ＝0）＝（1﹣q）（1﹣p）2＝pq2；P（ξ＝1）＝q（1﹣p）2+（1﹣q）C21p（1﹣p）＝q3+2p2q；P（ξ＝2）＝qC21p（1﹣p）+（1﹣q）p2＝2pq2+p3；P（ξ＝3）＝qp2．ξ的分布列为E【再练一题】一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m＝3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？【解答】解：（Ⅰ）∵取出2球的颜色相同则为中奖，∴每次中奖的概率p；（Ⅱ）若m＝3，每次中奖的概率p，∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为；（Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为f （p ）3p 3﹣6p 2+3p （0＜p ＜1），∴f ′（p ）＝3（p ﹣1）（3p ﹣1），∴f （p ）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减， ∴p时，f （p ）取得最大值，即p∴m ＝2，即m ＝2时，f （p ）取得最大值．思维升华 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率．基础知识训练1．已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（ ） A ．13B ．37C ．16D ．12【答案】D 【解析】记“第一次抽到红球”为事件A ；记“第二次抽到红球”为事件B()141747C P A C ∴==，()1143117627C C P AB C C == ()()()217427P AB P B A P A ∴===本题正确选项：D2．科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲每次通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为（ ）A．164B．12131344C⎛⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．21231344C⎛⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．364【答案】D 【解析】甲每次通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为：3333 1144464 P⎛⎫⎛⎫=−⨯−⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D．3．甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是（）A．13B．427C．49D．127【答案】B 【解析】由题可知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是12133−=，所以甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是2214 33327⨯⨯=故选B.4．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）A．0.42B．0.28C．0.18D．0.12【答案】D【解析】由于甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4，0.3，由于两人考试相互独立，所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为：0.40.30.12⨯=故答案选D5．设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是() A．B．C．D．【答案】C 【解析】 ∵函数存存在零点，∵随机变量服从二项分布 ．故选：C ．6．设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,则D(η)= ( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】由随机变量ξ~B (2,p ),且P (ξ≥1)=, 得P (ξ≥1)=1-P (ξ=0)=，解得.则,随机变量η的方差.本题选择C 选项.7．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则()()D Y D X −的值为( ) A ．12512B ．3512C ．274D ．234【答案】A 【解析】设A 学生答对题的个数为m ，则得分5x m =（分），112,4m B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()13912444D m =⨯⨯=，所以()92252544D X =⨯=，同理设B 学生答对题的个数为n ，可知112,3n B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,()12812333D n =⨯⨯=，所以()82002533D Y =⨯=，所以()()2002251253412D Y D X −=−=.故选A. 8．若10件产品中包含8件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（）A．1213B．1415C．1617D．1819【答案】C【解析】由题意，记事件A为“取出的2件产品中存在1件不是一等品”，事件B为“取出的2件中，1件是一等品，1件不是一等品”，则11211282282210101716 (),()4545C C C C CP A P ABC C+====，所以()16(|)()17P ABP B AP A==，故选C．9．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军．4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )A．0.15B．0.105C．0.045D．0.21【答案】C【解析】甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5， 甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件的概率等于概率之积，所以， 甲得冠军且丙得亚军的概率：0.30.50.30.045⨯⨯=. 故选C.10．在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，⋯，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )A ．6523B ．5523C ．6623D ．5623【答案】B 【解析】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率5243146212()()333P C ==；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率6111143223326212()()()333P C C C C =+=，所求概率56512665222333P P P =+=+=；故选B. 11．假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次. （1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】 （1）设表示第次投篮命中，表示第次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件，则．（2）命中的次数可取0，1，2，3；，,,所以答：的数学期望为2．12．为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学成绩不足120分的占8，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：（1）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．（2）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数为X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）．（ii）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++【答案】(1)见解析；(2) （i ）见解析 （ii ）见解析 【解析】 （1）∵()224515161047.287 6.63525201926K ⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯．∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．（2）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人，X 的可能取值为0，1，2，3，4．()416420C 0C P X ==， ()33416420C C 1C P X ⋅==， ()22416420C C 2C P X ⋅==， ()31416420C C 3C P X ⋅==， ()44420C 4C P X ==．则分布列为（ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中，周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，由题意可知()20,0.6Y B ~， 故()12E Y =，() 4.8D Y =．13．生蚝即牡蛎(oyster)，是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示.(1)若购进这批生蚝500kg ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[)5,25间的生蚝的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（I ）17544（只）；（II ）85. 【解析】（Ⅰ）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为()16101020123084045028.540g ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以购进500kg ，生蚝的数列均为50000028.517554÷≈（只）； (II)由表中数据知，任意挑选一只，质量在[)5,25间的概率为25P =， X 的可能取值为0,1,2,3,4，则()()41314381232160,1562555625P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()()2231423442321623962162,3,455625556255625P X C P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫========= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以X 的分布列为所以()216961683346256256255E X =⨯+⨯+⨯= 14．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率. (Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望；(Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?【答案】(Ⅰ)分布列见解析，； (Ⅱ)； (Ⅲ)选择方案.【解析】(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为,即抽出产品为合格品的概率为, 从产品中随机抽取件,合格品的个数的所有可能取值为且,, 所以的分布列为故数学期望(Ⅱ) 随机抽取件,全是合格品的概率为,依题意,故的最大值为.(Ⅲ) 按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数；按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数,依题意,解得,因为,所以应选择方案.15．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0，1，2，3，，，所以的分布列为的数学期望.（Ⅱ）设为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得，，由，解得，又，所以当时概率最大．即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.能力提升训练1．若已知随机变量，则____．【答案】 【解析】 随机变量，则． 故答案为：．2．某工厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品ξ的概率分布.【答案】0.9025 0.095 0.0025 【解析】 因()2,0.05B ξ，所以()02200.950.9025P C ξ===，()1210.950.050.095P C ξ==⨯=，()22220.050.0025P C ξ===，故分别填：0.9025，0.095，0.0025. 3．设随机变量1~,4X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()34D X =，则事件“2X =”的概率为_____（用数字作答） 【答案】27128【解析】由1~,4X B n ⎛⎫⎪⎝⎭可知：()1133144164n D x n ⎛⎫=⨯⨯−== ⎪⎝⎭ 4n ∴=()222411272144128P X C ⎛⎫⎛⎫∴==⋅⋅−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 本题正确结果：271284．如图，在小地图中，一机器人从点()0,0A 出发，每秒向上或向右移动1格到达相应点，已知每次向上移动1格的概率是23，向右移动1格的概率是13，则该机器人6秒后到达点()4,2B 的概率为__________.【答案】20243【解析】由题意，可得6秒内向右移动4次，向上移动2次则所求概率为：4246122033243C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确结果：202435．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，若X 表示抽到的二等品件数，则()V X =_________. 【答案】1.96 【解析】由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，0.02p =，100n =，则()()1V x np p =−1000.020.98=⨯⨯ 1.96=，故答案为1.966．设随机变量(2,)B p ξ，(4,)B p η，若2()3E ξ=，则(3)P η≥=______.【答案】19【解析】()223E p ξ==13p ∴= 14,3B η⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()()()34344412113343339P P P C C ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴≥==+==⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 本题正确结果：197．为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示： （分）将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．（1）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；（3）若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）【答案】(1) (2)见解析(3) 估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用 【解析】（1）当时，当时，.得：（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率可取.的分布列为或依题意（3）王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间（分钟），每次上下班租车的费用约为（元）一个月上下班租车费用约为，估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用．8．甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用五场三胜制，即若有一队先胜三场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为150万元且甲获得总冠军的概率；(2)设总决赛中获得的门票总收入为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）已知总决赛中获得门票总收入恰好为150万元且甲获得总冠军即甲连胜3场，则其概率为；（2）随机变量X可取的值为150，220，300.又P(X＝150)＝2×＝，P(X＝220)＝C××＝，P(X＝300)＝C××＝.分布列如下：所以X的数学期望为E(X)＝150×＋220×＋300×＝232.5(万元)．9．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求a的值及估计这200名参赛选手的成绩平均数；（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为，假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手进入复活赛，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1），82；（2）见解析【解析】由题意：，估计这200名选手的成绩平均数为．由题意知， X B (3,1/3)，X可能取值为0，1，2，3，，所以X的分布列为：X的数学期望为．10．为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民25人，女性市民75人进行调查，得到以下的列联表：(1)根据以上数据，能否有97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的4位市民中持“支持”态度的人数为,求的分布列及数学期望。
二项分布及其应用(答案)
二项分布及其应用【知识要点】一、条件概率及其性质1、条件概率一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
2、性质（1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P .（2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。
【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 21 。
【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ）A 、0.8B 、0.75C 、0.6D 、0.45【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ）A 、172B 、152C 、51D 、103 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）A 、21B 、41 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是94 。
二、相互独立事件及n 次独立重复事件1、相互独立事件同时发生的概率(1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
知识讲解_高考总复习：二项分布与正态分布(基础)
高考总复习：二项分布与正态分布【考纲要求】一、二项分布及其应用1、了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2、理解n次独立重复试验的模型及二项分布；3、能解决一些简单的实际问题。
二、正态分布利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
【知识网络】【考点梳理】考点一、条件概率1．条件概率的定义设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称P（B|A）=P（AB）/P（A）为在事件A发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
要点诠释：条件概率不一定等于非条件概率。
若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。
2．条件概率的性质①0≤P（B|A）≤1；②如果B、C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）。
考点二、独立重复试验及其概率公式1．事件的相互独立性设A、B为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。
2.判断相互独立事件的方法(1)利用定义:事件A、B相互独立，则P(AB)=P(A)·P(B)；反之亦然。
(2)利用性质:A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B , A 与B 也都相互独立. (3)具体模型①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验. 要点诠释：要明确“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的含义。
已知两个事件A 、B ，则A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； A 、B 都发生的事件为AB ； A 、B 都不发生的事件为AB ；A 、B 恰有一个发生的事件为AB ∪AB ；A 、B 中至多有一个发生的事件为AB ∪AB ∪AB 。
3．独立重复试验 （1）独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用(1,2,,)i A i n =表示第i 次试验结果，则123123()()()()()n n P A A A A P A A A A =（2）独立重复试验的概率公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：()(1)k k n k n n P k C P p -=-。
二项分布及其应用
二项分布及其应用1． 相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件．(2)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(3)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立．2． 二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验， 在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布， 记为X ～B (n ，p )，并称题型一 相互独立事件的概率例1 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．练：甲、乙两运动员，对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，(1)两人都射中的概率；(2)两人中恰有一人射中的概率； (3)两人中至少一人射中的概率；(4)两人中至多一人射中的概率．甲、乙、丙做一道题，甲做对的概率12，三人都做对的概率124，三人全做错的概率是14. (1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率．题型二 独立重复试验与二项分布例2 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．练习. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．粒子A 位于数轴x ＝0处，粒子B 位于数轴x ＝2处，这两颗粒子每隔1秒钟向左或向右移动一个单位，设向右移动的概率为23，向左移动的概率为13. (1)求4秒后，粒子A 在点x ＝2处的概率；(2)求2秒后，粒子A 、B 同时在x ＝2处的概率．基础测试1．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为15，14，则密码被译出的概率为( ) A ．0.45 B ．0.05 C ．0.4 D ．0.62．一学生通过一种英语听力测试的概率是12，他连续测试两次，恰有一次通过的概率是 A.14 B.13 C.12 D.343．已知随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (X ＝2)等于( ) A.1316 B.4243 C.13243 D.802434.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，在5次测量中至少3次出现正误差的概率 A.516 B.58 C.23 D.125.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．6．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 A.⎝⎛⎭⎫125 B ．C 25⎝⎛⎭⎫125 C ．C 25⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25C 35⎝⎛⎭⎫125 7．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164B.5564C.18D.1168.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．9.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．10.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.3411． 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．12．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率．13.甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，(1)乙取胜的概率；(2)比赛打满七局的概率；(3)设比赛局数为ξ，求ξ的分布列．。
高中数学二项分布及其应用
二项分布及其应用二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有着重要的地位：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生K 次的概率为P(X=k)=C n k p k (1-p)n-k ,k=0,1,2,…,n ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B(n,p)，并称p 为成功概率。
二项分布是一种常见的重要离散型随机变量分布列，其识别特点主要有两点：其一是概率的不变性；其二是试验的可重复性，下面加以例谈。
例题1 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的。
现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦电力，这10台机床能够不因电力不足而无法工作的概率为多大？在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约是多少？解析：设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ，由题意知满足二项分布，即ξ～B （10，p ），其中p 是每台机床开动的概率，p=516012= ,从而)10,2,1,0()54()51()(1010 ===-k C k P k k k ξ ， 50千瓦电力可同时供5台机床同时开动，因而10台中同时开动数不超过5台都可以正常工作，这一事件的概率55510644107331082210911010010)54()51()54()51()54()51()54()51()54)(51()54()5(C C C C C C P +++++=≤ξ994.0≈。
由以上知，在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅为0.006，从而一个工作班的8小时内不能正常工作的时间大约为8×60×0.006=2.88（分钟），这说明，10台机床的工作基本不受电力供应紧张的影响。
高中 数学 选修 二项分布及其应用
二项分布及其应用【知识要点】1、条件概率的定义和性质（1）定义：一般地，设A,B 为两个事件，且 ，称)()()(A P AB P A B P =为在 的条件下， 的条件，)(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率。
（2）性质：①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 ②如果B 和C 是两个互斥事件，则2、事件的相互独立性设A ，B 为两个事件，如果 ，则称事件A 与事件B 相互独立。
如果事件A 与B ，那么A 与-B ,-A 与B ，-A 与-B 也都3、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验成为 。
4、二项分布若设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()__________,P X k ==其中k 的取值为_________.此时随机就是X 服从二项分布，记为 ，并称P 为成功概率。
【典型例题】1、甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%求：甲市为雨天，乙市也为雨天的概率 乙市为雨天，甲市也为雨天的概率2、加工某种零件需经过三道工序。
设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87，且各道工序互不影响。
(1) 求该种零件的合格率；(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。
3、某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率4、从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加计算机理论测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率； （Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为ξ，求ξ的概率分布.【巩固练习】1、一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为 （ ） A.41004901C C - B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .2、已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( ) A.310 B.29 C.78 D.793、国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ) A.5960 B.35 C.12 D.1604、如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率 都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 ( )A.18B.14C.12D.1165、位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 （ )A ．(12)3B ．25C (12)5 C ．35C (12)3D ．25C 35C (12)56、甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 （ ）A. 0．216B.0．36C.0．432D.0．648 7、已知随机变量服从二项分布，，则(等于 ( )A.B. C.D.8、设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第次首次测到正品，则等于 ( )A. B. C. D.9、设随机变量的概率分布列为，则的值为 （ ）A B C D10、甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙投中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为，若甲先投，则等于（ ）A.B.C.D.二. 填空题1、设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________________．2、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．3、某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击4次，至少击中3次的概率是________．4、三人独立地破译一个密码，它们能译出的概率分别为、、，则能够将此密码译出的概率为________．三. 解答题1、甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．2、一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．3、某单位有6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立） （1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几个人同时上网的概率小于0.3。
高三总复习数学课件 二项分布及其应用、正态分布
解析：根据n重伯努利试验公式得，该同学通过测试的概率为C×0.62×0.4＋ 0.63＝0.648.
答案：A
2．第六届世界互联网大会发布了 15 项“世界互联网领先科技成果”，其中有 5
项成果均属于芯片领域．现有 3 名学生从这 15 项“世界互联网领先科技成
果”中分别任选 1 项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有 1 名
答案：B
2．(人教A版选择性必修第三册P77·T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感
染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率
约为
()
A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45
答案：A
3．(湘教版选择性必修第二册 P130 ·例 4 改编)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比
赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜
的概率均为23，则甲以 3∶1 的比分获胜的三册P87·习题T1改编)某学校高二年级数学学业质量 检测考试成绩X～N(80,25)，如果规定大于或等于85分为A等，那么在参加考 试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是________．(附：若X～ N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7) 解析：P(X≥85)＝12[1－P(75≤ X< 85)]≈1－02.682 7≈0.158 7.
n重伯努利试验 ②特征：同一个伯努利试验重复做n次；各次试验的结
果_相__互__独__立___
2.二项分布 (1)二项分布的定义： 一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0<p<1)， 用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为 P(X＝k)＝_C_kn_p_k_(_1_－__p_)n_－_k_，k＝ 0,1,2，…，n.如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从 二项分布，记作 X～B(n，p) ． (2)二项分布的均值与方差： 如果 X～B(n，p)，那么 E(X)＝ np ，D(X)＝ np(1－p) ．
二项分布性质及应用
二项分布性质及应用二项分布是一种概率分布，主要用来描述在进行一系列独立重复试验中，成功事件发生的次数在固定次数试验中出现的概率分布。
二项分布具有以下一些性质：1. 试验结果只有两种可能的结果，称为成功和失败，记为S和F。
2. 每次试验都是独立的，一次成功试验的结果不影响下一次试验的结果。
3. 每次试验的成功概率相同，并且在不同试验中保持不变。
根据以上性质，二项分布可以用来回答以下问题：1. 成功事件在一定次数试验中发生的概率：在进行一定次数的试验中，成功事件发生的概率可以用二项分布来计算。
例如，在投掷硬币的试验中，成功事件为正面朝上，可以根据硬币正反面的概率来计算在若干次投掷中，正面朝上的次数的概率。
2. 成功事件在某特定次数发生的概率：在进行若干次试验中，计算特定次数（例如恰好出现2次、3次等）成功事件发生的概率。
例如，在连续进行5次二项分布试验中，计算正面朝上出现2次的概率。
3. 成功事件在一定次数范围内发生的概率：在进行若干次试验后，计算成功事件在某个范围内（例如至少出现3次、最多出现4次等）发生的概率。
例如，在连续进行10次二项分布试验中，计算正面朝上至少出现3次的概率。
二项分布的应用非常广泛，以下是一些具体的应用场景：1. 市场调查：对于一个新产品的市场调查可以使用二项分布来判断在一定数量的受访者中，有多少人会购买该产品。
2. 投票预测：在选举前，可以使用二项分布来预测每个候选人获得特定票数的概率，以便进行选情分析。
3. 品质控制：在生产过程中，可以使用二项分布来判断产品在一定数量检验中有多少个不合格品。
4. 策略：在场景中，可以使用二项分布来计算在一定回合中成功的概率，以制定更有效的策略。
5. 统计推断：在进行A/B测试时，可以使用二项分布来计算不同测试组中成功事件的概率，以评估不同策略的效果。
总之，二项分布作为一种概率分布，可以用来描述成功事件在一定次数试验中的概率分布，并在许多领域中具有广泛的应用。
【高中数学】二项分布及其应用
2 0.0025
四、几何分布 1. 定义： 在独立重复试验中，某事件 A 第一次发生时所作的试验次数 ξ 也是一个取值为正整数的随机变量。“ξ =k”表示在第 k
次独立重复试验时事件 A 第一次发生。如果把第 k 次实验时事件 A 发生记为 Ak，p( Ak)=p，事件 A 不发生记为 Ak ，
P( Ak )=q (q=1-p)，那么：
P( k) Cnk pk qnk （其中 k=0,1, ... ,n，q=1-p ）
于是可得随机变量 ξ 的概率分布如下：
(ab) C a C a b C a b C b 由于 Cnk pk qnk 恰好是二项展开式
n
0 n
n
1 n1 1
n
r nr r
n
nn
n 中的第 k+1 项，
所以，称这样的随机变量 ξ 服从二项分布，记作 ξ～B(n,p)，其中 n,p 为参数，并记：
下概率不变，则为相互独立. (2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件. 相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响. (3)如果 A、B 是相互独立事件，则 A 的补集与 B 的补集、A 与 B 的补集、A 的补集与 B 也都相互独立.
2. 相互独立事件同时发生的概率公式
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有： P( A • B) P( A) • P(B)
第2页
Cnk pk qnk B(k; n, p)
4. 解题步骤 例 3. 某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%。现从一批产品中任意地连续取出 2 件，写出其中次品数 ξ 的概率 分布。 解：依题意，随机变量 ξ～B(2，5%)
因此，次品数 ξ 的概率分布是： ξ p
高三数学二项分布及其应用(整理2019年11月)
P( A)
2.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P(AB) 表 示 在 样 本 空 间 中,计 算 AB发 生
的 概 率,而 P(B A) 表 示 在 缩 小 的 样 本 空 间A 中, 计 算 B 发 生 的 概 率.用 古 典 概 率 公 式,则
事件 A 发生的概率
实验总次数
（其中k = 0，1，2，···，n ） 事件 A 发生的次数
例3
有10台同样的机器，每台机器的 故障率为3%，各台机器独立工作， 今配有2名维修工人，一般情况下， 1台机器出故障，1人维修即可，问 机器出故障无人维修的概率为多少？
二项分布
AB 中 样 本 点 数 P(B A) A 中 样 本 点 数,
P(AB)
AB 中 样 本 点 数 中样本点数
一 般 来 说, P(B A)比 P(AB) 大.
例1
在某次考试中，要从20道题中随机地 抽出6题，若考生至少能答对其中4道题 即可通过；若至少答对其中5题就获得 优秀，已知某考生能答对其中10题，并 且知道他在这次考试中已经通过，求他 获得优秀成绩的概率。
意义建构
在 n 次独立重复试验中，如果事件 Ａ在其中１次试验中发生的概率是Ｐ， 那么在n次独立重复试验中这个事件恰 好发生 k 次的概率是:
P ( k ) C k Pk (1 - P )n -k ( k 0,1, 2, L n ).
n
n
独立重复试验
1).公式适用的条件 2).公式的结构特征
；最新高清电影在线观看 最新高清电影在线观看
；
进入7.我猜你说不了多长时间，谁会记取你的芳名!一定不会有什么好兆头。事实证明，各勤其事，请以"慎对自己"
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高考数学 二项分布及其应用
1.已知盒中装有3着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( ) A.310 B.29 C.78 D.79
解析：设事件A 为“第1次抽到是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝2190＝7
30.在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽
到卡口灯泡的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝7
30310＝7
9
.
答案：D
2．设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为3
10，在事件A 发生的条件下，
事件B 发生的概率为1
2，则事件A 发生的概率为________________．
解析：由题意知，P (AB )＝310，P (B |A )＝1
2，
∴P (A )＝P (AB )P (B |A )＝3
1012＝3
5
.
答案：35
3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为： P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.
根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
答案：0.72
题组二
相互独立事件
4.(2010·抚顺模拟)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1
3，乙、丙去北京旅游的概率分别
为14，1
5
.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，1
5.因此，他们不去北京旅游的概
率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝3
5.
答案：B
5．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率 都是1
2
，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 ( )
A.18
B.14
C.12
D.116 解析：理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯亮应为事件ACB －
，且A ，C ，B 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )
＝12，所以P (AB － C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝18
. 答案：A
6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则
P (A )＝413428310C C C C +213
646
310C C C C +＝23. P (B )＝213
828310
C C C C +＝14
15. (2)因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P (A －B －
)＝P (A －
)P (B －
)＝(1－23)(1－1415)＝1
45
，
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P (A －·B －
)＝1－145＝44
45
.
7.向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率
是 ( ) A ．(12)3 B ．2
5C (12)5
C ．35C (12)3
D ．25C 35C (12
)5
解析：质点由原点移动到(2,3)，需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点的移动方法有25C 种，而每一次移动的概率都是12，所以所求的概率等于2
5C (12)5.
答案：B
8．2009年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是3
4
.
(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；
(2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．
解：(1)记“该考生正确做出第i 道题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P (A i )＝3
4，由于每一道
题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率为
P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3) ＝34×34×14＝964
. (2)记“这名考生通过书面测试”为事件B ，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道题或4道题，
故P (B )＝34C ×(34)3×14＋4
4C ×(34)4＝189256.
9.在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为65
81，
则事件A 在1次试验中出现的概率为________．
解析：A 至少发生一次的概率为65
81，则A 的对立事件A ：事件A 都不发生的概率为1
－6581＝1681＝(23)4，所以，A 在一次试验中出现的概率为1－23＝13. 答案：13
10．(2010·青岛模拟)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3
4.假设两人射击
是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
解：(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1.由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验． 故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)4＝6581
，
所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为65
81
.
(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2，则
P (A 2)＝2
4C ×(23)2×(1－23)42－＝827，
P (B 2)＝3
4C ×(34)3×(1－34)43－＝2764.
由于甲、乙射击相互独立，故 P (A 2B 2)＝P (A 2)·P (B 2)＝827×2764＝1
8
.
所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为1
8
.
(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则 A 3＝D 5D 4·D 3·(D 2D 1)， 且P (D i )＝14
.
由于各事件相互独立，故
P (A 3)＝P (D 5)·P (D 4)·P (D 3)·P (D 2D 1) ＝14×14×34×(1－14×14)＝451 024
. 所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为451 024.。