高考数学 二项分布及其应用

高考数学 二项分布及其应用

1.已知盒中装有3着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( ) A.310 B.29 C.78 D.79

解析：设事件A 为“第1次抽到是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝2190＝7

30.在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽

到卡口灯泡的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝7

30310＝7

9

.

答案：D

2．设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为3

10，在事件A 发生的条件下，

事件B 发生的概率为1

2，则事件A 发生的概率为________________．

解析：由题意知，P (AB )＝310，P (B |A )＝1

2，

∴P (A )＝P (AB )P (B |A )＝3

1012＝3

5

.

答案：35

3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．

解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为： P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.

根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.

答案：0.72

题组二

相互独立事件

4.(2010·抚顺模拟)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1

3，乙、丙去北京旅游的概率分别

为14，1

5

.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，1

5.因此，他们不去北京旅游的概

率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝3

5.

答案：B

5．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率 都是1

2

，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 ( )

A.18

B.14

C.12

D.116 解析：理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯亮应为事件ACB －

，且A ，C ，B 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )

＝12，所以P (AB － C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝18

. 答案：A

6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．

(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则

P (A )＝413428310C C C C +213

646

310C C C C +＝23. P (B )＝213

828310

C C C C +＝14

15. (2)因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为

P (A －B －

)＝P (A －

)P (B －

)＝(1－23)(1－1415)＝1

45

，

所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P (A －·B －

)＝1－145＝44

45

.

7.向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1

2，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率

是 ( ) A ．(12)3 B ．2

5C (12)5

C ．35C (12)3

D ．25C 35C (12

)5

解析：质点由原点移动到(2,3)，需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点的移动方法有25C 种，而每一次移动的概率都是12，所以所求的概率等于2

5C (12)5.

答案：B

8．2009年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是3

4

.

(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；

(2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．

解：(1)记“该考生正确做出第i 道题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P (A i )＝3

4，由于每一道

题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率为

P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3) ＝34×34×14＝964

. (2)记“这名考生通过书面测试”为事件B ，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道题或4道题，

故P (B )＝34C ×(34)3×14＋4

4C ×(34)4＝189256.

9.在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为65

81，

则事件A 在1次试验中出现的概率为________．

解析：A 至少发生一次的概率为65

81，则A 的对立事件A ：事件A 都不发生的概率为1

－6581＝1681＝(23)4，所以，A 在一次试验中出现的概率为1－23＝13. 答案：13

10．(2010·青岛模拟)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3

4.假设两人射击

是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；

(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

解：(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1.由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验． 故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)4＝6581

，

所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为65

81

.

(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2，则

P (A 2)＝2

4C ×(23)2×(1－23)42－＝827，

P (B 2)＝3

4C ×(34)3×(1－34)43－＝2764.

由于甲、乙射击相互独立，故 P (A 2B 2)＝P (A 2)·P (B 2)＝827×2764＝1

8

.

所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为1

8

.