2.2.2 等差数列(二)
探究式导学案2：2.2.2等差数列（二）
2.2.2 等差数列之（二）等差数列的基本性质【学习目标】1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律；2．理解等差数列的性质3．掌握等差数列的性质及其应用．【重、难点】重点：等差数列的性质及证明.难点：运用等差数列定义及性质解题．【知识链接】（1）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有a n＋1－a n＝________.（2）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有2a n＋1－a n＝________.【答案】（1）d；（2）a n+2【新知探究】探究一.等差数列通项公式的推广问题1. 若已知等差数列{a n}中的第m项a m和公差d，如何表示通项a n？【解析】设等差数列的首项为a1，则a m＝a1＋(m－1)d，得a1＝a m－(m－1)d，∴a n＝a1＋(n－1)d＝a m－(m－1)d＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.【获取新知】（1）广义的等差数列通项公式：a n＝a m＋(n－m)d；（2）由任意两项a m和a n求公差：d=a n−a mn−m.例1.若数列{a n}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．【解析】由题意，该数列的公差d=a60−a1560−15=20−845=415∴a75=a60+(75−60)d=20+15×415=24变式1. 等差数列{a n}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于()A．2 B．20 C．100 D．不确定【答案】A探究二.等差数列与一次函数的关系问题2.（1）等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d与一次函数有什么关系？（2）若数列{a n}的通项公式是一次函数a n＝pn＋q，其中p、q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？【解析】：（1）∵数列是关于序号n的函数，为此将数列的通项公式变形为关于n的函数：a n＝dn＋(a1－d).显然，当d≠0时，a n是关于序号n的一次函数，其图象是直线f(x)＝dx＋(a1－d)上一系列孤立的点，d为该直线的斜率，a1－d是该直线在y轴上的截距.（2）取数列{a n}中任意两项a n和a n－1(n>1)，则a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝p．显然，这是一个与n无关的常数，所以{a n}是等差数列．将一次函数变形为等差数列通项公式的形式为：a n＝pn＋q＝(q＋p)＋(n－1)p，所以该数列的首项a1＝p＋q，公差d＝p.【获取新知】（1）当公差d＝0时，等差数列是常函数，不是一次函数；（2）当公差d≠0时，等差数列是关于n的一次函数，且其斜率即为公差d，在y轴上的截距为a1－d．探究三. 等差数列的单调性问题3. 根据等差数列与一次函数的关系，你能根据等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d判断它的单调性吗？答：当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．例2. 已知递增数列{a n}满足a1=1，a3=a22−4，则a n=__________【答案】2n−1【解析】由a1=1，a3=a22−4 得1+2d=(1+d)2−4，即d2=4，解得d=±2又{a n}是递增数列，所以d=2，所以a n=1+2(n−1)=2n−1变式2.若a n=n2−kn(n∈N∗)是递增数列，则k的取值范围____________.【答案】k<3【解析】由k2<32得k<3.探究四. 等差数列的性质（一）等差数列的项与序号的关系问题4. 已知数列{a n}是等差数列（1）2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9呢？为什么？（2）2a n=a n−1+a n+1(n>1)是否成立？据此你能得到什么结论？2a n=a n−k+a n+k(n>1)是否成立？你又能得到什么结论？【获取新知】在等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则a m＋a n＝a p＋a q .特别地，若m+n=2p，则a m＋a n＝2a p .【解题反思】（1）由a m＋a n＝a p＋a q能推出m+n=p+q吗？（2）由m+n=p能推出a m＋a n＝a p 吗？答：（1）当等差数列{a n}是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m+n=p+q；当等差数列{a n}不是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q一定能推出m+n=p+q.（2）由m+n=p 不能推出a m＋a n＝a p.例3. 已知数列{a n}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝_______.【答案】234【解析】∵a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13 ∴a9＝117 ∴a3＋a15＝a9＋a9＝234.变式3.已知等差数列{a n}中，a2＋a6＋a10＝1，则a3＋a9＝______.【答案】23【解析】由等差数列的性质，知a2＋a10＝2a6，又a2＋a6＋a10＝1.∴3a6＝1，a6＝13∴a3＋a9＝2a6＝23.（二）等差数列的子列的性质问题5. 已知一个无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.（1）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（2）如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列呢？（3）你能根据得到的结论做出一个猜想吗？答：（1）组成的新数列是等差数列，它的首项是a1，公差为2d；（2）组成的新数列仍然是等差数列，它的首项是a1+6d= a7，公差为7d；（3）若数列{a n}和{k n}都是等差数列，其公差分别为d1，d2，则{a kn}也是等差数列，且公差为d1∙d2.（三）等差数列的其他性质问题6.设等差数列{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，判断{pa n+qb n}(p，q 为常数)是否为等差数列？如果是，给出证明，并写出首项和公差；如果不是，请说明理由.答：{pa n+qb n}是等差数列证明：令c n=pa n+qb n，则 c n+1−c n=(pa n+1+qb n+1)−(pa n+qb n)=p(a n+1−a n)+q(b n+1−b n)=pd1+qd2.∴{pa n+qb n}是等差数列，且首项为pa1+qb1，公差为pd1+qd2.【解题反思】（1）当p=q=1时，你能得到什么结论？（2）当p=k，q=0时呢？答：（1）当p=q=1时，得{a n+b n}是首项为a1+b1，公差为d1+d2的等差数列.（2）当p=k，q=0时，{ka n}也是等差数列，且公差为kd1.例4. 设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5= _______.【答案】35【解析】两个等差数列的和数列仍为等差数列．设两等差数列组成的和数列为{c n}，则{c n}为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.。
教学：2.2.2 等差数列(二)
在等差数列an中，若m, n, p, q N ,
则当m n p q时，总有am an a p aq
特别地，若m n 2 p，则am an 2a p
练习：在等差数列{an}中，
（1）已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 ；10 （2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8； 15
则当m n p q时，总有am an a p aq
特别地，若m n 2 p，则am an 2a p
即此时a p是am与an的等差中项
练习：在等差数列{an}中，
（1）已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 ；10 （2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8； 15
a3
8 12
解得
a1 a3
2 6
或
a1 a3
6 2
∴这三个数为2，4，6或6，4，2
例4、三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积也为12，求此三数.
解法2：设这三个数分别为a-d，a，a+d 则 (a-d )+a+(a+d )=12，即3a=12 ∴a= 4 又∵ (a-d )(a+d )=12，即(4-d )(4+d )=12 解得 d=±2 ∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6 当d=-2时，这三个数分别为6，4，2
（3）已知 a2+a14=10，能求出a16吗？
练习：
1、已知在等差数列 an 中， a1 a3 6, a7 18,
高中数学人教A版必修5第二章2.2等差数列2课时课件
a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整 除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下 一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原 数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是 原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出 什么结论?
3.备课资料(2.2.2 等差数列通项公式)
备课资料 一、备用例题【例1】 梯子最高一级宽33 cm ，最低一级宽为110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.解：设{a n }表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知a 1=33，a 12=110，n =12，所以a 12=a 1+(12-1)d ，即得110=33+11d ，解之，得d =7. 因此a 2=33+7=40,a 3=40+7=47,a 4=54,a 5=61,a 6=68,a 7=75,a 8=82,a 9=89,a 10=96,a 11=103.答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm ，47cm ，54 cm ，61 cm ，68 cm ，75 cm ，82 cm ，89 cm ，96 cm ，103 cm.【例2】 已知c b a 1,1,1成等差数列，求证：a c b +，b a c +，c b a +也成等差数列. 证明：因为a 1，b 1，c 1成等差数列，所以c a b 112+=，化简得2a c=b (a +c)，所以有 acc a ac ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b 2222222)(++=+++=+++=+++ =bc a c a b c a ac c a +•=++=+22)()()(22. 因而,a c b +,ba c +cb a +也成等差数列. 【例3】 设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=35，b 1=75，a 2+b 2=100，求数列{a n +b n }的第37项的值.分析：由数列{a n }、{b n }都是等差数列，可得{a n +b n }是等差数列，故可求出数列{a n +b n }的公差和通项.解：设数列{a n }、{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n +1+b n +1)-(a n +b n )=(a n +1-a n )+(b n +1-b n )=d 1+d 2为常数，所以可得{a n +b n }是等差数列.设其公差为d ，则公差d =(a 2+b 2)-(a 1+b 1)=100-(35+75)=-10.因而a 37+b 37=110-10×(37-1)=-250.所以数列{a n +b n }的第37项的值为-250.点拨:若一个数列未告诉我们是等差数列时，应先由定义法判定它是等差数列后，方可使用通项公式a n =a 1+(n -1)d .但对客观试题则可以直接运用某些重要结论，直接判定数列是否为等差数列.【例4】 在美国广为流传的一道数学题目是“老板给你两个加工资的方案：一是每年年末加1 000美元；二是每半年结束时加300美元，请你选择一种加薪方式”.一般不擅长数学的人，很容易选择前者，因为一年加一千美元总比两个半年共加600美元要多.其实，由于加工资是累计的时间稍长，往往会发现第二种方案更有利.例如：在第二年的年末，依第一种方案共可以加得1 000+2 000=3 000美元；而第二种方案共可以加得300+600+900+1 200=3 000美元，但到了第三年，第一方案共可加得6 000美元，第二方案则共加得6 300美元，显然多于第一种方案.第四年后会更多.因此，你若会在该公司干三年以上，则应选择第二方案. 根据以上材料，解答下列问题：(1)如果在该公司干十年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少美元？(2)如果第二方案中的每半年加300美元改为每半年加a 美元.问a 取何值时，总是选择第二种方案比选择第一种方案多加薪？答案：(1)在该公司干10年，选择第二种方案比选项择第一种方案多加薪8 000美元.(2)当a 大于31000时，总是第二方案加薪多于第一种方案. 【例5】 意大利的匹萨饼店的伙计们喜欢将饼切成形状各异的一块一块.他们发现，每一种确定的刀数，都可以有一个最多的块数.例如，切一刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块……问切n 刀，最多可切出几块?(要求学生发挥自己的聪明才智，课外认真思考，分清每一种确定的刀数，都可以有一个最多的块数，可先从少量的几刀去得出一些数据，再对数据加以分析，让学生学会归纳与总结，并能勇于联想、探索)答案：121212++n n .二、阅读材料一个古老的数学课题等差数列是一个古老的数学课题.一个数列从第二项起，后项减去前项所得的差是一个相等的常数，则称此数列为等差数列.在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题，特别是等差数列.例如早在公元前2700年以前埃及数学的《莱因特纸草书》中，就记载着相关的问题.在巴比伦晚期的《泥板文书》中，也有按级递减分物的等差数列问题.其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目.现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差多少？在我国公元五世纪写成的《张丘建算经》中，透过五个具体例子，分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤.比如书中第23题(用现代语叙述)：（1）有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？这是一个已知首项(a 1)、末项(a n )，以及项数(n )求总数(S n )的问题，对此，原书提出的解法是：总数等于首项加末项除2，乘以项数.它相当于现今代数里的求和公式：S n =(a 1+a n )·2n .印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪也得出了这个公式，并给出了求末项公式：a n =a 1+(n -1)d .（2）有一女子善于织布，逐日所织布按同数递增，已知第一日织5尺，经一月共织39丈，问每日比前一日增织多少？这是一个已知首项(a 1)，总数(S n )以及项数(n )，求公差(d )的问题，对此原书给出的解法是.1221--=n a nS d n 等价于现在的求和公式：2)1(21d n a n S n -+=. 书中第1题：今有某人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增分给.给完后把这些人所得的钱全部收回，再平均分配，结果每人得100元，问人数多少？这是一个已知首项(a 1)，公差(d )以及n 项的平均数(m)，求项数(n )的问题，对此原书给出的解法是dd a m n +-=)(21. 我国自张邱建之后，对等差数列的计算日趋重视，特别是在天文学和堆栈求积等问题的推动下，从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究.在北宋沈括(1031～1095)的《梦溪笔谈》中，“垛积术”就是第一个关于高级等差数列的求积法.垛积术即“有限差分法”，我国古代用于天文历算和计算垛积.垛积术也就是高阶等差级数求和.我国古代，对于一般等差数列和等比数列，很早就有了初步的研究成果.《九章算术》中已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数求公差的问题，并用比例方法来解决.公元5世纪末的《张邱建算经》给出了等差数列求和公式： S=21n (a +1)与求公差的公式：)22(11a nS n d --=. 南宋数学家杨辉，丰富和发展了沈括的成果，提出了诸如S=12+22+32+…+n 2=6n (n +1)(2n +1), S=1+3+6+10+…+2)1(+n n =61 n (n +1)(n +2) 之类的垛积公式.北宋科学家沈括的长方台形垛积(如图)的求和公式：)(6]2()2[6a c n bc d a d b n S -++++=. 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》和《算学启蒙》中得到一系列重要的高阶等差数列求和公式.朱世杰的垛积根差术，全面地推进了宋元数学家在这方面的研究工作.。
2.2等差数列(二)
§2.2等差数列(二)学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质(重点)；2.能运用等差数列的性质解决有关问题(难点).预习教材P36－38完成下列问题：知识点一等差数列与一次函数1.等差数列的图象等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d＝0时，a n是关于n的常数函数；当d≠0时，a n是关于n的一次函数，点(n，a n)分布在以d为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点.2.公差d与斜率等差数列{a n}的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d，即d＝a n－a1n－1(n≥2，n∈N*).【预习评价】1.已知(1，1)，(3，5)是等差数列{a n}图象上的两点，则a n＝________.解析根据等差数列与一次函数的关系可知，公差d＝k＝5－13－1＝2.又知a1＝1，所以a n＝2n－1.另外，由于等差数列的通项公式就是一次函数的解析式，所以本题还可以直接由直线方程的两点式求得，即a n－15－1＝n－13－1，所以a n＝2n－1.答案2n－12.d＝a n－a1n－1，d＝a n－a mn－m，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？提示等差数列通项公式可变形为a n＝dn＋(a1－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，a n)，(m，a m)都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，a n)连线的斜率d＝a n－a1n－1.当两点为(n，a n)，(m，a m)时，有d＝a n－a mn－m.知识点二等差数列的性质1.若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有2.等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….3.下标性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n ＝a p＋a q.特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有a m＋a n＝2a p.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若数列{a n}为等差数列，则a n＋1＝a n－1＋2d，n＞1，且n∈N*.()(2)若{a n}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则a m＋a n＝a p()(3)取出一个等差数列的所有偶数项构成的数列为等差数列且其公差为原数列公差的两倍.()提示(2)∵{a n}为等差数列，m＋n＝p，∴a m＋a n＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d.∴a p＝a1＋(p－1)d.∴a m＋a n≠a p.答案(1)√(2)×(3)√题型一等差数列与一次函数的关系【例1】已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解取数列{a n}中任意相邻两项a n和a n－1(n＞1)，求差得a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.它是一个与n无关的常数，所以{a n}是等差数列.由于a n＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.规律方法判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)从递推公式上看，a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(2)从任意连续三项关系上看，2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(3)从通项公式代数特点上看，a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.如：其中某连续三项不成等差数列；存在n∈N*，a n＋1－a n的结果不等于同一个常数等.【训练1】在等差数列{a n}中，a r＝s，a s＝r(r≠s，r，s∈N*)，则a r＋s＝________. 解析由等差数列与一次函数的关系可知，点(r，s)与(s，r)是一次函数y＝－x ＋(r＋s)图象上的两点，并且数列{a n}的所有点都分布在这个一次函数的图象上，所以当x＝r＋s时，y＝0，即a r＋s＝0.答案0题型二等差数列性质的应用【例2】 已知{a n }为等差数列，a 4＋a 7＋a 10＝30，则a 3－2a 5的值为( )A.10B.－10C.15D.－15解析 法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则30＝(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋18d ，即a 1＋6d ＝10.而a 3－2a 5＝(a 1＋2d )－2(a 1＋4d )＝－a 1－6d ＝－10. 法二 由等差数列的性质知30＝a 4＋a 7＋a 10＝3a 7，则a 7＝10.而a 3－2a 5＝a 3－(a 3＋a 7)＝－a 7＝－10.答案 B规律方法 等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a 1，d 的方程(组)，确定a 1，d ，然后求其他量.(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a r .【训练2】 在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________. 解析 设数列{a n }的公差为d .法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝a ，a 10＝a 1＋9d ＝b ，解得⎩⎨⎧a 1＝9a －4b 5，d ＝b －a 5，∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二 d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三 ∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案 2b －a【例3】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）2＋（a －d ）2＋（a ＋d ）2＋（a ＋3d ）2＝94，（a －3d ）（a ＋3d ）＋18＝（a －d ）（a ＋d ），又因为是递增数列，所以d >0，所以解得a ＝±72，d ＝32，此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.【迁移1】 若本例改为：已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.解 法一 设这三个数为a ，b ，c ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝18，a 2＋b 2＋c 2＝116，解得a ＝4，b ＝6，c ＝8.这三个数为4，6，8.法二 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝18， ①（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝116， ②由①得a ＝6，代入②得d ＝±2，∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去，∴这三个数为4，6，8.【迁移2】 已知单调递增的等差数列{a n }的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n }的通项公式.解 法一 根据题意，设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－4.因为数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.法二 由于数列{a n }为等差数列，所以可设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝21，（a －d ）a （a ＋d ）＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝21，a （a 2－d 2）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－4.由于数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4，从而a n ＝4n －1. 规律方法 等差数列项的常见设法：(1)通项法：设数列的通项公式，即设a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)对称项设法：当等差数列{a n }的项数为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列{a n }的项数为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….对称项设法的优点是：若有n 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na .题型四 等差数列的实际应用【例4】 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解设某单位需购买电视机n台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n}，a n＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，由a n＝－20n＋800≥440，得n≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n)n－600n＝20n(10－n).当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.规律方法解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.【训练3】 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A.1升B.6766升C.4744升D.3733升解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{a n }，其首项为a 1，公差为d ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，所以a 5＝a 1＋4d ＝6766. 答案 B课堂达标1.在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7等于( )A.5B.8C.10D.14解析 法一 设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 答案 B2.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A.4B.6C.8D.10解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.答案 C3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A.a 1＋a 101>0B.a 2＋a 101<0C.a 3＋a 99＝0D.a 51＝51解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，又∵a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝…＝2a 51，∴a 51＝0＝a 3＋a 99.答案 C4.在等差数列{a n }中，已知a 1＋2a 8＋a 15＝96，则2a 9－a 10＝________. 解析 ∵a 1＋2a 8＋a 15＝4a 8＝96，∴a 8＝24.∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.答案 245.成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数. 解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）＋（a －d ）＋（a ＋d ）＋（a ＋3d ）＝26，（a －d ）（a ＋d ）＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.∴这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.课堂小结1.在等差数列{a n}中，当m≠n时，d＝a m－a nm－n，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m＝a n＋(m－n)d.2.等差数列{a n}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.3.等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q，则a n＋a m＝a p＋a q(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则a n＋a m＝2a p.4.在等差数列{a n}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.基础过关1.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m 为()A.12B.8C.6D.4解析由等差数列性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.答案 B2.设公差为－2的等差数列{a n}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于()A.－182B.－78C.－148D.－82解析a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.答案 D3.下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个结论：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列.其中正确的为( )A.p 1，p 2B.p 3，p 4C.p 2，p 3D.p 1，p 4解析 设等差数列首项a 1，d >0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )， ∴数列{a n }递增，p 1正确；na n ＝dn 2＋(a 1－d )n ，当n <d －a 12d 时，不递增，p 2错误； a n n ＝d ＋a 1－d n ，当a 1－d >0时，不递增，p 3错误；[a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0，{a n ＋3nd }递增，p 4正确，故选p 1，p 4.答案 D4.若3，a ，b ，c ，15成等差数列，则a ＋b ＋c ＝________.解析 由等差数列的对称性知，b 是3，15的等差中项且a ＋c ＝3＋15，∴a ＋b ＋c ＝3＋15＋3＋152＝27.答案 275.在等差数列{a n }中，若a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，则a 4a 6＝________.解析 ∵等差数列{a n }中，a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，∴a 22＋a 2(a 6＋a 10)＋a 6a 10＝16，∴(a 2＋a 6)(a 2＋a 10)＝16，∴2a 4·2a 6＝16，∴a 4a 6＝4. 答案 46.在数列{a n }中，a 1＝3，a 17＝67，通项公式是关于n 的一次函数.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2 013；(3)2 015是否为数列{a n }中的项？若是，为第几项？ 解 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，∵a 1＝3，a 17＝67，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3，17k ＋b ＝67，解得k ＝4，b ＝－1. ∴a n ＝4n －1，(2)∵a n ＝4n －1，∴a 2 013＝4×2 013－1＝8 051.(3)令2 015＝4n －1，解得n ＝504∈N *，∴2 015是数列{a n }的第504项.7.在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝231.(1)求该数列中a 2的值；(2)求该数列的通项公式a n .解 (1)由等差数列的性质可知，a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，则a 2＝7.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝14，a 1·a 3＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，a 3＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 3＝11；所以公差d ＝3－113－1＝－4或d ＝11－33－1＝4. ∴a n ＝11＋(n －1)×(－4)＝－4n ＋15或a n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1.能力提升8.等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值是( )A.14B.15C.16D.17解析 依题意，由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，得a 8＝24，所以a 9－13a 11＝13(3a 9－a 11)＝13(a 9＋a 7＋a 11－a 11)＝13(a 9＋a 7)＝23a 8＝16.故选C.答案 C9.各项均为正数的等差数列{a n }中，3a 6－a 27＋3a 8＝0，则a 7＝( )A.2B.4C.6D.8解析 ∵3a 6－a 27＋3a 8＝0， ∴由等差数列性质，即为6a 7－a 27＝0，∵等差数列{a n }各项不为零，∴a 7＝6，故选C.答案 C10.在等差数列{a n }中，若a 2，a 10是方程x 2＋12x －8＝0的两个根，那么a 6的值为________.解析 在等差数列{a n }中，若a 2，a 10是方程x 2＋12x －8＝0的两个根，由根与系数的关系可得a 2＋a 10＝－12.再由等差数列的性质可得a 2＋a 10＝2a 6，故a 6＝－6.答案 －611.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 8＝5π4，那么cos(a 3＋a 5)＝________.解析 在等差数列{a n }中，由a 1＋a 3＋a 8＝5π4，得a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝5π4，∴3a 1＋9d ＝5π4，即a 1＋3d ＝a 4＝5π12，∴a 3＋a 5＝2a 4＝5π6，则cos(a 3＋a 5)＝cos 5π6＝－32.答案 －3212.已知数列{a n }中，a 1＝4.(1)若a n ＝a n ＋1＋3，求a 10；(2)若数列{1a n}为等差数列，且a 6＝14，求数列{a n }的通项公式. 解 (1)因为a n ＝a n ＋1＋3，所以a n ＋1－a n ＝－3， 所以数列{a n }是首项为4，公差为－3的等差数列， 所以a 10＝4＋9×(－3)＝－23.(2)因为a 1＝4，a 6＝14，所以1a 1＝14，1a 6＝4， 设等差数列{1a n }的公差为d ，则1a 6＝1a 1＋5d ， 所以4＝14＋5d ，解得d ＝34，所以1a n ＝14＋(n －1)×34＝3n －24. 所以a n ＝43n －2. 13.(选做题)已知无穷等差数列{a n }，首项a 1＝3，公差d ＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n }.(1)求b 1和b 2；(2)求数列{b n }的通项公式；(3)数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第几项？ 解 (1)由题意，等差数列{a n }的通项公式为a n＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n，设数列{b n}的第n项是数列{a n}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N*，所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.(2)由(1)知b n＋1－b n＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，所以新数列{b n}也为等差数列，且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，所以b n＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.(3)因为m＝4n－1，n∈N*，所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，所以数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第439项.。
2.2等差数列及其通项公式(2)
思考：
等差数列{an}： a1, a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,a7, a8,a9,a10….
中，显然 a4 ,a5 ,a6 构成等差数列，那
么 a3 ,a5 ,a7 是否也构成等差数列？ a2 ,a5 ,a8 呢？
2a5=a4＋a6＝a3＋a7= a2 + a8
2a5=a4＋a6＝a3＋a7=a2+a8 在等差数列{an}中， 若m＋n＝p＋q, 则am＋an ＝ap＋aq.
-35 a10=______
课外作业：
1.在数列{an } a1 2 ，2an 1 中， 求 a101
2an 1
2.在三角形ABC中，A,B,C成等差数列， 且lga,lgb,lgc也成等差数列，试判断三角形 的形状。
3. 等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d.
4、等差数列定义：
an－an－1 ＝d
或
(n≥2).
an+1- an = d
等差数列通项公式的推论：
an am (n m)d
an am d nm
例1 在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31, 求公差d与通项公式 .
2.2等差数列及其通项公式 （2）
复习回顾：
1、等差数列：一般地，如果一个数列从第二 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常数d，那么这个数列就叫做等差数列。常 数d叫做等差数列的公差。
2、等差中项：由三个数a , A , b组成的等差
数列可以看成最简单的等差数列。这时，
A叫做a与b的等差中项。
ab A a , A, b 成等差数列. 2
等差中项：
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最 简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项, 且 A= a+b .
§2.2.2等差数列(二)
∴
cn 11 (n 1) 12 12n 1
又∵ a100 302 ，
b100 399 ∴ cn 12n 1 302
∴ n 25.25 ，知数列有25个共同项
2013-1-19 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 17
§2.2.2等差数列(二)
解：取数列 {an } 中的任意相邻两项 an与an1 (n 1) 求差得
an an1 ( pn q) [ p(n 1) q] pn q ( pn p q) p
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 21
它是一个与n无关的数，所以{an }是等差数列
∵
4 n k 1, 而 n N , k N 3
∴ k 必须为3的倍数，设 k 3r (r N ), 得n 4r 1 由条件知 又∵ r N
1 3r 100 1 101 , 解得 r 2 4 1 4r 1 100
，∴
1 用递推关系an 1 (an an 2 )给出的数列 2 也是等差数列。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起， 每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项
2013-1-19 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 7
§2.2.2等差数列(二)
3．有几种方法可以计算公差d
(1)d an an1
2013-1-19
an a1 (3)d an am (2) d nm n 1
2
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.2.2等差数列(二)
4.等差数列对称项设法： (1)当等差数列{an}的项数为奇数时，可设 中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项为： …,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,… (2)当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别 为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项为， …,a-3d,a-d,a+d,a+3d,… 对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用 对称项设出这个数列，则其各项和为na．
等差数列第二课时教案
2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。
人教版高中数学必修五《数列》2.2等差数列(2)
等差数
第二课时
2012年3月28日星期三
1、等差数列的定义 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 2、等差中项的概念 公差
3、等差数列的通项公式 4、等差数列的第二通项公式 5、等差数列的性质1
2012年3月28日星期三
探究：
请看图
2012年3月28日星期三
探究：
结论：
4
●
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
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1
2
3
5
6
7
8
9
10
等差数列的性质
第三通项公式
性质2
性质3
课时作业9
2012年3月28日星期三
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
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（1）数列：-2，0，2，4，6，8，…
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
（2）数列：7，4，1，-2，…
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2
3
2012年3月28日星期三
结论： 点评：
2012年3月28日星期三
思考：
点评：
2012年3月28日星期三
探究：
结论：
2012年3月28日星期三
结论：
注意：在该性质应用时，要使得等号两边的项数相同 并且是所有项的和。
课时作业6：2.2 等差数列（二）
2.2 等差数列（二）1．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于 ( )．A ．4B ．5C ．6D ．72．由公差d ≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…下列说法正确的是 ( )．A ．新数列不是等差数列B ．新数列是公差为d 的等差数列C ．新数列是公差为2d 的等差数列D ．新数列是公差为3d 的等差数列3．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )． A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________.5．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．6．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．综合提高 7．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )． A. 3 B ．± 3 C ．－33 D ．－38．(2011·本溪高二检测)在等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差为( )．A.34 B ．－34 C ．－67 D ．－19．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________.10．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.11．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且a 11＝－26，a 51＝54，求a 14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？12．(创新拓展)已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．参考答案1.【答案】 C【解析】 由a 2＋a 8＝2a 5＝12得：a 5＝6，故选C.2.【解析】 ∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝2d ， ∴数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．【答案】 C3.【解析】 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8. 【答案】 C4.【解析】 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105，a 3＝35.∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99.∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.【答案】 15.【解析】 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0解得：83<d ≤3. 【答案】 ⎝⎛⎦⎤83，36.【解析】 显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)， ∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )， ∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)， ∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.7. 【解析】 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan8π3＝tan 2π3＝－ 3. 【答案】 D8.【解析】 因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19.【答案】 199.【解析】 设插入的四个数为x ，y ，z ，r ，则新的数列为a 1，x ，a 2，y ，a 3，z ，a 4，r ，a 5，共九项，∴d ＝a 5－a 19－1＝2－88＝－34. 【答案】 B10. 【解析】 由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d . 则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12， ∴这4个根依次为14，34，54，74， ∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716， ∴|m －n |＝12. 【答案】 1211. 【解析】 法一 由等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d 列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋10d ＝－26，a 1＋50d ＝54， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2. ∴a 14＝－46＋13×2＝－20.∴a n ＝－46＋(n －1)·2＝2n －48. 令a n ≥0，即2n －48≥0⇒n ≥24.∴从第25项开始，各项为正数． 法二 在等差数列{a n }中，根据a n ＝a m ＋(n －m )d ，∴a 51＝a 11＋40d ，∴d ＝140(54＋26)＝2. ∴a 14＝a 11＋3d ＝－26＋3×2＝－20.∴a n ＝a 11＋(n －11)d ＝－26＋2(n －11)， ∴a n ＝2n －48.显然当n ≥25时，a n >0.即从第25项开始各项为正数．12. (1)解 设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ， 若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0. ∴当p ＝0时，数列{a n }是等差数列．(2)证明 ∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。
必修5教案2.2等差数列的概念(二)
§2.2第2课时 等差数列的通项公式教学目标（1）理解等差数列中等差中项的概念；（2）会求两个数的等差中项；（3）掌握等差数列的特殊性质及应用；（4）掌握证明等差数列的方法。
教学重点，难点等差中项的概念及等差数列性质的应用。
教学过程一．问题情境1．复习：等差数列的定义、通项公式 ；2．问题：（1）已知12312,,,,,,n n n a a a a a a + 是公差为d 的等差数列。
①121,,,,n n a a a a - 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？2462,,,n a a a a 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（2）已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d 。
①将数列{}n a 中的每一项都乘以常数a ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？②由数列{}n a 中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列{}n c 是等差数列吗？ 如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）已知数列{}n a 是等差数列，当m n p q +=+时，是否一定有m n p q a a a a +=+？（4）如果在a 与b 中间插入一个数A ，使得a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？二．学生活动与学生一起讨论得出结论。
三．建构数学1．等差中项的概念：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a b A +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a b A +=．2．等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m-=-()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+四．数学运用1．例题：例1．已知等差数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，求首项1a 和公差d 。
2.2 等差数列(二)(A3)
2．等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即：a1＋an＝a2＋＝…＝ak＋.
3．等差数列的性质
(1)若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则.
(2)若{an}是等差数列，且公差为d，则{a2n－1}和{a2n}都是等差数列，且公差为.
请你类比一次函数的单调性，研究等差数列的单调性，并完成下表.
d>0
{an}为数列
d＝0
{an}为数列
d<0
{an}为数列
【典型例题】
例1在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8
＝33，求a3＋a6＋a9的值．
小结解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．
鸡西市第十九中学学案
2015年（）月（）日班级姓名
2.2等差数列(二)
学习
目标
1．理解等差数列的意义．
2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．
3．掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．
重点
难点
1．要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念，同时，还应准确理解等差数列的关键词“从第2项起”，“差是一个常数”等；要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式．
(3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p、q是常数)是公差为的等差数列．
必修五正弦定理,余弦定理(2节5课时)
人教A版高中数学必修5全册导学案目录1.1.1正弦定理(2)1.1.2余弦定理(2)1.2.1解三角形应用举例（一）1.2.2解三角形应用举例（二）1.2.3解三角形应用举例（三）1.2.3解三角形应用举例（四）2.1.1数列的概念与简单表示法（一）2.1.2数列的概念与简单表示法（二）2.2.1等差数列(一)2.2.2等差数列（二）2.3.1等差数列的前n项和（一）2.3.2等差数列的前项和（二）2.4.1等比数列（一）2.4.2等比数列（二）2.5.1等比数列的前n项和（一）2.5.2等比数列的前n项和（二）3.1.1不等关系与不等式（一）3.1.2不等关系与不等式（二）3.2.1 一元二次不等式及其解法（一）3.2.2一元二次不等式及其解法（二）3.2.3一元二次不等式及其及解法(三)3.3.1.1二元一次不等式（组）与平面区域（一）3.3.2.1简单的线性规划问题（一）3.3.2.2简单的线性规划问题（二）3.3.2.3简单的线性规划问题（三）3.3.2二元一次不等式(组)与平面区域（二）3.4.1基本不等式（一）3.4.2基本不等式（二）3.4.3基本不等式（三）学案序号： 1 \2 课型： 新授课 时间： 2018/8/ 禄丰一中高 二年级标题 §1.1.1正弦定理【学习目标】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 【重难点】1、会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．2、掌握正弦定理的证明方法 【自主学习指导】阅读教材第1页-第4页，思考下列问题： 1、 正弦定理还可以怎样推导？ 2、 正弦定理用途有哪些？【学习过程】一、 新知：1、 正弦定理文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等， 符号语言：sin sin a bA B =sin c C =． 2、 解三角形一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．注意：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c bC B =，sin a A =sin c C ． 3、正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=；sin C = ．二、典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆==中，求和．三、总结提升1. 正弦定理：sin sin a bA B =sin c C = 知识拓展sin sin a b A B =2sin cR C==，其中2R 为外接圆直径.2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角． 【当堂检测】1. 在ABC ∆中，若cos cos A bB a=，则ABC ∆是（ ）.A ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定 4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a sin sin sin a b cA B C++++= ．6. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．【知识构建】学案序号： 3\4课型： 新授课 时间：2018/8 禄丰一中高 二年级 班标题§1.1.2余弦定理【学习目标】学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 【重难点】1、运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 【自主学习指导】复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．【学习过程】 一、新知阅读教材第5—7页内容，然后回答问题（余弦定理）<1>余弦定理及其推导过程？<2>余弦定理及余弦定理的应用？思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . ∵AC = ， ∴AC AC ∙=同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ， ． [理解定理]（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c ab =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角． 二、典型例题例1. 在△ABC 中，已知a =b =45B =，求,A C 和c变式：在△ABC 中，若AB，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例2. 在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．三、学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围： ① 已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边．※ 知识拓展在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角； 若222a b c +<，则角C 是钝角；若222a b c +>，则角C 是锐角． 【当堂检测】（1）△ABC中，a =2c =，150B =，求b ． （2）△ABC 中，2a =，b =，1c ，求A ． 1. 已知ac ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）.A.B.C.D. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A ．60 B ．75 C ．120 D ．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）. A13x << B ．13x ＜5 C ． 2＜x ＜5 D ＜x ＜54. 在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB －AC |＝________．5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．6、在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最大角的余弦值．7、在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ⋅的值.【知识构建】学案序号： 5课型： 习题课 时间：2018/8 禄丰一中高 二年级 班 标题正余弦定理【学习目标】1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形． 【自主学习指导】 复习1：在解三角形时已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理． 二、典型例题探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝② A ＝6π，a，b ＝A ＝6π，a ＝50，b ＝思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※知识拓展在∆ABC中，已知,,a b A，讨论三角形解的情况：①当A为钝角或直角时，必须a b>才能有且只有一解；否则无解；②当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a b<，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sina b A>，则有两解；（2）若sina b A=，则只有一解；（3）若sina b A<，则无解．当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sin2sin3AB=，则a bb+的值=（）.A. 13B.23C.43D.532. 已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）.A．135°B．90°C．120°D．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）.A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加长度决定4. 在△ABC中，sin A:sin B:sin C＝4:5:6，则cos B＝．5. 已知△ABC中，cos cosb Cc B=，试判断△ABC的形状．一、选择题1．在中，已知角则角A的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．中，则此三角形有（）A．一解 B．两解 C．无解 D．不确定3．若是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在中，已知则AD长为（）A．B． C．D．5．在，面积，则BC长为（）A．B．75 C．51 D．496．钝角的三边长为连续自然数，则这三边长为（）A．1、2、3、B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、67．在中，，则A等于（）A．60°B．45° C．120°D．30°8．在中，，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形9．在中，，则等于（）A．B．C．D．10．在中，，则的值为（）A．B．C．D．11．在中，三边与面积S的关系式为则角C为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．在中，是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题13．在中，，则14．若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为________。
1819 第2章 2.2 2.2.1 2.2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式
双 基
量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．
合 作 探 究 • 攻 重
2．已知数列的其中两项，求公差 d，或已知一项、公差和其中一项的序 号，求序号的对应项时，通常应用变形 an＝am＋(n－m)d.
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
[跟踪训练]
双
知
基
2．已知递减等差数列{an}前三项的和为 18，前三项的积为 66.求该数列
• 固
新
双
知
合 作 探 究 • 攻 重
可知aa11＋ ＋411dd＝＝1301，， 解得ad＝1＝3－，2， ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
基
课
(2)由 an＝13，得 3n－5＝13，解得 n＝6.
时 分
层
作
业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习 •
[规律方法]
标 •
探
固
新 知
1．从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d 中包含了四个
合 作
的通项公式，并判断－34 是该数列的项吗？
探
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预 习 • 探
[解] 依题意得aa11＋ a2aa32＝＋6a63＝ ，18，
达 标 • 固
新
双
知 合
∴3aa1·1＋a1＋3d＝ d·1a8， 1＋2d＝66，
高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教A版必修5
a1n为等差数列
由等差数列 通―项―公→式
求a1n
―→
求an
[规范解答] (1)数列a1n是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝a2n＋an2，∴an1＋1＝an2＋an2＝12＋a1n， 4分
∴an1＋1－a1n＝12，
6分
即a1n是首项为a11＝12，公差为d＝12的等差数列.
等差数列的性质
• (1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： • ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d ____的等差数列； • ②{c·an}(c为任一常数)是公差为c_d___的等差数列； • ③ 列{．an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差2为d ___的等差数
• (数 的2)列等若差{{paa数nn}＋，列q{．bbnn}}(分p，别q是是公常差数为)是pdd11公＋，差qdd22为的_等__差__数__列__，__则_
• 【错解】 由已知两等差数列的前三项，容易求得 它们的通项公式分别为：
• an＝3n－1，bn＝4n－3(1≤n≤40，且n∈N*)， • 令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2. • 所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项．
• 【错因】 本题所说的是数值相同的项，但它们的 项数并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个 数列中有没有出现过，而并不是这两个数列的第几 项．
•
利用等差数列的定义巧设未知量，可
以 的简项化数计n为算奇．数一时般，地可有设如中下间规一律项：为当a等，差再数用列公差{an为} d
向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋
2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，
a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第二章2.2.2(二)
n≤5， n≥6.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2（二）
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于
例2 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列 前n项和Sn的最小值．
解
本 课 时 栏 目 开 关
方法一
∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.
∴a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<…. ∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值． 易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2（二）
1．前n项和Sn与an之间的关系
本 课 时 栏 目 开 关
对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为 S1 n＝1， an＝ Sn－Sn－1 n≥2.na ＋a nn－1 1 n na1＋ d 2 2．等差数列前n项和公式Sn＝__________＝____________. 2 3．若等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝An2＋Bn＋C，则A
－4，…，
－n ＋5n Sn＝_______
2
(Sn)max＝____, 6
2或3 此时n＝______
4
－1,－2,－3， a1＝___， -1 －4,－5，…， d＝____ -1
1 1 -1 － n2－ n (Sn)max＝_____, 2 2 Sn＝_________
此时n＝____ 1
研一研·问题探究、课堂更高效
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
跟踪训练2 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大 值．
高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案
2.2等差数列（二）一、教学目标1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．二、教学重点、难点重点：等差数列的通项公式、性质及应用．难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．三、教学过程（一）、复习1．等差数列的定义．2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))3．有几种方法可以计算公差d:① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=m n a a m n -- 4. {a n }是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若a n =2005,则n =( )A. 667B. 668C. 669D. 6705. 在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是( )A. 18B. 9C. 12D. 15二、新课1．性质：在等差数列{a n }中,若m + n=p + q, 则a m + a n = a p + a q特别地,若m+n=2p, 则a m +a n =2a p例1. 在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a, a 10=b, 求a 15;(2) 若a 3+a 8=m, 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14;(4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.解: (1) 2a 10=a 5+a 15,即2b=a+a 15 , ∴a 15=2b ﹣a;(2) ∵5+6=3+8=11,∴a 5+a 6=a 3+a=m(3) a8=a 5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a 14=a 5+(14-5)d=6+9×3=33.13030802)( )(2 )(2)()(2 ,22,1277 ,11166)4(5211076151211107652115121112271116=-⨯=+++-+++=+++∴+++=++++++++=+=∴+=++=+a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 从而2．判断数列是否为等差数列的常用方法：（1） 定义法: 证明a n -a n-1=d (常数)例2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n 2-2n, 求证数列{a n }成等差数列,并求其首项、公差、通项公式. 解: 当n=1时,a 1=S 1=3﹣2=1;当n ≥2时,a n =Sn ﹣S n ﹣1=3n 2﹣2n ﹣ [3(n ﹣1)2﹣2(n ﹣1)]=6n ﹣5;∵n=1时a 1满足a n =6n ﹣5,∴a n =6n ﹣5首项a 1=1,a n ﹣a n ﹣1=6(常数)∴数列{a n }成等差数列且公差为6.（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c 成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数.例3. 已知数列}{n a 的通项公式为,q pn a n +=其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定}{n a 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看1--n n a a （n ＞1）是不是一个与n 无关的常数。
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超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆
规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故 事法
鲁迅本名：周树人
主要作品：《阿Q正传》、、 《药 》、
《狂人日记》、《呐喊》、《孔 乙己》
《故乡》、《社戏》、《祝福》（图片来自网络） 。
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣 （比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在 背 上刺下“精忠报国”四个字）；
复习：
1、等差数列的定义：
an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d (n∈N*) ，其中d为常数 2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d =ak+(n-k)d
3、等差中项：
a、b、c三数成等差数列
b a c (或2b a c) 2
例1、已知某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为 10元，即最初的4千米（不含4千米）计费10元。如果某人 乘坐该市的出租车前往14千米处的目的地，且一路畅通， 等候时间为0，则需要支付多少车费？
5 ,判断该数列 32n1
是否为等差数列。
思考：已知在等差数列{an}中，a4与a6的等差中项是4， 则下列各组数的等差中项有什么关系？
（1） a3与a7； （2） a2与a8； （3） a1与a9。
在等差数列an中，若m, n, p,q N*,
则当m n p q时，总有am an a p aq
规律一：
在等差数列 an 中，2an an1 an1，n 2
推广：
在等差数列 an 中，2an ank ank (n>k >0)
注意：这两个式子也可用来证明数列{an}是等差数列
思考：在等差数列“1，3，5，7，9，11，13，…”中， 7是 哪些项的等差中项？其中有什么规律吗？
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4 天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场 景法
解：依题意，当该市出租车的行程大于或等于4千米时，
每增加1千米，乘客需要多支付1.2元。所以，我们
可以建立一个等差数列{an}来计算车费。 令a1=11.2，表示4千米处的车费，公差d=1.2，则当 出租车行至14千米处时，n=11，此时需要支付车费
a11 11.2 (111) 1.2 23.（2 元）
3、在等差数列{an}中， a2 a3 a4 a12 a14 2 ，
则 a1 a5 __-_4___ ；
4、等差数列 5，8，11， ，62 共有__2__0__项；
4、已知等差数列 an 的前三项为 x 1, 3 x 1, 2 x 6 ，
则此数列的通项公式为 an __4_n_-_4____.
例4、三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a1，a2，a3 则依题意有 a1+a2+a3=12 ∵a1+a3=2a2，故3a2=12
∴a2=4
aa11a3
a3
8 12
解得
a1 a3
2 6
或
a1 a3
6 2
∴这三个数为2，4，6或6，4，2
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比 如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。
若三数成等差数列，则可设为a-d，a，a+d
练习: 已知四个数构成等差数列，前三个数的和为6， 第一个数和第四个数的乘积为4，求这四个数．
作业： 已知等差数列{ an }中， a1 + a3 + a5 =－12,
且 a1 a3 a5 80 ，求通项 an 。
思考：在等差数列“1，3，5，7，9，11，13，…”中， 7是 哪些项的等差中项？其中有什么规律吗？
（图片来自网络）
1 费曼学习法--实操步骤 获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法--
实操
第一步 获取并理解你要学习的内容
（一） 理 解 并 获 取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或 知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自 己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更 加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。 想要理解，建议至少把书翻三遍。
规律二：
在等差数列an中，若m, n, p, q N ,
则当m n p q时，总有am an a p aq
特别地，若m n 2 p，则am an 2a p
练习：在等差数列{an}中，
（1）已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 ；10 （2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8； 15
数列{an}是等差数列
课本P39探究
an=pn+q(p、q是常数)
➢判断一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：an an1 d, n 2 (或an1 an d , n N * )
(2)等差中项：2an an1 an1, n 2 (3)利用通项公式：an pn q
练习、在数列{an}中，an lg
（3）已知 a2+a14=10，能求出a16吗？
练习：
1、已知在等差数列 an 中， a1 a3 6, a7 18,
则 a10 ___2__7_____.
2、已知在数列 an 中， an
0, a1
1 ，若数列 { 1
1
an
}
恰好成公差为 3 的等差数列，则 an __3_n___2___.
特别地，若m n 2 p，则am an 2a p
即
此
时
a
是
p
am
与
an的
等
ห้องสมุดไป่ตู้
差
中
项
练习：在等差数列{an}中，
（1）已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 ；10
（2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8； 15
拓展：已知 a2+a9= -10， a5+a12=20，求a1+a2+…+a13。
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必 备习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完 整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完 整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
答：需要支付车费23.2元。
例2、已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p、q为 常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
解：an an1 ( pn q) [ p(n 1) q] pn q ( pn p q)
p
∵p是一个与n无关的常数 ∴{an}是一个等差数列
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式