章末归纳总结1

在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、
c，若 sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinBsinC，且A→C·A→B＝4，求△ABC
的面积 S.
[解析] 由已知得 b2＋c2＝a2＋bc，
∴bc＝b2＋c2－a2＝2bccosA，∴cosA＝12，sinA＝
3 2.
由A→C·A→B＝4，得 bccosA＝4，∴bc＝8.
a2＝b2＋c2－2bccosA 余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB
c2＝a2＋b2－2abcosC
余弦定理的推论
cosA＝b2＋2cb2c－a2 cosB＝a2＋2ca2c－b2 cosC＝a2＋2ba2b－c2
解三角形 利用余弦定理解三角形已知两边及其夹角解三角形 已知三边解三角形 三角形面积公式：S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA 测量距离问题 应用举例测量高度问题 测量角度问题
∴S＝12bcsinA＝2 3.
随堂应用练习
一、选择题
1．三角形两边之差为 2，夹角的余弦值为35，面积为 14，
那么这个三角形的此两边长分别是( )
A．3 和 5
B．4 和 6
C．6 和 8
D．5 和 7
[答案] D
[解析] 设夹角为 A，∵cosA＝35，∴sinA＝45， S＝12bcsinA＝14，∴bc＝35， 又 b－c＝2，∴b＝7，a＝5.
论；另外要注意 b2＋c2－a2>0⇔A 为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A 为直角，b2＋c2－a2<0⇔A 为钝角．
已知方程 x2－(bcosA)x＋acosB＝0 的两根之积 等于两根之和，且 a、b 为△ABC 的两边，A、B 为两内角，试 判定这个三角形的形状．
[解析] 解法一：设方程的两根为 x1、x2，由韦达定理知 x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB，
由正弦定理求出角 B，由 A＋B
两边和其中 正弦 ＋C＝180°求出角 C，再利用正
一边的对角 (如 a，b，A)
定理
弦定理求出 c 边，S△＝12absinC.
可有两解，一解或无解.
在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两 解的是( )
A．b＝20，A＝45°，C＝80° B．a＝30，c＝28，B＝60° C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝12，c＝15，A＝120°
若 a、b、c 是△ABC 的三边，直线 ax＋by＋c
＝0 与圆 x2＋y2＝1 相离，则△ABC 一定是( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
[答案] D
[解析] 由题设知 a2|c＋| b2>1， 即 a2＋b2<c2，即 a2＋b2－c2<0， 于是 cosC＝a2＋2ba2b－c2<0， 所以∠C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形．
3.
如图，在△ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB＝AD,2AB
＝ 3BD，BC＝2BD，则 sinC 的值为( )
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3 A. 3
3 B. 6
6 C. 3
6 D. 6
[答案] D
[解析]
如图，根据条件，不妨设 BD＝2， 在△ABC 中，由正弦定理，得 sin3C＝si4nA.
在△ABD 中，由余弦定理，得 cosA＝2×3＋33－ ×4 3＝13，
[解析] 解法一：如图，连结 A1B2，
由题意知 A2B2＝10 2n mile，A1A2＝30 2×2600＝10 2n mile.
(1)求角 A 的大小； (2)若 b＝2，c＝1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长．
解析：(1)由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB， ∵sinB≠0，∴cosA＝12. 由于 0<A<π，故 A＝3π.
(2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA
＝4＋1－2×2×1×12＝3，
[答案]
π 3
[解析] 由正弦定理得：a:b:c＝5:7:8， 设 a＝5x，b＝7x，c＝8x， 则 cosB＝25x2＋8604xx22－49x2＝12. ∵在△ABC 中，0<B<π，∴B＝3π.
7．已知平面内四点 O、A、B、C 满足O→A＋O→B＋O→C＝0，
O→A·O→B＝O→B·O→C＝O→C·O→A＝－1，则△ABC 的面积为________．
2．已知△ABC 中，AB＝4，AC＝5，A 为锐角，△ABC 的
面积为 6，则A→B·B→C的值为( )
A．16
B．－6
C．9
D．0
[答案] D
[解析] 由 S△ABC＝12AB·AC·sinA＝12×4×5·sinA＝10sinA＝ 6 得，sinA＝35，
∵A 为锐角，∴cosA＝45， ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA ＝16＋25－40×45＝9，∴BC＝3，， ∵AB2＋BC2＝AC2，∴∠B 为直角， ∴A→B·B→C＝0，故选 D.
∴a2＋c2＝b2，B＝2π.
∵BD＝ 23，AB＝1，
∴AD＝
1＋34＝
7 2.
[点评] 本题考查了三角恒等变换、正弦、余弦定理、勾 股定理等基础知识，解三角形的基本方法，考查了逻辑推理能 力及运算求解能力．
二、判断三角形的形状． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)
化边为角；(2)化角为边． 常见具体方法有： ①通过正弦定理实施边角转换； ②通过余弦定理实施边角转换； ③通过三角变换找出角之间的关系； ④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨
成才之路·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
解三角形
第一章
章末归纳总结
知识结构 专题突破
随堂应用练习
知识结构
正弦定理：sinaA＝sibnB＝sincC
a b c＝sinA B C 正弦定理的变形 sinA＝2aR；sinB＝2bR；sinC＝2cR a＝2RsinA；b＝2RsinB；c＝2RsinC. 解三角形 利用正弦定理解三角形已已知知两两角边及及一其边中解一三边角的形对角解三角形
∴sinA＝2 3 2，
∴sinC＝
3s4inA＝
3×2 3 4
2 ＝
66，故选
D.
4．钝角三角形的三边为 a、a＋1、a＋2，其最大角不超过
120°，则 a 的取值范围是( )
A．0<a<3
B.32≤a<3
C．2<a≤3
D．1≤a<52
[答案] B
[ 分 析 ] 钝 角 三 角 形 最 大 角 α 不 超 过 120°， 则 90°<α≤120°，∴－12≤cosα<0.
(2012·陕西文，13)在△ABC 中，角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c.若 a＝2，B＝6π，c＝2 3，则 b＝ ________.
[答案] 2
[解析] 由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－ 2×2×2 3× 23＝4，
∴b＝2.
(2012·安徽文，16)设△ABC 的内角 A、B、C 所 对边的长分别为 a、b、c，且有 2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.
∴|O→C|·|O→A|＝2.
∴S△AOC＝12|O→C|·|O→A|sin120°＝ 23，
∴S△ABC＝3
2
3 .
三、解答题 8．已知△ABC 的周长为 2＋1，且 sinA＋sinB＝ 2sinC. (1)求边 AB 的长； (2)若△ABC 的面积为16sinC，求角 C 的度数．
[解析] (1)由题意及正弦定理，得 AB＋BC＋AC＝ 2＋1，BC＋AC＝ 2AB， ∴AB＝1.
[答案] B
[解析] 如图，连结 AC，设∠BAC＝α，则 AC·cosα＝4，
AC·cos(60°－α)＝5， 两式相除得，cosc6o0s°α－α＝54，
展开解得，tanα＝
23，∵α
为锐角，∴cosα＝
2， 7
∴AC＝co4sα＝2 7.
二、填空题
6．在△ABC 中，若 sinA：sinB：sinC＝5：7：8.则∠B 的 大小是________．
专题突破
一、应用正、余弦定理解三角形．
这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类
型确定应用哪个定理入手解决．
解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件 应用定理
一般解法
一边和两角 (如 a，B，
C)
正弦定理
由 A＋B＋C＝180°求出角 A；由正弦定理求出 b 与 c；
S△＝12acsinB 在有解时只有一解
[答案] C
[解析] 解法一：A 中已知两角及一边有唯一解；B 中已知 两边及夹角，有唯一解；C 中，bsinA＝8 2<14＝a<b 有两解； D 中，A 是最大角，但 a<c，∴无解．
解法二：由 a＝14，b＝16，A＝45°及正弦定理得，si1n6B＝ sin1445°，所以 sinB＝47 2，因为 a<b，A＝45°，所以角 B 有两解．
由题意得 bcosA＝acosB，根据余弦定理，得 b·b2＋2cb2c－a2＝a·a2＋2ca2c－b2. ∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2， 化简得 a＝b，∴△ABC 为等腰三角形．
解法二：同解法一得 bcosA＝acosB， 由正弦定理，得 2RsinBcosA＝2RsinAcosB， ∴sinA·cosB－cosA·sinB＝0，即 sin(A－B)＝0 ∵A、B 为三角形的内角， ∴A＝B，故△ABC 为等腰三角形．
[解析] ∵三角形为钝角三角形，最大边长为 a＋2，则 a＋a＋1>a＋2 －12≤a2＋a2＋a1a＋2－1a＋22<0 ， 解得：32≤a<3，故选 B.
5．在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB
＝4，AD＝5，则 AC 的长为( )
A. 61
B．2 7
C. 53
52 D. 2
[答案] [解析]
33 2
由O→A＋O→B＋O→C＝0 知 O 为△ABC 的重心，
又由O→A·O→B＝O→B·O→C得
O→B·(O→A－O→C)＝O→B·C→A＝0，
所以O→B⊥C→A，同理O→A⊥B→C，O→C⊥A→B，
所以 O 为△ABC 的垂心．
故△ABC 为正三角形．
即O→C·O→A＝|O→C|·|O→A|·cos120°＝－1，
(2)∵△ABC 的面积 S＝12BC·AC·sinC＝16sinC， ∴BC·AC＝13， 由余弦定理，得 cosC＝AC2＋2ABCC·B2－C AB2 ＝AC＋BC22A－C2·ABCC·BC－AB2＝12， ∴C＝60°.
9．如下图所示，甲船以每小时 30 2n mile 的速度向正北 方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 A1 处时， 乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处，此时两船相距 20n mile.当甲船航行 20min 到达 A2 处时，乙船航行到甲船的北偏 西 120°方向的 B2 处，此时两船相距 10 2n mile，问乙船每小 时航行多少 n mile?
某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m)， 如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h＝4 m，仰角∠ABE＝ α，∠ADE＝β.该小组已测得一组 α、β 的值，算出了 tanα＝1.24， tanβ＝1.20，请据此算出 H 的值．
[解析] AHD＝tanβ⇒AD＝taHnβ， 同理：AB＝taHnα，BD＝tahnβ. AD－AB＝DB，故得taHnβ－taHnα＝tahnβ， 解得：H＝tanhαt－antαanβ＝1.42×4－1.12.420＝124. 因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m.
三、解三角形的应用． 解三角形应用题常见的几种情况： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个 (或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的 三角形，然后逐步求出其它三角形中的解，有时需设出未知量， 从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解． 常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问 题、计算面积问题等．
由余弦定理求出第三边 c；由
两边和
正弦定理求出小边所对的角；
夹角(如 余弦 再由 A＋B＋C＝180°求出另
定理 a，b，C)
一角，S△＝12absinC
在有解时只有一解
由余弦定理求出角 A、B，再利用
三边 余弦 (a，b，c) 定理
A＋B＋C＝180°求出角 C， S△＝12absinC
在有解时只有一解