实数讲义

2.实数及其运算

一、基础知识和方法要点

实数及其运算的主要内容是实数的运算，以及有理数、无理数、数轴和绝对值的概念和性质。

思考题1 何为实数？数学分类应该满足怎样的准则？ 思考题2 叙述引入数轴的必要性 ；

思考题 3 什么是零点分段法？零点分段法体现的思想在其他方面有什么应用？

思考题4 非负数有哪些性质？举例说明；

思考题5 你是怎样理解实数与数轴的一一对应关系的？ 思考题6 数轴上有理数和无理数哪个更多？为什么？

思考题7怎样定义无理数的概念？ 数学上一般不用否定的形式给一个概念下定义，按照这样的约定，又该如何定义？ 思考题8 实数是稠密的，你怎样理解实数的稠密性？

二、典型问题分析

1. 实数的运算

1.计算.1009998143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯

2.设A=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++⨯4-14-14-14810043222 ，求与A 最接近的正整数. 3.计算：

4. 比较

与2的大小.

5. 已知,其中n为正整数.证明：

2.数轴与绝对值

1.已知<-3,化简：.

2.化简:|3x+1|+|2x-1| .

3.若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x满足的条件及此常数的

值.

4.求代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值.

5. 将1,2,…,100这100个正整数任意分成50组,每组两个数,现将每组的两个数中任一个数记为a,另一个数记为b,代人代数式(|a-b|+a+b)中进行计算,求出其结果,50组都代入后可求得50个值,求这50个值的和的最大值.

6. 设n个有理数,,…，满足||<1(i=1,2,…,n),且

||+||+….+|19+|++…+.求n的最小值.

3.关于无理数、有理数的判断、证明及计算

1.证明循环小数

2.615454 54=2.61是有理数.

2.已知x是无理数,且(x+1)(x+3)是有理数，在上述假定下,下面四个结

论：

(1)是有理数; (2)(x-1)(x-3)是无理数;

(3)(x+1)²是有理数; (4)(x-1)²是无理数.

哪些是正确的?哪些是错误的?

3.设a、b及+都是整数,证明及都是整数.

4. 求满足等式 =1+ y 的有理数x 、y.

5. (练习)已知在等式

=S 中,a 、b 、c 、d 都是有理数,x 是无理数.问:

(1)当a 、b 、c 、d 满足什么条件时,S 是有理数;

(2)当a 、b 、C 、d 满足什么条件时,S 是无理数.

6.已知a 、b 是两个任意有理数,且a

7. (练习)若n 为正整数,求证: 必为无理数.

8. (练习)如果m 、n 是正整数,a 、d 是实数,问是否存在三个不同的素

数p 、q 、r,满足 =a, =a+ md, a+nd?

9.设n a 是2222...321n ++++的个位数字，n=1,2,3,...,求证;0.......321n a a a a 是有理数.

10. (练习)设a,b 是实数，对所有正整数n(≥2)，a n +b n

都是有理数，证明：a+b 是有理数.

给教师的建议

本节内容的重点是掌握实数有关基本概念、定义和基本运算能力的培养。重点掌握非负数的性质以及零点分段法等等，难点是有关实数判断的证明，需要掌握反证法，构造法等数学方法。 课后练习

1.计算：100211432113211211+++++++++++++ .

2. 2008加上它的 得到一个数，再加上这次得数的

又得到一个数，

再加上所得的数的又得到一个数，，依次类推，一直加到上一次得数的.最后得到的数是多少？

3.计算

.

4. 计算：1+

5. 若x<0,化简.

6.设a<0,且x,试化简.

7.如果m为有理数,求代数式

|m-1|+lm-3|+|m+5|+|m+6|的最小值.

8. 已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,求y的最大值.

三、整式的运算测试题

1.计算：

2.计算：

1

3. 计算：-

.

4.化简

5.已知|xl≤1,|y|≤1,且

k=|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|,求k的最大值和最小值.

6.若a、b、c为整数,且|a-b+|c-a=1,试计算|c-a|+|a-b|+|b-c的

值.

7. 已知x+y ，x-y,xy,y x

均为有理数，如果它们中有三个数相等，求x,y 的值。

8.设A 是给定的正有理数.

(1)若A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数使得,,,z y x .2222A z y y x =-=-

(2)满足个正有理数若存在,,,3z y x .2222A z y y x =-=-

证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A.