二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

一、本节知识点

（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:

（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型

（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.

（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.

知识点 一元二次不等式的概念

我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.

元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.

注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系

一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.

一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:

（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;

①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;

②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数

()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.

（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数

()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.

具体关系见下页表（1）所示.

一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:

（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数

()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变

量的取值范围;

（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数

()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变

量的取值范围.

由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的一般步骤是:

（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;

（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.

注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.

其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;

②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧-≠a b x x 2;一元

二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;

③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式

()002><++a c bx ax 的解集为∅.

表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:

一元二次不等式在R 上恒成立的问题

（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402

ac b a 或⎩⎨⎧>==00

c b a ; （2）02

<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402

ac b a 或⎩

⎨⎧<==00

c b a ;

（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>040

2

ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0

40

2

ac b a . 补充概念 二次函数的零点

我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解

（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;

（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;

（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.

知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念

分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.

利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①

0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(

()

(x g x f ≤0. 分式不等式的解法

解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.

解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩

⎨⎧<<0)(0

)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同

解; （2）

)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0

)(0

)()(x g x g x f 同解;