流体力学课件7不可压缩流体

30
在不可压缩流体平面流动中，连续性方程简化为
而旋转角速度只有分量ωz。，如果ωz为零，则
为平面无旋流动。平面无旋流动的速度势函数为 并满足拉普拉斯方程：
31
20
第八章 绕 流 运 动
8.1 无 旋 流 动 当流动为无旋时，将使问题的求解简化，因此提出了无旋 流动的模型。 流场中各点旋转角速度等于零的运动，称为无旋流动。在 无旋流动中，有
21
第八章 绕 流 运 动
22
第八章 绕 流 运 动
因此，无旋流动的前提条件是
根据全微分理论，上列三等式是某空间位置函数φ(x，y，z) 存在的必要和充分条件。它和速度分量ux、uy、uz的关系表 为下列全微分的形式：
ε的下标表示发生角变形所在的平面。
7
第7章 不可压缩流体动力学
一般情况下，流体微团的运动是由上述四种基本运动形式复 合而成的。M点的速度可以表达为：
上列三式中，右边第一项为平移速度，第二、三项是微团的 旋转运动所产生的速度增量，第四项和第五、六项分别为线 变形运动和角变形运动所引起的速度增量。可见，流体微团 的运动可以分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变 形运动之和。这就是亥姆霍兹速度分解定理。
29
第八章 绕 流 运 动 8.2 平面无旋流动 在流场中，某一方向(取作z轴 方向)流速为零，uz=0，而另两 方向的流速ux、uy与上述坐标 z无关的流动，称为平面流动。 例如工业液槽的边侧吸气， 沿长形液槽两边，设置狭缝吸 风口。气流由吸风口。吸出， 在液槽上方造成砂平面上的速 度场。沿长度方向，即垂直于 纸面方向，流速为零，而且沿 此方向取任一砂平面，它的速 度场完全一致，这就是平面流 动的具体例子。
上式右边是速度 u 的三个分量在 s 上的投影之和，应等于 u 在 s 上的投影us，即速度在某一方向的分量等于速度势函数对
该方向上的偏导数。
25
第八章 绕 流 运 动
存在着势函数的前提是流场内部不存在旋转角速度。
根据汤姆逊关于旋涡守恒定理所引伸出的推论，只有 内部不存在摩擦力的理想流体，才会既不能创造旋涡， 又不能消灭旋涡。摩擦力是产生和消除旋涡的根源， 因而一般只有理想流体流场才可能存在无旋流动。而 理想流体模型在实际中要根据黏滞力是否起显著作用 来决定它的采用。工程上所考虑的流体主要是水和空 气，它们的黏性很小，如果在流动过程中没有受到边 壁摩擦的显著作用，就可以当作理想流体来考虑。 水流和气流总是从静止状态过渡到运动状态。当静止 时，显然没有旋转角速度。根据汤姆逊定理，对于可 按理想流体处理的水和空气的流动，从静止到运动， 也应保持无旋状态。
第7章 不可压缩流体动力学
7.1流体微团运动的分析 在前面的章节中，我们主要讨论了理想流体和黏性流 体的一元流动，为解决工程实际中大量存在的一元流 动问题奠定了理论基础。但是，许多实际流体的流动 差不多都是空间的流动，即流场中流体的速度和压强 等流动参数在二个或三个坐标轴方向都发生变化。 7.1.1流体微团的概念 在连续性介质模型中，流体质点是宏观上充分小， 可视为只有质量而无体积的“点”，流体微团则是由 大量流体质点所组成的具有一定体积的微小流体团。
19
第八章 绕 流 运 动
在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远远大于作 用在流体上的黏性力，黏性力相对于惯性力可以忽略 不计，将流体视为理想流体，由理想流体的流动理论 求解流场中的速度分布和压强分布。但是在靠近物体 的一薄层内，由于存在着强烈的剪切流动，黏性力却 大到约与惯性力相同的数量级，因此，在这一薄层(称 为附面层)内，黏性力不能忽略。在附面层内，由于存 在着强烈的剪切涡旋运动，黏性对绕流物体的阻力、 能量耗损、扩散和传热等问题，起着主要的作用。 基于上述缘由，在处理大雷诺数下的绕流问题时，可 以用附面层理论处理附面层内的流动，而用理想流体 动力学理论求解附面层外流场中的流动，将两者衔接 起来，就可以解决整个绕流问题。
在自然界和工程实际中，存在着大量的流体绕物体的 流动问题，即绕流问题。例如， 飞机在空气中的飞 行，河水流过桥墩，火力发电厂的高烟囱周围的空气 流动，粉尘颗粒在空气中的飞扬或沉降，水处理中固 体颗粒污染物在水中的运动，晨雾中水滴在空气中的 下落等。 流体的绕流运动，可以有多种方式，或者流体绕静止 物体运动，或者物体在静止的流体中运动，或者两者 兼之，均为物体和流体作相对运动。不管是哪一种方 式，我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物体看 作是静止的，而探讨流体相对于物体的运动。因此， 所有的绕流运动，都可以看成是同一类型的绕流问题。
23
第八章 绕 流 运 动
函数φ称为速度势函数。存在着速度势函数的流动，称为 有势流动，简称势流。无旋流动必然是有势流动。 展开势函数的全微分，有
比较上两式的对应系数，得出
24
第八章 绕 流 运 动
即速度在三坐标上的投影，等于速度势函数对于相应坐标的 偏导数。 事实上，通过速度势这个函数，不仅可以描述x、y、z这三 个方向的分速度，而且可以反映任意方向的分速度。根据方 向导数的定义，函数φ在任一方向 s 上的方向导数为
8
第7章 不可压缩流体动力学
7.2 有旋运动 流体微团的旋转角速度在流场内不完全为零的流动称为有旋流动。 自然界和工程中出现的流动大多数是有旋流动，例如大气中的龙卷 风，管道中的流体运动，绕流物体表面的边界层及其尾部后面的流 动都是有旋流动。 设流体微团的旋转角速度为ω(x，y，z，t)，则
涡量在x，y，z坐标上的投影为：
1
第7章 不可压缩流体动力学 从理论力学知道，刚体的运动可以分解为平移和 旋转两种基本运动。流体运动要比刚体运动复杂 得多，流体微团基本运动形式有平移运动，旋转 运动和变形运动等，而变形运动又包括线变形和 角变形两种。 流体微团的运动形式与微团内各点速度的变化有 关。为了便于讨论，先研究二元流动的情况。设 方形流体微团中心点M的流速分量为 ux和uy (图7-1)，则微团各侧边的中点A、B、C、D的流 速分量分别为：
17
第7章 不可压缩流体动力学
同理，在dt时间内沿y, z方向流出和流入微元控制体的净流体体积 分别为：
根据不可压缩流体连续性条件，dt时间内沿x、y、z方向流出和流 入微元控制体的净流体体积之和应为零，即
这就是不可压缩流体的连续性微分方程。这个方程对恒定流和非 恒定流都适用。
18
第八章 绕 流 运 动
u x dx dt u x x exx dx dt x
4
第7章 不可压缩流体动力学 则流体微团的线变形速度为
5
类似的研究分析，可以得到流体微团旋转角速度分量为：
因而角速度矢量为： 角速度大小为：
角速度矢量的为沿微团的旋转方向按右手定则确定。
6
第7章 不可压缩流体动力学 类似的研究分析，可以得到流体微团角变形速度为：
27
第八章 绕 流 运 动
现在，我们把速度势函数代入不可压缩流体的连续性方程：
其中 同理
得出
28
第八章 绕 流 运 动
上述方程称为拉普拉斯方程。满足拉普拉斯方程的函 数称为调和函数。因此，不可压缩流体势流的速度势 函数，是坐标(x，y，z)的调和函数，而拉普拉斯方程 本身，就是不可压缩流体无旋流动的连续性方程。
这就是涡线的微分方程。
11
第7章 不可压缩流体动力学
涡线是和管轴同轴的同心圆。 在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线上的每一点 所作出的涡线构成一管状的曲面，称为涡管。若曲线无限小， 则称为微元涡管。 设A dA的外法线单位向量 为涡量场中一开口曲面，微元面 为 n ，涡量在 n 方向上的投影为n。则面积分
13
第7章 不可压缩流体动力学
对于有旋流动，其流动空间既是速度场，又是涡量场。涡量 场中的涡线，涡管，涡通量等概念分别与流速场中的流线， 流管，流量等概念相对应，而涡线方程和涡管的涡通量方程 则分别与流线方程和元流连续性方程相对应。 通常，涡通量是利用速度环量这个概念来计算的。在流场中 任取一封闭曲线s，则流速沿曲线s的积分
16
第7章 不可压缩流体动力学
7.3 不可压缩流体连续性微分方程 和一元流连续性方程相似，三元流连续性微分方程的推导， 是在流场中选取边长为dx、dy、dz的正六面体微元控制体， 写出流出和流入该空间的质量流量平衡条件。由于流体不可 压缩，质量流量平衡条件可用体积流量平衡条件来代替，即 在dt时间内流出和流入微元控制体的净流体体积为零。 因而，在dt时间内，沿x方向流出和流入微元控制体的净流 体体积为
9
第7章 不可压缩流体动力学 涡量是空间坐标和时间的矢性函数：所以，它也构 成一个向量场，称为涡量场。 涡量连续性方程为：
10
第7章 不Leabharlann Baidu压缩流体动力学
在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体质点的旋转角速度 向量方向的曲线，称为涡线。在给定的瞬时，涡线上各点的 角速度向量在该点处与涡线相切。沿涡线取一微小线段ds， 由于涡线与角速度向量的方向一致，所以，ds沿三个坐标轴 方向的分量dx、dy、dz必然和角速度向量的三个分量ωx、 ωy 、ωz 成正比，即
26
第八章 绕 流 运 动
例如，通风车间用抽风的方法使工作区出现风速，工作区 的空气即从原有静止状态过渡到运动状态，流动就是无旋 的。所以，一切吸风装置所形成的气流，可以按无旋流动 处理。 相反，利用风管通过送风口向通风地区送风，空气受风道 壁面的摩擦作用，流动在风道内是有旋的，流入通风地区 后，又以较高的速度和静止空气发生摩擦，所以只能维持 有旋，而不能按无旋处理。 飞机在静止空气中飞行时，静止空气原来是无旋的。飞机 飞过时，空气受扰动而运动，仍应保持无旋。只有在紧靠 机翼的近距离内，流体受固体壁面的阻碍作用，流动才有 旋。 此外，即使流动是有旋的，当它的流速分布接近于无旋， 也可以有条件有范围地按无旋处理。
2
第7章 不可压缩流体动力学
3
第7章 不可压缩流体动力学
可见，微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于 坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。 微团上各点公有的分速度ux和uy使它们在dt时间内均沿x方 向移动一距离uxdt。沿y方向移动一距离uydt。因此，我们把 中心点M的速度ux和uy定义为流体微团的平移运动速度。 u x 微团左、右两侧的A点和C点沿x方向的速度差为 x dx 。当 这速度差值为正时，微团沿x方向发生伸长变形；当它为负时， 微团沿x方向发生缩短变形。单位时间，单位长度的线变形称 为线变形速度。以exx表示流体微团沿x方向的线变形速度， 则
称为曲线 s上的速度环量。并规定积分沿s逆时针方向绕 行为 s 的正方向。
14
1.斯托克斯定理
式中，s为流场中任意封闭曲线；A是曲线s所围成的曲面；； 是曲面A的外法线单位向量。 上式称为斯托克斯定理。定理给出了速度环量和涡通量之间 的关系：沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲线为边 界的曲面A的涡通量。即
15
2.汤姆逊定理 汤姆逊定理指出：在理想流体的涡量场中，如果质量力具 有单值的势函数，那么，沿由流体质点所组成的封闭曲线的 速度环量不随时间而变：即
推论：根据斯托克斯定理，沿曲线s的速度环量等于通过以 s为边界的曲面的涡通量，因此，速度环量不随时间变化亦意 味着涡通量不随时间而变。所以，质量力具有单值势函数的 理想流体的流动，如果在某一时刻是有旋流动，那么，在以 前和以后也是有旋流动；如果在某一时刻是无旋流动，那么， 在以前和以后也是无旋流动。也就是说，这种流体的涡旋具 有不生、不灭的性质。
称为涡通量。
12
第7章 不可压缩流体动力学
有旋流动的一个重要的运动学性质是：在同一瞬间，通过同 一涡管的各截面的涡通量相等。这一性质可表示为
微元涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。由于 流体的旋转角速度不可能为无穷大，所以涡管截面不可能收 缩为零。也就是说，涡管不可能在流体内部开始或终止，而 只能在流体中自行封闭成涡环，或者终止于和开始于边界面， 例如自然界中的龙卷风开始于地面，终止于云层。