数学分析下册课件：22-4场论初步
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-曲面积分(圣才出品)
的上半部分并取外侧为正向；
其中 S 是球面
并取外侧
为正向。
解：（1）因
所以原积分 （2）由对称性知只需计算其中之一即可。 由于
因此原积分＝3 × 8＝24。 （3）由对称性知，
（4）作球坐标变换，令
则
故
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（5）由轮换对称知只计算
面所围的立方体表面并取外侧为正向； 其中 S 是以原点为中心，边长为 2 的立方体
表面并取外侧正向； 其中 S 是由平面 x＝y＝z＝0 和 x＋y＋z＝1 所围的四面
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体表面并取外侧为正向；
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其中 S 是球面
解：（1）因
从而
（2）面积 S 由两部分 组成，其中 面上的投影区域都是
由极坐标变换可得
它们在：xOy
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2．求均匀曲面 解：设质心坐标为
x≥0，y≥0，z≥0 的质心。 ，由对称性有：
其中 S 为所求曲面的面积， 而
解：
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由柱面坐标变换
z＝z，0≤0≤2π，0≤r≤h，r≤z≤h
（5）原曲线不封闭，故添加辅助曲面
有
2．应用高斯公式计算三重积分
≤1 与
所确定的空间区域。
解：
其中 V 是由 x≥0，y≥0，0≤z
3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分： 其中 L 为 x＋y＋z＝1 与三坐标面的交线，
则
D 为 S 在 xOy 面投影
所以质心坐标为
大学数学分析ppt课件
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
§1 微分中值定理 §2 L’Hospital法则 §3 Taylor公式和插值多项式 §4 函数的Taylor公式及其应用 §5 应用举例 §6 方程的近似求解
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则 §2 换元积分法和分部积分法 §3 有理函数的不定积分及其应用
目 录 （上册）
第七章 定积分
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
➢通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
➢注重微积分的应用，掌握数学模型的思想与方法， 提高应用微积分这一有力的数学工具分析问题、解 决问题的能力。
目 录 （上册）
第一章 集合与映射
§1 集合 §2 映射与函数
第二章 数列极限
§1 实数系的连续性 §2 数列极限 §3 无穷大量 §4 收敛准则
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切h,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
数学分析课件
长度的计算
利用定积分可以计算曲线的长度，以及物体的周长。
06
高阶导数与高阶积分
高阶导数的计算与性质
高阶导数的计算方法
定义法：根据导数的定义，对函数进行多次求 导，适用于简单的函数。
莱布尼茨法则：利用已知的导数公式，通过递 推关系计算高阶导数，适用于较复杂的函数。
高阶导数的计算与性质
线性性质：若$f(x)$和$g(x)$的$n$阶导数存在 ，则$(a f+b g)^{(n)}=a f^{(n)}+b g^{(n)}$ 。
数学分析课件
目录
• 数学分析概述 • 数学分析的基本性质 • 极限理论及其应用 • 微分学及其应用 • 定积分及其应用 • 高阶导数与高阶积分 • 数学分析中的重要定理与问题
01
数学分析概述
定义与意义
定义
数学分析是研究函数、序列、极限、 微积分等概念与方法的分支，是数学 的基础学科。
意义
数学分析在数学领域中占据重要地位 ，为其他数学分支提供基础理论和工 具，也是许多实际应用领域的基础。
THANKS。
积分的基本性质
积分具有可加性、可减性、可乘性和可除性 。
积分的基本公式
积分的基本公式包括求导公式、微分公式、 乘积公式、幂函数公式等。
积分的方法
积分的方法包括换元法、分部积分法、有理 函数积分法等。
积分的应用：面积、体积、长度
面积的计算
利用定积分可以计算曲线下面积，以及平面图 形面积。
体积的计算
利用定积分可以计算旋转体的体积，以及立体 的体积。
分区求和法：将积分区间划分为若干小区间，在每个小 区间上应用牛顿-莱布尼茨公式计算积分，再求和得到 总积分值。
数学分析全套课件 (华东师大)
3. 我们用符号“”表示“充分条件” 或 “推出” 这一意思. 比如, 若用p, q分别表示两个命题或陈述句. 则“ p q”表示“ 若p成立, 则q也成 立”. 即p是q成立的充分条件.
4. 我们用符号“”表示“当且仅当” 或 “充要条件” 这一意思. 比如“p q”表示“p成立当且仅当q成 立” 或者说p成立的充要条件是q成立.
同理又有sup B sup S.
所以 supS max{sup A,sup B}.
综上,即证得 sup S max{sup A,sup B}.
(ii) 可类似证明.
3.小结 (1), 两个实数的大小关系; (2), 实数的性质; (3), 区间和邻域的概念; (4), 确界原理.
作业 :
•(AB)CACBC的证明 x(AB)CxABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.
直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB}
称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点
supA 是数集A的最小上界, 故有 supA y.
而此式又表明数 supA 是数集B的一个下界,
故由下确界的定义证得 sup A inf B.
例4 设A,B为非空有限数集, S A B. 证明:
(i) sup S max{sup A,sup B}; (ii) inf S min {inf A,inf B}.
1.区间和邻域 有限区间
数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}.
[a, b]{x|axb}——闭区间.
场论初步课件
m r
为引力势.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
散度场 ur 设 A( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
为 V 上的一个向量场. 称如下数量函数:
D( x, y, z) P Q R
则同时有 M M0 , 对上式取极限, 得到
Ò ur
div A(M0 )
lim V M0
1 V
ur uur A dS .
S
(2)
这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
ur 散度的物理意义 联系本章§2中提到的, 流速为 A
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§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
相对应. 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数,
并假定它们有一阶连续偏导数.
设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 ur
方向都与向量函数 A 在该点的方向一致, 即
dx dy dz ,
方向上的方向导数.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
因为数量场 u( x, y, z) 的等值面 u( x, y, z) c 的法线
方向为
u x
,
u y
,
数学分析PPT
从而 r r ∫ a dl = ∫∫ rota dS .
L S
Yunnan University
§3. 场论初步
注：散度与坐标的选择无关. r r r u r 例1. 设a = 3i + 20 j − 15k , 对下列数量场ϕ 分别求出
gradϕ 及div (ϕ a ) , 其中ϕ = ( x 2 + y 2 + z
2 2
3 − 2 2
)
+ 15 z ( x + y + z
2 2
3 − 2 2
)
例 2.
设 u ( x , y , z ) = xyz .
(1)求u ( x , y , z ) 在点P1 ( 0, 0, 0 ) , P2 ( 1,1,1) 及P3 ( 2,1,1) 处 r r r u r 沿b = 2i + 3 j − 4k的方向导数。
( )
( )
( )
∂P ∂Q ∂R = ∫∫∫ + + dV x ∂y ∂z V ∂
r ∂P ∂Q ∂R 向量 + + 称为向量a的散度，它形成一个数量场，记为 ∂x ∂y ∂z r ∂P ∂Q ∂R . diva = + + ∂x ∂y ∂z
Yunnan University
( )
( )
( )
r ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂ Q ∂R , , 称向量 − − − 为向量a的旋度， ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y r 记为rot a .
Yunnan University
§3. 场论初步
即 r i r ∂ rot a = ∂x P r j ∂ ∂y Q r u k ∂ . ∂z R
最新数学分析第4章PPT课件
例 1y f( x ) C ( C 为 常 数 )， 求 y /
解 f(x ) li m y lif( m x x ) f(x ) limCC0.
x 0 x x 0 x
x0 x
即(C )0.
例2 设函 f(x ) s数 ix ,n 求 (sx ) i及 n (sx ) ix n . 4
x0
x
lim (2x x)2x x 0
f'(4)8
例2 讨论f(函 x)x数 在 x0处的.可导
解
f(x)xx
x0 ,
x0
f (0 )x l 0 im f(x )x f(0 )x l 0 i m x x1,
y y x
o
x
f (0)x l i0m f(x)x f(0)x l i0m x x 1 .
所求切线方程为 y12(x1), 即 y2x10. 法线方程为 y11(x1), 即 2yx30.
2
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
v(t)lim sds. t0t dt
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
i(t)lim qdq. t0t dt
x l ix0m f(x)f(x0)
函f(数 x )在x 0 连 点 . 续 #
推论：不连续函数一定不可导
如例1 函数 f(x)x在 x0处连 ,但 续 不.可导
4、导数的几何意义与物理意义
1) 几何意义
切线问题
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0 , f (x0 ))处的 切线的斜率,即
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
数学分析简明教程22 各种积分间的联系与场论初步
第二十二章 各种积分间的联系与场论初步§1 各种积分间的联系1．应用格林公式计算下列积分:（1）ydx x dy xy L ⎰-22，其中L 为椭圆22a x +22by =1取正向;（2）,)()(⎰-++Ldy y x dx y x L 同（1）;(3)dy y x dx y x L)()(222+-+⎰, L 是顶点为)5,2(),2,3(),1,1(C B A 的三角形的边界，取正向;（4),1,)()(223333=+--+⎰y x L dy y x dx y x L为取正向；（5）,sin sin ydy exdx e xLy-+⎰L 为矩形d y c b x a ≤≤≤≤, 的边界，取正向；（6）],))cos(sin ())cos(sin [(dy y x xy x dx y x xy y e L xy+++++⎰其中L 是任意逐段光滑闭曲线．解(1）原式 =()()d xdy y x dxdy x yDD⎰⎰⎰⎰+=--2222)(=ab()r dr r b r a d ⎰⎰+1022222220sin cos θθθπ（广义极坐标变换）=())(3sin cos 3122202222b a ab d b aab+=+⎰πθθθπ．(2）⎰-++Ldy y x dx y x )()(=⎰⎰=-Ddxdy 0)11(．（3）原式 ⎰⎰+-=Ddxdy y x x ))(22(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+215231143124322yy y y D dx ydy dx ydy ydxdy9143))5(127)(47(2252221-=-+--=⎰⎰dy y y dy y y ．（4）原式π23)(3)33(2222-=+-=--=⎰⎰⎰⎰DD dxdy y x dxdy y x ． （5)原式 dxdy x e y eDy x⎰⎰--=-)cos sin ()cos sin (⎰⎰⎰⎰+-=-b adcdcydy bax e dx x ydy dx e)sin )(sin ()cos )(cos 11(a b e e c d ee cd b a --+--=． （6）)]cos(sin [),(y x xy ye y x P xy++=，)]cos(sin [),(y x xy x e y x Q xy++=，)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy x ye xQxy xy --++++=∂∂ )]sin()cos(sin )cos (sin [y x y x y xy xy xy xy e xy --+++=，)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy y xe yPxy xy +-++++=∂∂ )]sin(cos sin )cos (sin [y x xy x xy xy xy xy e xy +-+++=，)cos()(y x x y e yPx Q xy +-=∂∂-∂∂, 所以,原式⎰⎰+-=Dxy dxdy y x x y e ,)cos()( 其中D 为L 包围的平面区域． 2．利用格林公式计算下列曲线所围成的面积： （1）双纽线θ2cos 22a r =;(2）笛卡尔叶形线)0(333>=+a axy y x ；（3）t t a x sin )cos 1(2+=，t t a y cos sin 2⋅=，π≤≤20t ． 解（1）⎰⎰⎰⎰==12||D Ddxdy dxdy D ⎰-⨯=L ydx xdy 212 ⎰=--=44)]sin (sin cos cos [ππθθθθθd r r r r 24424422cos a d a d r ===⎰⎰--ππππθθθ,其中1D 由θ=2cos 22a r ，44π≤θ≤π-所围成． （2）作代换,tx y =则得曲线的参数方程为313t at x +=,3213t at y +=．所以,dt t t a dx 233)1()21(3+-=,dt t t at dy 233)1()2(3+-=，从而，dt t t a ydx xdy 2322)1(9+=-，于是，面积为 D =⎰C x y y x d -d 21=dt t t a ⎰∞++02322)1(29=223a ． （3）D =⎰-cydx xdy 21={}⎰-++⋅--⋅+π2022322]sin )sin (cos 2cos )cos 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos1(21dtt t t t t a t t a t t t a t t a{}⎰π-++⋅--⋅+2022322]sin )sin (cos 2cos )cos 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos1(21dt t t t t t a t t a t t t a t t a=21tdt t t a 2cos )cos 1(sin 22022+⎰π=24a π 3．利用高斯公式求下列积分:（1）y x z x z y z y x sd d d d d d 222++⎰⎰。
场论初步
§4.场论初步
向量场的散度与旋度
1’向量线
如果在空间或某一部分空间的每一点处都确定一个向
曲线积分只与起点和终点有关，而与所沿途径无关， 物理学中称这种场叫保守场。
利用斯托克斯公式，可以推出，一个向量场 a 为空 间保守场的充要条件是
az ay 0, y z
ax az 0, z x
ay ax 0, x y
亦即
rota 0
旋度为零的场称为无旋场，因此保守场也就是无旋场。
az y
ay z
i
ax z
az x
j
ay ax k rota, x y
2 grad div grad
由此可以看出，算子 的作用在于把微分运算化为关于算 子 的向量代数运算。
根据定义，向量场在一给定处的散度是一数量，散度 的全体构成一数量场。
上面所给出的散度的定义好像与坐标的选择有关，其
实不然。为了说明这个事实，我们可给散度另一形式的定 义，设 M 为区域中任一点，在这点周围任取一含有这点 的区域 V ，令 S 为 V 的表面，则有高斯公式
an dS divadV
其中 ， 是任意常数，这个性质可由定义直接验证。
关于各种乘积有以下的计算公式，其中 x, y, z
是函数，a axi ay j azk 和 b bxi by j bzk 是向量，
八下数学分析课件
矩形
四个角都是直角 定义
有一个角是直角 的平行四边形
既是矩形， 有一个角是直角的菱形
又是菱形
有一组邻边相等的矩形
定义
四边都相等的四边形
判定
正方形
判定
对角线互相垂直 的平行四边形
一组邻边相等 的平行四边形
菱形 性质 对角线互相垂直
特
定义 四条边都相等
殊
的
有一组邻边相等
平
的平行四边形
行
四
边
第16．3节讨论分式方程的概念、解法及应用。 教科书从实际问题出发，分析问题中的数量关 系，列出分式方程，由此引出分式方程的概念； 接下去研究分式方程的解法，教科书采用与学 生已有经验相联系的方式，探讨了如何将分式 方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解 的问题。解分式方程中要应用分式的基本性质， 并且出现了必须验根的情况，这是以前学习的 方程中没有遇到的问题。根据实际问题列出分 式方程，是本章教学中的另一个难点。
两条平行线 两条平行线间最 间的距离 短线段的长度
两组对边 定义 分别平行
对边相等 性质 对角相等
对角线互相平分
平 行 四 边 形
人教版小人学教六版年八级年下级册数数学学下册 李春秀
四条边都相等，四
个角都是直角，对
角线互相垂直
对角线相等的平
行四边形
性质
有三个角是直
角的四边形
有一个角是直角 判定
的平行四边形
本章是继八（上）“一次函数”后的又一 章函数的内容。本章教科书从几个学生熟 悉的实际问题出发，引进反比例函数的概 念，使学生逐步从对具体函数的感性认识 上升到对抽象的反比例函数概念的理性认 识。此外，本章还安排了两个选学内容： “探索反比例函数的性质”， “生活中
2211概率论与数理统计场论2
i
+
∂P ∂z
−
∂R ∂x
j
+
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
k .
为便于记忆起见, 可用行列式形式来表示旋度:
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
i jk
rot A = ∂ ∂ ∂ . ∂x ∂y ∂z
t
ds
.
( ) ∫ ∆S M0 S → M0
L
(5)
这个等式也可以看作是旋度的另一种定义形式.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
为了由 (5) 式直观描述旋度的物理意义, 不妨将其中
的曲面块 S 改换为平面
rot A( M0 ) n0
积分与路线无关, 且存在某函数 u( x, y, z), 使得
du = P dx + Q dy + Rdz,
即 grad u = (P,Q, R). 通常称 u 为势函数. 因此若某向量场 A 的旋度为零, 则必存在某个势函数 u, 使得 grad u = A. 这也是一
数学分析 第二十二章 曲面积分
点 M0 处按右手法则绕 n 的环流密度.
( ) 另一方面, (6) 式左边的
rot
A
⋅
n
是 rot A(M0 )
M0
在 n(M0 )上的投影. 由此可见, 当所取的 n(M0 ) 与
rot A(M0 ) 同向时, 该投影为最大.
数学分析课件绪论
事实上：在整个有理数系中到处都是空隙。从而有理数 系不能刻画连续量。即不能作为连续量的数学表示。 那么，用什么量来表示连续量呢？
思路：扩充有理数系，使新数系是“连续的”
问题：如何扩充？
一个直接的想法：在有理数系中加进一些数， 让它们对应于那些空隙，即把数轴上的空隙都填 满了，这样就可以得到一个“连续”的数系。
•与原来有理数的运算是否一致？ 大小关系是否不变？ •填多少? •怎么算填满了？
问题：如何判断一个数系是连续的？ （即：找出连续量的数学特征。）
Dedekind的名著《连续性与无理数》中写道： “经过长期徒劳的思考，我终于发现，它的实 质是很平凡的。直线上的一点，把直线分成 左右两部分，连续性的本质就在于返回去： 把直线分割成左右两部分，必有唯一的分点”
量
最小的单位，不能分。 离散量 例如：位移： 2、在数学上的表示：正整数：1, 2, 3…… 千米 米cmmm微米纳米…… 或者说：正整数是离散量的数学模型。 1、没有最小的单位，无限可分
连续量 2、连续量的数学表示？ 要能进行运算--需要数系的概念
• 集合：把某些东西作为一个整体,称为一个集合, 其中的每一个东西称为这个集合的一个元素. 常见的数集：正整数集，整数集，有理数集， 实数集, 等. • 数系：定义了若干种运算的数集，这些运算满 足一定的规律. 例如：正整数集 N+ 及其上的加 法和乘法运算和在一起构成了正整数系. 1、运算； 2、数集S对运算的封闭性;
7 2 例如： 3 3 3
7 写成 3.6666 3
7 3 0.6666 3
对有尽小数，我们用循环为 0 的有尽小数表示， 而不用循环节为 9的无穷小数表示。
例: 记
1 而不用 0.5 0.50000 是有尽小数， 2
数学分析22.4场论初步(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分4 场论初步一、场的概念概念：若对全空间或其中某一区域V 中每一点M ，都有一个数量(或向量)与之对应，则称V 上给定了一个数量场(或向量场).温度场和密度场都是数量场. 若数量函数u(x,y,z)的偏导数不同时为0, 则满足方程u(x,y,z)=c(常数)的所有点通常是一个曲面.曲面上函数u 都取同一个值时，称为等值面，如温度场中的等温面.重力场和速度场都是向量场. 设向量函数A(x,y,z)在三坐标轴上投影分别为：P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), 则A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 其中P , Q, R 为定义区域上的数量函数，且有连续偏导数.设向量场中的曲线L 上每点M 处的切线方向都与向量函数A 在该点的方向一致，即P dx =Q dy =Rdz, 则称曲线L 为向量场A 的向量场线. 如, 电力线、磁力线等都是向量场线.二、梯度场概念：梯度是由数量函数u(x,y,z)定义的向量函数grad u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 且grad u 的方向是使lu∂∂达到最大值的方向, 其大小为u 在这个方向上的方向导数. 所以可定义数量场u 在点M 处的梯度grad u 为在M 处最大的方向导数的方向，及大小为在M 处最大方向导数值的向量. 因为方向导数的定义与坐标系的选取无关，所以梯度定义也与坐标系选取无关. 由梯度给出的向量场，称为梯度场. 又数量场u(x,y,z)的等值面u(x,y,z)=c 的法线方向为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 所以 grad u 的方向与等值面正交, 即等值面法线方向. 引进符号向量： ▽=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ,,. 将之视为运算符号时, grad u=▽u.基本性质：若u,v 是数量函数, 则 1、▽(u+v)=▽u+▽v ；2、▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v. 特别地▽u 2=2u(▽u)；3、若r=(x,y,z), φ=φ(x,y,z), 则d φ=dr ▽φ；4、若f=f(u), u=u(x,y,z), 则▽f=f ’(u)▽u ；5、若f=f(u 1,u 2,…,u n ), u i =u i (x,y,z) (i=1,2,…,n), 则▽f=i ni iu u f∑=∇∂∂1. 证：1、▽(u+v)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂∂+∂∂+∂z v u y v u x v u )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v z u y v y u x v x u ,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,=▽u+▽v. 2、▽(uv)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z uv y uv x uv )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v u v z u y v u v y u x v u v x u ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v u y v u x v u,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂v z u v y u v x u ,,=u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,v=u(▽v)+(▽u)v. 当u=v 时，有▽u 2=▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v =2u(▽u).3、∵dr=dx+dy+dz, ▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴dr ▽φ=(dx+dy+dz)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=dz z dy y dx x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ=d φ. 4、∵▽f=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,, 又▽u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, f ’(u)=du df, ∴f ’(u)▽u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u du df ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,=▽f. 5、▽f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∑∑∑===n i i i n i i i n i i i z u u f y u u f x u u f 111,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ni i i i i i i z u u f y u u f x u u f 1,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂n i i i i iz u y u x u u f1,,=i n i iu u f∑=∇∂∂1.例1：设质量为m 的质点位于原点, 质量为1的质点位于M(x,y,z), 记OM=r=222z y x ++, 求rm的梯度. 解：rm∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛-r z r y r x r m ,,2.注：若以r 0表示OM 上的单位向量，则有r m∇=02r rm -, 表示两质点间引力方向朝着原点, 大小是与质量的乘积成正比, 与两点间的距离的平方成反比. 这说明引力场是数量函数r m 的梯度场. 所以称rm为引力势.三、散度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义数量函数D(x,y,z)=zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂, 则 称D 为向量函数A 在(x,y,z)处的散度，记作D(x,y,z)=div A(x,y,z).设n 0=(cos α, cos β, cos γ)为曲面的单位法向量, 则=n 0dS 就称为曲面的面积元素向量. 于是得高斯公式的向量形式：⎰⎰⎰VdivAdV =⎰⎰⋅SdS A .在V 中任取一点M 0, 对⎰⎰⎰VdivAdV 应用中值定理,得⎰⎰⎰VdivAdV =div A(M*)·△V=⎰⎰⋅SdS A , 其中M*为V 中某一点，于是有div A(M*)=VdSA S∆⋅⎰⎰. 令V 收缩到点M 0(记为V →M 0) 则M*→M 0, 因此div A(M 0)=VdSA SM V ∆⋅⎰⎰→0lim.因⎰⎰⋅SdS A 和△V 都与坐标系选取无关，所以散度与坐标系选取无关.由向量场A 的散度div A 构成的数量场，称为散度场.其物理意义：div A(M 0)是流量对体积V 的变化率，并称它为A 在点M 0的流量密度.若div A(M 0)>0, 说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点，则称这一点为源.反之，若div A(M 0)<0, 说明流体在这一点被吸收，则称这点为汇. 若向量场A 中每一点皆有div A=0, 则称A 为无源场.向量场A 的散度的向量形式为：div A=▽·A.基本性质：1、若u,v 是向量函数, 则▽·(u+v)=▽·u+▽·v ； 2、若φ是数量函数, F 是向量函数, 则▽·(φF)=φ▽·F+F ·▽φ；3、若φ=φ(x,y,z)是一数量函数, 则▽·▽φ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)), 则▽·(u+v)=zR R y Q Q x P P ∂+∂+∂+∂+∂+∂)()()(212121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P z R y Q x P 222111=▽·u+▽·v. 2、▽·(φF)=z R y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂)()()(ϕϕϕ=zR z R y Q y Q x P x P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ =φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P +(P ,Q,R)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ϕϕϕ=φ▽·F+F ·▽φ. 3、∵▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴▽·▽φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z z y y x x ϕϕϕ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.注：算符▽的内积▽·▽常记作△=▽·▽=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂，称为拉普拉斯算符, 于是有▽·▽φ=△φ.例2：求例1中引力场F=⎪⎭⎫⎝⎛-r z r y r x r m,,2所产生的散度场.解：∵r 2=x 2+y 2+z 2, ∴F=3222)(z y x m ++-(x,y,z),▽·F=-m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂333r z z r y y r x x =0.注：由例2知，引力场内每一点处的散度都为0(除原点处外).四、旋度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义向量函数F(x,y,z)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,, 称之为向量函数A 在(x,y,z)处的旋度, 记作rot A.设(cos α,cos β,cos γ)是曲线L 的正向上的单位切线向量t 0的方向余弦, 向量ds =(cos α,cos β,cos γ)ds= t 0dl 称为弧长元素向量. 于是有 斯托克斯公式的向量形式：⎰⎰SdS rotA ·=⎰Lds A ·.向量函数A 的旋度rot A 所定义的向量场，称为旋度场.在流量问题中，称⎰L A ·为沿闭曲线L 的环流量. 表示流速为A 的不可压缩流体在单位时间内沿曲线L 的流体总量，反映了流体沿L 时的旋转强弱程度. 当rot A=0时，沿任意封闭曲线的环流量为0，即流体流动时不成旋涡，这时称向量场A 为无旋场.注：旋度与坐标系的选择无关. 在场V 中任意取一点M 0,通过M 0作平面π垂直于曲面S 的法向量n 0, 且在π上围绕M 0作任一封闭曲线L, 记L 所围区域为D ，则有⎰⎰SrotA ·=⎰⎰DdS n rotA 0·=⎰LA ·. 又由中值定理有 ⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 其中 μ(D)为区域D 的面积, M*为D 中的某一点. ∴(rotA ·n 0)M*=)(·D A Lμ⎰.当D 收缩到点M 0(记作D →M 0)时, 有M*→M 0, 即有 (rotA ·n 0)0M =)(·limD A LMD μ⎰→ .左边为rot A 在法线方向上的投影，即为旋度的另一种定义形式. 右边的极限与坐标系的选取无关，所以rot A 与坐标系选取无关.物理意义：⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 表明向量场在曲面边界线上的切线投影对弧长的曲线积分等于向量场旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分. 即流体的速度场的旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分等于流体在曲面边界上的环流量.刚体旋转问题：设一刚体以角速度ω绕某轴旋转，则角速度向量ω方向沿着旋转轴，其指向与旋转方向的关系符合右手法则，即右手拇指指向角速度ω的方向，其它四指指向旋转方向. 若取定旋转轴上一点O 作为原点，则刚体上任一点P 的线速度v 可表示为v=ω×r, 其中r=OP 是P 的径向量. 设P 的坐标为(x,y,z),便有r=(x,y,z),设ω(ωx ,ωy ,ωz ), ∴v=(ωy z-ωz y,ωz x-ωx z,ωx y-ωy x), ∴rot v=(2ωx ,2ωy ,2ωz )=2ω或ω=21rot v.即线速度向量v 的旋度除去21, 就是旋转的角速度向量ω. 也即 v 的旋度与角速度向量ω成正比.基本性质：rot A=▽×A. 1、若u,v 是向量函数, 则 (1)▽×(u+v)=▽×u+▽×v ；(2)▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u ； (3)▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v)；(4)▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v.2、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则▽×(φA)=φ(▽×A)+▽φ×A.3、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则 (1)▽·(▽×A)=0, ▽×▽φ=0,(2)▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)),则(1)▽×(u+v)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂yP P xQ Q xR R zP P zQ Q yR R )()(,)()(,)()(212121212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,,=▽×u+▽×v. (2)∵▽(u ·v)=▽(P 1P 2+Q 1Q 2+R 1R 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂++∂∂++∂∂++∂z R R Q Q P P y R R Q Q P P x R R Q Q P P )(,)(,)(212121212121212121 = ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂,122112211221x RR x R R x Q Q x Q Q x P P x P P,122112211221y RR y R R y Q Q y Q Q y P P y P P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z R R z R R z Q Q z Q Q z P P z P P 122112211221.又u ×(▽×v)=u ×⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,, = ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,21212121xRR z P R y P Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 2121212121212121,. v ×(▽×u)= ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,12121212xR R zP R yP Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 1212121212121212,. (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P 111v =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q x P P 212121212121212121,,(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; ∴▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u. (3)∵▽·(u ×v)=▽·(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2) =zP Q Q P y R P P R xQ R R Q ∂-∂+∂-∂+∂-∂)()()(212121212121=y P R y R P y R P y P R x R Q x Q R x Q R x R Q ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂+∂∂1221122112211221zQP z P Q z P Q z Q P ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+12211221.又v ·(▽×u)=v ·⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,=yP R xQ R xR Q zP Q zQ P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂121212121212;u ·(▽×v)=yPR x Q R x R Q z P Q z Q P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂212121212121;∴▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v).(4)∵▽×(u ×v)=▽×(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂y Q R R Q x R P P R x P Q Q P z Q R R Q z R P P R y P Q Q P )()(,)()(,)()(212121212121212121212121= ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂,1221122112211221zP R zR P zR P zP R yQ P yP Q yP Q yQ P,1221122112211221x QP x P Q x P Q x Q P z R Q z Q R z Q R z R Q ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂y R Q y Q R y Q R y R Q x P R x R P x R P x P R 1221122112211221; 又(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q xP P 212121212121212121,,;(▽·v)u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q xP 222u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y Q R x P R z R Q y Q Q x P Q z R P y Q P xP P 212121212121212121,,; (▽·u)v=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yQ R xP R zR Q yQ Q xP Q zR P yQ P xP P 121212121212121212,,; ∴▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v. 2、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则▽×(φA)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR )()(,)()(,)()(ϕϕϕϕϕϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂P yyP Q xxQ R xxR P zzP Q zzQ R yyR ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ,,=φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂P yQ xR xP zQ zR yϕϕϕϕϕϕ,,=φ(▽×A)+▽φ×A.3、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则(1)▽·(▽×A)=▽·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂y P x Q z x R z P y z Q y R x=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y P z x Q z x R y z P y z Q x y R x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z Q x x Q z y P z z P y x R y y R x =0. ▽×▽φ=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x y y x z x x z y z z y ϕϕϕϕϕϕ,,=0. (2)▽×(▽×A)=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂z Q y R y x R z P x y P x Q x z Q y R z x R z P z y P x Q y ,, =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂z y Q y R x R z x P y x P x Q z Q y z R x z R z P y P x y Q 222222222222222222,,; 又▽(▽·A)=▽⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R yQ xP=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂z R y Q x P z z R y Q x P y z R y Q x P x ,,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂+∂∂222222222222,,z R y z Q x z P z y R y Q x y P x z R y x Q x P ; ▽2A=△A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂222222222222222222,,z R y R x R z Q y Q x Q z P y P x P ;∴▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.五、管量场与有势场概念：对无源场A ，即div A=0，由高斯公式知，此时沿任何闭曲面的曲面积分都为0，这样的向量场称为管量场. 因为 在向量场A 中作一向量管，即由向量线围成的管状曲面， 用断面S 1, S 2截它，以S 3表示所截出的管的表面，即得到 由S 1, S 2, S 3围成的封闭曲面S ，于是有⎰⎰⋅SdS A =⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A +⎰⎰⋅外侧3S dS A =0. 又由向量线与曲面S 3的法线正交知,⎰⎰⋅外侧3S dS A =0.∴⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A =0, 即⎰⎰⋅内侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A . 等式说明，流体通过向量管的任意断面流量相同,∴称场A 为管量场. 如例2，由梯度rm ∇所成的引力场F 是管量场.概念：对无旋场A ，即rot A=0，由斯托克斯公式知，这时在空间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于0，该向量场称为有势场. 因为当rot A=0时，由定理22.7推得此时空间曲线积分与路线无关, 且有u(x,y,z), 使得du=Pdx+Qdy+Rdz, 即grad u=(P ,Q,R), u 称为势函数. 所以，若向量场A 的旋度为0，则必存在某势函数u ，使得grad u=A. 这也是一个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件. 例1中引力势u=r m 就是势函数. ∴▽u=F=-⎪⎭⎫⎝⎛r z r y r x r m ,,2. 又▽×▽u ≡0, ∴▽×F=0, 它也是引力场F 是有势场的充要条件.若向量场A 既是管量场，又是有势场，则称其为调和场.例2中的引力场F 就是调和场. 若A 是一个调和场，则必有 ▽·A=0, ▽u=A. 显然▽·▽u=▽2u=△u=0, 即必有势函数u 满足222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=0, 这时称函数u 为调和函数. 习题1、若r=222z y x ++, 计算▽r, ▽r 2, ▽r1, ▽f(r), ▽r n (n ≥3). 解：∵x r ∂∂=r x , y r ∂∂=r y , z r ∂∂=r z, ∴▽r=⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=r1(x,y,z); 记u=r 2=x 2+y 2+z 2, ∵x u ∂∂=2x, y u ∂∂=2y, zu ∂∂=2z, ∴▽r 2=▽u=2(x,y,z);记v=r1, ∵x v ∂∂=-3r x , y v ∂∂=-3r y , z v∂∂=-3rz , ∴▽r 1=▽v=31r -(x,y,z);∵x f ∂∂=f ’(r)r x , y f ∂∂=f ’(r)ry , z f∂∂=f ’(r)r z , ∴▽f(r)=f ’(r)r 1(x,y,z); ∴▽r n =nr n-1⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=nr n-2(x,y,z), (n ≥3).2、求u=x 2+2y 2+3z 2+2xy-4x+2y-4z 在O(0,0,0), A(1,1,1), B(-1,-1,-1)处的梯度，并求梯度为0的点. 解：∵x u ∂∂=2x+2y-4, y u ∂∂=4y+2x+2, zu∂∂=6z-4,∴在O(0,0,0), grad u=(-4,2,-4); 在A(1,1,1), grad u=(0,8,2); 在B(-1,-1,-1), grad u=(-8,-4,-10);又由2x+2y-4=0, 4y+2x+2=0, 6z-4=0, 解得x=5, y=-3, z=32, ∴在(5,-3,32), |grad u|=0.3、证明梯度的基本性质1~5. 证：见梯度的基本性质.4、计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)A=(y 2+z 2,z 2+x 2,x 2+y 2)；(2)A=(x 2yz,xy 2z,xyz 2)；(3)A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++xy z zx y yz x . 解：(1)∵P=y 2+z 2, Q=z 2+x 2, R=x 2+y 2； ∴div A=x ∂∂(y 2+z 2)+y ∂∂(z 2+x 2)+z ∂∂(x 2+y 2)=0；又y ∂∂(x 2+y 2)-z ∂∂(z 2+x 2)=2y-2z; z ∂∂(y 2+z 2)-x∂∂(x 2+y 2)=2z-2x; x∂∂(z 2+x 2)-y ∂∂(y 2+z 2)=2x-2y. ∴rot A=2(y-z,z-x,x-y).(2)∵P=x 2yz, Q=xy 2z, R=xyz 2； ∴div A=x ∂∂(x 2yz)+y ∂∂(xy 2z)+z∂∂(xyz 2)=6xyz ；又y ∂∂(xyz 2)-z ∂∂(xy 2z)=x(z 2-y 2); z ∂∂(x 2yz)-x∂∂(xyz 2)=y(x 2-z 2); x∂∂(xy 2z)-y ∂∂(x 2yz)=z(y 2-x 2). ∴rot A=(x(z 2-y 2),y(x 2-z 2),z(y 2-x 2)).(3)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy z zx y yz x . ∵P=yz x , Q=zxy, R=xy z ；∴div A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z z =xyzx yz 111++； 又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z y -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y z =22xy z xz y -; ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z x =22yz x y x z-; ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x y =z x y z y x 22-. ∴rot A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---x y y x z x x z y z z y xyz 222222,,1.5、证明散度的基本性质1~3. 证：见散度的基本性质.6、证明旋度的基本性质1~3. 证：见旋度的基本性质.7、证明：场A=(yz(2x+y+z),zx(x+2y+z),xy(x+y+2z))是有势场并求其势函数.证：P=yz(2x+y+z), Q=zx(x+2y+z), R=xy(x+y+2z),y ∂∂[xy(x+y+2z)]-z∂∂[zx(x+2y+z)]=x 2+2xy+2xz-x 2-2xy-2xz=0; z ∂∂[yz(2x+y+z)]-x∂∂[xy(x+y+2z)]=2xy+y 2+2yz-2xy-y 2-2yz=0; x∂∂[zx(x+2y+z)]-y ∂∂[yz(2x+y+z)]=2xz+2yz+z 2-2xz-2yz-z 2=0.∴对空间任一点(x,y,z)都有rot A=(0,0,0)=0i+0j+0k=0, ∴A 是有势场. 由d[xyz(x+y+z)]=yz(2x+y+z)dx+xz(x+2y+z)dy+xy(x+y+2z)dz 知， 其势函数为u(x,y,z)=xyz(x+y+z)+C.8、若流体流速A=(x 2,y 2,z 2), 求单位时间内穿过81球面x 2+y 2+z 2=1, x>0,y>0,z>0的流量.解：设S 为所给81球面，S 1, S 2, S 3分别是S 在三个坐标面上的投影, 则 所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0+⎰⎰⋅11S dS n A +⎰⎰⋅22S dS n A +⎰⎰⋅33S dS n A =⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛球体81V divAdV=⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(2=⎰⎰⎰++103202sin )cos sin sin cos (sin 2dr r d d ϕϕθϕθϕϕθππ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2021)sin (cos 421πθθθπd =83π.注：其中n 0, n 1, n 2, n 3分别是S, S 1, S 2, S 3的单位法矢，显然有A|n i (i=1,2,3)，∴A ·n i =0，从而⎰⎰⋅iS i dS n A =0 (i=1,2,3), 于是所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0=83π.9、设流速A=(-y,x,c) (c 为常数)，求环流量： (1)沿圆周x 2+y 2 =1, z=0；(2)沿圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0.解：(1)圆周x 2+y 2 =1, z=0的向径r 适合方程r=costi+sintj+0k(0≤t ≤2π). ∵A ·dr=(-sinti+costj+ck)·(-sinti+costj+0k)dt=dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰π20dt =2π.(2)圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0的向径r=(2+cost)i+sintj+0k (0≤t ≤2π); ∵A ·dr=[-sinti+(2+cost)j+ck]·(-sinti+costj+0k)dt=(2cost+1)dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰+π20)1cos 2(dt t =2π.。
场论初步
旋转角速度的关系.
x
v
例 3 设一刚体绕过原点 O 的某个轴转动,其 角速度 (1 , 2 , 3 ) ,刚体上每一点处的线 速度构成一个线速场,向量 r OM =(x,y,z). 求点 M 处的线速度.
L
o
解 由力学知道点 M 的线速度 v r i j k
5、 保守场 曲线积分只与起点和终点有关，而与所沿途径无 关，物理学中称这种场叫保守场。 利用斯托克斯公式，可以推出，一个向量场a 为空间保守场的充要条件是
a z a y 0, y z
即：rota 0
场论初步：
场： M R3
u f (M ) f ( x, y, z )
数量场 向量场
u F ( M ) P( M )i Q( M ) j R( M )k
不依赖于时间的场为稳定场或定常场 依赖于时间的场为不稳定场或不定常场
• 数量场的等值线（面）： 表示数量在场中的分布。 场中数值相同的点组成的曲面。 其方程为
u grandu
1、gradC 0
3、grad（u v） gradu gradv 4、grad（uv） vgradu ugradv u 1 5、grad （ ） 2 (vgradu ugradv ) v v 6、gradf（u） f ' (u) gradu
7、gradf u, v） fu ' gradu fv ' gradv （
h ( x, y, z ) const
（c值不同对应不同等值面）
c1
22_4 场论初步
第22章
场论初步
一、场的概念 二、梯度场 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场
一、场的概念
•若对全空间或其中某一区域V 中每一点M，都有
一个数量（或向量）与之对应，则称在V上给定了一 个数量场（或向量场）。
数量场 (数性函数) 函数 场
如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等
( P cos Q cos R cos ) d s
数学分析
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12
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
13
定义:
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
数学分析
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旋度的力学意义: 设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为 , M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图,则 z
(0, 0, ), r ( x, y, z )
点 M 的线速度为
在场中点 M(x, y, z) 处
A n d S 为向量场 A 通过
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
数学分析
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9
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
2.1场
2014年5月11日星期日
华北科技学院基础部
23
《场论初步》
§2.1
场
正点电荷的电场线
2014年5月11日星期日
负点电荷的电场线
华北科技学院基础部 24
《场论初步》
§2.1
场
两等量正点电荷 的电场线分布
2014年5月11日星期日
两等量异号点电荷 的电场线分布
场
例3：已知数量场 u
xy ， 求场中与直线 x 2 y 4 0 c ， 设切点为 ( x , y )
0 0
相切的等值线方程。 解：数量场的等值线为 xy
从而有
x0 y0 c x0 2 y0 4 0 c 1 2 x0 2
解之得 x0 2, y0 1, c 2
《场论初步》
§2.1 《场论初步》
场
第二章
场 论
1
2014年5月11日星期日
华北科技学院基础部
《场论初步》
§2.1
场
教 学 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
2014年5月11日星期日
场 数量场的方向导数和梯度 矢量场的通量及散度 矢量场的环量及旋度 几种重要的矢量场
华北科技学院基础部 2
或者说：场是一定空间范围内连续分布的客体．
Maxwell是第一个使用场的科学家.
场有两个显著特点:
1.场是客观存在的． 2.场可以随时间和空间发生变化.
2014年5月11日星期日
华北科技学院基础部
4
《场论初步》
§2.1
场
根据物理量的性质，分为数量场和矢量场。 数量场（标量场）：物理量是数量。如温度场，电 位场，密度场等。 矢量场：物理量是矢量。比如力场，速度场，电磁
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在物理学中, 曲线积分和曲面积分有着广 泛的应用. 物理学家为了既能形象地表达有 关的物理量, 又能方便地使用数学工具进行 逻辑表达和数据计算, 使用了一些特殊的术 语和记号, 在此基础上产生了场论.
一、场的概念 二、梯度场
三、散度场
四、旋度场
五、管量场与有势场
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一、场的概念
位于 M( x, y, z), 记
r OM x2 y2 z2 ,
试求 m 的梯度 . r
解
m r
m r2
x r
,
y r
,
z r
.
若以 r0 表示 OM 上的单位向量, 则有
m r
m r2
r0 .
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它表示两质点间的引力, 方向朝着原点, 大小与质量
的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比.
作 “Nabla”. 梯度有以下一些用 表示的基本性质:
1. 若 u, v 是数量函数, 则
(u v) u v . 2. 若 u, v 是数量函数, 则
特别地有
(u v) u(v) (u)v . (u2 ) 2u(u) .
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3. 若 r ( x, y, z) , ( x, y, z) , 则
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个向量场都与某个向量函数 A( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
相对应. 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数, 并假定它们有一阶连续偏导数. 设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 方向都与向量函数 A 在该点的方向一致, 即这说明了引力场是数量场
m r
的梯度场, 因此常称
m 为引力势. r
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三、散 度 场
设 A( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k 为 V 上的一个向量场. 称如下数量函数:
D( x, y, z) P Q R x y z
dx dy dz , PQR
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则称曲线 L 为向量场 A 的向量场线. 例如电力线、 磁力线等都是向量场线. 注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质.
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二、梯度场
在第十七章§3 中我们已经介绍了梯度的概念, 它
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因为数量场 u( x, y, z) 的等值面 u( x, y, z) c 的法线
方向为
u x
,
u y
,
u z
,
所以
grad
u
恒与
u
的等值面
正交.
引进符号向量
x
,
y
,
z
,
当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作
grad u u .
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注 通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符(或算子), 读
d dr .
4. 若 f f (u) , u u( x, y, z) , 则
f f (u)u .
5. 若 f f (u1 , u2 , , um ) , ui ui ( x, y, z) , 则
f
m f i1 ui
ui
.
这些公式读者可利用定义来直接验证.
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例1 设质量为 m 的质点位于原点, 质量为 1 的质点
div A A . 容易由定义直接推得散度的以下一些基本性质:
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1. 若 A, B 是向量函数, 则 (A B) A B.
2. 若 是数量函数, A 是向量函数, 则 ( A) A A .
3. 若 ( x, y, z) 是一数量函数, 则
2
x2
2
y2
若 div A(M0 ) 0, 说明在每一单位时间内有一定数
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量的流体流出这一点, 则称这一点 M0 为 “源”. 若 div A(M0 ) 0, 说明流体在这一点 M0 被吸收, 则 称这点为 “汇”. 若在每一点都有 div A 0, 则称 A 为 “无源场”. A 的散度也可表示为矢性算符 与 A 的数性积:
2
z2
.
算符 的内积 常记作 (拉普拉斯算符) , 于是
.
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例2
求例1中引力场 F
若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或向量) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个 数量场 (或向量场). 例如: 温度和密度都是数量场, 重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后, 点 M 的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就 等于给定了一个数量函数 u( x, y, z), 在以下讨论中 总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每
lim V M0
1 V
A dS .
S
(2)
这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.
散度的物理意义 联系本章§2中提到的, 流速为 A
的不可压缩流体, 经过封闭曲面 S 的流量是 AdS.
S
于是(2)式表明 div A(M0 ) 是流量对体积 V 的变化率,
并称它为 A 在点 M0 的流量密度.
是由数量函数 u( x, y, z) 所定义的向量函数 grad u u i u j u k . x y z
grad u 是由数量场 u 派生出来的一个向量场, 称为 梯度场. 由前文知道, grad u 的方向就是使方向导 数 u l 达到最大值的方向, grad u 就是在这个方
方向上的方向导数.
为 A 的散度. 这是由向量场 A 派生出来的一个数量 场, 也称散度场, 记作
div A P Q R . x y z
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设 n (cos , cos , cos ) 为曲面 S 在各点的单位
法向量,记 dS n dS , 称为 S 的面积元素向量. 于是
高斯公式可写成如下向量形式:
div AdV AdS .
(1)
V
S
对上式中的三重积分应用中值定理, M V , 使得
div A dV div A(M )V AdS,
V
S
在 V 中任取一点 M0. 令 V 收缩到 M0 (记作 V M0 ),
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则同时有 M M0 , 对上式取极限, 得到
div
A(M0 )