预备知识高斯随机过程

高斯随机过程：定义
若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正 态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维 正态概率密度函数表示如下：
f ( x1, x2 xn , t1 , t2 tn )
2
1
n/ 2 1 2 n B 1/ 2
• exp[ 1
n
n
B
( x j ak )( xk ak )]
2.3 随机信号分析
• 2.3 随机信号分析
– 随机过程基础 – 高斯随机过程 – 随机过程通过线性系统 – 窄带随机过程 – 正弦波加窄带高斯噪声
随机过程通过线性系统
• 确知信号通过线性时不变系统时 线性时不变系统
x（t）
X（）
h（t）
H（）
y（t）
Y（）
y（t） x（t） h（t）
Y（） X（）H（）
一维高斯分布*
f (x)
1
2
exp(
(
x
2
a
2
)
2
)
f ( x)dx 1
a
1
f ( x)dx f ( x)dx
a
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一维高斯分布的数值计算
• 在通信系统中，通常需要计算随机变量X大于某常数
的概率：
P（X C )
f ( x )dx
C
无法直接 计算出
1
( x a)2
C
2
• 中心极限定理表明：
– 一个随机变量，如果它是很多个相互独立的随机 变量之和，而其中每一个对总和只发生不大的影 响，那么，这一总和的分布就近似于正态分布。
• 高斯过程又称正态随机过程。如通信中的噪 声，分子热运动产生的热噪声等都具有高斯 过程的特性。
• 高斯过程，是研究通信信号、特别是通信噪 声的重要数学模型。
)d
h(
)E (t
)d
a
h( )d
a
h( )e j0 d
a H（0）
输入直流分量 与直流增益的积
随机过程通过线性系统
• 输出过程的自相关函数
R（ t1，t2） E[（t1）（t2）]
E
h(u) (t1
u)du
h(v) (t2
v)dv
h(u)h(v)E (t1 u) (t2 v) dvdu
随机过程（噪声信号）示例
利用随机过程基础解决通信中问题
随机过程ξ(t)（噪声、信号）
统计、观测、计算
数学期望
方差
相关函数
E[ξ(t)]
D[ξ(t)]
R（t ，t+）
最终求出功率通谱信，系从统而中获所得遇了到频的率信域号
如果上平的稳功率分布与，噪获声得一其般与带都时宽能间、满起功足点率各无性态关
能，达到了研历究经通条信件系统的目的
2 B j1 k 1 jk
j
k
式 中 ：ak
E
（t
k）；
2 k
E（tk） ak 2
B为归一化协方差矩阵
高斯随机过程：重要性质
• 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。
– 只需要其数字特征，就可以确定高斯过程
• 对高斯过程：广义平稳与狭义平稳等价
R（t1，t2） E[ t1 t2 ]
x1 x2 f2 ( x1 , x1，t1，t2 )dx1d x2
2.3 随机信号分析
• 2.3 随机信号分析
– 随机过程基础 – 高斯随机过程 – 随机过程通过线性系统 – 窄带随机过程 – 正弦波加窄带高斯噪声
随机过程（噪声信号）示例
为什么研究高斯过程
一维高斯分布的数值计算
• 误差函数
• 互补误差函数
• X>2时互补误差 函数近似表示
• Q函数与误差函 数关系
erf ( ) 2 et2 dt
0
erfc（） 2 et2 dt
1 erf（）
erfc( ) 1 e 2
Q( ) 1 erfc( )
2
2
一维高斯分布的数值计算
•例
E[ξ(t)]=m
D[ξ(t)]=σ2
R（）
如果各态历经
用时间平均代替集平均
aa
2 2
R( ) R( )
数字特征的计算
•数学期望 E[ (t )] m(t ) xf1( x, t )dx
•方差 •相关函数
D[（t）] （2 t） E（t） E[（t）]2
x2 f1( x, t)dx [m(t)]2
e xp
2 2
dx
z
xa
P（X C )
C a
1
z2
2
e xp
2
dz
Q( )
1
z2
2
e xp
2
dz
查Q数值 计算表
P（X
C)
Q
C
a
一维高斯分布的数值计算
• Q函数的意义
Q( ) 1
面积=Q（）
Q(0) 1
2
Q() 0
Q( ) 1 Q( ), 0
查Q函数表可以求出概率
R n0 ( )
2
高斯白噪声
如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯
白噪声。 由R n0 ( )可以看出，高斯白噪声在任
意两个不同时刻上的2取值之间，是统计独立的。
应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在 实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分 布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就 可以把它视为白噪声。
h(v)h(u)R ( u v)dudv
h( ) h( ) R ( )
输出也是平稳 过程
随机过程通过线性系统
• 输出过程的功率谱密度
R（ ） h( ) h( ) R ( ) P（ ） H（ ）H（）P（ ） H（）2 P（ ）
随机过程通过线性系统
• 平稳随机过程通过线性时不变系统时，关系仍然成立
线性时不变系统
（t）
E （t）
R（ ） P（ ）
h（t）
H（）
（t） （t） h（t）
（t）
E（t）
R（ ） P（ ）
？
h（）（t ）d
随机过程通过线性系统
• 输出过程的数学期望
E[（t）]
E
h( ) (t
• 如果高斯过程中的随机变量之间互不相关，则他们是 统计独立的。
f ( x1, x2 xn , t1, t2 tn )
f（x1，t1）f（x2，t
）
2
f（xn，tn）
• 高斯过程通过线性系统、其输出也是高斯过程
一维高斯分布*
f (x)
1
2
exp(
(
x
2
a
2
)
2
)
aa==+0/，-2，=1 =0.8/1.2
误码率 1错成0的概率加0错成1的概率， 已知均值、方差，查Q表即可求出
0
1
1->0 0->1
白噪声
信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声，
它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
P（ ）
n0 2
这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机
过程。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫。白噪声的自 相关函数可借助于下式求得，即