预备知识高斯随机过程
高斯随机过程的定义
③ D[ax]= E[a2x2]- E2[ax]=a2{ E[x2]- E2[x]}= a2D[x]
④ D[X ± Y] = D[X] + D[Y] ±2CXY
⑷ 联合矩
联合原点矩：E[XnY k]称为两个随机变量X和Y的联合原点矩，反映X
和Y的关联程度。
当n=k=1时， E[XY]称为互相关函数或相关矩。
概率密度函数：若二维分布函数F( X,Y)是连续的，且二阶混合偏导
数存在，则定义
2F ( x, y) xy
f (x, y)
为二维概率密度函数，记为f(x,y)。
显然：
yx
F(x, y) f (,)dd
f(x,y)的性质：
① f(x,y) ≧0
yx
② F(x, y) f (,)dd
2/3
② F(-∞)=0， F(∞)=1
1/3 1/6 1/12 0
③ F(x)单调增，即：若x1 ≦ x2， 则F(x1) ≦ F(x2)
④ F(x)右连续。
0
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x
概率密度函数f(x)
若F(x)是连续的，一阶导数存在，则定义
dF(x) dx
f (x)
为随机变量x的概率密度函数f(x)。
第三章 随机过程
3.1 随机过程的基本概念 3.2 典型随机过程
X
3.1 随机过程的基本概念 1. 随机变量的统计特性 2. 随机过程的统计特性
X
随机变量
随机变量：表示随机实验结果的一个变量，叫随机变量。 用大写字母X、Y、…等表示随机变量，用小写字母x、y、…等， 表示随机变量的取值。 ➢连续型随机变量：X的可能取值为整个区间的任意值。如接收 机输出电压噪声。 ➢离散型随机变量： X的可能取值为有限值。如掷殺子。
第4讲高斯随机过程、高斯白噪声和带限白噪声
r(t) Acos (ct ) n(t)
其中：
(2.7.1)
Acos (ct )
---正弦载波:假定A、ωc为常数;θ为随机变量，其一维 pdf 均匀分布，即： f(θ)=1/(2π)， 0≤θ≤2π
n(t) nc (t) cosct ns (t) sin ct (t) c (t) cosct s (t)sin ct
(x) 1
x
ez2 / 2dz
2
(2.5.9)
则正态分布函数可表示为：
F (x) （ x a ）
(2.5.8)
通信原理
第2章 随机过程
xa
x
x
F(x) f (z)dz
1 exp[ (z a)2 ]dz 1
et2 / 2dt
2
2 2
2
（3) 用误差函数表示
正态分布函数更常表示成与误差函数相联系的形式。
通信原理
第2章 随机过程
2. 表达式－－两种！
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
c (t) cosct s (t)sinct
(2.6.1/2)
c (t)=a (t) cos (t) (t)的同相分量 s (t)=a (t) sin (t) (t)的正交分量
R c s (0)=0 , f (c ,s )=f (c ) f (s )
通信原理
第2章 随机过程
2.5.3 已知ξ(t)的统计特性，求 aξ(t)、φξ(t)的统计特性
结论2
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
若ξ(t)：均值为0、方差为δ2、窄带平稳高斯随机过程。
则：
（1）其包络aξ(t)的一维分布呈瑞利分布； （2）其相位φξ(t)的一维分布呈均匀分布； （3） aξ(t)与φξ(t)统计独立。
高斯随机过程
若统计独立，则必不相关；反 若不相关，则统计独 之，则不然，即：若不相关， 立。
则不一定统计独立。
若狭义平稳，则必广义平稳； 若广义平稳，则狭义 反之，则不然，即：若广义平 平稳。 稳，则不一定狭义平稳。
高斯分布函数的计算--查表法（附录B）
x
F (x) p( x)
1
2
R(t1,t2)= R(t1,t1+τ)= E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］ = R(τ)
x1x2
f2 (x1,
x2 ;
)dx1dx2
R( )
仅是时间间隔τ=t2-t1的函数
平稳随机过程ξ(t)具有“平稳”的数字特征：它的均值为常数；自
相关函数只与时间间隔τ有关，R(t1,t1+τ)=R(τ)
(t,
t
) E[ (t)
1 2
E{cosw0
(t )] E[sin(w0t
cos[w0 (t2 t1) 2 ]}
) sin(w0 (t
)
)]
(2)
1 2
cosw0
0
1 2
cosw0
R( )
可见:ξ(t)的数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔τ有关， 所以ξ(t)为广义平稳随机过程。
f (z)
1
2
蓝线下面积为为F(x)
Q(x)函数：
Q(x) 1 et2 / 2dt
2 x
红线下面积为Q函数
x
z
[例3.2-2]
Z(t)=X1cosw0t－X2sinw0t 是一随机过程。若X1、X2是彼此独立且具 有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，求：
北大随机过程课件：第 5 章 第 1 讲 高斯随机过程
证明： 必要性的证明，
因为ξ (t) 是一个均方连续平稳实高斯分布的随机过程，它的协方差函数 C(τ )
是连续函数，又是马尔可夫过程，
C(τ + s) = C(τ )C(s) C(0)
C(τ + s) = C(τ ) C(s) C(0) C(0) C(0)
−∞
fξ1
∞
(x1 )
−∞
fξ2
/ ξ1
(x2
/
x1 )x2
⋅ dx2dx1
∫ ∫ =
C(t3 ,t2 ) C(t2 , t2 )
∞∞
x2 x1
−∞−∞
fξ2 / ξ1 ( x2
/
x1 ) fξ1
(xபைடு நூலகம் ) ⋅ dx2dx1
= C(t1, t2 )C(t2 , t3 ) C(t2 , t2 )
定理 2：
t1 t2
= ∫ ∫σ 2δ (u − v)dudv 00
t1
= ∫σ 2 0
= σ 2t1
设 t1 > t2 ≥ 0
∫ ∫ E
⎪⎧t1 ⎨ ⎪⎩ 0
ξ
(u)du
⋅
t2 0
ξ
(v)dv⎪⎭⎪⎬⎫
=
σ
2
t
2
6
因此有
∫ ∫ E
⎪⎧ ⎨
t1
⎪⎩ 0
ξ
(u)du
⋅
t2 0
ξ
(v)dv⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
σ
2
min{t1 , t 2
∞ ∞∞
∫ ∫ ∫ = x1 x3 fξ1ξ2ξ3 (x1, x2 , x3 ) ⋅ dx1dx2dx3 −∞ −∞−∞
高斯随机过程-PPT精选文档
2.3.1定义
若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正态分布， 则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函 数表示如下： 1 fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn) 1 1 2 2 (2 ) ... 1 2 nB
x a 1n n a j k x k k . exp[ B ( )( )] jk 2 B j 1k 1 j k 式中, ak=E［ξ(tk)］，σ2k=E［ξ(tk)-ak］2，|B|为归一化协 方差矩阵的行列式，
1
B
b12 …
b1n …
B21 1
… b2n … 1
…
Bn1 bn2 …
|B|jk 为行列式 |B|中元素bjk 的代数余因子， bjk 为归一化协 方差函数，且
…
2.3.2
（1） 由式(2.3 - 1)可以看出, 高斯过程的n维分布完全由n 个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函 数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就 可以了。 （2） 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无 关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由 性质（1）知，它的n维分布与时间起点无关。 所以，广义平 稳的高斯过程也是狭义平稳的。 （3） 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 即对 所有j≠k有bjk=0，这时式（2.3 - 1）变为
且有
1 f( x ) dx f( x ) dx a 2
1 2
f (x)
O
a
x
图2-3 正态分布的概率
3） a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随着σ 的减小而变高和变窄。当a=0，σ=1时，称f(x)为标准正态分布 的密度函数。 当我们需要求高斯随机变量 ξ小于或等于任意取值 x 的概 率 P(ξ≤x) 时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率
第5章 高斯随机过程
T
协方差矩阵为
L L L
j
C1n C2n M C nn
其中
C ij = cov( x i , x j ) = rijσ iσ
一、多维高斯随机变量
3、n维分布 n维高斯分布的概率密度为
1 n n n φn (v1, v2 ,L, vn ; t1, t2 ,L, tn ) = exp j ∑ ai vi − ∑∑CX (ti , tk )vi vk 2 i =1 k =1 i =1
E[ X 2 (t )] < ∞
三、窄带平稳实高斯随机过程
一个零均值的窄带实平稳随机过程可表示为
τ = t1 − t 2
三、窄带平稳实高斯随机过程
可得二维联合概率密度为
p(a1 , a2 ;ϕ1 , ϕ2 ) =
a1a2 4π 2 C
exp{− 12
1 2C
[σ x2 (a12 + a22 ) − 2a(τ )a1a2 cos(ϕ2 −ϕ1 )]} 12
式中
0 ≤ ϕ 1 , ϕ 2 ≤ 2π
1 T −1 exp − (x − a) C (x − a) 1 2 2 C
若X(t)为平稳过程，则
ai = E[ X (ti )] = a
σ i 2 = D[ X (ti )] = σ 2
二、高斯随机过程
高斯过程是二阶矩过程 严格平稳和广义平稳等价 相互独立和互不相关等价 特征函数
= exp j (a1v1 + a2 v2 ) − (σ1 v1 + 2rσ1v1σ 2 v2 + σ 2 v2 ) 2
随机过程第章预备知识
基本
概念 ℱ = ������, ������1, ������2, ������3 , ������4, ������5, ������6 , Ω - ℱ为-代数， ������, ℱ 为可测空间
代数
•
若������������ ∈ ℱ ,则ڂ������������=1 ������������ , ځ������������=1 ������������ , ځ���∞���=1 ������������ ∈ ℱ （有限并，有限
概率 交，可列交事件）
空间
独立 事件
中南民族大学经济学院
3
《随机过程》第1章-预备知识
1 概率空间
例：抛掷一枚骰子，观察出现的点数。
背景
������ = 1,2,3,4,5,6
基本
概念 ������ = 1,3,5 ⊆ Ω ������ = 2,4,6 ⊆ Ω
-
代数 骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”, “点数不大于6”,“点数为偶数” 等都为随机事件.
-
代数 （3）若������������ ∈ ℱ, ������ ∈ ������，则ڂ���∞���=1 ������������ ∈ ℱ(可列并事件）
概率
空间 则称ℱ为-代数， (������, ℱ)为可测空间。
独立 事件
中南民族大学经济学院
6
《随机过程》第1章-预备知识
背景 例：抛掷一枚骰子，������������表示出现������点。
∞
∞
概率 空间
高斯随机过程
高斯随机过程高斯随机过程（GaussianRandomProcess，GRP）是一种常见的随机过程，它由作为时间或空间的变量的永久的高斯噪声的函数组成。
高斯随机过程有着丰富的应用，如数据处理、图像处理、信号处理、机器学习等。
本文将介绍高斯随机过程的概念、定义、特性以及应用场景，并对计算和绘图进行详细讨论。
1. 什么是高斯随机过程高斯随机过程是一种随机模型，它由作为时间或空间变量的永久高斯噪声函数组成。
它是一个随机现象，它的像素点时间/空间和随机变量之间有着特定关系。
它可以用来描述复杂的现象，但又比普通的概率分布拥有更丰富的特性。
高斯随机过程具有两个主要特性：转移性（stationarity）和可预测性（predictability）。
(1)移性：高斯随机过程具有转移性，即无论何时何地，这个过程的随机期望值（Expectation Value）都是一个定值，也就是说，这个过程的随机情况在空间上是一致的，在时间上也是一致的。
(2)预测性：高斯随机过程可以通过观察其连续时间点的值，利用代数运算和概率论，对未来的结果进行预测。
2.斯随机过程的定义高斯随机过程由一个实数序列，每一个取值都是随机变量X的一个实例，称为一个随机函数（Random Function）X。
X的取值不仅受到时间的影响，而且还受到空间的影响，从而构成了一个随机过程。
设X是在某一范围[0,T]上的高斯随机过程，那么X可以定义为：X(t) =(t) (t [0,T])其中，ε(t)是具有零期望值和高斯分布的均匀随机变量，即： E [ε(t)] = 0E [(ε(t)-ε(t))] =(t,tγ(t,tX(t)与X(t之间的协方差函数，即X(t)与X(t之间的统计相关性。
3.斯随机过程的应用场景高斯随机过程拥有广泛的应用场景，可以用于模拟各种复杂的场景。
其中，最常见的应用场景有：(1)据处理：高斯随机过程可以用来处理原始的数据，用来实现数据增强，数据降维以及数据去噪等；(2)像处理：利用高斯随机过程可以进行图像分类，图像检索，目标检测，图像修复，图像降噪等；(3) 信号处理：高斯随机过程在信号处理中可以用于过滤噪声，多信号融合，模式识别，信号传输，信号分离，信号恢复，变换等；(4)器学习：高斯随机过程可以用于机器学习，如聚类，回归，分类，联想推理，强化学习，机器翻译等等。
03第三讲：高斯过程、窄带过程
为是白噪声
物理意义：表明该随机过程上任何两个随
2、自相关函数
机变量之间都是不相关的，只有当τ＝0时 例外
白噪声的功率谱密度(a)和自相关函数 (b)
3、限带白噪声
限带白噪声概念：白噪声被限制在（f1,f2）之内，即在该频率 区上功率谱密度Pn(ω)＝ n0/2，而在该区间之外Pn(ω)＝0，则
这样的白噪声被称为限带白噪声
常见的限带白噪声有两种： a.理想低通型白噪声 b.理想带通型白噪声
理想低通白噪声：
概念：就是白噪声经过理想低通滤波器。
H(ω)为滤波器的系统函数
限带白噪声的自相关函数为
由R(τ)可见，若以1/(2f0)
的时间间隔对理想低通型
白噪声n(t) 进行抽样，则
噪声的样值之间是不相关
的
理想白噪声和限带白噪声的相关函数与谱密度
已知：
求： 解：先求反函数
利用概率论中的边际分布知识，aξ的概率密度函数
结论：aξ服从瑞利分布。
瑞利分布的特点：最大值发生在aξ＝σξ处。
要想计算误码率，必须知道抽样判决前信号和噪声的pdf，而噪声的pdf则为 上式。 aξ概率分布的用途：在数据通信系统中用来求解误码率。如2ASK的非相干 接收，接收机结构如图2.6-4所示。
为了能够借助于数表(误差函数表，概率积分表) 来计算高斯分布 ,需要引入概率积分函数或者误 差函数(互补误差函数)
误差函数的定义： erf (x) 2 x ez2 dz
0
互补误差函数的定义： erfc (x) 1 erf (x)
2
ez2 dz
x
概率积分函数：F (x) 1 x exp[ (z a)2 ]dz ((x a))
高斯随机过程
高斯随机过程高斯分布•中心极限定理证明：在满足一定条件下，大量随机变量和的极限分布是高斯分布。
•特殊地位：无线电技术理论中最重要的概率分布。
•噪声理论、信号检测理论、信息理论•高斯过程-统计特性最简单{}{}ik X i k X X i k X Xk i X k i X ik X i k X X X k i X k i X ik n n ikn n ik C m t t R m t t R m t t R t t C C m t t R m m t t R t t C C C C C C =−−=−+−+=′−++=++=′−−=−==′=′=××2222)()]()[(),(),()(),(),(..,.........εεεεεεv v Q Xi X i X X m t m t m m ==+=′)()(εQ ),...,;,...,(),...,;,...,(1111n n X n n X t t x x f t t x x f =++∴εε所以，高斯随机过程的宽平稳↔等价严平稳。
C C v v =′XX M M =′∴如果高斯过程X(t)在n 个不同时刻的状态两两互不相关，即则这些状态之间也是互相独立的。
n t t ,...,1)(),...,(1n t X t X )(,0)])()()([(),(k i m t X m t X E t t C C k k i i k i X ik ≠=−−==0=ik C ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(0...0:...:::...)(00...0)(22212n t t t C σσσv 2、互不相关↔互相独立证明：由于则:t B t A t X 00sin cos)(ωω+=0][][==B E A E 222][][σ==B E A E 0ω1.已知随机过程其中A 与B 是相互独立的高斯变量，且, ,为常数。
求此过程的一、二维概率密度。
《高斯随机过程》课件
地震预测
总结词
高斯随机过程用于描述地震活动的随 机性和预测地震发生的概率。
详细描述
地震是一种复杂的自然现象，其发生 受到许多随机因素的影响。高斯随机 过程可以用来模拟这些随机因素，从 而预测地震发生的概率和时间，为地 震防范提供科学依据。
流体动力学模拟
总结词
高斯随机过程在流体动力学模拟中用于 描述流体运动的随机性和不确定性。
VS
详细描述
流体动力学模拟需要考虑流体运动的复杂 性和不确定性，高斯随机过程能够模拟这 些随机波动，帮助科学家更好地理解和预 测流体运动的行为和结果。
06
高斯随机过程的未来发展 与挑战
高斯随机过程与其他随机过程的结合
混合高斯过程
将高斯随机过程与其他随机过程（如 泊松过程、马尔可夫链等）结合，形 成混合模型，以更好地描述复杂数据 。
通过最小化预测误差的平方和，估计高斯随机过 程的参数。
3
贝叶斯估计
利用贝叶斯定理，结合先验信息和数据信息，估 计高斯随机过程的参数。
04
高斯随机过程在金融领域 的应用
股票价格模型
股票价格遵循高斯随机过程
01
股票价格的变化被认为是一个高斯随机过程，其变化遵循正态
分布的特性。
预测股票价格走势
02
通过高斯随机过程模型，可以预测股票价格的未来走势，为投
数学表示
如果一个随机过程${X(t), t in T}$ 中的任意一维随机变量$X(t)$服 从正态分布，则称该随机过程为 高斯随机过程。
高斯随机过程的特点
概率密度函数
高斯随机过程的概率密度函数是正态分布的，具有钟形曲线特征 。
数学性质
高斯随机过程具有可加性、独立性、线性变换等数学性质。
随机过程第26-27讲 第六章 高斯(Gauss)过程
第六章 高斯（Gauss ）过程（六）维纳过程（布朗运动）1． 维纳过程的定义设质点每经过t ∆时间，随机地以概率2/1=p 向右移动0>∆x 距离，以概率2/1=q 向左移动0>∆x 距离，且每次移动是相互独立的。
记：−=次质点向左移动第次质点向右移动第i i X i ,1,1若)(t X 表示在t 时刻质点所处的位置，则有：)()(][21tt XX X x t X ∆+++∆=L显然有：1}{}{,0}{2===i i i X E X D X E故有：∆∆==t t t t X D t X E 2)()}({,0)}({假设t c x ∆=∆，其中c 为常数，它由物理意义确定。
0>令∆0→t ，即研究连续的游动，则有：0)}({=t X Et c t t t c t t x t X D t t t 220200lim )(lim )}({lim = ∆∆=∆∆=→∆→∆→∆ 另一方面，任取两个时刻210t t <<，令：∆= ∆=t t n t t n 2211,则有：)()(1211n X X X x t X +++∆=L)()(2212n X X X x t X +++∆=L)()()(21112n n X X x t X t X ++∆=−+L由于(与)121n X X X +++L )(211n n X X +++L )(是相互独立的，因此与相互独立。
即随机过程)(1t X )()12t X −(t X t X 是一独立增量过程。
由此)(t X 可以看作由许多微小的相互独立的随机变量)(1−)(−i t i X t X 组成之和。
由中心极限定理，当∆0→t 时，我们有：)(0200lim x x t c xX P t t i i t Φ=≤−∆∑ ∆=→∆ 即有：∫∞−→∆−=Φ=≤xt du u x x t c t X P }2exp{21)()(lim 220π故当∆0→t 时，)(t X 趋向于正态分布，即0→∆t 时，),0(~)(2t c N t X 由此，我们引入维纳过程（Wienner Process ）的定义：定义：若一随机过程{}0);(≥t t W 满足： （1）)(t W 是独立增量过程；（2）∀； ),0(~)()(,0,2t c N s W t s W t s −+>（3）)(t W 是关于t 的连续函数；则称{}0);(≥t t W 是布朗运动或维纳过程（Wienner Process ）。
高斯随机过程《通信原理》
高斯随机过程1．高斯随机过程的定义如果随机过程ξ(t)的任意n维（n＝1，2，…）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。
其n维正态概率密度函数表示为式中：;|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即为行列式|B|中的元素b jk的代数余因子；b jk为归一化协方差函数，即2．高斯随机过程的重要性质（1）高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差；（2）广义平稳的高斯过程是严平稳的；（3）如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j≠k有b jk＝0，那么它们也是统计独立的；（4）高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程，即若线性系统的输入为高斯过程，则系统的输出也是高斯过程。
3．高斯随机过程的随机变量（1）一维概率密度函数①表达式高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为②图像图3-1 正态分布的概率密度③特性a．f(x)对称于x＝a这条直线，即f(a＋x)＝f(a－x)b．及；c．a表示分布中心，σ称为标准偏差，f(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。
当a＝0，σ＝1时，称为标准化的正态分布。
即（2）正态分布函数①正态分布函数的定义正态分布函数定义为正态分布的概率密度f(x)积分，即②误差函数a．误差函数的定义erf(x)表示误差函数，其定义为b．误差函数的性质erf(0)＝0，erf(∞)＝1，erf（－x）＝－erf(x)。
c．误差函数表示分布函数②互补误差函数a．互补误差函数的定义erfc(x)表示互补误差函数，其定义为b．互补误差函数的性质erfc(0)＝1，erfc(∞)＝0，erfc(－x)＝2－erfc(x)。
c．误差函数表示分布函数正态分布函数可用互补误差函数erfc(x)表示为d．互补误差函数的应用当x＞a，互补误差函数与高斯概率密度函数曲线尾部下的面积成正比。
预备知识：高斯随机过程
2.3 随机信号分析
• 2.3 随机信号分析
– – – – – 随机过程基础 高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 正弦波加窄带高斯噪声
随机过程通过线性系统
• 确知信号通过线性时不变系统时
线性时不变系统
x（t） X（） h（ t） H（） y（ t ） Y（ ）
y（t） x（t） h（t） Y（） X（）H（）
高斯随机过程：定义
若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正 态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维 正态概率密度函数表示如下：
f ( x1 , x 2 x n , t1 , t 2 t n ) 1 e xp[ 2B
2
)(
1
n/ 2
1 2 n B
0->1
白噪声
信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声， 它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
n0 P （ ） 2 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机 过程。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫。白噪声的自 相关函数可借助于下式求得，即
n0 R ( ) 2
– 只需要其数字特征，就可以确定高斯过程
• 对高斯过程：广义平稳与狭义平稳等价 • 如果高斯过程中的随机变量之间互不相关，则他们是 统计独立的。
f ( x1 , x2 xn , t1 , t 2 t n ) f（x1，t1）f（x2，t 2） f（xn，t n）
• 高斯过程通过线性系统、其输出也是高斯过程
a
1 f ( x )dx 2
一维高斯分布的数值计算
• 在通信系统中，通常需要计算随机变量X大于某常数 的概率：
高斯随机过程、高斯白噪声和带限白噪声
带限白噪声在信号处理中常被用作测试信号 或输入信号，用于评估滤波器、频谱分析等 算法的性能。
05
总结与比较
三种随机过程的比较
高斯随机过程
具有高斯分布的随机变量序列，其概率密度函数为正态分布。 具有连续的均值和方差，且各变量之间存在线性关系。
高斯白噪声
一种特殊的随机过程，具有高斯分布的随机变量，且各变量之 间相互独立。其功率谱密度为常数，即具有平坦的频率特性。
04
带限白噪声
带限白噪声的定义
01
带限白噪声是指在一定带宽限制 下，功率谱密度均匀分布的随机 信号。
02
它是一种理想化的模型，用于描 述在特定频率范围内具有恒定功 率密度的随机信号。
带限白噪声的性质
功率谱密度
带限白噪声的功率谱密度 在整个频率范围内是恒定 的，表示其具有均匀的频 率分布。
随机性
适用于描述具有平坦频率特性的信号，如通信系统中的噪声干扰。优点
是功率谱密度计算简单，缺点是难以描述具有特定频率特性的现象。
03
带限白噪声
适用于描述在一定频率范围内具有恒定功率谱密度的信号，如音频信号
中的噪声成分。优点是能够描述特定频率范围内的信号特性，缺点是计
算功率谱密度时需要考虑边界条件。
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在统计学中，许多重要的分布都 可以通过高斯随机过程进行建模 和推断。
在物理和工程领域，许多自然现 象和人工系统都可以用高斯随机 过程进行描述和分析。
03
高斯白噪声
高斯白噪声的定义
总结词
高斯白噪声是一种随机信号，其特点是具有高斯分布的幅度和均匀分布的频率。
详细描述
高斯白噪声是指其幅度服从高斯分布（也称为正态分布）的随机信号。同时， 它的功率谱密度是均匀分布的，这意味着它的频率成分是均匀分布在整个频带 内的。
第5章高斯随机过程ppt课件
二、高斯随机过程
✓高斯过程是二阶矩过程 E[ X 2 (t)] ✓严格平稳和广义平稳等价
✓相互独立和互不相关等价
✓特征函数
n(v1,v2,
, vn;t1,t2,
, tn )
exp
j
n i1
aivi
1 2
n i1
n
CX
k 1
(ti ,tk )vivk
高斯随机过程
一、多维高斯随机变量 二、高斯随机过程 三、窄带平稳实高斯随机过程 四、随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和 五、Ｘ2分布及非中心Ｘ2分布 六、维纳过程
一、多维高斯随机变量
1、一维分布 x ~ N(a, 2 )
1
(x a)2
f (x)
exp{
}
2
2 2
x
+
F (x) P( X x) f ( )d
2
1
四、随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和
设随机相位正弦波加窄带平稳高斯过程之和为
Y (t) s(t) N(t)
式中 s(t) B cos[0t ] B cos0t cos B sin 0t sin
N(t)为窄带噪声，是一个平稳高斯过程
N (t) An (t) cos[0t n (t)] Nc (t) cos0t Ns (t) sin 0t
并将其称为具有n个自由度的Ｘ2变量，其概率分布为Ｘ2分
布
五、Ｘ2分布及非中心Ｘ2分布
1、Ｘ2分布
Ｘ2的概率密度函数为
f
(s)
1
2
n 2
(
n
)
n 1 s
s2 e 2,s
0
高斯随机过程的定义
➢ x1(t)、x2(t)、…、xn(t)都是确定的时间的函数，称它们为随机 过程的样本或实现。在一次试验中，随机过程必取一个样本，但 究竟取哪个样本，则带有随机性。
➢ 当 t 固 定 在 某 一 时 刻 t1 时 ， 各 个 样 本 的 取 值 为 x1(t1) 、 x2(t1) 、…、 xn(t1)，是确定的，这时随机过程x(t)就是一般意 义下的随机变量x(t1) 或记为X1。 当t取t2,t3，…，tn时，随机 过程就是一簇随机变量X2、X3、…、Xn。而这一簇随机变量是随 时间t变化的--为随机过程。
2sinθ的均方值：
π
E[( 2sinθ2)]
( 2 sin θ2)f( θ ) d θ
4 sin2θ
1 2π
dθ
π
π
1 π
( 1 cos2θd) θ
1 π
[θ
1 2
s
i
n
2
θ
]
|θθ
π π
2
π
或：E[(2sin )2 ] E[4sin2 )] 2E[1 cos 2 ] 2
2sinθ的方差： D[2sin ] E[(2sin )2 ] E2[2sin ] 2
若f(x,y)=f(x)f(y) , 则称X、Y相互统计独立。
也满足： RXY= E[XY]= E[X] E[Y]及CXY= rxy=0
若X与Y不相关，不一定统计独立。
不相关的充要条件为：CXY= rxy=0 …协方差为0
例3.1-1 随机过程X(t)取离散值2，5，8，概率分别为0.5、 0.2、0.3，求该随机过程的方差。
2/3
② F(-∞)=0， F(∞)=1
1/3 1/6 1/12 0
信号与系统预备知识
宽平稳和严平稳
平稳随机过程的自相关函数：
性质：
lim a x(t)
1
T /2
x(t)dt
T T
T / 2
lim R( ) x(t)X (T )
1
T /2
x(t) X (T )dt
T T
T / 2
如果平稳随机过程依概率1使下式成立：
aa
R( ) R( )
高斯过程的定义
若随机过程 (t) 的任意n维（n＝1，2， …)分布都服从正态，则称它为高斯过程。
fn x1,x2, ,xn;t1,t2, ,tn
2
1
n 2 1 2 n
B
1 2
exp
1
2B
n j 1
非周期信号
F () f t e jt dt
f t
1
F e jt d
2
非周期信号的频谱为连续频谱。
2
矩形脉冲信号的频谱具有等间隔零点，零点间隔为 ；而 且能量绝大部分集中在频谱的主瓣（低频部分），常以主瓣 的宽度作为信号的带宽，其带宽为：B 1（Hz）
傅里叶变换的性质
1、对偶性：
二维随机变量：
均方差： CXY EX EX Y EY EXY aX aY
随机过程
• 自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类 • 确定性过程。
– 其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规 律。
– 用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间t的 确定函数来描述。
• 随机过程。 – 没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果 没有一个确定的变化规律。 – 用数学语言来说， 这类事物变化的过程不可能用一个或 几个时间t的确定函数来描述。 – 随机信号和噪声统称为随机过程。
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2 B j1 k 1 jk
j
k
式 中 ：ak
E
（t
k）；
2 k
E（tk） ak 2
B为归一化协方差矩阵
高斯随机过程：重要性质
• 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。
– 只需要其数字特征，就可以确定高斯过程
• 对高斯过程：广义平稳与狭义平稳等价
随机过程通过线性系统
• 平稳随机过程通过线性时不变系统时，关系仍然成立
线性时不变系统
（t）
E （t）
R（ ） P（ ）
h（t）
H（）
（t） （t） h（t）
（t）
E（t）
R（ ） P（ ）
？
h（）（t ）d
随机过程通过线性系统
• 输出过程的数学期望
E[（t）]
E
h( ) (t
)d
h(
Hale Waihona Puke )E (t)da
h( )d
a
h( )e j0 d
a H（0）
输入直流分量 与直流增益的积
随机过程通过线性系统
• 输出过程的自相关函数
R（ t1，t2） E[（t1）（t2）]
E
h(u) (t1
u)du
h(v) (t2
v)dv
h(u)h(v)E (t1 u) (t2 v) dvdu
R（t1，t2） E[ t1 t2 ]
x1 x2 f2 ( x1 , x1，t1，t2 )dx1d x2
2.3 随机信号分析
• 2.3 随机信号分析
– 随机过程基础 – 高斯随机过程 – 随机过程通过线性系统 – 窄带随机过程 – 正弦波加窄带高斯噪声
随机过程（噪声信号）示例
为什么研究高斯过程
R n0 ( )
2
高斯白噪声
如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯
白噪声。 由R n0 ( )可以看出，高斯白噪声在任
意两个不同时刻上的2取值之间，是统计独立的。
应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在 实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分 布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就 可以把它视为白噪声。
2.3 随机信号分析
• 2.3 随机信号分析
– 随机过程基础 – 高斯随机过程 – 随机过程通过线性系统 – 窄带随机过程 – 正弦波加窄带高斯噪声
随机过程通过线性系统
• 确知信号通过线性时不变系统时 线性时不变系统
x（t）
X（）
h（t）
H（）
y（t）
Y（）
y（t） x（t） h（t）
Y（） X（）H（）
• 中心极限定理表明：
– 一个随机变量，如果它是很多个相互独立的随机 变量之和，而其中每一个对总和只发生不大的影 响，那么，这一总和的分布就近似于正态分布。
• 高斯过程又称正态随机过程。如通信中的噪 声，分子热运动产生的热噪声等都具有高斯 过程的特性。
• 高斯过程，是研究通信信号、特别是通信噪 声的重要数学模型。
一维高斯分布的数值计算
• 误差函数
• 互补误差函数
• X>2时互补误差 函数近似表示
• Q函数与误差函 数关系
erf ( ) 2 et2 dt
0
erfc（） 2 et2 dt
1 erf（）
erfc( ) 1 e 2
Q( ) 1 erfc( )
2
2
一维高斯分布的数值计算
•例
E[ξ(t)]=m
D[ξ(t)]=σ2
R（）
如果各态历经
用时间平均代替集平均
aa
2 2
R( ) R( )
数字特征的计算
•数学期望 E[ (t )] m(t ) xf1( x, t )dx
•方差 •相关函数
D[（t）] （2 t） E（t） E[（t）]2
x2 f1( x, t)dx [m(t)]2
• 如果高斯过程中的随机变量之间互不相关，则他们是 统计独立的。
f ( x1, x2 xn , t1, t2 tn )
f（x1，t1）f（x2，t
）
2
f（xn，tn）
• 高斯过程通过线性系统、其输出也是高斯过程
一维高斯分布*
f (x)
1
2
exp(
(
x
2
a
2
)
2
)
aa==+0/，-2，=1 =0.8/1.2
一维高斯分布*
f (x)
1
2
exp(
(
x
2
a
2
)
2
)
f ( x)dx 1
a
1
f ( x)dx f ( x)dx
a
2
一维高斯分布的数值计算
• 在通信系统中，通常需要计算随机变量X大于某常数
的概率：
P（X C )
f ( x )dx
C
无法直接 计算出
1
( x a)2
C
2
e xp
2 2
dx
z
xa
P（X C )
C a
1
z2
2
e xp
2
dz
Q( )
1
z2
2
e xp
2
dz
查Q数值 计算表
P（X
C)
Q
C
a
一维高斯分布的数值计算
• Q函数的意义
Q( ) 1
面积=Q（）
Q(0) 1
2
Q() 0
Q( ) 1 Q( ), 0
查Q函数表可以求出概率
误码率 1错成0的概率加0错成1的概率， 已知均值、方差，查Q表即可求出
0
1
1->0 0->1
白噪声
信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声，
它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
P（ ）
n0 2
这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机
过程。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫。白噪声的自 相关函数可借助于下式求得，即
随机过程（噪声信号）示例
利用随机过程基础解决通信中问题
随机过程ξ(t)（噪声、信号）
统计、观测、计算
数学期望
方差
相关函数
E[ξ(t)]
D[ξ(t)]
R（t ，t+）
最终求出功率通谱信，系从统而中获所得遇了到频的率信域号
如果上平的稳功率分布与，噪获声得一其般与带都时宽能间、满起功足点率各无性态关
能，达到了研历究经通条信件系统的目的
h(v)h(u)R ( u v)dudv
h( ) h( ) R ( )
输出也是平稳 过程
随机过程通过线性系统
• 输出过程的功率谱密度
R（ ） h( ) h( ) R ( ) P（ ） H（ ）H（）P（ ） H（）2 P（ ）
高斯随机过程：定义
若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正 态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维 正态概率密度函数表示如下：
f ( x1, x2 xn , t1 , t2 tn )
2
1
n/ 2 1 2 n B 1/ 2
• exp[ 1
n
n
B
( x j ak )( xk ak )]