江苏省苏州市五市三区届高三期中考试数学试题

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2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={x|−2≤x ≤3}，N ={x|log 2x ≤1}，则M ∩N =( )A. [−2,3]B. [−2,2]C. (0,2]D. (0,3]2. 若a >0，b >0，则“ab <1”是“a +b <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tanα=34，则1+sin2α1−2sin 2α=( )A. −17B. −7C. 17D. 74. 函数f(x)=(3x −x 3)sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −58B. 14C. 18D. 1186. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x.叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=lnx ，ℎ(x)=x 3−1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为( )A. α≥βB. a >βC. α≤βD. α<β7. 已知函数f(x)=Asin(ωx −π6)(A >0,ω>0)，直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，则A =( )B. 2C. √2D. 2√3A. 2√338.设数列{a m}(m∈N∗)，若存在公比为q的等比数列{b m+1}(m∈N∗)，使得b k<a k<b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是()A. 数列{b5}：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B. 若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有a1<⋯<a k−1<a k<⋯<a n和b1<⋯<b k−1<b k<⋯<b n<b n+1成立，其中2≤k≤n，k∈N∗C. 数列{a3}：−3，−1，2存在“等比分割数列”{b4}D. 数列{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,…,10)，若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈(2,2109)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）=2−i(i为虚数单位)，设复数z=(a+1)+(a−1)i，则下列9.已知实数a满足3−ai1+i结论正确的是()A. z为纯虚数B. z2为虚数C. z+z−=0D. z⋅z−=410.已知不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是()A. −1B. 3C. 2D. 011.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则()A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小值为−1,π)单调递增C. f(x)在[−2π,2π]上有4个零点D. f(x)在区间(π212.如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则()A. CP的最小值为√32B. 当P在直线AE上运动时，三棱锥D−BPF的体积不变C. PD+PF的最小值为√2−√2D. 三棱锥A−DCE的外接球表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =me x +xlnx 在x =1处的切线方程为y =3x +n ，则n =______． 14. 已知数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 3+3a 7=0，则使S n >0的最大整数n 的值为______．15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素)，则水池面积最大值为______平方米．16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1−x)=f(x)，则f(x)的最小正周期为______；若对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，则关于x 的不等式f(x)≤sinπx 在区间[−32,32]上的解集为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sin(x +π4))，向量b ⃗ =(cosx,√62(cosx −sinx))，记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R)． (1)求f(x)表达式；(2)解关于x 的不等式f(x)≥1．18. 在下列条件：①数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n 2−a n }为常数列，②S n =12(a n +n +1)(n ∈N ∗)，③a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，______． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ； (2)设b k =1S 2k ⋅S 2k+1(k ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <34(n ∈N ∗)．19.在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD=4．(1)若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；(2)若BD=2AD，求△ABC的面积．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．(1)求证：PC⊥BD；(2)若二面角P−BC−A大小为45°，求棱锥C−AMN的体积．−alnx(a>0)．21.已知函数f(x)=ax−1x(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=lnx−x+2sinx，f′(x)为f(x)的导函数，求证：(1)f′(x)在(0,π)上存在唯一零点；(2)f(x)有且仅有两个不同的零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M={x|−2≤x≤3}=[−2,3]，N={x|log2x≤1}=(0,2]，则M∩N= (0,2]．故选：C．先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．本题考查描述法、区间的定义，以及对数不等式的解法和交集的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a>0，b>0，⇒∵ab<1，令a=4，b=18，则a+b>1，∴充分性不满足．⇐当a+b<1时，0<a<1且0<b<1，所以ab<1，∴a>0，b>0，ab<1a+b<1的必要不充分条件，故选：B．判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．本题考查了充分、必要条件的判断，可以列举出满足条件的具体数进行判断，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为tanα=34，所以1+sin2α1−2sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α=tan 2α+1+2tanα1−tan 2α=(34)2+1+2×341−(34)2=7．故选：D ．由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin 2α用tanα表示，再求值即可．本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵f(−x)=(−3x +x 3)sin(−x)=(3x −x 3)sinx =f(x)， ∴f(x)为偶函数，排除选项C ；当0<x <√3时，3x −x 3>0，sinx >0，∴f(x)>0，当√3<x <π时，3x −x 3<0，sinx >0，∴f(x)<0，故选：A ．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B ，再对比剩下选项，需考虑0<x <√3和√3<x <π时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．由题意画出图形，把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18．故选：C ．6.【答案】D【解析】解：g(x)=lnx 定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x ，由题意得：lnα=1α，令t(x)=lnx −1x ，x ∈(0,+∞)，则α为函数t(x)=lnx −1x 的零点，t′(x)=1x +1x 2>0，所以t(x)=lnx −1x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，又t(1)=−1<0，t(e)=1−1e >0，由零点存在性定理，α∈(1,e)．另外ℎ(x)=x 3−1，ℎ′(x)=3x 2，由题意得：β3−1=3β2，令s(x)=x 3−1−3x 2，则β为函数s(x)=x 3−1−3x 2的零点，s′(x)=3x 2−6x ，令s′(x)>0得：x >2或x <0，令s′(x)<0得：0<x <2，所以s(x)=x 3−1−3x 2单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)， s(x)在x =0处取得极大值，s(0)=−1<0，在x =2处取得极小值，故s(x)在(−∞,2)上无零点，因为函数在(2,+∞)上单调递增，且s(3)=27−1−27<0，s(4)=64−1−48>0，由零点存在性定理：β∈(3,4) 所以α<β．故选：D ．对g(x)=lnx 求导，构造函数t(x)=lnx −1x ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α∈(1,e)；同样的方法求出β∈(3,4)，得到答案．本题主要考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调性的方法，函数零点存在定理及其应用等知识，属于中等题．7.【答案】B【解析】解：设函数周期为T ，由直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，易知a 2k+1−a 2k−1=T ，因为a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，所以a 2k −a 2k−1=13T ，令顶点为(m,A)，所以m −a 2k−1=T6，所以a 2k−1到左边零点的距离为T12，将y =sinx 与y =Asin(ωx −π6)相对比，确定1与A 两个最大值的比例，当x ∈[0,π2]时，π2×T 12T 6+T 12=π6，所以1A =sinπ6sin π2=12，所以A =2，故选：B ．由正弦型函数的图象易知a 2k+1−a 2k−1=T ，结合条件可得a 2k −a 2k−1=13T ，设出顶点坐标，结合图象找到对应比例可求得A ．本题考查了y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，数列{b 5}：2，4，8，16，32，数列{a 4}：3，7，12，24，因为2<3<4<7<8<12<16<24<32，所以{b5}是{A4}的一个“等比分割数列”，故A正确；对于B，因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，所以b k<a k<b k+1，k=1，2，…，n，则b k+1<a k+1<b k+2，所以b k<a k<b k+1<a k+1，故b k<b k+1，a k<a k+1，所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列，故B正确；对于C，假设存在{b4}是{a3}：−3，−1，2的“等比分割数列”，所以b1<−3<b2<−1<b3<2<b4，因为−3<b2<−1，b1<−3，故q=b2b1∈(0,1)，q=b3b2∈(0,1)，因为−3<b2<−1，所以−1<b3<0，因为b4<2，则q=b4b3<0，产生矛盾，故假设不成立，故C错误；对于D，{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,...,10)，{b11}的首项为1，公比为q(q>1)，所以b n=q n−1，n=1，2， (11)因为b n<a n<b n+1，n=1，2， (10)则q n−1<2n<q n，n=1，2， (10)故2<q<2n n−1，n=2， (10)因为2n n−1=21+1n−1关于n单调递减，所以2<q<2109，即q∈(2,2109)，故D正确．故选：C．利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了数列的综合应用，考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．9.【答案】ACD【解析】解：∵3−ai1+i=2−i，∴3−ai=(2−i)(1+i)=3+i，∴a=−1，∴z=−2i，∴z为纯虚数，故选项A正确，∴z2=(−2i)2=−4，为实数，故选项B错误，∴z+z−=−2i+2i=0，故选项C正确，∴z⋅z−=(−2i)×2i=4，故选项D正确，故选：ACD．利用复数的四则运算求解．本题主要考查了复数的四则运算，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，∴△=4a2+4(b−1)=0，即a2=1−b≥0，∴b≤1，故选：AD．由不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，得到△=0，求出b的取值范围即可．本题主要考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A，函数定义域为R，f(−x)=sin|−x|+|cos(−x)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，f(x+2π)=sin|x+2π|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以2π是函数f(x)=sin|x|+|cosx|的一个周期，当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，此时f(x)的最小值为1，当x∈(π2,32π]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，此时f(x)的最小值为−1，当x ∈(3π2,2π]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，此时f(x)的最小值为−1，所以f(x)的最小值为−1，故B 正确；对于C ，当x ∈[0,π2]时，f(x)={sinx +cosx,0≤x ≤π2sinx −cosx,π2<x ≤3π2sinx +cosx,3π2<x ≤2π，令f(x)=0，可得x =5π4，7π4，又f(x)为偶函数，所以f(x)[−2π,2π]上有4个零点，故C 正确；对于D ，当x ∈(π2,π)时，sin|x|=sinx ，|cosx|=−cosx|，则f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)，当x ∈(π2,π),x −π4∈(π4,3π4)，所以函数f(x)在(π2,π)上不具备单调性，故D 错误；故选：ABC ．利用奇偶性定义可判断A ；由f(x +2π)=sin|x +2π|+|cos(x +2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，确定2π为函数f(x)的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B ；由于函数为偶函数，故研究x ∈[0,2π]时函数的零点情况，从而可得[−2π,2π]函数零点情况，可判断C ；确定(π2,π)上函数的解析式，可判断D ．本题考查了分段函数的奇偶性，单调性，周期性，最值等相关知识，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：对于A ，连接DP ，CP ，易得CP =√DP 2+CD 2=√DP 2+1≥√12+1=√62，故A 错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D −BPF 的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD +PF 取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2，故C 错误；对于D ，将该几何体补成正方体，则外接球半径为√32，外接球表面积为3π，故D 正确．故选：BD ．由题可知CP =√DP 2+CD 2，可判断A ；根据条件可知△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，可判断B ；将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，即可判断C ；由正方体的性质可判断D ．本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中等题．13.【答案】−1【解析】解：由y =me x +xlnx ，得y′=me x +lnx +1，则y′|x=1=me +1=3，即me =2，又me =3+n ，∴3+n =2，即n =−1．故答案为：−1．求出原函数的导函数，再由函数在x=1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x=1时的函数值相等列式求解n．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．14.【答案】10【解析】解：数列{a n}是等差数列，a1>0，a3+3a7=0，∴a1+2d+3(a1+6d)=0，解得a1=−5d，d<0，∴S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，∵d<0，n>0，∴S n>0时，n<11，∴使S n>0的最大整数n的值为10．故答案为：10．由等差数列通项公式求出a1=−5d，d<0，从而S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，由此能求出使S n>0的最大整数n的值．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】400【解析】解：由题意，扇形的弧长AB为l=θr，扇形的面积为S=12θr²，由题意400×12θr²+1000(2r+θr)≤24×104；化简得θr2+5(2r+θr)≤1200(∗)；又θr+2r≥2√2θr2，所以θr2+10√2θr2≤1200；设t=√2θr2，t>0，则t 22+10t ≤1200，解得−60≤t ≤40，所以当θr =2r =40时，面积S =12θr²的最大值为400．故答案为：400．求出扇形的面积，得到关于θ，r 的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值．本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了扇形的面积，考查了基本不等式运用以及最值的计算问题，是中档题．16.【答案】2 [−1,0]∪[1,32]【解析】解：因为f(1−x)=f(x)，且f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，则f(1−x)=−f(−x)，则f(2−x)=−f(1−x)=f(−x)，所以f(x)的最小正周期为2；因为对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，不妨设x 1>x 2，则f(x 1)−f(x 2)>πx 1−πx 2，故f(x 1)−πx 1>f(x 2)−πx 2，故函数y =f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，所以当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥f(0)−π×0=0，令g(x)=sinπx ，则y =sinπx −πx ，因为y′=πcosπx −π≤0，所以y =sinπx −πx 是单调递减函数，当x ∈[0,12]时，g(x)−πx =sinπx −πx ≤g(0)−0=0，即当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥g(x)−πx ，故f(x)≥g(x)，由对称性以及周期性作出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示，所以f(x)≤sinπx在区间[−32,32]上的解集为[−1,0]∪[1,32]．利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f(2−x)=f(−x)，利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y=f(x)−πx在[0,12]上为增函数，从而f(x)−πx≥0，令g(x)=sinπx，由y=sinπx−πx是单调递减函数，得到g(x)−πx≤0，从而f(x)≥g(x)，作出f(x)与g(x)的图像，即可得到答案．本题考查了函数性质的综合应用，函数的周期性以及奇偶性定义的理解与应用，函数单调性定义的应用，利用导数研究函数单调性的运用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a⃗=(2sinx,2sin(x+π4))，b⃗ =(cosx,√62(cosx−sinx))，f(x)=a⃗⋅b⃗ =(2sinx,2sin(x+π4))⋅(cosx,√62(cosx−sinx))=2sinxcosx+2×√6 2sin(x+π4)(cosx−sinx)=2sinxcosx+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由(1)得2sin(2x+π3)≥1，所以sin(2x+π3)≥12，即π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,(k∈Z)，解得−π12+kπ≤x≤π4+kπ,(k∈Z)，所以不等式解集为[−π12+kπ,π4+kπ],(k∈Z)．【解析】(1)由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f(x)的表达式； (2)由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集．本题考查了三角函数的恒等变换，解三角不等式，属于基础题．18.【答案】解：(1)选条件①时，数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n2−a n }为常数列，所以a n 2−a n =a 12−a 1=2，解得a n =2或a n =−1；所以数列{a n }为2，−1，2，−1，2，−1，.......，所以a n +a n−1=1(n ≥2)，即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)，所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列；所以a n −12=32×(−1)n−1，整理得a n =12+32⋅(−1)n−1；故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件②时，S n =12(a n +n +1)，所以S n−1=12(a n−1+n −1+1)，上面两式相减得：a n =12a n −12a n−1+12，整理得a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)，所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列；所以a n −12=32×(−1)n−1，整理得a n =12+32⋅(−1)n−1；故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件③时，a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，转换为S n+1−S n−1=1(常数)，即a n+1+a n =1，所以所以a n +a n−1=1(n ≥2)，即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)，所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列；所以a n −12=32×(−1)n−1，整理得a n =12+32⋅(−1)n−1；故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．(2)由(1)得：S 2k =3+2×2k4+34⋅(−1)2k−1=k ，S 2k+1=3+2×(2k+1)4+34⋅(−1)2k+1−1=k +2，所以：b k =1S2k ⋅S 2k+1=1k(k+2)=12(1k −1k+2)，所以T n =12(1−13+12−14+13−15+...+1k −1k+2)=12(1+12−1k+1−1k+2)=34−12(1k+1+1k+2)<34．【解析】(1)选条件①时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件②时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件③时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；(2)利用(1)的结论，进一步利用数列的求和及裂项相消法和放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，裂项相消法和放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，∴CD是△ABC的中线，角平分线，高线，∴CD⊥AB，CD=AD，∴S△BCD=12×4×4=8，又S△CDE=4=12S△BCD，∴E为CB中点．解：(2)作CF⊥AB于F，∴∠AFC=∠BCF=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=BF=AF=12AB，在直角三角形CFD中，CD2=CF2+DF2=CF2+(AF−AD)2，设AD=x，∴BD=2AD=2x．∴AB=AD+BD=3x，∴CF=AF=BF=12AB=32x，∴CD2=CF2+(AF−AD)2，∴42=(32x)2+(32x−x)2，解得x=4√105，则AB=12√105，CF=6√105，∴S△ABC=12AB⋅CF=12×12√105×6√105=725．【解析】(1)由等腰三角形的性质证明即可，(2)设出AD的长，再在三角形CFD中应用勾股定理求解出AD，再求AB及面积即可．本题考察等腰三角形的性质的应用，及勾股定理，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AC=2，BC=1，∠ACB=60°，AC=2，所以AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cos60°，整理得AC2=AB2+BC2，所以AB⊥BC，因为CD=1，∠CAD=30°，AC=2，所以CDsin30∘=ACsin∠ADC，所以sin∠ADC=1，所以∠ADC=90°，所以AD⊥CD，所以∠ACD=∠ACB=60°，所以BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PC在平面ABCD内投影是AC，所以PC⊥BD．(2)解：由(1)知BD⊥平面PAC，设点M到平面PAC距离为ℎ，因为BO=BC⋅sin60°=√32，又因为PB=3MB，所以ℎ=BO⋅23=√33，因为PB在平面ABCD内的投影是AB，BC⊥AB，所以BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P−BC−A的平面角，所以∠PBA=45°，所以PA=AB=AC⋅sin60°=√3，V C−AMN=V M−ANC=13⋅S ANC⋅ℎ=13⋅12⋅S PAC⋅ℎ=13⋅12⋅12⋅AC⋅AP⋅ℎ=16．【解析】(1)只要证明BD垂直于PC在平面ABCD内的投影AC即可；(2)用等体积法求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了四面体体积问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=a+1x2−ax=ax2−ax+1x2，令f′(x)=0，则ax2−ax+1=0，①当△=a2−4a≤0，即0<a≤4时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，无递减区间；②当△=a2−4a>0，即a>4时，方程ax2−ax+1=0的解为x=a±√a2−4a2a，且当0<x<a−√a2−4a2a 和x>a+√a2−4a2a时，f′(x)>0，f(x)递增，当a−√a2−4a2a<x<a+√a2−4a2a时，f′(x)<0，f(x)递减，综上，当0<a≤4时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>4时，f(x)的单调递增区间为(0,a−√a2−4a2a ),(a+√a2−4a2a)，单调递减区间为(a−√a2−4a2a ,a+√a2−4a2a)；(2)若f(x)有两个极值点，由(1)知，a>4，且x1，x2是方程ax2−ax+1=0的两个不等的实数根，∴x1+x2=1,x1x2=1a，∴不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2即为ax1−1x1−alnx1+ax2−1x2−alnx22>12a−2−aln12+am，∴a(x1+x2)−x1+x2x1x2−aln(x1x2)>a−4+2aln2+2am，∴a−a−aln1a >a−4+2aln2+2am，即2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a −2ln2−1，则ℎ′(a)=1a−4a2=a−4a2>0，∴ℎ(a)在(4,+∞)上单调递增，则ℎ(a)>ℎ(4)=0，∴m≤0，即实数m的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)对函数f(x)求导，令f′(x)=0，然后分0<a≤4及a>4讨论导函数与零的关系，进而得到单调性情况；(2)依题意，x1+x2=1,x1x2=1a ，则原不等式可转化为2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a−2ln2−1，求出ℎ(a)的最小值即可得到实数m的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分离参数思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx，当x∈(0,π)时，g′(x)=−2sinx−1x2<0，所以g(x)在(0,π)上单调递减，又因为g(π3)=3π−1+1>0，g(π2)=2π−1<0，所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点α，即f′(x)在(0,π)上存在唯一的零点α；(2)①由(1)可知，当x∈(0,α)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x∈(α,π)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以f(x)在x∈(0,π)上存在唯一的极大值点α，且α∈(π3,π2 )，所以f(α)>f(π2)=lnπ2−π2+2>2−π2>0，又因为f(1e2)=−2−1e2+2sin1e2<−2−1e2+2<0，所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点，又因为f(π)=lnπ−π<2−π<0，所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点；②当x∈[π,2π)时，sinx≤0，f(x)≤lnx−x，设ℎ(x)=lnx−x，则ℎ′(x)=1x−1<0，故ℎ(x)在[π,2π)上单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(π)<0，故当x∈[π,2π)时，f(x)≤ℎ(x)≤ℎ(π)<0恒成立，所以ℎ(x)在[π,2π)上没有零点；③当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤lnx−x+2，令m(x)=lnx−x+2，则m′(x)=1x−1<0，故m(x)在[2π,+∞)上单调递减，所以m(x)≤m(2π)<0，则当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤m(x)≤m(2π)<0恒成立，所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点．综上所述，f(x)有且仅有两个零点．【解析】(1)设g(x)=f′(x)，利用导数研究函数g(x)的单调性，然后由零点的存在性定理证明即可；(2)分x∈(0,π)，x∈[π,2π)，x∈[2π,+∞)三种情况，分别利用导数研究函数的单调性以及函数的取值情况，结合零点的存在性定理进行分析证明即可．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，利用导数研究函数单调的运用，函数零点存在性定理的运用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．。

江苏省苏州市部分重点中学届高三期中考试数学试卷[1]

江苏省苏州市部分重点中学届高三期中考试试卷数学 .11本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知平面向量(2,1)=a ，(,2)x =-b ，且//a b ，则x 的值为()A ．4-B ．1-C ．1D ．4(2)已知集合{}lg(3)A x y x ==-，{}2x y y =，则AB =() A ．(0,)+∞B ．(3,)+∞C ．RD ．∅(3)已知函数()3sin()12f x x =--，则下列命题正确的是() A ．()f x 是周期为1的奇函数 B ．()f x 是周期为2的偶函数 C ．()f x 是周期为1的非奇非偶函数D ．()f x 是周期为2的非奇非偶函数(4)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25815a a a ++=，则9S 等于( )A ．18B ．36C ．45D ．60(5)函数1()31)3f x x x =-+≥-的反函数( )A ．在1[,)3-+∞上单调递增B ．在1[,)3-+∞上单调递减C ．在(,0]-∞上单调递增D ．在(,0]-∞上单调递减(6)设A B U 、、均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误．．的是 ()A ．()U AB U =B ．()U A B =∅C ．()()U U A B U =D ．()()U U UA B B =(7)命题p ：3x <-是12x +>的充分不必要条件；命题q ：在ABC △中，如果sin cos A B =，那么ABC △为直角三角形．则 ()A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 假q 真D ．p 真q 假(8)设函数1(0)()0(0)1(0)x f x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，则当a b ≠时，()()2a b a b f a b ++-⋅-的值应为( )A ．aB ．bC ．,a b 中的较小数D ．,a b 中的较大数(9)函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是()A B C D(10)在ABC △中，2,7,3AB BC AC ===，则AC 边上的高为()A 3B 332C ．1D ．32(11)已知函数(1)f x +为奇函数，函数(1)f x -为偶函数，且(0)2f =，则(4)f ＝()A ．2B ．2-C ．4D ．4-(12)为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a 与其前三个月的市场收购价格有关，且使a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：月份 1 2 3 4 5 6 7 价格(元/担)68 78 67 71 72 70则7月份该产品的市场收购价格应为 ()A ．69元B ．70元C ．71元D ．72元第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应的位置上． (13) 若tan 2=-，则tan()4+= ▲ ．(14) 函数21()log (2)3x y x =-+在区间[1,1]-上的最大值为 ▲ ．(15) 已知平面向量(2,1),(3,)k ==a b ，若(2)-⊥a b b ，则实数k = ▲ ．(16) 已知集合220(1)x a A x x a ⎧⎫-⎪⎪=<⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭，{}57B x x a =<+，若A B B =，则实数a 的取值范围是 ▲ ．(17) 已知tan ,cot 分别是关于x 的二次方程20(0,0)x px q p q ++=>>的两实根的等差中项和等比中项，则,p q 满足的关系式为 ▲ ．(18) 若()f n 为21n +的各位数字之和()n *∈N ．如：因为2141197,19717+=++=，所以(14)17f =．记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，……，1()(())k k f n f f n +=，k *∈N ，则2005(8)f ＝ ▲ ．三．解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (19) (本小题满分12分)设函数()f x =⋅a b ，其中向量(2cos ,1),(cos ,32)x x x ==a b ，x ∈R ．(Ⅰ)求函数()f x 的单调减区间； (Ⅱ)若[,0]4x ∈-，求函数()f x 的值域；(Ⅲ)若函数()y f x =的图象按向量(,)m n =c ()2m <平移后得到函数2sin 2y x =的图象，求实数,m n 的值．(20) (本小题满分12分)在ABC △中，2AB AC AB AC ⋅=-=． (Ⅰ)求22AB AC +的值；(Ⅱ)当ABC △的面积最大时，求A ∠的大小．(21) (本小题满分14分)设函数()()()(,)f x x x a x b a b =--∈R ．(Ⅰ)若2b =，证明函数()f x 有两个不同的极值点12,x x ，并且221253x x +≥； (Ⅱ)若(0)a b a =≠，且当0,1x a ∈⎡+⎤⎣⎦时，2()2f x a <恒成立，求a 的取值范围．(22) (本小题满分14分)某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：方案类别基本费用超时费用甲包月制70元乙有限包月制（限60小时） 50元 0.05元/分钟（无上限）丙有限包月制（限30小时） 30元 0.05元/分钟（无上限）假定每月初可以和电信部门约定上网方案．(Ⅰ)若某用户每月上网时间为66小时，应选择 ▲ 方案最合算；(Ⅱ)王先生因工作需要在家上网，所在公司预测其一年内每月的上网时间T (小时)与月份n的函数关系为3237()(112,4n T f n n n +==≤≤∈N)．若公司能报销王先生全年上网费用，问公司最少会为此花费多少元？(Ⅲ)一年后，因公司业务变化，王先生每月的上网时间T (小时)与月份n 的函数关系为3()10()30,5n T g n n *==+∈N ．假设王先生退休前一直从事此项业务，公司在花费尽量少的前提下，除为其报销每月的基本费用外，对于所有的超时费用，公司考虑一次性给予补贴a 元，试确定最合理的a 的值，并说明理由．(23) (本小题满分14分)已知函数2()(,)x a f x b c bx c *+=∈-N ，并且(0)0f =，(2)2f =，1(2)2f -<-．(Ⅰ)求,,a b c 的值；(Ⅱ)是否存在各项均不为零的数列{}n a ，满足14()1n nS f a =(n S 为数列{}n a 的前n 项和)．若有，写出数列的一个通项公式n a ，并说明满足条件的数列{}n a 是否唯一确定；若无，请说明理由．江苏省苏州市部分重点中学届高三期中考试试卷数学参考答案及评分标准说明：1.本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细则．2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：每小题5分，满分60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABBCDCDCDABC二．填空题：每小题4分，满分24分．(13)13-(14)3 (15)3或1- (16)[1,6]-(17)1q =(18)11三．解答题：(19)本小题满分12分．解：(Ⅰ)2()2cos 32f x x x =- ……………………………………………………………1分3sin 2cos21x x =++52sin(2)16x =++．……………………………………………………………2分令 53222,262k x k k +≤+≤+∈Z ，…………………………………………3分得 ,63k x k k -≤≤+∈Z ．因此，函数()f x 的单调减区间为[,],63k k k -+∈Z ．………………………5分(Ⅱ)当[,0]4x ∈-时，552[,]636x +∈，………………………………………………6分∴ 51sin(2)[,1]62x +∈．……………………………………………………………7分因此，函数()f x 的值域为[2,3]．……………………………………………………8分 (Ⅲ)函数()y f x =的图象按向量(,)m n =c ()2m <平移后得到的图象对应的函数是5()2sin(22)16y f x m n x m n =-+=-+++．……………………………………10分令 520,106m n -+=+=，得 5,112m n =-=-．…………………………………12分(20)本小题满分12分．解：(Ⅰ)由已知得222,2 4.AB AC AB AB AC AC ⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩……………………………………………………………3分因此，228AB AC +=．……………………………………………………………… 4分 (Ⅱ)2cos AB AC A AB ACAB AC⋅==⋅⋅，…………………………………………………………6分1sin 2ABC S AB AC A =⋅△ 211cos 2AB AC A =⋅-222221cos 2AB AC AB AC A =⋅-⋅ 22142AB AC ⋅- (8)分2221422AB AC ⎛⎫+ ⎪≤- ⎪ ⎪⎝⎭3=．…………………………………………………10分（当且仅当2AB AC ==时，取等号）…………………………………………11分当ABC △31cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅，3A ∠=．………………12分(21)本小题满分14分．解：(Ⅰ)当2b =时，32()()(2)(2)2f x x x a x x a x ax =--=-++．2()32(2)2f x x a x a '=-++．……………………………………………………………1分∵ 2224(2)244(24)4(1)120a a a a a =+-=-+=-+>，∴ 方程()0f x '=有两个不等的实数根12,x x ．…………………………………………3分不妨设12x x <，则 12()3()()f x x x x x '=--．当1x x <时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<；当2x x >时，()0f x '>． ∴ 1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点．……………………………………4分并且，2222221212124444155()2(2)(4)()9399233x x x x x x a a a a a +=+-=+-=++=++≥．因此，函数()f x 有两个不同的极值点12,x x ，并且221253x x +≥（当且仅当12a =-时取等号）．…………………………………………………………………………………7分 (Ⅱ)当(0)a b a =≠时，232()()2f x x x a x ax ax =-=-+．21()343()()3f x x ax a x a x a '=-+=--．………………………………………………8分①若0a >，则()f x 在1[0,]3a 上增函数，在1[,]3a a 上为减函数，在[,1]a a +上为增函数．()f x 在[0,1]a +上的最大值为1()3f a 与(1)f a +中的较大者．而314()327f a a =，(1)1f a a +=+．由2()2f x a <在[0,1]a +上恒成立，得320,42,2712.a a a a a >⎧⎪⎪<⎨⎪⎪+<⎩ ……………………………………………………………………………9分即2712a <<．……………………………………………………………………………11分②若0a <，则()f x 在[0,1]a -上为增函数．()f x 在[0,1]a -上的最大值为2(1)(1)(12)f a a a -=--．∵ 0a <，∴ 222211,(12)(2)42a a a a a ->->-=>．∴2(1)2f a a ->．因此，0a <不可能．…………………………………………………………………13分综上所述，a 的取值范围是27(1,)2．…………………………………………………14分(22)本小题满分14分．解：(Ⅰ) 乙．……………………………………………………………………………2分(Ⅱ)当30T ≤时，选择丙方案合算；当30T >时，由303(30)50T +-≤，得230363T <≤，此时选择丙方案合算；当236603T ≤≤时，选择乙方案合算；当60T >时，由603(30)70T +-≤，得260663T <≤，此时选择乙方案合算；当2663T ≥时，选择甲方案合算．综上可得：当2(0,36]3T ∈，选择丙方案合算；……………………………………3分当22[36,66]33T ∈时，选择乙方案合算；……………………………………………4分当2[66,)3T ∈+∞时，选择甲方案合算．……………………………………………5分∵3(1)()4f n f n +-=，∴{}()f n 是首项为(1)60f =，公差为34d =的等差数列，且每月上网时间逐月递增．令323726643n T +=≥，得899n ≥．∴前9个月选择乙方案，最后3个月选择甲方案上网花费最少．……………………7分此时，一年的上网总费用为 913237[503(60)]3704n n =++-+⨯∑ 919450(1)2104n n ==+-+∑45081210741=++=．答：一年内公司最少会为王先生花费上网费741元．……………………………………9分(Ⅲ)由3()10()30()5n T g n n *==⨯+∈N 知，(1)36,()30g g n =>，且{}()g n 是递减数列，∴选择丙方案合算．……………………………………………………………………10分若上网n 个月，王先生的超时总费用为 333[()30]30()45[1()]55n nn n k kg n -==-∑∑．……………………………………………13分答：公司考虑一次性给予补贴a 元，最合理的a 的值为45元．……………………14分(23)本小题满分14分．解：(Ⅰ)由(0)0f =，得0a =．由(2)2f =，1(2)2f -<-，得22,(,)41,22b c b c b c *-=⎧⎪∈⎨-<-⎪+⎩N ，即22,(,)28,b c b c b c *-=⎧∈⎨+<⎩N ．……………………………3分解得 2b c ==．因此，0a =，2b c ==．……………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得2()22x f x x =-．当0x ≠且1n a ≠时，2122()f x x x =-，21221()x x f x=-．设存在各项均不为零的数列{}n a ，满足14()1n nS f a =．则2422n n n S a a =-，即22n n n S a a =-（0n a ≠且1n a ≠）．…………………………6分首先，当1n =时，111a S ==-；……………………………………………………7分由 21112n n n S a a +++=-，22n n n S a a =-，得221111222n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=--+，即11()(1)0n n n n a a a a +++-+=．……………………………………………………………9分若 10n n a a ++=，则由11a =-，得21a =，这与1n a ≠矛盾．………………………10分若 110n n a a +-+=，则 11n n a a +-=-．因此，{}n a 是首项这1-，公差为1-的等差数列．通项公式为 n a n =-．综上可得，存在数列{}n a ，n a n =-符合题中条件．…………………………………11分由上面的解答过程可知，数列{}n a 只要满足条件11()(1)0n n n n a a a a +++-+=即可．因此，可以数列一部分满足11n n a a +-=-，另一部分满足10n n a a ++=，且保证0n a ≠且1n a ≠．例如：数列 1,2,2,2,2,2,2,----；数列 1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,-------因此，满足条件的数列不唯一．………………………………………………………14分。

2022-2022学年江苏省苏州市五市三区高三(上)期中数学模拟试卷(一

2022-2022学年江苏省苏州市五市三区高三(上)期中数学模拟试卷(一2022-2022学年江苏省苏州市五市三区高三（上）期中数学模拟试卷（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）命题“ x∈R，x＞x”的否定是_________ ．2．（5分）已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={y|﹣5＜y ＜5}，则M∩N= 3．（5分）设a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的条件．4．（5分）函数5．（5分）求函数y=x+的值域．6．（5分）设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的定义域为_________ ．2的是_________ ．7．（5分）已知函数8．（5分）设a=6﹣0.7则f（log32）的值为，b=log0.70.6，c=log0.67，则a，b，c从小到大的排列顺序为_________ ．9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，x∈[1，2]，则f（x ﹣1）= _________ ．10．（5分）函数的单调减区间为_________ ．11．（5分）设直线y=a分别与曲线y2=x和y=ex交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为_________ ．12．（5分）下列说法：①当x＞0且x≠1时，有；②函数y=ax的图象可以由函数y=2ax（其中a＞0且a≠1）平移得到；③若对x∈R，有f（x﹣1）=﹣f（x），则f（x）的周期为2；④“若x2+x﹣6≥0，则x≥2”的逆否命题为真命题；⑤函数y=f（1+x）与函数y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．其中正确的命题的序号_________ ．13．（5分）若函数y=ax2﹣2ax（a≠0）在区间[0，3]上有最大值3，则a的值是_________ ．14．（5分）已知△ABC的面积为1，点D在AC上，DE∥AB，连接BD，设△DCE、△ABD、△BDE中面积最大者的值为y，则y的最小值为_________ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）（1）已知a＞b＞1且（2）求16．（14分）已知集合A={x|y=（1）求A∩B；（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．17．（14分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k 2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．18．（16分）已知奇函数y=f（x）定义域是[﹣4，4]，当﹣4≤x≤0时，y=f（x）=﹣x2﹣2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求函数f（x）的单调递增区间．19．（16分）如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少（平方百米）？．}，集合B={x|y=lg（﹣x2﹣7x﹣12）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．的值．，求logab﹣logba的值．20．（16分）已知函数f（x）=e+ax，g（x）=elnx．（其中e为自然对数的底数），（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+（e﹣1）y=1垂直，求a的值；（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=﹣1时，是否存在实数x0∈[1，，e]，使曲线C：y=g（x）﹣f（x）在点x=x0 处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．xx2022-2022学年江苏省苏州市五市三区高三（上）期中数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）命题“ x∈R，x＞x”的否定是x∈R，x222．（5分）已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={y|﹣5＜y ＜5}，则M∩N= （﹣3，5）．3．（5分）设a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的4．（5分）函数的定义域为．5．（5分）求函数y=x+的值域（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．6．（5分）设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是④ ．7．（5分）已知函数则f（log32）的值为．8．（5分）设a=60.7，b=log0.70.6，c=log0.67，则a，b，c从小到大的排列顺序为．﹣9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，x∈[1，2]，则f （x﹣1）= x2﹣4x+3，x∈[2，3] ．10．（5分）函数的单调减区间为．11．（5分）设直线y=a分别与曲线y2=x和y=ex交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为．12．（5分）下列说法：①当x＞0且x≠1时，有；②函数y=ax的图象可以由函数y=2ax（其中a＞0且a≠1）平移得到；③若对x∈R，有f（x﹣1）=﹣f（x），则f（x）的周期为2；④“若x+x﹣6≥0，则x≥2”的逆否命题为真命题；⑤函数y=f（1+x）与函数y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．其中正确的命题的序号②③ ．213．（5分）若函数y=ax﹣2ax（a≠0）在区间[0，3]上有最大值3，则a的值是1或﹣3 ．214．（5分）已知△ABC的面积为1，点D在AC上，DE∥AB，连接BD，设△DCE、△ABD、△BDE中面积最大者的值为y，则y的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）（1）已知a＞b＞1且（2）求，求logab﹣logba的值．的值．16．（14分）已知集合A={x|y=（1）求A∩B；（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．}，集合B={x|y=lg（﹣x2﹣7x﹣12）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．17．（14分）已知函数g（x）=ax﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k 2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．2．18．（16分）已知奇函数y=f（x）定义域是[﹣4，4]，当﹣4≤x≤0时，y=f（x）=﹣x﹣2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求函数f（x）的单调递增区间．。

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题1. 集合A ={−1,0,1}，B ={y|y =sinx,x ∈R}则（）A ． A ∩B =BB ． A =BC ． A ∪B =BD ． C R A =B2. 复数z =11+i （i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=A ． 725B ． 15C ． −15D ． −7254. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0∘~90∘之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值，则tan1600∘的值为（）（小数点后保留2位有效数字）5. 定义在区间(0,π2)上的函数y =3cosx 与y =8tanx 的图象交点为P(x 0,y 0)，则sinx 0的值为（）A ． 13 B ． √33C ． 23D ． 2√236. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 均为单位向量，且满足12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（） A ． 38B ． 58C ． 78D ． 1987. 已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +2)=2−f(x)，f(2−3x)为偶函数，若f(0)=0，∑n k=1f(k)=123，则n 的值为（） A ．117B ．118C ．122D ．1238. 已知锐角ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a 2=b 2+bc ，则tanAtanB 的取值范围为（）A ． (1,+∞)B ． (1,√3)C ． (0,1)D ． (√3,+∞)9. 若z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是（）A ． |z 1−z 2|2=(z 1+z 2)2−4z 1z 2B ． z 1−z 1̅ 是纯虚数或零C ． |z 1−z 2|≤|z 1|+|z 2| 恒成立D ．存在复数 z 1 ， z 2 ，使得 |z 1z 2|<|z 1||z 2|10. 函数f(x)=tan(sinx +cosx)，则下列说法正确的是（）A ． f(x) 的定义域为 RB ． f(x) 是奇函数C ． f(x) 是周期函数D ． f(x) 既有最大值又有最小值11. 在ΔABC 中，AC =3,AB =5,∠A =120∘，点D 是BC 边上一点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAC⃗⃗⃗⃗⃗ +yAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列说法正确的是（）A ． BC =7B ．若 x =y =0.5 ，则 AD =√192C ．若 AD =√192 ，则 x =y =0.5D ．当 AD 取得最小值时， x =519812. 已知函数f(x)={x +2x ≤0|lgx|x >0，方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（）A ．函数 f(x) 的零点的个数为2B ．实数 m 的取值范围为 (−∞,32]C ．函数 f(x) 无最值D ．函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增13. 已知向量a =(4,−3)， b ⃗ =(x,6)，且a //b ⃗ ，则实数x 的值为_____ 14. 若函数f(x)=sin(ωx +π6),(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0),(x 0>0)成中心对称，则x 0的最小值为______.15. 函数f(x)=2ax 2−ax ，若命题“∃x ∈[0,1],f(x)≤3−a ”是假命题，则实数a 的取值范围为___________．16. 设ΔABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若b 2+3a 2=c 2，则tanCtanB =______，tanA 的最大值是______.17. 设α∈(0,π)，已知向量a =(√3sinα,1)，b ⃗ =(2,2cosα)，且a ⟂b⃗ ． (1)求sinα的值； (2)求cos(2α+7π12)的值．18. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2⟩的最小正周期为π，且点P(π6,2)是该函数图象上的一个最高点.(1)求函数f(x)的解析式；)个单位长度，得到函数g(x)的图象，g(x)在(2)把函数f(x)的图象向右平移θ(0<θ<π2]上是增函数，求θ的取值范围.[0,π419.已知z是复数，z+i和z都是实数，1−i（1）求复数z；（2）设关于x的方程x2+x(1+z)−(3m−1)i=0有实根，求纯虚数m.20.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB=60∘，点Q在OA上，点M,N在OB上，点P 在弧AB上，设∠POB=θ.（1）若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA,OB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计），使PS⟂OA，PT⟂OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT 最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由.21.ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a=3√2,bsin B+C2=√52asinB．(1)求sinA；(2)如图，点M为边AC上一点，MB=MC,∠ABM=π2，求ΔABC的面积．22.已知二次函数y=f(x)的图象与直线y=−6只有一个交点，满足f(0)=−2且函数f(x−2)是偶函数．g(x)=f(x)x（1）求二次函数y=f(x)的解析式；（2）若对任意x∈[1,2],t∈[−4,4],g(x)≥−m2+tm恒成立，求实数m的范围；（3）若函数y=g(|x|+3)+k·2|x|+3−11恰好三个零点，求k的值及该函数的零点．。

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题(含答案解析)

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道不计），使PS OA ⊥，PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.21．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，32,sin 2B a b +=(1)求sin A ；(2)如图，点M 为边AC 上一点，π,2MB MC ABM =∠=，求ABC 22．已知二次函数()y f x =的图象与直线y =-6只有一个交点，满足(2)f x -是偶函数．()()f x g x x=（1）求二次函数()y f x =的解析式；（2）若对任意2[1,2],[4,4],()x t g x m tm ∈∈-≥-+恒成立，求实数m （3）若函数2(||3)11||3y g x k x =++⋅-+恰好三个零点，求k 的值及该函数的零点．参考答案：【详解】由余弦定理得2222BC AB BC AB =+-正确；0=.5，则()1,2AD AB AC =+∴ 正确；由图知函数()f x 有2个零点，故函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在由于方程()()21f x mf x --=令()t f x =则210t mt --=有因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为当13n =时，0x =；当24n =时，1;7x k =±∴=，函数的零点为0,1±。

2023-2024学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．下列条件中，使得“a ＞b ”成立的充分不必要条件是（） A ．|a |＞|b |B ．1a ＞1bC ．a 2＞b 2D ．lna ＞lnb2．已知集合A ＝{x |x 2﹣6x +5＜0}，B ＝{x |x ＜a }，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围为（） A ．（1，+∞）B ．[3，+∞）C ．[5，+∞）D ．（5，+∞）3．已知cos(α−π3)=45，则sin(π6+α)的值为（）A ．−45B ．−35C ．35D ．454．已知a →，b →是两个单位向量，且〈a →，b →〉=60°，若c →=2a →−b →，则cos〈a →，c →〉=（） A ．12B ．√32 C ．13D ．√335．在△ABC 中，A =π3，AB 边上的高等于√33AB ，则sin C ＝（）A ．√714B ．√2114C ．3√714D ．3√21146．已知曲线y ＝ae x +xlnx 在点（1，ae ）处的切线方程为y ＝2x +b ，则（） A ．a ＝e ，b ＝﹣1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e ﹣1，b ＝1D ．a ＝e ﹣1，b ＝﹣17．满足{x |m ≤x ≤n }＝{y |y ＝x 2，m ≤x ≤n }的实数对m ，n 构成的点（m ，n ）共有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．无数个8．已知a =sin π13+cos π13，b =314+3−12，c ＝log 32+log 43，则（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．已知复数z 满足z(√3+i)=−2i ，则（） A ．|z |＝1 B ．z 的虚部为√32C ．z 3+1＝0D ．z 2=z10．函数f(x)=tan(2x −π4)，则（）A ．f （x ）的一个周期为π2B ．f （x ）是增函数C ．f （x ）的图象关于点(3π8，0)对称 D ．将函数y ＝tan2x 的图象向右平移π4个单位长度可得到f （x ）的图象11．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，AA 1的中点，点P 在对角线A 1B 上，则（）A ．三棱锥P ﹣CEF 体积为16B ．点P 到平面CEF 的距离为23C ．AP +D 1P 的最小值为2√2+√2D ．四面体BCEF 外接球的表面积为14π12．对于数列{a n }，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有|a n |≤M ，则称数列{a n }为有界数列；若这样的正数M 不存在，则称数列{a n }为无界数列．下列说法正确的有（） A ．等比数列{a n }的公比为q ，若|q |＜1，则{a n }是有界数列 B ．若数列{a n }的通项a n =∑ n k=11k2，则{a n }是有界数列 C ．若正项数列{a n }满足：a n =a n−13a n−2(n ≥3)，则{a n }是无界数列 D ．若数列{a n }满足：1a 1+1a 2+⋯+1a n=1a 1a 2⋯a n，且a 1∈（0，1），则{a n }是有界数列三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，5S 6﹣6S 5＝30，则a 10＝．14．如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若AF ＝3，sin ∠ACF =3√314，则△DEF 的面积为．15．如图，一个半径为3的半圆，C 、D 两点为直径AB 的三等分点，E 、F 两点为弧AB 上的三等分点，则CF →⋅DE →= ．16．已知函数f（x）＝|3﹣x2|﹣3，若|m|＜n，且f（m）＝f（n），则m的取值范围为，mn的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=2sin x4cosx4+√3cosx2．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合；（2）若f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m的最小值．18．（12分）在①∠BAC的平分线长为65；②D为BC中点，AD=√72；③AH为BC边上的高，AH=3√5719，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知b＝2，2cos A＝3﹣a cos B．（1）求c；（2）若_____，求∠BAC的大小．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC，∠DAB＝90°，平面PDB⊥平面ABCD，AC⊥BD，AB⊥PD，BC＝1，PD=√2．（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）满足f（x）＝e x﹣x2+2x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）＞（2﹣a）x+1在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n+1+S n=2n2+2n+1．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b 1＝1，b n+1+(−1)n b n =a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 22．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ．（1）若f （x ）在区间（1，2）上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当0＜a ＜1时，求证：f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1≠x 2），且f ′（x 1）+f ′（x 2）＜0．2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．下列条件中，使得“a ＞b ”成立的充分不必要条件是（） A ．|a |＞|b |B ．1a ＞1bC ．a 2＞b 2D ．lna ＞lnb解：对于A ：当a ＝﹣3，b ＝2时满足|a |＞|b |，此时不满足a ＞b ，所以A 错误；对于B ：当a ＝2，b ＝3时满足1a ＞1b，此时不满足a ＞b ，所以B 错误；对于C ：当a ＝﹣3，b ＝2时满足a 2＞b 2，此时不满足a ＞b ，所以C 错误；对于D ：lna ＞lnb ⇒a ＞b ＞0，所以lna ＞lnb 是a ＞b 的充分不必要条件．故选：D ．2．已知集合A ＝{x |x 2﹣6x +5＜0}，B ＝{x |x ＜a }，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围为（） A ．（1，+∞）B ．[3，+∞）C ．[5，+∞）D ．（5，+∞）解：A ＝{x |x 2﹣6x +5＜0}＝（1，5），因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，则a ≥5，即实数a 的取值范围为[5，+∞）．故选：C ．3．已知cos(α−π3)=45，则sin(π6+α)的值为（）A ．−45B ．−35C ．35D ．45解：因为cos(α−π3)=45，所以sin(π6+α)=cos[π2−(π6+α)]=cos(π3−α)=cos(α−π3)=45．故选：D ．4．已知a →，b →是两个单位向量，且〈a →，b →〉=60°，若c →=2a →−b →，则cos〈a →，c →〉=（） A ．12B ．√32 C ．13D ．√33解：已知a →，b →是两个单位向量，a →⋅b →=1×1×cos60°=12，因为c →=2a →−b →，所以a →⋅c →=a →⋅(2a →−b →)=2a →2−a →⋅b →=2−12=32， |c →|=√4a →2−4a →⋅b →+b →2=√3，所以cos〈a →，c →〉=a →⋅c →|a →|⋅|c →|=√32．故选：B ．5．在△ABC 中，A =π3，AB 边上的高等于√33AB ，则sin C ＝（）A ．√714B ．√2114C ．3√714D ．3√2114解：如图所示：AD 为边AB 上的高，设AB ＝m ，则CD =√33m ，所以三角形ABC 的面积为S =12AB ⋅AC ⋅sinA =12AB ⋅CD ，即12×m ×AC ×√32=12×m ×√33m ，解得AC =23m ，在直角三角形ACD 中，因为A =π3，CD ⊥AB ，所以∠ACD =π6，则AD =12AC =13m ，所以BD ＝AB ﹣AD =23m ，在直角三角形BCD 中，BC =√CD 2+BD 2=√(√33m)2+(23m)2=√73m ，所以由12AC ⋅BC ⋅sin∠ACB =12AB ⋅CD 可得：12×23m ×√73m ⋅sin∠ACB =12×m ×√33m ，解得sin ∠ACB =3√2114．故选：D ．6．已知曲线y ＝ae x +xlnx 在点（1，ae ）处的切线方程为y ＝2x +b ，则（） A ．a ＝e ，b ＝﹣1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e ﹣1，b ＝1D ．a ＝e ﹣1，b ＝﹣1解：y ′＝ae x +lnx +1，k ＝y ′|x ＝1＝ae +1＝2，∴a ＝e ﹣1 将（1，1）代入y ＝2x +b ，得2+b ＝1，b ＝﹣1．故选：D ．7．满足{x|m≤x≤n}＝{y|y＝x2，m≤x≤n}的实数对m，n构成的点（m，n）共有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个解：由{x|m≤x≤n}＝{y|y＝x2，m≤x≤n}，又y＝x2≥0，则m≥0，所以y＝x2在[m，n]单调递增，故值域为[f（m），f（n）]，即m，n是x2＝x的两根，解得x1＝0，x2＝1，当m＝n＝0时，点（m，n）为（0，0），当m＝n＝1时，点（m，n）为（1，1），当m＝0，n＝1时，点（m，n）为（0，1）．故选：C．8．已知a=sinπ13+cosπ13，b=314+3−12，c＝log32+log43，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：因为a=sin π13+cosπ13=√2sin(π4+π13)＜√2sin(π4+π12)=√2sinπ3=√62，a=√2sin(π4+π13)＞√2sinπ4=1，所以1＜a＜√62，又b=314+3−12，可得b＝（√3)12+√33＞（1.69)12+1.713=1.3+0.57＝1.87，所以b＞1.87；因为23＜32，所以2＜323，可得log3√3＜log32＜log3323，此时12＜log32＜23，因为34＝81＞43＝64，所以3＞43 4，因为35＝243＜44＝256，所以3＜445，此时log4434＜log43＜log4445，即34＜log43＜45，则12+34＜c=log32+log43＜23+45，所以c∈(54，2215)，易知√62=√244＜54＜2215＜1.87，则a＜c＜b．故选：B．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．已知复数z满足z(√3+i)=−2i，则（）A．|z|＝1B．z的虚部为√3 2C．z3+1＝0D．z2=z解：由z(√3+i)=−2i，得z=−12−√32i，|z|=√(−12)2+(−32)2=1，A正确；由复数虚部的定义可知，z的虚部为−√32，B错误；z3+1=(−12−√32i)3=1+1=2，C错误；z2=(−12−√32i)2=−12+√32i=z，D正确．故选：AD．10．函数f(x)=tan(2x−π4)，则（）A．f（x）的一个周期为π2B．f（x）是增函数C．f（x）的图象关于点(3π8，0)对称D．将函数y＝tan2x的图象向右平移π4个单位长度可得到f（x）的图象解：对于A：f(x)=tan(2x−π4)的最小正周期为π2，故A正确；对于B：f（x）的单调递增区间满足：kπ−π2＜2x−π4＜kπ+π2，即增区间为(kπ2−π8，kπ2+3π8)，k∈Z，故B错误．对于C：f（x）的对称中心满足：2x−π4=π2+kπ2，即中心为(3π8+kπ4，0)，k∈Z，故C正确；对于D：将函数y＝tan2x的图象向右平移π4个单位长度可得到y=tan2(x−π4)≠tan(2x−π4)，故D错误．故选：AC．11．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，AA1的中点，点P在对角线A1B上，则（）A．三棱锥P﹣CEF体积为16B．点P到平面CEF的距离为23C．AP+D1P的最小值为2√2+√2D．四面体BCEF外接球的表面积为14π解：根据题意，可作图如下：对于A，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CB⊥AB，CB⊥平面ABB1A1，在三棱锥P﹣CEF中，以△PEF为底面，则CB为其高，因为P∈A1B，易知△ABA1为等腰直角三角形，且E，F分别为AA1，AB的中点，所以EF∥A1B，且P到EF的距离为14|A1B|=14⋅√2|AB|=√22，V P−CEF=13⋅|CB|⋅S△PEF=13×2×12×√2×√22=13，故A错误；对于B，在Rt△BCE中，易知|BE|＝1，|BC|＝2，则|CE|=√|CB|2+|BE|2=√5，在Rt△AEF中，易知|AE|＝|AF|＝1，则|EF|=√2，在Rt△ACF中，易知|AC|=2√2，|AF|＝1，则|CF|=√|AF|2+|AC|2=3，在△CEF中，由余弦定理，cos∠CEF=|CE|2+|EF|2−|CF|22⋅|CE|⋅|EF|=−√1010，则sin∠CEF=3√1010，所以S△CEF=12⋅|EF|⋅|CE|⋅sin∠CEF=32，点P到平面CEF的距离为3V P−CEFS△CEF=3×1332=23，故正确；对于C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易知A1D1⊥平面ABB1A1，因为A1B⊂平面ABB1A1，所以A1D1⊥A1B，将D1绕A1旋转得到D1′使得A，P，D1′共面，如下图：易知D1P＝D1'P且AP+D1'P≥AD1'，在△AA1D1'中，易知∠AA1D1′＝135°，由余弦定理，|AD1′|2=|AA1|2+|A1D1′|2−2⋅|AA1|⋅|A1D1′|cos∠AA1D1′=4+4−2×2×2×(−√22)=8+4√2，则|AD1′|=2√2+√2，故C正确；对于D，取EC的中点M，易知M为Rt△BCE为外接圆圆心，连接AM，作NM∥AA1，FN∥AM，取O∈MN，连接OE，OF，如下图：因为MN∥AA1，所以MN⊥平面BCE，由M为Rt△BCE为外接圆圆心，则可设O为三棱锥F﹣BCE的外接球球心，即OE＝OF＝R，因为FN∥AM，所以易知四边形AMNF为矩形，则AM＝FN，MN⊥FN，在Rt△BCE中，cos∠CEB=BECE=√55，易知∠AEC＝π﹣∠CEB，则cos∠AEC=−√55，在△AEM中，由余弦定理，|AM|2=|AE|2+|EM|2−2|AE||EM|cos∠AEM=13 4，在Rt△MOE中，|OE|2＝|ME|2+|MO|2，OM|=√|OE|2−|ME|2=√R2−54，在Rt△FOM中，|OF|2＝|ON|2+|FN|2，|OF|2＝|FN|2+（1﹣|OM|）2，则R2=134+(1−√R2−54)2，解得R2=72，则球的表面积为4πR2＝14π，故D正确．故选：BCD．12．对于数列{a n}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有|a n|≤M，则称数列{a n}为有界数列；若这样的正数M不存在，则称数列{a n}为无界数列．下列说法正确的有（）A．等比数列{a n}的公比为q，若|q|＜1，则{a n}是有界数列B．若数列{a n}的通项a n=∑n k=11k2，则{a n}是有界数列C．若正项数列{a n}满足：a n=a n−13a n−2(n≥3)，则{a n}是无界数列D．若数列{a n}满足：1a1+1a2+⋯+1a n=1a1a2⋯a n，且a1∈（0，1），则{a n}是有界数列解：对于A：不妨令首项为a1，则a n=a1q n−1，因为0＜|q|＜1，则|a n|=|a1q n−1|=|a1||q n−1|＜|a1|，所以此时{a n}为有界数列，所以A正确；对于B：当n≥2时，1n2＜1n(n−1)=1n−1−1n，又a n=112+122+⋯+1n2＜11+11−12+12−13+⋯+1n−1−1n=2−1n，所以0＜a n＜2，当n＝1时，a1＝1＜2，所以{a n}是有界数列，B正确；对于C：不妨令a1＝p，a2＝q（p＞0，q＞0），则a3=a23a1=q3p，a4=a33a2=19p，a5=a43a3=19q，a6=a53a4=p3q，a7=a63a5=p，a8=a73a6=q，所以数列{a n}是周期数列，所以数列{a n}是有界数列，C错误；对于D：由1a1+1a2+⋯+1a n=1a1a2⋯a n，得1a1+1a2+⋯+1a n−1=1a1a2⋯a n−1(n≥2)，两式相减得1a n=1a1a2⋯a n−1(1a n−1)，化简可得a1a2⋯a n﹣1＝1﹣a n，即a n＝1﹣a1a2⋯a n﹣1，当n＝1时由题知a1∈（0，1）；假设n＝k时结论成立，即a k＝1﹣a1a2⋯a k﹣1∈（0，1），此时a1a2⋯a k﹣1＝1﹣a k；则当n＝k+1时，a k+1=1−a1a2⋯a k=1−(1−a k)a k=a k2−a k+1=(a k−12)2+34，又因为a k∈（0，1），所以a k+1=(a k−12)2+34∈(0，1)，所以n＝k+1时成立，根据①和②可知，该结论成立，故a n∈（0，1），所以{a n}是有界数列，所以D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，5S6﹣6S5＝30，则a10＝20．解：设等差数列{a n}的公差为d，由5S6﹣6S5＝30，得5(S6−S5)−5(a1+a5)2=30，即有5a6﹣5a3＝30，于是3d＝a6﹣a3＝6，解得d＝2，所以a10＝a1+9d＝20．故答案为：20．14．如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF拼成的一个较大的等边三角形ABC，若AF＝3，sin∠ACF=3√314，则△DEF的面积为√3．解：因为△EFD为等边三角形，所以∠EFD＝60°，则∠EF A＝120°，在△AFC 中，由正弦定理，则AF sin∠ACF =AC sin∠AFC，解得AC =AF sin∠ACF ⋅sin∠AFC =33√314×√32=7，由余弦定理，则AC 2＝AF 2+FC 2﹣2•AF •FC cos ∠AFC ，整理可得：49＝9+FC 2﹣2×3×FC ×（−12），即FC 2+3FC ﹣40＝0，解得FC ＝5或﹣8（舍去），等边△EFD 边长为5﹣3＝2，其面积为12×2×2⋅sin60°=√3．故答案为：√3．15．如图，一个半径为3的半圆，C 、D 两点为直径AB 的三等分点，E 、F 两点为弧AB 上的三等分点，则CF →⋅DE →= 12．解：取CD 的中点O ，连接OE ，OF ，因为C 、D 两点为直径AB 的三等分点，所以CF →=OF →−OC →，DE →=OE →−OD →=OE →+OC →，因为E 、F 两点为弧AB 上的三等分点，所以|OE →|=|OF →|=3，＜OE →，OF →＞=π3，|OC →|=|OD →|=1，＜OC →，OE →＞=π3，＜OC →，OF →＞=23π，所以CF →⋅DE →=(OF →−OC →)⋅(OE →+OC →)=OF →⋅OE →+OF →⋅OC →−OC →⋅OE →−OC →2=|OF →||OE →|cos π3+|OF →||OC →|cos 23π−|OC →||OE →|cos π3−|OC →|2 =3×3×12+3×1×(−12)−1×3×12−1=12．故答案为：12．16．已知函数f （x ）＝|3﹣x 2|﹣3，若|m |＜n ，且f （m ）＝f （n ），则m 的取值范围为 (−√3，√3) ，mn的取值范围为（﹣3，3）．解：f(x)=|3−x 2|−3={−x 2，x ∈[−√3，√3]x 2−6，x ∈(−∞，−√3)∪(√3，+∞)，画出函数图像，如图所示：根据图像知：|m |＜n 且f （m ）＝f （n ），故m ∈(−√3，√3)，n ∈(√3，√6)，故﹣m 2＝n 2﹣6，即m 2+n 2＝6≥2|mn |，﹣3≤mn ≤3，|m |≠|n |，等号不成立，故﹣3＜mn ＜3，即mn ∈（﹣3，3）．故答案为：(−√3，√3)；（﹣3，3）．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=2sin x 4cos x 4+√3cos x 2．（1）求f （x ）的最小值及取得最小值时x 的取值集合；（2）若f （x ）的图象向右平移m （m ＞0）个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m 的最小值．解：（1）因为f(x)=sin x 2+√3cos x 2=2sin(x 2+π3)，所以当x 2+π3=−π2+2kπ，k ∈Z 即x =4kπ−5π3，k ∈Z 时，f （x ）取得最小值﹣2，所以f （x ）的最小值为﹣2，此时x 的取值集合为{x|x =4kπ−5π3，k ∈Z}；（2）设f （x ）的图象向右平移m （m ＞0）个单位后得到函数g （x ），则g(x)=2sin(x−m 2+π3)，因为g （x ）为偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），即sin(x 2−m 2+π3)=sin(−x 2−m 2+π3)，展开可得sin x 2cos(−m 2+π3)=0，所以sin x 2cos(−m 2+π3)=0恒成立，所以−m 2+π3=π2+kπ，k ∈Z ，所以m =−π3−2kπ，k ∈Z ，又因为m ＞0，所以m min =5π3． 18．（12分）在①∠BAC 的平分线长为65；②D 为BC 中点，AD =√72；③AH 为BC 边上的高，AH =3√5719，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知b ＝2，2cos A ＝3﹣a cos B ．（1）求c ；（2）若 _____，求∠BAC 的大小．解：（1）由b ＝2及2cos A ＝3﹣a cos B ，得b cos A ＝3﹣a cos B ，即b cos A +a cos B ＝3，由余弦定理得b ×b 2+c 2−a 22bc +a ×a 2+c 2−b 22ac =3，所以c ＝3．（2）若选①，记∠BAC ＝2θ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，即12bcsin2θ=12b ⋅ADsinθ+12c ⋅ADsinθ，即6sin2θ=125sinθ+185sinθ，即sin2θ＝sin θ，所以2sin θcos θ＝sin θ，因为θ∈(0，π2)，所以sin θ≠0，从而cosθ=12，即θ=π3，所以∠BAC =2π3；若选②，由于D 为BC 中点，所以AD →=12(AB →+AC →)，即4AD →2=AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →，又因为|AD →|=√72，|AB →|=3 |AC →|=2，所以AB →⋅AC →=−3，即|AB →|⋅|AC →|⋅cos∠BAC =−3，所以cos ∠BAC =−12，又因为∠BAC ∈（0，π），所以∠BAC =2π3，若选③，由于AH 为BC 边上的高，在Rt △BAH 中，BH 2=AB 2−AH 2=9−9×5719×19=14419，所以BH =12√1919，在Rt △CAH 中，CH 2=AC 2−AH 2=4−9×5719×19=4919，所以CH =7√1919，所以BC =BH +CH =√19，由余弦定理得cos ∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC =9+4−192×3×2=−12，又因为∠BAC ∈（0，π），所以∠BAC =2π3．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AD ＝2BC ，∠DAB ＝90°，平面PDB ⊥平面ABCD ，AC ⊥BD ，AB ⊥PD ，BC ＝1，PD =√2．（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值．解：（1）证明：因为平面PDB ⊥平面ABCD ，又平面PDB ∩平面ABCD ＝BD ，AC ⊥BD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面PDB ，又PD ⊂平面PDB ，所以AC ⊥PD ，又AB ⊥PD ，AC ∩AB ＝A ，AC ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，过A 作AZ ∥PD ，则有AZ ⊥AD ，AZ ⊥AB ，又因为∠DAB ＝90°，即AB ⊥AD ，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AZ 所在直线为z 轴，建系如图，设AB ＝t （t ＞0），则A （0，0，0），B （t ，0，0），C （t ，1，0），D （0，2，0），P(0，2，√2)，所以AC →=(t ，1，0)，BD →=(−t ，2，0)，DP →=(0，0，√2)，由于AC ⊥BD ，所以AC →⋅BD →=0，所以t 2＝2，即t =√2，从而C(√2，1，0)，则DC →=(√2，−1，0)，PB →=(−√2，2，√2)，PC →=(−√2，1，√2)，设平面PDC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅DP →=0n →⋅DC →=0，即{√2z =0√2x −y =0，取n →=(1，√2，0)，设平面PBC 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅PB →=0m →⋅PC →=0，即{−√2a +2b +√2c =0−√2a +b +√2c =0，取m →=(1，0，1)，所以|cos ＜m →，n →＞|=1√3⋅√2=√66，设二面角D ﹣PC ﹣B 的平面角为θ，则由图可知θ为钝角，所以二面角D ﹣PC ﹣B 的平面角余弦值为−√66．20．（12分）已知函数f （x ）满足f （x ）＝e x ﹣x 2+2x ．（1）求f （x ）的单调区间；（2）若关于x 的不等式f （x ）＞（2﹣a ）x +1在（0，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因为f （x ）＝e x ﹣x 2+2x ，所以f ′（x ）＝e x ﹣2x +2，令m （x ）＝e x ﹣2x +2，则m ′（x ）＝e x ﹣2，当x ∈（﹣∞，ln 2）时，m ′（x ）＜0，当x ∈（ln 2，+∞）时，m ′（x ）＞0，所以m （x ）在（﹣∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，+∞）上单调递增，所以m （x ）min ＝m （ln 2）＝2（2﹣ln 2）＞0，即f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间．（2）由题意f （x ）＞（2﹣a ）x +1在区间（0，+∞）上恒成立，即e x ﹣x 2+2x ＞2x ﹣ax +1恒成立，即a ＞1x +x −e x x在区间（0，+∞）上恒成立，令g(x)=1x +x −e x x，x ∈（0，+∞），只需a ＞g （x ）max ，因为g ′(x)=−1x 2+1−e x ⋅x−e x x 2=(x−1)(x+1−e x )x 2，令h （x ）＝x +1﹣e x ，x ∈（0，+∞），有h ′（x ）＝1﹣e x ＜0，所以函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，所以h （x ）＜h （0）＝0，即x +1﹣e x ＜0，所以当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，所以函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝2﹣e，即a＞2﹣e，所以实数a的取值范围为（2﹣e，+∞）．21．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n+1+S n=2n2+2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b1＝1，b n+1+(−1)n b n=a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）法一：当n＝1时，S2+S1＝5，即a2+2a1＝5，由a1＝1，得a2＝3，由S n+1+S n=2n2+2n+1，得S n+S n−1=2(n−1)2+2(n−1)+1（n≥2），两式相减得：a n+1+a n＝4n（n≥2）．又a2+a1＝4，满足上式．所以当n∈N*时，a n+1+a n＝4n，又当n≥2时，a n+a n﹣1＝4（n﹣1），两式相减得：a n+1﹣a n﹣1＝4（n≥2），所以数列{a n}的奇数项是以a1＝1为首项，4为公差的等差数列，所以a n=a1+n−12×4=2n−1（n为奇数），数列{a n}的偶数项是以a2＝3为首项，4为公差的等差数列，所以a n=a1+n−12×4=1+2(n−1)=2n−1（n为偶数），所以a n＝2n﹣1，即{a n}的通项公式是a n＝2n﹣1．法二：因为S n+1+S n=2n2+2n+1，所以S n+1−(n+1)2=−(S n−n2)，故S n+1−(n+1)2=−(S n−n2)=⋯=(−1)n(S1−12)，因为S1−12=0，所以S n−n2=0，即S n=n2，当n≥2时，a n=n2−(n−1)2=2n−1，当n＝1时，a1＝1适合上式，所以{a n}的通项公式是a n＝2n﹣1．（2）因为b n+1+(−1)n b n=a n，故当n＝2k﹣1（n∈N*）时，b2k﹣b2k﹣1＝a2k﹣1＝2（2k﹣1）﹣1＝4k﹣3①，当n＝2k（n∈N*）时，b2k+1+b2k＝a2k＝2×2k﹣1＝4k﹣1②，①、②两式相减得：b2k+1+b2k﹣1＝2（k≥1），因为b 1＝1，b 3+b 1＝2，所以b 3＝1，因为b 2k +1+b 2k ﹣1＝2（k ≥1），所以当n 为奇数时，b n ＝1，当n 为偶数时，b n ﹣b n ﹣1＝a n ﹣1＝2（n ﹣1）﹣1＝2n ﹣3，所以b n ＝a n ﹣1+1＝2n ﹣3+1＝2n ﹣2，所以b n ={1，n =2k −1，k ∈N ∗2n −2，n =2k ，k ∈N∗；当n 为偶数时，T n =(b 1+b 3+⋯+b n−1)+(b 2+b 4+⋯+b n )=12n 2+12n ，当n 为奇数时，T n =T n+1−b n+1=[12(n +1)2+12(n +1)]−[2(n +1)−2]=12n 2−12n +1，综上，T n ={12n 2−12n +1，n =2k −1，k ∈N ∗12n 2+12n ，n =2k ，k ∈N ∗． 22．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ．（1）若f （x ）在区间（1，2）上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当0＜a ＜1时，求证：f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1≠x 2），且f ′（x 1）+f ′（x 2）＜0．解：（1）已知f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ，函数定义域为（1，2），可得f ′(x)=2ax +a −2−1x =2ax 2+(a−2)x−1x =(2x+1)(ax−1)x．当a ≤0时，f ′（x ）＜0在（1，2）上恒成立，所以函数f （x ）在（1，2）上单调递减，则函数f （x ）在（1，2）上无极值点；当a ＞0时，当x ∈(0，1a)时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈(1a，+∞)时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）的极小值点为1a，无极大值点．因为f （x ）在（1，2）上有极值，所以1a ∈(1，2)，解得12＜a ＜1，综上，当12＜a ＜1时，f （x ）在区间（1，2）上有极值；（2）证明：易知函数f （x ）定义域为（0，+∞），当0＜a ＜1时，f ′(x)=(2x+1)(ax−1)x，x ＞0，由（1）知f(x)极小=f(1a)=−ln1a−1a+1，因为0＜a＜1，所以1a＞1，不妨令t=1a，t＞1，此时f（t）＝﹣lnt﹣t+1，因为f′(t)=−1t−1＜0在t∈（1，+∞）上恒成立，所以f（t）在（1，+∞）上单调递减，此时f（t）＜f（1）＝0，即f(x)极小=f(1a)＜0，因为f(1e)=ae2+a−2e−ln1e=ae2+ae+1−2e＞0，由（1）知函数f（x）在(0，1a)上单调递减，且f(1e)⋅f(1a)＜0，由零点存在定理可得函数f（x）在(1e，1a)，即(0，1a)上存在唯一的零点x1，使得f（x1）＝0，因为f(3a)=9a+3(a−2)a−ln3a=3+3a−ln3a，不妨令g（x）＝lnx﹣x+1，函数定义域为（0，+∞），可得g′(x)=1x−1=1−xx，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）在x＝1处取得唯一极大值，也是最大值g（1）＝0，因为0＜a＜1，所以3a＞3，可得g(3a)＜0，即ln3a−3a−1＜0，此时3a−ln3a+1＞0，所以f(3a)＞3+1=4＞0，由（1）知函数f（x）在(1a，+∞)上单调递增，且f(1a)⋅f(3a)＜0，所以函数f（x）在(1a，+∞)上存在唯一的零点x2，使得f（x2）＝0，所以函数f（x）有两个零点x1，x2（x1≠x2），不妨设0＜x1＜x2，此时{f(x1)=ax12+(a−2)x1−lnx1=a(x12+x1)−2x1−lnx1=0f(x2)=ax22+(a−2)x2−lnx2=a(x22+x2)−2x2−lnx2=0，两式相减得a[(x12−x22)+(x1−x2)]−2(x1−x2)−(lnx1−lnx2)=0，即a(x1−x2)(x1+x2+1)−2(x1−x2)−ln x1x2=0，所以a=2(x1−x2)+ln x1x2(x1−x2)(x1+x2+1)，易知f′(x)=2ax2+(a−2)x−1x=2ax−1x+a−2，所以f′(x1)+f′(x2)=2a(x1+x2)−(1x1+1x2)+2(a−2)=2a(x1+x2+1)−(1x1+1x2)−4=2(x1+x2+1)2(x1−x2)+ln x1x2(x1−x2)(x1+x2+1)−(1x1+1x2)−4=2ln x1x2(x1−x2)−(1x1+1x2)，要证f′（x1）+f′（x2）＜0，即证2ln x1x2(x1−x2)−(1x1+1x2)＜0(0＜x1＜x2)，要证2ln x1x2−(1x1+1x2)(x1−x2)＞0，即证2lnx1x2−x1x2+x2x1＞0，不妨令t=x1x2，t∈(0，1)，即证2lnt−t+1t＞0，t∈（0，1），不妨设m(t)=2lnt−t+1t，函数定义域为（0，1），可得m′(t)=2t−1−1t2=−(t−1)2t2＜0恒成立，所以m（t）在（0，1）上单调递减，此时m（t）＞m（1）＝0．即2ln x1x2−x1x2+x2x1＞0成立，故f（x）有两个零点x1，x2（x1≠x2），且f′（x1）+f′（x2）＜0．。

数学-苏州市五市三区2013届高三数学期中考试模拟试题

数学-苏州市五市三区2013届高三数学期中考试模拟试题江苏省苏州市五市三区2013届高三数学期中考试模拟试题(1)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 命题“x x R x >∈?2,”的否定是 .2. 已知集合}55|{},53|{<<-=≤<-=y y N x x M ，则=N M .3. 设b a ,都是实数，那么“22b a >”是“b a >”的条件． 4. 函数x x f ln 1)(-=的定义域为 .5. 函数xx y 1+=的值域为 . 6. 设集合}20|{≤≤=x x M ，}20|{≤≤=y y N ，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 .7. 已知函数?>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x 则)2(log 3f 的值为 .8. 设7.06-=a ，6.0log 7.0=b ，7log 6.0=c ，则c b a ,,从小到大的排列顺序为 .9. 已知函数]2,1[,2)(2∈-=x x x x f ，则=-)1(x f . 10. 函数x xy ln 21+=的单调减区间为 . 11. 设直线a y =分别与曲线x y =2 和xe y =交于点M 、N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为 . 12. 下列说法：xyO图②22xyO图③2 2xyO图①21 xyO图④2211DA CEB(第14题图)①当0>x 且1≠x 时，有2ln 1ln ≥+xx ；②函数xy a =的图象可以由函数2xy a =（其中0>a 且1≠a ）平移得到；③若对R x ∈，有),()1(x f x f -=-则)(x f 的周期为2；④ “若062≥-+x x ，则2≥x ”的逆否命题为真命题；⑤函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称. 其中正确的命题的序号 .13. 若函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a 的值是 . 14. 已知ABC ?的面积为1，点D 在AC 上，AB DE //，连结BD ，设DCE ?、ABD ?、BDE ?中面积最大者的值为y ，则y 的最小值为 . 二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15. （本小题满分14分）（1）已知1>>b a 且310log log =+a b b a ，求a b b a log log -的值. （2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg --+的值.16. （本小题满分14分）已知集合}145|{2--==x x y x A ，集合)}127lg(|{2---==x x y x B ，集合}121|{-≤≤+=m x m x C . （1）求A B ；（2）若A C A = ，求实数m 的取值范围.17. （本小题满分14分）已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设xx g x f )()(=．（1）求a 、b 的值；（2）若不等式02)2(≥?-xxk f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围.18. （本小题满分16分）已知奇函数)(x f y =定义域是]4,4[-，当04≤≤-x 时，x x x f 2)(2--=. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求函数)(x f 的值域；（3）求函数)(x f 的单调递增区间.AB045 PQDCθ 第19题图19. （本小题满分16分）如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD 。

2021届江苏省苏州市普通高中高三年级上学期期中考试数学试题及答案

绝密★启用前江苏省苏州市普通高中2021届高三年级上学期期中教学质量检测数学试题2020年11月一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题給出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1.已知集合}4|{},06|{22>=≤--=x x B x x x A ，则B A ={-2}[2,3] D.(2.3] C.[2,3] B.(2,3) A.2.角α的终边经过点)cos ,sin -(3αα,则αsin 的值为43D.31C.41. B 51A. 3.等差数列{}n a 中，78,24201918321=++=++a a a a a a ,则此数列的前20项和等于D.220C.200B.180A.1604.函数“a x x x f +++=12)(2的定义城为R ”是“1≥a ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要的条件5.函数~)csx (e^-e =ff(x)()()2cos x x e e x f x x --=的部分图象大致是6.已知函数()x x x f ln =, 若直线l 过点()e -,0, 且与曲线()x f y C =:相切,则直线l 的斜率为.e D.e - C.B.22- A.7.衣柜里的樟脑丸,随着时间的推移会因挥发而使体积缩小,刚放进去的新丸体积为a ,经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为: kt e a V -⋅= ".已知新丸经过50天后,体积变为a 94,若一个新丸体积变为a 278,则需经过的天数为 D.50C.75 B.100A.1258.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若2,12,01<=>n n S a a ,则等比数列{}n a 的公比的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛32,0.43,0.32,0.43,0:D C B A二、多项选题: 本题共4小题, 每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题.目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知函数()()()x f x g x x x f '=-=,sin 3cos ,则( )A.()x g 的图象关于点)0,6(π对称 B.()x g 的图象的一条对称轴是6π=xC.8(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛-6,65ππ上递减 D. ()x g 在)3,3(ππ-值域为)1,0( 10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若01>a ,公差0≠d ,则( )A.若95S >S ,则015>SB.若95S >S ,则7S ,是n S 中最大的项.C.若76S S >, 则87S S >D.若76S S >则65S S >。

江苏省苏州市2023-2024学年高三上学期期中数学试题(解析版)

2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷数学2023.11注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.下列条件中，使得“a b >”成立的充分不必要条件是（）A.a b >B.11a b> C.22a b > D.ln ln a b>【答案】D 【解析】【分析】逐个判断是否为a b >的充分不必要条件即可.【详解】对于A ：当3,2a b =-=时满足a b >，此时不满足a b >，所以A 错误；对于B ：当2,3a b ==时满足11a b>，此时不满足a b >，所以B 错误；对于C ：当3,2a b =-=时满足22a b >，此时不满足a b >，所以C 错误；对于D ：ln ln 0a b a b >⇒>>，所以ln ln a b >是a b >的充分不必要条件，故选：D2.已知集合2{650}A x x x =-+<，{}B x x a =<，且A B A = ，则实数a 的取值范围为（）A.(1,)+∞B.[3,)+∞C.[5,)+∞D.(5,)+∞【答案】C 【解析】【分析】先化简集合A ，再由A B A = ，则A B ⊆，应用集合间的包含关系即可.【详解】{}(,)A x x x =-+<=∣265015，且A B A = ，则A B ⊆，则5a ≥.故选：C3.已知π4cos 35α-（）=，则πsin 6α+（）的值为（）A.45-B.35-C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式求解.【详解】解：因为π4cos35α-（）=，所以πππππ4sin cos cos cos 626335αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++==-= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭（）=-（）-，故选：D4.已知,a b 是两个单位向量，且,a b ︒=60 ，若2c a b =- ，则cos ,a c = （）A.12B.2C.13D.33【答案】B 【解析】【分析】先求a c ⋅，再求||c ，则cos ,||||a c a c a c ⋅=⋅即可求.【详解】已知,a b 是两个单位向量，11cos6012a b ︒⋅=⨯⨯= ，若2c a b =- ，则()a c a a b a a b ⋅=⋅-=-⋅=-=21322222，||c == ，故cos ,||||a c a c a c ⋅==⋅2.故选：B5.在ABC 中，π3A =，AB边上的高等于3AB ，则sin C =（）A.714 B.2114C.3714D.32114【答案】D 【解析】【分析】先利用AB 表示CA ，CB ，然后利用正弦定理求解即可.【详解】过C 作CE AB ⊥，垂足为E，则3CE AB =，因为π3A =，所以1π3tan 3CE AE AB ==，2π3sin 3CEAC AB ==，23BE AB AE AB =-=，3BC AB ===，所以在ABC 中由正弦定理可得sin sin AB BCC A=即3sin 2sin 14AB AB A C BC ⨯===，故选：D6.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A.,1a e b ==- B.,1a eb == C.1,1a eb -== D.1,1a eb -==-【答案】D 【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y xb =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．7.满足2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤的实数对m ，n 构成的点(,)m n 共有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】C 【解析】【分析】结合集合相等及二次函数的单调性即可求.【详解】由2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤，又20y x =≥，则0m ≥，所以2y x =在[,]m n 单调递增，故值域为[(),()]f m f n ，即,m n 是2x x =的两根，解得120,1x x ==，当0m n ==时，点(,)m n 为(0,0)，当1m n ==时，点(,)m n 为(1,1)，当0,1m n ==时，点(,)m n 为(0,1).故选：C 8.已知ππsin cos 1313a =+，114233b -=+，34log 2log 3c =+，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.c b a <<D.c a b<<【答案】B 【解析】【分析】依题意分别根据各式特点，利用辅助角公式和三角函数单调性可得12a <<，利用近似值可得1.87b >，再利用对数函数单调性即可得522,415c ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即可比较得出结论.【详解】根据题意可知，πππππππsincos 131********a ⎛⎫⎛⎫=+=++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ14134a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即可得12a <<；由114233b -=+可得)()1122 1.711.69 1.30.57 1.873b =++=+=，即 1.87b >；易知3223<，即2323<，所以23333log log 2log 3<，即312log 223<<；又4338164=>4=，即3434>，又5432434256==<，可得4534<；所以4544434log log 3log 44<<，可得45log 4433<<；可得341324log 2log 32435c +=++<<，所以522,415c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭显然2421.87254415a cb ==<<<<，即ac b <<.故选：B【点睛】关键点点睛：求解本题关键在于通过观察式子特征可知，三个式子各不相同，构造函数的方法失效，所以只能通过限定,,a b c 的取值范围使其落在不同的区间内即可得出结论.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9.已知复数z满足i )i 2z +=-，则（）A.||1z =B.z 的虚部为32C.310z +=D.2z z =【答案】AD 【解析】【分析】先求出复数z ，再结合复数的运算即可.【详解】由i )i 2z =-，得13i 22z =--，||1z ==，A 正确；z 的虚部为2-，B 错误；331i)112(221z --=++==，C 错误；221313i)(i=2222z z =--=-+，D 正确；故选：AD10.函数π()tan(2)4f x x =-，则（）A.()f x 的一个周期为π2B.()f x 是增函数C.()f x 的图象关于点3(,0)8π对称D.将函数tan 2y x =的图象向右平移π4个单位长度可得到()f x 的图象【答案】AC 【解析】【分析】根据()f x 的周期性，单调区间，对称中心，及平移逐项判断.【详解】对A ：π()tan(2)4f x x =-的最小正周期为π2，故A 正确；对B ：()f x 的递增应满足：ππππ2π242k x k -<-<+，即增区间为πππ3π,,Z 2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故B 错误.对C ：()f x 的对称中心满足：πππ2422k x -=+，即中心为3ππ,084k ⎛⎫+⎪⎝⎭，Z k ∈，故C 正确；对D ：将函数tan 2y x =的图象向右平移π4个单位长度可得到ππtan 2tan 244y x x ⎛⎫⎛⎫=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：AC11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1AA的中点，点P 在对角线1A B 上，则（）A.三棱锥P CEF -体积为16B.点P 到平面CEF 的距离为23C.1AP D P +的最小值为D.四面体BCEF 外接球的表面积为14π【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，根据正方体的性质，明确三棱锥的底面以及底面上的高，可得答案；对于B ，利用A 求得的三棱锥的体积，利用勾股定理求得CEF △的三边长，结合余弦定理以及面积公式，可得答案；对于C ，根据正方体的性质，将点1D 旋转使得1,,A P D 共面，利用三角形的余弦定理，可得答案；对于D ，根据三棱锥的性质，设出外接球的球心，利用勾股定理，建立方程，结合球的面积公式，可得答案.【详解】根据题意，可作图如下：对于A ，在正方体ABCD 中，CB AB ⊥，CB ⊥平面11ABB A ，在三棱锥P CEF -中，以PEF !为底面，则CB 为其高，因为1P A B ∈，易知1ABA △为等腰直角三角形，且,E F 分别为1,AA AB 的中点，所以1//EF A B ，且P 到EF 的距离为1112442A B AB ==，1111233223P CEF PEF V CB S -=⋅⋅=⨯⨯=V ，故A 错误；对于B ，在Rt BCE 中，易知1BE =，2BC =，则CE ==，在Rt AEF 中，易知1AE AF ==，则EF =，在Rt ACF中，易知AC =，1AF =，则3CF =，在CEF △中，由余弦定理，222cos 210CE EF CFCEF CE EF+-∠==-⋅⋅，则sin 10CEF ∠=，所以13sin 22CEF S EF CE CEF =⋅⋅⋅∠=V ，点P 到平面CEF 的距离为13323332P CEFCEFV S -⨯==V ，故B 正确；对于C ，在正方体ABCD 中，易知11A D ⊥平面11ABB A ，因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以111A D B A ⊥，将1D 绕1A 旋转得到1D '，使得1,,A P D '共面，如下图：易知11D P D P '=，且11AP D P AD ''+≥，在11AA D 'V 中，易知11135AA D '∠=o ，由余弦定理，2221111111112cos AD AA A D AA A D AA D ''''=+-⋅⋅∠24422282⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=+ ⎪⎝⎭，则1AD '=，故C 正确；对于D ，取EC 的中点M ，易知M 为Rt BCE 为外接圆圆心，连接AM ，作1//NM AA ，//FN AM ，取O MN ∈，连接,OE OF ，如下图：因为1MN AA //，所以MN ⊥平面BCE ，由M 为Rt BCE 为外接圆圆心，则可设O 为三棱锥F BCE -的外接球球心，即OE OF R ==，因为//FN AM ，所以易知四边形AMNF 为矩阵，则AM FN =，MN FN ⊥，在Rt BCE 中，5cos 5BE CEB CE ∠==，易知πAEC CEB ∠=-∠，则5cos 5AEC ∠=-，在AEM △中，由余弦定理，222132cos 4AMAE EM AE EM AEM =+-∠=，在Rt MOE △中，222OE ME MO =+，22254OM OE ME R =-=-在Rt FOM 中，222OFON FN =+，()2221OF FN OM=+-，则222135144R R ⎛=+-- ⎝，解得272R =，则球的表面积为24π14πR =，故D 正确.故选：BCD.12.对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 为有界数列；若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 为无界数列．下列说法正确的有（）A.等比数列{}n a 的公比为q ，若1q <，则{}n a 是有界数列B.若数列{}n a 的通项211==∑nk n a k ，则{}n a 是有界数列C.若正项数列{}n a 满足：12(3)3--=n n n a a n a ≥，则{}n a 是无界数列D.若数列{}n a 满足：12121111n na a a a a a +++= ，且()10,1a ∈，则{}n a 是有界数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据新定义逐个判定是否正确，注重通项公式的求解过程中的技巧的应用.【详解】对于A ：不妨令首项为1a ，则11n n a a q -=，因为01q <<，则11111n n n a a q a q a --==<，所以此时{}n a 为有界数列，所以A 正确；对于B ：当2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，又22211111111111211223112n a n n n n =+++<+-+-++-=-- ，所以02n a <<，当1n =时，112a =<，所以{}n a 是有界数列，B 正确；对于C ：不妨令()12,0,0a p a q p q ==>>，则23133a q a a p ==，342139a a a p==，453139a a a q ==，56433a pa a q==，6753a a p a ==，7863a a q a ==，所以数列{}n a 周期数列，所以数列{}n a 是有界数列，C 错误；对于D ：由12121111n n a a a a a a +++= ，得()12112111112n n n a a a a a a --+++=≥ ，两式相减得1211111n n n a a a a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简可得1211n n a a a a -=- ，即1211n n a a a a -=- 用数学归纳法证明()0,1n a ∈，当1n =时由题知()10,1a ∈；假设n k =时结论成立，即()12110,1k k a a a a -=-∈ ，此时1211k k a a a a -=- ；则当1n k =+时()2211213111124k k k k kk k a a a a a a a a a +⎛⎫=-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，又因为()0,1k a ∈，所以()21130,124k k a a +⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，所以1n k =+时成立，根据①和②可知，该结论成立，故()0,1n a ∈，所以{}n a 是有界数列，所以D 正确，故选：ABD【点睛】方法点睛：用数学归纳法可以很好的证明数列在某个区间的问题，但是要注意数学归纳法的书写格式和数学逻辑.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，655630S S -=，则10a =_______．【答案】20【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差d 即可得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由655630S S -=，得15655()5()302a a S S +--=，即有635530a a -=，于是6336d a a -==，解得2d =，所以101920a a d =+=.故答案为：2014.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin 14ACF ∠=，则DEF 的面积为________．【解析】【分析】利用正弦定理以及余弦定理求得钝角三角形的三边长，根据等边三角形的性质以及面积公式，可得答案.【详解】因为EFD △为等边三角形，所以60EFD ∠= ，则120EFA ∠= ，在AFC △中，由正弦定理，则sin sin AF AC ACF AFC=∠∠，解得3sin 7sin 214AF AC AFC ACF =⋅∠==∠，由余弦定理，则2222cos AC AF FC AF FC AFC =+-⋅⋅∠，整理可得：21499232FC FC ⎛⎫=+-⨯⋅⋅- ⎪⎝⎭，则23400FC FC +-=，解得5FC =或8-（舍去），等边EFD △边长为532-=，其面积为122sin 602⨯⨯⋅=o .15.如图，一个半径为3的半圆，C 、D 两点为直径AB 的三等分点，E 、F 两点为弧AB 上的三等分点，则CF DE ⋅=________.【答案】12##0.5【解析】【分析】以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得⋅CF DE 的值.【详解】以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，连接OE 、OF，由题意可知，60BOF ∠= ，120BOE ∠= ，则()1,0C -、()1,0D 、333,22E ⎛- ⎝⎭、333,22F ⎛ ⎝⎭，所以，5,22CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，5,22DE ⎛=- ⎪⎝⎭，故25512222CF DE ⎛⎛⎫⋅=⨯-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ .故答案为：12.16.已知函数2()33=--f x x ，若<m n ，且()()f m f n =，则m 的取值范围为____，mn 的取值范围为_________.【答案】①.(②.()3,3-【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到(m ∈，n ∈，确定2262m n mn +=≥，排除等号成立的条件，计算得到答案.【详解】()222,()336,,x x f x x x x ∞∞⎧⎡-∈⎣⎪=--=⎨-∈-⋃+⎪⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：<m n 且()()f m f n =，故(m ∈，n ∈，故226m n -=-，即2262m n mn +=≥，33mn -≤≤，m n ≠，等号不成立，故33mn -<<，即),3(3mn ∈-.故答案为：(；()3,3-.四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()2sin cos 442x x x f x =.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合；（2）若()f x 的图象向右平移m (0)m >个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m 的最小值．【答案】（1）最小值为－2，此时5{|4,Z}3x x k k π=π-∈（2）min 53π=m ．【解析】【分析】（1）对三角函数合一后进行最小值得分析即可；（2）利用偶函数求出m 的值，再求出最小值即可.【小问1详解】因为()sin 2sin()2223π=+=+x x x f x ，所以当2,232ππ+=-+π∈x k k Z 即54,Z 3x k k π=π-∈时，()f x 取得最小值－2，所以()f x 的最小值为－2，此时x 的取值集合为5{|4,Z}3x x k k π=π-∈；【小问2详解】设()f x 的图象向右平移m (0)m >个单位后得到函数()g x ，则()2sin()23-π=+x m g x ，因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x -=，即sin(sin(223223ππ-+=--+x m x m ，展开可得πsin cos 0223x m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以sin cos()0223π-+=x m 恒成立，所以,Z 232m k k ππ-+=+π∈，所以2,Z 3m k k π=--π∈，又因为0m >，所以min 53π=m ．18.在①BAC ∠的平分线长为65；②D 为BC 中点，2AD =；③AH 为BC 边上的高，35719AH =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知2b =，2cos 3cos =-A a B .（1）求c ;（2）若，求BAC ∠的大小.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）3（2）2π3BAC ∠=.【解析】【分析】（1）根据题意由2b =，利用余弦定理即可求得3c =；（2）若选①：记2BAC θ∠=，利用等面积法即可求得1cos 2θ=，即可知2π3BAC ∠=；若选②：利用平面向量表示出()12AD AB AC =+ ，再根据2AD =利用数量积定义即可求得结果；若选③：分别在Rt BAH 和Rt CAH △中利用余弦定理即可求得BC =，再利用余弦定理可求得2π3BAC ∠=.【小问1详解】由2b =及2cos 3cos =-A a B 得cos 3cos b A a B =-，即cos cos 3b A a B +=，由余弦定理得222222322b c a a c b b a bc ac+-+-⋅+⋅=，所以3c =．【小问2详解】若选①：记2BAC θ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于D ，则有ABC ABD ACD S S S =+ ，即111sin 2sin sin 222=⋅+⋅bc b AD c AD θθθ，即12186sin 2sin sin 55=+θθθ，即sin 2sin θθ=，所以2sin cos sin θθθ=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0θ≠，从而1cos 2θ=，即π3θ=，所以2π3BAC ∠=.若选②：由于D 为BC 中点，所以()12AD AB AC =+ ，即22242AD AB AC AB AC =++⋅，又因为72AD = ，3AB = ，2AC = ，所以3AB AC ⋅=- ，即cos 3⋅⋅∠=-AB AC BAC ，所以1cos 2BAC ∠=-，又因为()0,πBAC ∠∈，所以2π3BAC ∠=.若选③：由于AH 为BC 边上的高，在Rt BAH 中，2229571449191919⨯=-=-=⨯BH AB AH ，所以121919=BH ，在Rt CAH △中，222957494191919⨯=-=-=⨯CH AC AH ，所以71919=CH ，所以19=+=BC BH CH ，由余弦定理得22294191cos 22322+-+-∠===-⋅⨯⨯AB AC BC BAC AB AC ，又因为()0,πBAC ∠∈，所以2π3BAC ∠=.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，2AD BC =，90DAB ∠= ，平面PDB ⊥平面ABCD ，AC BD ⊥，AB PD ⊥，1BC =，2PD =（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角D PC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）66-.【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理，可得答案；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角向量公式，可得答案.【小问1详解】因为平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDB 平面ABCD BD =，AC BD ⊥，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面PDB ，又因为PD ⊂平面PDB ，所以AC PD ⊥，又因为AB PD ⊥，AC AB A ⋂=，AC ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD AB ⊥，过A 引//AZ PD ，则有AZ AD ⊥，AZ AB ⊥，又因为90DAB ∠= ，即AB AD ⊥，以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AZ 为z 轴建立空间直角坐标系设(0)AB t t =>，则(0,0,0)A ，(,0,0)B t ，(,1,0)C t ，(0,2,0)D，(0,P ，所以(),1,0AC t =uuu r ，(),2,0BD t =-uu u r，DP = ，由于AC BD ⊥，所以0AC BD ⋅= ，所以22t =，即t =，从而C，则)1,0DC =-uuu r，2,PB =-uu r，1,PC =-uu u r ，设平面PDC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则有00n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y =-=，取1x =，解得0y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即(1,0)=n ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m a b c = ，则有00m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200b b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，取1a =，解得01bc =⎧⎨=⎩，即(1,0,1)m = ，所以|cos ,||<>== m n设二面角D PC B --的平面角为θ，θ为钝角，所以二面角D PC B --的平面角余弦值为6-.20.已知函数()f x 满足2()e 2x f x x x =-+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(2)1>-+f x a x 在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间（2）()2e,-+∞【解析】【分析】（1）先对函数()f x 求导，进而构造函数()e 22x m x x =-+，利用导数分析其单调性，进而可得min ()0m x >，进而得到()0f x '>恒成立，从而求解；（2）转化问题为1e x a x x x >+-在区间(0,)+∞上恒成立，令()1e xg x x x x =+-，,()0x ∈+∞，只需max ()a g x >，进而利用导数分析()g x 单调性进行求解即可.【小问1详解】因为2()e 2x f x x x =-+，所以()e 22x f x x '=-+，令()e 22x m x x =-+，则()e 2xm x '=-，当(,ln 2)x ∈-∞时，()0m x '<；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0m x '>．所以()m x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增．所以min ()(ln 2)2(2ln 2)0==->m x m ，即()0f x '>恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间．【小问2详解】由题意()(2)1>-+f x a x 在区间(0,)+∞上恒成立，即21e 22x x x x ax >-+-+恒成立，即1e xa x x x >+-在区间(0,)+∞上恒成立，令()1e x g x x x x=+-，,()0x ∈+∞，只需max ()a g x >，因为()()()22211e 1e e 1x x x x x x g x x x x-+-⋅-'=-+-=，令()1e x h x x =+-，()0,x ∈+∞，有()10e x h x '=-<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，所以()(0)0h x h <=，即1e 0x x +-<，所以当(0,1)x ∈时，()0g x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()()max 12e g x g ==-，即2e a >-，所以实数a 的取值范围为()2e,-+∞．21.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，21221++=++n n S S n n ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若11b =，1(1)++-=n n n n b b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-（2）22111,21,N 2211,2,N 22n n n n k k T n n n k k **⎧-+=-∈⎪⎪=⎨⎪+=∈⎪⎩【解析】【分析】（1）法一：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到14(2)++=n n a a n n ≥，从而得到114(2)n n a a n +--=≥，可得{}n a 的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的通项公式，得到答案；法二：变形得到22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- n n n S n S n S ，结合2110-=S ，得到2n S n =，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出答案；（2）变形得到21212(1)+-+=k k b b k ≥，当n 为奇数时，1n b =，当n 为偶数时，1123122n n b a n n -=+=-+=-，分n 为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.【小问1详解】法一:当1n =时，215S S +=，即2125a a +=，由11a =，得23a =，由21221++=++n n S S n n ，得212(1)2(1)1n n S S n n -+=-+-+(2)n ≥，两式相减得：14(2)++=n n a a n n ≥．又214a a +=，满足上式．所以当*n ∈N 时，14n n a a n ++=，又当2n ≥时，14(1)n n a a n -+=-，两式相减得：114(2)n n a a n +--=≥，所以数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-n n a a n n （n 为奇数），数列{}n a 的偶数项是以23a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-n n a a n n （n 为偶数），所以21n a n =-，即{}n a 的通项公式是21n a n =-．法二：因为21221++=++n n S S n n ，所以221(1)()n n S n S n +-+=--，同理可得()2211n n S n S n -⎡⎤-=---⎣⎦，故22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- n n n S n S n S ，因为2110-=S ，所以20n S n -=，即2n S n =，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，11a =适合上式，所以{}n a 的通项公式是21n a n =-.【小问2详解】因为1(1)++-=n n n n b b a ，故当()21N n k n *=-∈时，221212(21)143k k k b b a k k ---==--=-①，当()2N n k n *=∈时，212222141k k k b b a k k ++==⨯-=-②，①、②两式相减得：21212(1)+-+=k k b b k ≥，因为11b =，312b b +=，所以31b =，因为21212(1)+-+=k k b b k ≥，所以当n 为奇数时，1n b =，当n 为偶数时，112(1)123n n n b b a n n ---==--=-，所以1123122n n b a n n -=+=-+=-，所以1,21,N 22,2,Nn n k k b n n k k **⎧=-∈=⎨-=∈⎩；当n 为偶数时，213124(222)112()()12222-+-=+++++++=⨯+=+ n n n n n n T b b b b b b n n ,当n 为奇数时，2111111[(1)(1)][2(1)2]22++++=-=-=+++-+-n n n n n T T b T b n n n 211122n n =-+，综上，22111,21,N 2211,2,N 22n n n n k k T n n n k k **⎧-+=-∈⎪⎪=⎨⎪+=∈⎪⎩.22.已知函数2()+(2)ln =--f x ax a x x ．（1）若()f x 在区间(1,2)上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，求证：()f x 有两个零点1x ，2x 12()x x ≠，且12()()0''+<f x f x ．【答案】（1）112a <<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，分0a ≤以及0a >，根据导函数得出函数的单调性，进而得出函数极值情况；（2）先根据导函数以及零点存在定理，证明函数存在两个零点.代入求出()()12,f x f x ，作差然后推得112212122()ln()(1)-+=-++x x x x a x x x x .然后求出1()22f x ax a x '=-+-，代入化简11212212112ln )()(()(x x f x f x x x x x '+=-+-'.转化为证明12212102ln -+>x x x x x x ，换元令12,(0,1)x t t x =∈，证明12ln 0t t t -+>，(0,1)t ∈即可.【小问1详解】因为2()(2)ln f x ax a x x =+--，(1,2)x ∈，所以22(2)1(21)(1)1()22+--+-'=+--==ax a x x ax f x ax a x x x.①当0a ≤时，()0f x '<在(1,2)上恒成立，所以()f x 在(1,2)上单调递减，()f x 在(1,2)上无极值点；②当0a >时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．所以()f x 的极小值点为1a ，无极大值点.因为()f x 在(1,2)上有极值，所以1(1,2)∈a，所以112a <<.综上所述，当112a <<时，()f x 在区间(1,2)上有极值.【小问2详解】由已知，()f x 定义域为()0+∞，.当01a <<时，(21)(1)()+-'=x ax f x x，0x >由（1）知：()111()ln 1f x f a a a==--+极小，因为01a <<，所以11a>.令1t a =，1t >，则()ln 1f t t t =--+.因为1()10'=--<f t t在(1,)t ∈+∞上恒成立，所以()f t 在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0f t f <=，即()1()0f x f a =<极小.因为，221212ln 10e e e e e e ea a a a f -⎛⎫=+-=++-> ⎪⎝⎭，由（1）知：()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且110e f f a ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据零点存在定理，可知()f x 在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点1x ，使1()0f x =，.因为()3(2)39333ln 3ln a f a a a a a a-=+-=+-.令()ln 1g x x x =-+，0x >，则()111x g x x x-'=-=.当01x <<时，有()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增；当1x >时，有()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减.所以，()g x 在1x =处取得唯一极大值，也是最大值()10g =.因为01a <<，所以33a >，所以30g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即33ln 10a a --<，所以33ln 10a a -+>，所以()33140f a>+=>.由（1）知()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()()130f f a a ⋅<，所以()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点2x ，使2()0f x =．所以()f x 有两个零点1x ，212()x x x ≠.下面证明12()()0''+<f x f x ：设120x x <<，则()()()()()()111111111111222222222ln 2ln 02ln 2ln 0f x ax a x x a x x x x f x ax a x x a x x x x ⎧=+--=+--=⎪⎨=+--=+--=⎪⎩．两式相减：2212121212[()()]2()(ln ln )0a x x x x x x x x -+-----=，即11212122()(1)2()ln 0-++---=x a x x x x x x x ，所以112212122()ln()(1)-+=-++x x x x a x x x x .因为22(2)11()22+--'==-+-ax a x f x ax a x x，所以12121212121111()()2()()2(2)2(1)()4''+=+-++-=++-+-f x f x a x x a a x x x x x x 1112221212112121222()ln2ln ()(1)(11112(1)()4())-+-++-=++-+-=-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x .要证：12()()0''+<f x f x ，即证：1211212211(0()02()ln-+<<<-x x x x x x x x ，只要证：122211112ln(()0)--+>x x x x x x ，即证：12212102ln-+>x x x x x x .令12,(0,1)x t t x =∈，即证：12ln 0t t t -+>，(0,1)t ∈．令()2ln 1-=+m t t t t，(0,1)t ∈，则222(1)112(0)----='=<m t t t t t 在(0,1)t ∈上恒成立，所以()m t 在()0,1上单调递减，所以()(1)0m t m >=．即12212102ln -+>x x x x x x 成立，故()f x 有两个零点1x ，2x 12()x x ≠，且12()()0''+<f x f x .【点睛】关键点睛：求出()f x '，代入化简11212212112ln)()(()(x x f x f x x x x x '+=-+-'.转化为证明12212102ln -+>x x x x x x ，换元求导即可.。

江苏省苏州市2021届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

江苏省苏州市2021届高三年级第一学期期中考试数学(满分150分，考试时间120分钟)2020．11第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x 2－x －6≤0}，B ＝{x|x 2>4}，则A ∩B ＝( ) A. (2，3) B. [2，3] C. (2，3] D. [2，3]∪{－2}2. 若角α的终边经过点(3－sin α，cos α)，则sin α的值为( )A. 15B. 14C. 13D. 343. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( )A. 160B. 180C. 200D. 2204. 函数“f(x)＝x 2＋2x ＋1＋a 的定义域为R ”是“a ≥1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 函数f(x)＝（e x －e －x ）cos xx 2的部分图象大致是( )6. 已知函数f(x)＝xln x ，若直线l 过点(0，－e)，且与曲线C ：y ＝f(x)相切，则直线l 的斜率为( )A. －2B. 2C. －eD. e 7. 衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a·e －kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a.若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A. 125B. 100C. 75D. 508. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a n >0，a 1＝12，S n <2，则等比数列{a n }的公比的取值范围是( )A. (0，34]B. (0，23]C. (0，34)D. (0，23)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9. 已知函数f(x)＝cos x －3sin x ，g(x)＝f′(x)，则( )A. g(x)的图象关于点(π6，0)对称B. g(x)的图象的一条对称轴是x ＝π6C. g(x)在(－5π6，π6)上递减D. g(x)在(－π3，π3)内的值域为(0，1)10. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1>0，公差d ≠0，则( )A. 若S 5>S 9，则S 15>0B. 若S 5＝S 9，则S 7是S n 中最大的项C. 若S 6>S 7，则S 7>S 8D. 若S 6>S 7，则S 5>S 611. 已知函数f(x)＝|lg(x －1)|，b>a>1且f(a)＝f(b)，则( ) A. 1＜a ＜2 B. a ＋b ＝ab C. ab 的最小值为1＋ 2 D. 1a －1＋1b －1>2 12. 若函数f(x)＝e x －ln x ＋kx－1在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，则( ) A. x 0ex 0＝1 B. 12<x 0<1C. k ＝1D. k>1第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数f(x)＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，则不等式(x －2)f(x)<0的解集为________________________________________________________________________．14. 若对任意正数x ，满足xy ＋yx ＝2－4y 2，则正实数y 的最大值为________．15. 在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底需缴房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为__________元．(取1.211＝7.5，1.212＝9)16. 已知定义在R 上的函数f(x)关于y 轴对称，其导函数为f′(x)，当x ≥0时，xf ′(x)>1－f(x)．若对任意x ∈R ，不等式e x f(e x )－e x ＋ax －axf(ax)>0恒成立，则正整数a 的最大值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin (ωx －φ)(ω＞0，|φ|≤π2)的最小正周期为π. (1) 求ω的值及g(φ)＝f(π6)的值域；(2) 若φ＝π3，sin α－2cos α＝0，求f(α)的值．18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－13x 3＋a2x 2－2x(a ∈R )．(1) 当a ＝3时，求函数f(x)的单调递减区间；(2) 若对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a －1)成立，求实数a 的取值范围．在① csin B ＋C2＝asin C ，② 2cos A(bcos C ＋ccos B)＝a ，③(sin B －sin C)2＝sin 2A －sinBsin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c ＝(3－1)b ，________． (1) 求C 的值；(2) 若△ABC 的面积为3－3，求b 的值．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20.(本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝b 1＝2，a 3＋a 5＋a 7＝30，b 2b 3＝a 16.(1) 求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2) 设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .①是否存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式：S n ≥b n .若函数f(x)在x ∈[a ，b]时，函数值y 的取值区间恰为[k b ，ka ](k ＞0)，则称[a ，b]为f(x)的一个“k 倍倒域区间”．定义在[－4，4]上的奇函数g(x)，当x ∈[0，4]时，g(x)＝－x 2＋4x.(1) 求g(x)的解析式；(2) 求g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”；(3) 若g(x)在定义域内存在“k(k ≥8)倍倒域区间”，求k 的取值范围．已知函数f(x)＝e x＋ax·sin x.(1) 求曲线C：y＝f(x)在x＝0处的切线方程；(2) 当a＝－2时，设函数g(x)＝f（x）x，若x0是g(x)在(－π，0)上的一个极值点，求证：x0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点，且0＜g(x0)＜2.2021届高三年级第一学期期中考试(苏州)数学参考答案及评分标准1. C2. C3. B4. B5. A6. B7. C8. A9. BC 10. BC 11. ABD 12. ABC 13. (－2，2)∪(2，＋∞) 14. 1215. 40 000 16. 217. 解：(1) 因为函数f(x)的最小正周期为π，所以2πω＝π，ω＝2，(1分)此时g(φ)＝f(π6)＝sin(π3－φ)＝－sin (φ－π3)．因为|φ|≤π2，所以φ－π3∈[－5π6，π6]，所以－1≤sin(φ－π3)≤12，(3分)所以g(φ)＝f(π6)的值域为[－12，1]．(4分)(2) 因为φ＝π3，所以f(α)＝sin (2α－π3)．由sin α－2cos α＝0，得tan α＝2，(6分) f (α)＝sin (2α－π3)＝12sin 2α－32cos 2α(8分)＝12×2 tan α1＋tan 2α－32×1－tan 2α1＋tan 2α＝4－3×（1－4）2×（1＋4）＝4＋3310.(10分) 18. 解：(1) 当a ＝3时，f(x)＝－13x 3＋32x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2＋3x －2.(1分)因为f′(x)＜0，得x ＜1或x ＞2，(3分)所以函数f(x)单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)．(4分) (2) 由f(x)＝－13x 3＋a2x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2＋ax －2.(5分)因为对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a －1)成立，所以问题转化为：对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)max ＜2(a －1)．(6分) 因为f′(x)＝－(x －a 2)2＋a 24－2，其图象开口向下，对称轴为x ＝a2.①当a2＜1时，即a ＜2时，f ′(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max ＝f′(1)＝a －3.由a －3＜2(a －1)，得a ＞－1，此时－1＜a ＜2.(8分)②当a 2≥1，即a ≥2时，f ′(x)在[1，a 2]上单调递增，在(a2，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max ＝f′(a 2)＝a 24－2.(10分)由a 24－2＜2(a －1)，得0＜a ＜8，此时2≤a ＜8.(11分) 综合①②，可得实数a 的取值范围是(－1，8)．(12分) 19. 解：若选①.(1) 由题设条件及正弦定理，得sin CsinB ＋C2＝sin Asin C ．(1分)因为△ABC 中，sin C ≠0，所以sinB ＋C2＝sin A ．(2分) 由A ＋B ＋C ＝π，可得sin B ＋C 2＝sin π－A 2＝cos A2，(3分)所以cos A 2＝2sin A 2cos A2.(4分)因为△ABC 中，cos A 2≠0，所以sin A 2＝12.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)因为c ＝(3－1)b ，所以由正弦定理得sin C ＝(3－1)sin B.因为A ＝π3，所以sin B ＝sin(π－A －C)＝sin(A ＋C)＝sin(C ＋π3)，(6分)所以sin C ＝(3－1)sin(C ＋π3)，整理得sin C ＝cos C ．(7分)因为△ABC 中，sin C ≠0，所以cos C ≠0，所以tan C ＝sin Ccos C ＝1.因为0＜C ＜π，所以C ＝π4.(9分)(2) 因为△ABC 的面积为3－3，c ＝(3－1)b ，A ＝π3，所以由S ＝12bcsin A 得34(3－1)b 2＝3－3，(11分)解得b ＝2.(12分)若选②.(1) 由题设及正弦定理得2cos A(sin Bcos C ＋sin Ccos B)＝sin A ，(1分) 即2cos Asin(B ＋C)＝sin A ．(2分)因为B ＋C ＝π－A ，所以2cos Asin A ＝sin A ．(3分) 因为△ABC 中，sin A ≠0，所以cos A ＝12.(4分)因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)下同选①.若选③.由题设得(sin B －sin C)2＝sin 2A －sin Bsin C ，(1分) 所以sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin Bsin C ．(2分) 由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(4分)因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)下同选①.20. 解：(1) 因为等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝30，所以a 5＝10. 设等差数列{a n }的公差是d ，所以d ＝a 5－a 15－1＝2，(1分)所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n.(2分)设等比数列{b n }的公比是q ，因为b 2b 3＝a 16，所以b 21q 3＝4q 3＝32，所以q ＝2，所以b n ＝b 1qn －1＝2n .(3分) (2) ① 若存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立，则b k ＋1＝b k ＋32，(4分)所以2k ＋1＝2k ＋32，即2k ＝32，解得k ＝5.(5分) 存在正整数k ＝5满足条件．(6分) ② S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋1)，所以n(n ＋1)≥2n ，即2n －n(n ＋1)≤0.(8分) 令f(n)＝2n －n(n ＋1)，因为f(n ＋1)－f(n)＝2n ＋1－(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋n(n ＋1)＝2[2n －1－(n ＋1)]，所以当n ≥4时，{f(n)}单调递增．(9分)又f(2)－f(1)＜0，f(3)－f(2)＜0，f(4)－f(3)＜0，所以f(1)＞f(2)＞f(3)＝f(4)＜…＜f(n)＜…(10分) 因为f(1)＝0，f(4)＝－4，f(5)＝2，所以n ＝1，2，3，4时，f(n)≤0，n ≥5时，f(n)＞0，(11分) 所以不等式S n ≥b n 的解集为{1，2，3，4}．(12分) 21. 解：(1) 因为g(x)为定义在[－4，4]上的奇函数，所以当x ∈[－4，0)时，g(－x)＝－(－x)2＋4(－x)＝－x 2－4x. 因为g(－x)＝－g(x)，所以g(－x)＝－g(x)＝－x 2－4x ，(2分) 所以g(x)＝x 2＋4x ，所以g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ∈[－4，0），－x 2＋4x ，x ∈[0，4].(3分)(2) 因为g(x)在[2，4]内有“8倍倒域区间”，设2≤a ＜b ≤4，因为g(x)在[2，4]上单调递减，所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝8a ，－b 2＋4b ＝8b ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）（a 2－2a －4）＝0，（b －2）（b 2－2b －4）＝0，(5分)解得a ＝2，b ＝1＋5，所以g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”为[2，1＋5]．(6分) (3) 因为g(x)在x ∈[a ，b]时，函数值的取值区间恰为[k b ，ka ](k ≥8)，所以0＜a ＜b ≤4或－4≤a ＜b ＜0.当0＜a ＜b ≤4时，因为g(x)的最大值为4，所以ka ≤4.(7分)因为k ≥8，所以a ≥2.因为g(x)在[2，4]上单调递减，所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝ka，－b 2＋4b ＝k b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－4a 2＋k ＝0，b 3－4b 2＋k ＝0，(8分)所以方程x 3－4x 2＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解．令h(x)＝x 3－4x 2＋k ，x ∈[2，4]，则h′(x)＝3x 2－8x.令h′(x)＝3x 2－8x ＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝83，当x ∈(2，83)时，h ′(x)＜0，所以h(x)在(2，83)上单调递减．当x ∈(83，4)时，h ′(x)＞0，所以h(x)在(83，4)上单调递增．(10分)因为h(2)＝k －8≥0，h(4)＝k ≥8，所以要使得x 3－4x 2＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解，只需h(83)＜0，解得k ＜25627，所以8≤k ＜25627.(11分)同理可得：当－4≤a ＜b ＜0时，8≤k ＜25627.综上所述，k 的取值范围是[8，25627)．(12分)22. (1) 解：因为f(x)＝e x ＋ax·sin x ，所以f′(x)＝e x ＋a(sin x ＋xcos x)，(1分) 所以f′(0)＝1.因为f(0)＝1，所以曲线f(x)在x ＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1.(3分) (2) 证明：当a ＝－2时，g(x)＝e xx －2sin x ，其中x ∈(－π，0)，则g′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＝e x （x －1）－2x 2cos xx 2.(4分)令h(x)＝e x (x －1)－2x 2cos x ，x ∈(－π，0)，则h′(x)＝x(e x ＋2xsin x －4cos x)．当x ∈(－π，－π2)时，因为e x ＞0，2xsin x ＞0，cos x ＜0，所以h′(x)＜0，所以h(x)在(－π，－π2)上单调递减．(5分)因为h(－π)＝2π2－e－π(1＋π)＞0，h(－π2)＝e －π2(－π2－1)＜0，所以由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈(－π，－π2)，使得h(x 0)＝0，(7分)所以当x ∈(－π，x 0)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0；当x ∈(x 0，－π2)时，h(x)＜0，即g ′(x)＜0.当x ∈(－π2，0)时，g ′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＜0.因为g′(x)在(－π，0)上连续，所以x ∈(x 0，0)时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(－π，x 0)上单调递增，在(x 0，0)上单调递减，所以x 0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点．(9分)因为g(x)在(x 0，－π2)上单调递减，所以g(x 0)＞g(－π2)．因为g(－π2)＝－1π2e π2＋2＞0，所以g(x 0)＞0.(10分)11 当x 0∈(－π，－π2)时，因为－1＜ex 0x 0＜0，0＜－2sin x 0＜2，所以g(x 0)＝ex 0x 0－2sin x 0＜2，(11分) 所以0＜g(x 0)＜2.(12分)。

江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试模拟数学试题1

江苏省苏州市五市三区2013届高三数学期中考试模拟试题(1)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．1. 命题“x xR x >∈∀2,”的否定是。

2. 已知集合}55|{},53|{<<-=≤<-=y y N x x M ,则=N M .3.设b a ,都是实数,那么“22b a >”是“b a >”的条件． 4. 函数x x f ln 1)(-=的定义域为.5. 函数xx y 1+=的值域为 .6.设集合}20|{≤≤=x x M ，}20|{≤≤=y y N ,给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 .7.已知函数⎩⎨⎧>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x则)2(log 3f 的值为 .8.设7.06-=a ,6.0log 7.0=b ，7log 6.0=c ，则cb a ,,从小到大的排列顺序为 .9. 已知函数]2,1[,2)(2∈-=x x xx f ，则=-)1(x f .10. 函数x xy ln 21+=的单调减区间为 . 11.设直线a y =分别与曲线x y=2和x e y =交于点M、N ,则当线段MN 取得DA EB(第14题图)最小值时a 的值为 .12.下列说法：①当0>x 且1≠x 时,有2ln 1ln ≥+xx ； ②函数xy a =的图象可以由函数2xy a =(其中0>a 且1≠a )平移得到； ③若对R x ∈，有),()1(x f x f -=-则)(x f 的周期为2； ④ “若062≥-+x x，则2≥x ”的逆否命题为真命题；⑤函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称。

其中正确的命题的序号 .13.若函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a的值是。

14.已知ABC∆的面积为1,点D在AC上,AB DE //，连结BD ，设DCE ∆、ABD ∆、BDE ∆中面积最大者的值为y ，则y 的最小值为 .二、解答题(本大题共6小题，共90分）15.（本小题满分14分） (1）已知1>>b a 且310log log=+a b b a ，求a b b alog log-的值.（2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg --+的值。

2025届苏州市高三数学上学期11月期中调研试卷分附答案解析

2024～2025学年第一学期高三期中调研试卷数学注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，若i 是虚数单位，复数z 与21i -关于虚轴对称，则z =（）A. 1i +B. 1i-- C. 1i-+ D. 1i-【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算和几何意义求解即可.【详解】()221i 21i 1i 1i+==+--，复数z 与21i-关于虚轴对称，故1i z =-+.故选：C2. 若对于任意的实数R x ∈都有cos()sin cos cos sin x x x θθθ-=+成立，则θ的值可能是（）A.π4B. π2-C. π4-D. 0【答案】A 【解析】【分析】利用两角和差公式和诱导公式求解即可.【详解】cos()sin cos cos sin sin()sin(2)x x x x x θθθθθθ-=+=+=-+，故π22π,Z 2k k θ=+∈，即ππ,Z 4k k θ=+∈，当0k =时，π.4θ=故选：A3. 下列说法中不正确的是（）A. “1a >”是“2a >”的必要不充分条件B. 命题“R x ∀∈，2220x x ++>”的否定是“R x ∃∈，2220x x ++<”C. “若a ，R b ∈，8a b +<，则4a <且4b <”是假命题D. 设m ，R n ∈，则“0m =或0n =”是“0mn =”的充要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分性和必要性的定义即可判断选项AD ；利用命题的否定即可判断选项B ；利用赋值法即可判断选项C.【详解】对于A, “1a >”是“2a >”的必要不充分条件,故A 正确；对于B ，命题“R x ∀∈，2220x x ++>”的否定是“R x ∃∈，2220x x ++≤”，故B 错误；对于C ，当5,1a b ==时，满足8a b +<，不满足4a <且4b <，故“若a ，R b ∈，8a b +<，则4a <且4b <”是假命题，故C 正确；对于D ，“0m =或0n =”是“0mn =”的充要条件，故D 正确.故选：B4. 在数列{}n a 中，12n n a a n ++=，则数列{}n a 前24项和24S 的值为（）A. 144 B. 312C. 288D. 156【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合12n n a a n ++=，将{}n a 前24项和24S 转化为等差数列求和问题.【详解】因为12n n a a n ++=，所以()2412324122462610462882S a a a a ⨯+=++++=++++== ，故选：C.5. 已知实数0x y >>，则223x x y xy y +-的最小值为（）A. 12 B. 9C. 6D. 3【答案】B 【解析】【分析】将xy看成一个整体，然后利用换元法结合基本不等式求解即可.【详解】22233,1x y x x x x y xy y y y⎛⎫ ⎪⎝⎭+=+--设1xt y=-，0x y >>，故0t >，()()222131314559t x x t t y xy ytt ++=++=++≥=-，当且仅当14t t =，即12t =时，等号成立.故选：B6. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（）A.14B.C.12D.【答案】D 【解析】【分析】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ，R ，由圆柱表面积等于圆锥侧面积建立方程，求半径比.【详解】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ，R，设圆柱高为h ，则h R r R R-=，=-h R r ，由题，()2π2π2πR r r R r ⨯=+⨯-，得r R =.故选：D .7. 已知()()()2R,4sin f x x x ωω∈=-⋅，若存在常数R a ∈，使得()y f x a =+为偶函数，则ω的值可以为（）A.3π8B.π3C.π4D.π2【答案】A 【解析】【分析】求出()y f x a =+的解析式，得()24y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数，然后根据偶函数的定义分析求解．详解】由()()()2R,4sin f x x x ωω∈=-⋅，得()()()24sin x a x f a a x ω+-⋅=++⎡⎤⎣⎦是偶函数，因为()24y x a =+-不可能是奇函数，所以()24y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数，()()()2224244y x a x a x a =+-=+-+-为偶函数，则40a -=，即4a =，()()sin 4sin 4y x x ωωω⎡⎤=+=+⎣⎦为偶函数，则π4π2k ω=+，Z k ∈，ππ48k ω=+，Z k ∈，只有1k =时，3π8ω=，故选：A8. 已知函数()e e (0)x x f x x ax b ab a =--+>，若()0f x ≥，则1b a-最大值为（）A. 2e -B. 1e - C. eD. 2e 【答案】A 【解析】【分析】将()0f x ≥转化为函数y x b =-和e x y a =-的零点相同，然后利用ln b a =，构造函数()ln 1a g a a-=求最值即可.【详解】()()()e e e xxxf x x ax b ab x b a =--+=--，因为0a >，且函数y x b =-和e xy a =-都是增函数，故若()0f x ≥恒成立，则函数y x b =-和e xy a =-的零点相同，即ln b a =.故1ln 1b a aa--=，设()ln 1,a g a a -=则()22ln ,ag a a-'=【故在()20,e，()0g a '>，()g a 单调递增；在()2e ,∞+，()0g a '<，()g a 单调递减.故()()22max e e,g a g -==故1b a-最大值为2e -.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量(),2a x x =-，()1,b x =-- ，则下列说法中正确的是（）A. 若a b∥，则2x =-或1 B. 若a b ⊥，则0x =或-3C. 若a b =，则1x =或3D. 若1x =-，则向量a ，b【答案】AC 【解析】【分析】根据向量平行求参判断A 选项，根据向量垂直求参判断B 选项，应用模长相等计算判断C 选项，根据向量坐标的模长公式先求模长再根据夹角余弦公式计算判断D 选项.【详解】A 选项，若//a b，有()22x x --=-，解得1x =或2x =-，A 选项正确；B 选项，若a b ⊥，有()20x x x ---=，解得0x =或3，B 选项错误，；C 选项，若a b =，有=，解得1x =或3x =，C 选项正确；D 选项，当=1x -时，()1,3a =-，()1,1b =-，a =，b = ，4a b ⋅= ，向量a ，b 夹角的余=D 选项错误．故选：AC10. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是（）A. 若ABC V 为锐角三角形，则sin cos B A >B. 若60B =︒，2b ac =，则ABC V 是直角三角形C. 若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是等腰三角形.D. 若ABC V 为钝角三角形，且3AB =，5AC =，13cos 14C =，则ABC V 【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断A 选项；利用余弦定理即可判断B 选项；利用正弦定理边化角即可判断C 选项；利用余弦定理求出7a =或167a =，再进行分类讨论即可判断D 选项.【详解】对于A, 若ABC V 为锐角三角形，则π,2A B +> 即ππ22B A >>-，故πsin sin cos 2B A A ⎛⎫>-=⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，若60B =︒，2b ac =，则222222cos b a c ac B a c ac ac =+-=+-=，即()22220,0a c ac a c +-=-=，故a c =，且60B =︒，故ABC V 是等边三角形，故B 错误；对于C ，若cos cos b C c B b +=，则sin cos sin cos sin ,B C C B B +=即()sin sin ,B C B +=即s s n n ,i i A B =故A B =，ABC V 是等腰三角形.故C 正确；对于D ，222225913cos 21014a b c a C ab a +-+-===，解得7a =或167a =，且sin C ==，当7a =时，cos 0A <，A 为钝角，故1sin 2ABC S ab C ==△，当167a =时，cos 0B <，B 为钝角，故1sin 2ABC S ab C ==V D 错误.故选：AC11. 已知α，()βαβ≠是函数32()1f x x ax bx =+++，(),a b ∈R 两个不同的零点，且1αβ⋅=，1x ，2x 是函数()f x 两个极值点，则（）A. a b =B. 3a >或2a <-C.22(2)a b +-值可能为11D. 使得()()1243f x f x +=的a 的值有且只有1个【答案】ACD【解析】【分析】由,αβ是()f x 的零点且1αβ=得()()()(1)f x x x x αβ=--+，展开后与已知比较可得1a b αβ==--，可判断A ，由2()()(1)10x x x a x αβ--=+-+=有两个不等实解，得a 的范围，可判断B ，直接解方程22(2)11a a +-=可判断C ，由韦达定理得出1212,x x x x +，代入124()()3f x f x +=，化为关于a 的方程，引入函数32()299g a a a =-+，由导数确定它的单调性，结合零点存在定理得零点范围，结合B 中范围可判断D ．【详解】由已知2()32f x x ax b '=++有两个零点，24120a b ∆=->，又α，()βαβ≠是函数32()1f x x ax bx =+++两个不同的零点且1αβ⋅=，所以()()()(1)f x x x x αβ=--+，即32()(1)()f x x x x αβαβαβαβ=+--+--+32(1)(1)1x x x αβαβ=+--+--+所以1a αβ=--，1b αβ=--，即a b =，A 正确；224124120a b a a ∆=-=->，解得3a >或0a <，(0)10=>f ，322()1(1)[(1)1]f x x ax ax x x a x =+++=++-+，由已知2(1)10x a x +-+=有两个不等实根,αβ，所以21(1)40a ∆=-->，解得3a >或1a <-，所以3a >或1a <-，B 错；222222(2)(2)2442(1)211a b a a a a a +-=+-=-+=-+=，解得1a =-或1a =+，满足3a >或1a <-，C 正确；由2()320f x x ax a '=++=，得1223a x x +=-，123ax x =，322212121212()()()()2f x f x x x a x x a x x +=++++++32121212121222()3()[()2]()2x x x x x x a x x x x a x x =+-+++-+++322282422()2273933a a a a a a =-++--+23422273a a =-+，由2342422733a a -+=整理得322990a a -+=，设32()299g a a a =-+，则2()6186(3)g a a a a a '=-=-，0a <或3a >时，()0g a '>，0<<3a 时，()0g a '<，()g a 在在(,0)-∞和(3,)+∞上递增，在(0,3)上递减，又(0)90,(3)180g g =>=-<，(1)20g -=-<，33(9)29990g =⨯-+>，所以()g a 在(1,0)-，(0,3)，(3,)+∞上各有一个零点，又1a <-或3a >，因此()0g a =只在(3,)+∞上在一个解，D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的零点，极值，对计算要求较高，对多项式函数1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，如果α是它的一个零点，则121210()()()n n n n f x x b x b x b x b α----=-++++ ，因此本题中在已知()f x 有两个乘积为1的零点时，结合常数项可设()()()(1)f x x x x αβ=--+，展开后得出,a b 与,αβ的关系，从而使得问题可解．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,1上的值域为[],m n ，且3n m -=，则ω的值为______.【答案】11π12【解析】【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可.【详解】[]0,1x ∈，故πππ,444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为π()2sin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[0,1]上的值域为[],m n ，且3n m -=，故必有2,1,n m ==-，如图所示，则π7π,46ω+=故11π.12ω=故答案为：11π1213. 如图，边长为1的正ABC V ，P 是以A 为圆心，以AC 为半径的圆弧 BC上除点B 以外的任一点，记PAB 外接圆圆心为O ，则AO AB ⋅=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用三角形外心的性质将AO AB ⋅转化为()AD DO AB +⋅ 即可.【详解】取AB 的中点D ，因为ABC V 为正三角形，故CD 为AB 的中垂线，则PAB 外接圆圆心O 一定在CD 上，如图所示，，故()21122AO AB AD DO AB AD AB AB ⋅=+⋅=⋅== .故答案为：1214. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()()f x kx b g x ≥+≥恒成立，则称直线y kx b =+为()f x 和()g x 的“媒介直线”.已知函数2()(R)f x x x =∈，1()(0)g x x x=<，若()f x 和()g x 之间存在“媒介直线”y kx b =+，则实数b 的范围是______.【答案】[]4,0-【解析】【分析】结合函数图像，利用临界情况，y kx b =+同时与()f x 和()g x 均相切求解即可.【详解】()()f x kx b g x ≥+≥恒成立，即y kx b =+的图像一直在()f x 和()g x 之间，，当y kx b =+同时与()f x 和()g x 均相切时，方程2()f x x kx b ==+和方程1()g x kx b x==+均只有一个解，即20x kx b --=和210kx bx +-=均只有一个解，故224040k b b k ⎧+=⎨+=⎩或2400k b k ⎧+=⎨=⎩，解得0b =或4-，结合图像可知，“媒介直线”y kx b =+的截距[]4,0b ∈-.故答案为：[]4,0-【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，注意理解新定义，然后数形结合，利用临界情况求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 是公差大于1的等差数列，23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列，若数列{}n b 前n 项和为n S ，并满足2n n S b n =+，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式.（2）若()()11n n n c a b =--，求数列{}n c 前n 项的和n T .【答案】（1）21n a n =-；12nn b =-（2）()2228.n n T n +=--【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出n a ；利用n S 和n b 的关系，构造出()1121n n b b --=-即可求出n b ；（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，由23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列知：()()()12111315321a d a a d a d +=⎧⎪⎨++-=+-⎪⎩，整理得：251240d d -+=，即2=d 或者25d =，因为公差大于1，故2=d .且131a d =-=，故21n a n =-.数列{}n b 前n 项和n S ，并满足2n n S b n =+ ①，且11121b S b ==+，解得11b =-，故当2n ≥时，1121n n S b n --=+- ②，①式减②式得：11221n n n n n S S b b b ----==+，即()1121n n b b --=-，故{}1n b -是公比为2的等边数列，则()111122n n n b b --=-⨯=-，故12nn b =-【小问2详解】()()()()()11122212n n n n n c a b n n +=--=--=--，故()345102223212,n n T n +=--⨯-⨯---……则()4562202223212,n n T n +=--⨯-⨯---……故()()3234512222222221212,12n n n n n n T T n n ++++--=-----+-=-+--……故()2228,n n T n +-=-+则()2228.n n T n +=--的为16. 已知向量(sin ,cos )a x x =，,cos )b x x = ，()21f x a b =⋅-.（1）求函数()f x 解析式，写出函数()f x 的最小正周期、对称轴方程和对称中心坐标.（2）试用五点作图法作出函数()f x 在一个周期上的简图（要求列表，描点，连线画图）.（3）根据（2）中的图象写出函数()()y f x x =∈R 的单调增区间、最小值及取得最小值时相应x 值的集合.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换求出()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用整体代入法求解即可；（2）利用五点作图法求解即可；（3）根据函数图像求解即可.【小问1详解】向量(sin ,cos )a x x =，,cos )b x x = ，则2ππ2T ==，)2π()212cos cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期2ππ2T ==，当 ππ2=π,62x k k ++∈Z 时，ππ,62k x k =+∈Z ，当 π2=π,6x k k +∈Z 时，ππ,122k x k =-+∈Z ，故()f x 的对称轴方程为ππ,62k x k =+∈Z ，对称中心为ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .【小问2详解】列表：π26x +π2π3π22πxπ12-π65π122π311π12π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0202-0描点，连线，画图得：【小问3详解】由图可知，()f x 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；最小值为2-；取最小值时相应x 值的集合为：2ππ,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .17. 如图①，在平面四边形ABCD 中，CB CD ==，tan CDB ∠=，O 为对角线BD 中点，F为BC 中点，E 为线段AD 上一点，且BE AO ⊥，CO AB =，AB BD ⊥.（1）求AE 的长.（2）从下面（i ）与（ii ）中选一个作答，如果两个都作答，则只按第一个解答计分.（i ）在平面四边形ABCD 中，以BD 为轴将BCD △向上折起，如图②，当面CBD ⊥面ABD 时，求异面直线OF 与BE 所成角余弦值.（ii ）在平面四边形ABCD 中，以BD 为轴将BCD △向上折起，如图③，当60COE ∠=︒时，求三棱锥C ABD -的体积.【答案】（1 （2）见解析【解析】的【分析】（1）利用勾股定理和正弦定理结合三角函数求解即可；（2）若选（i ），利用空间向量求解即可；若选（ii ），利用等体积法求解即可.【小问1详解】因为CB CD == O 为对角线BD 中点，故CO BD ⊥,因为tan CDB ∠=故sin CDB CDB ∠=∠=，即sin CO DO CDB CDB CD CD ∠==∠==，解得2CO DO ==,故24,BD DO AB CO ====,则AD ==，AO ==,因为AB BD ⊥，BE AO ⊥，则π2ABE EBO ∠+∠=，π2AOB EBO ∠+∠=,所以ABE AOB ∠=∠,所以sin sin AB ABE AOB AO ∠=∠==cos ABE ∠=且sin sin BD BAD ABE AD ∠===∠,故ABEBAD ∠=∠,则在等腰ABE 中，由正弦定理得：sin sin AB AEAEB ABE=∠∠，sin AEABE=∠，则AE ===.【小问2详解】若选（i ）：当面CBD ⊥面ABD 时，因为CO BD ⊥,面CBD ⋂面ABD BD =,CO ⊂面CBD ,故CO ⊥面ABD ，又AB BD ⊥，故以点B 为坐标原点，BD 为x 轴，BA 为y 轴，过点B 做CO 的平行线为z 轴，可以建如图所示空间直角坐标系，由（1）知，12AE AD ==,故E 为AD 中点，则易得()(())0,2,0,,0,0,0,2,0,O F B E则()0,,2,0,OF BE =-=设异面直线OF 与BE 所成角为θ，则cos cos ,OF θ= .若选（ii ）：由（1）知，12AE AD ==,故E 为AD 中点，故12OE BA ==,当60COE ∠=︒时，1sin 602COE S CO OE =⋅⋅= ，因为//OE BA ，BD BA ⊥,故BD OE ⊥，且BD CO ⊥，OE CO O ⋂=,故BD ⊥面COE ,因为E 为AD 中点，O 为BD 中点，故4ABD DOE S S = ,则三棱锥C ABD -的体积:14443C ABD C DOE D COE COE V V V S OD ---===⨯⨯= .18. 已知函数()ln(1)f x a x =-，2()2g x x x =-.（1）如果函数()f x 在(2,(2))f 处的切线，也是()g x 的切线，求实数a 的值.（2）若()()()F x g x f x =-在11,e 1e⎡⎤++⎢⎥⎣⎦存在极小值()0F x ，试求()0F x 的范围.（3）是否存在实数a ，使得函数2(1)G()(1)2(1)g x x f x x +=+-+有3个零点，若存在，求出所有实数a 的取值集合，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2 （2）(2e 1,0⎤--⎦ （3）()0,1【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用极值点的定义，得出()2021a x =-，然后构造函数求出()0F x 的范围即可；（3）根据G()x 的单调性对a 进行分类讨论，注意1G(G()0x x+=，然后转化为G()x 在()1,+∞上有唯一零点求解即可.【小问1详解】(2)0f =，(),(2)1af x f a x ''==-，故()f x 在(2,(2))f 处的切线为()2y a x =-，()2y a x =-也是()g x 的切线，故方程()222x x a x -=-只有一个解，即()2220x a x a -++=只有一个解，()2280a a +-=，解得2a =.【小问2详解】()2()()()2ln 1F x g x f x x x a x =-=---，()221()2211x a a F x x x x --'=--=--，当0a ≤时，()0F x '>，()F x 无极值点，不符合题意；当0a >时，在1,1⎛+ ⎝上，()0F x '<，()F x 单调递减；在1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上，()0F x '>，()F x 单调递增；故()F x的极小值点01x =+，则()2021a x =-，故()()()02020002112ln F x x x x x =----，设01t x =-，011,e 1e x ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，则1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时()2201ln 2F x t t t =--，设()221l 2n h t t t t =--，则()4ln h t t t '=-，1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '>，()h t 单调递增；()1,e t ∈时，()0h t '<，()h t 单调递减；()()22131,e e 1,10e eh h h ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，故()(2e 1,0h t ⎤∈--⎦,即()(20e 1,0F x ⎤∈--⎦【小问3详解】2(1)1G()(1)2ln 2(1)1g x x x f x a x x x +-=+-=-++，0x >，()()()222144()11a x x a G x x x x x +-'=-=++，当0a ≤时，()0G x '<，G()x 在()0,∞+单调递减，不存在3个零点；当1a ≥时，()()()()22221414()011a x x x x G x x x x x +-+-'=≥≥++，G()x 在()0,∞+单调递增，不存在3个零点；当01a <<时，()()221414()112a x x G x a x x x x x ⎛⎫⎪+-'==- ⎪+ ⎪++⎝⎭，因为12y x x=++在()1,+∞上单调递增，设()412q x a x x=-++，则()q x 在()1,+∞上也是单调递增，且()110q a =-<，当x →+∞，(),0q x a a →>，故存在唯一一个()01,x ∈+∞，使()00q x =，即在()01,x ，()4012q x a x x=-<++，14()012G x a x x x ⎛⎫ ⎪'=-< ⎪ ⎪++⎝⎭，G()x 单调递减；在()0,x +∞，()0q x >，()0G x '>，G()x 单调递增；且G(1)0=，故0G()G(1)0x <=，且224G(e )0e 1aa=>+，故G()x 在()1,+∞有唯一零点，1G()ln 21x x a x x -=-+，故1G()G()0x x+=，当1x >时，101x<<，因为G()x 在()1,+∞有唯一零点，故G()x 在()0,1也有唯一零点，故当01a <<，G()x 有3个零点;综上所述，所有实数a 的取值集合为()0,1.【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性．19. 对于任意*N n ∈，向量列{}n a 满足1n n a a d +-=.（1）若1(0,3)a =- ，(1,1)=d ，求n a 的最小值及此时的n a .（2）若(),n n n a x y = ，(,)d s t =，其中n x ，n y ，s ，t R ∈，若对任意*n ∈N ，120n x x x +++≠ ，设函数()||f x x x =，记()()()1212()n nf x f x f x F n x x x +++=+++ ，试判断()F n 的符号并证明你的结论.（3）记1(0,0)a = ，0d ≠，n n c a = ，对于任意*m ∈N ，记123()m S m c c c c =+++ ，若存在实数1c =和2，使得等式123123()m m S m c c c c c c c c c c c c =+++=-+-+-+- 成立，且有()507S m =成立，试求m 的最小值.【答案】（1）min ||n a = ()22,1a =- 或()321,a =-（2）()0F n >，证明见解析（3）30【解析】【分析】（1）利用累加法求出()()()()110,31,11,4n a a n d n n n n =+-=-+--=--，进而得到答案；（2）分别在各项均为0的常数列，非零常数列，公差不为0的数列，结合题意证明即可；（3）根据题意构造函数，根据函数的性质建立不等关系，进行求解.【小问1详解】因为1n n a a d +-=对任意*N n ∈成立，所以有21a a d -= 23a a d-= L L L L 1n n a a d--= 将上述各式相加得()11n a a n d =+- ，又因为1(0,3)a =- ，(1,1)=d ,所以()()()()110,31,11,4n a a n d n n n n =+-=-+--=--，所以有n a === ，又*N n ∈，当2n =或3n =时，min ||n a = ()21,2a =- 或()32,1a =-.【小问2详解】可判定()0F n >，（1）因为*N n ∈，120n x x x +++≠ 所以数列{}n x 不可能是各项均为0的常数列；（2）当数列{}n x 为非零常数列时，任意*N n ∈，10n x x =≠若1>0x ，则()()()()212111210n nf x f x f x nx F n x x x x nx +++===>+++ ，若10x <，则()()()()212111210n nf x f x f x nx F n x x x x nx +++-===->+++ ，故当数列{}n x 为非零常数列时，()0F n >.（3）当数列{}n x 为公差不为0的数列时，因*N n ∈，120n x x x +++≠ ，若()11202n n n x x x x x ++++=> ①，由等差数列性质有1213210n m n n n m x x x x x x x x --+-+=+=+==+> ，其中2,1,,m n= 又()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩为奇函数，且在R 上单调递增，则由10m n m x x +-+>可得1n m m x x +->-，所以有()()()11m n m n m f x f x f x +-+->-=-，即()()10m n m f x f x +-+->，2,1,,m n = ，所以有()()()()()()()()()12121120n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++++>⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，即()()()120n f x f x f x +++> ②，所以由①②知()0F n >.同理可证明若()11202n n n x x x x x ++++=< ，利用函数()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩为奇函数，且在R 上单调递增，可证()()()120n f x f x f x +++< ，所以有()0F n >.综上可知()0F n >恒成立.【小问3详解】()()111n a a n d n d =+-=-，所以()1n n c a n d ==- ，即{}n c 为等差数列，所以()()()12310212mm m S m c c c c d d m d d -=+++=++++-=，由题意知()1231231111m m S m c c c c c c c c =+++=-+-+-+- 123|2||2||2||2|507m c c c c =-+-+-+-= ，构造函数()23507f x x d x d x d x m d =-+-+-++-=，则()1215070m m m m f c d c c c c --+=++++-=，()121111115070m m m m f c d c c c c --+-=-+-+-++--=，()121222225070m m m m f c d c c c c --+-=-+-+-++--= ，所以函数()f x 至少有三个零点: ||,||,1,||2m m m c d c d c d ++-+- 若使得()f x 有三个零点，则存在区间,122m m d d ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，使得()f x 为常数，且三个零点均在,122m m d d ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 内，所以m 必为偶数，且||2d ≥ ，于是有21122(1)02m m m m m d c d c d c d d m d f ⎧⎛⎫≤+-≤+-≤+≤+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫+⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭⎩ ，故有225074d m d ⎧≥⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，其中()()()2(1)132150722224m dm d m d m m d m f d ⎛⎫+---- ⎪=+++=- ⎪⎝⎭ ，实际上2(1)15072224m d m m m f f d f d d ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，化简得224507m ≤⨯，解得31m ≤，又m 为偶数，故m 的最大值为30.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了空间向量与数列相结合的知识点，包括数列的通项公式以及求和公式，难度较大，解得本题的关键在于理解题意，然后结合数列的相关知识解答.。

江苏苏州市第五中学届高三数学第三次阶段考试卷

江苏苏州市第五中学届高三数学第三次阶段考试卷 It was last revised on January 2, 2021苏州市第五中学2009届高三数学第三次阶段考试2009-1-3班级姓名成绩一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答题卷相应位置上．设集合1|2A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}|21x B x =>，则AB = ▲ ．cos17cos43sin163sin 43-= ▲ ．已知a 是实数，i1i a -+是纯虚数，则a = ▲ ．在等差数列{}n a中，1815360a a a ++=，则8a 的值为 ▲ ．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖▲ 块．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球，底面周长为3，则这个球的体积为 ▲ ．函数2sin y x x =-在（0，2π）内的单调增区间为 ▲ ．已知12,F F 是椭圆2224x y +=的焦点，B ，则12BF BF ⋅的值为 ▲ ．ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠= ▲ ．把函数πsin(3)4y x =+的图象向右平移8π个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是 ▲ ．根据表格中的数据，可以判定方程20xe x --=的一个零点所在的区间为*(,1)()k k k +∈N ，则k 的值为 ▲ ．已知命题p:“[]21,2,0x x a ∀∈-≥”，命题q:“2,220x x ax a ∃∈++-=R ”若命题“p 且q”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．设点O 在△ABC 内部，且2OA OC OB +=-，则AOB △与AOC △的面积之比为 ▲ ．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =．在此基础上给出下列关于函数()|{}|f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =的定义域是R ，值域是[0，12]；②函数()y f x =的图像关于直线2kx =(k ∈Z)对称；③函数()y f x =是周期函数，最小正周期是1；则其中真命题是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请把解答写在答题卷规定的答题框内．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分14分）已知圆C 经过(2,1)A -和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 经过圆C 内一点1(,3)2P -与圆C 相交于,A B 两点，当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．（本小题满分14分）设不等式组0606xy≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域为A，不等式组06xx y≤≤⎧⎨-≥⎩表示的区域为B，在区域A中任意取一点P(,)x y．（Ⅰ）求点P落在区域B中的概率；（Ⅱ）若,x y分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子所得的点数，求点P落在区域B中的概率．（本小题满分15分）如图，O为坐标原点，A、B是单位圆O上的动点，C是圆O与x轴正半轴的交点，设COAα∠=．（Ⅰ）当点A的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭时，求sinα的值；（Ⅱ）若π2α≤≤，且当点A、B在圆O上沿逆时针方向移动时，总有π3AOB∠=，试求BC的取值范围．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，AB DC∥，PAD△是等边三角形，已知4AD=，BD=28AB CD==．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD （Ⅲ）求四棱锥P ABCD-的体积．（本小题满分16分）A BCMPD根据如图所示的流程图，将输出的a 的值依次分别记为122008, , , , , n a a a a ，将输出的b 的值依次分别记为122008, ,, ,, n b b b b ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 通项公式；（Ⅱ）依次在k a 与1k a +中插入1k b +个3，就能得到一个新数列{}n c ，则4a 是数列{}n c 中的第几项？（Ⅲ）设数列{}n c 的前n 项和为n S ，问是否存在这样的正整数m ，使数列{}n c 的前m 项的和2008m S =，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由．（本小题满分16分）已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．（Ⅰ）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（Ⅱ）若对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切(0,)x ∈+∞，12ln x x e ex >-恒成立．数学（附加题）一、选做题：本大题共4小题，请从这4小题中选做其中2题，每小题满分10分，共20分．如果多做，则以前两题计分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（几何证明选讲选做题）(本小题满分10分)如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD=27，AB=BC=3．求BD 以及AC 的长．2．（矩阵与变换选做题）(本小题满分10分)给定矩阵M=⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－13－13 23，N=⎣⎡⎦⎤2112及向量e1=⎣⎡⎦⎤11，e2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1．（Ⅰ）证明M 和N 互为逆矩阵；（Ⅱ）证明e1和e2都是M 的特征向量．3．（坐标系与参数方程选做题）(本小题满分10分)已知直线l的参数方程为1,2()72x t t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，曲线C 的参数方程为4cos ()4sin x y θθθ==⎧⎨⎩为参数．（Ⅰ）将曲线C 的参数方程转化为普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，试求线段AB 的长． 4．（不等式选讲选做题）(本小题满分10分)已知x，y，z均为正数．求证：111x y zyz zx xy x y z ++++≥．二、必做题：本大题共2小题，每小题满分10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．(本小题满分10分)平面直角坐标系xOy中，动点P到直线x=－2的距离比它到点F(1，0)的距离大1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C；（Ⅱ）求曲线C与直线x=4所围成的区域的面积．6．(本小题满分10分)有红蓝两粒质地均匀的正方体骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜。

江苏省苏州市实验中学2025届高三下学期期中模拟联考数学试题

江苏省苏州市实验中学2025届高三下学期期中模拟联考数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限2．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,7773．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．44．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+B ．8163π+C ．32833π+ D ．321633π+ 5．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 98 95 60 73 88 74 86 77 79 94 97 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82959093908580779968如图的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m n -=（）A ．6B ．8C ．10D ．126．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（）A ．2B ．5C ．7D ．87．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且斜率为34的直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．33y x =±D ．3y x =±8．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（） A ．2 B ．0C ．1-D ．19．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．10．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是A ．)+∞B ．)+∞C ．⎤⎦D．⎤⎦11．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15B ．－3C ．3D ．1512．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a bc ，已知1,30a b B ===，则A 为( )A ．60B ．120C．60或150D ．60或120二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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苏州市五市三区2013届高三期中考试试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 集合},1{t A =中实数t 嘚取值范围是 .2. 若不等式032≤-x x 嘚解集为M ，函数)1lg ()(x x f -=嘚定义域为N ，则=N M .3. 如果p 和q 是两个命题，若p ⌝是q ⌝嘚必要不充分条件，则p 是q 嘚条件.4. 将函数)63cos(2)(π+=x x f 嘚图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g 嘚图象，则)(x g 嘚解析式为 . 5. 已知向量a 与b 嘚夹角为3π，2||=a ，则a 在b 方向上嘚投影为 . 6. 若3tan =α，则=-++5cos sin 2sin cos 3sin 222ααααα . 7. 设变量y x ,满足1||||≤+y x ，则y x 2+嘚最大值为 .8. 函数xxy +-=11嘚单调递减区间为 . 9. 已知关于x 嘚不等式0)1)(1(<+-x ax 嘚解集是),1()1,(+∞--∞ a，则实数a 嘚取值范围是 .10. 已知函数bx x x f +=2)(嘚图象在点))1(,1(f A 处嘚切线l 与直线023=+-y x 平行，若数列})(1{n f 嘚前n 项和为n S ，则2013S 嘚值为 . 11. 在锐角ABC ∆中，若B A 2=，则ba嘚取值范围是 . 12. 已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ，都有2]1)([=-xx f f ,则)51(f 嘚值是 .13. ABC ∆内接于以P 为圆心，半径为1嘚圆，且=++PC PB PA 5430，则ABC ∆嘚面积为 .O BxyCA14. 若已知0,,>c b a ，则bcab c b a 2222+++嘚最小值为 .二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15. （本小题满分14分）已知函数]4,161[,log )(4∈=x x x f 嘚值域为集合A ，关于x 嘚不等式)(2)21(3R a x a x ∈>+嘚解集为B ，集合}015|{≥+-=x xx C ,集合}121|{-<≤+=m x m x D )0(>m（1）若B B A = ,求实数a 嘚取值范围；（2）若C D ⊆,求实数m 嘚取值范围.16. （本小题满分14分）如图，在直角坐标系xOy 中，锐角ABC ∆内接于圆.122=+y x 已知BC 平行于x 轴，AB 所在直线方程为)0(>+=k m kx y ，记角A 、B 、C 所对嘚边分别是a 、b 、c .（1）若,23222b c a ac k -+=求B C A 2sin 2cos 2++嘚值；（2）若,2=k 记),23(),20(πβπβπαα<<=∠<<=∠xOB xOA 求)sin(βα+嘚值。

17. （本小题满分14分）某企业有两个生产车间分别在A 、B 两个位置，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工。

现要在公路AC 上找一点D ,修一条公路BD ，并在D 处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐。

已知A 、B 、C 中任意两点间嘚距离均有km 1，设α=∠BDC ，所有员工从车间到食堂步行嘚总路程为s .（1）写出s 关于α嘚函数表达式，并指出α嘚取值范围；（2）问食堂D 建在距离A 多远时，可使总路程s 最少18. （本小题满分16分）已知函数||ln )(2x x x f =，（1）判断函数)(x f 嘚奇偶性；（2）求函数)(x f 嘚单调区间；（3）若关于x 嘚方程1)(-=kx x f 有实数解，求实数k 嘚取值范围．A BCD第17题图19. （本小题满分16分）已知数列}{n a 嘚相邻两项n a ，1+n a 是关于x 嘚方程*)(022N n b x x n n ∈=+-嘚两根，且11=a . （1）求证：数列}231{n n a ⨯-是等比数列；（2）设n S 是数列}{n a 嘚前n 项和，问是否存在常数λ，使得0>-n n S b λ对任意*N n ∈都成立，若存在，求出λ嘚取值范围；若不存在，请说明理由．20. （本小题满分16分）已知函数a x ax ax x x f ax x <≥⎩⎨⎧⨯-+-=-,,2441)(2, （1）若a x <时,1)(<x f 恒成立，求实数a 嘚取值范围；（2）若4-≥a 时，函数)(x f 在实数集R 上有最小值，求实数a 嘚取值范围.苏州市五市三区2013届高三期中考试试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. }1|{≠t t2. ]3,(-∞3.充分不必要.4. 1)43cos(2)(-+=πx x g 5.226. 3512-7. 2 8. ),1(),1,(+∞---∞ 9. )0,1[- 10.2014201311. )3,2( 12. 6 13.56 14. 552二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15.（本小题满分14分）解：（1）因为14>，所以)(x f 在]4,161[上，单调递增，所以=A )]4(),161([f f ]1,2[-=，--------------------------2分又由)(2)21(3R a x ax ∈>+可得：x a x 22)3(>+-即：x a x >--3，所以4ax -<，所以)4,(aB --∞=，--------------------------4分又B B A = 所以可得：B A ⊆，--------------------------5分所以14>-a，所以4-<a 即实数a 嘚取值范围为)4,(--∞.--------------------------6分（2）因为015≥+-x x ,所以有015≤+-x x ,所以21≤<-x ,所以]5,1(-=C ,--------------------8分对于集合C m x m x D ⊆-<≤+=}121|{有:①当121-≥+m m 时,即20≤<m 时∅=D ,满足C D ⊆.--------------------10分②当121-<+m m 时,即2>m 时∅≠D ,所以有:⎩⎨⎧≤-->+51211m m 32≤<-⇒m ,又因为2>m ,所以32≤<⇒m --------------------13分综上：由①②可得：实数m 嘚取值范围为]3,0(.--------------------14分 16.（本小题满分14分）解：（1）变式得：2222cos sin 3b c a ac B B -+=解得31sin =B ，--------------------4分原式18229cos sin 22cos 12sin 2sin 2+=+-=+=B B B B B ；--------------------7分（2）方法一：αβ-=∠AOB ，作AB OD ⊥于D ，22βααβα+=-+=∠∴xOD ,211)2tan(-=-==+∴k kOD βα--------------------11分 54)2(tan 1)2tan(2)sin(2-=+++=+∴βαβαβα--------------------14分方法二：0145212222=-++⇒⎩⎨⎧+==+m mx x m x y y x ，设51,54),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A ， )2()2(sin cos cos sin )sin(21212121m x x x m x y x x y +++=+=+=+βαβαβα54)(42121-=++=x x m x x --------------------14分 17. （本小题满分14分）解：（1）在BCD ∆中，)120sin(sin 60sin 00αα-==CDBC BD，--------------------2分 ,sin 23α=∴BD ααsin )120sin(0-=CD ，则ααsin )120sin(10--=AD 。

--------------------4分]sin )120sin(1[100sin 234000ααα--+⋅=s ααsin 4cos 35050-⋅-=，其中323παπ≤≤。

……..6分（2）ααααααα22sin cos 41350sin cos )4(cos sin sin 350'-⋅=--⋅-⋅-=s 。

--------------------8分令0'=s 得41cos =α。

记)32,3(,41cos 00ππαα∈=当41cos >α时，0'<s ，--------------------.9分当41cos <α时，0'>s ，--------------------10分所以s 在),3(0απ上，单调递减，--------------------11分在)32,(0πα上，单调递增，…………..…...12分所以当0αα=，即41cos =α时，s 取得最小值。

--------------------13分此时，415sin =α，ααsin )120sin(10--=AD αααsin sin 21cos 231+-= ααsin cos 2321⋅-=10521415412321-=⋅-= 答：当10521-=AD 时，可使总路程s 最少。

--------------------14分 18. （本小题满分16分）解：（1）函数)(x f 嘚定义域为R x x ∈|{且}0≠x 关于坐标原点对称.--------------- 1分)(ln ||ln )()(22x f x x x x x f ==--=-)(x f ∴为偶函数.--------------- 4分（2）当0>x 时，)1ln 2(1ln 2)('2+=⋅+=x x xx x x x f --------------- 5分令0)1ln 2()('>+=x x x f 01ln 2>+⇒x 2101ln 2->⇒>+⇒e x x ee x >⇒ 令0)1ln 2()('<+=x x x f 01ln 2<+⇒x 21001ln 2-<<⇒<+⇒e x x ee x <<⇒0 -------------------------------------------- 6分所以可知：当),0(e e x ∈时，)(x f 单调递减，当),(+∞∈eex 时，)(x f 单调递增，---------- 7分又因为)(x f 是偶函数，所以在对称区间上单调性相反，所以可得：当)0,(e e x -∈时，)(x f 单调递增，当),(ee x --∞∈时，)(xf 单调递减，---------- 8分综上可得：)(x f 嘚递增区间是:)0,(e e -,),(+∞ee； )(x f 嘚递减区间是: ),0(e e ,),(ee--∞--------------------------- 9分（3）由1)(-=kx x f ，即1||ln )(2-==kx x x x f ,显然,0≠x可得：k x x x =+1||ln --------------------- 10分令x x x x g 1||ln )(+=，当0>x 时,xx x x g 1ln )(+=211ln ')('x x x x x x g -⋅+=211ln xx -+=221ln x x x -+=----------- 12分显然0)1('=g ，当10<<x 时，0)('<x g ,)(x g 单调递减，当1>x 时，0)('>x g ,)(x g 单调递增，0>∴x 时, 1)1()(min ==g x g ----------- 14分又)()(x g x g -=-，所以可得)(x g 为奇函数，所以)(x g 图像关于坐标原点对称所以可得:当0<x 时，1)1()(max -=-=g x g ----------- 15分∴)(x g 嘚值域为),1[]1,(+∞--∞ ∴k 嘚取值范围是),1[]1,(+∞--∞ .----------- 16分 19. （本小题满分16分）解：(1) n a ，1+n a 是关于x 嘚方程*)(022N n b x x n n∈=+-嘚两根，⎩⎨⎧==+∴++nn n n n n b a a a a 112...................4分。