简单的线性规划问题精品教案
高中数学简单线性规划教案
高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。
2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。
2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。
3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。
三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。
2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。
四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。
2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。
五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。
2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。
六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。
2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。
【精品资料】简单的线性规划问题-马晓洁
《简单的线性规划问题》的教案讲课人：马晓洁简单的线性规划问题一、教学目标(一)知识和能力方面1．了解线性规划的意义。
2．了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念。
3. 理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解。
(二)方法、态度方面在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神；(三)情感、价值观方面在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用.二、教材分析1．重点：求线性目标函数的最值问题。
并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题.2．难点：将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题的理解与应用；理解了平面区域的意义。
三、活动设计本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，以几何画板作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。
四、教学过程（一）引入线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成.突出体现了优化的思想．接下来我就一个实例讲讲线性规划问题的解法。
例题：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？请学生读题，引导阅读理解后，列表→建立数学关系式→画平面区域，学生就近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形式数与形.【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表→建立数学关系式→画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】教师在黑板上作出平面区域。
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案教案标题：简单的线性规划教案教学目标：1. 了解线性规划的基本概念和特点。
2. 理解线性规划问题的求解过程。
3. 能够利用线性规划方法解决简单的实际问题。
所需材料：1. 铅笔、纸张、计算器。
2. 多个线性规划问题的案例。
教学步骤：引入阶段：1. 引导学生思考：什么是线性规划？线性规划有哪些应用场景？2. 提出教学目标，并解释线性规划的定义和特点。
探究阶段：3. 解释线性约束条件和目标函数的概念。
4. 利用一个简单的例子说明线性规划问题的形式和表示方法。
5. 引导学生分析并列出问题的线性约束条件和目标函数。
实践阶段：6. 将学生分成小组，每个小组选择一个实际问题，并将其转化为线性规划问题。
7. 指导学生列出问题的线性约束条件和目标函数。
8. 引导学生运用计算器或手动计算，求解其线性规划问题。
9. 学生分享并讨论解决过程和结果。
巩固阶段：10. 提供更多复杂的线性规划问题案例，让学生独立尝试解答，并讨论解决策略和结果。
11. 简要总结线性规划的基本原理和步骤。
拓展阶段：12. 引导学生思考更高级的线性规划问题，如带有整数约束或非线性目标函数的问题。
13. 推荐相关参考书籍和网上学习资源供学生深入学习。
评估方式：1. 在实践阶段，观察学生的合作和参与情况。
2. 收集学生独立解答的线性规划问题的答案，并进行评估。
教学反思：根据学生的反馈和评估结果，适时调整教学步骤和内容，确保学生能够理解和应用线性规划的基本原理。
《简单的线性规划问题》教学设计
《简洁的线性规划问题》教学设计一、教学内容分析线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产支配等问题，它是一种重要的数学模型。
简洁的线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。
与其它部分学问的联系，表现在：二、学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例，巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域，使学生从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，理解平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简洁的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题。
从数学学问上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的相识还很少，数形结合的思想方法的驾驭还需时日，这都成了学生学习的困难。
所以，通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性。
三、设计思想本课以问题为载体，以学生为主体，以数学试验为手段，以问题解决为目的，以多媒体课件作为平台，激发他们动手操作、视察思索、猜想探究的爱好。
留意引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从详细到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培育学生的学会分析问题、解决问题的实力。
四、教学目标1.使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；3.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简洁的实际问题4.培育学生视察、联想以及作图的实力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的实力5.结合教学内容，培育学生学习数学的爱好和“用数学”的意识，激励学生创新五、教学重难点教学重点：用图解法解决简洁的线性规划问题教学难点：精确求得线性规划问题的最优解。
《简单的线性规划问题》教案
《简单的线性规划问题》教学设计（人教A版高中课标教材数学必修5第三章第3.3.2节）祁东二中谭雪峰一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中第3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 本课内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.本节内容是在学习了不等式和直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出.简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力.二、教学目标一）、知识目标1.了解线性规划的意义、了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.理解线性规划问题的图解法3. 会用图解法求线性目标函数的最优解.二）、能力目标1.在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力.2.在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力.3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.三)、情感目标1.让学生体验数学来源于生活，服务于生活，品尝学习数学的乐趣.2.让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神.三、教学重点、难点重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.难点：借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y 轴上的截距与z最值之间的关系.四、学习者特征分析1. 已经掌握用平面区域表示二元一次不等式（组）2. 初步学会分析简单的实际应用问题3. 能根据实际数据假设变量，并从中抽象出不等的线性约束条件并用相应的平面区域进行表示本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：1.将实际问题抽象成线性规划问题；2.用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？3.数形结合思想的深入理解.五、教学与学法分析本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法.课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.1.设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；2.提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.3.在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程.指导学生做到“四会”：会疑、会议、会思、会变.4.在教学中重视学生的探索经历和发现新知的体验，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.六、文本教学与信息技术整合点分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，利用多媒体辅助教学，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，直观生动地呈现图解法求最优解的过程，既加大课堂信息量，提高教学效率，同时让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．七、教学过程分析数学教学是数学活动的教学，我将整个教学过程分为五个环节：1.复习回顾：[幻灯片第2－4张]1）提问：如何作二元一次不等式表示的平面区域？直线定界；特殊点定域.2）巩固练习：画出下面不等式组所表示的平面区域.【设计意图】复习旧知，为本课的图解法解题热身准备. 2. 分析引例，形成概念，规范解答在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题……1) 将实际生活问题转化为数学问题(数学建模) [幻灯片第5－8张]教师组织学生学习引例.[引例]：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？师生活动：通过教师引导，让学生正确理解题意，用不等式组表示问题中的5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤限制条件及作出相应的平面区域，将实际问题转化为数学问题.（1）、教师提问：同学们，你们能用不等式组表示问题中的限制条件吗？引导学生设定未知数（设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件）， 分析已知条件得到二元一次方程组：（2）、让学生画出不等式组所表示的平面区域.【设计意图】数学是现实世界的反映.通过引入学生感兴趣的实际生活问题，激发学生兴趣，使学生产生急于解决问题的内驱力，引发了学生的思考，同时师生之间通过互动复习旧知，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.（3）、教师进一步提出新问题：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？引导学生若设定工厂获得的利润为z ，则易得z = 2x + 3y ，此时问题转化为即求z 的最大值的问题了.【设计意图】添加优化问题，定义目标函数，引出新问题.2）分析问题，形成概念[幻灯片第9－17张]师生活动：教师根据引题得出线性规划问题相关概念.（1）、就在学生兴趣顿起的时候，教师就此给出了相关概念：① 上述问题中，不等式组是一组对变量 x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又叫线性约束条件. 线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示.② 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数. 由于 z=2x+y 又是x 、y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数.③ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.④ 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩⑤ 由所有可行解组成的集合叫做可行域.⑥ 使目标函数取得最大值或最小值的可行解，它们都叫做这个问题的最优解.（2）、 引导学生理解，引题的问题就是一个线性规划问题. 图中阴影部分（即可行域）的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排. 于是问题就转化为当点（x,y ）在可行域运动时如何求z=2x+3y 的最大值问题.3）探究交流，解决问题[幻灯片第18－20张]（1）、教师提问：如何求z=2x+3y 的最大值问题？先让学生自主探究，再分组讨论交流，然后试着这样引导学生：由于已经将x ,y 所满足的条件几何化了，你能否将式子z=2x+3y 作某种几何解释？学生自然地想到它在几何上表示直线2x+3y-z=0. 当z 取不同的值时可得到一族平行直线.于是问题又转化为当这族直线与可行域有公共交点时，如何求z=2x+3y 的最大值.（2）、这一问题对于部分学生仍有一定难度，教师再次提问：在直线2x+3y-z=0中，z 是否与这直线的某种几何意义有关？学生讨论交流后得出：将直线2x+3y-z=0改写成斜截式233z y x =-+，学生此时会明白直线2,33z y x =-+它表示为斜率为2,3k =-截距3z b =的直线，当z 变化时，可以得到一组互相平行的直线，而且当截距3z 最大时，z 取最大值. 于是问题又转化为当2x+3y-z=0这族直线与可行域有公共交点时，在可行域内找一个点，使直线经过此点时在y 轴上的截距最大. 接着让学生动手实践，用作图法找到点E 并求出点E 的坐标（4，2），而求出z 的最大值为14，所以每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元 .师生活动：教师引发学生思考变形目标函数，将z=2x+3y 化成233z y x =-+的形式，挖掘几何含义，作过原点直线23y x =-并进行平移，观察纵截距的最大值，教师利用多媒体辅助教学工具作动态演示平移确定最值，并有意强调解题步骤:画、作、移、求.【设计意图】：让学生自主探究，体验数学知识的发生、发展过程，体验转化和数形结合的思想方法，通过目标函数的不同变式，让学生熟悉求最值的方法，从而让学生更好地理解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点.3.反思过程，提练方法[幻灯片第21张]教师引导学生归纳、提炼求解步骤：第一步：画——根据约束条件画出可行域；第二步：作——过原点作目标函数直线的平行直线0l ；第三步： 移——平移直线0l 找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线，确定可行域内最优解的位置；第四步：求——解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值.4.模仿练习，强化方法，拓展题型[幻灯片第22－26张]为了更好地理解图解法解线性规划问题的内在规律，同时让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，让学生做下面这个练习：练习（教材例5）、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？师生活动：教师引领学生理解题意，让学生领会用表格形式描述数据的直观性.让学生独立建立线性规划的数学模型，并正确设出变量，找好目标函数及约束条件后自行完成此题. 由一位同学生展示自己的解题过程和结果. 教师规范解题步骤和格式.1.分析：将已知数据列成表格解：设每天食用x （kg ）食物A ，y （kg ）食物B ，总成本为z ，那么 0.1050.1050.075,0.070.140.06,0.140.070.06,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩①目标函数为2821z x y =+.二元一次不等式组①等价于775,7146,1476,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ②二元一次不等式组所表示的平面区域（图1），即可行域．考虑2821z x y =+，将它变形为4321z y x =-+.这里4321z y x =-+是斜率为43-，随z 变化的一组平行直线，21z 是直线在y 轴上的截距，当21z 取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数2821z x y =+取得最小值．由图1可见，当直线2821z x y =+经过可行域上的点M 时，截距21z 最小，即z 最小． 解方程组775,147 6.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得M 的坐标为17x =,47y =. 所以282116z x y =+=．答：每天食用食物A 为17kg ，食物B 为47kg ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.【设计意图】1）. 通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建模意识.同时进一步加深对图解法的认识.2）.通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力.3）.展现线性规划的另一类型题（可行域不封闭、最优解为最小值），并与引例相比较，对比可行域封闭与不封闭、最优解为最大值与最小值两种情况的线性规划问题.师生活动:由教师帮助学生分析错解的原因,并提出问题.学生意识到可以把所有可能的解都求出来,进行比较即可.师生一起反思练习的求解过程.教师通过巡视发现错解的学生，帮助学生找到错误的原因.并提出问题：有时若由于不可避免的误差带来错解，你如何解决?【设计意图】通过反思及寻求问题答案，让学生深入思考,培养学生科学严谨的学习态度和解决问题的能力.5.变式演练，深入探究，开阔视野[幻灯片第27张]师生活动:让学生自己动手解决问题，教师可用几何画板演示。
《简单的线性规划问题》教案正式版
《简单的线性规划问题》教案正式版《简单的线性规划问题》教案第三课时（1）教学目标(a) 知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值(b)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性(c)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣（2）教学重点、教学难点—教学重点：线性规划的图解法教学难点：寻求线性规划问题的最优解（3）学法与教学用具通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系直角板、投影仪，计算机辅助教材（4）教学设想 1、设置情境师：在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如教材第98页所例（投影） /（板书）设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可的二元一次不等式组：※ 28,416,412,00x y x y x y +≤??≤??≤??≥?≥??将上述不等式组表示成平面上的区域，如图中阴影部分的整点。
2、新课讲授（1）尝试若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大设生产甲产品x 乙产品y 件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足不等式※并且为非负整数时，z 的最大值是多少① 变形——把22333zz x y y x =+=-+转变为，这是斜率为23-z，在y 轴上的截距为的直线3；当z 变化时，可以得到一组互相平行的直线；233zy x =-+当直线与不等式组确定的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点P ，使直线经点P 时截距3z最大② 】③ 平移——通过平移找到满足上述条件的直线④ 表述——找到给M （4，2）后，求出对应的截距及z 的值（2）概念引入（学生阅读并填空）28,416,412,00x y x y x y +≤??≤??≤??≥?≥??若23z x y =+，式中变量x 、y 满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x 、y 的约束条件，23z x y =+叫做目标函数；又因为这里的23z x y =+是关于变量x 、y 的一次解析式，所以又称为线性目标函数。
《简单的线性规划问题》(第一课时)经典版
问题：求利润z=2x+3y的最大值.
x 2y 8
4 4
x y
16 12
x
0
y 0
y
4 3
0
M（4，2）
4
8
x
1
y x4
2
y2x z 33
Z ma 4 x22314
相关概念
目标函数：欲求最大值或求最小值的的函数。若目标函 数是关于变量x、y的一次解析式，则
05 04 001
性目标函数的最大值或最小值问题。
线性约束条件：变量x、y所满足的一次不等式组或一次 方程。
C
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解
B
可行域：由所有可行解组成的集合
A
可行解：满足线性约束条件的解（x，y）
变式：求利润z=x+3y的最大值.
x 2y 8
4 4
x y
x y
16 12
y 6
x 0 y 0
y=6
Y
8
6
C
D
目标函数： Z=3x+y
x-y=7
B（9,2）
当目标函数
O
Z=3x+
y经过点B（9,2）
-7
A7
12 X
2x+3y=24 l1
时，此时Z取最大， Zmax=3*9+2=2 9
l0:3x+y=0
小结
本节主要学习了线性约束下如何求目
标函数的最值问题 1. 正确列出变量的不等关系式, 准确作
都是有意义的.
问题：求利润2x+3y的最大值.
把z=2x+3y变形为y=-2x+z,这是斜率为-2,
教案：简单的线性规划问题
必修5 3.3.2 简单的线性规划问题（教案）（第1课时）【教学目标】1．知识与技能：使学生了解线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力． 【重点】用图解法解决简单的线性规划问题． 【难点】准确求得线性规划问题的最优解．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第87页～第89页）1．在教材第87页引例中，约束条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x 为什么又叫线性约束条件？（约束条件都是关于y x ,的一次不等式）目标函数是y x z 32+=，为什么又叫线性目标函数？（目标函数是关于y x ,的一次解析式）２．在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题称为线性规划问题； ３．满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．【基础练习】1．给定下列命题：在线性规划问题中，①最优解指的是目标函数的最大值或最小值；②最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量y x 或；③最优解指的是目标函数取得最大值或最小值的可行域；④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．其中真命题的序号是 ④ ．２．在教材第87页引例中，当直线332,32zx y y x z +-=+=即经过可行域时，直线越向 上 （上，下）z 越大，直线越向 下 （上，下）z 越小，为什么？（由z 的几何意义决定的）z 的几何意义是3z是直线在y 轴上的截距．３.解下列线性规划问题：（１）求y x z +=2的最大值，使y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（２）求y x z 523+=的最大值和最小值，使y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x答案：（１）3max =z ． （２）11,17min max -==z z ． 【典型例题】例1 已知y x ,满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0025023002y x y x y x ，试求y x z 900300+=的最大值时点的坐标，及相应的z 的最大值【审题要津】先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使y x z 900300+=取最大值时的点并求最大值解：如图所示平面区域AOBC ，点A(0,125)，点B(150,0)，点C 的坐标由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+3200335025023002y x y x y x 得C （3200,3350）， 由yx z 900300+=，得y =-90031z x +, 欲求y x z 900300+=的最大值，即转化为求截距900z的最大值，从而可求z 的最大值，因直线y =-90031zx +与直线y =-31x 平行，故作与y =-31x 的平行线，当过点A （0，125）时，对应直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，m ax z =300×0+900×125=112500 ．【方法总结】１.在线性约束条件下，求c by ax z ++=的最值时，作图需准确，要区别目标函数所对应直线的斜率与可行域的边界直线的斜率的大小关系，分清目标函数所对应直线在y 轴上的截距与z 的关系．２.用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”． 变式训练：已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2502,3003y x y x y x 求目标函数y x z 300600+=的最大值，并求整点最优解．解：可行域如图所示：四边形AOBC 易求点A （0，126），B （100，0）由方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+5191536925223003y x y x y x 得点C 的坐标为（6953,9151) 因题设条件要求整点),(y x 使y x z 300600+=取最大值，将点（69，91），（70，90）代入y x z 300600+=，可知当⎩⎨⎧==9070y x 时，z 取最大值为m ax z =600×70+300×900=69000，最优解为)90,70(．例 2 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供kg 0750．的碳水化合物，kg 060．的蛋白质，kg 060．的脂肪，kg 1食物A 含有kg 1050．碳水化合物，kg 070．蛋白质，kg 140．脂肪，花费28元；而kg 1食物B 含有kg 1050．碳水化合物，kg 140．蛋白质，kg070．脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？解：设每天食用x 千克食物A ，y 千克食物B ，总成本为z ．那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+．， ，．．．，．．．，．．．00060070140060140070075010501050y x y x y x y x ① 目标函数为 y x z 2128+=．二元一次不等式组①等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+．， ，，，0067146147577y x y x y x y x ② 作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域．考虑y x z 2128+=，将它变形为，这是斜率为34,2134-+-=z x y 随z 变化的一族平行直线．21z是直线在y 轴上的截距，当21z取最小值时，z的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数y x z 2128+=取得最小值．由图可见，当直线y x z 2128+=经过可行域上的点M 时，截距21z最小，即z 最小．解方程组 ⎩⎨⎧=+=+,6714,577y x y x得M 点的坐标为 ．， 7471==y x 所以162128min =+=y x z ．答：每天食用食物A 约g 143，食物B 约g 571，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为１６元．【方法总结】线性规划解决实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．变式训练：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1吨，需要煤9吨，需电4瓦，工作日3个（一个2人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品1吨，需要用煤4吨，需电5瓦，工作日12个，又知甲产品每吨售价7万元，乙产品每吨售价12万元，且每天供煤最多360吨，供电最多200瓦，全员劳动人数最多300人，问每天安排生产两种产品各多少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？解：设每天生产甲种产品x 吨，乙种产品y 吨，日产值为z 万元。
《3.3.2简单的线性规划问题》教案
简单的线性规划学习内容总析线性规划位于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。
这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。
学情总析本节内容是在学习了直线方程、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，强调应用转化思想和数形结合思想来解决线性规划问题。
三维教学目标知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；2、应对策略：将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题，然后借助直线方程的知识进行解决。
教学难点及应对策略1、教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
2、应对策略：在理论解释的同时，可用动画进行演示辅助理解。
教学过程设计。
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案简单的线性规划教案简单的线性规划教案教学目标巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．重点难点理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．教学步骤【新课引入】我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．【线性规划】先讨论下面的问题设，式中变量x、y满足下列条件①求z的最大值和最小值．我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上．作一组和平等的直线可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足．即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点的直线，所对应的t最小，所以在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．【应用举例】例1 解下列线性规划问题：求的最大值和最小值，使式中的x、y 满足约束条件解：先作出可行域，见图中表示的区域，且求得．作出直线，再将直线平移，当的平行线过B点时，可使达到最小值，当的平行线过C点时，可使达到最大值．通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．例2 解线性规划问题：求的最大值，使式中的x、y满足约束条件．解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为（9，2）．这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，若（直线的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当时，点C处使z取得最大值（比如：时），若，可请同学思考．随堂练习1．求的最小值，使式中的满足约束条件2．求的最大值，使式中满足约束条件答案：1．时，．2．时，．总结提炼1．线性规划的概念．2．线性规划的问题解法．布置作业1．求的最大值，使式中的满足条件2．求的最小值，使满足下列条件答案：1．2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，探究活动利润的线性规划［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为（0，5），1998年的利润为7万元及1999年的利润为8万元分别对应点（1，7）和（2，8），那么①若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为13万元．②若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11万元．③若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的'利润为10万元．④若将过及线段的中点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．⑤若将过及的重心（注：为3年的年平均利润）的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．⑥若将过及的重心的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10．667万元．⑦若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为9万元．⑧若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为11.5万元.⑨若将过点且以线段的斜率为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线的方程为；，这样预测2001年的利润为12万元．⑩若将过且以线段的斜率与线段的斜率的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为12万元．如此这样，还有其他方案，在此不—一列举．［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？（2）第⑦种方案中，的现实意义是什么？（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过的重心，找出以为斜率的直线中与两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？。
简单线性规划问题教案
3.3.2“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化课时安排2课时三维目标一、知识与技能1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题二、过程与方法1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、情感态度与价值观1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学过程第1课时复习1．师：请大家找出不等式 x+y -1>0表示的平面区域 （生回答）2．判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法 （选点法）导入新课 画出二元一次不等式组 表示平面区域。
简单的线性规划教学教案
简单的线性规划教学教案教学目标：1.理解线性规划的概念和应用。
2.学会构建线性规划模型。
3.掌握常用的线性规划求解方法。
教学重点：1.线性规划的基本概念和原理。
2.如何根据实际问题构建线性规划模型。
3.线性规划的常用求解方法。
教学难点：1.如何确定线性规划模型的约束条件。
2.如何进行线性规划问题的求解。
教学准备：1.教师准备PPT、教学案例和练习题。
2.学生准备纸笔和计算器。
教学过程：一、导入（10分钟）1.引入线性规划的概念，简单介绍线性规划的应用背景和目标。
2.提问：你知道线性规划吗？它有什么应用领域？二、概念讲解（20分钟）1.讲解线性规划的基本定义和特点。
解释什么是线性规划问题，以及如何区分线性规划和非线性规划。
2.介绍线性规划的基本假设和约束条件。
三、模型构建（30分钟）1.通过实际案例，讲解线性规划的模型构建过程。
2.以一个简单的生产问题为例，引导学生如何根据给定的条件构建线性规划模型。
3.引导学生讨论和思考，如何确定目标函数和约束条件。
四、线性规划问题的求解方法（30分钟）1.介绍线性规划问题的常用求解方法，包括图形法、单纯形法等。
2.以图形法为例，演示如何利用图形法求解线性规划问题。
3.引导学生通过练习题熟练掌握线性规划问题的求解方法。
五、案例分析（20分钟）1.给出一个较为复杂的线性规划问题，引导学生分组进行讨论和求解。
2.学生展示解题过程和结果，并进行讨论和总结。
六、总结与拓展（10分钟）1.整理本节课的主要内容，进行总结。
2.引导学生扩展拓展线性规划的应用领域。
教学延伸：1.鼓励学生通过实际案例进行线性规划模型的构建和求解。
2.将线性规划与其他数学知识结合，如代数、数学建模等。
教学反思：1.这节课应该增加更多的实例分析，帮助学生更好地理解线性规划的构建和求解过程。
2.可以设计更多的练习题，帮助学生巩固所学知识。
线性规划教学设计方案（五篇）
线性规划教学设计方案（五篇）第一篇：线性规划教学设计方案线性规划教学设计方案教学目标使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．重点难点了解二元一次不等式表示平面区域．教学过程【引入新课】我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？【二元一次不等式表示的平面区域】1．先分析一个具体的例子在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y-1=0分成三类：（1）在直线x+y-1=0上；{(x,y)/x+y-1=o}（2）在直线x+y-1=0的左下方的平面区域内；{(x,y)/}（3）在直线x+y-1=0的右上方的平面区域内.{(x,y)/}点（1，1）、（1，2）、（2，2）等x+y-1>0 点（0，0）、（－1，－1）等x+y-1<0 猜想。
在直线x+y-1=0的右上方的平面区域内.{(x,y)x+y-1>0}在直线x+y-1=0的左下方的平面区域内；{(x,y)x+y-1<0}证明：在此直线右侧任意一点P（x,y）过点P作平行于x轴的直线交直线x+y-1=0点P0（x0,y0)都有x＞x0，y=y0,所以，x+y＞x0+y0，x+y-1＞x0+y0-1=0, 即x+y-1＞0.同理，对于直线x+y-1=0左下方的任意点（x,y），x+y-1＜0都成立.所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集点．{(x,y)x+y-1>0}是直线x+y-1=0右上方的平面区域（如图）类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-1<0的解为坐标的点的集合{(x,y)x+y-1<0}是直线x+y-1=0左下方的平面区域．2．二元一次不等式ax+by+c>0和ax+by+c<0表示平面域．（1）结论：二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域．把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式ax+by+c≥0就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．（2）判断方法：由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊(x,y)代入ax+by+c，点(x0,y0)，以a0x+b0y+c的正负情况便可判断ax+by+c>0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点．【应用举例】例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域解；先画直线2x+y-6=0（画线虚线）取原点（0，0），代入2x+y-6，∴2x+y-6<0∴原点在不等式2x+y-6<0表示的平面区域内，不等式2x+y-6<0表示的平面区域如图阴影部分．例2 画出不等式组⎧x-y+5≥0⎪⎨x+y≥0⎪x≤3⎩表示的平面区域分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右上方的平面区域，x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的平面区域，x≤3上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．（1）x-y+1<0（2）2x+3y-6>0（3）2x+5y-10>0（4）4x-3y-12<0⎧x+y-1>0（5）⎨x-y>0⎩1．如图所示的平面区域所对应的不等式是（）．A.3x+2y-6<0.B.3x+2y-6≤0C.3x+2y-6>0.D.3x+2y-6≥02．不等式组⎨⎧x+3y+6≥0⎩x-y+2<0表示的平面区域是（）．⎧x<0⎪3．不等式组⎨y<0表示的平面区域内的整点坐标是．⎪4x+3y+8>0⎩思考：画出(x+2y-1)(x-y+3)>0表示的区域．总结提炼1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．3．二元一次不等式组表示的平面区域．布置作业第二篇：简单的线性规划教学反思《简单的线性规划》教学反思桐城五中杨柳线性规划是《运筹学》中的基本组成部分，是通过数形结合方法来解决日常生活实践中的最优化问题的一种数学模型，体现了数形结合的数学思想，具有很强的现实意义。
简单的线性规划问题精品教案
加强学生对“数形结合”思想方法的认识.
法的掌握、对思想的应用.最后，学生通过对高考真题的完成建立了学习数学的信心，提
高了对数学学习的热情.
解决解线性规划问题的一般步骤：
1、画：画出线性约束条件所表示的可行域；
3.3.2 简单的线性规划问题
2、移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点并且在 板
四、课堂小结： 1、 线性规划问题的一般步骤：画、移、求、答. 2、 解题时应注意：“斜率”、“截距”对 z 最值的影响. 3、 突出“数形结合”思想方法的运用.
【总结 1】注意线性目标函数的“斜率”对最优解的影响.
五、课后作业：【课后训练案】
变式 4.若目标函数为 z x y ，求 z 的最大值.
教学设计
授课题目
简单的线性规划问题
授课教师
学科
数学 授课班级
二、概念引入
教学目标
知识与技能：了解线性规划的相关概念，理解线性规划问题中 z 的几何 问题 3.若生产每吨 A 产品可收益 1 万元，每吨 B 产品可收益 1 万元，问如何规划 A、B
意义，会用图解法求线性目标函数的最优解；
的生产数量可以使得公司获利最大？
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
品，而现在可供使用的石油原料只有 12t.设 A、B 两种产品分别生产 x、y t.回答下列问题： 练习 1．给定下列命题：在线性规划中，
问题 1.列出有序实数对 (x, y) 满足的二元一次不等式组.
① 最优解指的是使目标函数取得最大值的变量 x 或 y 的值；
过程与方法：在解决实际问题时培养学生数学建模的意识，在应用图解 方法 1：几何画板演示.
简单的线性规划问题精品教案
简单的线性规划问题【教学目标】1.了解二元一次不等式（组）所表示的平面区域；2.了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；3.能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；4.掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤.【教学过程】引例：某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件并耗时1 h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件并耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8 h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得的利润最大？ 一、新授课阶段1.线性规划问题的求解思路 对引例的分析和求解：解：设甲、乙两种产品的日生产分别为,x y 件时，工厂获得的利润为z 万元，则,x y 满足约束条件为28416412,0x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩, 作出约束条件所表示的可行域，如右图所示目标函数为23z x y =+，可变形为233zy x =-+，如图，作直线0:230l x y +=，当直线0l 平移经过可行域时，在点M 处达到y 轴上截距3z的最大值，即此时z 有最大值.解方程组4280xx y=⎧⎨+-=⎩，得点(4,2)M，max2314z x y∴=+=当每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，工厂获利最大为14万元.总结分析得到2．线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数.③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.3．线性规划在实际中的应用：例1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？解：设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总花费为z元，则目标函数为2821z x y=+，且,x y满足约束条件0.1050.1050.0750.070.140.060.140.070.060,0x yx yx yx y+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩，整理为775714614760,0x yx yx yx y+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩，作出约束条件所表示的可行域，如右图所示目标函数可变形为2134zx y +-=，如图，作直线0:28210l x y +=，当直线0l 平移经过可行域时，在点M 处达到y 轴上截距21z的最小值，即此时z 有最小值.解方程组7751476x y x y +=⎧⎨+=⎩，得点M 的坐标为14,77x y ==，min 282116z x y ∴=+=∴每天需要同时食用食物A 约0.143 kg ，食物B 约0.571 kg ，能够满足日常饮食要求，且花费最低16元.例2 如图1所示，已知ABC 中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -， 点(,)P x y 在ABC 内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题： ① z x y =+在_____处有最大值_______，在_____________；② z x y =-在_____处有最大值_______，在______处有最小值_______.解：分别在坐标系中作直线z x y =+与z x y =-（z 移动直线，得出结论：① z x y =+在A （2，4）处有最大值6，在线段BC 处有最小值1； ② z x y =-在C （1，0）处有最大值1，在B （-1，2）处有最小值-3.例3 要将两种大小不同的钢板截成Ａ、Ｂ、Ｃ三种规格，每张钢板可同时截得三种规格需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,027*******y x y x y x y x 解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则作出可行域（如右图）：（阴影部分） 目标函数为z=x+y作出一组平行直线x +y =t ,其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x +3y =27和直线2x +y =15的交点A （539,518），直线方程为x +y =557.由于539516和都不是整数，而最优解（x ,y ）中，x ,y 必须都是整数，可行域内点（539,518）不是最优解.经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x +y =12,经过的整点是B (3,9)和C (4,8),它们都是最优解.答:要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板3张.第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张.说明:在例3中,线性规划问题的最优解（539,518）不是实际问题的最优解,应使学生注意到具有实际意义的x ,y 应满足x ∈N ,y ∈N .故最优解应是整点坐标.例4 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1吨需消耗A 种矿石10吨、B 种矿石5吨、煤4吨；生产乙种产品1吨需消耗A 种矿石4吨、B 种矿石4吨、煤9吨.每1吨甲种产品的利润是600元,每1吨乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300吨、消耗B 种矿石不超过200吨、消耗煤不超过360吨.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1吨),能使利润总额达到最大?分析:线性规划问题大致可以分为两种类型:一种是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排这些资源能使完成任务量最大，收到的效益最大；第二类是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力，物力资源量最小.解决这两类问题的共同点是寻求在约束条件下，某项整体指标的最大值. 二、课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解. 三、拓展提升1．如图所示的平面区域（阴影部分），用不等式表示为（ ） A ．330x y -+< B.330x y +-< C ．330y x --< D.330y x -+<2．设点(,)P x y ，其中,x y N ∈，满足3x y +≤的点P 的个数为（ ） A ．10个 B.9个 C.3 个 D.无数个3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<31y y x xy ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则 （ ）A ．D P D P ∉∉21且B ．D P D P ∈∉21且C ．D P D P ∉∈21且 D ．D P D P ∈∈21且4．设,x y 满足5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)x y 是 . 5．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为 、 .6．试求由不等式|x |＋|y |≤1所表示的平面区域的面积大小.7．已知()(31),[0,1]f x a x b a x =-+-∈，若函数()1f x ≤恒成立，求a+b 的最大值.已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？9. 已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10303y y x y x ,求z =3x +y 的最大值与最小值.10．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180 t 支援物资的任务，该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车和4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低.参考答案1.C[解析]用（0，0）代入验证.2.A[解析]x,y 可取0，1，2，3且满足条件即可.3.C[解析]代入检验.4.(2,3)[解析]作出可行域即可发现.5.4 ，1[解析]设甲、乙各托运的箱数为x,y ，则54242513x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，∴2010z x y =+，当过（4，1）时有最大值.6.解：原不等式等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≥+≥≤-≥-≤≥≤-≥≥≤+0,0,10,0,10,0,10,0,1y x y x y x y x y x y x y x y x其表示的平面区域如图5中阴影部分. ∴S ＝(2)2＝2． 7.解：已知()1f x ≤恒成立，则10220b a b a --≤⎧⎨+-≤⎩令z a b =+，当z a b =+经过A 时，z 有最大值， 由10220b a b a --=⎧⎨+-=⎩解得14(,)33A ，∴max 53z =.8.解：设生产A 、B 两种产品各为x 、y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,02005436049300103y x y x y x y x z ＝7x ＋12y作出可行域，如图阴影所示.当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M （20，24）时z 取最大值. ∴该企业生产A 、B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润. 9.答案:最大值34111⨯-=；最小值3(4)113⨯--=-.10解:设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥⨯+⨯≤+≤≤Z,0Z ,0180103641048y y x x y x y x y xz ＝320x ＋504y （其中x ，y ∈Z ）作出上述不等式组所确定的平面区域如图阴影所示即可行域.由图易知，当直线z ＝320x ＋504y 在可行域内经过的整数点中，点（5，2）使z ＝320x ＋504y 取得最小值，z min ＝320×5＋504×2＝2608.∴每天调出A 型车5辆，B 型车2辆，公司所花成本最低.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用几何画板强大的动态演示的功能突破教学的难点。
修订总结
提供密码，请学生打开“看看我做的对吗？”订正自己的解答。
阅读，实验验证。
小结归纳
师生共同小结，回顾本课的两个难点：
1．我们可以根据A、B的符号迅速判断二元一次不等式表示的平面区域，“左正右负，上正下负” ；
2．用线性规划方法解实际问题的步骤应该有以下几步：
指导，点评，补充。
学生边操作电脑边回答，进而总结出迅速判断二元一次不等式表示的平面区域的方法：
对于直线 划分的平面区域，若 时，必为“左负右正”，及左边为 ，的区域，右边为 的区域。
学生通过汇报实验结果，并对规律进行总结提炼，提高学生的语言表达能力、归纳总结的能力。
检测巩固
利用评测系统，对已学知识进行测验与回顾。教师进行讲评，学生及时订正、记录。
结合所学，完成“课前复习提纲”
先让学生对已经学过的知识进行梳理、回顾，为复习课作好准备，也节省了课堂复习的时间。
复习回顾
布置自主学习任务：
请学生结合网页上给出的问题及答案，订正“复习提纲”中的相关内容，进行复习、巩固。
学生可以根据自己的实际情况，对自己已经掌握的知识简单浏览，而对自己掌握不好的部分认真复习，订正“复习提纲”。
提示：大家可以画出几种不同的直线，分析直线的正、负区域，再考虑正、负区域与 中参数 的符号的关系。
④求：通过解方程组求出最优解，或分析最优解附近的整数解，得到最优的的整数解。
⑤答：作出答案。
通过对新知识进一步的疏理、概括、归纳和强化，构建更高层次的知识结构。进一步培养学生归纳、总结和概括能力。
拓展任务
到附近的工厂、乡镇企业、商店、学校等作调查研究，了解线性规划在实际中的应用；浏览网页中“资源链接”中资料，了解线性规划的应用；带着思考，提出能用线性规划的知识提高生产效率的实际问题，并作出解答，把实习和研究活动的成果写成实习报告、研究报告或小论文，并互相交流。
2．给出一个二元一次不等式，它表示什么？表示时要注意什么？
3．我们如何正确判断不等式所表示的平面区域是对应直线的哪一侧呢？你能用简单的一句话表述我们判断平面区域的方法吗？
4．我们常用什么点代入直线方程来判断不等式所表示的平面区域是直线的哪一侧呢？
二、二元一次不等式组表示的平面区域
1．二元一次不等式组表示的平面区域是怎样的？
通评测系统，及时了解学生对已学知识的掌握情况，有的放矢地讲评，有利于弥补知识缺陷，提高学习效果。
探究实践
布置任务
用已经学过的线性规划方法解决任务一中的实际问题。
任务一：在“龙王”台风袭击福建省后，各地积极展开了救灾工作。某部队接受了向受灾地区每天至少运送180t救灾物资的任务。该部队有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员；A型卡车每天可往返4次，B型卡车可往返3次；每辆车每天运输成本A型为320元，B型为504元。请大家为该部队安排一下应该如何调配车辆，才能使部队所花的成本费最低又能保证完成任务？
3．培养学生团结协作的精神和社会活动能力。
情感目标
1．引导学生的兴趣与探索行为。
2．通过图解法的应用，体现数与形的结合美，解决生活中的实际问题，如何统一筹划，最大限度降低资源消耗，从而实现数学本身的最美的价值。
3．通过解决实际问题，培养学生统筹安排，先计划后行事的习惯，提高效率，节约能源。
教学重点
1.如何迅速地判断二元一次不等式表示的平面区域；
回顾已学知识，为接下去的测验与实验的展开打好基础。
探究实践
布置探究任务：
你能试着总结出迅速判断二元一次不等式表示平面区域方法吗？
并提供几何画板课件，要求学生进行探究实验，并将实验结果写进“课堂导航”中的表格中。
合作进行实验，填写实验报告，讨论得到结论。
通过学生自己的探究实践，得到最直观的印象。
讲评总结
2．运用线性规划方法去解决一些生产、生活中问题。
教学难点
1．寻找线性规划问题中的最优解，
2．解决实际的线性规划问题时，理解题意、将实际问题转化为线性规划的问题。
教学环境
网络教室
教学方法
以学生自我探索、实验、验证的数学实验方法为重点，教师引导为辅助。
教学过程
教学程序
教师活动
学生活动
设计意图
课前准备
布置课前复习任务，复习线性规划的相关基础知识与方法。
将所学的知识及时应用于实际生活，不仅将知识提升了，也积累了丰富的生活经验。
附件一：教学结构流程图
附件二：《简单线性规划》复习提纲
附件三：《简单线性规划复习课》课堂导航
附件一：教学结构流程图
附件二：《简单线性规划》复习提纲
一、二元一次不等式表示的平面区域
1．给定一条直线 ，它就将平面上的所有点划分成几类呢？
简单的线性规划问题
教学目标
知识目标
1．复习二元一次不等式表示的平面区域；
2．复习二元一次不等式组表示的平面区域；
3．复习在二元一次不等式组的约束条件下用图解法求目标函数的最值；
4．掌握用简单的线性规划方法去解决一些实际问题；
能力目标
1．培养学生数形结合的思想；
2．培养学生在实际中运用知识和研究问题的能力。
阅读，思考，解答。
贴近生活的例子让学生产生兴趣。
引导探究
请同学们思考并解答以下问题：
①你能理解题意，并将数据列成表格吗？
②根据你列的表格，合理假设变量，你能列出这个问题的线性约束条件来吗？
③根据叙述，写出目标函数对于你来说不算什么难事吧！
利用网页中的三个提示问题，帮助学生建立数学模型。
探究实验
打开“验证”中的几何画板课件，拖动目标函数，观察最优解的位置。
①建：根据实际问题，建立数学模型（包括列数据表格、列线性约束条件、列目标函数等）。在解决问题时，要注意到“至少”、“至多”等字眼，是建立不等式的关键。
②画：画出线性约束条件所表示的可行域，要注意有的可行域只有一些整数点。
③移：令目标函数中z＝0，利用平移目标函数直线的方法找出与可性域有公共点且纵截距最大或最小的直线。
2．画二元一次不等式组所表示的平面区域时应注意哪些事项概念：
1．线性约束条件：
2．目标函数：
3．线性目标函数：
4．可行解：
5．可行域：
6．最优解：
7．线性规划问题：
8．图解法解线性规划问题的步骤：
①画——
②移——
③求——
④答——
四、思考问题
请大家思考并总结出迅速判断二元一次不等式表示平面区域方法。