理论力学12—动量矩定理解析
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• 由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分 解为随同基点的平动和相对基点的转动。
• 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质 心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外 力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一 个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系 对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
得
d (ml2) mgl sin
dt
即
g sin 0
l
这就是单摆的运动微分方程。
当 很小时摆作微摆动，sin ≈ ，于是上式变为
g 0
l
此微分方程的解为
Asin( g t )
l
其中A和为积分常数，取决于
初始条件。可见单摆的微幅摆 动为简谐运动。摆动的周期为
T 2 l
g
显然，周期只与 l 有关，而与 初始条件无关。
z
4 定轴转动刚体的动量矩
Lz mz (mivi ) miviri miri2
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得
ri mivi Mi
Lz J z
即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对 转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
质点系的动量矩
例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一 绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转
12.1 质点和质点系的动量矩
1 质点的动量矩
质点Q的动量对于点O的 矩，定义为质点对于点O 的动量矩，是矢量。
MO (mv) r mv
质点动量 mv 在 oxy 平面 内的投影(mv)xy对于点O的 矩，定义为质点动量对于 z轴的矩，简称对于z轴的 动量矩，是代数量。
z
LO(mv)
Mz(mv)
q
O
r
x
A mv
Q y
A Q
质点的动量矩
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点 对点O的动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动 量矩。
[LO(mv)]z＝Mz(mv)
在国际单位制中，动量矩的单位是 kg·m2/s。
质点系的动量矩
2 质点系的动量矩
质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的 动量矩的矢量和。
解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立
如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为v，
摆的偏角为 ，则
M z (mv) mvl ml2
M z (F ) mgl sin
O
l
N
式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标
的正负号相反。它表明力矩总是有使
摆锤回到平衡位置的趋势。
x
y
v M mg
由
d d t M z (mv) M z (F )
12.2.2 质点系的动量矩定理
设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e) 和内力Fi(i) 。由质点的动量矩定理有
d dt
MO (mivi )
MO (Fi(e) )
MO (Fi(i) )
这样的方程共有n个，相加后得
n
i 1
d dt
MO (mivi )
n i 1
MO (Fi(e) )
又因为
z
F mv
Q
r
y
O
v mv 0, r F M O (F )
所以
d M O (mv) M O (F )
dt
x 质点对某定点的 动量矩对时间的一阶 导数，等于作用力对 同一点的矩。
12.2.1 质点的动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量 矩与对轴的动量矩的关系代入，得
d d t M x (mv) M x (F )
动惯量为J，半径为r，角速度为，重物A的
质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系 统对轴O的动量矩。
解：
LO L块 L盘 mvr J mr 2 J (mr 2 J )
Or
A mv
LO的转向沿逆时针方向。
12.2 动量矩定理
12.2.1 质点的动量矩定理
设质点对固定点O的动 量矩为LO(mv)，作用力F对 同一点的矩为MO(F) ，如图 所示。
12 动量矩定理
• 质点和质点系的动量矩 • 动量矩定理 • 刚体绕定轴转动的微分方程 • 刚体对轴的转动惯量 • 质点系相对质心的动量矩定理 • 刚体平面运动微分方程
引言
• 由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一 简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力 系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。
LO=ΣMO(mv)
质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的 动量矩的代数和。
LO=ΣMz(mv)
质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的 投影，等于质点系对 该轴的动量矩。
[LO]z= Lz
刚体的动量矩
3 平动刚体的动量矩
刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个
质点计算其动量矩。
d dt
M
y
(mv)
M
y
(F
)
d dt
M
z
(mv)
M
z
(F
)
质点对某 固定轴的动量 矩对时间的一 阶导数等于质 点所受的力对 同一轴的矩。
质点的动量矩定理
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点 的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。
n i 1
MO (Fi(i) )
由于内力总是成对出现，因此上式右端的底二项
n
MO (Fi(i) ) 0
i 1
12.2.2 质点系的动量矩定理
上式左端为
n
i 1
d dt
MO (mivi )
d dt
n i 1
MO (mivi )
d dt
LO
于是得
d
dt
LO
n i 1
MO (Fi(e) )
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导 数，等于作用于质点系的外力对于同一点的 矩的矢量和。
12.2.2 质点系的动量矩定理
在应用质点系的动量矩定理时，取投影式
d dt
Lx
M x (Fi(e) )
d dt
Ly
M y (Fi(e) )
d dt
Lz
M z (Fi(e) )
质点系对 某固定轴的动 量矩对时间的 导数，等于作 用于质点系的 外力对于同一 轴的矩的代数 和。
将动量矩对时间取一 次导数，得
LO(mv) MO(F)
d dt
MO
(mv)
d dt
(r
mv)
x
d r mv r d (mv)
dt
dt
z
F mv
Q
r
y
O
12.2.1 质点的动量矩定理
因为
பைடு நூலகம்
所以
d
dr
(mv) F , v
dt
dt
LO(mv)
d d t M O (mv) v mv r FMO(F)
12.2.3 动量矩守恒定理
1. 质点动量矩守恒定律 如果作用在质点上的力对某定点(或定轴)
• 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质 心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外 力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一 个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系 对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
得
d (ml2) mgl sin
dt
即
g sin 0
l
这就是单摆的运动微分方程。
当 很小时摆作微摆动，sin ≈ ，于是上式变为
g 0
l
此微分方程的解为
Asin( g t )
l
其中A和为积分常数，取决于
初始条件。可见单摆的微幅摆 动为简谐运动。摆动的周期为
T 2 l
g
显然，周期只与 l 有关，而与 初始条件无关。
z
4 定轴转动刚体的动量矩
Lz mz (mivi ) miviri miri2
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得
ri mivi Mi
Lz J z
即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对 转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
质点系的动量矩
例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一 绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转
12.1 质点和质点系的动量矩
1 质点的动量矩
质点Q的动量对于点O的 矩，定义为质点对于点O 的动量矩，是矢量。
MO (mv) r mv
质点动量 mv 在 oxy 平面 内的投影(mv)xy对于点O的 矩，定义为质点动量对于 z轴的矩，简称对于z轴的 动量矩，是代数量。
z
LO(mv)
Mz(mv)
q
O
r
x
A mv
Q y
A Q
质点的动量矩
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点 对点O的动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动 量矩。
[LO(mv)]z＝Mz(mv)
在国际单位制中，动量矩的单位是 kg·m2/s。
质点系的动量矩
2 质点系的动量矩
质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的 动量矩的矢量和。
解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立
如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为v，
摆的偏角为 ，则
M z (mv) mvl ml2
M z (F ) mgl sin
O
l
N
式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标
的正负号相反。它表明力矩总是有使
摆锤回到平衡位置的趋势。
x
y
v M mg
由
d d t M z (mv) M z (F )
12.2.2 质点系的动量矩定理
设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e) 和内力Fi(i) 。由质点的动量矩定理有
d dt
MO (mivi )
MO (Fi(e) )
MO (Fi(i) )
这样的方程共有n个，相加后得
n
i 1
d dt
MO (mivi )
n i 1
MO (Fi(e) )
又因为
z
F mv
Q
r
y
O
v mv 0, r F M O (F )
所以
d M O (mv) M O (F )
dt
x 质点对某定点的 动量矩对时间的一阶 导数，等于作用力对 同一点的矩。
12.2.1 质点的动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量 矩与对轴的动量矩的关系代入，得
d d t M x (mv) M x (F )
动惯量为J，半径为r，角速度为，重物A的
质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系 统对轴O的动量矩。
解：
LO L块 L盘 mvr J mr 2 J (mr 2 J )
Or
A mv
LO的转向沿逆时针方向。
12.2 动量矩定理
12.2.1 质点的动量矩定理
设质点对固定点O的动 量矩为LO(mv)，作用力F对 同一点的矩为MO(F) ，如图 所示。
12 动量矩定理
• 质点和质点系的动量矩 • 动量矩定理 • 刚体绕定轴转动的微分方程 • 刚体对轴的转动惯量 • 质点系相对质心的动量矩定理 • 刚体平面运动微分方程
引言
• 由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一 简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力 系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。
LO=ΣMO(mv)
质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的 动量矩的代数和。
LO=ΣMz(mv)
质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的 投影，等于质点系对 该轴的动量矩。
[LO]z= Lz
刚体的动量矩
3 平动刚体的动量矩
刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个
质点计算其动量矩。
d dt
M
y
(mv)
M
y
(F
)
d dt
M
z
(mv)
M
z
(F
)
质点对某 固定轴的动量 矩对时间的一 阶导数等于质 点所受的力对 同一轴的矩。
质点的动量矩定理
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点 的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。
n i 1
MO (Fi(i) )
由于内力总是成对出现，因此上式右端的底二项
n
MO (Fi(i) ) 0
i 1
12.2.2 质点系的动量矩定理
上式左端为
n
i 1
d dt
MO (mivi )
d dt
n i 1
MO (mivi )
d dt
LO
于是得
d
dt
LO
n i 1
MO (Fi(e) )
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导 数，等于作用于质点系的外力对于同一点的 矩的矢量和。
12.2.2 质点系的动量矩定理
在应用质点系的动量矩定理时，取投影式
d dt
Lx
M x (Fi(e) )
d dt
Ly
M y (Fi(e) )
d dt
Lz
M z (Fi(e) )
质点系对 某固定轴的动 量矩对时间的 导数，等于作 用于质点系的 外力对于同一 轴的矩的代数 和。
将动量矩对时间取一 次导数，得
LO(mv) MO(F)
d dt
MO
(mv)
d dt
(r
mv)
x
d r mv r d (mv)
dt
dt
z
F mv
Q
r
y
O
12.2.1 质点的动量矩定理
因为
பைடு நூலகம்
所以
d
dr
(mv) F , v
dt
dt
LO(mv)
d d t M O (mv) v mv r FMO(F)
12.2.3 动量矩守恒定理
1. 质点动量矩守恒定律 如果作用在质点上的力对某定点(或定轴)