2016届贵州省贵阳一中高三上学期第三次月考数学(理)试题 【解析版】

2016届贵州省贵阳一中高三上学期第三次月考数学（理）试题及解析一、选择题（题型注释）1．已知集合{}1,2aA =，{},a bB =，若12⎧⎫A B =⎨⎬⎩⎭，则A B 为（ ）A ．1,1,2b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】试题分析：因为12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以122a =，即1a =-，所以12b =，所以111122A B ⎧⎫⎧⎫==-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，所以1112A B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭ ，，，故选D ．考点：集合的运算．【思路点晴】本题主要考查的是集合交集，补集的运算，属容易题．由12⎧⎫A B =⎨⎬⎩⎭可得12A ∈．可得1a =-从而可知12b =．2．已知i 是虚数单位，m ，R n ∈，则“1m n ==”是“()22m ni i -=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：当1m n ==时，()212i i -=-成立， 当()()222222222m ni m mni n i m n mni i -=-+=--=-时220122m n m n mn ⎧-=⇒==⎨-=-⎩或1m n ==-．所以“1m n ==”是“()22m ni i -=-”的充分不必要条件．故选A ．考点：1充分必要条件；2复数的运算．3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）A ．{}1,2,3,4,5B ．{}1,2,3,4,5,6C ．{}2,3,4,5D ．{}2,3,4,5,6【答案】C 【解析】试题分析：依次执行循环体的值为23a a =+，1i =；2(23)3a a =++，2i =．此时跳出循环体，所以2313a +≤且2(23)313a ++>，得15a <≤，所以a 的可能取值为2，3，4，5，故选C ． 考点：程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“2i =”时跳出循环，易想到2(23)313a ++>，而忽略2313a +≤．同时要注意a 为正整数，否则极易出现错误． 4．某几何体的三视图如图2所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．3C ．32 D ．92【答案】B【解析】试题分析：由三视图可得此几何体的立体图如图，由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，PA ⊥底面ABCD ，PA x =，底面是一个上下边长分别为1和2，高为2的直角梯形，体积1(12)2332V x +⨯=⨯⨯=，所以3x =，故选B ．考点：1三视图；2棱锥的体积．【思路点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．由三视图可知此几何体为四棱锥且底面为直角梯形，所求x 即为棱锥的高，根据棱锥的体积公式即可求得x 的值．5．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）A ．24种 B ．18种 C ．48种 D ．36种【答案】A 【解析】试题分析：由题意，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个学生要来自不同的年级，从三个年级中选两个为23C ，然后从选择的两个年级中再分别选择一个学生，为1122C C ，剩下的4人乘坐乙车． 故有21132232212C C C =⨯⨯=种；第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的三个年级中选择同一个年级的两名同学在甲车上，为13C ，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人，为1122C C ，这时共有11132232212C C C =⨯⨯=种．因此共有121224+=种不同的乘车方式，故选A ． 考点：排列组合．【易错点晴】本题主要考查的是排列组合，属于容易题．解题时一定要弄清楚是用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理，否则很容易出现错误． 6．若函数()()sin 2f x x ϕ=+满足()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．2,263k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．52,236k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 【答案】D【解析】试题分析：由题意3x π=时，()f x 取最小值，即2sin 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()272,2,326k k Z k k Z πππϕπϕπ∴+=-+∈∴=-+∈ 不妨令0k =，取76πϕ=-，即()7sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()222,262k x k k Z π7πππ-≤-≤π+∈，得(),36k x k k Z π5ππ+≤≤π+∈，故选D ． 考点：1正弦函数的最值；2正弦函数的单调性．7．设向量()1,a x =，(),4b x = ，则“12e x dt t=⎰”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：∵()()1,,,4a x b x == ，若e 112d 2ln 2ln 2ln12ex t t e t===-=⎰，此时()()1,2,2,4a b == ．则2a b = ，a b ∴∥．若a b ∥，则14xx =，2x =±，∴“e 12d 2x t t==⎰”是“a b ∥”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1充分必要条件；2向量共线．【易错点晴】本题主要考查的是充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．8．函数()112cos 2x f x x π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（24x -≤≤）的所有零点之和为（ ）A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C 【解析】试题分析：函数()112cos 2x f x x π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的零点等价于函数()112x g x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭和()2cos h x x π=的图象在区间[]2,4-内的交点的横坐标．由于两函数图象均关于直线1x =对称，且函数()2cos h x x π=的周期为2，结合图象可知两函数图象在一个周期内有2个交点且关于直线1x =对称，所以两交点横坐标之和为2，故其在三个周期即[]2,4-内的所有零点之和为326⨯=，故选C ． 考点：1函数零点；2转化思想．9．在C ∆AB 中，C 60∠BA = ，2AB =，C 1A =，E ，F 为边C B 的三等分点，则F AE⋅A =（ ）A ．53 B ．54 C ．109 D ．158【答案】A 【解析】试题分析：∵在ABC ∆中，6021BAC AB AC ∠=︒==，，，22212cos 4122132BC AB AC AB AC BAC ∴=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=∴BC =222BC AB AC ∴=+， 90BCA ∴∠=．以C 为坐标原点，CA ，CB 方向为x 轴、y 轴正方向建立坐标系，∵1AC BC ==，()()(0,0,1,0,C A B ．又∵,E F 分别是Rt △ABC 中边BC上的两个三等分点，则0,E ⎛ ⎝⎭，0,F ⎛ ⎝⎭，则1,AE ⎛=- ⎝⎭，1,AF ⎛=- ⎝⎭，∴25133AE AF ∴⋅=+= ，故选A ． 考点：1余弦定理；2向量数量积．10．已知数列{}n a 满足10a =，11n n a a +=+，则13a =（ ）A ．143B ．156C ．168D ．195 【答案】C 【解析】试题分析：由11n n a a +=+，得211()n a ++=，1，1，又10a =，∴是以1为首项，1为公差的等差数列，1(1)1n =+-⨯，∴21n a n =-，则131691168a =-=，故选C ．考点：构造法求数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查的是构造法求数列的通项公式，难度稍大．数列通项公式的求法常用的有:公式法，累加法，累乘法，构造法等．本题由已知条件分析可知属构造11．过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60 的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A 并且点A 也在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ） A．B． C． D【答案】A 【解析】试题分析：过抛物线：22(0)y px p =>的焦点02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，且倾斜角为60︒的直线l 的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，联立直线方程与抛物线方程可得直线l 与抛物线在第一象限的交点为A 32p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点A 也在双曲线：22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线上，应在b y x a =上，则32b pa =⨯，则有2243b b a a =⇒=，222222247133b c a e e e a a -==-=⇒=⇒=故选A ．考点：1直线与抛物线的位置关系问题；2双曲线的简单几何性质．12．定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，函数()2142t f x t ≥-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．23t ≤≤B ．13t ≤≤C ．14t ≤≤D ．24t ≤≤ 【答案】B 【解析】试题分析：因为当[)4,2x ∈--时，函数()2142t f x t ≥-+恒成立，所以()2m i n 142t f x t ≥-+．又当[)4,3x ∈--时，21111()(2)(4)[(4)(4)]024416f x f x f x x x ⎡⎤=+=+=+-+∈-⎢⎥⎣⎦，；当[)3,2x ∈--时，34211111()(2)(4)24424x f x f x f x +-⎡⎤⎡⎛⎫⎢⎥=+=+=-∈-⎢ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，． 所以()min14f x =-，即211442t t -≥-+，解得13t ≤≤，故选B ．考点：1分段函数的值域；2恒成立问题．二、填空题（题型注释）13．已知向量a ，b 的夹角为45，且1a = ，2a b += b = ．【解析】试题分析：因为22|2|4||4||cos4510a b b b +=++︒= ，解得||b考点：1向量的模；2向量的数量积．14．()bb a >=⎰ ．【答案】()28b a π-【解析】试题分析：设y =整理可得()22224a b a b x y -+⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，()0y >， 这是一个半圆，根据定积分的几何意义，所求积分为此半圆的面积，所以所求积分为()28b a π-．考点：定积分的几何意义．【方法点晴】本题主要考查的是定积分知识，属容易题．当定积分中被积函数不容易求得其原函数时，应考虑用定积分的几何意义求解，即将定积分问题转化为面积问题． 15．观察下列等式：11= 311=123+= 33129+= 1236++= 33312336++=123410+++= 33331234100+++= 1234515++++= 3333312345225++++=⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅可以推测：3333123n +++⋅⋅⋅+= ．（n *∈N ，结果用含有n 的代数式表示）【答案】22(1)4n n +【解析】试题分析：根据所给等式3211=，3322123(12)+==+，333221236(123)++==++，333322123410(1234)+++==+++，…，可以看出，等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底数，推测：2233332(1)123(12)4n n n n +++++=+++= ．考点：归纳推理．16．已知()f x 为定义在()0,+∞上的可导函数，且()()f x xf x '>，则不等式()210x f f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的解集为 ．【答案】{}01x x << 【解析】试题分析：设()()f x g x x=，则()()()2''f x xf x g x x -=，()()'f x xf x > ，()()'0xf x f x ∴-<，()'0g x ∴<，()g x ∴在()0,+∞上为减函数，21()0x f f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭∵，0x >，1()1f f x x x x⎛⎫⎪⎝⎭<∴，即1()g g x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，10x x >>∴，01x <<∴． 考点：1用导数求函数的单调性；2用单调性解不等式．【思路点晴】将()()'f x xf x >变形可得()()'0xf x f x -<，进而会想到构造函数()()f x g x x =，求()'g x ，根据()'g x 的正负可得函数()()f xg x x=的增减性．根据单调性可解得不等式．三、解答题（题型注释）17．C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，且cos C cos 2cos cos b c a a B+=A A．（1）求角A ；（2）若2a =，求C ∆AB 的周长的最大值．【答案】（1）60A =︒；（2）6． 【解析】 试题分析：（1）根据正弦定理将已知条件转化为角的正弦值，余弦值间的关系式，再由二倍角公式，两角和差公式将其化简变形，从而可得角间关系．（2）用正弦定理将边,b c 用角,B C 表示，再根据120B C += 得120B C =- ，即用角C 表示出三角形的周长，再将其化简变形，用三角函数求最值． 试题解析：解：（1）cos cos 22cos cos cos cos cos b C c Ba Ab Cc B a A a A+=⇒=+sin 2sin()2A B C B C A ⇒=+⇒+=，解得60A =︒．（2）,sin sin sin a b c b B c C A B C ==⇒==，周长12sin )2)sin ]24cos 2l B C C C C C ⎛⎫=++=︒-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭24sin 6C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当3C π=时，△ABC 的周长的最大值为6． 考点：1正弦定理；2三角函数求最值．【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、两角和差公式，属于中档题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式． 18．在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x ，y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为()2,x x y --，记2ξ=OP ．（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （2）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）随机变量ξ的最大值为5； 2(5)9P ξ==；（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1）根据,x y 的取值，可得2,x x y --的范围，从而可得()()2222x x y ξ=OP =-+- 的范围．根据古典概型概率公式可求得所求概率．（2）根据,x y 的取值可分别求得ξ的所有取值为0，1，2，5时的概率，从而可得其分布列，根据期望公式可求得其期望值．试题解析：解：（1）x ∵，y 可能的取值为1，2，3， |2|1x -∴≤， ||2x y -∴≤，22(2)()5x x y ξ=-+-∴≤，且当1x =，3y =或3x =，1y =时，5ξ=．因此，随机变量ξ的最大值为5．∵有放回地摸两球的所有情况共有339⨯=种，2(5)9P ξ==∴．（2）ξ的所有取值为0，1，2，5．0ξ=∵时，只有2x =，2y =这一种情况；1ξ=时，有1x =，1y =，或2x =，1y =，或2x =，3y =，或3x =，3y =四种情况； 2ξ=时，有1x =，2y =，或3x =，2y =两种情况．1(0)9P ξ==∴， 4(1)9P ξ==， 2(2)9P ξ==∴． 则随机变量ξ的分布列为：1422()012529999E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．考点：1古典概型概率；2分布列，期望．【易错点晴】本题主要考查的是古典概型概率，属中档题．本题的易错点在于容易忽略有放回地先后摸出两球即,x y 的取值可以相同而出错．结题时应加以注意．19．如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 为直角梯形，D//C A B ，DC 90∠A =，平面D PA ⊥底面CD AB ，Q 为D A 的中点，M 是棱C P 上的点，D 2PA =P =，1C D 12B =A =，CD ．（1）求证：平面Q P B ⊥平面D PA ；（2）若M 为棱C P 的中点，求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值； （3）若二面角Q C M -B -大小为30，求Q M 的长．【答案】（1）详见解析； （2（3）QM =【解析】试题分析：（1）易证得BCDQ 为平行四边形，可得CD ∥ BQ ，从而可得QB AD ⊥，由面面垂直的性质定理即可证得BQ ⊥平面PAD ，从而可得证平面PQB ⊥平面PAD ．（2）由面面垂直的性质定理即可证得PQ ⊥平面ABCD ．又由（1）知Q B A D⊥，从而可以Q 为原点，以,,QA QB QP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．即可得各点的坐标，从而可得,AP BM 的坐标．由向量数量积公式可求得,AP BM夹角的余弦值．异面直线AP 与BM 所成角的余弦值等于,AP BM夹角的余弦值的绝对值．（3）根据向量垂直数量积为0可求得面BQC 和面MBQ 的法向量，两法向量夹角的余弦值的绝对值等于cos30=．从而可得点M 的坐标，即可求得QM 的长． 试题解析：（1）证明：∵AD ∥ BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD ∥ BQ ． ∵90ADC ∠=，∴90AQB ∠= ，即QB AD ⊥．又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =， ∴BQ ⊥平面PAD ． ∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面PAD ．（2）解：∵PA PD =，Q 为AD 的中点， ∴PQ AD ⊥．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =， ∴PQ ⊥平面ABCD ． 如图2，以Q 为原点建立空间直角坐标系，则(000)Q ，，，(100)A ，，，(00P ，，(00)B，(10)C -．∵M 是PC 的中点，∴12M ⎛- ⎝⎭，∴1(102AP BM ⎛=-=- ⎝⎭ ，，，． 设异面直线AP 与BM 所成角为θ，则cos θ=|cos |||||AP BMAP BM AP BM 〈〉=，= ∴异面直线AP 与BM所成角的余弦值为7（3）解：由（2）知平面BQC 的法向量为(001)n =，，， 由(1)QM QP QC λλ=+-，且01λ≤≤，得(1))QM λλ=--，又(00)QB =，∴平面MBQ法向量为10m λλ-⎫=⎪⎭，．∵二面角M BQ C --为30，∴cos30||||n m n m ︒==，∴14λ=，∴||QM=． 考点：1线面垂直，面面垂直；2用空间向量法解决立体几何问题．20．如图，已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫P ⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为4x =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）AB 是经过椭圆右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在常数2λ=符合题意． 【解析】试题分析：（1）根据点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，可将其代入椭圆方程，又12c e a ==且222a b c =+解方程组可得,,a b c 的值．（2）设直线AB 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立消去y 可得关于x 的一元二次方程，从而可得两根之和，两根之积．根据斜率公式可用k 表示出123,,k k k ．从而可得λ的值．试题解析：解：（Ⅰ）由点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上得，221914a b +=，①又12e =，所以12c a =，② 由①②得222143c a b ===，，，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=， 由题意可设AB k 的斜率为， 则直线AB 的方程为(1)y k x =-，③代入椭圆方程22143x y +=，并整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=，设1122()()A x y B x y ，，，，则有2212122284(3)4343k k x x x x k k -+==++，，④ 在方程③中，令4x =得，(43)M k ，，从而121212332211y y k k x x --==--，，33312412k k k -==--． 又因为A F B ，，共线，则有AF BF k k k ==，即有121211y yk x x ==--， 所以12k k +=1212332211y y x x --+=--12121231111211y y x x x x ⎛⎫+-+ ⎪----⎝⎭=322k - 1212122()1x x x x x x +--++，⑤将④代入⑤得12k k +=322k - 2222228243214(3)814343k k k k k k k -+=---+++，又312k k =-， 所以12k k +=32k ，故存在常数2λ=符合题意．考点：1椭圆的简单几何性质；2直线与椭圆的位置关系问题． 21．（本小题满分12分） 已知函数()1ln xf x x ax-=+，其中0a >． （1）若函数()f x 在区间[)1,+∞内单调递增，求a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值；（3）求证：对于任意的n *∈N ，且1n >时，都有111ln 23n n>++⋅⋅⋅+成立． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）min11ln 2022111()ln 1120 1.a a f x a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪⎪⎩，≤，，，，≥；（3）详见解析． 【解析】试题分析：（1）函数()f x 在区间[)1,+∞内单调递增等价于()'0f x ≥在[)1,+∞上恒成立．求导，可转化为1a x ≥在[)1,+∞上恒成立．根据1x的单调性可求得其最值，即可得a 的范围．（2）讨论a 的取值得()'f x 在区间[]1,2上的正负．从而可得函数()f x 在区间[]1,2上的单调性，根据其单调性求其最值．（3）由（Ⅰ）知，函数1()1ln f x x x=-+在[1)+∞，上为增函数．当1n >时，11nn >-，根据函数()f x 的单调性结合对数的运算法则可证得所求． 试题解析：解：21()(0)ax f x x ax -'=>． （1）由已知，得()'0f x ≥在[)1,+∞上恒成立， 即1a x≥在[)1,+∞上恒成立．又∵当x ∈[1)+∞，时，11x≤，1a ∴≥， 即a 的取值范围为[)1,+∞． （2）当1a ≥时，∵()0f x '>在()1,2上恒成立，这时()f x 在[]1,2上为增函数，min ()(1)0f x f ==∴；当102a <≤时， ∵()0f x '<在()1,2上恒成立，这时()f x 在[12]，上为减函数，min 1()(2)ln 22f x f a==-∴； 当112a <<时， 令()0f x '=，得1(1,2)x a=∈． 又∵对于11x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，有()0f x '<，对于12x a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，有()0f x '>，min 111()ln 1f x f a a a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭∴．综上，()f x 在[12]，上的最小值为min11ln 2022111()ln 1120 1.a a f x a aa a ⎧-<⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪⎪⎩，≤，，，，≥（3）证明：由（Ⅰ）知，函数1()1ln f x x x=-+在[1)+∞，上为增函数， ∵当1n >时，11nn >-， (1)1n f f n ⎛⎫> ⎪-⎝⎭∴，即1ln ln(1)n n n-->，对于n *∈N ，且1n >恒成立， ln [ln ln(1)][ln(1)ln(2)][ln3ln 2][ln 2ln1]n n n n n =--+---+⋅⋅⋅+-+- 1111132n n >++⋅⋅⋅++-， ∴对于n *∈N ，且1n >时，111ln 23n n>++⋅⋅⋅+恒成立． 考点：用导数研究函数的性质．22．【选修4-1：几何证明选讲】如图，已知圆上的弧 C D A=B ，过点C 的圆的切线C E 与BA 的延长线交于E 点．求证：（1）C CD ∠A E =∠B ； （2）2C CD B =BE⋅．【答案】（1）详见解析； （2）详见解析． 【解析】 试题分析：（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等及弦切角定理可证得C CD ∠AE =∠B ．（2）根据已知条件易证得BCD ∆≌ACE ∆，从而可得对应边相等，再结合切割线定理可证得2BC BE CD =⋅．试题解析：证明：（1）∵ AC BD=， BCD ABC ∠=∠∴，又由已知ACE ABC ∠=∠，ACE BCD ∠=∠∴．（2）在BCD ∆，ACE ∆中，,,BD AC BCD ACE BDC CAE =∠=∠∠=∠， ∴BCD ∆≌ACE ∆， ∴,BC CE CD AE ==，又由已知2CE EA EB =⋅， ∴2BC BE CD =⋅．考点：1弦切角定理；2切割线定理． 23．【选修4-4：坐标系与参数方程】 已知圆的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（[]0,2θπ∈，θ为参数），将圆上所有点的横坐标伸1C ；以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 与曲线2C 上点的距离的最小值，并求此时P 点的坐标．【答案】（1）1C 的普通方程为2213x y +=；2C 的直角坐标方程为8x y +=；（2）min d =3122P ⎛⎫⎪⎝⎭，．【解析】试题分析：（1）根据伸缩变换公式可得1C 的参数方程，消参可得普通方程．将sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭先按两角和差公式展开，根据公式222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=可将其化简为直角坐标方程．（2）根据1C 的参数方程可设sin )P θθ，，由点到线的距离公式可求得点P 到2C 的距离d ．用化一公式将其化简可求得d 的最值，同时可得点P 的坐标．试题解析：解：（Ⅰ）由已知曲线1C 的参数方程为(sin x y θθθ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，，为参数）， 则1C 的普通方程为2213x y +=；由2C ：πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 8ρθρθ⇒+=，由互化公式得2C 的直角坐标方程为8x y +=．（Ⅱ）设点sin )P θθ，到直线2C ：80x y +-=的距离为d ，d ==当πsin 13θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π6θ=时，min d =3122P ⎛⎫⎪⎝⎭，．考点：1参数方程和普通方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程间的互化；2点到线的距离公式；3三角函数求最值． 24．【选修4-5：不等式选讲】设函数()1f x x x a a=++-（0a >）． （1）证明：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围．【答案】（1）详见解析； （2a <<． 【解析】试题分析：（1）根据不等式a b a b ±≤+即可证得()2f x ≥．（2）1(3)3|3|f a a =++-，根据0a >可知1133a a +=+，可将1(3)3|3|5f a a=++-<转化为13|3|5a a++-<，再根据绝对的意义即讨论3a -的符号去绝对值再解不等式．试题解析：（Ⅰ）证明：11()||2f x x x a x x a a a=++-+-+≥≥．（Ⅱ）解：1(3)3|3|5f aa=++-<11|3|2|3|2a aa a⇒-+<⇒-<-132132120,aaaaa⎧-<-⎪⎪⎪⇒->-⎨⎪⎪->⎪⎩，，a<<．考点：绝对值不等式．。