指数与指数函数

由图示可知a<0时，b的符号不确定，1>c>0，故①②错； ∵f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|， ∴|2a－1|>|2c－1|， 即1－2a>2c－1， 故2a＋2c<2，④成立． 又2a＋2c>2，∴2a＋c<1， ∴a＋c<0，∴－a>c， ∴2－a>2c，③不成立． 4．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． 点击观看解答视频 解 (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3， 令g(x)＝－x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y＝t在R上单调递减， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即 函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
解析 由y＝ex关于y轴对称得y＝e－x，向左再平移1个单位得y＝e －(x＋1)＝e－x－1，选D. 5．若函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4) 与f(1)的关系是( ) A．f(－4)＞f(1) B．f(－4)＝f(1) C．f(－4)＜f(1) D．不能确定 答案 A 解析 由题意知a＞1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由单调性知a3 ＞a2，∴f(－4)＞f(1)． 6．[2016·浙江模拟]已知实数a，b满足等式2015a＝2016b，下列五 个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可 能成立的关系式有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案 B
[B级 知能提升](时间：20分钟) 1．[2016·金版创新]函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]， 当a变化时，函数b＝g(a)的图象可以是( )
答案 B 解析 由1≤2|x|≤16有0≤|x|≤4，得－4≤x≤4， 当a＝－4时，b∈[0,4]， 当b＝4时，a∈[－4,0]，所以B项符合题意． 2．[2015·山东高考]若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的 取值范围为( ) A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞) 答案 C 解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．即＝－，也就是＝－， ∴1－a·2x＝a－2x，即(1－a)2x＝a－1， ∴1－a＝0，解得a＝1. ∴f(x)＝.则＞3， 即＞0， 即＞0，即(2x－2)(2x－1)＜0， ∴1＜2x＜2，即0＜x＜1. 3．已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论 中，一定成立的是________． ①a<0，b<0，c<0；②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c；④2a＋2c<2. 答案 ④ 解析
解析 设2015a＝2016b＝t，如图所示，由函数图象，可得
(1)若t>1，则有a>b>0； (2)若t＝1，则有a＝b＝0； (3)若0<t<1，则有a<b<0； 故①②⑤可能成立，而③④不可能成立． 7．[2016·长春模拟]已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2) ＞f(－3)，则a的取值范围是________． 答案 (0,1) 解析 因为f(x)＝a－x＝x，且f(－2)＞f(－3)，所以函数f(x)在定义域 上单调递增，所以＞1，解得0＜a＜1. 8．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2,1]上的最大值为4，最小值 为m，则m的值是________． 答案 或 解析 若a>1，则有f(1)＝a＝4，f(－2)＝a－2＝m，解得m＝＝.若 0<a<1，则有f(1)＝a＝m，f(－2)＝a－2＝4，解得m＝a＝.所以m＝或m ＝. 9．方程x－1＋x＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是 ________． 答案 (－3,0) 解析 令t＝x，因为方程有正根，所以t∈(0,1)，则方程可转化为t2 ＋2t＋a＝0，所以a＝1－(t＋1)2.因为t∈(0,1)，所以a∈(－3,0)． 10．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值 大，求a的值． 解 当a>1时，f(x)＝ax为增函数，在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(2) ＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a. ∴a2－a＝.即a(2a－3)＝0. ∴a＝0(舍)或a＝>1.∴a＝. 当0<a<1时， f(x)＝ax为减函数， 在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(1)＝a， f(x)最小＝f(2)＝a2.
指数与指数函数
1．[2016·长沙模拟]下列函数中值域为正实数的是( ) 点击观看解答视频 A．y＝－5x B．y＝1－x C．y＝ 答案 B 数． 2．[2016·湖南郴州五校联考]函数f(x)＝2|x－1|的图象是( ) D．y＝
解析 ∵1－x∈R，y＝x的值域是正实数，∴y＝1－x的值域是正实
∴a－a2＝.∴a(2a－1)＝0， ∴a＝0(舍)或a＝.∴a＝. 综上可知，a＝或a＝. 11．[2015·河北保定模拟]已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量， 且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． (1)求f(x)的表达式； (2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值 范围． 解 (1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，则 所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，则b＝3.所以f(x)＝3·2x. (2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，x＋x－m≥0恒成立， 即m≤x＋xBiblioteka Baidux∈(－∞，1]时恒成立． 又因为y＝x与y＝x均为减函数，所以y＝x＋x也是减函数，所以当x ＝1时，y＝x＋x有最小值.所以m≤，即m的取值范围是. 12．[2016·青岛模拟]已知定义在R上的函数f(x)＝2x－. (1)若f(x)＝，求x的值； (2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围． 解 (1)当x＜0时，f(x)＝0，无解； 当x≥0时，f(x)＝2x－， 由2x－＝， 得2·22x－3·2x－2＝0， 看成关于2x的一元二次方程， 解得2x＝2或2x＝－， ∵2x＞0，∴x＝1. (2)当t∈ [1,2]时，2t＋m≥0， 即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m≥－(22t＋1)， ∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5] ， 故m的取值范围是[－5，＋∞)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， 因此必有 解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知， 要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)． 应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R， 因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能 为R)．故a的值为0.
答案 B 解析 f(x)＝故选B. 3．[2016·金华模拟]已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，则a，b，c 的大小关系为( ) A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 答案 A 解析 因为a＝21.2，b＝－0.8＝20.8，所以a＞b＞1.又c＝2log52＝ log54＜1，所以a＞b＞c. 4．[2016·北京模拟]函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图 象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)等于( ) A．ex＋1 C．e－x＋1 答案 D B．ex－1 D．e－x－1