2.3 双曲型方程的差分方法
双曲型偏微分方程组的数值解法研究
双曲型偏微分方程组的数值解法研究双曲型偏微分方程组是描述波动、传播、传输等现象的常见数学模型之一，在各个科学领域中都有广泛的应用。
双曲型偏微分方程组通常具有复杂的特征，其解析解往往难以求得，因此需要用数值方法求解。
本文将介绍双曲型偏微分方程组的数值解法，并分析其优缺点，以及应用举例。
双曲型偏微分方程组的数值解法可以分为两类，即有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法是将区域分割成网格，通过在网格上构建差分格式来近似微分方程，进而求解数值解。
有限元方法则是利用变分原理，将微分方程转化为弱形式，再通过有限元空间的数值逼近来求解数值解。
下面我们将分别介绍这两类方法。
有限差分方法是求解偏微分方程最常用的数值方法之一。
这类方法的基本思想是将区域划分成网格，通过差分逼近微分算子，将微分方程转化为代数方程组，进而求解数值解。
通常有限差分方法分为显式和隐式两种。
显式差分方法是根据精确度和稳定性的需求，选择合适的差分格式，将数值解的某一时刻的计算公式，仅由该时刻之前的数值解和已知的初值组成，计算简单，但存在较为严格的稳定性限制。
隐式差分方法则以更加严格的精确性和稳定性为代价，使用迭代法求解非线性代数方程组，计算复杂，但稳定性更加优良。
有限差分是求解双曲型偏微分方程最常见的数值方法之一。
虽然有限差分法计算公式简单，但是稳定性限制较高，当空间步长、时间步长不足以满足稳定性条件时，容易产生不稳定性及不合理的解，这是有限差分法的致命弱点之一。
此时有限元法常被作为替代方法。
有限元方法是求解双曲型偏微分方程另一种常用的数值方法。
有限元法基于变分原理，把求解微分方程转化为求最小值问题。
首先，将问题的定义域划分为若干子区域，然后在每个子区域内选取适当的试函数，通过构造一个弱变分解，就可以得到一个线性代数方程组。
有限元法具有更广泛的适用范围，解高维复杂结构问题时可以体现其独特性。
虽然有限元法可以处理不规则区域，但是计算量较大，常会出现稳定性的问题。
5-双曲型方程的差分方法(2)
(2) 迎 风 格 式 ：
u n +1 − u n j j
τ
u
n +1 j
+ an j +a
n j
u n − u n−1 j j h u
n j +1
=0 =0
an ≥ 0 j an < 0 j
−u
n j
−u h
n j
τ
u n+1Байду номын сангаас− u n j j
写成统一的形式， 写成统一的形式，有：
τ
+a
n j
(1) Lax − Friedrichs 格式： 格式：
u
n +1 j
1 n n − u j + 1 + u j −1 u n+ 1 − u n−1 j j n 2 +aj =0 τ 2h
(
)
冻 系 ” 分 稳 性 不 格 ： “ 结 数 法 析 定 （ 严 ） 先 a看 与 , j无 的 数 用 把 作 n 关 常 ， Fourier 方 得 稳 定 件 再 指 变 。 法 到 定 条 后 使 标 化
对第l个方程，构成迎风格式，有： w
n +1 lj
=w −
n lj
λ
2
λl ( w
n lj +1
−w
n lj −1
) + 2 λ (w
l
λ
n lj +1
− 2w + w
n lj
n lj −1
)
写成矩阵形式： w
n+1 j n j
= w − Λ ( w − w ) + Λ ( w − 2w + w 2 2
双曲型方程的差分方法I
at n
h a 0
x j nh x j an x j
其中 .
a 0 0 a 1
h
a 0 x j an x j 不收敛
P
n
D
D'
C
D'
21
右偏心格式C.F.L条件
unj 1 unj
不稳定，C.F.L条件仍为
| a| 1，
C.F.L条件下不收敛
26
课堂练习
1. 试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏
心格式、中心差分格式的C.F.L条件。
27
5.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式
x k 1 x
x xk
（两点式），
L1 ( x )
yk
yk 1
xk 1 x k
2
2
2
2
2
a 1,|G( ,k )| 1,Von Neumann 条件满足
条件稳定
7
a 0
v
n 1
u
n1
j
u
n
j
a
u
n
j 1
u
n
j
h
((1 a ) a e )v
ikh
,
n
| G( k , ) |2 (1 a a cos kh)2 a 2 2 sin 2 kh
( , t n )
3
x j 2 t
6
x
t
n
2
3
2u
ah2 3 u
(x j , )
2-双曲型方程的差分方法
其截断误差是
n 1 n 1 n n u u u u a j 1 j 1 j 1 j 1 0 2 2 h 2 h
T O( h )
2 2
其增长因子是
1 1 2 ia sin kh G 1 1 2 ia sin kh
2 2 2 1 1 a sin kh 4 G 1 2 1 2 2 1 4 a sin kh 2
),
a0 a0
1 n n n un u a ( u u j j j 1 j ),
也可写成统一形式
1 n n n n n n 1 1 un u a ( u u ) a ( u 2 u u j j j 1 j 1 j 1 j j 1 ) 2 2
u ( P) u (Q) u (C ) a u (C ) u ( B) 1 a (1 a ) u ( B) 2u (C ) u ( D) 2
对应差分格式即为Lax-Wendroff格式
2 2 a a n 1 n n n n n n uj uj u j 1 u j 1 u j 1 2u j u j 1 2 2
代入前面的表达式有
u
n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
u u a x t j
n
2h 2
n n n 2 2 2 a2 u 2 u u O ( h h ) j j 1 j 1
得到二阶精度的显式格式，即Lax-Wendroff格式
隐式格式
u u
n j
n 1 j
8_双曲型方程的有限差分法(III)
计算v
n 1 0
, 就转化为计算
n 1 0
采用迎风格式
n n n 0 1 0 (1n 0 )
方法二、从方程本身出发
已知边界条件 u(0, t ) 0 有： u (0, t ) 0, t 0
0 1 其中： u u，v），A （ 1 0
一阶双曲型方程及方程组的边界条件怎样给边界条件使方程适定区域为x1不能给边界条件x0不能给边界条件初始条件为对角阵对角线元素为负的对角阵1为对角阵对角线元素为零的对角阵为对角阵对角线元素为正的对角阵s为a的特征向量的列所构成的矩阵处边界条件数目等于负特征值数目处边界条件数目等于正特征值数目零特征值不需给出边界条件件问题会不适定
v v -1 0 为对角阵对角线元素为正的对角阵 v S u t x
为对角阵对角线元素为零的对角阵
I -1 II 0 S AS III +
v v -1 v S u 0 t x
注：采用插值法构造边界条件要用内插公式， 使用外推方法往往是不行。即要用稳 定的格式构造边界条件. 例如：下面的两个不可用的边界条件
用u1 , u2两点的值作线性插值，外推得u0的值
u =2u u
n 0 n 1
n 2
再如（对边值不稳定）
u
n 1 0
=u
n 1 0
2a (u u )
I I II II III III v v v I v II v III v =0, =0, =0 t x t x t x
v (x ,0) g (x ),0 x 1 v (1,t ) (t ),
I I
推荐-双曲型方程的差分法 精品
双曲型方程的有限差分法§0 预备知识0.1双曲型方程的常见类型： （1）、一阶线性双曲型方程()0u ua x t x∂∂+=∂∂ （2）、一阶常系数线性双曲型方程组0u u A tx∂∂+=∂∂其中u 为未知函数向量，A 为p 阶常数方阵。
（3）、二阶线性双曲型方程（波动方程）一维 22(())0u ua x x x t∂∂∂-=∂∂∂ a (x )为正值函数二维 222222()0u u ut x y∂∂∂-+=∂∂∂三维 22222222()0u u u ut x y z∂∂∂∂-++=∂∂∂∂（4）、对流扩散方程()()(())(,)u u u c x b x a x f x t t x x x∂∂∂∂+-=∂∂∂∂ 等等。
这些方程的定解条件，可以是仅有初始条件，也可以是初始条件与边界条件的混合。
如对波动方程（一维），有 （1）、初值问题2222201,0(,0)()(,0)()u u a x t Tt xu x x x u x x x tϕϕ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∂∂=-∞<<∞<≤∂∂=-∞<<∞∂=-∞<<∞∂（2）、混合问题第一类：222220101,0(,0)()01(,0)()01(0,)(1,)00t u u a x t Tt x u x x x u x x x u t u t t Tϕϕ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∂∂=<<<≤∂∂=≤≤=≤≤==<≤第二类：边界条件改为：(0,)0,(1,)0,0u u t t t T x∂==<≤∂第三类：边界条件改为：(1,)(0,)0,(1,)00u t u t u t t T xα∂=+=<≤∂0.2 波动方程及其特征线性双曲型方程的最简模型：波动方程初值问题22222,0,.u u a a x t x∂∂=>-∞<<∞∂∂ （1） 0(,0)()u x x ϕ= 1(,0)()t u x x ϕ=下面讨论它的特征和解析解。
二阶双曲方程显、隐差分法
一、研究对象
1. 研究的对象——二阶双曲型方程.
2 2 u( x , t ) 2 u( x , t ) a f ( x , t ), 0 x 1, 0 t T , 2 2 x t u u ( x , 0) ( x ), ( x , 0) ( x ), 0 x 1, t u(0, t ) ( t ), u(1, t ) ( t ), 0 t T ,
k u 将数值解 i 代替精确解 u( xi , tk ) 并忽略高阶小项， 则第四步，可以建立以下显差分格式：
k k k uik 1 2uik uik 1 2 ui 1 2ui ui 1 a f ( xi , t k ), 1 i m 1, 1 k n 1, 2 2 h 0 ui1 ui0 ( xi ), 0 i m , ui ( xi )， k k u0 ( t k )，um ( t k ), 1 k n.
从而得增长因子为
G 1 2r sin
2
h
2
4r sin
2
h
2
( r sin
2
h
2
1)
如果 r 1 ，则
G 1 2r sin
2
h
2
i 4r sin
2
h
2
(1 r sin
2
h
2
)
从而 | G | 1 ，满足Von Neumann 条件。 但此时由于 | G | 1 ，所以Von Neumann条件只 是差分格式稳定的必要条件而非充分条件。当 r <1
7-双曲型方程的差分方法(4)
uII向上传播，不需要任何 边界条件。
uIII 向右传播，需给出 x 0处的边界条件： uIII 0, t g III t ，且： g III 0 uIII 0,0 f III 0
否则错误地给出边界条 件，问题会不适定。
例：考虑微分方程组（半无界问题）
n 0 n 1 n 2
5.2、一阶线性双曲型方（组)的边界条件
1、一阶双曲型方程边界条件的处理
设有限区域内的对流程 方： u u a 0 x 0, l , t 0 t x
初值：
u x ,0 f x
x 0, l
如何正确给出边界条件 ？
x, t 0 x l , t 0 若a 0，区域
此格式是一阶精度的。 网格比 h 下面讨论稳定性：
n i k1 jh k 2 mh 设u n v e 代入差分格式，有： j ,m
1 v cos k1 h cos k 2 h i a sink1 h b sink 2 hv n 2 1 G , k 1 , k 2 cos k 1 h cos k 2 h i a sin k1 h b sin k 2 h 2 1 2 2 2 G cos k1 h cos k 2 h 2 a sin k1 h b sin k 2 h 4 1 1 2 1 si n2 k 1 h si n2 k 2 h 2 a 2 b 2 cos k 1 h cos k 2 h 2 4
？
得方程组
a b c 0 b 2c 1; b / 2 2 c 0
3 1 a , b 2, c 2 2
右边界
双曲型方程求解方法及其应用
双曲型方程求解方法及其应用一、双曲型方程简介双曲型方程是一类二阶偏微分方程，其基本形式为:$$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$$双曲型方程的特点是存在两个独立的传播方向，解的形式通常是由两个波的叠加而成。
由于双曲型方程与空间和时间的关系有关，因此在物理、工程和科学领域中有着广泛的应用。
其中，双曲型方程的求解方法是求解偏微分方程的重要研究内容之一。
二、双曲型方程的求解方法对于双曲型方程，我们需要采取适当的数学工具来解决。
下面介绍几种常用的双曲型方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常用方法之一，对于双曲型方程也可以采用分离变量法求解。
例如，我们可以假设$u(x,t)=X(x)T(t)$，将偏微分方程代入得到：$$\dfrac{T''}{T}=\dfrac{X''}{X}=-k^2$$这是两个常微分方程，可以通过求解得到$T(t)$和$X(x)$的通解，再合并得到$u(x,t)$的通解。
其中，使用的边界条件和初值条件对应具体问题的不同而有所不同。
2. 特征线法特征线法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。
其基本思想是沿着方程组的特征线进行积分，将原方程转化为一维常微分方程。
例如，对于双曲型方程$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$，经过变换得到：$$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0$$将$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$和$\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=1$代入得到方程:$$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=\dfrac{1}{2},\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ d}u}=-\dfrac{1}{2}$$由此可以得到$x=t+c_1,u=c_2$为特征线，设$u=f(x-t)$，则原方程变成$\dfrac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d} x^2}=0$，通解为$f(x-t)=k_1 x+k_2$，因此原方程的通解为$u(x,t)=k_1 x+k_2$。
偏微分课程课件5_双曲型方程的差分方法(II)
uvn j
uv t
n j
2
2
2uv t 2
n j
O(
3
)
uv n1 j
uv
n j
A
uv x
n j
2
2
A2
2uv n
x
2
j
O(
3)
用中心差商代替偏导数
uvn j
A
uvn uvn
j1
j1
2h
2
2
A2
2
x
uv n j
h2
O(
3
2h2
h2 )
舍去截断误差, 有LW差分格式.
1 2
a
nj （（u
n ）2
j 1
（u
n ）2）
j1
21
（unj 1）2
1 2
(unj 1 )2
（unj1）2 )
1 2
anj
( unj 1 )2
(
un j 1
)2
(4)用h乘上式两边并对 j 求和，记离散模
un
2
h
（unj）2h
||
un1
||h2 ||
un
||h2
1 2
a
n j
((unj 1
t
x
2u t 2
（ t
a(x)
u ） x
a(x)
x
(u ) t
= a(x) (a(x) u ) a(x) (a(x) u )
x
x
x x
25
代入Taylor展开式,于是有
u(
x
j
,
tn 1 )
u(x
j
,
双曲型方程的差分方法3
n1 j
a
u
n j 1
u
n j 1
0
2
2h
稳定性条件：a 1；截断误差：O 2 h2
设a 0，当 a 1即：a 1 ，则可知：
u n 1 j
u n 1 j
un j 1
un j 1
0
记 u0 (x) f (x) ，则由数学归纳法易知：
u
n j
f
j n h
f
x at
换言之，差分方程解是精确解。但注意这
里已经假设
u
0 j
和 u1j
是精确给定的。
可以证明如果给定的初始值有偏差，相应 的格式是不稳定的。（见书p. 53）
3
4) Lax Wendroff 格式
un u(x,t)
un1 u(x, t )
u(x,t ) u(x, ) ut (x,t)
1 2
utt
(
x,
t
)
2
O
3
u(x, ) aux (x,t)
17
如果前提条件不成立，则不一定有整体解。
例
t
ut
0,
x2ux 0 u u0(x)
t
dx dt 0, x
x2 x0
x0
x 1 xt
u( x, t )
u0
( 1
x xt
)
当 x 1/ t 时，解无意义。
b.差分格式的稳定性研究
设 a(x,t) 0
逆风格式为
u n1 j
u
21
2) 差分格式
a.逆风
u
n1
j
u
n j
un j 1
u
n j
6-双曲型方程的差分方法(3)
差分求解格式为
n1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 u 2u u （u j 1 2u j u j 1 u j 1 2u j u j 1） 0 2
相应的特征方程为： d 2 x a 2 d 2t 0，利用特征方向可以 得到两族特征线： x at ，x at
如果u沿特征线的偏导数分别 表示为：
2 2 2 2u u u u u u 2 （ ） a（ 2 2 2） 2 t t t t
x j , t n 的 两 条 特 征 值 经过点 x at x j atn 与x轴 的 交 点
落入依赖区间 x j m , x j l 是 格 式 稳 定 的 必 要 条 。 件
那么，
即： [x j -atn，x j +atn ] x , x j m j l
n 1 j n j n 1 j 2
矩阵表示形式
其中
AU
n 1
BU
1 2 2 1 2 2
n 1
2EU F
n
1 2 2 2 1
2 1 1 2 2 A
u x , t 的 依赖区间
x0 , t 的影响区域
化为等价一阶齐次方程组：
2 2u u 2 对于原二阶波动方程： a 0 2 2 t x u u 引入：v ，w a t x
第三章 双曲型方程的差分方法
P
n+1
n
A j-2 B j-1 Q C jபைடு நூலகம்D j+1 j+2
设过P点的特征线与t = tn的交点为Q，则u ( P) = u (Q). 若Q不是网格点（当aλ < 1时），u (Q)未知，但Q周 围的网格点A, B, C , D等上的值已知，可用插值法 （沿x方向）给出u ( Q )的近似值，从而得到u ( P) = u (Q).
2 2 τ τ a a +1 n n n n n n = − − + − + ( ) ( 2 un u u u u u u j j j +1 j −1 j +1 j j −1 ) 2 2h 2 h 截断误差：O(τ h 2 ) + O(τ 2 h 2 ) + O(τ 3 )，
是二阶精度的差分格式．
增长因子为 kh 2 2 2 G (τ , k ) = 1-2a λ sin - iaλ sin kh 2 kh 2 2 2 2 2 4 G (τ , k ) = 1-4a λ 1 − a λ sin 2 如果满足条件 a λ ≤ 1，则有 G (τ , k ) ≤ 1．
区别： 当a > 0时，迎风格式可写为：
+1 n n n n n n un u u u u 2 u u − − − + ah j j j +1 j −1 j +1 j j −1 +a = 2h 2 τ h2 Lax − Friedrichs格式： +1 n n n n n n un u u u u 2 u u − − − + 1 ah j +1 j j j +1 j −1 j j −1 +a = aλ 2 h2 τ 2h 两式左边相同，都以O(τ + h 2 )逼近于对流方程，
偏微分方程—matlab
基础知识偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。
其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程),(2222y x f yux u u =∂∂+∂∂=∆ （1）特别地，当 f ( x , y ) ≡ 0 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程02222=∂∂+∂∂=∆yux u u （2）带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。
Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂=∆Γ∈),(),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y ux u u y x ϕ （3） 其 中 Ω 为 以 Γ 为 边 界 的 有 界区 域 ， Γ 为 分 段 光 滑 曲 线， Ω U Γ 称 为 定 解区 域 ，f (x, y),ϕ(x, y) 分别为 Ω,Γ 上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示成)0(0),(>=⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂Γ∈a u n u y x α （4） 其中 n 为边界 Γ 的外法线方向。
当α = 0 时为第二类边界条件，α ≠ 0 时为第三类边界条件。
在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。
其最简单的形式为一维热传导方程)0(022>=∂∂-∂∂a xua t u （5） 方程（5）可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题（也称为 Cauchy 问题）⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x ua tu )()0,(,0022ϕ （6） 初边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<===<<<<=∂∂-∂∂lx t g t l u t g t u x x u l x T t x ua t u 0),(),(),(),0()()0,(0,002122ϕ （7） 其中ϕ )(),(),(21x g x g x ϕ为已知函数，且满足连接条件)0()(),0()0(21g l g ==ϕϕ问题（7）中的边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类界条件。
双曲型方程的有限差分并行迭代算法
ｏ ｅ／ ｎ ／
，
Ａ ｄ ｌ ｈ首次 建立 求 解 抛 物 型 方 程 的交 替 分 组 显 ｂ ｕｌ ａ
式方 法 ¨以来 ， 微 分 方 程 有 限 差 分 并 行 算 法 的 偏 研究 越来 越 受 到重 视 ． 于一 阶双 曲型 方程 ， 合 对 适 于并行 计 算 的 差 分 法 已 有 文 献 可 查 Ｌ ， 对 于 ２ 但 ］
随着 高性 能并 行 计 算 机 的 问世 与发 展 ， 究 研 适 合 于并 行 机 上运 行 的高 效率 的计算 方 法 已经 成
为当务之急 ． 自从 １８ ９ ３年 Ｄ． ． ｖ ｓ Ａ． ． Ｊ Ｅａ 和 ｎ Ｂ Ｂ．
法 ． 值算 例 表 明 了本 方法 的实用 性 ． 数
１ 差 分 格 式 的 建 立
其 中 Ａ， Ｄ， Ｂ， Ｌ均 为正 实数 ．
Ｕ－ ｌ ￣
：
Ｕ ￣ －ｌ
ｄＸ
ｄｔ
＋（ Ｃ＋Ｖ ＋Ｇ ｕ Ｒ Ｌ） Ｒ
０ｔ
取 时 间步 长 ｒ 空 间 步 长 ｈ：Ｌ Ｊ １为 正 整 ， ／ （，
数） 式 （ ）一 （ 的 解 ／（ ， ） 网 格 结 点 ， １ ３）可 用 ｔ） ｎ ） 二则
为物 理 背景 ， 造 出求 解 二 阶 双 曲 型 方 程 的 高 精 构 度无 条件 稳定 的 隐 式差 分 格 式 ， 以 此 隐 格 式 为 并
Ｊ ｎ ． ，２００ ２ ｕ
双 曲型 方 程 的 有 限差 分 并 行 迭 代 算 法
金 承 日，丁 效 华 ，张 少 太
（哈 尔滨工业 大学 威海分校 ，山东 威海 ２４０ ） ６２ ９
摘
要： 为研究二 阶双曲型偏微 分方程适合 于并行机上运 行 的高效率 的计 算方 法 ， 构造 出高精 度无 条件稳 先
双曲型方程的差分方法
k
2
, 0 ar a 1 ，差分格式是稳定的。 当 a0 h
当 a0 ，格式不稳定。 由上分析，当a0时，只有差分格式(4.31)可用，当 a0 时， 则只有式(4.30)可用(见图4.7)。
结论： 建立的差分方程要使其满足稳定性条件与特征 走向的特定关系。 格式
a max a , 0 ,a min a , 0 令 则格式(4.30)和(4.31)可以表示为
n 1 n n n n 1 n U U U U U U m m m m 1 m m a a 0 k h h
(4.41.1)
n 1 n n n U U U U m m m m 1 a 0a 0 k h
n 1 n n 1 n U U U U m m m m a 0a 0 k h
称为Courant-Isaacson-Rees格式。
对微分方程
u u x a ,t 0 t x
(4.42.1)
n 1 n n n a U 2 U U U U U m 1 m m 1 m m U m 1 m 1 a k 2 h 2 h n n n
(4.42.2)
对照不稳定格式(4.26)，发现Courant-Isaacson-Rees格 式是在不稳定格式(4.26)后面加上项
例48euler坐标下一维不定常等熵流方程为0??????xuxut02??????xaxuutu其正规形式为00??????????????????uxutax0?????????????????xuautuaxautauaut469因此courantisaacsonrees格式为????????????????h??????k?h???k????011111111uuauhuuauuuaauhaunmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnm470470?????????????h???????k??h????k?????011111uuauhuuauuuaauhaunmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnm?00maxnmnmnmnmauuauminnmnmnmnmaau?其中1nmnmauhk格式的稳定性条件为nmnmauhkmax或者45二阶线性双
2.3 双曲型方程的差分方法
(1) 利用
B, C 两点线性插值
u( P) u(Q) u( B)
xQ xC xB xC
u(C )
xQ xB xC xB
a (h a ) u ( B) u (C ) h h a a (1 )u (C ) u ( B) h h h (1 a )u (C ) au ( B)
或者：
a n n 1 n n u u ( u u j j j 1 j) h u n 1 1 [u n u n 1 a (u n 1 u n 1 )] j j j j j 1 2 h
5）蛙跳格式
u
n 1 j
u
n 1 j
2
两点线性插值：
1
1
a
xb f ( x) a b
f (a)
b
a
b
xa f ( x) ba
f (b)
x b xa f ( x) f (a) f (b) a b ba
a
b
三点抛物线插值：
1
1
1
a
f ( x)
b
( x b)( x c) (a b)(a c)
u(C )
( xQ xB )( xQ xD ) ( xC xB )( xC xD )
u( D)
( xQ xC )( xQ xB ) ( xD xC )( xD xB )
a (h a ) ( h a )( h a ) ( h a ) a u (C ) u ( D) h 2h hh 2h h 1 u (C ) a[u (C ) u ( B )] a (1 a )[u ( B ) 2u (C ) u ( D)] 2 u ( B)
差分方法的稳定性
差分方法的稳定性1.实验内容对于一阶线性双曲线型方程：[][]()()00,0,1,0,,0u u x t T t x u x u x ∂∂+=∈∈∂∂= 其中初值 ()01,00,0x u x x ≤⎧=⎨>⎩取空间长度h=0.01，对于不同的差分格式（迎风格式，Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff 格式，Beam-Warming 格式以及蛙跳格式）及不同的网格比（时间长度与空间长度比hτλ=）进行迭代计算。
通过将计算结果与精确解进行比较，来讨论和分析差分格式的稳定性。
2.算法思想与步骤2.1迎风格式这种格式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，格式如下：110,0n n n nj jj j u u u u a a hτ+---+=> 110,0n n n n j jj ju u u u aa hτ++--+=<运算格式： ()1111(1),01,0n n nj j j n n n j j j u a u a u a u a u a u a λλλλ+-++=-+>=+-<2.2 Lax-Friedrichs 格式()111111202n nn n n jj j j j u u u u u a hτ++-+--+-+=运算格式： ()()111111122n nn jj j ua u a u λλ++-=-++2.3 Lax-Wendroff 格式这种格式构造采用Taylor 级数展开和微分方程本身得到 运算格式：()()()()111111122n n n n jj j j a a ua u a a u a u λλλλλλ++-=-++-++2.4 Bean-Warming 格式（二阶迎风格式）借助于双曲型方程的解在特征线上为常数这一事实，可以构造出多种差分格式。
设在n t t =时间层上网格点A,B,C 和D 上u 的值已给定，要计算出在1n t t +=时间层上网格点P 上的u 的值。
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a
u
n j 1
u
n j 1
2h
0
u
n 1 j
u
n 1 j
a (u h
n j 1
u
n j 1
)
6）利用特征线构造差分格式
利用双曲型方程的解在特征线为常数这一事实也可以构造出以上差分格式。
为确定起见，不妨设 a>0 。
设在 计算 t
点特征线与 BC 交于 Q
tn1 时间层上的网格点 P
差分格式（E）称为两步Lax-wendroff显示格式。
4）MacCormack二步二阶精度的显示格式
由（C）式 有：
u ( j, n) a 2 2 2u ( j, n) 3 u ( j, n 1) u ( j, n) a o ( ) 2 x 2 x
而：
u n 1 ( ) j [u ( j 1, n) u ( j 1, n)] o( h 2 ) x 2h
h a， 1 因此Lax-Friedrichs格式的截断误差
) ， 如果 a 1，上两式相等。
（Trunction error）TE比迎风格式TE大。
3）Lax-wendroff格式
迎风格式和Lax格式是一阶精度的差分格式，1960年Lax和Wendroff构造出 一个二阶精度的格式。
略去高阶项，可以得到如下的差分格式：
2 2 a a n 1 n n n n n u j u j (u j 1 u j 1 ) 2 (u n 2 u u j 1 j j 1 ) 2h 2h
（D）
差分格式（D）称为Lax-wendroff格式。 讨论：1 该格式的稳定性条件为 a 1 h 2 二阶精度显示格式。 我们也可以建两步Lax-wendroff格式，对（D）式进行改造：
把上两式代入（B）式，得
u a 2 2 2u u ( j, n 1) (u a ......) j ,n 2 x 2 x
(C)
而：
1 u j , n [u ( j 1, n) u ( j 1, n)] O(h 2 ) x 2h 2 1 2 u j , n [ u ( j 1, n ) 2 u ( j , n ) u ( j 1, n )] O ( h ) 2 2 x h
（F）
u n ( )j x
和
2u n ( 2 )j x
代入（C）式，得：
略去高阶小量，可得如下的差分格式：
u
n 1 j
1 n 1 u j [(1 a )(1 a )u]nj 2 2 x f xb
（G）
若引入：
u
n 1 j
n (1 a )u j xb
把此两式代入(C)式，得：
a u ( j , n 1) u ( j , n) [u ( j 1, n) u ( j 1, n)] O( h 2 ) 2h a 2 2 2 [u ( j 1, n) 2u ( j , n) u ( j 1, n)] O( 2 h 2 ) O( 3 ) 2h
(1) 利用
B, C 两点线性插值
u( P) u(Q) u( BxB xC xB
a (h a ) u ( B) u (C ) h h a a (1 )u (C ) u ( B) h h h (1 a )u (C ) au ( B)
该格式称为Lax-Friedrichs格式，也称为Lax格式。
讨论：
a 1 ； 1 )稳定性条件为 h
2 )截断误差为 o( h ) o(
2
h2
所以该格式为一阶精度。
) ，一般取
h
const
3 )该格式可以不考虑对应的微分方程的特征线的走向，而迎风格 式需考虑特征线的走向。为此，我们也可以把迎风格式写成统一 的形式：
1 {[u ( j 1, n) u ( j , n)] [u ( j , n) u ( j 1, n)]} o(h 2 ) 2h
1 u n u n [( ) j ( ) j ] o(h2 ) 2 x f xb
2u n u n ( 2 )j ( ) j o(h2 ) x x f xb
1 n un u j j
a
n un u j 1 j 1
2h
0
该格式是绝对不稳定的差分格式。 1954年，Lax和Friedrichs为克服上述格式的不稳定性，提出了如下的差分格式：
u
n 1 j
1 n n n (u j 1 u n j 1 ) u j 1 u j 1 2 a 0 2h
1 n a n n (u j 1 u j 1 ) (u j 1 u n j 1 ) 2 2
Lax-Friedrichs格式
改写为：
u
n 1 j
(3) 如果使用
B, C
和
D
三个点进行抛物插值，则得到
u( P) u(Q) u( B)
( xQ xC )( xQ xD ) ( xB xC )( xB xD )
x at
推导：
du u u dx dt t x dt
令：
dx a x at dt du 0 u ( x, t ) c dt c u ( x, 0) u0 ( x) u0 ( ) u ( x, t ) u0 ( x at )
u n 2 ( ) j o(h ) xb x f
把
a u u n u( j, n 1) u( j, n) ( )j 2 x f xb
a 2 2 u n ( ) j o( h2 ) o( 2 h2 ) o( 3 ) 2 x f xb
1 n un u j j n un u j j 1 n un u j 1 j
1 a a 2
h
1 a a 2
h
0
实际上，这两种格式还是有很大的区别，现仅从截断误差来考虑，现假设 a>0，此时迎风格式可写为：
1 n un u j j
而Lax-Friedrichs可写为：
两点线性插值：
1
1
a
xb f ( x) a b
f (a)
b
a
b
xa f ( x) ba
f (b)
x b xa f ( x) f (a) f (b) a b ba
a
b
三点抛物线插值：
1
1
1
a
f ( x)
b
( x b)( x c) (a b)(a c)
t tn
时间层上网格点
A、B、C
点的
和
D
上的
u
值给定。现
CFL 条件成立，过 P u ( P) u (Q) ，当 Q 不是 ，由解的性质可知，
值。假定
u
u (Q ) 是未知的，但可以用插值方法给出 u (Q ) 近似值。 网格点时，
P
n 1
n
A j2 B j 1
Q
C j
D j 1
j2
u
n 1 j
a 1 n 1 a n n u {[ (u j 1 u j ) (u j 1 u n j )] h 2 2 h
n j
1 n 1 a n n [ (u j u j 1 ) (u j u n j 1 )]} 2 2 h
这样，上式就可写为：
1 a( ) n 1 1 n n n n 2 2 u ( u u ) ( u u ) 1 j 1 j j 1 j j 2 h 2 1 1 （E） n 1 n n a n 2 2 u u ( u u j j 1 1 ) j j h 2 2
c
a
b
c a
b
c
( x a)( x c) f ( x) (b a)(b c)
( x a)( x b) f ( x) (c a)(c b)
f (a)
f (b)
b
f (c )
a
f ( x) f (a )
c
( x b)( x c) ( x a)( x c) ( x a)( x b) f (b) f (c ) (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b)
1 n un u j j
a
n un u j 1 j 1
2h
n n 2 u u a h un j 1 j j 1 2 h2
a
n un u j 1 j 1
2h
n n n u 2 u u h j 1 j j 1 2 2 h
上两式是左边相同，他们都以o( h2 ) 趋近于对流方程。因此这两 种格式的截断误差取决于两式的右端项的大小。 由稳定性限制要求有 a 1( 但在实际中总是取
u(C )
( xQ xB )( xQ xD ) ( xC xB )( xC xD )
u( D)
( xQ xC )( xQ xB ) ( xD xC )( xD xB )
a (h a ) ( h a )( h a ) ( h a ) a u (C ) u ( D) h 2h hh 2h h 1 u (C ) a[u (C ) u ( B )] a (1 a )[u ( B ) 2u (C ) u ( D)] 2 u ( B)
计算力学基础
第二章 有限差分方法