电动力学_08静电场唯一性定理
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2 2 2 r
r a
1Q 下半球面上均匀分布 2 2 ( 1 2 )a
2Q 2 ( 1 2 )a 2
上半球面上均匀分布
r a
束缚电荷分布：
其他实例： 左半空 间电势？
P1
0 0 ( 1) 1 P 2 ( 1) 2 1 1
2
1
机动
a
Q
目录
上页
下页
返回
结束
解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区 给定，所以球外场唯一确定。 对称性分析：
0 导体上Q
1 2 1 2
4R 场对称 场仍对称！
Q
2
a
Q
S2
E2 E1
在两介质分界面上：
1
P
S1
p E2 n E1n p 0 0 2 试 c1 d 1 0 1 1 探 r 解 2 c 2 d 2 0 2 2 r
n： i j
j
j n
S ij
i
S ij
j
S ij
i i n
Sij
注：在实际问题 中，因为导体内 场强为零，可以 不包含在所求区 域 V 内。导体面 上的边界条件可 视为外边界条件。
V内两介质分 界面上自由 电荷为零
j
j n
S ij
i i n
机动 目录 上页
S ij
下页
返回
结束
二、唯一性定理
1．均匀单一介质
若V边界上 区域内 分布已知， 满足
2
S 已知，或V边界上
n
已知，则 V 内场（ 静
S
电场）唯一确定。
证明： 假定泊松方程有两个解 1
1
2
在边界上
令
1 S
2 1 2 S S
机动 目录 上页 下页 返回 结束
四、应用举例
1. 半 径 为 a 的 导 体 球 壳 接 地 壳内中心放置一个点电荷 Q， 求壳内场强。
解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地
2
Q
S
0
Q
0 ( R 0) 因而腔内场唯一确定。
已知点电荷产生的电势为 但它在边界上 1
1
40 R
第二章第二节
唯一性定理
§2.2 唯一性定理
主要内容 一、泊松方程和边界条件
二、唯一性定理的内容
三、唯一性定理的意义
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、泊松方程和边界条件
假定所研究的区域为 V ，在一般情况下 V 内可以 有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀 线性各向同性。 设V内所求电势为 ，它们满足泊松方程 i
2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3. 均匀单一介质中有导体（证明见教材）
导体中 E 0 ，求 V 内的电势。
当
S
或
n
S
已知， n
、 S1 n
S
S2
Q2 S1
Q1 S2
（或 Q1、Q2 ）为已知，则区域 V 内电场唯一确定。
ε
V
Q dS s n
机动 目录 上页 下页
i i
2
(i 1,2, , m)
n
两类边界条件：① 边界S上，
S
S
为已知，若为导体
S =常数。②
边界S上，
为已知， 若是导体要给
定总电荷Q。它相当于
n
S
dS ） 给定（ Q S n S
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内边界条件为边值关系
Q Q
球壳外 空间电 势？
机动
目录
上页
下页
返回
结束
S
S
Q 4 0 a
不满足
0
返回 结束
机动
目录
上页
下页
要使边界上任何一点电势为0 ， 设
Q 4 0 R
2
Q 4 0 a
它满足
0 S 0
根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。 Q QR E ( R a) 3 4 0 R 可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q 有关。
Q 1 2 ( 1 2 )r 上半空间 Q 2 下半空间 2 ( 1 2 )r
2 (1 2 )c
Q c 2 ( 1 2 )
Q 4 ( 1 2 )r
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(r a)
返回
结束
导体球面上面电荷分布：
1 1 1 r
在介质分界面上
1 S 2
c1 c2 c
dS
r a
1 Q 1 S1 r
2 dS 2 S2 r r a
c c c c 2 1 2 dS 2 2 dS 2 1 2 a 2 2 2 a 2 S1 S2 a a a a
积分为零必然有
0
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1 2 常数
（1）若给定的是第一类边值关系 S 0
即常数为零。 1 2 电场唯一确定且 电势也是唯一确定的。
n
S
（2）若给定的是第二类边值关系
0
1 2 常数，1 , 2 相差一个常数， 虽不唯一，但电场 E 是唯一确定的。
返回
结束
三、唯一性定理的意义
1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。 2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论 采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程 和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。 因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝 试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满 足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
Q 4R
( R a ) E QR ( R a) 4R 3
P n ( E2 E1 ), 0
E
0 QP ( 1)Q
3．两种均匀介质（ 1 和 2 ） 充满空间，一半 径 a 的带电Q导体球放 在介质分界面上（球心 在界面上），求空间电 势分布。
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2. 带电荷Q 的半径为a 的导体球放在均匀无限大介 质中，求空间电势分布。 解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。 假定电场也具有球对称性，则电势坐标与 , 无关。 因电荷分布在有限区，外边界条件 0
R A 3 0 3 R R R 满足 2 0 ， R R 0
V
2
)dV
则
2 2
S
dS
令
dS V ( () )dV S 0 dS 0
S
S
由于 ( ) 2 0
2 ( ) dV 0 0 V
2
2
2 ，有
2 n
n S
n
S
S
1 2
2 2 1 2 2 0
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S 1 S 2 S 0
由格林第一公式
n
S
1 n
S
2 n
0
S
(
E1n E2 n 0
束缚电荷只分布在导体与 介质分界面上。对于上半 个空间，介质均匀极化， 场具有对称性，同样下半 空间也具有对称性。而在 介质分界面上 E1 E 2 ， 所以可考虑球外电场仍具 有球对称性。
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确定常数
r
0
S
d1 d 2 0
A
A 导体表面电荷 Q已知，电场唯一确定。设 B R A R
( R a)
B0
在导体边界上
Q S R
A A4a 2 dS 2 dS A4 2 S R a Ra
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Q A 4
利用
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2. 介质分区均匀（不包含导体）
V 内 已知， 成立，给定区域 i 或 。在分界面上， i S j 或 S ij ij n S
2
S
j
j n
Sij
i i n
1
Sij
3
v sFra Baidu bibliotek
区域V内电场唯一确定 （证明见书P．60）
r a
1Q 下半球面上均匀分布 2 2 ( 1 2 )a
2Q 2 ( 1 2 )a 2
上半球面上均匀分布
r a
束缚电荷分布：
其他实例： 左半空 间电势？
P1
0 0 ( 1) 1 P 2 ( 1) 2 1 1
2
1
机动
a
Q
目录
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解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区 给定，所以球外场唯一确定。 对称性分析：
0 导体上Q
1 2 1 2
4R 场对称 场仍对称！
Q
2
a
Q
S2
E2 E1
在两介质分界面上：
1
P
S1
p E2 n E1n p 0 0 2 试 c1 d 1 0 1 1 探 r 解 2 c 2 d 2 0 2 2 r
n： i j
j
j n
S ij
i
S ij
j
S ij
i i n
Sij
注：在实际问题 中，因为导体内 场强为零，可以 不包含在所求区 域 V 内。导体面 上的边界条件可 视为外边界条件。
V内两介质分 界面上自由 电荷为零
j
j n
S ij
i i n
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S ij
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二、唯一性定理
1．均匀单一介质
若V边界上 区域内 分布已知， 满足
2
S 已知，或V边界上
n
已知，则 V 内场（ 静
S
电场）唯一确定。
证明： 假定泊松方程有两个解 1
1
2
在边界上
令
1 S
2 1 2 S S
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四、应用举例
1. 半 径 为 a 的 导 体 球 壳 接 地 壳内中心放置一个点电荷 Q， 求壳内场强。
解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地
2
Q
S
0
Q
0 ( R 0) 因而腔内场唯一确定。
已知点电荷产生的电势为 但它在边界上 1
1
40 R
第二章第二节
唯一性定理
§2.2 唯一性定理
主要内容 一、泊松方程和边界条件
二、唯一性定理的内容
三、唯一性定理的意义
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一、泊松方程和边界条件
假定所研究的区域为 V ，在一般情况下 V 内可以 有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀 线性各向同性。 设V内所求电势为 ，它们满足泊松方程 i
2
机动
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3. 均匀单一介质中有导体（证明见教材）
导体中 E 0 ，求 V 内的电势。
当
S
或
n
S
已知， n
、 S1 n
S
S2
Q2 S1
Q1 S2
（或 Q1、Q2 ）为已知，则区域 V 内电场唯一确定。
ε
V
Q dS s n
机动 目录 上页 下页
i i
2
(i 1,2, , m)
n
两类边界条件：① 边界S上，
S
S
为已知，若为导体
S =常数。②
边界S上，
为已知， 若是导体要给
定总电荷Q。它相当于
n
S
dS ） 给定（ Q S n S
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内边界条件为边值关系
Q Q
球壳外 空间电 势？
机动
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结束
S
S
Q 4 0 a
不满足
0
返回 结束
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要使边界上任何一点电势为0 ， 设
Q 4 0 R
2
Q 4 0 a
它满足
0 S 0
根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。 Q QR E ( R a) 3 4 0 R 可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q 有关。
Q 1 2 ( 1 2 )r 上半空间 Q 2 下半空间 2 ( 1 2 )r
2 (1 2 )c
Q c 2 ( 1 2 )
Q 4 ( 1 2 )r
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(r a)
返回
结束
导体球面上面电荷分布：
1 1 1 r
在介质分界面上
1 S 2
c1 c2 c
dS
r a
1 Q 1 S1 r
2 dS 2 S2 r r a
c c c c 2 1 2 dS 2 2 dS 2 1 2 a 2 2 2 a 2 S1 S2 a a a a
积分为零必然有
0
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1 2 常数
（1）若给定的是第一类边值关系 S 0
即常数为零。 1 2 电场唯一确定且 电势也是唯一确定的。
n
S
（2）若给定的是第二类边值关系
0
1 2 常数，1 , 2 相差一个常数， 虽不唯一，但电场 E 是唯一确定的。
返回
结束
三、唯一性定理的意义
1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。 2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论 采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程 和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。 因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝 试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满 足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
Q 4R
( R a ) E QR ( R a) 4R 3
P n ( E2 E1 ), 0
E
0 QP ( 1)Q
3．两种均匀介质（ 1 和 2 ） 充满空间，一半 径 a 的带电Q导体球放 在介质分界面上（球心 在界面上），求空间电 势分布。
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2. 带电荷Q 的半径为a 的导体球放在均匀无限大介 质中，求空间电势分布。 解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。 假定电场也具有球对称性，则电势坐标与 , 无关。 因电荷分布在有限区，外边界条件 0
R A 3 0 3 R R R 满足 2 0 ， R R 0
V
2
)dV
则
2 2
S
dS
令
dS V ( () )dV S 0 dS 0
S
S
由于 ( ) 2 0
2 ( ) dV 0 0 V
2
2
2 ，有
2 n
n S
n
S
S
1 2
2 2 1 2 2 0
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S 1 S 2 S 0
由格林第一公式
n
S
1 n
S
2 n
0
S
(
E1n E2 n 0
束缚电荷只分布在导体与 介质分界面上。对于上半 个空间，介质均匀极化， 场具有对称性，同样下半 空间也具有对称性。而在 介质分界面上 E1 E 2 ， 所以可考虑球外电场仍具 有球对称性。
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确定常数
r
0
S
d1 d 2 0
A
A 导体表面电荷 Q已知，电场唯一确定。设 B R A R
( R a)
B0
在导体边界上
Q S R
A A4a 2 dS 2 dS A4 2 S R a Ra
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Q A 4
利用
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2. 介质分区均匀（不包含导体）
V 内 已知， 成立，给定区域 i 或 。在分界面上， i S j 或 S ij ij n S
2
S
j
j n
Sij
i i n
1
Sij
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v sFra Baidu bibliotek
区域V内电场唯一确定 （证明见书P．60）