2021高三数学人教B版一轮学案：第二章第十二节第1课时不等式恒成立与有解问题含解析

第十二节导数破解疑难优质课

第1课时不等式恒成立与有解问题

1．“恒成立问题”与“有解问题”的区别

(1)两者在量词上的区别

恒成立问题中使用的量词是全称量词，如“任意、所有、全部、均、恒、总、都”等；而有解问题中使用的量词是特称量词，如“存在、至少一个、有解”等．

(2)两者在等价转换上的区别

恒成立问题的转化：

①f(x)>0恒成立⇔f(x)min>0；f(x)<0恒成立⇔f(x)max<0.

②f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)

③f(x)>g(x)恒成立⇔[f(x)－g(x)]min>0；f(x)

有解问题的转化：

①f(x)>0有解⇔f(x)max>0；f(x)<0有解⇔f(x)min<0.

②f(x)>a有解⇔f(x)max>a；f(x)

③f(x)>g(x)有解⇔[f(x)－g(x)]max>0；f(x)

2．解题策略：不等式恒成立问题和有解问题一般可通过分类讨论、分离参数、构造函数、数形结合等方法来处理．

考向一 不等式恒成立问题

方法1 分离参数法

【例1】 (2020·石家庄质检)已知函数f (x )＝ax e x －(a ＋1)(2x －1)．

(1)若a ＝1，求函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程；

(2)当x >0时，函数f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．

【解】 (1)若a ＝1，则f (x )＝x e x －2(2x －1)．

即f ′(x )＝x e x ＋e x －4，则f ′(0)＝－3，f (0)＝2，

所以所求切线方程为3x ＋y －2＝0.

(2)由f (1)≥0，得a ≥1e －1

>0，则f (x )≥0对任意的x >0恒成立可转化为a a ＋1

≥2x －1x e x 对任意的x >0恒成立． 设函数F (x )＝2x －1x e x (x >0)，

则F ′(x )＝－(2x ＋1)(x －1)x 2e x

. 当00；

当x >1时，F ′(x )<0.

所以函数F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以

F (x )max ＝F (1)＝1e .

于是a a ＋1≥1e ，解得a ≥1e －1

.

故实数a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭

⎪⎪⎫1e －1，＋∞. 方法技巧

(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路

用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．

(2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”

转化关

通过分离参数法，先转化为f (a )≥g (x )(或f (a )≤g (x ))对∀x ∈D 恒成立，再转化为f (a )≥g (x )max (或f (a )≤g (x )min ) 求最

值关 求函数g (x )在区间D 上的最大值(或最小值)问题

已知函数f (x )＝x e x ，且对任意的x ∈(0,2)，都有f (x )<1k ＋2x －x 2

成立，求k 的取值范围．

解：由题意知f (x )＝x e x <

1k ＋2x －x

2对任意的x ∈(0,2)都成立，由x e x >0，知k ＋2x －x 2>0，

即k >x 2－2x 对任意的x ∈(0,2)都成立，从而k ≥0，

故不等式可转化为k

令g (x )＝e x x ＋x 2－2x ，

所以g ′(x )＝e x (x －1)x 2＋2(x －1)＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x 2＋2， 令g ′(x )＝0，得x ＝1，

显然函数g (x )在(1,2)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

所以k

综上所述，实数k 的取值范围是[0，e －1)．

方法2 构造函数法

【例2】 已知函数f (x )＝sin x x (x ≠0)．

(1)判断函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2上的单调性； (2)若f (x )

⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，求实数a 的最小值． 【解】 (1)f ′(x )＝x cos x －sin x x 2

， 令g (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2， 则g ′(x )＝－x sin x ，

显然，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，g ′(x )＝－x sin x <0，即函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2上单调递减，且g (0)＝0.

从而g (x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2上恒小于零， 所以f ′(x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2上恒小于零， 所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2上单调递减． (2)不等式f (x )

⎪⎫0，π2恒成立， 即sin x －ax <0恒成立．

令φ(x )＝sin x －ax ，x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2，