利用导数探究方程根的个数问题

2020/6/6
新课 思考4：方程x3-3x2 -a=0的根的个数 函数y=x3-3x2 -a的零点个数. 函数y=x3-3x2 与直线y=a的交点个数.
解：易知函数的定义域x R
f ' (x) 3x2 6x 3x( x 2) 令f '(x) 0 x 0或x 2
令f '(x) 0 0 x 2 即f (x)在（ ，0）,(2,)上单调递增
f ' (x) 3x2 2x 1 (3x 1)(x 1)
当x
1 3
,
f
( x)极大值
5 27
当x 1, f (x)极小值 1
即：f (x)极小值 a f (x)极大值
1 a 5 27
2020/6/6
练习
2：方程2x3 6x2 7 0在1，2内根的个数.
解：设f (x) 2x3 6x2 7,则f (x) 6x2 12x
若f (x) 0,则x 0,或x 2
当x 1，2时，f (x) 0,所以f (x)在1，2上单调递减。
又因为f (1) 3, f (2) 1,所以方程2x3 6x2 7 0
在1，2内有且只有一个实根。
y 7
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O12
x
练习
3：解：构造函数h(x) f (x) 5 x b ln(x 1) x2 3 x b
当 4 a 0时，方程有3个不相等的实数根
2020/6/6
新课 思考5：若方程x3-3x2-a=0在[-1,1]有
解.
2020/6/6
新课 思考5：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有解.
分析：方程f (x) a有解 a { f (x) | x D}
即y f (x), x D的图像与y a有交点 解：由题意得：
（3）求f’(x)=0的根（4）列表 （5）判断
求f(x)在闭区间[a,b]上的 最值的步骤：
2020/6/6
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值；
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,
从而确定函数的最值。
新课 例：已知函数 f(x)= x3-3x2 +1
思考1：画出函数的草图. 思考2：方程x3-3x2+1 =0在R上有几个根 ？ 思考3：方程 x3 + 1 = 3x2 在（0,2）内有几个根？ 思考4：讨论方程x3-3x2 -a=0 (a∈R)的根的个数. 思考5：若方程x3-3x2-a=0在区间[-1,1]有解. 思考6：若方程x3-3x2-a=0在区间[-1,1]有一解. 思考7：若方程x3-3x2-a=0在区间[-1,1]有两解. 思考8：若方程x3-3x2-a=0在区间[-2,3]有三解.
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新课
例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1
思考1： 画出函数的草图？
2020/6/6
新课
例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1
思考2：方程x3-3x2+1 =0在R上有几个根 ？
2020/6/6
新课
例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1
思考3：方程 x3 + 1 = 3x2 在（0,2）内有几个根？
内根的个数. 3 :已知f (x) ln( x 1) x2 x,若关于
x的方程f (x) 5 x b在区间[0,2] 2
有两个不等的实数根，求实数b的
取值范围.
2020/6/6
练习 1.若函数f(x)=x3-x2-x与直线y=a有3个不同的
公共点，求实数a的取值范围.
函数f (x) x3 x2 x与y a有3个不同的交点
解：易知f (x)在（ 2,0），（0,2）（2,3） f (2) 20, f (0) 0, f (2) 4, f (3) 0
4 a 0时，在区间[2,3]上有三解
2020/6/6
练习 1.若函数f(x)=x3-x2-x与直线y=a有3个不 同的公共点，求实数a的取值范围. 2.判断方程2x3 6x2 7 0在区间（1,2）
即求函数f (x) x3 3x2在[1,1]的值域
又由思考 4知，f (x)在（1,0）, (0,1)
又f (1) 4, f (0) 0, f (1) 2
f (x)max f (0) 0 f (x)min f (1) 4 4 a 0时，f (x) a有解
2020/6/6
新课 思考5：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有解.
有一个交点，求实数a的取值范围.
2.已知f (x) lnx, g(x) a , (a 0) x
是否存在实数m,使得y
百度文库
g(
x
2a 2
) 1
m
1,
与y f (1 x2 )的图像恰有4个不同的交点，
f (x)在（0,2）上单调递减
2020/6/6
新课 思考4：方程x3-3x2 -a=0的根的个数 函数f(x)=x3-3x2 -a的零点个数. 函数y=x3-3x2 与直线y=a的交点个数.
当x 0时f (x)极大值 0 当x 2时f (x)极小值 4
当a 0或a 4,方程有1个根 当a 0或a 4，方程有2个不相等的实数根
2
2
h' (x) (4x 5)( x 1) 2(x 1)
x (0,1), h'(x) 0,即h(x)在（0,1）
x (1,2), h' (x) 0,即h(x)在（1,2）
h(0) b 0
由题意得h(1)
ln
2
1 2
b
0
h(2) ln 3 1 b 0
2020/6/6
思考题
1. 已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅
4 a 0时，f (x) a有解
思考6：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有一解.
4 a 2或a 0, f (x) a有一解
思考7：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有两解.
2 a 0, f (x) a有两解
2020/6/6
新课
思考8：若方程x3-3x2-a=0在区间[-2,3]有三解
导数的综合应用
-----利用导数研究方程根 的个数问题
香城中学高二数学备课组 唐红梅
2020/6/6
复习
一、如何利用导数判断函数的单调性？
若函数y=f(x)在 （a,b） 内可导，
f(x)为增函数 f(x)为减函数
二、如何利用导数求函数的极值与最值？
求函数极值的一般步骤
（1）确定定义域
（2）求导数f’(x)