《椭圆的简单几何性质》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第1课时)
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解： ⑴方法一： 设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）， 将点的坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
所求椭圆方程为：x2 y2 1 94
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：⑴定位； ⑵定量
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
2 a 4 3,b 2 3
椭圆方程为：x2 y2 1 48 12
小结
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何 意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系， 这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了 基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需 要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭 圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
短轴长 2b 1 焦点坐标( 3 , 0) 2
顶点坐标( 1, 0), (0, 1) 2
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
25 25 16
x2 y2 (4) 1
11 45
新知探究
练习：已知椭圆 x2 (m 3) y2 m(m 0) 的离心率 e 3 , 求m的值及椭圆的长轴和短
2 轴的长、焦点坐标、顶点坐标。
椭圆：x2 m
y2 m
1 a2 m,b2 m , c2 m(m 2)
m3
m3
m3
e2 m 2 3 m 1 长轴长 2a 2 m3 4
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 6 。
4
焦距是： 8 。 离心率等于： 5 。
焦点坐标是：(0, 4) 。顶点坐标是： (5, 0), (0, 3) 。
外切矩形的面积等于： 60
。
解题的关键： 1、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b 2、确定焦点的位置和长轴的位置
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
解(2)：2a 20, e c 3 a5
a 10,c 6 b 8.
椭圆方程为：x 2
[3]e与a,b的关系: e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
新知探究
标准方程 范围 对称性
顶点坐标 焦点坐标
半轴长 离心率 a、b、c的关系
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
y2
1或
y2
x2
1
100 64 100 64
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
y2 16
1
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 B1
x2 y2 （2） 1
25 4
y
4
3 B2 2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
新知探究
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
x2 y2 1 25 9
新知探究
练习1. 已知椭圆方程为6x2+y2=6
它的长轴长是： 2 6 。短轴长是： 2 。 30
焦距是： 2 5 .离心率等于： 6 。
焦点坐标是：(0, 5)。顶点坐标是： (0, 6) (1, 0) 。
外切矩形的面积等于： 4 6 。
其标准方程是 x2 y2 1 16
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
2.2.2椭圆的简单几何性质第一课时
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
新知探究
标准方程 范围
对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
a、b、c的关系
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
解：(1)方法二：利用椭圆的几何性质 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点， 于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点， x2 y2 故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为 1 94 注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
(c,0)、(-c,0)
x2 y2 b2 a2 1(a b 0)
|x|≤ b,|y|≤ a 同前
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
e c a
同前 同前
a2=b2+c2
同前
新知探究
题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
当焦点在Y轴上时
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2
新新知知探探究究
二、椭圆
简单的几何性质
1、范围：
x2 a2
分类讨论的数学思想
课堂练习
1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ① x2 + y2 =1 16 9
② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，Q(0,-3)两点.
② y2 + x2 =1 94
③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ③ x2 + y2 =1 34 25
④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4）
④ x2 + y2 =1 45 36
⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。 ⑤ x2 + y2 =1 100 64
课堂练习
2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆 的标准方程。
c 6 a 2b 3 a 6
解:(3)一焦点将长轴分成２：１的两部分
c2 4或c2 145
(a c) : (a c) 2 :1 a 3c
b2 8c2
36
椭圆方程为：x2 y2 1或 y2 x2
1
椭圆方程可设为：x2 9c2
y2 8c2
1或
x2 8c2
y2 9c2
1
36 32
145 290 49
椭圆过P
3
1,
y2 b2
1得：-a≤x≤a,
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
A1 F1
y B2
b oc
a
A2
F2
B1
新知探究
椭圆的对称性
Y P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
新知探究
2、对称性： 从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做 椭圆的顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆 的长轴和短轴。
A1 (-a，0) F1
y B2 (0,b)
b oc
a
A2 (a，0)
F2
B1 (0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
新知探究
根据前面所学有关知识画出下列图形
x2 （1）25
2,4
，
(3 9c
2
2
)
2
42 8c2
1或
(3 2 8c2
)2
42 9c2
1
课堂练习
练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），
求椭圆的方程。
2a 32b a 3b
a 3,b 1 或b 3，a 9
x2 y2 1或 x2 y2 1
9
9 81
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c a
[1]离心率的取值范围： 0<e<1
叫做椭圆的离心率。
[2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？
a 6 b1
则c a2 b2 5
新知探究
练习
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
（1）x2+9y2=81
(2) 25x2+9y2=225
(3) 16x2+y2=25
(4) 4x2+5y2=1
(1) x2 y2 1 81 9
(2) x2 y2 1 9 25
x2 y2 (3) 1
A1 F1
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成 中心对称。
坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心， 叫椭圆的中心。
y B
2
b oc
a A2 F2
B1
新知探究
3、椭圆的顶点（截距） x 2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？
所求椭圆方程为：x2 y2 1 94
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：⑴定位； ⑵定量
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
2 a 4 3,b 2 3
椭圆方程为：x2 y2 1 48 12
小结
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何 意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系， 这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了 基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需 要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭 圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
短轴长 2b 1 焦点坐标( 3 , 0) 2
顶点坐标( 1, 0), (0, 1) 2
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
25 25 16
x2 y2 (4) 1
11 45
新知探究
练习：已知椭圆 x2 (m 3) y2 m(m 0) 的离心率 e 3 , 求m的值及椭圆的长轴和短
2 轴的长、焦点坐标、顶点坐标。
椭圆：x2 m
y2 m
1 a2 m,b2 m , c2 m(m 2)
m3
m3
m3
e2 m 2 3 m 1 长轴长 2a 2 m3 4
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 6 。
4
焦距是： 8 。 离心率等于： 5 。
焦点坐标是：(0, 4) 。顶点坐标是： (5, 0), (0, 3) 。
外切矩形的面积等于： 60
。
解题的关键： 1、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b 2、确定焦点的位置和长轴的位置
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
解(2)：2a 20, e c 3 a5
a 10,c 6 b 8.
椭圆方程为：x 2
[3]e与a,b的关系: e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
新知探究
标准方程 范围 对称性
顶点坐标 焦点坐标
半轴长 离心率 a、b、c的关系
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
y2
1或
y2
x2
1
100 64 100 64
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
y2 16
1
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 B1
x2 y2 （2） 1
25 4
y
4
3 B2 2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
新知探究
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
x2 y2 1 25 9
新知探究
练习1. 已知椭圆方程为6x2+y2=6
它的长轴长是： 2 6 。短轴长是： 2 。 30
焦距是： 2 5 .离心率等于： 6 。
焦点坐标是：(0, 5)。顶点坐标是： (0, 6) (1, 0) 。
外切矩形的面积等于： 4 6 。
其标准方程是 x2 y2 1 16
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第2章 圆锥曲线与方程
2.2.2椭圆的简单几何性质第一课时
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
新知探究
标准方程 范围
对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
a、b、c的关系
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
解：(1)方法二：利用椭圆的几何性质 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点， 于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点， x2 y2 故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为 1 94 注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量
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第2章 圆锥曲线与方程
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
(c,0)、(-c,0)
x2 y2 b2 a2 1(a b 0)
|x|≤ b,|y|≤ a 同前
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
e c a
同前 同前
a2=b2+c2
同前
新知探究
题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
当焦点在Y轴上时
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2
新新知知探探究究
二、椭圆
简单的几何性质
1、范围：
x2 a2
分类讨论的数学思想
课堂练习
1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ① x2 + y2 =1 16 9
② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，Q(0,-3)两点.
② y2 + x2 =1 94
③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ③ x2 + y2 =1 34 25
④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4）
④ x2 + y2 =1 45 36
⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。 ⑤ x2 + y2 =1 100 64
课堂练习
2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆 的标准方程。
c 6 a 2b 3 a 6
解:(3)一焦点将长轴分成２：１的两部分
c2 4或c2 145
(a c) : (a c) 2 :1 a 3c
b2 8c2
36
椭圆方程为：x2 y2 1或 y2 x2
1
椭圆方程可设为：x2 9c2
y2 8c2
1或
x2 8c2
y2 9c2
1
36 32
145 290 49
椭圆过P
3
1,
y2 b2
1得：-a≤x≤a,
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
A1 F1
y B2
b oc
a
A2
F2
B1
新知探究
椭圆的对称性
Y P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
新知探究
2、对称性： 从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做 椭圆的顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆 的长轴和短轴。
A1 (-a，0) F1
y B2 (0,b)
b oc
a
A2 (a，0)
F2
B1 (0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
新知探究
根据前面所学有关知识画出下列图形
x2 （1）25
2,4
，
(3 9c
2
2
)
2
42 8c2
1或
(3 2 8c2
)2
42 9c2
1
课堂练习
练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），
求椭圆的方程。
2a 32b a 3b
a 3,b 1 或b 3，a 9
x2 y2 1或 x2 y2 1
9
9 81
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c a
[1]离心率的取值范围： 0<e<1
叫做椭圆的离心率。
[2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？
a 6 b1
则c a2 b2 5
新知探究
练习
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
（1）x2+9y2=81
(2) 25x2+9y2=225
(3) 16x2+y2=25
(4) 4x2+5y2=1
(1) x2 y2 1 81 9
(2) x2 y2 1 9 25
x2 y2 (3) 1
A1 F1
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成 中心对称。
坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心， 叫椭圆的中心。
y B
2
b oc
a A2 F2
B1
新知探究
3、椭圆的顶点（截距） x 2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？