《椭圆的简单几何性质》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第1课时)
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高中数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性
)
解析:将椭圆方程化为 x
答案:D
2
即端点坐标为(0,− 6), (0, 6).
������2 + 6
= 1, 则长轴端点在y 轴上,
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
利用椭圆的几何性质求标准方程 【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: 2 (1)长轴长是6, 离心率是 ; 3 (2)焦点在x轴上,且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直, 焦距为6. 分析:因为要求的是椭圆的标准方程,故可以先设出椭圆的标准 方程,再利用待定系数法求参数a,b,c.
直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= = (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2
(������1 -������2 )2 + (������������1 + ������-������������2 -������)2 = (������1 -������2 )2 · (1 + ������ 2 ) = 1 + ������ 2 · |x1-x2|
+ (������1 -������2 )2 =
1+
1 ������
|y1-y2| 2·
1 + 2 · (������1 + ������2 )2 -4������1 ������2 .
1
������
当 k=0 时,直线平行于 x 轴, 所以|AB|=|x1-x2|.
知识拓展由弦长公式可知,求弦长时可以不求出交点坐标,只需先 将方程联立,整理成关于x(或y)的一元二次方程,再根据一元二次方 程根与系数的关系求出x1+x2,x1· x2(或y1+y2,y1· y2),代入弦长公式即 可.
人教A版高中数学选修2-1课件高二：2.2.2椭圆的简单几何性质1
y2
b2
b
y
b
故整个椭圆位于y b, x a所围成的矩形内.
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原
a
a
因为 a >c>0,所以 e 的取值范围是:__0_<_e_<__1__
e 越接近于Zx.xk 1,则c越接近于a,从而b就越小,因此椭圆 就越扁反之,e越接近于0, c 就越接近于0,从而b 就越 接近于 a,这时椭圆就越接近于圆.
例1、根据下列条件，分别求椭圆的离心率e： （1）焦距等于长短轴端点间的距离； （2）短轴顶点与两焦点组成等边三角形； （3）一个焦点将长轴分成2:3的两段； （4）长轴一顶点与与短轴的两个顶点构成等边三角形。
高中数学课件
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2.2.2椭圆的简单几何性质
学科网
A1
F1
y
B2
b
oc
B1
a
A2
F2
1、椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离和为常数（大于
|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。
2、椭圆的标准方程是：
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
y2 x2 a2 b2 1
Zx.xk
(c,0)
(0,c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
3、椭圆中a,b,c的关系是:
人教版高二数学选修2-1《椭圆的简单几何性质(第一课时)》课件(共21张PPT)
1.对称性 椭圆既是轴对称图形，
又是中心对称图形。
x
O
x2
25
y2
4
1
探索发现 椭圆性质
方程4x2 25y2 100表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？
x2
25
y2
4
1
椭圆
列表 描点 连线
思考1：在作图的过程中x为什 么不取大于5或小于-5的值？
思考2：如何求利用方程求椭圆
变式训练
1.已知椭圆mx2
y2
m(m
0)的离心率e
1 2
,求椭圆的长轴
和短轴长，焦点和顶点坐标。
归纳升华:
椭圆性质 学以致用
变式训练
2.若椭圆
x2
k 8
y2
9
1的离心率e
1 2
,求k的值。
解：若焦点在x轴上，即k 8 > 9时,
a2 k 8, b2 9
e2
a叫做长半轴长, b叫做短半轴长。
4.离心率
e
2c 2a
c a
0e 1
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，此时椭圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，此时椭圆就越圆
椭圆性质 学以致用
1.已知椭圆的方程为100x2 36 y2 3600，则它的：
长轴长是
,
长半轴长是
;
短轴长是
y2 b2
1(a
b
0)
1.对称性 椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 2.取值范围 a x a, b y b 3.顶点 椭圆与坐标轴的交点。
人教B版高中数学选修2-1 第二章2.2.2椭圆的简单几何性质(1)教学课件 (共16张PPT)
x2 y2 1 x2 y2 1
16 9
16 4
y
A1
4 3
B2
2 1
A2
a保持不变时， b就越小，此时椭圆就越扁 b就越大，此时椭圆就越圆
-5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
-3 B1
-4
b 可以刻画椭圆的扁平程度.Biblioteka a12:54:05
6
四、椭圆的离心率 刻画椭圆扁平程度的量
(a,0), (0,b)
(b,0), (0,a)
(c, 0)
(0, c)
长半轴长长为半a，轴长为a，短长半半轴轴长长为为ab，
短半轴长为b 焦距为2c
焦距.为2短c焦半距轴为长2为c b
a2 b2 c2 a2 b2 ac2 2 b2 c2
e
c a
(0 ee1c)
a
(0 ee1ac)
(0 e 1)
y
b A1 F1 o
a
cF2 A2 x
x2 y2 1 10 5
求椭圆的标准方程时, 应: 先定位(焦点), 再定量（a、b）
当焦12:5点4:05位置不确定时，要讨论，此时有两个解！
11
变式训练2：
求满足条件的椭圆的标准方程
中心在原点，对称轴在坐标轴上，过椭圆右焦点做x轴 垂线，分别交椭圆于P,Q两点, POQ 恰为等腰直角三 角形,求椭圆离心率（合作探究）.
y
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
O
x
a x a, b x b b x b, a y a
关关关于于于x原x轴轴点、成、y轴中y轴成心轴对成对称轴称. 对；称；关 关关于 于于x原轴点原、成点y轴中成成心中轴对心对称称.对；称.
【精编】人教A版高中数学选修2-1课件2.2.2椭圆的简单几何性质(1)课件-精心整理
思考：椭圆中的e,a,b有什么关 系呢？
e大扁e小圆
e2
1
b2 a2
(常用于知a,b求离心率e)
[1]椭圆标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
所表示的椭圆的范围是什么？
[2]上述方程表示的椭圆有几条对称轴？几个对称中心？
[3]椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？
[4]对称轴与长轴、短轴是什么关系？
椭圆的长轴长是: 2a=10
椭圆的短轴长是: 2b=8
离心率: e c 3 0.6 a5
四个顶点坐标是:
焦点坐标是:
F1(3,0), F2 (3,0)
A1(5,0), A2 (5,0), B1(0,4), B2 (0,4)
例1 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心 率、焦点和顶点坐标,并画出其图形。
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
所以所求椭圆的标准方程为 ：
x2 y2 1或 y2 x2 1.
100 64
100 64
同步练习
1、中心在原点，坐标轴为对称轴的椭
圆，若短轴长为6，且过点(1,4)，则其
y2 x2
标准方程是
18 + 9 =1
.
2、中心在原点,焦点在坐标轴上,若长轴长为18,
（2）长轴的长等于20，离心率等于3/5 。
解：（1）由椭圆的几何性质可知，点Ｐ、Ｑ分
别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得：a=3,b=2，
又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为：
x2 y2 1
(2)9、由已4知，
2a 20, e c 3 , a5
高二数学人教A版选修2-1ppt课件：.2椭圆的简单几何性质
2、椭圆的离心率对椭圆形状的影响： 椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率，记作 e＝22ac＝ac. ∵a>c>0，∴0<e<1.
e 越接近于 1，则 c 就越接近于 a，从而 b＝ a2－c2越小，因此
椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近于 0，从而 b 越接 近于 a，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当 a＝b 时，c＝0，这 时两个焦点重合，这时图形就变为圆，此时方程即为 x2＋y2＝ a2.
圆的离心率.
y
0<e<1
o
x
e越接近1，椭圆越扁； e越接近于0，椭圆越接近于圆.
二、新课讲解：
4、椭圆的离心率：用a和b表示椭圆的离心率e
e 2c c 2a a
c2 a2
a2 b2 a2
1
b a
2
b→0，e→1，椭圆越扁； b→a，e→0，椭圆越接近于圆.
二、新课讲解：
5、通径：过椭圆的焦点作垂直于长轴的弦叫做通径.
1 (2)若
的左焦点F1到直线AB
题型四 分类讨论的思想
2
用焦点三角形面积公式 题型二 由椭圆的几何性质求标准方程
通径、焦点三角形面积公式 方程的左边是平方和，右边是1.
3、设椭圆
的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使PF1⊥PF2，求椭圆的离心率的取值范围.
题型三 求椭圆的离心率 通径、焦点三角形面积公式
称轴的四个交点，叫 做椭圆的顶点.
长轴、短轴：线段
A1A2、B1B2分别叫做 椭圆的长轴和短轴.
A1(-a,0)
a、b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长.
y B2(0,b)
o
A2(a,0)x
高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质共17张ppt
2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形 纸板制作成一个最大的椭圆呢？
长方形
8cm
10cm
1.熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点， 离心率）.（重点） 2.理解离心率的大小对椭圆形状的影响.（重点） 3.通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何 性质，进一步体会数形结合的思想.（难点）
【解析】（1）已知方程化为标准方程为
x2
+
y2
=
1，
故可得长轴长为8，短轴长为4，离1心6 率4 为
焦点坐标为
，顶点坐标（±4,0），(0,3±，2).
(为焦21点)已8坐，知标短方为轴程（长化 为2为6，3标，, 0顶准）离点方心坐程率标为为（8y102 ,±x992）故 1，可，（得2±长3轴,0长）.
a5
两个焦点坐标分别为
F1 3, 0, F2 3, 0,
四个顶点坐标分别为
A1(5, 0), A 2 (5, 0), B1(0, 4), B2 (0, 4).
【提升总结】 基本量：a，b，c，e（共四个量）. 基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）.
我们的新课讲到这里，前面提出的问题就可以 解决了！
F2
B2
B1 O
x
F1
A1
y2 x2 a 2 b 2 1(a b 0)
范围
|x| a |y| b
|x| b |y| a
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
焦点
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
顶点 离心率
(a,0)、(0,b)
(b,0)、(0,a)
c e=
如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形 纸板制作成一个最大的椭圆呢？
长方形
8cm
10cm
1.熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点， 离心率）.（重点） 2.理解离心率的大小对椭圆形状的影响.（重点） 3.通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何 性质，进一步体会数形结合的思想.（难点）
【解析】（1）已知方程化为标准方程为
x2
+
y2
=
1，
故可得长轴长为8，短轴长为4，离1心6 率4 为
焦点坐标为
，顶点坐标（±4,0），(0,3±，2).
(为焦21点)已8坐，知标短方为轴程（长化 为2为6，3标，, 0顶准）离点方心坐程率标为为（8y102 ,±x992）故 1，可，（得2±长3轴,0长）.
a5
两个焦点坐标分别为
F1 3, 0, F2 3, 0,
四个顶点坐标分别为
A1(5, 0), A 2 (5, 0), B1(0, 4), B2 (0, 4).
【提升总结】 基本量：a，b，c，e（共四个量）. 基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）.
我们的新课讲到这里，前面提出的问题就可以 解决了！
F2
B2
B1 O
x
F1
A1
y2 x2 a 2 b 2 1(a b 0)
范围
|x| a |y| b
|x| b |y| a
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
焦点
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
顶点 离心率
(a,0)、(0,b)
(b,0)、(0,a)
c e=
《椭圆的简单几何性质》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第1课时)
(C ) 2 11
(D) 7 11
C 2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是( )
A 3
B 3
2
C 3
3
D 3
4
B 3.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比为0.8,则动点M的轨迹是(
)
A.圆 B.椭圆 C.直线 D.无法确定
新知探究
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
解:(3)一焦点将长轴分成２：１的两部分
c2 4或c2 145
(a c) : (a c) 2 :1 a 3c
b2 8c2
36
椭圆方程为：x2 y2 1或 y2 x2
1
椭圆方程可设为：x2 9c2
y2 8c2
1或
x2 8c2
y2 9c2
1
36 32
145 290 49
椭圆过P
3
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
2.2.2椭圆的简单几何性质第一课时
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人： 时间：2020.6.1
课前导入
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
解(2)：2a 20, e c 3 a5
人教版2017高中数学(选修2-1)2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 探究导学课型PPT课件
3
c 2 ＝ ． 所以椭圆的标准方程是 3 3
答案：
所以c＝2，b2＝32－22＝5．
x 2 y2 x 2 y2 ＝1或 ＝1 9 5 5 9
x 2 y2 x 2 y2 ＝1或 ＝． 1 9 5 5 9
2.求椭圆25x2+16y2=400的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标.
【解析】将方程变形为 y2
c 6 ＝ ， c ＝ 2－c2＝ 所以b2＝a 3 ． 6. a 3
此时椭圆的标准方程为 当焦点在y轴上时，
因为过P(3,0Байду номын сангаас，所以b＝3．
x 2 y2 ＝， 1 9 3
2 2 c 6 a b 6 所以a2＝27． 又 ＝ ， 所以 ＝ ， a 3 a 32 2 此时椭圆的标准方程为 y x ＝． 1 27 9 故所求椭圆的标准方程为 x 2 y2 y2 x 2 ＝1或 ＝1. 答案： 9 3 27 9 x 2 y2 y2 x 2 ＝1或 ＝1 9 3 27 9
x2 1， 得a=5，b=4，所以c=3. 25 16
故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=10和2b=8，焦点坐标为 F1(0，-3)，F2(0，3)， 顶点坐标为A1(0，-5)，A2(0，5)，B1(-4，0)，B2(4，0).
主题二：椭圆的离心率 【自主认知】 1.观察图中不同的椭圆，其扁平程度是不一 样的，通过图形说出哪些性质在变化，哪些 性质不变？ 提示：发现长轴长相等，短轴长不同，扁平程度不同 .
提示：与位置无关的，如长轴长、短轴长、焦距；与位置有关的，如
顶点坐标、焦点坐标等.
【过关小练】 1.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一 个顶点，椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝ ________.
高中数学选修2-1课件：椭圆的简单几何性质1(共69张PPT)
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0128:37:44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0138:37:44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0148:37:44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0158:37:44
y
· · F1
解：（1）当 A2，0 为长轴端点时，a 2，b 1，
椭圆的标准方程为： x2 y2 1 ；
41
（2）当 A2，0 为短轴端点时，b 2 , a 4 ，
x2
椭圆的标准方程为：4
y2 16
1；
综上所述，椭圆的标准方程是
x2 4
y2 1
1
x2
或4
y2 16
1
67
作业 ： 书42页 习题2.1A组4、5
A1(-a, 0)
F1
y B2(0,b)
b a A2(a, 0)
o c F2
x
B1(0,-b)
性质二、范围：-a≤x≤a, -b≤y≤b 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
A1
F1
y
B2
b
oc
a
A2
F2
B1
068:37:44
性质三、椭圆的对称性
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0128:37:44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0138:37:44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0148:37:44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0158:37:44
y
· · F1
解：（1）当 A2，0 为长轴端点时，a 2，b 1，
椭圆的标准方程为： x2 y2 1 ；
41
（2）当 A2，0 为短轴端点时，b 2 , a 4 ，
x2
椭圆的标准方程为：4
y2 16
1；
综上所述，椭圆的标准方程是
x2 4
y2 1
1
x2
或4
y2 16
1
67
作业 ： 书42页 习题2.1A组4、5
A1(-a, 0)
F1
y B2(0,b)
b a A2(a, 0)
o c F2
x
B1(0,-b)
性质二、范围：-a≤x≤a, -b≤y≤b 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
A1
F1
y
B2
b
oc
a
A2
F2
B1
068:37:44
性质三、椭圆的对称性
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2.2.2-椭圆的简单几何性质 课件(人教版选修2-1)
b
0)的准线方程为x
a2 c
椭圆 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)的准线方程为y
a2 c
(2)两准线间的距离为 2a2 ，焦点到相应准线的距离为 b2
c
c
(3)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”，
否则其轨迹不存在。
(4)由椭圆的第二定义得，椭圆离心率的几何意义： “椭圆上一点到焦点的距离与相应准线的距离之比”
y B2 M
A1
O F2 x
新知探究
1.对于椭圆的原始方程,
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
变形后得到 a2 cx a (x c)2 y2 ,
（x-c）2 y2 c
再变形为
x a2
a.
c
这个方程的几何意义如何？
例6 点M (x, y)与定点F (4,0)的距离和它到直线
l : x 25的距离的比是常数4，求点M的轨迹。
x2 对于椭圆 a 2
准线方程是 x
a
y2 2b 2
1，相应于焦点F（c,0)
, 根据椭圆的对称性，相应于
焦点F‘(-c.0)
c 准线方程是
x
a2
,
所以椭圆有两条准线。
c
10
椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。
定义 1
图形
定义 2
平面内与 两个定点F1、 F2的距离的和 等于常数（大
焦点：F1 (c,0)、F2 (c,0) 准线：x a2
A1 F O
1
B1
F2
A2
x
|MF2|max=|A1F2| =a+c
新知探究
点M在椭圆上运动，当点M在什么位 置时，∠F1MF2为最大？
(教师参考)高中数学 2.2.2 椭圆的简单几何性质课件1 新人教A版选修2-1
e＝ac＝||FO2FB22||＝cos∠OF2B2.
(4)若椭圆的标准方程为ax22＋yb22＝1(a>b>0)，则椭圆与 x 轴的交点 A1，A2 到焦点 F2 的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2| ＝a－c.
精选ppt
15
思考:已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2 ，
怎样确定椭圆焦点的位置？
知椭圆的标准方程，则根据a、b的值可确定其性质．
(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不
要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆
的四个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点
B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就 是焦点．
精选ppt
14
(3)如图所示椭圆中的△OF2B2 找出 a，b，c， e 对应的线段或量为 a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，
B2
a
A1
F1 c
b
oc
a
A2
F2
因为a2=b2+c2,所以以椭圆B1 短轴端点为
圆心,a长为半径的圆与x轴的交点即为
椭圆焦点.
精选ppt
16
4 离心率
思 考观 察 不 同 的 图2椭 .1圆 9,我 们 发, 现
椭 圆 的 扁 平 程 ,那度么 ,用 不什 一么 量 可 以 画 椭 圆 的 扁 平 ? 程 度 呢
18
我们把椭圆的焦 轴距 长与 c的称 长为椭： 圆的离心率
用e来表示， e即 c.
a
a
因为 a >c>0,所以 e 的取值范围是:__0_<_e_<_1___
e 越接近于1,则c越接近于a,从而b就越小,因此椭圆就 越扁反之,e越接近于0, c 就越接近于0,从而b 就越接近 于 a,这时椭圆就越接近于圆
(4)若椭圆的标准方程为ax22＋yb22＝1(a>b>0)，则椭圆与 x 轴的交点 A1，A2 到焦点 F2 的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2| ＝a－c.
精选ppt
15
思考:已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2 ，
怎样确定椭圆焦点的位置？
知椭圆的标准方程，则根据a、b的值可确定其性质．
(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不
要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆
的四个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点
B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就 是焦点．
精选ppt
14
(3)如图所示椭圆中的△OF2B2 找出 a，b，c， e 对应的线段或量为 a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，
B2
a
A1
F1 c
b
oc
a
A2
F2
因为a2=b2+c2,所以以椭圆B1 短轴端点为
圆心,a长为半径的圆与x轴的交点即为
椭圆焦点.
精选ppt
16
4 离心率
思 考观 察 不 同 的 图2椭 .1圆 9,我 们 发, 现
椭 圆 的 扁 平 程 ,那度么 ,用 不什 一么 量 可 以 画 椭 圆 的 扁 平 ? 程 度 呢
18
我们把椭圆的焦 轴距 长与 c的称 长为椭： 圆的离心率
用e来表示， e即 c.
a
a
因为 a >c>0,所以 e 的取值范围是:__0_<_e_<_1___
e 越接近于1,则c越接近于a,从而b就越小,因此椭圆就 越扁反之,e越接近于0, c 就越接近于0,从而b 就越接近 于 a,这时椭圆就越接近于圆
人教A版高中数学选修2-1课件椭圆的简单几何性质(1).pptx
想一想
图形
方程 范围 对称性 焦点 顶点 离心率
焦点在ｙ轴上的椭圆的几何性质又
如何呢？
B2 y
O A1 F1
F2 A2 x
B1
x2 y2 a2 b2 1
a b 0
|x|a|y|b
A2 y
F2 B2
B1 O x F1
y2
Ax12
1(a b 0)
a2
b2
|x|b|y|a
关于x轴、y轴、原点对称
将方程变x2形 为y 2 1
52 42
4 y
25 x2 ,
5
由 y 4 25 x 2 , 在0≤x≤5的范围内取点
5
x0 1 2 3 4 y 4 3.9 3.7 3.2 2.4
描点
连线
5
0
y
·432····
1
·x -5 -4 -3 -2 -1O -11 2 3 4 5
-2
-3
-4
我们的新课讲到这里，前面提出的问
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长|A1A2|=2a
短轴：线段B1B2； 短轴长|B1B2|=2b
注意
焦距|F1F2|=2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的A1 (-a,0)
b o a A2 (a,0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
c F2 x
②a2=b2+c2|B，2F2|=a；
椭圆的简单几何性质 3.顶点与长短轴
椭圆和它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)、A2(a，0)、 B1(0，－b)、B2(0，b)
回顾： 焦点坐标(±c，0)
高中数学 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1) 新人教版选修2-1
3
3
0, 4 3
0,4 3
3
3
精品课件
【拓展提升】确定椭圆的几何性质的四个步骤 (1)化标准:把椭圆方程化成标准形式. (2)定位置:根据标准方程分母大小确定焦点位置. (3)求参数:写出a,b的值,并求出c的值. (4)写性质:按要求写出椭圆的简单几何性质.
精品课件
【变式训练】求椭圆64x2+25y2=400的长轴长、短轴长、焦距、 离心率、焦点和顶点坐标.
(1)当0<m<4时,a=2,b4= m ,c=
,
m
4m
∴e= c
4m 1, ∴m=3,∴b=
,c=1,
3
∴椭圆a的长轴2的长和2 短轴的长分别是4,2 ,焦点坐标为
F1(-1,0),F2(1,0),顶点坐标为A1(-2,0),A23(2,0),
B1(0,- ),B2(0, ).
3
3
精品课件
(2)当m>4时,a=
类型 一 利用标准方程研究几何性质
【典型例题】
1.(2013·北京高二检测)椭圆x2+8y2=1的短轴的端点坐标
是( )
A.(0,- ),(0, )
B.(-1,0),(1,0)
C.(2 ,02 ),(-2 ,2 0)
D.(0,2 ),(0,-2 )
4
4
2.设椭圆方程为【解析】椭圆的方程可化为
x2 25
y2 16
1,
∵16> 2 5 ,∴焦点在y轴上,并且4 长半轴长a=4,短半轴长b= 5 ,
半焦距4
2
c a2b21625 39,
∴长轴长2a=8,短轴长2b=5,4焦距22c= .
离心率e=
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2,4
，
(3 9c
2
2
)
2
42 8c2
1或
(3 2 8c2
)2
42 9c2
1
课堂练习
练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），
求椭圆的方程。
2a 32b a 3b
a 3,b 1 或b 3，a 9
x2 y2 1或 x2 y2 1
9
9 81
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 6 。
4
焦距是： 8 。 离心率等于： 5 。
焦点坐标是：(0, 4) 。顶点坐标是： (5, 0), (0, 3) 。
外切矩形的面积等于： 60
。
解题的关键： 1、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b 2、确定焦点的位置和长轴的位置
A1 F1
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成 中心对称。
坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心， 叫椭圆的中心。
y B
2
b oc
a A2 F2
B1
新知探究
3、椭圆的顶点（截距） x 2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？
2 a 4 3,b 2 3
椭圆方程为：x2 y2 1 48 12
小结
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何 意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系， 这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了 基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需 要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭 圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
y2
1或
y2
x2
1
100 64 100 64
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
(c,0)、(-c,0)
x2 y2 b2 a2 1(a b 0)
|x|≤ b,|y|≤ a 同前
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
e c a
同前 同前
a2=b2+c2
同前
新知探究
题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质
a 6 b1
则c a2 b2 5
新知探究
练习求下列椭圆的长轴ຫໍສະໝຸດ 、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
（1）x2+9y2=81
(2) 25x2+9y2=225
(3) 16x2+y2=25
(4) 4x2+5y2=1
(1) x2 y2 1 81 9
(2) x2 y2 1 9 25
x2 y2 (3) 1
1,
y2 b2
1得：-a≤x≤a,
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
A1 F1
y B2
b oc
a
A2
F2
B1
新知探究
椭圆的对称性
Y P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
新知探究
2、对称性： 从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
短轴长 2b 1 焦点坐标( 3 , 0) 2
顶点坐标( 1, 0), (0, 1) 2
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
x2 y2 1 25 9
新知探究
练习1. 已知椭圆方程为6x2+y2=6
它的长轴长是： 2 6 。短轴长是： 2 。 30
焦距是： 2 5 .离心率等于： 6 。
焦点坐标是：(0, 5)。顶点坐标是： (0, 6) (1, 0) 。
外切矩形的面积等于： 4 6 。
其标准方程是 x2 y2 1 16
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
解： ⑴方法一： 设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）， 将点的坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
所求椭圆方程为：x2 y2 1 94
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：⑴定位； ⑵定量
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
[3]e与a,b的关系: e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
新知探究
标准方程 范围 对称性
顶点坐标 焦点坐标
半轴长 离心率 a、b、c的关系
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
分类讨论的数学思想
课堂练习
1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ① x2 + y2 =1 16 9
② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，Q(0,-3)两点.
② y2 + x2 =1 94
③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ③ x2 + y2 =1 34 25
25 25 16
x2 y2 (4) 1
11 45
新知探究
练习：已知椭圆 x2 (m 3) y2 m(m 0) 的离心率 e 3 , 求m的值及椭圆的长轴和短
2 轴的长、焦点坐标、顶点坐标。
椭圆：x2 m
y2 m
1 a2 m,b2 m , c2 m(m 2)
m3
m3
m3
e2 m 2 3 m 1 长轴长 2a 2 m3 4
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
解(2)：2a 20, e c 3 a5
a 10,c 6 b 8.
椭圆方程为：x 2
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
2.2.2椭圆的简单几何性质第一课时
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做 椭圆的顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆 的长轴和短轴。
A1 (-a，0) F1
y B2 (0,b)
b oc
a
A2 (a，0)
F2
B1 (0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
新知探究
根据前面所学有关知识画出下列图形
x2 （1）25
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
新知探究
标准方程 范围
对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
a、b、c的关系
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c a
[1]离心率的取值范围： 0<e<1
叫做椭圆的离心率。
[2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？
y2 16
1
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 B1
x2 y2 （2） 1
25 4
y
4
3 B2 2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 x