[PPT]材料力学课件之扭转

任一横截面上的扭矩等于其一侧杆段上作用的所有 外力对 杆轴线的力矩的代数和。
式中， M x (Fie ) 按右手螺旋法则，拇指离开杆端截面
者取正；反之取负。
例
已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从 动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
Mt
2 r02
t
Mt 2A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
三、剪应力互等定理：
Mz 0
t dxdy t dxdy
故
剪应力互等定理：在单元体相互 垂直的两个平面上，垂直于公共 棱边的剪应力必然成对出现，且 数值相等，方向则共同指向或共 同背离该公共棱边。
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
纯剪切应力状态：单元体上只有剪应力而无正应力 的情况。
二、工程实例
3–2 外力偶矩的计算，扭矩和扭转图
一、外力偶矩的计算 1.由力系的简化求得 2.传动轴的传递功率、转速与外力偶矩间的关系
当传动轴稳定转动，且不计其它能量损耗时，其传递 功率P、转速n与外力偶矩 T 之间的关系为
T P P 30 30 P 9.55 P
n n
n
(kN m)
3.静力学关系：
M t A dA
A
G
2
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
令 Ip A 2dA
Mt
GI p
d
dx
Mt
dA
O
故：
4.剪应力计算公式 1）公式适用于均匀连续、各向同性 材料，在线弹性范围、小变形条 件下的等圆截面（实或空）直秆。 2）Mt—所求横截面上的扭矩。
3） —欲求剪应力点到圆心的距离。
在三个弹性常数中，只要知道任意 两个，第三个量就可以推算出来。
3-4 圆轴扭转时横截面上的剪应力
圆轴横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面
一、等直圆杆扭转实验观察： 1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力
1. 变形几何关系：
解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
例
[例5]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图
T2
T3
T1
T4
解：①计算外力偶矩
n
A
B
C
D
3-3 薄壁圆筒的扭转
薄பைடு நூலகம்圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验观察及推论：
1.实验前：
1）绘纵向线，圆周线； 2）施加一对外力偶 T。
2.实验现象
1）圆筒表面的各圆周线的形 状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动。
2）各纵向线均倾斜了同一
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。
二、圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时横截面上的最大剪应力不得超过材料的许用剪应力。
强度条件： max
(Mt Wt
)max
[ ]
[]—— 称为许用剪应力。
强度计算三方面：
① 校核强度：
max
(Mt Wt
)max
[ ]
②
设计截面尺寸： Wt
M tmax
第三章 扭 转
3–1 概 述
一、扭转的力学模型
受力特征 外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。 变形特征 受力后杆件表面的纵向线变形成螺旋线，即
杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。
A
B O
A
BO
T
T
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的相对转角
称为该两截面间杆段的扭转角。
剪应变（）：直角的改变量。
4）I p A 2dA —极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
5.横截面上的最大剪应力 横截面上的最大剪应力发生在横截面周边各点处。
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面 模量），几何量，单位： mm3或m3。
3-5
圆轴扭转时的强度计算
一、扭转破坏试验
低碳钢试件： 沿横截面断开。
先发生屈服，试件表面 横向和纵向出现滑移。
tg
G1G dx
d
dx
距圆心为 任一点处的与 到圆心的距离成正比。
d
dx
—— 单位长度上的扭转角。
根据平面假设，同一截面上各点 d 为一常数。
dx
2.物理关系：
胡克定律： G
G
G
d
dx
G
d
dx
由于 发生在垂直于半径的平面内，所以 方向垂
直于半径方向。
应力分布图
Mt
Mt
四、剪切胡克定律：
实验表明:
p
当剪应力不超过材料的剪切比例极
限时（τ ≤τp) ，剪应力与剪应变成正比
。
（τ ≤τp)
O
剪切弹性模量G——是材料的一个弹性常数，因 无量纲， 故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
微小角度 。
3）所有矩形网格均歪斜成 同样大小的平行四边形。
2.推论：
1）横截面上无正应力； 2）横截面上各点处，只产生垂直于半径且可认为均匀分布
的剪应 力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩转向对
应一致。
二、薄壁圆筒扭转剪应力 大小：
A dA r0 M t
r0 AdA r0 2 r0 t M t
式中，传递功率 P 的单位为：千瓦（kW） 转速 n 的单位为:转每分钟(rpm或r/min)
二、扭矩及扭矩图
扭矩 受扭杆件横截面上的内力偶矩，其作用面即为与扦 轴垂直的横截面。习惯上用记号 Mt 表示，其值用 截面法求得。
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
三、用直接法求扭矩
Mt M x (Fie )
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷：Mt Wt[ ] 由 Mt 计算外力偶矩
3-6 圆轴扭转时的变形 ·刚度条件 一、扭转时的变形
1.单位长度的扭转角
2.长为 l一段杆两截面间
相对扭转角
d l Mt dx
l
0 GI p
(rad)
Mt为常量的等截面圆轴
Mtl (rad)
GI p
GIp反映了截面抵抗扭转弹性变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
二、圆轴扭转时的刚度计算 1.刚度条件 圆轴扭转时的单位长度扭转角不得超过规定的许可值。
或
[ ]称为许用单位扭转角。
2.刚度计算的三方面： ① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
例
3-7 圆轴的扭转超静定问题