【免费下载】高三文科数学试题及答案

高三1学期期末考试数学试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题卡相应位置上．1. 已知集合则（ ）{1,1},{|124},xA B x R =-=∈≤<A B = A ． B ．{ 1 } C ． D ．[0,2){1,1}-{0,1}2. 下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面⊥αβαβB ．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面αβαβC ．如果平面平面，平面平面，，那么直线平面⊥αγ⊥βγ1=⋂βα⊥l γD ．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面⊥αβαβ3. 已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前n 项}{n a 2-7a 3a 9a n S }{n a 和，，则的值为 （*N n ∈10S ）A ．B ．C ．D ．110-90-901104. 若实数a ，b 满足，且，则称a 与b 互补，记0,0a b ≥≥0ab =，那么是a 与b 互补的(,)a b a b ϕ=--(,)0a b ϕ=（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是 （,a b R ∈0ab >）A ． B ． 222a b ab +>a b +≥C ．D ．11a b +>2b aa b+≥6. 已知在平面直角坐标系上的区域D 由不等式组给定。

若为DxOy 02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩(,)M x y 上的动点，点A 的坐标为，则的最大值为 （）z OM OA =⋅A ．3 B ．4C ．D.7.函数在定义域内可导，若，且当时，()f x R ()(2)f x f x =-(,1)x ∈-∞，设，则/(1)()0x f x -<1(0),(),(3)2a fb fc f ===（ ）A ．B ．C ．D ．a b c <<c b a <<c a b <<b c a<<8.的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点中心对称 （ ）sin(23y x π=+(,0)12π-A ．向左平移个单位 B ．向左平移个单位12π6πC ．向右平移个单位 D ．向右平移个单位12π6π9.已知是R 上的奇函数，且当时，，则的反函数的图像()f x 0x >1()(12xf x =+()f x 大致是（）10. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．521271382111.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点且12(,0),(,0)F c F c -22221x y a b+=P则此椭圆的离心率的取值范围是212,PF PF c ⋅=（ ）A ．B ．C ． D．11[,]3212.已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，，，则棱锥S -ABC 的体积为AB =30ASC BSC ∠=∠=︒（）A ．19BC ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应位置上．13. 已知，，则与的夹角为.||||2a b == (2)()2a b a b +-=-a b 14. 已知，且，则的值为.1sin cos 2αα=+(0,)2πα∈cos 2sin()4απα-15.若一个圆的圆心在抛物线的焦点处，且此圆与直线相切，则这个24y x =-10x y +-=圆的标准方程是.16．函数的定义域为A ，若且时总有，则称为)(x f A x x ∈21,)()(21x f x f =21x x =)(x f 单函数．例如，函数是单函数．下列命题：)(12)(R x x x f ∈+=①函数是单函数；)()(2R x x x f ∈=②若为单函数，且则；)(x f A x x ∈21,21x x ≠)()(21x f x f ≠③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象；④函数在某区间上具有单调性，则一定是该区间上的单函数．)(x f )(x f 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程．17．（本小题满分10分）在中，角所对应的边分别为，，ABC ∆,,A B C ,,a b c a =，求及.tantan 4,22A B C++=2sin cos sin B C A =,A B ,b c 18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4， 是的111ABC A B C -E BC 中点，动点在侧棱上，且不与点重合．F 1CC C（I ）当时，求证：；1CF =1EF A C ⊥（II ）设二面角的大小为，求的最小值．C AF E --θtan θ19．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为，1p 寿命为2年以上的概率为，从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已2p 坏的灯泡，平时不换.（I ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（II ））在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率120.8,0.3p p ==（结果只保留两个有效数字）.20．（本小题满分12分）已知关于x 的函数，其导函数.321()3f x x bx cx bc =-+++()f x '（Ⅰ）如果函数试确定b 、c 的值；4(),3f x 在x=1处有极值-（Ⅱ）设当时，函数图象上任一点P 处的切线斜率为k ，若(0,1)x ∈()()y f x c x b =-+，求实数b 的取值范围.1k ≤21．（本小题满分12分）已知数列的前n 项和为，若，且，}{n a n S n a S n n +=211+-=n n n n a a a b 数列的前n 项和为.}{n b n T （I ）求证：为等比数列；}1{-n a （Ⅱ）求.n T 22．（本小题满分12分）是双曲线上一))(,(000a x y x P ±≠)00(1:2222>>=b a by a x E ，-点，、分别是双曲线的左、右顶点，直线、的斜率之积为M N E PM PN .51（I ）求双曲线的离心率；（II ）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点，为坐标原点，E E B A ，O 为双曲线上一点，满足，求的值.C OC OA OB λ=+λ数学试卷（文）参考答案一、1.B 2. D 3. D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9. A 10. D 11.C 12. B二、13. 14. 15.16. ②③④3π22(1)2x y ++=三、17．由得，∴，tantan 422A B C ++=cot tan 422C C +=cos sin224sin cos 22C C C C +=∴，∴，又，∴.14sin cos 22C C =1sin 2C =(0,)C π∈566C C ππ==由得 ，即，2sin cos sin B C A =2sin cos sin()B B B C =+sin()0B C -=∴，，.B C =6B C π==2()3A B Cππ=-+=由正弦定理,得.sin sin sin a b cA B C ==sin 2sin B b c aA ====18．解法一：过E 作于N ，连结EF .EN AC ⊥ （I ）如图1，连结NF 、，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面.1AC 1A C 又底面侧面=A C ，且底面ABC ，所以侧面，ABC 1A C EN ⊂EN ⊥1A C ∴NF 是EF 在侧面内的射影，1A C在Rt CNE ∆中，则由，得NF //，cos 601,CN CE ==1CF CN CC CA =14=1AC 又，故，由三垂线定理知.11AC A C ⊥1NF A C ⊥1EF A C ⊥（II ）如图2，连结AF ，过N 作于M ，连结ME ，由（I ）知侧面，NM AF ⊥EN ⊥1A C 根据三垂线定理得,所以是二面角C —AF —E 的平面角，即EM AF ⊥EMN ∠.EMN θ∠=设,045FAC αα∠=︒<≤︒则，在Rt CNE ∆中，sin 60NE EC =⋅︒=在中， 故RT AMN ∆sin 3sin ,MN AN αα=⋅=tan NE MN θ==又，故当即当时，达到最小值，0,0sin 4παα<≤∴<≤sin α=45α= tan θ，此时F 与重合.tanθ==1C 解法二：（I ）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),2,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F 于是1(0,4,4),(CA EF =-=1(0,4,4)(0440,CA EF ⋅=-⋅=-+= 故1.EF A C ⊥（II ）设平面AEF 的一个法向量为，(04)CF λλ=<≤(,,)m x y z =则由（I ）得，(0,4,)F λ(0,4,),AE AF λ==于是由可得,m AE m AF ⊥⊥0,30,40.0,m AE y y z m AF λ⎧⋅=+=⎪⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩即取,,4).m λ=-又由直三棱柱的性质可取侧面的一个法向量为，1AC (1,0,0)n = 于是由为锐角可得||cos ||||m n m n θ⋅=⋅θ=tan θ=θ 由，得，即04λ<≤114λ≥tan θ≥= 故当，即点F 与点重合时，4λ=1C tan θ19．解：（I ）在第一次灯泡更换工作中，不需要更换灯泡的概率为，需要更换2只灯泡51p 的概率为232511(1).C p p -（II ）对该盏灯来说，在第一、二次都更换了灯泡的概率为；在第一次未更换灯泡21(1)p -而在第二次需要更换灯泡的概率为故所求概率为 12(1),p p -2112(1)(1).p p p p =-+-（Ⅲ）至少换4只灯泡包括换4只和换5只两种情况.换5只的概率为（其中为（II ）中所求，下同），换4只的概率为5p p 145(1),C p p -故至少换4只灯泡的概率为51435(1).p p C p p =+-又当时，120.8,0.3p p ==22112(1)(1)0.20.80.70.6.p p p p =-+-=+⨯=即满2年至少需要换4只灯泡的概率为5430.650.60.40.34.p ∴=+⨯⨯≈0.34.20．解：2'()2f x x bx c=-++（Ⅰ）因为函数在处有极值()f x 1x =43-所以 ,解得或.'(1)12014(1)33f b c f b c bc =-++=⎧⎪⎨=-+++=-⎪⎩11b c =⎧⎨=-⎩13b c =-⎧⎨=⎩（i ）当时，,1,1b c ==-2'()(1)0f x x =--≤所以在上单调递减，不存在极值.()f x R （ii ）当时，,1,3b c =-='()(3)(1)f x x x =-+- 时，，单调递增;时，，单调递减;(3,1)x ∈-'()0f x >()f x (1,)x ∈+∞'()0f x <()f x 所以在处存在极大值，符合题意.()f x 1x = 综上所述，满足条件的值为..1,3b c =-=（Ⅱ）当时，函数,(0,1)x ∈321()()3y f x c x b x bx =-+=-+ 设图象上任意一点，则，00(,)P x y 02000'|2,(0,1)x x k y x bx x ===-+∈ 因为，所以对任意，恒成立，1k ≤0(0,1)x ∈20021x bx -+≤ 所以对任意，不等式恒成立.0(0,1)x ∈20012x b x +≤设，故在区间上单调递减，2111()()22x g x x x x+==+()g x (0,1)所以对任意，,所以.0(0,1)x ∈0()(1)1g x g >=1b ≤21．解：（I ） 由，得，112,(2)2(1),n n n n S a n n S a n --=+⎧≥⎨=+-⎩112(1)n n a a --=- 又因为，所以，1121S a =+111,120a a =--=-≠ 所以是以-2为首项，2为公比的等比数列，{1}n a - 所以.11222n n n a --=-⨯=-(II) 由（I ）知，,11211(12)(12)2121n n n n n nb ++-==-----故. 223111111111[(()(121212*********n n n n T ++=--+-++-=--------22．解：∵点在双曲线上，∴))(,(000a x y x P ±≠12222=b y a x -.1220220=by a x -由题意，可得，则510000=+⋅-a x y a x y 22222255b b a c b a =+==，.530=e （II ）由 得⎩⎨⎧-==，，c x y b y x 22255-.03510422=+-b cx x 设，则 ①),(),(2211y x B y x A ，⎪⎩⎪⎨⎧==+.4352522121b x xc x x ，设31233312,(,),,.x x x OC x y OC OA OB y y y λλλ=+⎧==+∴⎨=+⎩ 又C 为双曲线上一点，，即12222=by a x -2223355x y b ∴-=2221212()5()5.x x y y b λλ+-+=化简得，22222211221212(5)(5)2(5)5.x y x y x x y y b λλ-+-+-=又在双曲线上，所以),(),(2211y x B y x A ，222222112255,55.x y b x y b -=-=由①式得，，2212121212121255()()45()510x x y y x x x c x c x x c x x c b -=---=-++-=，解得或240λλ∴+=0λ= 4.λ=-。