高中文科数学平面向量学生版
高中数学高一平面向量优秀课件(精品).ppt
练习： 在质量、重力、速度、加速度、身 高、面积、体积这些量中，哪些是 数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
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在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终
点分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。
• 最先使用有向线段表示向量的是英国大 科学家牛顿。
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复习回顾： 平面向量
这是什么? 向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
A
段表示的向量中请分别写出
（1）与向量CD共线的向量有__7_个, E
F
分别是__D_C_,D_B_,_B_D_,F_E_,E_F_, _C_B_, B__C____；
（2）与向量DF的模一定相等的向 B
量有_5_个,分别是___F_D_,E__B_,B_E__,E_A_,_A_E__；
D
C
（3）与向量DE相等的向量有__2个,
不一定
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练习
1、与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
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练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个
向量是什么向量？
共线向量 或者说平行向量
2、共不线一向定量一定在一条直线上吗？
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第5章 平面向量及其应用、复数 平面向量与三角形的“四心”
| |cos
)
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
+
| |cos
,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过
答案:B
解析:因为 = +λ
| |cos
所以 = − =λ
| |cos
所以 · = ·λ
| |cos
+
+
+
,
| |cos
| |cos
,
| |cos
=λ(-| |+| |)=0,
所以 ⊥ ,所以点 P 在 BC 的高线上,
即动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.
对点训练 3 已知 O,N,P 在△ABC 所在平面内,且||=||=| |, +
A.
C.
4 3
,
5 5
4 3
−5,5
B.
D.
)
3 4
,
5 5
3 4
−5,5
答案:A
解析:取 AB 的中点 M 和 AC 的中点 N,连接 OM,ON,则 ⊥ , ⊥ ,
= − =
= − =
1
1
-(x
+y
)=
2
2
1
1
-(x
+y
=-2,③
2
1-2 + = 0,
4
3
把③代入①、②中整理得
解得 x=5,y=5.
4 + -8 = 0,
故实数对(x,y)为
4 3
高考总复习数学文科新人教B第单元 第节 平面向量的概念及其线性运算
BE =( ) A. b - 1 a
2
B. b + 1 a
2
C. a + 1 b
2
D. a - 1 b
2
7. 设 x 为未知向量， a 、 b 为已知向量，解方程 2 x -(5 a +3 x -4 b )+ 1 a -3 b = 0 得
2
x = ___________ .
8. 设 e1 , e2 是不共线的向量,已知向量 AB =2 e1 +k e2 , CB = e1 +3 e2 , CD =2 e1 - e2 ,若 A,B,D
2
A. 等腰梯形
B. 平行四边形
C. 正方形
D. 长方形
3. 设 a ， b 是任意的两个向量，λ∈R，给出下面四个结论：
①若 a 与 b 共线，则 b ＝λ a ;
②若 b ＝-λ a ,则 a 与 b 共线;
③若 a ＝λ b ,则 a 与 b 共线;
④当 b ≠ 0 时, a 与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1,使得 a ＝λ1 b .
心.
5. B 解析:因为 BC + BA =2 BP ，所以点 P 为线段 AC 的中点，所以选 B.
6. A 解析： BE = BA + AD + DE =- a + b + 1 a = b - 1 a
2
2
7. - 9 a + b 解析：原方程可化为：(2 x -3 x )+(-5 a + 1 a )+(4 b -3 b )= 0 ，
2. A 解析： 由 DC = 1 AB ,知四边形 ABCD 是梯形，又| AD |=| BC |,所以四边形 ABCD 是等
高考数学(人教B版 文科)总复习课件：5-4平面向量应用举例
[考纲要求] 1.会用向量方法解决某些简单的平面几 何问题；2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一 些实际问题．
1 ．向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
2 ．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是_矢__量___，它们 的分解与合成与向量的加_法__和___减__法______相似，可以用向量 的知识来解决．
由余弦定理得a2 ＝b 2 ＋c2 －2 bc cos A ＝(b ＋c)2 － 3 bc ＝7.①
∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， 所以2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2 b ＝3 c，② 由①②，可得b ＝3 ，c＝2.
【温馨提醒】 对于在图形中给出解题信息的题目， 要抓住图形的特点，通过图形的对称性、周期性以及图 形中点的位置关系提炼条件，尽快建立图形和欲求结论 间的联系.
此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径 主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件 ；二是利用向量数量积的公式和性质．
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
1 ．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3，4)，
B (5，2)，C (－1 ，－4)，则这个三角形是( )
2，
圆M (x－2 －5cos θ)2 ＋(y－5sin θ)2 ＝1 ，圆心M (2 ＋5cos θ，5sin θ)，半径为1 ，∵CM ＝5 ＞2 ＋1 ，故
两圆相离．
如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点，
【答案】 B
【答案】 (1)D (2)3
【方法规律】 利用向量的载体作用，可以将向量与 三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运 算进行转化，使问题的条件结论明晰化．
2020年高考数学(文科)复习课件 第四单元 专题探究2 平面向量的综合应用
������������·������������=(������������+������������)·(������������+������������)=������������·������������+������������·������������+������������·������������+������������·������������=0- 2×( 2-1)+1×2+
[总结反思] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路: (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线、垂直或等式 成立等,得到三角函数的关系式,然后求解; (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形 式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求值域等问 题.
0= 2.
题型二 向量与三角函数
例 2 [2017·江苏卷] 已知向量 a=(cos x,sin x),b=(3,- 3),x∈[0,π]. (1)若 a∥b,求 x 的值; (2)记 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值和最 小值以及对应的 x 的值.
[思路点拨] (1)根据向量的平行 即可得到 tan x=- 33,问题得以解 决;(2)根据向量的数量积与两
02
专题探究2
平面向量的综合Βιβλιοθήκη 应用题型一 向量与平面几何
例 1 (1)[2018·天津滨海新区一模] 已知
菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点
E,F 分别在边 BC,DC
上,BC=3BE,DC=λDF.若������������ ·������������ =1,则实
高考文科数学复习 专题11 平面向量(学生版)
专题11 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π62．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |= A 2 B ．2 C ．2D ．503．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．05．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A 3 1 B 3C ．2D ．236．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．07．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r_____________．12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是_____.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________． 19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________． 20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，12，OAu u u r与OC uuu r 的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r，AE AC λ=-u u u r u u u r()AB λ∈R u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为________．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．。
2020届高三文理科数学一轮复习《平面向量基本定理及坐标表示》专题汇编(学生版)
《平面向量基本定理及坐标表示》专题一、相关知识点1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝xi ＋yj ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )． 3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 5．常用结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.(3)已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33题型一 平面向量基本定理及其应用1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 2．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－343．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)4．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝_______.5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b6．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b7．如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →＝( )A ．12a ＋12bB ．12a ＋13bC ．14a ＋12bD ．12a ＋14b8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b9．在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→ C ．－23AB ―→＋13AD ―→ D ．－13AB ―→＋23AD ―→10．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.4511．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝_______.12．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．13．在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶514．已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋23315．在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋1μ的最小值为________．16．如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．题型二 平面向量的坐标运算1．若a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，则2a －b ＝________.2．如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝3．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于4．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b7．已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝8．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________.9．已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5C.⎝⎛⎭⎫－12，－5D.⎝⎛⎭⎫12，－510．已知点 A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A ．⎝⎛⎭⎫35，－45B ．⎝⎛⎭⎫45，－35C ．⎝⎛⎭⎫－35，45D ．⎝⎛⎭⎫－45，3511．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝12．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于13．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．14．平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C (－1，c )，(c ＞0)，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．题型三 平面向量共线的坐标表示1．已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( )A ．b ＝(2，－2)B ．b ＝(－2,2)C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则mn ＝________.3．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.5．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值为________．6．已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________.7已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝________.8．已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是9．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为____.10．向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝11．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝12．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ＝13．已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(－3,1)且(2a ＋b )∥b ，则实数m 的值为14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．15．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)16．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．17．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．18．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .19．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．。
高考文科数学平面向量专题(可编辑修改word版)
5 10 2- - - - BQ 平面向量专题一、选择题例 1. ∆ABC 中， AB 边的高为CD ，若CB = a ， CA = b ， a ⋅ b = 0 ， | a |= 1， | b |= 2 ，则 AD =1 1 （A ） a b332 2（B ） a b3 3 3 3（C ） a b5 54 4 （D ） a b55例 2.设 x ∈ R ，向量 a = (x ,1), b = (1, -2), 且 a ⊥ b ，则| a + b |=（A ） （B ） （C ） 2 例 3.设 a ，b 是两个非零向量。
（D ）10 A.若|a+b|=|a|-|b|，则 a⊥bB.若 a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得 b=λaD.若存在实数λ，使得 b=λa，则|a+b|=|a|-|b|a b例 4.设 a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使 = 成立的充分条件是（）| a | | b | A 、| a |=| b | 且 a // b B 、 a = -bC 、 a // bD 、 a = 2b例 5.设向量 a =（1. cos ）与b =（-1， 2 cos ）垂直，则cos 2等于 （）1 A BC .0 D.-1 2211 例 6.已知向量 a = (1,—1)，b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x =(A) —1(B) —(C)(D)122例 7.若向量 AB = (1, 2) ， BC = (3, 4) ，则 AC =A. (4, 6)B. (-4, -6)C. (-2, -2)⋅ D. (2, 2)例 8.对任意两个非零的平面向量和 ， 定义=⋅. 若两个非零的平面向量 a ， b 满足 a 与 b 的夹角∈⎛⎫⎧ n ⎫, ⎪ ，且a b 和b a 都在集合⎨ n ∈ Z ⎬中，则a b =⎝ 4 2 ⎭ 5 3 ⎩ 2⎭ 1A.B.C. 1D.2 22例 9.已知向量 a=（x-1,2），b=（2,1），则 a ⊥b 的充要条件 1A.x=-2B.x-1C.x=5D.x=0例 10.在△ABC 中， ∠ A=90°，AB=1，设点 P ，Q 满足 AP =AB ， AQ=(1- ) AC ，∈R 。
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——平面向量基本定理及坐标表示
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × )
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋
μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成xx12＝yy12.( × )
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5.(易错题)已知 A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量A→B共线的单位向量是 ___±__35_，__－__54________. 解析 ∵A→B＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)， ∴|A→B|＝5.故与向量A→B共线的单位向量坐标为±35，－54.
索引
8 6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝____5____.
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，O→A＝ 23，21，若O→A绕
点 O 逆时针旋转 60°得到向量O→B，则O→B＝( A )
A.(0，1)
B.(1，0)
C. 23，－12
D.12，－
3 2
解析 ∵O→A＝ 23，12，∴O→A与 x 轴的夹角为 30°，
依题意，向量O→B与 x 轴的夹角为 90°，
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感悟提升
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0； (2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当 两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
索引
高一数学必修课件第二章平面向量
共线向量与共面向量
共线向量
方向相同或相反的非零向量叫做共线 向量。任意两个共线向量都可以表示 为$lambdavec{a}$（$lambda in R$）的形式，其中$vec{a}$为非零 向量。
共面向量
平行于同一平面的两个或多个向量叫 做共面向量。在平面直角坐标系中， 任意两个向量都可以看作是共面向量 。
05 平面向量在解析 几何中的应用
直线的倾斜角和斜率关系
倾斜角定义
直线与x轴正方向之间的夹角，取 值范围为[0,π)。
斜率定义
直线上任意两点的纵坐标差与横坐 标差之商，即k=(y2-y1)/(x2-x1) 。
倾斜角与斜率关系
当倾斜角不为90°时，斜率k=tanα （α为倾斜角）；当倾斜角为90°时 ，斜率不存在。
向量的共线与垂直
两个向量共线的充要条件是它们的坐 标成比例。两个向量垂直的充要条件 是它们的数量积为零。
向量的线性运算
包括向量的加法、减法和数乘。向量 的加法满足交换律和结合律，向量的 减法可以转化为加法进行运算。数乘 向量满足分配律和结合律。
平面向量的基本定理
平面内任意两个不平行的向量都可以 作为基底，平面内的任意一个向量都 可以由这两个基底唯一线性表示。
向量定义
向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示，有向 线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 向。
向量表示方法
向量可以用小写字母$vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$等表示 ，也可以用表示它的有向线段的起点和终点字母表示，如 $vec{AB}$。
零向量、单位向量与相等向量
两条直线平行或垂直条件
平行条件
两条直线的斜率相等，即k1=k2 。
(文科)平面向量测试题_高考经典试题_附详细答案(K12教育文档)
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平面向量专题1．已知向量(5,6)a =-,(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 2、已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ,若2-a b 与b 垂直,则=a （ ） A ．1B ．2C ．2D ．43、若向量,a b 满足||||1a b ==,,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；4、在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 (A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅ (C ）2AB AC CD =⋅ （D) 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=5、在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则=（A)32 （B ） 31 （C ） -31 （D ） —326、设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点,若++=0，则｜FA|+｜FB ｜+|FC ｜= (A)9（B) 6（C ） 4（D) 37、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点,若123AD DB CD CA CB λ==+，,则λ=（ )A ．23B ．13C ．13-D ．23-8、已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ) Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =9、设，a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b10、若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是A ．EF OF OE =+B 。
高中文科数学 平面向量
(2010·辽宁)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( )．A.|a |2|b |2－(a ·b )2B.|a |2|b |2＋(a ·b )2C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠|b |，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( )． A ．一次函数且是奇函数 B ．一次函数但不是奇函数 C ．二次函数且是偶函数 D ．二次函数但不是偶函数已知O 是△ABC 所在平面上一点，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的( ) A ． 内心 B ．重心 C ．外心 D ．垂心河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．已知直角梯形ABCD 中 ，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为______已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA →－BC →)的最大值为________．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )． A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2]D ．[－1,2]设a ＝(cos α，(λ－1)sin α)，b ＝(cos β，sin β)，(λ＞0，0＜α＜β＜π2)是平面上的两个向量，若向量a ＋b 与a －b 互相垂直．(1)求实数λ的值；(2)若a ·b ＝45，且tan β＝43，求tan α的值．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(sin α，1)，OB →＝(cos α，0)，OC →＝(－sin α，2)，点P 满足AB →＝BP →.(1)记函数f (α)＝PB →·CA →，求函数f (α)的最小正周期； (2)若O 、P 、C 三点共线，求|OA →＋OB →|的值设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .。
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平面向量高考经典练习题
一、选择题
1．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b
A ．垂直
B ．不垂直也不平行
C ．平行且同向
D ．平行且反向
2、已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）
A ．1
B 2
C ．2
D ．4
3、若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；
4、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若1
23AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（
）
A ．2
3 B ．1
3 C ．1
3- D ．2
3-
5、若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ）
A ．EF OF OE =+ B. EF OF OE =-
C. EF OF OE =-+
D. EF OF OE =--
6、已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1
3
22-=a b （ ）
Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，
Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)-，
二、填空题
1、已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是
．
2、若向量a b ，的夹角为 60，1a b ==，则()a a b -= ．
3、在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =
．
三、解答题： 1、已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)．
(1)若0AB AC =，求c 的值；
(2)若5c =，求sin ∠A 的值
2、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，
（1）求cos C ；
（2）若52
CB CA =
，且9a b +=，求c ．
3、在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5
522cos
=B ，求ABC △的面积S ．
4、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．
（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）若33a =，5c =，求b ．
5、在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5
B =． （Ⅰ）求角
C 的大小；
（Ⅱ）若ABC △17。