重庆高一数学上学期期末考试试题

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重庆市第十一中学校2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题及答案(含解析)

故选：C
5.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：∵ 在上单调递增，
∴ ，解得，
故实数的取值范围是
故选：C
6.已知，，，则（）
A. B.
C. D.
【Hale Waihona Puke 案】D解析：则有：
故有：
故选：D
7.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：
【答案】ABC
解析：A：因为，所以，所以函数的定义域为，故A正确；
B：，由
，
所以函数的值域为，故B正确；
C：因为，
所以函数是奇函数，所以C正确；
D：因为函数是增函数，因为，
所以函数是减函数，
所以函数是增函数，
故是增函数，故D不正确，
故选：ABC.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
故选:CD.
11.函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法正确的是（）
A. 是的一个周期B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递减D. 的图象关于点对称
【答案】ABD
解析：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，
A.函数的最小正周期是，所以是的一个周期，故A正确；
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.已知某扇形的周长为，面积为，则该扇形圆心角的弧度数可能是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
解析：设扇形的半径为，所对弧长为，

重庆市高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．化成弧度为（） 750 A ．B ．C ．D ．25π614π3112π17π3【答案】A【分析】直接利用弧度与角度的转化公式即可【详解】根据角度制转化弧度制公式得. π25750π1806︒⨯=︒故选：A.2．已知集合，，则（）{}1,2,3,4,5A ={}22150B x x x =--<A B = A ． B ． C ． D ．{}1{}1,2{}1,2,3{}1,2,3,4【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由，而，()()221502530 2.53x x x x x --<⇒+-<⇒-<<{}1,2,3,4,5A =所以， A B = {}1,2故选：B3．已知：正整数能被6整除，，则是的（）p x {}*:3,q x x x k k ∈=∈N p q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分析出命题表示正整数能被3整除，根据能被6整除的正整数一定能被3整除，反之q x 不成立，即可得到答案.【详解】由题知在命题表示正整数能被3整除，q x 而能被6整除的正整数一定能被3整除，故前者能够推出后者，而能被3整除的正整数不一定能被6整除，如9，故后者无法推出前者，故是的充分不必要条件. p q 故选：A.4．已知，，，则（） 0.2log 3a =0.20.3b =ln πc =A ． B ．C ．D ．a b c <<a c b <lne=1c =所以， a b c <<故选：A.5．命题，使得函数在上不单调，则命题的否定是（） :p α∃∈R y x α=()0,∞+p A ．，函数在上不单调 :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+B ．，函数在上单调 :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+C ．，函数在上单调 :p α⌝∃∈R y x α=()0,∞+D ．，函数在上单调 :p α⌝∃∉R y x α=()0,∞+【答案】B【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题的否定是“，函数在上单调”. p :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+故选：B6．下列函数中既是奇函数又是减函数的是（） A ． B ．21xy x =-35y x -=C ．D ． 12,0,11,0.2x x x y x ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩1e ln 1exxy -=+【答案】C【分析】对A ，B 项：举反例说明不是减函数；对C 项，可判断为奇函数且为减函数；对D 项，从定义域的不对称性说明不是奇函数. 【详解】对A ：当时，，而当时，，在定义域内一定不是减函数； 0x =0y =2x =23y =对B ：当时，，而当时，，在定义域内一定不是减函数；0x <0y <0x >0y >对C ：，12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩当时，， 0x <()12()21,()()x x f x f x f x f x =--=-∴-=-，当时，， 0x >()21()12,()()x x f x f x f x f x --=--=-∴-=-，当时，也成立，0x =()()0f x f x -=-=故对，都有，故为奇函数，R x ∀∈()()f x f x -=-12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩当时，为减函数，当时，为减函数，0x ≤()120x f x =->0x >()210xf x -=-<所以为上减函数，故C 正确；12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩R 对D ：定义域为，故不可能为奇函数.1e ln 1e xx y -=+(,0)-∞故选：C7．已知函数，，，则的取值范围是（） ()lg f x x =()()f a f b =a b <2023a b +A ．B ．C ．D ．)∞⎡+⎣()2023,+∞()2024,+∞()0,∞+【答案】C【分析】由题得，则有，首先解出的范围，则，设()lg 0ab =1b a=a 20232023a b a a +=+，，利用对勾函数的图象与性质即可得到其范围. 2023y a a=+01a <<【详解】由题知，显然， 0,lg lg a b a b <<=lg lg a b ≠则，即， lg lg a b -=()lg 0ab =则，则，，即，解得， 1ab =1b a =a b < 1a a<01a <<，设，，20232023a b a a+=+2023y a a =+01a <<令，解得， 2023a a=a =根据对勾函数的图象与性质可知函数在上单调递减， 2023y a a=+()0,1故其值域为. ()2024,+∞故选：C.8．已知函数，若，则实数的取值范围是（） ()244x f x x+=()()132f a f a +<-a A ． B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭233,,4322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．()4,+∞()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】判断的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定义域的()2414f x x x =+限制.【详解】为偶函数，且在上递减. ()2414f x x x =+()0,∞+∵，()()132f a f a +<-∴，()()222132,132,,43a a a a a ⎛⎫+>-∴+>-∴∈ ⎪⎝⎭∵，，∴且，∴.10a +≠320a -≠1a ≠-32a ≠233,,4322a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B二、多选题9．下列说法中正确的是（） A ．任何集合都至少有两个子集B ．设为全集，，，是的子集，若，则 U A BC U ()U A B C ⊆⋃ðA B C =∅ C ．命题“，”的否定为“，”x ∀∈R e e x x ≥x ∃∈R e e x x ≤D ．若是的必要不充分条件，的必要不充分条件是，则是的充分条件 p q r q r p 【答案】BD【分析】根据子集的概念判断选项；根据集合的运算判断选项；根据全称命题的否定判断选项A B ；根据充分条件，必要条件的判定，判断选项.C D 【详解】由子集的概念可知：空集是它本身的子集，所以空集只有一个子集，故选项错误； A 因为，，是的子集，，则与没有公共元素，所以，故A B C U ()U A B C ⊆⋃ðA ,B C A B C =∅ 选项正确；B 因为命题“，”的否定为“”，故选项错误；x ∀∈R e e x x ≥R,e e x x x ∃∈<C 因为是的必要不充分条件，则能推出，又因为的必要不充分条件是，则能推出，所p q q p r q r q 以能推出，则是的充分条件，故选项成立， r p r p D 故选：.BD 10．已知幂函数，则（）()()2ln 22m m f x x --=A ．，函数的图像与坐标轴没有交点 m ∀∈R ()f xB ．，使得是奇函数m ∃∈R ()f x C ．当时，函数在上单调递增 4m ≥()f x ()0,∞+D ．当时，函数的值域为 1m =-()f x {}1【答案】BCD【分析】对A ，B 项：当时可说明A 错误B 正确；()2ln 221m m --=对C 项：分析的取值范围，根据幂函数的单调性判断；()2ln 22m m --对D 项：当时求定义域与值域即可.1m =-()0f x x =【详解】设可知可取遍全体正数，()()()()22ln 22ln 13g m m m m =--=--()213m --所以可取遍全体实数，()g m ∴当时，，，A 错误，B 正确；()213e m --=()2ln 221m m --=()f x x =当时，， 4m ≥()2ln 13ln60m ⎡⎤--≥>⎣⎦由幂函数性质，在上单调递增，C 正确；()f x ()0,∞+时，，定义域为，值域为，D 正确.1m =-()0f x x ={}R 0x x ∈≠{}1故选：BCD11．已知，则（） 1a b >>A B ．C ．D ．>1123b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭log 5log 3a b >tan tan a b >【答案】AB【分析】根据指数、对数、幂函数性质判断ABC ，根据正切函数性质判断D. 【详解】解：对于A 选项，由得，故，故正确； 1a b >>1101a b<<<111b a a a a b >>对于B 选项，由于，故，故正确；1a b >>111223baa⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于C 选项，若，，则，故错误； 5a =3b =log 5log 31a b ==对于D 选项，若，，故错误. 2πa =πb =故选：AB12．已知函数和函数，关于的方程有个()1,0,1,0.x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩()()21g x x k x =++x ()()0g f x k +=n 实根，则下列说法中正确的是（） A ．当时， B ．当时， 2n =2k <-4n =2k <-C ．， D ．，k ∀∈R 1n ≥k ∃∈R 5n ≥【答案】BC【分析】由解得或，结合图象分析根的个数与()()0g f x k +=()1f x =-()f x k =-()f x ()f x k =-的取值关系.k 【详解】令，若，则，解得或，()t f x =()g t k =-()21t k t k ++=-1t =-k -∴或，对于，该方程有一解，故C 正确；()1f x =-()f x k =-()1f x =-图象如图，若，可知且，所以且，故A 错误；()f x 2n =2k -<1k -≠-2k >-1k≠若，需要有三个根,由图可知，，故B 正确； 4n =()f x k =-2k ->2k <-由图可知至多三个解，所以，故D 错误. ()f x k =-4n ≤故选:BC三、填空题 13．函数的定义域是______.()2ln 2y x =-【答案】()(),11,2-∞ 【分析】使函数有意义应满足分母不为0，真数恒大于0. 【详解】函数有意义应满足，解得，()2ln 2y x =-()20ln 20x x ->⎧⎨-≠⎩()(),11,2x ∈-∞故答案为：()(),11,2-∞ 14．______. cos16cos104sin16cos14-= 【答案】##12-0.5-【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】()cos16cos104sin16cos14cos16sin14sin16cos14cos16sin14sin16cos14-=--=-+，()sin 161431sin 20=-+=-=- 故答案为：12-15．已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为3π2π3______. 【答案】2π【分析】根据条件求出扇形半径，设割出的圆半径为，圆心为，由求得，从而r a C r CO a =+a 求得的周长.【详解】设扇形所在圆半径为，∴ r 21π3π,3232r r ⋅=∴=如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴,a C 2πsin 6a CO a==，故， 33r CO DC a ==+=1a =所以最大的圆周长为. 2π故答案为：2π四、双空题16．已知函数.若，则的值域是______；若恰有2个()22,1,11,1x a x f x x a x x a ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩1a =()f x ()f x零点，则实数的取值范围是______. a 【答案】()1,-+∞()(]0,11,2 【分析】时，当时, ，当时，，利用函数的单1a =1x ≤()21x f x =-1x >()22()211f x x x x =-+=-调性求值域;当且时,当时求得的两个零点只有一个满足,另一个要在时产0a >1a ≠1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1x ≤生,列出满足的条件;当时，当时求得没有零点, 时不可能有两个零点.0<a 1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1x ≤【详解】时，，当时, ，当时，1a =()221,1,21,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩1x ≤()21(1,1]x f x =-∈-1x >，故值域为；()22()2110f x x x x =-+=->()1,-+∞若，由上知此时只有一个零点；1a =()f x 当且时，当时有两个零点，，0a >1a ≠1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭a 1a 其中，必是一个大于1，另一个小于1，故此时只有一个零点满足，1aa ()f x 而时，此时需要有一个零点，只需，1x ≤(]2,2xy a a a =-∈--20a -≥∴，()(]0,11,2a ∈⋃当时，当时，对称轴为，在上为增函数， 0<a 1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭102a a x +=<()1,+∞∴，21112,y x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-++∈--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，知在上无零点，120a a-->()f x ()1,+∞而时，在上单调，∴不可能有两个零点. 1x ≤2x y a =-(],1-∞综上实数的取值范围是. a ()(]0,11,2 故答案为: ;()1,-+∞()(]0,11,2五、解答题17．已知，集合，.a ∈R {}0A x x a =-≥{}13B x x =-≤≤(1)当时，求，； 2a =A B ⋂A B ⋃(2)若，求的取值范围. ()R A B ⊆ða 【答案】(1)， []2,3[)1,-+∞(2) 3a >【分析】（1）根据集合的交并运算求解；（2）求出，根据列出应满足的条件.B R ð()R A B ⊆ða 【详解】（1）当时，，，； 2a =[)2,A =+∞[]2,3A B = [)1,A B =-+∞ （2），，， ()(),13,B =-∞-⋃+∞R ð[),A a =+∞R A B ⊆ð∴.3a >18．（1）求的值；()14625lg0.025lg4+（2）已知，求的值. ()1sin π3α+=()()3ππcos sin sin 3π22tan αααπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-【答案】（1）2；（2）827【分析】（1）利用指数幂的运算性质及对数的运算性质即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解. 【详解】（1）原式； ()144252545lg lg453lg10001000⨯⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭153lg 53210=+⨯=-=（2）∵，∴，()1sin π3α+=1sin 3α=-原式. ()()()22sin cos sin 118sin cos sin 1sin 1tan 3927αααααααα-⋅-⎛⎫==-=-⋅-=⨯-= ⎪-⎝⎭19．已知，.,0x y >132x y+=(1)求的取值范围； 21x y+(2)求的最小值.12y x+【答案】(1)4,29⎛⎫⎪⎝⎭(2)52【分析】(1)根据已知条件得到，将式子中的换成，结合二次函数的图象和203x <<21x y +1y 23-x 性质即可求解；(2)结合将式子变形，利用基本不等式即可求解. 132x y +=12y x+【详解】（1）因为，则，又因为，所以，132x y +=1230x y =->,0x y >203x <<则，因为，22213132()24x x x x y +=-+=--203x <<由二次函数的图象和性质可得：. 214(,2)9x y +∈（2）111122233265y y x xy x x y xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴且，解得1522y x +≥16xy xy =132x y +=x =y =∴的最小值为12y x+5220．已知，集合，.a ∈R (){}222220A x x a x a a =-+--≤()12log 211B x x ⎧⎫⎪⎪=->⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)求集合；B (2)若，求实数的取值范围.B A ⊆a 【答案】(1)13,24⎛⎫⎪⎝⎭(2)31,,42⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据对数函数的性质求出不等式的解集，即可得解；()12log 211x ->（2）由可得，分和两种情况讨论，()222220x a x a a -+--≤()()220x a x a +--≤23a ≥-23a <-求出集合，根据得到不等式组，解得即可.A B A ⊆【详解】（1）解：由，即，所以，解得()12log 211x ->()11221log 21log 2x ->10212x <-<1324x <<，所以； ()121313log 211,2424B x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫=->=<<=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭（2）解：由，即，()222220x a x a a -+--≤()()220x a x a +--≤当即时，，22a a -≤+23a ≥-{}22A x a x a =-≤≤+当即时，， 22a a ->+23a <-{}22A x a x a =+≤≤-若，当时，，解得， B A ⊆23a ≥-132224a a -≤<≤+12a ≥-当时，，解得， 23a <-132224a a +≤<≤-34a ≤-综上可得. 31,,42a ⎛⎤⎡⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭21．某电影院每天最多可制作500桶爆米花，每桶售价相同，根据影院的经营经验，当每桶售价不超过20元时，当天可售出500桶；当每桶售价高于20元时，售价每高出1元，当天就少售出20桶.已知每桶爆米花的成本是4元，设每桶爆米花的售价为（且）元，该电影院一天x 4x >*x ∈N 出售爆米花所获利润为元.（总收入=总成本+利润）y (1)求关于的函数表达式；y x (2)试问每桶爆米花的售价定为多少元时，该电影院一天出售爆米花所获利润最大？最大利润为多少元？【答案】(1) *2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N (2)当或25时，利润最多为8400元24x =【分析】(1)分段讨论售价确定每天的销售量,用分段函数表示利润;x (2)分别求出每一段函数的最大值,比较大小确定最大利润及相应的售价.【详解】（1）由题得当时，销售量为500桶，当时，销售量为420x <≤2045x <≤，()500202090020x x --=-由得,900200x -≥*2045,x x <≤∈N 故利润， **500(4),420,(90020)(4),2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨--<≤∈⎩N N 即； *2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N（2）由（1）知当时，为增函数,故时，，420x <≤500(4)y x =-20x =max 8000y =当时，,开口向下且对称轴为,2045x <≤2209803600y x x =-+-24.5x =当时为增函数, 当时为减函数,(20,24.5]x ∈[24.5,45]x ∈又,所以当或25时，，*x ∈N 24x =max 8400y =故当或25时，利润最多为8400元.24x =22．已知函数的定义域为，且.()f x ()0,∞+()ln ln f x x x =⋅(1)求，判断并证明其单调性；()f x (2)求方程的根； ()()e e 1f x f x -=-(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. ()42e x x f a +⋅>1x >a 【答案】(1)，在上单调递增，证明见解析()()e 0x f x x x =>()f x ()0,∞+(2)1x =(3) 32a ≥-【分析】（1）利用换元法求出函数解析式，再利用定义法证明函数的单调性即可；（2）结合（1）的结论，可得，进而求解；e e x x =（3）结合（1）和（2）的结论将不等式等价转化为对任意恒成立，然后利用换元421x x a +⋅>1x >法结合函数的单调性即可求解.【详解】（1）令，，，，.ln t x =e =t x ()e t f t t =()e x f x x =0x >任取，则，∴，120x x >>12e e 0x x >>122112e e e x x x x x x >>∴，()()121212e e 0x x f x f x x x -=->()()12f x f x >∴在上单调递增；()f x ()0,∞+（2）∵，则 ()()e e 1f x f x -=-()()()2e 1e 0f x f x ---=所以或（舍），，显然是解，()e f x =()1f x =-e e x x =1x =又在上单调递增，∴是唯一解；()f x ()0,∞+1x =（3）由题对任意恒成立 ()()421x x f a f +⋅>1x >∴对任意恒成立，421x x a +⋅>1x >令，∴对任意恒成立，∴对任意恒成立 22x u =>21u au +>2u >1a u u >-2u >又在为单调递减函数，∴. 1y u u =-()2,+∞13222a ≥-=-。

重庆市重庆市第一中学校2023届高一数学第一学期期末考试试题含解析

【详解】设球的半径为R，设正方体上底面截球所得截面圆恰好为上底面正方形的内切圆，
该圆的半径为，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，
即球心到截面圆圆心的距离为，
由勾股定理可得，解得，
因此，球的体积为
故选A
【点睛】本题主要考查了球体的体积的计算问题，解决本题的关键在于利用几何体的结构特征和球的性质，求出球体的半径，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题
【解析】首先化简集合B，然后根据集合、分类讨论a的取值，再根据交集和并集的定义求得答案
【详解】解：因
所以
又因为，
当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
当且且时，所以，
18、
【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为，利用余弦函数的周期公式即可计算得解
【详解】先证明出， .
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数（且）的图象必经过点___________.
12．已知A，B，C为的内角.
（1）若，求的取值范围；
（2）求证：；
（3）设，且，，，求证：
13．棱长为2个单位长度的正方体中，以为坐标原点，以，，分别为，，轴，则与的交点的坐标为__________
（2）先证明，
再由不等式证明即可；
（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.
【小问1详解】
,
为锐角，
，
，
解得，当且仅当时，等号成立，
即 .
【小问2详解】

重庆市重点高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．设角的终边过点，则（） θ()1,2-tan θ=A ． B ．2 C ．-2D ．1212-【答案】C【分析】利用正切函数定义即可求得其结果.【详解】由三角函数的定义将坐标数值代入可知，. 2tan 21y x θ===--故选：C2．用二分法求方程在内的近似解时，记，若，383x x =-()1,2()338x f x x =+-(1)0f <(1.25)0f <，，，据此判断，方程的根应落在区间（） (1.5)0f >(1.75)0f >A ． B ．C ．D ．(1,1.25)(1.25,1.5)(1.5,1.75)(1.75,2)【答案】B【分析】由零点存在定理及单调性可得在上有唯一零点，从而得到方程的根应落在()f x (1.25,1.5)上.(1.25,1.5)【详解】因为与在上单调递增，所以在上单调递增，3x y =38y x =-R ()338x f x x =+-R 因为，，所以在上有唯一零点，即，故(1.25)0f <(1.5)0f >()f x (1.25,1.5)0x 003380xx +-=，00383x x =-所以方程的根落在区间上，且为，(1.25,1.5)0x x =对于ACD ，易知选项中的区间与没有交集，故不在ACD 选项中的区间上，故ACD 错(1.25,1.5)0x 误；对于B ，显然满足题意，故B 正确. 故选：B.3．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（）60︒6πA ．B ．C ．D ．1234【答案】A【解析】利用扇形面积公式计算即可.212S r α=【详解】由题知：，故.22112236S r r ππα==⨯=1r =故选：A【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题. 4．“”是“”的01x <<2log (1)1x +<A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据以及充分不必要条件的定义可得. 2log (1)111x x +<⇔-<<【详解】因为， 2log (1)111x x +<⇔-<<所以 ,(0,1)(1,1)-所以”是“”的充分不必要条件. 01x <<2log (1)1x +<故选A ．【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.5的值为（）A ．-1B ．1C ．D ．sin10︒cos10︒【答案】B【分析】利用平方关系化简即可. 【详解】解：因为，0sin10cos10︒︒<<. |cos10sin10|cos10sin101cos10sin10cos10sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-====---故选：B.6．关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（）. x 2220x mx m m -+-=m A ． B ． 0m >0m ≥C ． D ．m 1≥1m >【答案】D【解析】由已知可得判别式△、对应的二次函数满足，即可求出的范围． 0…(0)0f >m 【详解】解：方程有两个实数根，△，2220x mx m m -+-=∴2244()0m m m =--…，0m ∴…的方程有两个正的实数根，对应的二次函数的开口x 2220x mx m m -+-=22()2f x x mx m m =-+-向上，对称轴 0x m =≥所以，(0)0f >可得，20m m ->或，0m ∴<1m >，1m ∴>故选：．D 【点睛】本题考查一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程中判别式确定根的存在，再由两根都是正数，结合根与系数的关系求解是解题的关键．7．已知函数在上单调递增，则m 的取值范围是（）251()log 82f x x mx ⎛⎫⎪⎝=-+⎭+[]22-,A ． B ． ()2,3[)2,+∞C ． D ．[]2,3[)2,3【答案】D【分析】根据对数函数定义域以及复合函数单调性即可求得参数m 的取值范围.【详解】由题意可知，函数是由函数和函数251()log 82f x x mx ⎛⎫⎪⎝=-+⎭+5)()lo (g f x g x =复合而成；2182()g x x mx -++=由复合函数单调性可得，在上单调递增，2182()g x x mx -++=[]22-,且由对数函数定义域可得在上的值域是的子集；()g x []22-,()0,∞+所以需满足，解得. ()22122122802m m ⎧-≥⎪⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪-⨯--+>⎩23m ≤<故选：D8．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当()f x R x ∈R ()()11f x f x +=-时，，若，，，则a ，b ，c 的大小关系是[]0,1x ∈()12x f x -=32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()30.5b f -=()60.7c f =（） A ． B ． a b c >>a c b >>C ． D ．b ac >>c b a >>【答案】B【分析】根据已知条件，可以求得函数的对称轴，利用对称轴将转化到已知()()11f x f x +=-,a b 条件所给的区间里面，在利用函数的单调性进行比较大小即可.【详解】由题可知图像关于和对称()y f x =0x =1x =当时，为增函数，可得，[]0,1x ∈()12x f x -=3122a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()30.580b f f f -===由于即∴，即6330.70.490.50.5=<<600.70.5<<()()()600.70.5f f f <<a c b >>故选：B二、多选题9．下列给出的各角中，与终边相同的角有（） 2π3-A ． B ． 4π38π3-C ．D ．7π316π3【答案】ABD【分析】根据终边相同的角的定义逐一验证即可判断出选项. 【详解】由题意可知，与终边相同的角的集合为， 2π3-2π2π,Z 3k k αα⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭|由此可得，时，，即A 正确； 1k =4π3α=时，，即B 正确； 1k =-8π3α=-时，，所以C 错误；7π3α=32k =∉Z 时，，即D 正确； 3k =16π3α=故选：ABD10．给出的下列命题中，正确的命题有（） A ．若，则．a b >11a bαD ．若是第二象限角，则是第一象限角．θ2θ【答案】BC【分析】利用特殊值代入可判断A 错误；根据含有一个量词命题的否定即可得B 正确；由三角函数值的符号可判断出角所在的象限，可知C 正确；由的范围可确定是第一或第三象限角，可知θ2θD 错误.【详解】对于A ，取可知，所以A 错误； 1,1a b ==-1111a b=>=-对于B ，根据含有一个量词命题的否定可知，命题，的否定为，Z x ∀∈1Z 2x +∉0Z x ∃∈01Z2x +∈，所以B 正确；对于C ，由可得为第三象限或第四象限角，可知为第一象限或第三象限角，sin 0α<αtan 0α>α所以角的终边在第三象限，选项C 正确； α对于D ，若是第二象限角，即，则，所以是θπ2ππ2π,Z 2k k k θ++∈<<ππππ,Z 422k k k θ++∈<<2θ第一象限或第三象限角，所以D 错误. 故选：BC11．设，，若，则实数的值可以为（）2{|8150}A x x x =-+={|10}B x ax =-=A B B = a A ．B ．C ．D ．150313【答案】ABD【分析】先将集合表示出来，由可得，则根据集合中的元素讨论即可求出A A B B = B A ⊆A a 的值.【详解】集合，由可得， 2{|8150}{3,5}A x x x =-+==A B B = B A ⊆则分和或或， B =∅{3}=B {5}{3,5}当时，满足即可；B =∅0a =当时，满足，解得：；{3}=B 310a -=13a =当时，满足，解得：；{5}B =510a -=15a =当时，显然不符合条件，{3,5}B =所以的值可以为，a 110,,35故选：.ABD 12．下列命题中不正确的有（）A ．已知幂函数在上单调递减则或． ()()211m f x m x --=+()0,∞+0m =2m =-B ．函数的值域为． ()221xf x x =+[]1,1-C ．已知函数，若，则的取值范围为()31ln 1x f x x x +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()210f a ->a 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数满足，，且与的图像的交点为()f x ()()2f x f x -+=()1x g x x+=()f x ()g x，则的值为8．()()()112233,,,x y x y x y 128128x x x y y y ++++++ 【答案】AC【分析】选项A 利用幂函数的定义及性质判断即可；选项B 利用转化法求函数的值域；选项C 利用函数的奇偶性与单调性解不等式；D 选项利用函数的对称性求解即可. 【详解】A ：因为是幂函数，所以，所以或，()f x ()211m +=0m =2m =-又在上递减，所以，故不正确， ()f x ()0,∞+0m =B ：因为，所以由，则， 211x +≥()221x y f x x ==+()221220y x x x y x y +=⇒-+=方程有解则：，所以函数的值域为：，故正确；()22240111y y y y ∆=--⋅≥⇒≤⇒-≤≤[]1,1-C ：由函数的定义域为，()31ln 1x f x x x +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()1,1- 且，()()()1333111ln ln ln 111x x x f x x x x f x x x x --++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以为奇函数，由在上单调递增，所以在上单调递增，()f x 31,ln 1x y x y x +⎛⎫== ⎪-⎝⎭()1,1-()f x ()1,1-由得：，解得，故错误，()()2100f a f ->=0211a <-<1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ：由函数满足，，所以与都关于对称， ()f x ()()2f x f x -+=()111x g x x x+==+()f x ()g x ()0,1所以，故正确， 12812804248x x x y y y ++++++=⨯+⨯= 故选：AC ．三、填空题13．函数（且）的图象过定点___________. 1()1x f x a +=-0a >1a ≠【答案】(1,0)-【分析】由可得图像所过的定点.()10f -=【详解】当时，，故的图像过定点. =1x -()0f x =()f x ()1,0-填.()1,0-【点睛】所谓含参数的函数的图像过定点，是指若是与参数无关的常数，则函数的图像必过()0f x .我们也可以根据图像的平移把复杂函数的图像所过的定点归结为常见函数的图像所过的()()0,x f x定点（两个定点之间有平移关系）. 14．若，则的最小值是___________. 1x >141x x +-【答案】8.【解析】先判断和，再根据基本不等式求的最小值即可. 4(1)0x ->101x >-141x x +-【详解】解：因为，所以，， 1x >4(1)0x ->101x >-所以 1144(1)44811x x x x +=-++≥=--当且仅当即时，取等号，14(1)1x x -=-32x =所以的最小值是8. 141x x +-故答案为：8【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.15．已知，则______． cos 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5sin 6πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭【分析】根据已知结合同角三角函数关系得出，将sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin sin 66ππθπθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式即可得出，即可得出答案. 5sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】，且，cos 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 6πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭∴ 5sin sin sin 666πππθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 16．已知函数若，且，则的取值范围()12,02,0x x x f x x +⎧-≥=⎨<⎩123x x x <<()()()123f x f x f x ==()2123x f x x x +是____________．【答案】10,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】画出函数的图象，并根据方程根的个数确定每个根对应的取值范围，即可求得表达()f x 式的取值范围()2123x f x x x +【详解】画出函数的图象如下：()f x观察图象由对称性可得，即 2322x x +=234x x +=又，，202x <<()()12f x f x =则()()()()2212222222232024442x f x x f x x x x x x x x -===-+<<+令，由二次函数图象可知，，()2202(),4x xg x x =-<<+max 111()(1)424g x g ==-+=()(0)0g x g >=， ∴的取值范围为.()2123x f x x x +10,4⎛⎤⎥⎝⎦故答案为：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦四、解答题 17．求值：(1)22log 33582lg 2lg 22+--(2)已知，求的值1tan 2θ=()()2sin 2πcos πππcos 3sin 22θθθθ-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)6 (2) 45【分析】（1）根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；（2）根据诱导公式和同角三角函数之间的基本关系化简求值即可．【详解】（1）()()3322log 3log 3333582lg 2lg 222lg 5lg 22lg 22+--=+---()223lg 5lg 22lg 27lg 5lg 2=+-+-=-+716=-=（2）利用诱导公式可得，原式2sin cos 2tan 14sin 3cos tan 35θθθθθθ----===--18．已知函数的定义域为.()f x =A (1)求；A (2)设集合，若，求实数的取值范围. 3521122x x aB x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭A B ⋂=∅a 【答案】(1) ()1,2A =-(2) (],3-∞【分析】(1)由函数的解析式有意义列不等式可求函数的定义域；()f x A (2)根据指数函数的单调性化简集合，结合关系列不等式求的取值范围. B A B ⋂=∅a【详解】（1）由有意义可得，得，()f x =1020x x +>⎧⎨-+>⎩12x -<<函数的定义域为，∴()f x =()1,2-即；()1,2A =-（2）因为函数在上单调递减，所以可化为，所以12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭()-∞+∞，3521122x x a--⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭352x x a ->-，5>-x a 所以集合， {5}B xx a =>-∣又， (),1,2A B A ⋂=∅=-所以，即， 52a -≥3a ≤所以实数的取值范围.a (],3-∞19．已知定义在上的函数，满足.R ()f x ()226f x x x -=--(1)求的解析式.()f x(2)若在区间上的最小值为6，求实数的值.()f x [],2t t +t 【答案】(1)()234f x x x =--(2)或. 4t =-5【分析】（1）利用换元法求解即可；（2）因函数对称轴为，讨论对称轴与区间关系可知函数单调性，从而求得函数()f x 32x =[],2t t +，建立方程求解即可.()min f x 【详解】（1）由，()226f x x x -=--x ∈R 令，即，，2x k -=2x k =-R k ∈则，，()()()2222634f k k k k k =----=--R k ∈所以.()234f x x x =--（2）函数对称轴为， ()234f x x x =--32x =当，即时，函数在上单调递减，322+≤t 12t ≤-()f x [],2t t +则此时，，解得或（舍去）.()()()()2min 223246f x f t t t =+=+-+-=4t =-3t =当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，322<<+t t 1322-<<t ()f x 3,2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦则此时，，不符合题意.()2min 333253462224f x f ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，函数在上单调递增， 32t >()f x [],2t t +则此时，，解得（舍去）或.()()2min 346f x f t t t ==--=2t =-5t =综上所述，或.4t =-520．北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也202224销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）30()P x与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足），x x ()2000P x =0k >冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示：()Q x xx 38 15 24（套） ()Q x 12 1314 15 已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：2432400①，②，③()x Q x ta b =+()2(16)Q x p x q =-+()Q x n =+(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低．()f x 130x ≤≤x +∈N 【答案】(1)模型③最合适，理由见解析；(2)第天达到最低.3【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型；（2）由表中数据和第天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的模型和中的参数，24()Q x ()P x 代入，化简后使用基本不等式求解.()()()f x P x Q x =【详解】（1）模型③最合适，理由如下：对于模型①，为指数型函数模型，表格中对应的数据递增的速度较慢，故模型()x Q x ta b =+()Q x ①不合适；对于模型②，为二次函数模型，其图象关于直线对称，有()2(16)Q x p x q =-+16x =()()824Q Q =，与表中数据不符，故模型②不合适；对于模型③，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，将()Q xn =()Q x 表中数据，代入模型③，有()3,12()8,13，解得， ()()312813Q n Q n ⎧==⎪⎨==⎪⎩212313m n m n +=⎧⇒⎨+=⎩110m n =⎧⎨=⎩∴，()10Q x =经验证，均满足表中数据，()151014Q ==()241015Q ==因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.（2）∵第天冰墩墩的日销售单价（元/套）， 24()()20002000524P k P x ===+∴第天的日销售收入为（元）， 24()()2424200015324005k P Q ⎛⎫⨯=+⨯= ⎪⎝⎭∴，800k =∴ ()2000P x =由（1）所选模型③，当且时，130x ≤≤x +∈N()()())001200f x P x x Q ⎛+ ⎝==2080020+=20800≥+2080024000=+⨯（元） 28800=当且仅当时，等号成立， 200=3x =∴在第天时，该商品的日销售收入达到最低元.3()f x 2880021．已知 ()()21R 21x x f x x -=∈+(1)判断函数的单调性，并用定义证明之．()f x (2)解关于t 的不等式．()()2320f t f t -+<【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析()f x R (2){}31t t -<<【分析】（1）由题意可知，对函数进行分离常数可判断其单调性并用单调性的定义证明即可；（2）根据函数的奇偶性和单调性即可对不等式进行求解．【详解】（1）由题意，函数在上是增函数， ()21212121x x x f x -==-++()21x h x =+R 所以函数在上是增函数．()f x R 证明如下：在上任取且，R 12,x x 12x x <所以 ()()()()()121212122222211,21212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由可知，所以，，， 12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以，即．()()120f x f x -<()()12f x f x <即在上单调递增．()f x R （2）易知，所以函数为奇函数； ()()21122112x xx x f x f x -----===-++()f x 由（1）知，函数是上的增函数，()f x R 由可得， ()()2320f t f t -+<()()()2322f t f t f t -<-=-所以，即，解得，232t t -<-2230t t +-<31t -<<即关于t 的不等式的解集为()()2320f t f t -+<{}31t t -<<22．已知函数为奇函数． 1()ln1kx f x x -=+（1）求实数k 的值；（2）若对任意都有成立，求t 的取值范围；[3,5]x ∈()3f x t >-（3）若存在，且，使得函数在区间上的值域为,(1,)αβ∈+∞αβ<()f x [,]αβ，求实数m 的取值范围． ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】（1）；（2）；（3）. 1k =(),3ln 2-∞-209m <<【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件，求出k 的值之后再验证是否满足函()()0f x f x +-=数的定义域关于原点对称即可；（2）根据复合函数单调性法则，可以判断出函数在给定区间上的单调性，之后将恒成立问题转化为最值处理；（3）假设存在，使得函数在区间上的值域为，由,αβ()f x [],αβln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()f x 在上递增，方程在上有两个不等实根，可得的不等式()1,+¥211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭()1,+¥m 组，解不等式即可得到实数的取值范围，即可得到判断存在性.m 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， ()1ln 1kx f x x -=+()()0f x f x +-=即对定义域内任意恒成立，所以，即()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-x 21k =，1k =±显然，又当时，的定义域关于原点对称． 1k ≠-1k =1()ln1x f x x -=+所以为满足题意的值．1k =（2）由（1）知，其定义域为， ()1ln1x f x x -=+()(),11,-∞-⋃+∞ ()12ln ln(1)11x f x x x -==-++可以判断出在上为增函数．()f x ()1,+¥所以在上为增函数，()f x ()3,5对任意都有成立，则有，[3,5]x ∈()3f x t >-min ()3f x t >-所以，所以， 31(3)ln 331f t -=>-+3ln 2t <-所以求t 的取值范围为；(),3ln 2-∞-（3）由（2）知在上为增函数，()f x ()1,+¥又因为函数在上的值域为， ()f x [],αβ11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，且，所以， 0m >1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩即是方程的两实根， ,αβ112x m mx x -=-+问题等价于方程在上有两个不等实根， 211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭()1,+¥令，对称轴 ()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭1124x m =-则， 21124(1)4(1)022(1)00m m m m m h m m >⎧⎪⎪->⎪⎪⎪∆=--->⎨⎪=>⎪⎪⎪⎪⎩即，解得． 0205229m m m m ⎧⎪>⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎪⎩或209m <<【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用、函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义确定函数性质是解决本题的关键.。

重庆高一高中数学期末考试带答案解析

重庆高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，集合，则集合（）A．B．C．D．2.某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）A．15,5,25B．15,15,15C．10,5,30D．15,10,203.函数的定义域是（）．A．B．C．D．4.已知等比数列满足：，则公比为（）A．B．C．－2D．25.已知向量，向量，若，则实数的值是（）A．B．C．4D．6.已知中，则等于（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7.当时，执行如右图所示的程序框图，输出的值为（）A．30B．14C．8D．68.实数，满足不等式组，则目标函数的最小值是（）A．B．C．D．9.已知数列的前项和为，且，则取最小值时，的值是（）A．3B．4C．5D．610.设a>0，b>0，若是与的等比中项，则的最小值为（）A．4B．8C．1D．11.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．12.（原创）函数，关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题1.计算：的值是．2.平面向量与的夹角为60°，，，则．3.不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为．4.右表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第行第列的数为．则表中的数52共出现次．三、解答题1.（本题满分10分）已知等差数列满足=2，前3项和=．（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足=，=，求前n项和．2.（本题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（Ⅰ）求频率分布图中的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．3.（本题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值．4.（本题满分12分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）若将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值．5.（本题满分12分）如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为．怎样确定广告牌的高与宽的尺寸（单位：），能使矩形广告牌面积最小？6.（本题满分12分）已知数列的前项和为,且点在函数上，且（）（1）求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和；（3）记数列的前项和为，设，证明：重庆高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知集合，集合，则集合（）A．B．C．D．【答案】B【解析】两集合的公共元素组成的集合，所以【考点】集合的运算2.某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）A．15,5,25B．15,15,15C．10,5,30D．15,10,20【答案】D【解析】先计算分层比，所以各个年级应抽取的人数分别是，，和高三．【考点】分层抽样3.函数的定义域是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域是，解得：【考点】函数的定义域4.已知等比数列满足：，则公比为（）A．B．C．－2D．2【答案】B【解析】，所以【考点】等比数列的性质5.已知向量，向量，若，则实数的值是（）A．B．C．4D．【答案】C【解析】，所以【考点】1．数量积的坐标表示；2．两向量垂直的充要条件6.已知中，则等于（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°【答案】B【解析】根据正弦定理，,解得,又因为，，所以角等于60°或120°【考点】正弦定理7.当时，执行如右图所示的程序框图，输出的值为（）A．30B．14C．8D．6【答案】B【解析】当时，，是，进入循环,时，，是，进入循环,时，，是，进入循环,时，，否，所以退出循环，所以．【考点】1．程序框图的应用；2循环结构．8.实数，满足不等式组，则目标函数的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，先画可行域，，当目标函数过点时，函数取得最小值，所以．【考点】线性规划9.已知数列的前项和为，且，则取最小值时，的值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】根据已知，所以数列是等差数列，，得到，，所以最小．【考点】1．等差数列；2．等差数列的前项和的最大项．10.设a>0，b>0，若是与的等比中项，则的最小值为（）A．4B．8C．1D．【答案】A【解析】，所以，所以：，等号成立的条件是．【考点】1．等差数列的性质；2．基本不等式求最值．11.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解得不等式：，解得，所以根据几何概型得到．【考点】几何概型12.（原创）函数，关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，方程为：，方程有两个不等实根和，根据的图像，可得，和有三个不同交点，所以，根据数形结合分析，，，所以设函数，，解得【考点】1．函数的图像；2．数形结合解决方程实根问题．二、填空题1.计算：的值是．【答案】【解析】根据对数运算法则，原式等于【考点】对数运算法则2.平面向量与的夹角为60°，，，则．【答案】【解析】．【考点】向量数量积的计算3.不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】当时，或，代入，只有使不等式恒成立，当时，，即，解得，所以最后的取值范围是【考点】二次不等式恒成立4.右表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第行第列的数为．则表中的数52共出现次．【答案】【解析】经观察奇数行有可能出现52，并且奇数行的通项公式是，所以当时，即，解得：，,解得，当时，是正整数，所以有4个52【考点】等差数列三、解答题1.（本题满分10分）已知等差数列满足=2，前3项和=．（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足=，=，求前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为是等差数列，所以可以采用待定系数法，列方程组，求解首项，公差，写出通项公式；（2）第一步，先求数列的通项公式，第二步，套等比数列的前n项和公式．试题解析：（1）设的公差为，则由已知条件得化简得，解得故通项公式（2）由（1）得．设的公比为,则,从而．故的前n项和【考点】1．等差数列；2．等比数列．2.（本题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（Ⅰ）求频率分布图中的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）频率分布直方图中的矩形面积等于1，所以根据面积求参数；（Ⅱ）求分数不低于80分的矩形面积就是概率；（Ⅲ）第一步，先求两组的人数，频率乘以50就是人数，第二步，将这5个人分别编号，列出所以抽取两人的方法，其中算出两人都在的方法组数，最后相除，计算概率．试题解析：解（Ⅰ）因为，所以（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为．（Ⅲ）受访职工评分在[50,60）的有：50×0．006×10＝3（人），即为；受访职工评分在[40,50）的有：50×0．004×40＝2（人），即为．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是又因为所抽取2人的评分都在[40,50）的结果有1种，即，故所求的概率为．【考点】1．频率分布直方图的应用；2．古典概型．3.（本题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据正弦定理，将边化为角，进一步化简，即得结果；（2）结合上一问的结果，列三角形面积公式，解出，然后根据余弦定理求解边．试题解析：（1）在中，由正弦定理得：因为，所以从而，又所以，所以．（2）在中，，得由余弦定理得：所以．【考点】1．正弦定理；2．余弦定理；3．三角形面积公式．4.（本题满分12分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）若将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值为2，最小值为－1．【解析】（1）首先根据二倍角公式化简，然后根据诱导公式化简，随后化简，为，最后求周期；（2）向右平移，那么，得到函数，然后根据自变量的范围，求的范围，根据函数的图像求函数的最大值和最小值．试题解析：解：（1）（2）由已知得，，，故当即时，；故当即时，，故函数g（x）在区间上的最大值为2，最小值为－1．【考点】1．三角函数的化简；2．三角函数的性质；3．三角函数的图像变换．5.（本题满分12分）如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为．怎样确定广告牌的高与宽的尺寸（单位：），能使矩形广告牌面积最小？【答案】广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小．【解析】法一：可以设矩形栏目的高和宽，高宽=定值，然后用所给数据表示广告牌的面积，根据所给定值，利用基本不等式求最值；法二：设广告牌的高和宽，用所设表示矩形栏目的高和宽，相乘为定值，转化为所设高和宽的关系式，并相互表示，代入广告牌的面积，利用基本不等式求最值．试题解析：解：法一：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab＝9 000．①广告牌的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a>0，b>0．广告牌的面积S＝（a＋20）（2b＋25）＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2＝18500＋2＝24500．当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75．即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500，故广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小． 12分法二：设广告牌的高和宽分别为xcm、ycm，则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25．两栏面积之和为2（x－20）·＝18 000，由此得y＝＋25，广告的面积S＝xy＝x（＋25）＝＋25x＝＋25（x－20）＋18 500，因为x－20>0，所以S≥＋18 500＝24 500．当且仅当＝25（x－20）时等号成立，此时有（x－20）2＝14 400（x>20）解得x＝140代入y＝＋25，得y＝175．即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500．故广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小．【考点】1．函数的应用；2．基本不等式求最值．6.（本题满分12分）已知数列的前项和为,且点在函数上，且（）（1）求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和；（3）记数列的前项和为，设，证明：【答案】（1）；（2）；（3）详见解析．【解析】（1）第一步，将点代入，得到和的通项，第二步，根据已知和求通项的方法，，求得数列的通项公式，第三步，代入已知的条件关系式，解得；（2）第一步，先求数列的通项公式，根据上一问，是等差数列，是等比数列，所以数列的求和方法采用错位相减法求和；（3）第一步先求几个相关的式子，，其前项和，在表示，第二步将通项进行放缩，为，第三步，采用裂项相消法求和，整理，证明不等式．试题解析：解：（1）由题意：（ⅰ）当时，（ⅱ）当时，所以，又因为，所以（2）因为且所以①②由①②得：整理得：．（3），所以数列的前项和为因为即当时【考点】1．已知数列的前项和求通项；2．错位相减法求和；3．裂项相消法求和；4．证明不等式．。

2022-2023学年重庆十八中高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年重庆十八中高一（上）期末数学试卷1. 命题“∃x∈R，e x<2”的否定是( )A. ∃x∈R，e x≥2B. ∃x∈R，e x>2C. ∀x∈R，e x≥2D. ∀x∈R，e x>22. 在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆的交点为P(−23,√53)，则cos(3π−α)=( )A. 23B. −23C. √53D. −√533. 若正实数a，b满足(a+1)(2b+1)=4，则a+2b+1的最小值为( )A. 2B. 3C. 103D. 44. 已知集合M={x|x2−2x−3<0},N={x|y=√1−log2(4−x)}，则M∪N=( )A. (−3,+∞)B. (−3,4)C. (−1,+∞)D. (−1,4)5. “a−12<b−12”是“lga>lgb”的条件．( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要6. y=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则其单调递减区间为( )A. (112+2k,712+2k),k∈ZB. (112+k,712+k),k∈ZC. (112+2kπ,712+2kπ),k∈ZD. (112+kπ,712+kπ),k∈Z7. 已知定义域为[−4,4]的函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线，且满足f(−x)+f(x)=0.若∀x1，x2∈(0,4],当x1<x2时，总有x1f(x1)>x2f(x2)，则满足(2m+1)f(2m+1)≤(m−4)f(m−4)的实数m的取值范围为( )A. [0,1]B. [1,32] C. [−5,1] D. [−3,5]8. 设a=sin40∘,b=2−32,c=log85，则a，b，c的大小关系为( )A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. b<a<c9. 下列函数中，与函数y=x是同一函数的有( )A. y=√x2B. y=√x33C. y=lne xD. y=e lnx10. 已知x，y是正数，且x+y=2，则( )A. x(x+2y)的最大值为4B. log2x+log2y的最大值为0C. 2x+2y的最小值为4D. 1x +2y的最小值为32+√211. 已知f(x)=sin(2x+π6)，则( )A. 其图像可以由y=sinx的图像先向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)得到B. 其图像可以由y=sinx的图像所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度得到C. ∃x0∈R且x0≠0，使得f(x0)=f(−x0)D. ∀x∈R，都有f(5π6−x)=−f(x)12. 已知函数f(x)=e|x+6|sinax，若存在实数t，使得f(x+t)是奇函数，则cos2a的值可能为( )A. 12B. −12C. √32D. −√3213. 如图所示的时钟显示的时刻为2：00，此时时针与分针的夹角为α(0<α<π).若一个半径为2cm的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为______cm2.14. tan12∘+tan18∘+tan150∘tan12∘tan18∘=______.15. 写出定义域为R 且同时满足下列三个条件的函数f(x)的表达式：f(x)=______.(1)f(x)=f(−x)；(2)f(x)在(−∞,0]上单调递增；(3)f(x)的值域为(0,1].16. 已知函数f(x)={2x 2+4x +1,x ≤0|log 4x|,x >0，记g(x)=f 2(x)−(2a +2)f(x)+a 2+2a ，若g(x)有6个零点，则实数a 的取值范围是______.17. 已知集合A ={y|y =2x ,x ≤2}，B ={x|2a ≤x ≤a +2}.(1)求∁R A ；(2)若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．18. 已知cos(α+β)=−√55,tan(π+α)=3，其中α，β为锐角．(1)求sinα的值； (2)求β的值．19. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量(单位：mg/L)与时间(单位：ℎ)间的关系为：P =P 0e −kt ，其中P 0，k 是正的常数．若在前5h 消除了20%的污染物，则：(1)10ℎ后还剩百分之几的污染物？(2)污染物减少50%需要花多少时间？(精确到1h ，参考数据：lg2≈0.3)20. 已知二次函数f(x)满足：关于x 的不等式f(x)+x +3<0的解集为(1,2)且f(0)=−1.(1)求f(x)的表达式；(2)若f(a x )(a >0且a ≠1)在区间[−1,2]上的最小值为−5，求a 的取值范围．21. 已知函数f(x)=cos(ωx −π6)sin(ωx −π3)+√3sinωxcosωx +14.(1)若ω=1，求f(x)在(π2,π]上的值域；(2)若在(0,π2)内恰有两个t 的值，使得函数f(x)关于点(t,0)对称，求ω的取值范围．22. 已知函数f(x)=log a (√4x 2+1−bx)在R 上为奇函数，a >1，b >0.(1)求实数b 的值；(2)指出函数f(x)的单调性(说明理由，不需要证明)；(3)若对任意x >0,θ∈(0,π2)，不等式f(−4x(t 2+2)sin2θ)+f(3t(x 2+2)(sinθ+cosθ))≤0都成立，求正数t 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：“∃x ∈R ，e x <2”的否定是∀x ∈R ，e x ≥2. 故选：C.任意改存在，将结论取反，即可求解．本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵角α的终边与单位圆的交点为P(−23,√53)， ∴cosα=−23，则cos(3π−α)=−cosα=23. 故选：A.由已知可得cosα的值，再由诱导公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及诱导公式的应用，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵正实数a ，b 满足(a +1)(2b +1)=4，∴a +2b +1=a +1+2b +1−1≥2√(a +1)(2b +1)−1=3，当且仅当{(a +1)(2b +1)=4a +1=2b +1，即{a =1b =12时，等号成立，故a +2b +1的最小值为3. 故选：B.根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：解不等式x 2−2x −3<0可得：−1<x <3，则集合M =(−1,3)，令1−log 2(4−x)≥0，则不等式化为0<4−x ≤2，解得2≤x <4，所以集合N =[2,4), 则M ∪N =(−1,4)，故选：D.利用一元二次不等式以及对数不等式的解法，根式的性质求出集合M ，N ，再利用并集的定义即可求解．本题考查了并集的应用，涉及到不等式的求解，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为函数y=x−12在定义域(0,+∞)上为单调递减函数，又a−12<b−12，所以a>b>0，则lga>lgb成立，所以充分性成立，当lga>lgb时，a>b>0，则a−12<b−12，所以必要性成立，故“a−12<b−12”是“lga>lgb”的充要条件，故选：C.分别根据幂函数与对数函数的单调性以及充分，必要条件的定义判断即可求解．本题考查了充分，必要条件的定义的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题图可知T2=13−(−16)=12，所以T=1=2πω，故ω=2π，又函数过点(13,0)，可得：13×2π+φ=2kπ+π2，故φ=2kπ−π6，k∈Z，故取φ=−π6，∴y=cos(2πx−π6)，令2kπ≤2πx−π6≤2kπ+π，故k+112≤x≤k+712，k∈Z.函数的单调递减区间为：[k+112,k+712]，k∈Z.故选：B.直接利用三角函数关系式的确定，余弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的确定，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由f(−x)+f(x)=0可得f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数，所以g(x)=xf(x)为偶函数，因为∀x1，x2∈(0,4],当x1<x2时，总有x1f(x1)>x2f(x2)，即g(x1)>g(x2)，所以g(x)在(0,4]上单调递减，根据偶函数的对称性可知，g(x)在[−4,0)上单调递增，由(2m+1)f(2m+1)≤(m−4)f(m−4)可得g(2m+1)≤g(m−4)，所以{−4≤2m+1≤4−4≤m−4≤4|2m+1|≥|m−4|，解得1≤m≤32.故选：B.由已知不等式考虑构造函数g(x)=xf(x)，然后判g(x)的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由角度制与弧度制的互换知，40∘=29πrad，如图，在单位圆中作∠AOB=29π，，∵sin∠AOB=|AB|，∠AOB=AD⏜，又∵|AB|<AD⏜，∴sin∠AOB<∠AOB，即sin40∘<29π，故12=sin30∘<sin40∘<29π<34，即12<a<34，又∵b=2−32<12，∵83=512，54=625，∴83<54，即3<4log85，即log85>34，即c >34，故b <a <c ，故选：D.由角度制与弧度制的互换知40∘=29πrad ，再结合三角函数的定义知sin40∘<29π，从而可得12=sin30∘<sin40∘<29π<34，再判断b ，c 的大小即可．本题考查了三角函数，指数运算及对数运算的应用，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：函数y =x 的定义域为R ，A ：函数y =√x 2=|x|与已知函数的解析式不同，不是同一函数，故A 错误，B ：y =√x 33=x ，定义域为R ，与已知函数是同一函数，故B 正确，C ：因为e x >0恒成立，所以函数y =x ，且定义域为R ，故是同一函数，故C 正确，D ：y =e lnx =x ，且x >0，与已知函数的定义域不同，故不是同一函数，故D 错误，故选：BC.利用根式的性质以及对数的性质对各个选项化简，然后根据判断函数是同一函数的标准即可判断求解．本题考查了判断函数是同一函数的标准的应用，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：∵x ，y 是正数，且x +y =2，∴x(x +2y)=(2−y)(2−y +2y)=4−y 2<4，故A 错误， log 2x +log 2y =log 2xy ≤log 2(x+y)24=0，当且仅当{x =yx +y =2，即x =y =1时，等号成立，故log 2x +log 2y 的最大值为0，故B 正确， 2x+2y≥2√2x ⋅2y =2√2x+y=4，当且仅当{2x =2yx =y，即x =y =1时，等号成立，故2x +2y 的最小值为4，故C 正确， x ，y 是正数，且x +y =2，则1x +2y=12(1x +2y)(x +y)=12(3+y x +2x y)≥12(3+2√y x ⋅2xy)=32+√2，当且仅当{x +y =2y x=2x y，即{x =2√2−2y =4−2√2时，等号成立，故1x +2y 的最小值为32+√2，故D 正确．故选：BCD.根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数、指数的运算性质，即可求解．本题主要考查基本不等式的公式，以及对数、指数的运算性质，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：选项A ，y =sinx 的图像先向左平移π6个单位长度，得到y =sin(x +π6)，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)得到y =sin(2x +π6)=f(x)，即A 正确；选项B ，y =sinx 的图像所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y =sin2x ，再向左平移π6个单位长度得到y =sin2(x +π6)=sin(2x +π3)≠f(x)，即B 错误；选项C ，取x 0=π2，则f(π2)=sin(π+π6)=−sin π6=−12，f(−π2)=sin(−π+π6)=−sin π6=−12，所以f(π2)=f(−π2)，即C 正确；选项D ，f(5π6−x)=sin[2(5π6−x)+π6]=sin(11π6−2x)=sin(2π−π6−2x)=−sin(2x +π6)=−f(x)，即D 正确．故选：ACD.根据函数图像的变换法则，可判断选项A 和B ；取x 0=π2，计算f(π2)和f(−π2)的值，可判断选项C ；结合诱导公式化简f(5π6−x)，即可得解．本题考查三角函数的图像与性质，熟练掌握函数图像的变换法则，正弦函数的奇偶性，诱导公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12.【答案】AB【解析】解：令g(x)=f(x +t)=e |x+t+6|sin[a(x +t)]，要使g(x)为奇函数，则g(−x)+g(x)=e |−x+t+6|sin(−ax +at)+e |x+t+6|sin(ax +at)=0恒成立，只需{t +6=0at =kπ,k ∈Z ，解得a =−kπ6，k ∈Z ，cos2a =cos(−kπ3)，k ∈Z ，k =0时，cos2a =cos0=1， k =1时，cos2a =cos(−π3)=12， k =2时，cos2a =cos(−2π3)=−12， k =3时，cos2a =cos(−π)=−1， k =4时，cos2a =cos(−4π3)=−12，k =5时，cos2a =cos(−5π3)=12， k =6时，cos2a =cos(−2π)=1.综上可知，cos2a 的所有可能取值为：±1,±12. 故选：AB.首先f(x +t)的定义域为R ，若为奇函数，必有f(0)=0，据此求出a 的值，再加以验证即可．本题考查三角函数的性质和奇函数的定义，属于中档题．13.【答案】2π3【解析】解：根据题意知α=π3，∴S =12αr 2=12×π3×4=2π3. 故答案为：2π3.根据条件可得出α=π3，然后根据扇形的面积公式即可求出该扇形的面积．本题考查了扇形的面积公式，考查了计算能力，属于容易题．14.【答案】−√33【解析】解：原式=tan(12∘+18∘)(1−tan12∘tan18∘)−tan30∘tan12∘tan18∘=tan30∘−tan30∘tan12∘tan18∘−tan30∘tan12∘tan18∘=−tan30∘=−√33，故答案为：−√33.利用诱导公式以及正切的和角公式化简即可求解．本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．15.【答案】2−|x|(答案不唯一)【解析】解：根据题意，函数f(x)满足f(x)=f(−x)，则f(x)为偶函数，又由f(x)的值域为(0,1]且在(−∞,0]上单调递增，则f(0)=1，结合指数函数的性质，可知f(x)可以为f(x)=2−|x|. 故答案为：2−|x|(答案不唯一).根据题意，可得函数f(x)的奇偶性，结合指数函数的性质即可得出结果．本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．16.【答案】{a|a >1或a =0}【解析】解：先作出f(x)={2x 2+4x +1,x ≤0|log 4x|,x >0的大致图象，如图所示，由g(x)=f 2(x)−(2a +2)f(x)+a 2+2a =0可得f(x)=a 或f(x)=a +2，若g(x)有6个零点，则{−1<a <00<a +2<1或{a =0a +2>1或a >1，解得a >1或a =0，故答案为：{a|a >1或a =0}.先作出f(x)的大致图象，由g(x)=0可得f(x)=a 或f(x)=a +2，结合函数图象可求．本题主要考查了由函数的零点求解参数范围，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)当x ≤2时，0<2x ≤4，所以集合A =(0,4],所以∁R A =(−∞,0]∪(4,+∞)； (2)若A ∪B =A ，则B ⊆A ，当B =⌀时，2a >a +2，解得a >2，此时满足题意；当B ≠⌀时，要满足题意，只需{2a ≤a +22a >0a +2≤4，解得0<a ≤2，综上，实数a 的范围为(0,+∞).【解析】(1)利用指数的性质求出集合A ，再根据补集的定义即可求解；(2)由题意，可得B ⊆A ，然后分B 为空集和B 不是空集两种情况讨论，根据子集的性质建立不等式，求出a 的取值范围．本题考查了集合的运算和集合间的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)由已知tan(π+α)=3，则tanα=3，所以sinα=3cosα，且sin 2α+cos 2α=1(sinα>0,cosα>0)，解得sinα=3√1010，cosα=√1010，所以sinα的值为3√1010；(2)因为cos(α+β)=−√55，其中α，β为锐角，则sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55，所以cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−√55×√1010+2√55×3√1010=√22，又β为锐角，则β=π4.【解析】(1)利用诱导公式求出tanα的值，再利用正余弦的平方关系建立方程即可求出sinα，cosα的值；(2)利用已知求出sin(α+β)的值，然后利用cosβ=cos[(α+β)−α]以及余弦的差角公式展开即可求解．本题考查了两角和与差的三角函数的公式的应用，涉及到正余弦平方关系以及配凑法的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)当t =0时，P =P 0e −k⋅0=P 0，当t =5时，P 0⋅e −5k P 0=80%，∴e −5k =0.8，∴k =−15ln0.8，当t =10时，P 0⋅e −10kP 0=e −10k =(e −5k )2=0.82=0.64，∴10ℎ后还剩64%的污染物．(2)设污染物减少50%需要花th 的时间，则e −kt =0.5，两边同时取以e 为底的对数，得−kt =ln0.5，∴t =−ln0.5k =−ln0.5−15ln0.8=5⋅ln0.5ln0.8=5log 0.80.5=5⋅lg0.5lg0.8=5⋅lg1−lg2lg4−lg5=5⋅−1g23lg2−1≈5⋅.−0.33×0.3−1=15.∴污染物减少50%需要花15ℎ.【解析】(1)根据条件计算e −5k ，从而可得e −10k 的值，由此能求出10h 后还剩百分之几的污染物； (2)令e −kt =0.5，利用指数运算法则能求出污染物减少50%需要花多少时间．本题考查对数函数的性质、运算法则、换底公式在生产生活中的实际运用，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)设二次函数f(x)=a′x 2+bx +c ，(a′≠0)，则f(x)+x +3<0转化为a′x 2+(b +1)x +c +3<0，(a′≠0)， ∵关于x 的不等式f(x)+x +3<0的解集为(1,2)且f(0)=−1. ∴1，2是a′x 2+(b +1)x +c +3=0的两个根，且a′>0，c =−1， ∴1+2=−b+1a′，1×2=c+3a′，解得a′=1，b =−4，∴f(x)=x 2−4x −1.(2)f(x)=x 2−4x −1=(x −2)2−5，∵f(a x )(a >0且a ≠1)在区间[−1,2]上的最小值为−5，由已知得：2∈{t|t =a x ,x ∈[−1,2]}，当a >1时，2∈{t|1a ≤t ≤a 2}，∴1a ≤2≤a 2，解得a ≥√2，当0<a <1时，2∈{t|a 2≤t ≤1a}，∴a 2≤2≤1a，∴0<a ≤12，综上，a 的取值范围是(0,12]∪[√2,+∞).【解析】(1)设二次函数f(x)=a′x 2+bx +c ，(a′≠0)，则f(x)+x +3<0转化为a′x 2+(b +1)x +c +3<0，(a′≠0)，从而1，2是a′x 2+(b +1)x +c +3=0的两个根，且a′>0，c =−1，利用韦达定理能求出f(x).(2)f(x)=(x −2)2−5，由已知得：2∈{t|t =a x ,x ∈[−1,2]}，当a >1时，2∈{t|1a ≤t ≤a 2}，当0<a <1时，2∈{t|a 2≤t ≤1a }，由此能求出a 的取值范围．本题考查二次函数的性质、一元二次不等式的性质、解法、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)当ω=1时，f(x)=cos(x −π6)sin(x −π3)+√3sinxcosx +14=(√32cosx +12sinx)(12sinx −√32cosx)+√32sin2x +14=sin(2x −π6)，∵x ∈(π2,π],∴(2x −π6)∈(5π6,11π6], ∴f(x)∈[−1,12),即f(x)在(π2,π]上的值域[−1,12)； (2)由题意化简得f(x)=sin(2ωx −π6)， ∵t ∈(0,π2)，∴−π6<2ωt −π6<ωπ−π6， ∴π<ωπ−π6≤2π，解得76<ω≤136，故实数ω的取值范围为(76,136]. 【解析】(1)由题意化简得f(x)=sin(2x −π6)，利用正弦型函数的性质，即可得出答案； (2)由(1)得f(x)=sin(2x −π6)，∵t ∈(0,π2)，∴−π6<2ωt −π6<ωπ−π6，求解即可得出答案．本题考查三角函数的恒等变换和两角和差的三角函数，考查转化思想和整体思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵函数f(x)=log a (√4x 2+1−bx)在R 上为奇函数，∴f(x)+f(−x)=log a (√4x 2+1−bx)+log a (√4x 2+1+bx)=log a (4x 2+1−b 2x 2)=0， ∴4x 2+1−b 2x 2=1恒成立，又b >0，可得b =2； (2)当b =2时，f(x)=log a (√4x 2+1−2x)=log a √4x 2+1+2x，∵a >1，∴函数f(x)为减函数；(3)不等式f(−4x(t 2+2)sin2θ)+f(3t(x 2+2)(sinθ+cosθ))≤0，即f(−4x(t 2+2)sin2θ)≤−f(3t(x 2+2)(sinθ+cosθ))=f(−3t(x 2+2)(sinθ+cosθ))，可得−4x(t 2+2)sin2θ≥−3t(x 2+2)(sinθ+cosθ)， ∵x >0,θ∈(0,π2)，即4xx 2+2⋅t 2+23t ≤sinθ+cosθsin2θ，也就是sinθ+cosθsin2θ≥t 2+23tx 2+24x， ∵t 2+23t x 4+12x≤t 2+23t 2√x 4⋅12x=√2(t 2+2)3t，当且仅当x 4=12x ，即x =√2时等号成立，∴sinθ+cosθsin2θ≥√2(t 2+2)3t，由θ∈(0,π2)，令λ=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4)∈(1,√2],则sin2θ=λ2−1，∴sinθ+cosθsin2θ=λλ2−1=1λ−1λ∈(√2,+∞)，∴√2≥√2(t 2+2)3t，即t 2+23t≤1，又t >0，解得1<t <2.∴正数t 的取值范围是(1,2).【解析】(1)利用函数奇偶性的定义列式求解b 值；(2)由函数解析式结合复合函数的单调性可得函数f(x)的单调性；(3)由题设及f(x)单调性、奇偶性可得−4x(t 2+2)sin2θ≥−3t(x 2+2)(sinθ+cosθ)，再由函数的性质转化为关于t 的不等式求解．本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，不等式恒成立的处理方法等知识，属于中等题．。

重庆市重点高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题 1．（） 315︒=A ．B ．C ．D ．11π613π67π45π4【答案】C【分析】利用公式可求角的弧度数 315︒【详解】角对应的弧度数为 315︒3157ππ1804=故选：C2．命题“，”的否定是（） 0x ∀>21x ≥A ．，B ．，00x ∃>021x≥00x ∃>021x<C ．， D ．，0x ∀<21x ≥00x ∃<021x<【答案】B【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法写出结论作答. 【详解】全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定是“，”0x ∀>21x ≥00x ∃>021x <故选：B3．已知集合，，则（） {|124}x A x =<<1|11B x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭A B =ðA ． B ．C ．D ．[)1,3(0,1]()1,2()3,3-【答案】B【分析】化简集合，然后用补集的定义即可求解 ,A B 【详解】由解得， 124x <<02x <<由可得，即，解得 111x >-1120111x x x x x ---=>---()()210x x -->12x <<故，， {|02}A x x =<<{}|12B x x =<<所以 A B =ð{|01}x x <≤故选：B4．方程的解所在的区间是（） ln 50x x +-=A ． B ． C ． D ． ()01，()12，()34，()23，【答案】C【分析】构造函数，利用零点存在性定理可解.【详解】记，函数在定义域上单调递增， ()ln 5f x x x =+-因为，(3)ln 3350f =+-<(4)2ln 2450f =+->所以函数在区间内有零点，即方程的解在区间内.()f x 3,4（）ln 50x x +-=3,4（）故选：C5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）()22,12,1x x ax x f x x ⎧+≥=⎨<⎩R a A ． B ．C ．D ．(],1-∞[]1,41,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭][(),14,∞∞-⋃+【答案】C【分析】由题可得，解之即得.1122a a -≤⎧⎨+≥⎩【详解】∵在上单调递增，()()2222,1,12,12,1x x x ax x x a a x f x x x ⎧⎧+≥+-≥⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩R ∴，解得，1122a a -≤⎧⎨+≥⎩12a ≥故实数的取值范围是a 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选：C6．已知，，，则（） 0.32=a 0.43b =0.2log 0.3c =A ． B ． a b c >>b c a >>C ． D ．c b a >>b a c >>【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小 0,1【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a => 0.431b =>则有：,a c b c >>0.30.30.4233a =<<故有： b a c >>故选：D7．已知（）sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．1313-79±23【答案】A【分析】由题意可得，，由二倍角公式结合诱导公式代入化简即可求解. 22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭【详解】2sin 2sin 2cos 212sin 63233πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 211121233=-⨯=-⨯=故选：A.8．已知函数是定义在R 上的偶函数，若对于任意不等实数，，，不等式()f x 1x [)20,x ∈+∞恒成立，则不等式的解集为（）()()()()12120x x f x f x --<()()21f x f x >-A ．B ．1133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭113x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或C ．D ．113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或【答案】C【分析】由条件对于任意不等实数，，不等式恒成立可得1x [)20,x ∈+∞()()()()12120x x f x f x --<函数在上为减函数，利用函数性质化简不等式求其解. ()f x [)0,+∞【详解】∵ 函数是定义在R 上的偶函数， ()f x ∴ ，()()(||)f x f x f x =-=∴ 不等式可化为()()21f x f x >-(|2|)(|1|)f x f x >-∵ 对于任意不等实数，，不等式恒成立， 1x [)20,x ∈+∞()()()()12120x x f x f x --<∴ 函数在上为减函数，又， ()f x [)0,+∞(|2|)(|1|)f x f x >-∴ ，|2||1|x x <-∴ ，113x -<<∴不等式的解集为()()21f x f x >-113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：C.二、多选题9．已知某扇形的周长为，面积为，则该扇形圆心角的弧度数可能是（）5cm 23cm 2A ．B ．C ．D ．433432【答案】AC【分析】设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解.【详解】设扇形的半径为，所对弧长为， r l 则有，解得或 251322r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩322r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩13r l =⎧⎨=⎩故或， 43l r α==3故选：AC10．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A ．与B ．与 ()f x x =()g x =()1f x x =+()211x g x x -=-C ．与 D ．与()xf x x =1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩()1f t t =-()1g x x =-【答案】CD【分析】根据函数相等的两要素：定义域和对应关系相同，进行判断.【详解】对于A ，，所以对应关系不相同，不是同一函数，A 错误；()g x x ==对于B ，定义域为，定义域为，定义域不相同，不是同一函()1f x x =+R ()211x g x x -=-{}|1x x ≠数，B 错误；对于C,当时，当时， 0x >()1xf x x ==0x <()1x f x x-==-所以，是同一函数，C 正确； ()1,01,0x xf x x x >⎧==⎨-<⎩对于D ，定义域都为，对应关系相同，是同一函数，D 正确， R 故选:CD.11．函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭23π24()g x ，下列说法正确的是（）()g xA ．是的一个周期B ．的图象关于直线对称 3π()g x ()g x 7π24x =-C ．在区间上单调递减D ．的图象关于点对称()g x ππ44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()g x π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】首先得到函数，计算函数的最小正周期，即可判断A ；再采用代入的()πsin 212g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭方法，根据三角函数的性质，判断BCD. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到函数()f x 23π24， ()23πππsin 2sin 224612g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦A.函数的最小正周期是，所以是的一个周期，故A 正确； 2ππ2=3π()g x B.当时，，的图象关于直线对称， 7π24x =-7πππ224122⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭()g x 7π24x =-故B 正确；C. 当，，当时，函数单调递增，当ππ44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π5π7π2,121212x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,12122x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，故C 错误；ππ7π2,12212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D. ，所以函数的图象关于点对称，故D 正πsin 2sin 00π12π2424g ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦-⎭-()g x π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭确. 故选：ABD12．已知函数，则下列结论正确的是（）e 1()e 1x x f x -=+A ．函数的定义域为 B ．函数的值域为 ()f x R ()f x ()11-，C ．函数是奇函数 D ．函数在上为减函数()f x ()f x R 【答案】ABC【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A ：因为，所以，所以函数的定义域为，故A 正确； e 0x >e 10x +>()f x R B ：，由 e 1()1e 12e 1x x xf x -==-++1e 0e 1101e 1x xx >⇒+>⇒<<+，2220111e 1e 1x x ⇒-<-<⇒-<-<++所以函数的值域为，故B 正确；()f x (1,1)-C ：因为， 11e 11e e ()()1e 1e 11exxx x xx f x f x ------====-+++所以函数是奇函数，所以C 正确；()f x D ：因为函数是增函数，因为，e 1x y =+e 11x y =+>所以函数是减函数， 2e 1x y =+所以函数是增函数，2e 1x y =-+故是增函数，故D 不正确， 2()1e 1xf x =-+故选：ABC.三、填空题 13．__________． ln 24elog 2+=【答案】52【分析】利用对数运算性质即可求解【详解】ln 24215elog 22log 222+=+=故答案为：5214．已知幂函数为偶函数，则该函数的增区间为_______．()()2155m f x m m x +=-+【答案】[)0,∞+【分析】根据幂函数的定义，结合偶函数的定义求出，然后利用幂函数的性质进行求解m 【详解】因为是幂函数，()21()55m f x m m x +=-+所以或，25511m m m -+=⇒=4m =当时，，因为，所以函数是奇函数，不符合题意， 4m =5()f x x =5(())f x x f x -=--=5()f x x =当时，，因为，所以函数是偶函数，符合题意， 1m =2()f x x =2()()f x x f x -==2()f x x =故该函数的增区间为 [)0,∞+故答案为：[)0,∞+15．某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参2615136加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______． 4【答案】4【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出A B C 结果.【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和物理A B C 小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如x 0图所示：由图可知：，解得， 206341140x x x -+++++-=4x =所以同时参加数学和化学小组有人. 4故答案为：416．已知都是正实数，满足，记，设，则,x y 1221x y +=+{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩{}max 2,2M x xy =M的最小值为_____________. 【答案】2【分析】将用表示，写出分段函数的表达式，利用函数的单调性求最小值即可求解. y x 【详解】由，因为， 222(1)x xy x y -=-,0x y >由可得，因为，所以，1221x y +=+121=-y x 0y >12x >所以当，即时，， 01y <≤1x ≥22x xy >当，即时，， 1y >112x <<22x xy <所以，因为， {}2,1max 2,212,12x x M x xy xy x ≥⎧⎪==⎨<<⎪⎩121=-y x 所以，2,121,1212x x M x x x ≥⎧⎪=⎨<<⎪-⎩当时，， 1x ≥22M x =≥当时，单调递减， 112x <<221111212121x x M x x x -+===+---所以， 1111221211M x =+>+=-⨯-所以的最小值为2， M 故答案为:2.四、解答题17．已知集合，，.{}212270A x x x =-+≤{}27B x x =<<{}211C x m x m =-<<+(1)求；,A B A B (2)若，求m 的取值范围. B C C = 【答案】(1) [)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=(2) 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求出集合A ，由交集和并集的定义即可得出答案；（2）由可得，讨论和，求解即可.B C C = C B ⊆C =∅C ≠∅【详解】（1），{}212270A x x x =-+≤}{=39x x ≤≤{}27B x x =<<所以. [)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=（2）因为，所以， B C C = C B ⊆若，则，解得：，C =∅211m m -≥+2m ≥若，则，解得：， C ≠∅221132122198m m m m m m m <⎧-<+⎧⎪⎪⎪-≥⇒≥⎨⎨⎪⎪+≤⎩≤⎪⎩322m ≤<所以m 的取值范围为：.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18．在平面直角坐标系中，已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点.αx (4,3)P -(1)求的值；sin(3)2sin 22cos(2)ππααπα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-(2)求旳值.2cos2cos sin2ααα+【答案】(1) 118(2) 78-【分析】（1）由三角函数定义求出，用诱导公式化简求值式后代入可得； cos ,sin αα(2)根据正、余弦的二倍角公式进行化简,代入角的三角函数值即可. α【详解】（1）由三角函数定义可得:，5r ==所以，. 3sin 5y r α==4cos 5x r α==-.38sin(3)2sin sin 2cos 1125542cos(2)2cos 825ππααααπαα⎛⎫+++--⎪-+⎝⎭===-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭（2）. 22222421cos 22cos 175cos sin 2cos 2sin cos 84342555ααααααα⎛⎫⨯-- ⎪-⎝⎭===-++⎛⎫⎛⎫-+⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．已知定义在上的函数.R 1()22xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)判断函数的奇偶性；()y f x =(2)若不等式对任意恒成立，求实数m 的取值范围． 2()(1)0f x mx f x ++->x ∈R 【答案】(1)奇函数； (2) {}13m m -<<【分析】（1）利用奇偶函数的定义即可判断；（2）利用函数的单调性和奇偶性列不等式即可【详解】（1）因为， ()11()2222xxxx x f f x --⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝=-⎭=-⎭⎝所以函数是定义在上的奇函数；()y f x =R （2）中，函数单调递减，单调递增，故在上单调1()22x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2x y =1()22xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R 递增，故原不等式化为，2()(1)(1)f x mx f x f x +>--=-∴即恒成立， 21x mx x +>-2(1)10x m x +-+>∴，解得， 2(1)40m ∆=--<13m -<<所以实数m 的取值范围 {}13m m -<<20．已知函数．2()cos 2cos f x x x x =+(1)求函数的对称轴；()f x (2)当时，求函数的值域．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1) ππ(Z);62k x k =+∈(2) []0,3【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式把函数解析式化简为，用整体代入π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭法求函数的对称轴； ()f x （2）根据的范围，确定的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的值域. x π26x +【详解】（1），2π()cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭由，得函数的图像的对称轴方程ππ2π(Z)62x k k +=+∈()f x ππ(Z);62k x k =+∈（2）时，有，得，π02x ≤≤ππ7π2666x ≤+≤1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴，得，π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭所以当时，函数的值域为.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x []0,321．某手机生产商计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本20万元，每生产（千）部手机，需另投入成本万元，且x ()R x ，由市场调研知，每部手机售价0.05万元，且全年内生产的手机当年210025()90051600,25x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，能全部销售完.(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千）部的函数关系式；（利润销售额成()W x x =-本）(2)2023年产量为多少时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?【答案】(1) ()24020,025900600,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩(2)当(千)部时，最大利润是520万元.30x =【分析】(1)利润销售额另投入成本-固定成本，分段计算整理即可；=-(2)分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值.【详解】（1）当，，025x <<()220.05100010204020W x x x x x x =⨯---=-+-当，， 25x ≥()9009000.0510005160020580W x x x x x x=⨯--+-=--+故， ()24020,025900600,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩（2）当，对称轴，，025x <<20x =()22020402020380W =-+⨯-=当，， 25x ≥()900580580520380W x x x =--+≤-=>当且仅当，即时取等； 900x x=30x =综上当(千)部时，最大利润是520万元.30x =22．设函数.()2f x x a x =--+(1)当时，求函数的值域；2a =()f x (2)记函数，若方程有三个不同的实数根，，()()()22g x x f x x a x =+++-()0a >()2g x =1x 2x ，且，求正数的取值范围；3x 123x x x <<a (3)在的条件下，若恒成立，求实数m 的取值范围．()22310x x mx ->【答案】(1)；[]4,4-(2)；13a <<(3).2m ≥-【分析】（1）代入，分、、三种情况，去掉绝对值，得到函数解析式，2a =<2x -22x -≤<2x ≥求出各段的值域，即可得出结果；（2）求出.观察可知分为和两种情况，首先解出的解析()2g x x x a a x =-+-02a <≤2a >()g x 式，然后得出函数图象，根据图象得出函数的单调性，以及关于的不等式，求解不等式即可；a（3）由（2）分为和两种讨论.因为始终是方程的两根，所以12a <≤23a <<12,x x 222x a -+=，则原不等式可转化为，即恒成立，只需求出的范围即可.结合图120x x +=()230x x m +>3m x >-3x 象，分类讨论，即可得到实数m 的取值范围．【详解】（1）当时，.2a =()22f x x x =--+当时，；<2x -()224f x x x =-++=当时，，则；22x -≤<()()222f x x x x =--+=-()44f x -≤<当时，.2x ≥()()224f x x x =--+=-所以，，即函数的值域.()44f x -≤≤()f x []4,4-（2）.()()()222g x x f x x a x x x a a x =+++-=-+-①当时：02a <≤当时，；x a <()()()222g x x a x a x x a =-+-=-+当时，；2a x ≤≤()()()2222g x x x a a x x ax a =-+-=-+当时，.2x >()()()222g x x x a a x x a =-+-=-所以.()2222,22,22,2x a x a g x x ax a a x x a x ⎧-+<⎪=-+≤≤⎨⎪->⎩作图如图1则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,a (),a +∞所以应有，即，解得， ()()022g g a ⎧>⎪⎨<⎪⎩22222a a a >⎧⎨-+<⎩1a >又，所以；02a <≤12a <≤②当时：2a >当时，；2x <()()()222g x x a x a x x a =-+-=-+当时，；2x a ≤≤()()()2222g x x a x a x x ax a =-+-=-+-当时，.x a >()()()222g x x x a a x x a =-+-=-所以.()2222,222,22,x a x g x x ax a x a x a x a ⎧-+<⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩作图如图2则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,2()2,+∞所以应有，即，解得， ()()0222g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩22442242a a a a >⎧⎨-+-=-<⎩13a <<又，所以.2a >23a <<综上所述，正数的取值范围是.a 13a <<（3）由（2）可知，①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 12a <≤()g x (),0∞-()0,a (),a +∞因为，所以为方程的两根，则，，，是()2422g a =-<12,x x 222x a -+=120x x +=10x <20x >3x 方程的正根，则222x a -=3x =则由可转化为恒成立，即恒成立，2310x x mx ->()230x x m +>0m >m>因为，所以，则，则，所以； 12a <≤4226a <+≤2<≤2≤-2m ≥-②当时，同理可得为方程的两根，则，，， 23a <<12,x x 222x a -+=120x x +=10x <20x >在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,2()2,+∞， ()()22211g a a a a =-=--（ⅰ）当时，是方程的较小根，()2g a ≥1a ≤3x 2222x ax a -++=在上单调递3x a =()11a =-1=a ∈减，则，. (31x ⎤∈⎦)31,2x ⎡-∈-⎣则由可转化为，即恒成立，即恒成立，所以； 2310x x mx ->()230x x m +>30x m +>3m x >-2m ≥-（ⅱ）当时，即时，是方程的正根，则 ()2g a <21a <<3x 222x a -=3x =则由可转化为恒成立，即恒成立，2310x x mx ->()230x x m +>0m >m >因为，所以，则21a <<+6224a <+<+1<<1<<，所以m ≥综上所述，. 2m ≥-。

重庆名校高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则（） {}|24A x x =≤<{}3B x x =>A B = A ． B ． {}|2x x ≥{}|3x x >C ． D ．{}23x x ≤<{}|34x x <<【答案】D【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答.【详解】集合，，所以. {}|24A x x =≤<{}3B x x =>{}|34A B x x ⋂=<<故选：D2．命题p ：的否定是（） Q,R x x ∀∈∈A ． B ． R x Q x ∀∉∈，00Q,R x x ∃∉∈C ． D ． Q,R x x ∀∈∉00Q,R x x ∃∈∉【答案】D【分析】根据全称命题的否定为特称命题.【详解】根据全称命题的否定是特称命题知，命题的否定为， 00Q,R x x ∃∈∉故选:D.3．已知一扇形的半径为2，面积为4，则该扇形的圆心角的弧度数为（） A ． B ．C ．2D ．1π2π【答案】C【分析】根据扇形的面积公式和圆心角的弧度数公式求解.【详解】由扇形的面积公式可得可得，12S lr =4l =所以圆心角的弧度数为， 2lrα==故选:C.4．“双碳”战略倡导绿色、环保、低碳的生活方式.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，为了实现这一目标，中国持续推进产业结构和能源结构调整，大力发展可再生能源，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展机遇.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位:A·h ），放电时间t （单位:h ）与放电电流I （单位:A ）之间关系的经验公式，其中0n C I t =⋅为Peukert 常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流I =15A 时，放电时间t =28h ，则023lo 2g n =-当放电电流I=10A 时，放电时间为（）A ．14hB ．28.5hC ．29hD ．56h【答案】D【分析】根据给定的条件，列出方程，结合指数、对数运算计算作答. 【详解】，因为电池容量不变，则有，0332222log log n ==-00811205n n t ⨯=即有，03200log 23328(28(2856215102n n n t ⨯==⨯==⨯所以当放电电流I=10A 时，放电时间为56h. 故选：D5．已知函数且若，则实数a 的值等于（） 7,0()(0,,0xx x f x a a x -≤⎧=>⎨>⎩1)a ≠()()22f f =-A ．2B ．3CD ．4【答案】B【分析】利用分段函数求函数值即可求解.【详解】因为，所以，()()22,29f a f =-=29a =因为，所以， 0a >3a =故选:B.6．设（） sin cos θθ-=sin cos θθ⋅=A ． B ． C ．D ．1316-1332-13321316【答案】C【分析】由可直接构造方程求解.()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-⋅【详解】， ()2223sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 16θθθθθθθθ-=+-⋅=-⋅=. 13sin cos 32θθ∴⋅=故选：C.7．已知，且，则的最小值为（） ,a b R +∈23a b ab +=2a b +A ．3 B ．4 C ．6 D ．9【答案】A【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不23a b ab +=213a b +=2a b +()12123a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭等式可求最小值.【详解】因为，故，23a b ab +=213a b+=故， ()()1211221225543333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时等号成立， 1a b ==故的最小值为3. 2a b +故选：A.【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.8．已知为偶函数，若对任意，，总有()1y f x =+,1,)[a b ∈+∞()a b ≠()()()()af b bf a af a bf b +<+成立，则不等式的解集为（） ()()24f x f <A ． B ． ()1,2-()2,2-C ．D ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】根据题意确定函数的单调性和对称轴即可求解.【详解】由可得， ()()()()af b bf a af a bf b +<+()()()()af b bf b af a bf a -+<-即，也即， ()()()()a b f b a b f a -<-()()()0a b f b f a ⎡⎤--<⎣⎦当时，，当时，， 1a b >≥()()f a f b >1b a >≥()()f b f a >所以函数在单调递增，()f x [)1,+∞又因为为偶函数，所以的图象关于对称， ()1y f x =+()f x 1x =所以在单调递减，且， ()f x (],1-∞(4)(2)f f =-所以由得解得, ()()24f x f <224x -<<12x -<<故选:A.二、多选题9．下列选项中与的值不恒相等的有（） cos θA ．B ．()cos θ-()cos πθ+C ．D ．πsin 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭3sin π2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】利用诱导公式逐项化简，可得出合适的选项.【详解】，，，.()cos cos θθ-=()cos πcos θθ+=-πsin cos 2θθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3sin πcos 2θθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选：BCD.10．已知函数，下列说法中正确的是（） ()32log 11f x x =-+A ． B ．无最大值()132f =()f x C ．为偶函数 D ．若，则()f x ()()223f m f m ≤+[]1,3m ∈-【答案】BD【分析】换元法求出函数的解析式，即可求函数值求解A ，根据函数表达式求值域可求解B ，根据奇函数的定义求解C ，根据函数的单调性解不等式求解D. 【详解】设，则，所以， 3log x t =3t x =()2131t f t =-+所以，所以，A 错误； ()2131x f x =-+()213312814f =-=因为，所以，所以， 30x >311x +>20231x <<+所以，无最大值，B 正确； ()()211,131xf x =-∈-+定义域为，()2311,3131x x x f x -=-=++R 且，所以函数为奇函数，C 错误；()3113()3113x xx xf x f x -----===-++因为单调递增，()2131x f x =-+所以由可得()()223f m f m ≤+223m m ≤+即解得，D 正确， 2230m m -≤-[]1,3m ∈-故选:BD.11．若，，则（） 0.12a = 1.152b =A ．B ． 20a b -<()1a a b +<C ．D ．232a <a b +<【答案】ACD【分析】根据指数幂运算律及指数函数的单调性,基本不等式等分别判断即可.【详解】对于,,,故正确;A 1.1 1.10.1522222b a =⨯=<=20a b -<A对于B ，因为，故B 不正确； 2(1)a a a a +=+>1323331020202222(2)222a ==⨯=⨯= 1.152b ==对于,,,,故正确;C ()1220.10.25222a ===()()5551552253243322,,2322aa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∴< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭232a <C对于D ，故D 正确；=a b >=+故选：ACD 12．已知函数，则（） ()()()()212111ee e e 3x x x xf x k ----=+-++A ．存在，使得有1个零点 B ．存在，使得有2个零点 R k ∈()f x R k ∈()f x C ．存在，使得有3个零点 D ．存在，使得有4个零点R k ∈()f x R k ∈()f x 【答案】AB【分析】根据给定条件，利用平移、换元的方法求出一元二次方程在指定区间上的根，再结合函数的性质推理判断作答.e e x x t -=+【详解】函数向左平移1个单位得，而定义域为R ， ()f x 223)()e e (e e x x x xg x k --=+-++()f x 因此函数在R 上零点个数问题等价于函数在R 上零点个数问题，()f x ()g x 显然，即函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，22()e e (e e 3())x x x x g x k g x ---=+-++=()g x令，函数中，函数在上递增，，在e e 2x x t -=+≥=1e exx t =+e x u =(,0)-∞01u <<(0,)+∞上递增，，1u >而在上单调递减，在上单调递增，因此在上递减，在1t u u =+(0,1)(1,)+∞1e exx t =+(,0)-∞(0,)+∞上递增，，因此函数的零点转化为方程在上根的2222e e (e e 22)x x x x t --+=+-=-()g x 210t kt -+=[2,)t ∈+∞问题，当时，方程化为，显然在上单调递增，，[2,)t ∈+∞210t kt -+=1k t t =+1k t t =+[2,)t ∈+∞52k ≥方程在上有根当且仅当， 210t kt -+=[2,)t ∈+∞52k ≥当时，，此时，即函数有唯一零点0，函数有唯一零点1，A 正确； 52k =2t =0x =()g x ()f x 当时，存在唯一，使得成立，此时，即， 52k >02t >20010t kt -+=0e e x x t -+=20e e 10x xt -+=解得，因此或e x=e x=0>x =， x =所以当时，函数有两个零点，函数有两个零点，B 正确； 52k >()g x ()f x 显然不存在实数，使得函数有3个零点和4个零点，选项C ，D 不正确. k ()f x 故选：AB【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作()0f x =出函数的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个()f x 函数的图象，观察它们的公共点个数.三、填空题13．__________. 3log 702lg 53lg 4-++=【答案】8【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算计算作答.【详解】. 3log 702lg 53lg 42(lg 5lg 2)17268-++=+-+=+=故答案为：8 14．若方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围为___________. 1cos 2a x -=π,π3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦a 【答案】23a ≤<【分析】先求出时的值域，采用数形结合法可求的范围，进而得解.,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦cos x a 【详解】作出，与的大致图像，如图所示：cos y x =,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦12a y -=由图像可知，当，即时,，的图像与的图像有两个11122a -≤<23a ≤<cos y x =,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦12a y -=交点，即方程在时有两个不同的实数根. 1cos 2a x -=,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦故答案为:23a ≤<15．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其[]y x =中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，例如，，当时，函数[]2.32=[]0.51-=-()1.5,2x ∈-[]y x x =的值域为__________. 【答案】[0,2)(2,3) 【分析】利用高斯函数的定义，分段求出函数取值集合，再求并集作答.【详解】依题意，当时，，则，当时，，则1.51x -<<-[]2x =-2(2,3)y x =-∈10x -≤<[]1x =-，(0,1]y x =-∈当时，，则，当时，，则， 01x ≤<[]0x =0y =12x ≤<[]1x =[1,2)y x =∈所以当时，函数的值域为. ()1.5,2x ∈-[]y x x =[0,2)(2,3) 故答案为：[0,2)(2,3) 16．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________.()122log log ()f x x ax =1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭a 【答案】[)16,+∞【分析】换元法转化为二次函数的给定区间的单调性求解.【详解】， ()()()222222222log log ()log log log log log log f a x x ax x x a x x =-=⋅-+=--令，为增函数，[)2log 2,t x =∈-+∞所以，所以在单调递减，()()22log g t t a t =--()()22log g t t a t =--[)2,t ∈-+∞所以，即，解得， 20log 22at =-≤-2log 4a ≥16a ≥故答案为:.[)16,+∞四、解答题17．已知集合，.{}2|230A x x x =--<()(){}|10B x x m x m =--+≥(1)当时，求；1m =A B ⋃(2)若是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. x A ∈x B ∈【答案】(1) R (2)或 4m ≥1m ≤-【分析】（1）解一元二次不等式，再根据并集运算求解；（2）根据充分不必要关系确定真包含于即可求解.A B 【详解】（1）由解得，所以， 2230x x --<13x -<<{}|13A x x =-<<由解得或， ()()10x m x m --+≥1x m -≤x m ≥所以或， {|1B x x m =≤-}x m ≥当时，所以或， 1m ={|0B x x =≤}1x ≥所以.A B =R （2）因为是的充分不必要条件，所以真包含于， x A ∈x B ∈A B 由（1）知，或， {}|13A x x =-<<{|1B x x m =≤-}x m ≥所以或，即或.13m -≥1m ≤-4m ≥1m ≤-18．函数的最小正周期为.()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(1)求函数在上的单调递增区间； ()f x []0π，(2)当时，求的值域.ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π2π0,,,π63⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2) [1,2]-【分析】（1）先根据周期可求出，从而可求出函数的单调增区间，然后与取交集即得ω()f x []0,π解；（2）根据整体代换法即可求出值域．【详解】（1）因为的最小正周期，所以，故.()f x πT =2π2T ω==π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，则，πππ2π22π()262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ()36k x k k -+≤≤+∈Z 即的单调递增区间为.()f x πππ,π()36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 而，所以函数在上的单调增区间是．[]0,πx ∈()f x []0,ππ2π0,,,π63⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）当时，，则，ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π2,663t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦1sin ,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以，即的值域为.()[1,2]f x ∈-()f x [1,2]-19．已知指数函数的图象过点 ()(0,1)xf x a a a =>≠1(4,)16(1)设函数，求的定义域和值域；()=g x ()g x (2)已知二次函数的图象经过点，，求函数的单调递增区间. ()h x (0,0)()()121+=-+h x h x x (())f h x 【答案】(1)定义域为,值域为. [)0,∞+[)0,1(2). [)1,+∞【分析】(1)根据定义域的定义解指数不等式求解定义域，再根据指数型复合函数的单调性和最值求值域；(2)根据指数型复合函数的单调性求解.【详解】（1）由题可得，解得或（舍），()4116f x a ==12a =12a =-所以，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x 由解得，所以定义域为，1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭0x ≥[)0,∞+因为，所以，所以，0x ≥1012x⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭10112x⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭所以. ()g x =[)0,1（2）设，因为函数的图象经过点， 2()h x ax bx c =++()h x (0,0)所以，所以， (0)0h c ==2()h x ax bx =+又因为，()()121+=-+h x h x x 所以，22(1)(1)21a x b x ax bx x +++=+-+即，()()22221ax a b x a b ax b x ++++=+-+所以，所以，所以，221a b b a b +=-⎧⎨+=⎩12a b =-⎧⎨=⎩2()2h x x x =-+所以，221(())2x xf h x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在单调递增，单调递减，2()2h x x x =-+(],1-∞[)1,+∞因为指数函数单调递减，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以在单调递减，单调递增，221(())2x xf h x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭(],1-∞[)1,+∞所以的单调递增区间为.221(())2x xf h x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭[)1,+∞20．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备.已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理万吨垃圾需增加万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益万元与每月垃圾11()g x 处理量（万吨）满足如下关系：（注：总收益总成本利x ()2233100,0105025,10x x x g x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨+>⎪⎩=+润）.(1)写出每台设备每月处理垃圾获得的利润关于每月垃圾处理量的函数关系； ()f x x (2)当该设备每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1) ()2232105,0105020,10x x x f x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨-+>⎪⎩(2)当该设备每月垃圾处理量为万吨时，所获利润最大，最大利润为万元 823【分析】（1）根据利润总收益总成本可直接得到函数关系式；=-（2）分别在和的情况下，根据函数单调性求得最大值，由此可确定结果.010x ≤≤10x >()f x 【详解】（1）当时，；010x ≤≤()()222331005232105f x x x x x x =-+--+=-+-当时，； 10x >()()505025520f x x x x x=+-+=-+. ()2232105,0105020,10x x x f x x x x ⎧-+-≤≤⎪∴=⎨-+>⎪⎩（2）当时，， 010x ≤≤()()222321052823f x x x x =-+-=--+则当时，； 8x =()max 23f x =当时，单调递减，； 10x >()5020f x x x=-+()()1010515f x f ∴<=+=综上所述：当该设备每月垃圾处理量为万吨时，所获利润最大，最大利润为万元. 82321．已知函数. ()31log ax f x x+=(1)若关于x 的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围；()()3log 21f x ax a =-++a (2)设，若，函数在区间上的最大值和最小值之差不超过，求实数的0a >11,32t ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭()f x [],1t t +1a 取值范围.【答案】(1)或10a -<≤1a =(2) 38a ≥【分析】（1）根据题意可得，即，再分，，1210ax a a x-++=+>()()110x ax --=0a =1a =1a ≠且三种情况讨论，从而可得答案.0a ≠（2）易得在上单调递减，则有，即，()f x [],1t t +()()11f t f t -+≤3311log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即，令，则，求出的最大值，进而求出答案. ()1221t a t t -≥+12r t =-1(0,3r ⎤∈⎥⎦()1221t t t -+【详解】（1）由题意有：. ()331log 21log ax a a x ⎛⎫-++=+ ⎪⎝⎭所以，① 1210ax a a x-++=+>可得，即， ()2110ax a x -++=()()110x ax --=当时，方程的解为，代入①式，成立，0a =1x =当时，方程的解为，代入①式，成立，1a =1x =当且时，方程的解为， 1a ≠0a ≠11,x x a==若为方程①的解，则，即；1x =10a +>1a >-若为方程①的解，则，即， 1x a=0a a +>0a >要使方程①有且只有一个解，则.10a -<≤综上所述，的取值范围为或.a 10a -<≤1a =（2）令，在上递减， 1u a x=+[],1t t +由函数为增函数，3log y u =所以在上单调递减，()f x [],1t t +因为函数在区间上的最大值和最小值之差不超过1，()f x [],1t t +则有，()()11f t f t -+≤即， 3311log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭所以，即， 11031a a t t ⎛⎫<+≤+ ⎪+⎝⎭()1221t a t t -≥+令，则， 12r t =-11,32t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭1(0,3r ⎤∈⎥⎦， ()22234341221r t t t r r r r-∴==++-+-在在单调递减， 3y r r =+ 1(0,3r ⎤∈⎥⎦328,3r r ∴+≥ 23384y r r∴=≤+-综上，. 38a ≥22．已知函数，，.若曲线与恰有一个交点且交点横()g x axb =+()21h x x =+()()()g x f x h x =()g x ()h x 坐标为1.(1)求的值及；,a b ()f x (2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论；()f x (0,1)(3)已知，且，若，试证:.()12,0,x x ∀∈+∞m n <()()f m f n =2m n +>【答案】(1),. 2,0a b ==()221x f x x =+(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据点在图象上，以及交点的个数利用判别式求解；(2)根据单调性的定义求解；(3)将问题转化为求证即证，即证明，再转化为求证，也即2n m >-()()2f n f m <-()()2f m f m <-，构造，讨论单调性和最值求解. 22201(2)1m m m m --<+-+222()1(2)1x x x x x ϕ-=-+-+【详解】（1）因为，所以交点的坐标为，()1112h =+=(1,2)所以，()12g a b =+=又因为曲线与恰有一个交点，()g x ()h x 所以联立，可得，()g x ax b =+()21h x x =+210x ax b -+-=则，又因为，所以，24(1)0a b ∆=--=2a b +=2440a a -+=解得，所以，则. 2,0a b ==()2g x x =()221x f x x =+（2）判断在上单调递增，证明如下： ()221x f x x =+(0,1)假设，1201x x <<<， ()2212121221212122222221212112222()(1)()()11(1)(1)(1)(1)2x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x +-----=-==++++++因为，所以，，则1201x x <<<120x x -<121x x <1210x x ->所以，即， 12121222122()(1)()()0(1)(1)x x x x f x f x x x ---=<++12()()f x f x <所以在上单调递增.()f x (0,1)（3）假设，121x x <<， ()2212121221212122222221212112222()(1)()()11(1)(1)(1)(1)2x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x +-----=-==++++++因为，所以，，则121x x <<120x x -<121x x >1210x x -<所以，即， 12121222122()(1)()()0(1)(1)x x x x f x f x x x ---=>++12()()f x f x >所以在上单调递减，()f x (1,)+∞因为，若，所以，则，m n <()()f m f n =()(0,1),1,m n ∈∈+∞()21,m -∈+∞要证，即证，即证明，2m n +>2n m >-()()2f n f m <-因为，所以即证()()f m f n =()()2f m f m <-代入解析式得，即， 2222(2)1(2)1m m m m -<+-+22201(2)1m m m m --<+-+令， 222()1(2)1x x x x x ϕ-=-+-+由（2）可知函数在上单调递增， ()221x f x x =+(0,1)所以在上单调递增， 21x y x =+(0,1)根据复合函数的单调性可知在上单调递减， 22(2)1x y x -=-+(0,1)所以在上单调递增，所以 222()1(2)1x x x x x ϕ-=-+-+(0,1)，即， ()(1)0x ϕϕ<=2221(2)1x x x x -<+-+从而，所以得证. 22201(2)1m m m m --<+-+2m n +>【点睛】关键点点睛：第（3）问中出现了双变量，构造对称关系并结合函数的单调性，将双变量问题转化为单变量是常用的方法，将问题转化求证为，()()2f m f m <-构造对称函数证明. 222()1(2)1x x x x x ϕ-=-+-+。

2022-2023学年重庆市七校联考高一上学期期末数学试卷带讲解

(2)根据(1)中的模型,使其小于等于0.08,化简解出的范围,再根据解出即可.
【小问1详解】
由题意得: , ,
当时, ,
即 ,解得 ,
所以 ,
故改良后所排放废气中含有的污染物数量的函数模型为 .
【小问2详解】
由(1)知, ,
整理得: ,即 ,
两边同时取常用对数,得: ,
整理得: ,
将代入,得 ,
（2）由的单调性结合函数零点存在定理求出实数的取值范围.
【小问1详解】
函数
因为，所以，解得
所以 .
由得
故函数的单调递增区间为，
由得
故函数的单调递减区间为 .
【小问2详解】
由（1）可知，
在上为增函数；在上为减函数
由题意可知：，即
解得，故实数的取值范围为 .
21.已知函数是定义在上的奇函数，当时，
故答案为：．
14.函数，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的取值代入对应的解析式计算即可求解.
【详解】因为，所以，பைடு நூலகம்
又，所以，
所以，
故答案为： .
15.关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性可得出不等式的解集中的整数，可得出关于实数a的不等式组，即可求解.
又因为，所以，解得，
因此实数的取值范围是 .
选择③：因为，而，且，，
所以或，解得或，
所以实数的取值范围是或 .
18.已知 .
（1）若为锐角，求的值.

2021-2022学年重庆市高一上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年重庆市高一上学期期末数学试题一、单选题 1．780︒=（） A ．116πB ．136πC ．113πD ．133π【答案】D【分析】根据给定条件利用角度与弧度互化关系直接转化计算作答. 【详解】因1180π=，所以137********3ππ︒=⨯=. 故选：D2．命题“0x ∃>，21x <”的否定是（） A ．0x ∃>，21x ≥ B ．0x ∀<，21x ≥ C ．0x ∀>，21x ≥ D ．0x ∃<，21x <【答案】C【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法写出结论作答. 【详解】命题“0x ∃>，21x <”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，命题“0x ∃>，21x <”的否定是0x ∀>，21x ≥. 故选：C3．已知集合()(){}230A x x x =-+<，(){}2log 11B x x =-<，则A B =（） A ．()1,2 B ．()1,3C ．()3,2-D ．()3,3-【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A ，解对数不等式化简集合B ，再用交集的定义直接计算作答.【详解】解不等式()()230x x -+<得：32x -<<，则有(3,2)A =-，解不等式()2log 11x -<得：012x <-<，即13x <<，则有(1,3)B =，所以(1,2)A B ⋂=. 故选：A4．“0x >且0y >”是“x y +≥的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由0x >且0y >，可得x y +≥由x y +≥0x =，0y ≥，即由x y +≥0x >且0y >.故“0x >且0y >”是“x y +≥的充分不必要条件. 故选：A.5．已知函数()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]1,3C ．[)3,+∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【分析】由题可得21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解之即得.【详解】∵()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，∴21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得13a ≤≤.故选：B.6．已知0.32=a ，0.43b =，0.2log 0.3c =，则（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数0,1进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a =>0.431b =>则有：,a c b c >>0.30.30.4233a =<<故有：b a c >> 故选：D7．已知1sin()33πα-=，则sin(2)6πα-=（）A ．79-B ．19-C ．19D ．79【答案】D【分析】利用诱导公式变形，再借助二倍角的余弦公式计算作答.【详解】依题意，1cos()cos[()]sin()62333ππππααα+=+-=--=-，所以27sin(2)sin[(2)]cos 2()[2cos ()1]632669πππππαααα-=+-=-+=-+-=.故选：D8．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，3BC =，7AD =，则该玉佩的面积为（）A ．49936πB ．49933πC ．496πD ．493π【答案】A【分析】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，根据相似三角形的性质求出3BO =，7AO =，进而得出OAD △为等边三角形，利用扇形的面积和三角形的面积公式即可求出结果.【详解】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，由//BC AD ，得OBC OAD ，所以BC BOAD AO=，又43AB CD BC ===，，7AD =, 所以374BO BO BO AB BO ==++，解得3BO =，所以7AO =，所以OAD △为等边三角形，则3AOB π∠=，故22114972236S r παπ==⨯⨯=扇形，11393sin 33232BOCSOB OC π=⨯⨯=⨯⨯=所以玉佩的面积为49936π故选：A二、多选题 9．函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象是由函数sin y x =的图象经过变换得到，则这个变换可以是（）A ．先将图象向左平移34π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 B ．先将图象向右平移54π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 C ．先将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，再将图象向左平移38π个单位 D ．先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移34π个单位【答案】ABC【分析】利用三角函数图象变换逐项判断即得. 【详解】对于A ，先将图象向左平移34π个单位得到函数3sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故A 正确；对于B ，先将图象向右平移54π个单位函数53sin sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故B 正确；对于C ，先将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数sin 2y x =的图象，再将图象向左平移38π个单位得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故C 正确；对于D ，先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数1sin 2y x =的图象，再将图象向左平移34π个单位得到函数13sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D 错误.故选：ABC.10．已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则下列关系一定正确的是（）A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈ B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈【答案】AB【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答. 【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，x U ∃∈，x A ∉且x B ∈，A 正确；因A B =∅，必有x A ∀∈，x B ∉，B 正确；若AUB ，则()()U U A B ⋂≠∅，此时x U ∃∈，[()()]U U x A B ∈⋂，即x A ∉且x B ∉，C 不正确；因A B =∅，则不存在x U ∈满足x A ∈且x B ∈，D 不正确. 故选：AB11．下列说法正确的是（） A ．若0a b >>，则22ln ln c a c b > B ．若0x >，则44x x+≥ C ．不等式2232x x-≥的解集为)3,⎡+∞⎣ D ．若2a b +=，则224a b +≥【答案】BD【分析】根据0c 判断选项A 的不等式即可；根据基本不等式的应用判断选项B 、D ；根据分式不等式和一元二次不等式的解法解出不等式，即可判断选项C. 【详解】A ：当0c 时，不等式不成立，故A 错误； B ：当0x >时，444x x x x +≥⨯=，当且仅当2x =时等号成立，故B 正确； C ：由题意知，0x ≠且20x >，不等式24222322303x x x x x-≥⇒--≥⇒≥或21x ≤-(舍去)，解得3x ≥3x ≤-C 错误；D ：由2020a b >>，得2222=22=4a b a b a b ++≥⨯，当且仅当2=2a b 即1a b ==时等号成立，故D 正确. 故选：BD12．已知α，β是一锐角三角形的内角，则下列不等关系一定正确的是（）A ．1sin sin 2αβD ．cos cos 2αβ+<【答案】BD【分析】令3παβ==可判断A ；由2παβ>-及110sin 222β<≤cos cos sin cos αβββ<可判断B ；由sin sin cos sin 2cos 4παββββ⎛⎫+>+=+ ⎪⎝⎭，可判断C ；由cos cos sin cos 2sin 4παββββ⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，可判断D.【详解】因为α，β是一锐角三角形的内角，所以0,2παβ<<，令3παβ==，所以31sin sin sinsin3342ππαβ==>，故A 错误；可得2παβ+>，2παβ>-，022ππβ<-<，因为022βπ<<，所以0sin 21β<≤， 110sin 222β<≤，11cos cos sin cos sin 222αββββ<=≤，故B 正确；sin sin cos sin 2cos 4παββββ⎛⎫+>+=+ ⎪⎝⎭，由02βπ<<得3444πππβ<+<，所以12cos 14πβ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，故C 错误；cos cos sin cos 2sin 4παββββ⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，因为12sin 24πβ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD. 三、填空题13．已知幂函数()f x 的图象如图所示，则()f x =______．（写出一个正确结果即可）【答案】2x -（答案不唯一）【分析】根据给定图象可得幂函数的性质，再结合性质写出函数式即可作答. 【详解】由幂函数图象知，函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且在(0,)+∞单调递减，于是得幂函数的幂指数为负数，而函数()f x 的图象关于y 轴对称，即幂函数()f x 是偶函数，则幂函数()f x 的幂指数为偶数，综上得：2()f x x -=. 故答案为：2x -14．将函数()f x 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 为奇函数，则()()02f f +=______．【答案】-2【分析】根据题意可得知()f x 与()g x 之间的关系式，然后利用函数的奇函数性质，计算可得答案.【详解】由函数()f x 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数()g x 的图象，可得：()(1)1g x f x =++ ，故()(1)1f x g x =--，所以()()02(1)1(1)1(1)(1)22f f g g g g +=--+-=-+-=-, 故答案为：-2.15．已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______．【答案】4【分析】先利用基本不等式实现积与和的转化，而后解一元二次不等式即可.【详解】解：由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为4. 故答案为：4.16．设{},? ,max ,,? .a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){}1max 2,42xf x x -=--，若关于x 的方程()f x t=有三个不相等的实数解，则实数t 的取值范围是______．【答案】24t <<【分析】根据函数新定义求出函数()f x 解析式，画出函数()f x 的图象，利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t 的范围.【详解】由题意知，令1242xx-=--，解得20x x x ==，，根据{}max a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，，得121220()4202x x x f x x x x x x--⎧≤⎪=--<<⎨⎪≥⎩，，，，作出函数()f x 的图象如图所示，由方程()0f x t -=有3个不等的根，得函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点，由图象可得，当24t <<时函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点，所以t 的取值范围为24t <<. 故答案为：24t << 四、解答题17．（1）求值：223log 34138log 27log 2427⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭；（2）已知角α的终边经过点()2,3P ，求()3cos sin sin 22παπαα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)52；(2)2113.【分析】(1)根据给定条件利用指数、对数运算法则，对数换底公式计算作答.(2)利用三角函数的定义求出tan α，再结合诱导公式、二倍角的正弦公式化简计算作答. 【详解】(1)22223log 3log 3322334121223log 3812log 27log 2()4[()](2)27log 2log 33-⋅+⋅=⋅+⋅2223log 314532log 392=⨯+⨯=-. (2)因角α的终边经过点()2,3P ，则由三角函数的定义得：3tan 2α=，所以()2223sin 2sin cos cos()sin sin 2sin (sin )2sin cos 2sin cos αααπαπαααααααα+-++=--+=+222233()2tan 2tan 21223tan 113()12ααα+⨯+===++. 18．已知函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)求不等式()12f x >在()0,π上的解集．【答案】(1)2[,](Z)63k k k ππππ++∈； (2)511,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数()f x 即可求解；(2)由题可得sin(2)06x π+<，再利用正弦函数性质即可求解.(1)∵()2sin cos f x x x x =∴11()(1cos2)2sin(2)226f x x x x π=-=-+，由3222,Z 262k x k k πππππ+≤+≤+∈，得2,Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈，即()f x 在2[,](Z)63k k k ππππ++∈上单调递增，所以函数()f x 单调递增区间是2[,](Z)63k k k ππππ++∈； (2) 由()12f x >得，11sin(2)262x π-+>，即sin(2)06x π+<，又()0,x π∈，()132,666x πππ+∈，∴()2,26x πππ+∈，即511,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴不等式()12f x >在()0,π上的解集为511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 19．已知函数()()10af x x x x=++>． (1)若()f x 的最小值为5，求正实数a 的值；(2)求证：“()f x 在()2,+∞上单调递增”的充要条件是“4a ≤”．【答案】(1)a =4； (2)证明见解析.【分析】(1)利用基本不等式求出()f x 的最小值为1，令其值为5，解方程即可； (2)先证充分性，再证必要性；对a 的取值分类讨论，利用复合函数和对勾函数的单调性分别讨论函数()f x 的单调性即可. (1)因为00x a >>，，所以()111a f x x x =++≥=，当且仅当ax x=即x =所以15=，解得4a =； (2)先证充分性：若4a ≤，当0a <时，()1af x x x=++，因为y x =在(2)+∞，上单调递增，ay x=在(2)+∞，上单调递增，所以()f x 在(2)+∞，上单调递增. 当0a =时，()1f x x =+，显然()f x 在(2)+∞，上单调递增. 当04a <≤时，()1af x x x=++由对勾函数的性质可知函数()f x 在)+∞上单调递增，由04a <≤，得02<，所以()f x 在(2)+∞，上单调递增. 再证必要性：若()f x 在(2)+∞，上单调递增，当0a <时，()1af x x x=++，因为y x =在(2)+∞，上单调递增，ay x=在(2)+∞，上单调递增，所以()f x 在(2)+∞，上单调递增，所以0a <符合题意. 当0a =时，()1f x x =+，显然()f x 在(2)+∞，上单调递增，所以0a =符合题意. 当0a >时，()1af x x x=++由对勾函数的性质可知函数()f x 在)+∞上单调递增，2，得04a <≤，综上所述，a 的取值范围为4a ≤.所以“()f x 在(2)+∞，上单调递增”的充要条件是“4a ≤”.20．已知0a >且1a ≠，函数()()2log a f x x x a =-+的定义域为R ．(1)求a 的取值范围；(2)讨论关于x 的不等式()1log a f x x >+的解集．【答案】(1)1(,1)(1,)4⋃+∞； (2)分类求解，答案见解析.【分析】(1)利用对数函数定域可得20x x a -+>恒成立，再用判别式列式计算作答.(2)由(1)的结论结合对数函数单调性分类讨论，求解关于x 的一元二次不等式作答.(1)因函数()()2log a f x x x a =-+的定义域为R ，则R x ∀∈，20x x a -+>成立，即有：140a ∆=-<，解得14a >，又0a >且1a ≠，因此，114a <<或1a >，所以a 的取值范围是1(,1)(1,)4⋃+∞. (2)由(1)知，114a <<或1a >，不等式2()1log log ()log a a a f x x x x a ax >+⇔-+>，当114a <<时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，于是得20x x a ax <-+<，即(1)()0x x a --<，解得1<<a x ，当1a >时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，于是得20x x a ax -+>>，即(1)()0x x a -->，且0x >，解得01x <<或x a >，所以，当114a <<时，原不等式的解集为(,1)a ，当1a >时，原不等式的解集为()()0,1,a ∞⋃+.21．如图有一块半径为4，圆心角为2π的扇形铁皮AOB ，P 是圆弧AB 上一点（不包括A ，B ），点M ，N 分别半径OA ，OB 上．(1)若四边形PMON 为矩形，求其面积最大值；(2)若PBN 和PMA △均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．【答案】(1)8； (2)[828,8)-.【分析】(1)连接OP ，令(0)2AOP πθθ∠=<<，用θ表示出矩形PMON 的面积，再借助三角函数计算作答.(2)利用(1)中信息，用θ表示出PBN 和PMA △的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答.(1)连接OP ，如图，令(0)2AOP πθθ∠=<<，因四边形PMON 为矩形，则cos 4cos ,sin 4sin OM OP PM OP θθθθ====，于是得矩形PMON 的面积4cos 4sin 8sin 2PMON S OM PM θθθ=⋅=⋅=，而02θπ<<，则当22=πθ，即4πθ=时，sin 2θ取最大值1，即有max ()8PMON S =，所以矩形PMON 面积最大值为8.(2)由(1)知，4cos ,4sin PN OM ON PM θθ====，则44sin BN θ=-，44cos AM θ=-，Rt PBN 和Rt PMA △的面积和：11114cos (44sin )4sin (44cos )2222PBN PMA S SS PN BN PM AM θθθθ=+=⋅+⋅=⨯⨯-+⨯⨯- 8(sin cos )16sin cos θθθθ=+-，令sin cos t θθ+=，即2)4t πθ=+，而3444πππθ<+<，则12t < 22222sin cos (sin cos )(sin cos )1t θθθθθθ=+-+=-，则2221()88(1)8888()102S f t t t t t t ==--=-++=--+，显然()f t 在2]上单调递减，当2t ，即4πθ=时，min ()(2)828f t f ==，而(1)8f =，因此，8288S ≤<，所以Rt PBN 和Rt PMA △的面积和的取值范围是：[828,8).【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.22．已知函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈．(1)若()f x 在[]0,1上的值域为[]4,6，求a 的值；(2)若关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，求a 的取值范围．【答案】(1)3a =． (2)13932⎛⎤ ⎥⎝⎦，．【分析】（1）二次函数()29f x x ax a =-+-的对称轴2a x =，讨论02a <， >12a ，012a ≤≤，分析二次函数的单调性，最值，建立方程组，求解即可；（2）将问题等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，利用基本不等式求得最小值，并得出取等号的条件，由此可得答案.(1)解：因为函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈，对称轴2a x =，且()09f a =-，()1102f a =-，21924a f a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当02a <时，函数()f x 在0,1上单调递增，所以 ()()0416f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即941026a a -=⎧⎨-=⎩，此时无解；当>12a 时，函数()f x 在0,1上单调递减，所以 ()()0614f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即961024a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =；当012a ≤≤，即02a ≤≤时，函数()f x 在2a x =取得最小值，所以42a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21944a a --+=，方程在02a ≤≤上无解，综上得：3a =；(2)解：关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，则()()2+910+1+222+1+1g x x x x x ==-≥=，当且仅当10+1+1x x =，即1x =，()2+9+1x g x x =在(1⎤-⎦上递减，在)1,+∞递增，而213<<，()21+9151+1g ==，()29g =，()2+913222+13g ==，()2+999133,5>>3+12233g ==，当a 13932⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式只有一个正整数解2x =，所以a 的取值范围为13932⎛⎤ ⎥⎝⎦，．。

2022-2023学年重庆市西南大学附属中学校高一上学期期末数学试题(解析版)

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9.若，，则下列四个式子中有意义的是（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据根式、指数（幂）的知识确定正确答案.
【详解】依题意，，，
，A选项符合题意.
对于，当为正偶数时，，式子没有意义，B选项错误.
由解得，即是的唯一零点，由此排除D选项，
所以正确的选项为C.
故选：C
6.定义若则中元素个数为（）
A.1B.2C.4D.5
【答案】D
【解析】
【分析】根据新定义中运算的性质，求出集合中的元素即可.
【详解】因为且，
当时，可能为，此时的取值为：；
当时，可能为，此时的取值为：；
西南大学附属中学高一上学期数学期末综合测试
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知则“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合图象以及充分、必要条件的知识确定正确答案.
当时，可能为，此时的取值为：；
综上可知：，所以集合中元素个数为5，
故选：D.
7.函数的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、三角函数的值域、二次函数的性质等知识确定正确选项.
【详解】
，
令，由于，所以，
则对于函数，
根据二次函数的性质有：当时，；当或时， .

重庆市部分区2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题(含解析)

重庆市部分区2022～2023学年度第一学期期末联考高一数学试题卷1.已知集合{}1,0,1A =-注意事项：1．考试时间：120分钟，满分：150分．2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．3．需要填涂的地方，一律用2B 铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm 签字笔．4．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．，{}210B x x =-<，则A B ⋃=（）A.{}11x x -≤≤ B.{}11x x -<< C.{}1,0,1- D.{}0【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念与运算即可求解.【详解】由题意知，{}21,0,1,{10}{11}A B x x x x =-=-<=-<<，所以{}11A B x x ⋃=-≤≤.故选：A.2.下列命题为真命题的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b <<，则22a b <C .若a b >，则a c b c->- D.若0a b <<，则11a b<【答案】C 【解析】【分析】举例说明即可判断选项ABD ，根据不等式的性质即可判断C.【详解】A ：若0a b >>，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；B ：若1,0.1a b =-=-，有22(1)(0.1)->-，不满足22a b <，故B 错误；C ：若a b >，则()()a c b c +->+-，即a c b c ->-，故C 正确；D ：若2,1a b =-=-，有112->-，不满足11a b <，故D 错误.故选：C.3.命题“0x ∀>，lg 1x x ≤-”的否定是（）A.0x ∃>，lg 1x x >-B.0x ∃≤，lg 1x x >-C.0x ∀>，lg 1x x >-D.0x ∀≤，lg 1x x >-【答案】A 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“0x ∀>，lg 1x x ≤-”的否定是：0x ∃>，lg 1x x >-.故选：A 4.函数()()21lg 12x f x x x =+--的定义域是（）A.12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭B.{}1x x >C.12x x ⎧≥-⎨⎩且}2x ≠ D.{1x x >且}2x ≠【答案】D 【解析】【分析】根据函数定义域得到不等式，解得答案.【详解】()()lg 12f x x x =+--定义域满足2102010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1x >且2x ≠.故选：D.5.2022πsin 9⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.32B. C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】2022πππ3sin sin 225πsin 9332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B6.角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（）A.35B.35-C.45D.45-【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=，又22sin cos 1αα+=53cos α==.故选：A7.函数223,0()(1),0x x x f x f x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则()2f =（）A.3 B.2C.6D.5【答案】C 【解析】【分析】直接根据分段函数解析式，代入计算即可．【详解】由分段函数解析式得，2(2)(1)(0)(1)(1)2(1)36f f f f ===-=--⨯-+=，故选：C ．8.若正实数x ，y 满足280x y xy +-=，则2x y+的最大值为（）A.25B.16 C.37D.19【答案】D 【解析】【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【详解】280,0,280,1,x y x y xy y x>>+-=∴+=()28==82182801x y x y x y y x x y ⎛⎫+++++≥+= ⎪⎝⎭+,221=189x y ∴≤+.故选:D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()224f x x x =+-的零点所在的区间是（）A.()2,0- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】AD 【解析】【分析】确定函数有两个零点，计算()20f ->，()00f <，()10f <，()20f >，得到答案.【详解】()224f x x x =+-，132330∆=+=>，故函数有两个零点，()282420f -=--=>，()040f =-<，故()2,0-上有零点；()121410f =+-=-<，()282460f =+-=>，故()1,2上有零点；故零点所在的区间为()2,0-，()1,2.故选：AD10.设x ∈R ，则2x <的一个必要不充分条件可能是（）A.3x <-B.3x < C.<4x - D.4x <【答案】BD 【解析】【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断，找出能使{}|2x x <是其真子集的范围即可.【详解】根据题意可知，{}|2x x <需满足是该条件范围的真子集，经逐一检验可知BD 符合题意.故选：BD11.已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=-，则下列结论正确的是（）A.θ为第二象限角B.4cos 5θ=-C.4tan 3θ=-D.2164sin cos 2cos 5θθθ-=-【答案】ABD 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.【详解】由同角三角函数平分关系可得，221sin cos 5sin cos 1θθθθ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，解得3sin 5θ=，4cos 5θ=-,因为4cos 05θ=-<，所以θ是第二象限角，故选项A ，B 正确，有同角三角函数商数关系可得，sin 3tan cos 4θθθ==-，故选项C 错误，因为222224sin cos 2cos 4tan 2164sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθ---===-++，故选项D 正确.故选：ABD .12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 312ex xf x -=+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中不正确的是（）A.()g x 是R 上的增函数B.()10g =C.()g x 的值域是{}2,1,0,1-- D.()g x 的值域是{}3,2,1,0---【答案】ABC 【解析】【分析】举反例得到ABC 错误，变换()()172212e x f x =-+，确定()13,2f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】对选项A ：()()20013g f ⎡⎤⎡⎤==-=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，()()e 311112e g f -⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()01g g =，错误；对选项B ：()()e 311112e g f -⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，错误；对选项C ：()()17ln 6ln 638g f ⎡⎤⎡⎤-=-=-=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，错误；对选项D ：()()e 31712e 2212e x x xf x -==-++，()12e 1,x +∈+∞，()13,2f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x 的值域是{}3,2,1,0---，正确；故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数()y f x =的图像经过A 和(4,)B k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】设()a f x x =，结合()f x经过A ，求出a ，再将(4,)B k 代入，即可求解．【详解】设()a f x x =，由()f x经过A，则3a =，解得12a =，所以12()f x x =，则1242k ===，故答案为：2．14.已知扇形的圆心角为4π，弧长为π，则扇形的面积为___．【答案】2π【解析】【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．【详解】扇形的圆心角为4π，弧长为π，则扇形的半径为r 4l ππα===4，面积为S 12=lr 12=⨯π×4＝2π．故答案为2π．【点睛】本题考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是基础题．15.不等式21208kx kx -+>对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是______．【答案】01k ≤<【解析】【分析】分类0k =和0k ≠两种情况讨论，对0k ≠时，利用二次函数的图像进行分析求解．【详解】当0k =时，108>，成立；当0k ≠时，一元二次不等式21208kx kx -+>对一切实数x 都成立，则2201Δ4208k k k >⎧⎪⎨=-⨯⨯<⎪⎩，解得001k k >⎧⎨<<⎩，即01k <<；综上所述，k 的取值范围是01k ≤<，故答案为：01k ≤<．16.已知函数()f x 是定义在[]13,1a a -+上的偶函数，则a 的值为______；当01x a ≤≤+时，()212f x x x =-，若()21log 2f m >，则m 的取值范围是______．【答案】①.1②.(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由偶函数定义域关于原点对称可得1a =，由偶函数性质利用换元法解不等式即可得22log 1m -≤-<或21log 2m ≤<，可求出m 的取值范围是(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【详解】依题意可知1310a a -++=，解得1a =；即当02x ≤≤时，()212f x x x =-，解不等式()21122f x x x =->可得1x >或12x <-，又因为02x ≤≤，可得12x <≤，当20x -≤<时，02x <-≤可得()()()()221122f x f x x x x x =-=---=+,解不等式()21122f x x x =+>可得12x >或1x <-，又因为20x -≤<,可得21x -≤<-；所以()21log 2f m >可得22log 1m -≤-<或21log 2m ≤<，解得1142m ≤<或24m <≤，即m 的取值范围是(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：1；(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题：本题共有6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1(113837272-⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3log 229log 2lg5lg 43log 3++-+．【答案】（1）π（2）2【解析】【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可．【小问1详解】原式133222211πππ3333⎡⎤⎛⎫=++--=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】原式312229log 22lg 52lg 22log 9=++-+()312lg5lg 2222=++-+312lg10222=+-+3122222=+-+=．18.已知U =R ，集合{}2230A x x x =-->，{}23100B x x x =-++>，求：（1）A B ⋂；（2）()U A B ⋂ð．【答案】（1）{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<（2）(){2U A B x x ⋂=≤-ð或}5x ≥【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可得集合,A B ，利用交集运算法则可得{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<；（2）求出{2U B x x =≤-ð或}5x ≥，即可得()U A B ð【小问1详解】易知()(){}{3103A x x x x x =-+>=>或}1x <-，又{}{}2310025B x x x x x =-++>=-<<；{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<【小问2详解】由（1）可知{2U B x x =≤-ð或}5x ≥，因此可得(){2U A B x x ⋂=≤-ð或}5x ≥19.已知角α满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件②：角α满足3sin 5α=；条件③：角α满足2217sin 8cos 1αα-=．（1）求tan α的值；（2）求2sin cos sin 1ααα-+的值．【答案】（1）3tan 4α=±（2）3tan 4α=时，原式2825=；3tan 4α=-时，原式425=；【解析】【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得3tan 4α=±；（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有tan α的式子代入计算即可求得结果.【小问1详解】条件①：因为角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得22315x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，45x =±，由三角函数的定义可得3tan 4α=±条件②：因为角α满足3sin 5α=，又因为22sin cos 1αα+=，即可得216cos 25α=所以4cos 5α=±，可得3tan 4α=±条件③：因为角α满足2217sin 8cos 1αα-=，又因为22sin cos 1αα+=，即22228co 1s sin cos 7sin αααα-=+，可得2216sin 9cos αα=又2cos 0α≠，∴29tan 16α=，即3tan 4α=±【小问2详解】易知2222222s i cos sin 11sin c i os n ααααααααααααα-+-++-+==+2222sin tan si cos cos 1c n ta s n o 1ααααααα+++=+=由（1）可知：3tan 4α=±，当3tan 4α=时，原式231tan 2849tan 1251161α+===+++；当3tan 4α=-时，原式231tan 449tan 1251161α-+===+++.20.已知函数24()x f x x+=．（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断()f x 在()2,+∞上的单调性，并用定义证明；（3）求()f x 在[]4,2--上的值域．【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）()f x 在()2,+∞上为增函数，证明见解析（3）[]5,4--【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义，求出定义域，代入()f x -即可得出判断；（2）直接根据单调性定义证明即可；（3）结合()f x 的奇偶性与单调性，即可求出在[]4,2--上的值域．【小问1详解】函数()f x 是奇函数．()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，因为()()()2244x x f x f x x x-++-==-=--，所以()f x 在()(),00,∞-+∞U 上是奇函数．【小问2详解】()f x 在()2,+∞上为增函数；证明：任取122x x >>，则()()2212121244x x f x f x x x ++-=-()()2212211244x x x x x x +-+=221222111244x x x x x x x x +--=()()()()1212211212121244x x x x x x x x x x x x x x -+---==，因为122x x >>，所以120x x >，120x x ->，1240x x ->，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >．故()f x 在()2,+∞上为增函数．【小问3详解】结合（1）（2）知()f x 在(,2]-∞-上为增函数，即()f x 在[]4,2--上为增函数，当4x =-时，()f x 取得最小值，且最小值为()164454f +-==--当2x =-时，()f x 取得最大值，且最大值为()44242f +-==--故()f x 在[]4,2--的值域为[]5,4--．21.2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员()0x x >户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为()193.50130x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x %．（1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值．【答案】（1）(]0,240（2）22【解析】【分析】（1）依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x 的取值范围为(]0,240；（2）化简表达式并利用基本不等式即可求出a 的最大值为22.【小问1详解】根据题意可知，需满足()()260 3.515% 3.5260x x -⨯⨯+⨯≥，化简为22400x x -≤，解得0240x <≤，故x 的取值范围为(]0,240【小问2详解】由题意得()()193.5260 3.515%130x a x x x ⎛⎫-≤-⨯⨯+ ⎪⎝⎭整理可得2602512260x a x ≤++，因为2602510260x x +≥=，当且仅当52x =时，取到最小值10；所以22a ≤，即a 的最大值为2222.已知函数()()()10,1x x f x a m a a a -=+->≠是奇函数，且过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）求实数m 和a 的值；（2）设()()()22log 220,1x x t g x tf x t t -⎡⎤=+->≠⎣⎦，是否存在正实数t ，使关于x 的不等式()0g x ≤对[]21,log 3x ∈恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2m =，2a =（2）存在，()0,1t ∈【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质可求得2m =，从而可得解；（2）由（1）可得()()()22log 22220,1x x x x t g x t t t --⎡⎤=+-->≠⎣⎦，再用整体换元思想将函数转化为二次函数，再分类讨论，讨论01t <<时和若1t >时函数的单调性，从而可解决函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立问题.【小问1详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2m =，检验符合.∴()x x f x a a -=-．又因为()f x 过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴()1312f aa --=-=-，∴2a =【小问2详解】由（1）得()22x x f x -=-，()()()22log 22220,1x x x x t g x t t t --⎡⎤=+-->≠⎣⎦因为[]21,log 3x ∈，令22x x k -=-，∴38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h k k tk =-+，∵函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立，∴（ⅰ）若01t <<时，函数()22h k k tk =-+在38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()log t g x h k =为减函数，则需函数()221h k k tk =-+≥恒成立，即210k tk -+≥恒成立．由于对称轴122t k =<，函数()h k 在区间38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴302h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，∴39310242h t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则136t ≤恒成立，故01t <<合题意（ⅱ）若1t >时，则需()2021h k k tk <=-+≤在38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则：①33223170267381243t t h t t t h ⎧⎧≤⎪⎪≤⎪⎪⎪⎪⎛⎫>⇒<⇒∈∅⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫≥≤⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩②2381632233Δ803131268731324t t t t t h t h t ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪=-<⎪-<<⎪⎪⎪⇒⇒∈∅⎛⎫⎨⎨≤ ⎪≥⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪⎪≤≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩③8162333131264180123t t h t t t h ⎧⎧≥≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫≤⇒≥⇒∈∅⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫<>⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩综上所述：故存在正数()0,1t ∈，使函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立【点睛】关键点睛：第二小问中，用换元法令22x x k -=-，将复杂函数()g x 转化为二次函数是关键，再利用分类讨论思想解决函数不等式上恒成立的问题，本题考查了函数的奇偶性，整体换元以及分类讨论思想，属于较难题.。

重庆市高一上学期数学期末考试试卷(I)卷(考试)

重庆市高一上学期数学期末考试试卷（I）卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）集合，或，则（）
A . 或
B .
C .
D . 或
2. （2分）设是R上的任意函数，下列叙述正确的是（）
A . 是奇函数
B . 是奇函数
（Ⅰ）若 ⊥ ，求tanθ的值．
（Ⅱ）求| + |的最大值．
20. （10分） (2018高二上·黑龙江期末) 中，内角的对边分别是，已知．
（1）求的大小；
（2）若，且，求面积的最大值．
21. （5分） (2016高二上·郸城开学考) 已知函数f（x）=2cos2（x﹣ ）﹣ sin2x+1
（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；
（2）若，且，求与的夹角θ．
18. （10分）已知sinα+cosα=﹣ ．
（1）求sin（ +α）cos（ ﹣α）的值；
（2）若＜α＜π，求 + 的值．
19. （5分） (2017高一下·双流期中) 已知向量 =（sinθ，1）， =（1，cosθ），﹣ ＜θ ．
C . 若| + |=| |﹣| |，则存在实数λ使得 =
D . 若存在实数λ使得 = ，则| + |=| |﹣| |
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）在平面直角坐标系xOy中，已知 =（3，﹣1）， =（0，2）．若 • =0， =λ ，则实数λ的值为________
14. （1分） (2018高二上·会宁月考) 若函数的定义域为，则实数的取值范围是________.

重庆市第一中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)

重庆市第一中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}133xA x =≤≤，{}1,0,1B =-，则A B = （）A ．{}1,0-B ．{}1,1-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴，终边过点()1,3P -，则sin 2cos αα+=（）A ．B ．10-C ．10D ．103．“1m =”是“幂函数()22133mm y m m x--=-+在()0,∞+上单调递减”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．既不充分也不必要D ．充要4．已知函数()f x 的定义域为[]1,3，则函数()()21g x f x =-（）A ．(]1,2B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]1,5D ．4,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化．下列选项中，既是奇函数，又在定义域上是增函数的是（）A ．2121x xy -=+B ．32y x =C ．π2cos 2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1y x=-6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x x --=+，则()f x =（）A ．13x +B ．13x +C ．13x +D ．1x +7=（）A ．1BCD8．已知函数()33222025320252025log 2x x f x x --⎫=-+-⎪⎪⎭有唯一零点0x ，若016a f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4log 5b f =，31log 4c f⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b>>二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．ππsin sin 108⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．第一象限角一定是锐角C ．在与640︒角终边相同的角中，最大的负角为80-︒D ．sin1cos20⋅>10．已知函数()2cos f x x =，则（）A ．函数()f x 的最小正周期2πT =B ．函数()f x 在5π,3π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()f x 在3ππ,44⎛⎫- ⎝⎭上的值域为(D ．函数()f x 的图像关于直线2025πx =对称11．已知函数()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，且满足对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 1f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则（）A ．()22f =B ．若关于x 的方程()f x m =（0m >）有2个不相等的实数根12,x x ，则1214x x =C ．若函数()223f x ax -+的值域为R ，则实数a 的取值范围为(D ．若函数()()()2,1,1a x x g x af x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意的实数12,x x ，且12x x ≠，都有()()()12120g x g x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值范围为[)1,212．若对任意的实数0a b >>，都存在以a b +，为三边长的三角形，则正实数p 的可能取值为（）A ．12B ．1C ．32D ．2三、填空题13．已知扇形的弧长为4π3，圆心角为π3，则该扇形的面积为______．14．tan3tan42tan3tan42++︒⋅︒︒︒=______．15．定义在R 上的函数()f x 满足()()πsin f x f x x +-=，且4π132f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()42f x f x -=+；②函数()1f x +为偶函数；③当[]1,3x ∈时，21,12()69,23x x f x x x x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，若关于x 的不等式()2log 1m x f x -≤的整数解有且仅有6个，则实数m 的取值范围是______．四、解答题17．（1）已知tan 2α=，求1sin cos αα⋅的值；（2）计算：()(1lg2330.06410log log ---+．18．已知函数()ππsin cos sin 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求()f x 的单调递增区间．19．已知()()()3πtan πsin cos 2πcos 2x x x f x x ⎛⎫-⋅+⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)若θ是ABC 的一个内角，且()12f θ=-，求θ的值；(2)已知π3π24βα<<<，()1213f αβ-=，()π325f αβ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．20．已知函数()x xf x a a -=-（0a >且1a ≠）．(1)判断()f x 的单调性并用定义法证明；(2)若()312f -=，求()()()21222x g x f x f x +=-+在[]20,log 3x ∈上的值域．21．已知函数()()2ln e xf x m x =+-．(1)当1m =时，判断()f x 的奇偶性并证明；(2)若函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上存在两点A ，B ，其关于y 轴的对称点A '，B '恰在函数()f x 的图象上，求实数m 的取值范围．22．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足()122f =，且对任意λ，x ∈R ，恒有()()()f x f x λλ⋅=．(1)求()1f ；(2)求证：对任意m ，n R ∈，恒有：()22m n m n f ff m +-⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)是否存在实数k ，使得不等式()()()()21sin cos 4sin cos 1322f k k θθθθ⎡⎤<+++--+<⎣⎦对任意的[]0,πθ∈恒成立？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【分析】解得{}01A xx =≤≤∣，根据交集含义即可得到答案.【详解】133x ≤≤，解得01x ≤≤，故{}01A xx =≤≤∣，则{0,1}A B = ，故选：C.2．C【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】解：根据题意，结合三角函数定义得sin αα====，所以sin 2cos αα+=故选：C 3．D【分析】由题知2233110m m m m ⎧-+=⎨--<⎩，解得1m =，再根据充要条件的概念判断即可.【详解】解：因为幂函数()22133mm y m m x--=-+在()0,∞+上单调递减，所以2233110m m m m ⎧-+=⎨--<⎩，解得1m =，所以“1m =”是“幂函数()22133mm y m m x--=-+在()0,∞+上单调递减”的充要条件.故选：D 4．B【分析】根据抽象函数的定义域,对数型复合函数的性质列不等式组即可求得.【详解】因为()f x 的定义域为[]1,3，则21213log (33)0330x x x ≤-≤⎧⎪-≥⎨⎪->⎩，解得12431x x x ≤≤⎧⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩，则423x ≤≤，所以()()21g x f x =-4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B 5．A【分析】利用指数函数，幂函数和三角函数的奇偶性和单调性求解即可.【详解】选项A ：令21()21x x f x -=+，2112()()2112x xx xf x f x -----===--++，因为2122()12121x x x f x +-==-++且2x在x ∈R 上是增函数，所以221x +在x ∈R 上是减函数，2()121x f x =-+在x ∈R 上是增函数，故2121x x y -=+既是奇函数，又在定义域上是增函数，A正确；选项B ：32y x =的定义域为[0,)+∞，由幂函数的图像和性质可得32y x =在[0,)+∞上单调递增，故32y x =不具有奇偶性，在定义域上是增函数，B 错误；选项C ：π2cos 2sin 2y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，定义域为x ∈R ，由正弦函数的图像和性质可得2sin y x =-是奇函数，在ππ2π,2π22k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭Z k ∈上单调递减，在π3π2π,2π22k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭Zk ∈上单调递增，C 错误；选项D ：1y x =-，由幂函数的图像和性质可得1y x=-是奇函数，在定义域(,0)(0,)-∞+∞ 上不单调，D 错误；故选：A 6．A【分析】由()()21f x f x x --=+可得()()21f x f x x --=-+，解方程组求()f x 即可.【详解】由()()21f x f x x --=+可得()()21f x f x x --=-+，所以由()()()()2121f x f x x f x f x x ⎧--=+⎪⎨--=-+⎪⎩解得()13x f x =+，故选：A 7．D【分析】利用两角和与差的余弦公式将cos 20︒转化为()cos 3010-，进行展开，对于分子则是结合二倍角正弦公式及完全平方式进行化简，最后再约分即可.【详解】2cos 3010sin10︒︒︒︒--==--cos10cos10sin 80cos10===故选：D.8．D【分析】由题可知函数())202520252025log x xg x x -=-+为奇函数且单调递增，进而可得函数()f x 的对称中心为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，且在R 上单调递增，进而即得.【详解】因为()33222025320252025log 2x x f x x --⎫=-+-⎪⎪⎭33222025320252025log 2x x x ⎛⎫---⎪⎝⎭⎫⎪=-+-⎪⎭，对于函数())202520252025log x xg x x -=-+定义域为R ，且())202520252025log x xg x x --=-+，()()0g x g x +-=，所以函数()g x 为奇函数，又[)0,x ∈+∞时，202520252025g ,,lo x x y y x y x -=-==单调递增，所以[)0,x ∈+∞时，())202520252025log x xg x x -=-+单调递增，所以函数())202520252025log x xg x x -=-+在R 上单调递增，所以()f x 的对称中心为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，且在R 上单调递增，因为302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故032x =，01463a f x f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4345>，4345>，所以44log 53>，所以043331log 50log 1log 424163x >=>=>>-，所以()043310log 5lo 6g 241f x f f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31log 04c f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故c a b >>.故选：D.9．AC【分析】利用正弦函数的单调性判断A ，利用象限角的概念判断B ，写出与640︒角终边相同的角为640360k ︒+⋅︒，再根据3606403600k -︒<︒+⋅︒<︒判断C ，利用弧度制及正弦余弦的正负判断D.【详解】因为sin y x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以ππsin sin 108⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确；π2π,2π,Z 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭表示第一象限角，当0k ≠时，不是锐角，B 错误；与640︒角终边相同的角为640360k ︒+⋅︒，当2k =-时是最大负角，最大负角为80-︒，C 正确；因为1()57.3rad ≈︒，所以sin10>，cos20<，所以sin1cos20⋅<，D 错误；故选：AC 10．BD【分析】作出函数的大致图象，然后逐项分析即得.【详解】因为()2cos 2cos f x x x ==，作出函数的大致图象，函数()f x 的最小正周期πT =，故A 错误；由图象可知函数的增区间为()ππ,π2Z k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在5π,3π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故B正确；当3ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，()[]0,2f x ∈，故C 错误；因为()()2025π2cos 2025π2f ==，所以函数()f x 的图像关于直线2025πx =对称，故D 正确.故选：BD.11．ABD【分析】先利用已知条件求出函数()f x 的解析式，选项A ，将2x =代入计算即可，选项B 将根12,x x 代入()f x m =中化简即可，选项C 由值域为任意实数得到满足条件的不等式，解出即可，选项D 利用函数单调性建立不等式组解出即可.【详解】令()2log t f x x =-，则()()2log 11f f x x f t -=⇔=⎡⎤⎣⎦，函数()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，因为()2log f x x t =+，所以()2log 1f t t t =+=，解得1t =，所以()2log 1f x x =+．对于选项A ：()22log 212f =+=，故A 正确；对于选项B ：若关于x 的方程()f x m =（0m >）有2个不相等的实数根12,x x ，则()()12,f x m f x m ==，即2122log 1log 1x x +=+，因为12x x ≠，所以()21222122log 1log 1log log 2x x x x +=-+⇒+=-，所以()212121log 24x x x x =-⇒=，故B 选项正确；对于选项C ：函数()()22223log 231f x ax x ax -+=-++的值域为R ，则()2224134120a a ∆=--⨯⨯=-≥，即a ≤a ≥C 不正确，对于选项D ：由函数()()()2,1,1a x x g x af x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意的实数12,x x ，且12x x ≠，都有()()()12120g x g x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，所以函数()()()22,1log 1,1a x x g x a x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩在R 上单调递增，所以()()220201221log 111a a a a a a a a ⎧-><⎧⎪⎪>⇒>⇒≤<⎨⎨⎪⎪-⨯≤+≥⎩⎩，故D 选项正确，故选：ABD.12．BCD【分析】由题可得a b a b+<<+1atb=>，可p<对任意1t>恒成立，然后结合对勾函数及不等式的性质即得.【详解】因为0a b>>，()222222a b a ab b a ab b+=++-+>，所以a b+>，所以a b a b+-<<+令1atb=>p<对任意1t>恒成立，因为当1t>时，12tt+>3，1，故13p≤≤.故选：BCD.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x在区间D上有最值，则（1）恒成立：()()min,00x D f x f x∀∈>⇔>；()()max,00x D f x f x∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max,00x D f x f x∃∈>⇔>；()()min,00x D f x f x∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x>（或()a f x<），则（1）恒成立：()()maxa f x a f x>⇔>；()()mina f x a f x<⇔<；（2）能成立：()()mina f x a f x>⇔>；()()maxa f x a f x<⇔<.13．8π3##8π3【分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果.【详解】由题意知，圆心角为π3α=，弧长为4π3l=，设扇形半径为r，根据弧长公式4π3l rα==得4r=，则扇形面积114π8π42233S lr==⨯⨯=.故答案为：8π314．1【分析】利用两角和的正切公式计算即可.【详解】因为()tan 3tan 421tan 45tan 3421tan 3tan 42︒+︒=︒=︒+︒=-︒︒，所以tan3tan42tan3tan421tan3tan42tan3tan421++︒⋅︒=-︒⋅︒+︒⋅︒︒=︒．故答案为：1.15．【分析】根据题意确定函数的周期即可求解.【详解】因为()()π+sin f x f x x +=，所以()()()()πππ+sin ππsin f x f x x f x x ++=++=+-()sin sin ()f x x x f x =+-=，所以()2π()f x f x +=，所以函数()f x 以2π为周期，所以2023πππ674π()333f f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()πsin f x f x x +-=，令π3x =得ππππsin 3332f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ1π3322f f ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2023ππ1(332f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故答案为:16．(]57log log 22，【分析】根据函数性质可知函数()f x 关于1x =，3x =对称，且周期为4，再利用[]1,3x ∈上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数m 的取值范围.【详解】由函数()1f x +为偶函数可知，函数()f x 关于1x =对称，且()()11f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，又()()42f x f x -=+，()f x 关于3x =对称，所以()()4f x f x -=-，即()()4f x f x =+，可得函数()f x 的周期4T =，当[]1,3x ∈时，21,12()69,23x x f x x x x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩可得其图象如下所示：由对称性可知，当1x >时满足不等式()2log 1m x f x -≤的整数解有3个即可，根据图示可得()()22log 6161log 8181m f m f ⎧-≤=⎪⎨->=⎪⎩，解得2211log log 57m ≤<，即57log log 22m ≤<故答案为：(]57log log 22，17．（1）52（2）12【分析】(1)根据正切找到正余弦的关系，代入22sin cos 1αα+=求出2cos α，化简原式求解.(2)根据()log 1,,,log log a mn N mm mn n a a aa a a N M n M a -⎛⎫==== ⎪⎝⎭公式化简求解.【详解】（1）tan 2,α= 即sin 2cos αα=又因为22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=所以21115sin cos 2cos cos 2cos 2ααααα===⋅⋅（2）因为()1311331330264100010105100060444.64--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1122===112lg 2lg lg22111010--===(1133323331log log log log 2log log 3log 313-⎛⎫⎛⎫====-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()(()1lg23351110.06410log log 12222---+=--+-=18．(1)π84f ⎛⎫=⎪⎝⎭(2)5πππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用三角恒等变换将函数()f x 化简成()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可计算出π8f⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）利用整体代换法πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈即可求得单调递增区间．【详解】（1）由()ππsin cos sin 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()2211πsin2cos )sin2cos 2sin222223f x x x x x x x ⎛⎫=--=+=+ ⎪⎝⎭，所以πππππππsin sin cos sin 84343434f ⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即π84f ⎛⎫=⎪⎝⎭（2）由()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可知，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈时，()f x 的单调递增，即ππ,Z 5ππ1212k k x k ≤≤++∈-，所以()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦19．(1)2π3θ=(2)3365-【分析】(1)根据诱导公式化简函数解析式，根据三角形内角的取值范围即可求θ的值；(2)利用余弦的两角和公式求解.【详解】（1）由题可得()()()3ππtan πsin cos tan sin πcos 22πsin cos 2x x x x x xf x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅--⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭()tan cos cos cos sin x x xxx-⋅-⋅==，所以()cos f x x =，因为()1cos 2f θθ==-，且θ是ABC 的一个内角，所以2π3θ=.（2）因为()1213f αβ-=，所以()12cos 13αβ-=，则()5sin 13αβ-==±，因为π3π24βα<<<，所以3ππ42β-<-<-，所以π04αβ<-<，所以()5sin 13αβ-=，因为()π325f αβ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以()()π3cos sin 25αβαβ⎛⎫-+=+=- ⎪⎝⎭，所以()4cos 5αβ+==±因为π3π24βα<<<，所以3ππ2αβ<+<，所以()4cos 5αβ+=-，所以()[]2cos 2cos ()()f αααβαβ==-++cos()cos()sin()sin()αβαβαβαβ=-+--+1245333()()13513565=⨯--⨯-=-.20．(1)当1a >时，()f x 单调递增，当1a <时，()f x 单调递减，证明见解析.(2)1302,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）任取12,R x x ∈且12x x >，作差()()12f x f x -判断符号即可判断单调性；（2）由()312f -=可得12a =，根据222211()22(2)222xx x f x f x +⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭将()g x 转化成一元二次函数形式，利用一元二次函数的图像和性质求解即可.【详解】（1）当1a >时，()f x 单调递增；当1a <时，()f x 单调递减，证明如下：任取12,R x x ∈且12x x >，()()()()()1122121212121211x x x x x x x x x x x x f x f x a a a a a a a a a a a a----⎛⎫-=---=---=-+ ⎪⎝⎭，因为12110x x a a+>，所以当1a >时，12x x a a >，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，()f x 单调递增；当01a <<时，12x x a a <，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，()f x 单调递减.（2）因为()1312f a a --=-=即22320a a +-=解得12a =或2-（舍去），所以111()2222x xxx f x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222211()22(2)222xx x f x f x +⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，所以2()()2()2g x f x f x =-+，由（1）得当1a <时()f x 单调递减，所以当[]20,log 3x ∈时，8(),03f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，令()t f x =，则8,03t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，一元二次函数2()22g t t t =-+对称轴为1t =，所以2()22g t t t =-+在8,03t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且813039g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(0)2g =，所以()g x 在[]20,log 3x ∈上的值域为1302,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21．(1)偶函数(2)11,916⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）结合对数运算，根据奇偶性的定义判断即可；（2）由题知函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于y 轴对称的函数为()()ln 13e ,ln 3xh x x =-<-，进而将问题转化为方程()()h x f x =有两个实数根，进一步结合对数运算得以2e 4e x x m -=在(),ln 3-∞-上有两个实数根，再结合换元法，二次函数性质,数形结合求解即可.【详解】（1）解：当1m =时，()()2ln e 1xf x x =+-，定义域为R ，()()()()()2222221e ln e1ln ln 1e ln e ln 1e e x xx x x x f x x x x x f x -⎛⎫+-=++=+=+-+=+-= ⎪⎝⎭，所以，()f x 为偶函数.（2）解：函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为()ln 3,+∞，设函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于y 轴对称的函数为()h x ，设(),x y 是()h x 上的任意一点，则(),x y -在函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上，即()3ln 1ln 13e e xx y -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以，()()ln 13e ,ln 3xh x x =-<-因为函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上存在两点A ，B ，其关于y 轴的对称点A '，B '恰在函数()f x 的图象上，所以方程()()h x f x =恰有两个实数根，即()()2ln 13e ln e x xm x -=+-恰有两个实数根，()()()22ln e ln e ln e ln e e x x x x x m x m m -+-=+-=+，所以，()()ln 13e ln ee xxx m --=+恰有两个实数根，即13e e e x x x m --=+在(),ln 3-∞-上恰有两个实数根，所以2e 4e x x m -=在(),ln 3-∞-上恰有两个实数根，令e 13xt =<，则24t t m -=在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上恰有两个实数根，所以函数21,4,3y t t t ⎛⎫-∞-∈ ⎝=⎪⎭与y m =图象恰有两个交点，因为221144816y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，当13t =时，21114339y ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以，作出其函数图象如图所示，由图可知，当11,916m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数21,4,3y t t t ⎛⎫-∞-∈ ⎝=⎪⎭与y m =图象恰有两个交点，所以，实数m 的取值范围为11,916⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】22．(1)2(2)见解析(3)(]7,6--【分析】(1)根据设，令1,22x λ==即可求解；(2)令1x =，有()2f λλ⎛= ⎝⎭，再令,,22m n m nλλ+-==即可证明；（3）根据函数的单调性以及用换元法，转化为分类讨论二次函数在给定区间的最值求解.【详解】（1）由题可知，()()()f x f x λλ⋅=，令1,22x λ==可得[]12(1)(2)f f ==（2）因为(1)2f =，所以令1x =，则有()f λλ=⎝⎭，因为R λ∈，分别令,,22m n m nλλ+-==可得22,2222m nm n m n m n f f +-⎫⎫+-⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22222()22222m nm nmm n m n f f f m +-⎛⎫⎫⎫+-⎛⎫⎛⎫⋅=⋅== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得证.（3）由（2）可得()2f λλ⎛= ⎝⎭，所以()2xf x ⎛= ⎝⎭，则函数()2xf x =⎝⎭在定义域R 上单调递减，且1(10),(1)322f f ==，所以()()()()21sin cos 4sin cos 110k k θθθθ<+++--+<，即()()1sin 24sin cos 10k k θθθ<++--<恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,因为[]0,πθ∈，所以ππ3π,444θ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡-∈- ⎪⎣⎝⎭，且222sin cos 2sin cos 1sin 2t θθθθθ=+-=-，所以2sin 21t θ=-，所以()211410t k t k <-++-<，也即()2049t k t k <-++-<恒成立，令()2(4)t k t k g t -++=-，对称轴为022kt =+，若021,62kt k =+≤-≤-，则()2(4)t k t k g t -++=-在t ⎡∈-⎣单调递减，则max min ()((1)25,2)g k g k g t g t =-=--==-，所以60259029k k k ⎧≤-⎪<--<⎨⎪<+-<⎩解得76k -<≤-，若022k t ⎛=+∈- ⎝⎦，即(5k ⎤∈-⎦，则()2(4)t k t k g t -++=-在1,22k t ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦单调递增，2k t ⎡∈+⎢⎣单调递减，则2max min 1(2)(41(6),224)()k g k k g k g t g t =+=++==+-，所以(2510(416)94029k k k k ⎧⎤∈-⎦⎪⎪<++<⎨⎪⎪<+-<⎩此时无解，若01222kt ⎛=+∈ ⎝，即4k ⎤∈⎦，则()2(4)t k t k g t -++=-在1,22k t ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦单调递增，2k t ⎡∈+⎢⎣单调递减，则2max min 1(2)(416),5()()(1)224g k t g g k k g k t =+=++=-=--，所以25,410(416)940259k k k k ⎧⎤∈--⎦⎪⎪<++<⎨⎪<--<⎪⎩此时无解，若022kt =+>，即4k >，则()2(4)t k t k g t -++=-在t ⎡∈-⎣单调递增，则min max ()((1)25,2)g k g k g t g t =-=--==-，所以40259029k k k ⎧>⎪<--<⎨⎪<+-<⎩此时无解，综上，k 的取值范围为(]7,6--.。

重庆市数学高一上期末测试题

一、选择题1．(0分)[ID ：12117]设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（） A ．a b c <>C ．b a c >>D ．c a b >>3．(0分)[ID ：12122]定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（）． A ．(3)(2)(1)f f f <-< B ．(1)(2)(3)f f f <-< C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-4．(0分)[ID ：12102]已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<5．(0分)[ID ：12097]函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．(0分)[ID ：12075]已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），则1232022x x x x ++++=( )A ．1010B ．2020C ．1011D ．20227．(0分)[ID ：12051]函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}8．(0分)[ID ：12072]设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,69．(0分)[ID ：12068]已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根10．(0分)[ID ：12064]下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =11．(0分)[ID ：12048]已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <0且a ≠1)与二次函数y =(a −1)x 2−x 在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．14．(0分)[ID ：12035]已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1115．(0分)[ID ：12029]对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （） A ．无最大值，无最小值 B ．有最大值2，最小值1 C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题16．(0分)[ID ：12206]已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________.17．(0分)[ID ：12205]已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是．18．(0分)[ID ：12190]己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.19．(0分)[ID ：12181]已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.20．(0分)[ID ：12180]设,,x y z R +∈，满足236x y z==，则112x z y+-的最小值为__________.21．(0分)[ID ：12172]已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____.22．(0分)[ID ：12149]若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()()2log x a f x a t =+的值域也为[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.23．(0分)[ID ：12145]已知函数2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0x f x k -=的所有根的和的最大值是_______.24．(0分)[ID ：12131]高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________.25．(0分)[ID ：12213]已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________.三、解答题26．(0分)[ID ：12277]近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210200,040()100008019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（Ⅰ）求出2020年的利润()Q x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（Ⅱ）2020年产量x 为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少? （说明：当0a >时，函数ay x x=+在单调递减，在)+∞单调递增） 27．(0分)[ID ：12264]计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅-- 28．(0分)[ID ：12263]已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性; (2)解不等式()()2341xxf f +≤+.29．(0分)[ID ：12245]若()221x x af x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.30．(0分)[ID ：12234]即将开工的南昌与周边城镇的轻轨火车路线将大大缓解交通的压力，加速城镇之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果一列火车每次拖7节车厢，每天能来回10次，每天来回次数t 是每次拖挂车厢个数n 的一次函数．（1）写出n 与t 的函数关系式；（2）每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数y 最多？并求出每天最多的营运人数（注：营运人数指火车运送的人数）【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．A3．A4．D5．C6．C7．D8．D9．B10．A11．B12．B13．A14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇17．【解析】【分析】【详解】故答案为18．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与19．【解析】【分析】将化简为关于的函数式利用基本不等式求出的最值即可求解【详解】当时当时时当且仅当时等号成立同理时即的最小值和最大值分别为依题意得解得故答案为:【点睛】本题考查函数的最值考查基本不等式的20．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题21．【解析】【分析】根据整个函数值域为R及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的取值范围【详解】当时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得22．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【23．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时24．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题25．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数，又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.3．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行4．D解析：D 【解析】【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-．令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22xx x -==．所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >，∴a b c <<．故选:D ．【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．C解析：C 【解析】【分析】根据函数()2sin f x x x =是奇函数，且函数过点[],0π，从而得出结论．【详解】由于函数()2sin f x x x =是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B 和D ；又函数过点(),0π，可以排除A ，所以只有C 符合．故选：C ．【点睛】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x 轴的交点，属于基础题．6．C解析：C 【解析】【分析】函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++的值.【详解】()()10f x f x ++-=，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），有1011组关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.7．D解析：D 【解析】【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.8．D解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．9．B解析：B 【解析】【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.10．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A11．B解析：B 【解析】【分析】【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 342a =<=<，由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以c ∈，所以a c b <<，故选B.12．B解析：B 【解析】【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】因为()2ln f x x x=-在定义域内递增，且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->，由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =，故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.13．A解析：A 【解析】【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若0<a <1，则y =log a x 在(0,+∞)上单调递减，又由函数y =(a −1)x 2−x 开口向下，其图象的对称轴x =12(a−1)在y 轴左侧，排除C ，D. 若a >1，则y =log a x 在(0,+∞)上是增函数，函数y =(a −1)x 2−x 图象开口向上，且对称轴x =12(a−1)在y 轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7. 选B.15．D解析：D 【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ．故()f x 有最大值2，无最小值故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题16．【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇解析：[2015,2019]【解析】【分析】由函数()f x 是偶函数，求出a ，这样可求得集合D ，得b 的取值范围，从而可得结论．【详解】∵函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，∴()()f x f x -=，即1122b bx a a x a a ---+-=--+-， x a x a -=+，平方后整理得0ax =，∴0a =，∴2{|20}{|20}D x x x x x =+≤=-≤≤，由b D ∈，得20b -≤≤． ∴22015201532019a b ≤-+≤．故答案为：[2015,2019]．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查解一元二次不等式．解题关键是由函数的奇偶性求出参数a ．17．【解析】【分析】【详解】故答案为解析：【解析】【分析】【详解】故答案为.18．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与解析：1-或2. 【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解.【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即2110,2a a a +--==（舍去），或152a （舍去）；当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===，综上1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.19．【解析】【分析】将化简为关于的函数式利用基本不等式求出的最值即可求解【详解】当时当时时当且仅当时等号成立同理时即的最小值和最大值分别为依题意得解得故答案为:【点睛】本题考查函数的最值考查基本不等式的解析：【解析】【分析】将()f x 化简为关于x a +的函数式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解. 【详解】当x a =-时，()0f x =，当xa 时，()222111[()]1()2x a x af x a x x a a x a ax a++===+++-+++-+， x a >-时，21()22a x a a a x a+++-≥+ 当且仅当x a =时，等号成立，0()2af x ∴<≤=同理x a<-时，()02af x ∴≤<，()22a af x ∴≤≤，即()fx，2=，解得a =.故答案为: 【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题.20．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析：【解析】【分析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值. 【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当2x =时等号成立.故答案为: 【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.21．【解析】【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的取值范围【详解】当时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得解析：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得a 的取值范围. 【详解】当1x ≥时,()12x f x -=,此时值域为[)1,+∞ 若值域为R ,则当1x <时.()()123f x a x a =-+为单调递增函数,且最大值需大于等于1即1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩,解得102a ≤< 故答案为:10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.22．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【解析：10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知可构造()2log xa a t x +=有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】()2()log x a f x a t =+为增函数，且[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根，即2x x a a t =+有两解，整理得：20x x a a t -+=，令,0xm a m => ，20m m t ∴-+=有两个不同的正数根，∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩即可，解得104t <<，故答案为：10,4⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.23．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时解析：5 【解析】【分析】将2,01,()1(1),13,2xx f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩化简为2,01,1()2,12,412,23,16x x x x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩同时设4()()x f x g x =，可得()g x 的函数解析式，可得当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大，可得答案. 【详解】解：由2,01,()1(1),13,2xx f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩可得：2,01,1()2,12,412,23,16x x x x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩设4()()xf xg x =，8,01,1()8,12,418,23,16x x xx g x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩由()g x 函数的性质与图像可得，当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大，此时根分别为：当01x <≤时，188x =，11x =，当12x <≤时，21848x ⨯=，253x =，当23x <≤时，318816x ⨯=，373x =，此时所有根的和的最大值为：1235x x x ++=，故答案为：5. 【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.24．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题解析：{}1,0,1-【解析】【分析】求出函数()f x 的值域，由高斯函数的定义即可得解. 【详解】2(1)212192()2151551x x x xe f x e e e +-=-=--=-+++， 11x e +>，1011xe ∴<<+， 2201xe ∴-<-<+， 19195515x e ∴-<-<+，所以19(),55f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，{}[()]1,0,1f x ∴∈-，故答案为：{}1,0,1- 【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.25．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题解析：2 【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值.【详解】由题意得：()00323f =+=，()23331103f a a =-+=-，所以由()()01032f f a a =-=，解得2a =.故答案为：2.【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.三、解答题26．（Ⅰ）()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意知利润等于销售收入减去可变成本及固定成本，分类讨论即可写出解析式（Ⅱ）利用二次函数求040x <<时函数的最大值，根据对勾函数求40x ≥时函数的最大值，比较即可得函数在定义域上的最大值.【详解】（Ⅰ）当040x << 时,()()228001020025010600250Q x x x x x x =-+-=-+- ；当40x ≥时,()100001000080080194502509200Q x x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭. ()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）当040x <<时，()()210308750Q x x =--+， ()()max 308750Q x Q ∴==万元；当40x ≥时，()100009200Q x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当且仅当100x =时， ()()max 1009000Q x Q ==万元.所以，2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的最值，函数在实际问题中的应用，属于中档题. 27．（1）99；（2）3-.【解析】【分析】（1）直接根据指数与对数的性质运算即可；（2）直接利用对数运算性质即可得出.【详解】（1）原式21123325249131log 216104-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦7351001442=++-- 99=. （2）原式323log 313=--- 31422=-- 3=-.【点睛】本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 28．(1)证明见解析;(2){|1}x x ≤.【解析】【分析】（1）根据函数为定义在R 上的奇函数得(0)0f =，结合(1)1f =求得()f x 的解析式，再利用单调性的定义进行证明；（2）因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+，解指数不等式即可得答案.【详解】(1)因为函数2()(,)1ax b f x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,所以(0)0f = 则有0001111b a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩解得20a b =⎧⎨=⎩,即22()1x f x x =+ 12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <()()()()()()2212211212222212122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()122122122111x x x x x x --=++因为12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <,所以()()2212110x x ++>,1210x x ->,210x x -> 所以()()120f x f x ->即()()12f x f x > ,所以()f x 在(1,)+∞上单调递减 .(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+不等式可化为22220x x x ⋅--≤,即(()()21220x x +-≤解得22x ≤,即1x ≤所以不等式的解集为{|1}x x ≤【点睛】本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的解集要写成集合的形式. 29．（1）1a = （2）112m -≤≤ 【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得结果.（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数()f x ，可知()f x 的值域，结合不等式计算，可得结果.【详解】（1） ()2121a f +=-，()121112a f +-=- 因为()221x x a f x +=-是奇函数. 所以()()11f f =--，得1a =；经检验1a =满足题意（2）根据（1）可知()2121x x f x +=- 化简可得()2121x f x =+-所以可知()2121x f x =+- 当()0,x ∈+∞时，所以()1f x > 对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-所以212m m ≥-，即112m -≤≤ 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题. 30．(1) t =−2n +24;（2）每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15840人.【解析】试题分析：（1）由于函数为一次函数，设出其斜截式方程t =kn +b ，将点(4,16),(7,10)代入，可待定系数，求得函数关系式为t =−2n +24；（2）结合（1）求出函数y 的表达式为y =2(−220n 2+2640n)，这是一个开口向下的二次函数，利用对称轴求得其最大值.试题解析：(1)这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节，则设t =kn +b . 将点(4,16),(7,10)代入，解得{k =−2,b =24. ∴t =−2n +24.（2）每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y ，则y =tn ×110×2=2(−220n 2+2640n)，当n =2640440=6时，总人数最多为15840人．故每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15840人．。

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重庆江津长寿綦江等七校联盟2017-2018学年高一数学上学期期
末考试试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名．准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的。

1．（改编）)设集合{}
40A x Q x =∈+≥，则（） A ．A φ∈ B ．3A ∉ C ．3A ∈ D ． {}6A -⊆
2．（原创）sin 2018︒的值是( )
A ．正数
B ．零
C ．负数
D ．不存在
3．如果幂函数a
x x f =)(的图象经过点）
，（2
2
2,则)4(f 的值等于（） A ．16 B ．2 C ．16
1
D ．2
1 4．(改编)三个数6
.09
， 9
6.0，9log 6.0的大小顺序是（）
A ．9log 6.0<<6
.09
96.0
B ．96.0<<6
.09
9log 6.0
C ．9
0.6＜0.6log 9＜0.6
9
D ．9log 6.0<<9
6.06
.09
5．(改编)已知⎩⎨
⎧<+≥-=)
8()2()
8(5)(x x f x x x f 则)3(f 的值为（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的值为（）
A ．1
B ．2
1
-
C ．
2
1
D ．﹣1
7．（改编）在函数①cos ||y x =，②|cos |y x =,③cos(2)6y x π
=+
,④tan(2)4
y x π
=-中,最小正周期为π的函数有（）（填序号）
A ．①③
B ．①④
C ．②④
D ．②③
8．(改编)函数[]ππ,,4
)(cos -∈⋅=x x x f x
的图象大致是（）
9．函数2
2()log (3)f x x ax a =-+在[2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）
A ． 4a ≤
B ．44a -<≤
C ．2a ≤
D ．24a -≤≤
10．已知函数2
23y x x =-+在区间[0,]m 的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为
（）
A ．12m ≤≤
B ． 1m ≥
C ．02m ≤≤
D ．2m ≤
11．（改编）若函数sin()y A x ωϕ=+（0,0,2
A π
ωϕ>><
）在一个周期内的图象如图所
示，M 、N 分别是这段图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，且0OM ON =u u u u r u u u r
g ，则=
⋅⋅ϕωA （）
A ． 18
2
π B ．7272
π
C ．18
72
π
D ．36
72
π—
12．（原创）在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，若函数)(x f 图像上有n
个格点，则称函数)(x f 为n 阶格点函数，下列函数中满足存在N k ∈，使该函数为12+k 阶格点函数的函数是（） A ． x
x y 1+
= B ．x y cos = C ．||ln x y = D ． 1
||2-=x y 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．（改编）已知扇形的圆心角为144°，半径为5，则扇形的面积S 为______（化为最简式）
14．（原创）计算=+•+232
)2(lg 20lg 5lg 64
1—）（____________
15．（原创）已知53
)6sin(=+πx ，则)23
2cos(x -π的值为___________
16．（改编）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+--=1
1233)(2
2x x m
mx x m
x f x
恰有两个零点，则实数m 的取值范围是
________
三、解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．(本小题满分10分) 已知向量(1,2)a =r
，向量(3,4)b =-r ．
（1）求a b +r r 与a b -r r 的夹角的大小；
（2）若向量c r 满足()c a b ⊥+r
r r ，()c a +r r ∥b r ，求向量c r 的坐标．
18．（改编）(本小题满分12分)
（1）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点)4,3(-P ，求
)
2
3cos()2sin()
cos(2)sin(απ
απαπα++-++-的值；
（2）已知
4
32
π
βγπ
<
<<，)sin(γβ+＝－35，)cos(γβ-＝1213，求β2cos 的值．
19．（改编）(本小题满分12分)
已知全集U=R ，集合
A={
|x y =
，B={}2|log ,416y y x x =<<，
（1）求集合B C A U ⋂；
（2）若集合C={x |4﹣a ＜x ＜a }，且C ⊆（A∪B），求实数a 的取值范围． 20．（改编）（本小题满分12分)
设函数()f x a b =r
r g
，其中向量2(2cos 1,cos ),2sin ),.a x x b x x R =+=∈r
r
（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若将函数()f x 的图象向右平移
24
π
个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到
原来的4倍，纵坐标向下平移32个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间[0，2π]上的值域．
21．（改编）(本小题满分12分)已知函数
x
x
x f +-=11lg
)( （1）判断函数奇偶性，并加以证明；（2）若函数m x x f x g --=)()(在∈x ]11
9
,0[上有零点，求实数m 的取值范围．
22．（原创）(本小题满分12分)定义运算⎩⎨⎧≥<=⊗b
a b
a b a b a ，设函数)2()(x x x f -⊗=
（1）求)(x f 的解析式及单调区间；
（2）m x m x g ++=2)(2，)()()(x
e f x g x h -=，是否存在实数m ,使得对任意的
]1,0[,,321∈x x x ，不等式)()()(321x h x h x h ≥+恒成立？若存在，求出实数m ；若不存在，请
说明理由．
答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B C D D A C D B B A C B
二、填空题
13．14．17 15．16．略
三、解答题
17．(本小题满分10分)
解：（1）∵，∴，∴，∴，------ 2分∴，
∴．------ 4分
设与的夹角为θ，则．又∵θ∈[0，π]，∴．------- 5分
（2）设，则，∵⊥（+），（+）∥，
∴， ------ 8分
解得：，即．------- 10分
18．略
19．(本小题满分12分)
解：（1）由x2﹣4x+3≥0，解得x≥3或x≤1，则A=（﹣∞，1]∪[3，+∞）------- 2分由y=log2x，4＜x＜16，则B=（2，4），------- 4分
∴C U B=（﹣∞，2]∪[4，+∞），
∴C=A∩（C U B）=（﹣∞，1]∪[4，+∞），------- 6分
①当C=，4﹣a≥a ，∴a≤2 ------- 8分
②∵A∪B=（﹣∞，2）∪[3，+∞），当C
由非空集合C={x|4﹣a＜x＜a}，且C⊆（A∪B），
∴或，解得a为空集，------- 11分
综上所述∴a≤2 ------- 12分
20．略
21．(本小题满分12分)
解：（1）Ⅰ
的定义域为（-1，1），关于原点对称。

------- 2分
又对于定义域内的任意x，
为奇函数 ------- 5分
（2）由题意，得方程在上恒有实数解，
因在上为减函数，y=-x也为减函数。

------- 9分
在上为减函数，------- 11分故满足条件。

------- 12分
22．(本小题满分12分)
解：（1）------- 2分
递增区间，递减区间 ------- 4分
（2）当时，，所以
= ------- 6分
已知在上递增，------- 7分
，不等式
在即求，即------- 10分
，代入得，
即，
时，原不等式无解。

不存在，使得不等式恒成立。

------- 12分。