定弦定角最值问题(含答案)

定弦定角最值问题

【定弦定角题型的识别】

有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】

图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】

同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆, 因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。）

【一般解题步骤】

①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）

③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最

小值）。

C

D O

B

E

C A

2

5

9

E

B

C

）

B 2 ■_w

C

D D

B . 2

A . 1

A . 1 D . .41

4.2

D .

16

【例1】（2016 •新观察四调模拟 1）如图，△ ABC 中，AC = 3 , BC = 4^2，/ ACB = 45° D 为△ ABC 内一动点，O O ACD 的外接圆，直线 BD 交O O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE = CP , 则AD 的最小值为（ ） AD = 5 — 4= 1 \

丿

【例2】如图，AC = 3，BC = 5,且/ BAC = 90° D 为AC 上一动点，以 为直径作圆，连接

BD 交圆于E 点，连CE ,则CE 的最小值为（ ） ----- "

解：连接AE

•/ AD 为O O 的直径

•••/ AEB = / AED = 90 .E 点在以AB 为直径的圆上运动 当CE 过圆心O 时，CE 有最小值为-13

2

【练】（2015 •江汉中考模拟

1）如图，在△ ABC 中，AC = 3，BC = 4 .. 2，/ ACB = 45° AM II BC ， 点P 在射线AM 上运动，连 严 ----------- ------

解：•••/ CDP = / ACB = 45°

•••/ BDC = 135 ° （定弦定角最值） 如图，当AD 过O 时，AD 有最小值

•••/ BDC = 135

• / BO'C = 90

• △ BO C 为等腰直角三角形

:丄 ACO = 45 °+ 45 °= 90 • AO = 5 又 O B = O 'C =

4

BP 交厶APC 的外接圆于 D ，贝0 AD 的最小值为（

4 2

3

O

6

.2 B 2

2

3 *0

C

D

2

4

4 ..

3

B . 6 3 73 A . 12 6,3

C . 12 3.3

D . 6 A.- ••• AD 的最小值为 5 — 4= 1

%

/

【例3】（2016 •勤学早四调模拟 1）如图，O O 的半径为2,弦AB 的长为2... 3，点P 为优弧AB 上一动点，AC 丄AP 交直线PB 于点C ,则△ ABC 的面积的最大值是（

.⑼M 救学早呵H 權®L Tl^l, 00的平栓肖3花初的民育2再，点尸为优那M 上一歐钛

啕诂目隹丹呂it 按丿E ・宴罠厶乂肚的叢丸丽希 则点芒駆腼閉壯

MfiA- \ AB=2^, ^ACB=KT,

・当点C 朗烦胡旳中屯肘* 点

闭肋睡琥大.此01氐册?两梅三肃惑CV^l^+3> |X 2M 5 XpJJ+5）-6+5^,

放说3,

【练】（2014 •洪山区中考模拟 1）如图，O O 的半径为1,弦AB = 1,点P 为优弧AB 上一动点, 又/ ACO = 90°

• AO = 5

AC± AP 交宜线PB 干桓U 刚色仙匚用I 面理的審丈

：

A. )2+6 J!

R 什 C 口+3 唐 D. 6+4n/3

解：连接CD

•••/ FAC = Z PDC = Z ACB = 45 •••/ BDC = 135

如图，当AD 过圆心O 时，AD 有最小值 •••/ BDC = 135° •••/ BO C = 90° • O 'B = O C = 4

AC 丄AF 交直线 FB 于点C , 则△ ABC 的最大面积是（

【例5】如图，A(1 , 0)、B(3, 0)，以AB 为直径作O M ,射线OF 交O M 于E 、F 两点，C 为弧 AB 的中点，D 为EF 的中点•当射线绕 O 点旋转时，CD 的最小值为 _________________

4'

1/

/

解

： 连接DM

••• D 是弦EF 的中点

• DM 丄 EF

1

•点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动

C

当CD 过圆心A 时，CD 有最小值

连接CM

x ••• C 为弧AB 的中点 0 '、

A

\ 阿

• CM 丄 AB

\ V /『

/

••• CD 的最小值为 .2 1

【练】如图，AB 是O O 的直径，AB = 2,/ ABC = 60° P 是上一动点,

D 是AP 的中点，连接

解：连接OD •/ D 为弦AP 的中

点

CD ，贝U CD 的最小值为