高中数学直线方程公式
直线方程和圆的方程概念及知识点拓展(高中数学)
直线与圆的概念公式及拓展一．直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角α的范围[)π，0。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0。
注意几种角的范围：异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π； 直线和平面所成角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，； 二面角[]π，0； 两向量的夹角[]π，0；2.斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率k ， 即k=tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率。
直线方程：Ax+By+C=0的斜率BAk -=。
方向向量：若()n m a ,=为直线的方向向量，则直线的斜率mn k =。
已知直线上两点：过两点()),(,,2211y x y x 的直线的斜率1212x x y y k --=。
二．直线方程的五种形式：1.点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程)(00x x k y y -=-，它不包括垂直于x 轴的直线。
2.斜截式：已知直线斜率为k ，在y 轴上的截距b ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线。
3.两点式：已知直线过了P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于x 轴的直线。
4.截距式：已知直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ( a ≠0，b ≠0)则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5.直线的一般式方程：任何直线都可以写成Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)的形式。
拓展：1.直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0。
直线的斜率为1或直线过原点，则直线两截距互为相反数； 直线的斜率为-1或直线过原点，则直线两截距相等。
2.设直线方程的一些常用技巧：（1）已知直线y 轴截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b 。
高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程
高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程1. 直线的一般方程直线的一般方程可以表示为：Ax + By + C = 0。
其中A、B、C是常数，A和B 不同时为0。
这个方程可以通过直线上任意两点的坐标来确定。
2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y = kx + b。
其中k是直线的斜率，b是y轴截距。
通过斜截式方程，我们可以方便地确定直线的斜率和截距。
3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)。
其中(x1, y1)是直线上的一个已知点，k是直线的斜率。
根据点斜式方程，我们可以通过已知点和斜率来确定直线的方程。
4. 直线的两点式方程直线的两点式方程可以表示为：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
通过两点式方程，我们可以直接利用已知点的坐标来确定直线的方程。
5. 直线的斜率公式和截距公式直线的斜率可以通过斜率公式来计算：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
直线的截距可以通过截距公式来计算：b = y1 - kx1。
通过斜率公式和截距公式，我们可以方便地计算直线的斜率和截距。
6. 直线的平行和垂直关系如果直线1的斜率等于直线2的斜率，则直线1和直线2平行。
如果直线1的斜率与直线2的斜率的乘积为-1，则直线1和直线2垂直。
7. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点可以通过将y设为0得到，直线与y轴的交点可以通过将x 设为0得到。
8. 直线的倾斜角直线的倾斜角可以通过斜率来计算：θ = arctan(k)，其中k是直线的斜率。
9. 直线的距离公式直线Ax + By + C = 0到点(x0, y0)的距离可以通过公式计算：d = |Ax0 + By0 +C|/√(A²+B²)。
10. 直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为以下三种情况：•直线与线段相交•直线与线段不相交•直线与线段重合通过计算直线与线段的交点，可以确定它们的位置关系。
(完整版)高中数学解析几何公式大全
(完整版)高中数学解析几何公式大全一、直线方程1. 点斜式：y y1 = m(x x1)，其中m是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一个点。
2. 斜截式：y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
3. 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
二、圆的方程1. 标准式：(x a)2 + (y b)2 = r2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
2. 一般式：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是常数。
三、椭圆的方程1. 标准式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。
2. 一般式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。
四、双曲线的方程1. 标准式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。
2. 一般式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。
五、抛物线的方程1. 标准式：y2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
2. 一般式：y2 = 4ax + b，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，b是抛物线在y轴上的截距。
六、直线与圆的位置关系1. 判定直线与圆的位置关系：计算直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系。
如果d < r，直线与圆相交；如果d = r，直线与圆相切；如果d > r，直线与圆相离。
2. 直线与圆的交点：解直线方程和圆的方程，得到两个交点的坐标。
七、直线与椭圆的位置关系1. 判定直线与椭圆的位置关系：将直线方程代入椭圆方程，得到一个关于x的一元二次方程。
高中数学必修一公式整理精选全文
可编辑修改精选全文完整版高中数学必修一公式整理一、几何公式1、直线：(1) 直线的方程是y=kx+b，其中k为斜率，b为y轴截距；(2) 直线的斜率的计算公式：斜率K=（点1的纵坐标减去点2的纵坐标）除以（点1的横坐标减去点2的横坐标）。
2、平面图形(1) 三角形三边关系：任意一边长加上另外两边长，总长度要大于第三边。
(2) 三角形面积公式：面积 = （底边×高）÷2(3) 矩形的面积公式：面积 = 长×宽(4) 圆的面积公式：面积= π × 半径×半径二、代数公式1、平方差(1) 一元二次方程的解法：ax²+bx+c=0，解法为:x={-b±√(b²-4ac) }/2a(2) 二元二次方程的解法：ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0，解法为：x=(-be+√(b²-4ac)(-de+√(d²-4af))/（2a）；y=(2a(-be+√(b²-4ac))/（-de+√(d²-4af))。
2、二次函数(1) 二次函数公式：y=ax²+bx+c，其中a不等于0(2) 二次函数的对称轴：x轴的方程为： x= -b/2a(3) 二次函数的极值的计算：极值的 x 值为： -b/2a , 极值的 y 值为：y=a(-b/2a)²+b(-b/2a)+c三、数列公式1、等差数列公式(1) 求和公式：Sn=n(a1+an)/2，其中n为项数，a1为首项，an为末项；(2) 首项公式：a1=Sn/n-(n-1)d，其中n为项数，Sn为该数列的前n项和，d为公差；(3) 末项公式：an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，n为项数，d为公差；(4) 公差公式：d=(an-a1)/(n-1)，其中an为末项，a1首项，n为项数；2、等比数列的公式(1) 求和公式：Sn=a1（1-qn）/（1-q），其中a1为首项，q为公比，n为项数；(2) 首项公式：a1=Sn（1-q）/（1-qn），其中Sn为该数列的前n项和，q为公比，n为项数；(3) 末项公式：an=a1q（n-1），其中a1为首项，q为公比，n为项数；(4) 公比公式：q=(an/a1)^（1/（n-1）），其中an为末项，a1首项，n 为项数；。
高中数学中的直线方程解法
高中数学中的直线方程解法直线方程是高中数学中的基础知识之一，它是解决几何问题和代数问题的重要工具。
在高中数学中，我们学习了多种直线方程的解法，包括点斜式、一般式和截距式等。
本文将探讨这些直线方程的解法，并分析它们的特点和应用。
一、点斜式点斜式是直线方程中最常见的一种形式。
它的一般形式为：y-y₁ = m(x-x₁)。
其中，(x₁, y₁)是直线上的一点，m是直线的斜率。
通过已知的点和斜率，我们可以很容易地确定直线的方程。
例如，已知直线上的一点为A(2, 3)，斜率为2/3。
我们可以使用点斜式来确定直线的方程。
将已知的点和斜率代入点斜式的公式中，得到：y-3 = (2/3)(x-2)。
将该方程进行化简，即可得到直线的方程。
点斜式的优点是方便快捷，通过已知点和斜率即可确定直线的方程。
但是它的缺点是不适用于垂直于x轴或y轴的直线，因为这些直线的斜率不存在。
二、一般式一般式是直线方程中的另一种常见形式。
它的一般形式为：Ax + By + C = 0。
其中，A、B、C是常数，且A和B不同时为0。
通过已知的系数，我们可以得到直线的方程。
例如，已知直线的一般式为2x - 3y + 6 = 0。
我们可以通过一般式来确定直线的方程。
将一般式进行化简，得到斜率截距式的形式：y = (2/3)x + 2。
从中可以看出，斜率为2/3，截距为2。
一般式的优点是适用于各种类型的直线，包括垂直于x轴或y轴的直线。
但是它的缺点是不直观，不容易从方程中看出直线的斜率和截距。
三、截距式截距式是直线方程中的另一种常见形式。
它的一般形式为：x/a + y/b = 1。
其中，a和b是直线与x轴和y轴的截距。
通过已知的截距，我们可以得到直线的方程。
例如，已知直线与x轴和y轴的截距分别为4和3。
我们可以使用截距式来确定直线的方程。
将已知的截距代入截距式的公式中，得到：x/4 + y/3 = 1。
从中可以看出，直线与x轴和y轴的截距分别为4和3。
高中数学-直线的方程的几种形式
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学点一 直线的点斜式方程 求倾斜角为直线y= - 3 x+1的倾斜角的一半且分别满 足下列条件的直线方程: (1)经过点(-4,1); (2)在y轴上的截距为-10.
【分析】通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率， 再分别由直线的点斜式方程和斜截式方程求解.
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【解析】直线y= - 3x+1的斜率为 3,可知此直线的 倾斜角为120°,由题意知所求直线的倾斜角为60°,故 所求直线的斜率k= 3 . (1)由于直线过(-4,1),由直线的点斜式方程得 y-1= 3(x+4)，即 3x-y+1+4 3=0. (2)由于直线在y轴上的截距为-10,所以由直线的斜截 式方程得y= 3x-10,即 3 x-y-10=0.
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4.利用待定系数法求直线方程时,要能根据题中所给
已知条件选用最恰当的形式,并能根据问题的需要灵
活准确地进行互化.在研究无特殊限制的直线情况时,
常将直线化为一般形式,而当研究直线的斜率与倾斜
角时,又以直线的斜截式最为方便,也常将直线方程
的一般式化为斜截式:当B≠0时,直线方程为
y=- A x- C , 其中- A为直线的斜率,- C为直线在y
m2 -2m-3 (2)当斜率为-1时,有 - m2 -2m-3 1 ,但要注意
2m 2 m-1 2m2+m-1≠0.
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【解析】(1)由题意可得
m2-2m-3≠0 ① 2m-6 3 ②
m 2 -2m -3
由②解得m=3或m= 5 .
3
分别代入①检验可知m= 5 .
3
(2)由题意可得
2m2+m-1≠0 ③
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三角形的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 如图2-4-1所示,求这个三角形三边所在直线的方程.
高中数学-直线的方程
直线的方程1.直线的点斜式方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程和截距式方程4.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.5.直线的一般式方程6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系直线的点斜式方程知识点1 求直线的点斜式方程【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A (－4，3)，斜率k ＝2； (2)经过点B (－1，4)，倾斜角为45°； (3)过点C (－1，2)，且与x 轴平行； (4)过点D (2，1)和E (3，－4)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2，5)，斜率是4； (2)经过点B (2，3)，倾斜角是135°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．知识点2 直线的斜截式方程【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是-5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－8；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为8.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是45°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.知识点3 点斜式、斜截式方程的综合应用(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？【变式训练3-1】求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?课堂练习1．过点()3,2，斜率是23的直线方程是（ ） A ．243y x =+ B ．223y x =+ C ．230x y -=D ．320x y -=2．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B 直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．直线y ＝3(x －3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( )A ．3，3B ．3，－3C ．3，3D ．－3，－3 4．直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <05．过点()2,0且与直线25y x =+垂直的直线l 的方程是（ ）A ．24y x =-B ．24y x =-+C ．112y x =- D ．112y x =-+ 6．已知直线l 过点()2,0，且与直线21y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．24y x =-+D ．24y x =--7．直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是________．8．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________．9．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________．10．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．11．写出下列直线的斜截式方程：(1)直线的倾斜角为45°且在y 轴上的截距是1； (2)直线过点A (3，1)且在y 轴上的截距是－1.12．(1)求经过点(1，1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的点斜式方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5平行的直线的斜截式方程．直线的两点式方程知识点1 直线的两点式方程【例1-1】已知三角形的顶点是A (1，3)，B (－2，－1)，C (1，－2)，求这个三角形三边所在直线的方程．【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0知识点2 直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A (3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程．【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？知识点3 直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．课堂练习1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为()A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－22．（红桥区期中）经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是()A.x4＋y3＝1 B.x3＋y4＝1C.x4－y3＝1 D.x3－y4＝13．（江宁区校级月考）过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为()A．5x＋3y－25＝0 B．5x－3y－25＝0C．3x－5y－25＝0 D．5x－3y＋25＝05．（朝阳区校级月考）已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是() A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或16．（庐江县校级期末）点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则()A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝57．（海淀区校级期末）已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________．8．（红岗区校级期末）过点P(3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．9．（兴庆区校级期末）求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．10．（城关区校级期末）求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．能力提升1．（鼓楼区校级期末）两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()2.（秦州区校级期末）直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．4．（启东市校级月考）已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 5．（杨浦区校级期末）在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．直线的一般式方程知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3B ．－5C.95D ．－33【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A (5，3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． (2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)过点(－1，3)，且与l 垂直．【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l 经过点P (2，1)，且与直线2x －y ＋2＝0平行，那么直线l 的方程是( ) A ．2x －y －3＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x －y －4＝0D ．x －2y －4＝0【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________．课堂练习1．（芜湖校级月考）已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．（辽源期末）若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－124．（宜兴县校级期中）直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )5．（城关区校级期末）直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2B ．2C ．－3D ．36．（金凤区校级期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________． 7．（越秀区校级期末）已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________． 8．（凯里市校级期末）已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．9．（和平区校级期中）若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m需满足的条件；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．10．（如东县期中）(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？能力提升1．（昌江区校级期末）若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3能构成三角形，则a满足的条件是________．2．（河南校级月考）已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，－1)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．11/ 11。
求直线方程的方法
求直线方程的方法一、引言在数学中，直线是一个非常基础的概念。
求直线方程是数学中的重要内容，也是很多高中数学题目的基础。
本文将介绍几种常见的求直线方程的方法。
二、点斜式1.定义点斜式是求直线方程的一种常见方法。
它的定义是：已知一条直线上的一点和该直线的斜率，可以通过该点和斜率来确定这条直线。
2.公式设已知一条直线上某点为(x1, y1)，该直线斜率为k，则该直线方程为y-y1=k(x-x1)。
3.步骤（1）根据题目所给条件，确定该直线上任意一点坐标。
（2）根据题目所给条件，求出该直线斜率k。
（3）代入公式y-y1=k(x-x1)，将x、y代入即可得到该条直线方程。
三、截距式截距式也是求解直线方程的一种常见方法。
它的定义是：已知一条直线在x轴和y轴上截距分别为a和b，则该条直线方程为y=kx+b。
2.公式设已知一条直线在x轴和y轴上截距分别为a和b，则该条直线方程为y=kx+b，其中k为该直线的斜率。
3.步骤（1）根据题目所给条件，求出该直线在x轴和y轴上的截距a和b。
（2）根据题目所给条件，求出该直线的斜率k。
（3）代入公式y=kx+b，将x、y代入即可得到该条直线方程。
四、两点式1.定义两点式也是求解直线方程的一种常见方法。
它的定义是：已知一条直线上任意两个点(x1, y1)和(x2, y2)，则该条直线方程为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
2.公式设已知一条直线上任意两个点(x1, y1)和(x2, y2)，则该条直线方程为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
（1）根据题目所给条件，确定该直线上任意两个点坐标。
（2）代入公式(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)，将x、y代入即可得到该条直线方程。
五、斜截式斜截式也是求解直线方程的一种常见方法。
它的定义是：已知一条直线在y轴上截距为b，斜率为k，则该条直线方程为y=kx+b。
高中数学极坐标系与参数方程---直线参数方程
1 t sin
t cosα代入x α
y
3
0中，
1 t cosα t sinα 3 0 t 4
cosα sin α
| PN || t ||
4
|
cosα sin α
4
| PM | | PN | | 2(cosα sin α) | | cosα sin α |
8
t1 t2 2 2 sin α
tP
t1 t2 2
2 sin α
P在l上
P(
x,
y)满足x y
2
sin 2
α
cos α 2 sin
2
α
x
y
2 sin 2α 2 2 2
22
cos
, 2α
(α为参数，α
（π，3π）) 44
在平面直角坐标系
xOy中，曲线
C1过点P(a,1),
其参数方程为
bt a2 b2
在直角坐标系
xOy中，曲线 C的参数方程为
x
y
2 cosθ ,
4sin θ
(θ为参数）.直线l的参数方程为
x
y
1 t cos 2 t sin
α ,
α
(t为参数）.
(1)求C和l的直角坐标方程 .
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为 （1,2），求l的斜率.
消参
(1)C
t1 t2 2 2 t1t2 2 8a
a
1 36
0,
符合题意
t1 2t2
t1 t2 t1t2
2 2 2 8a
a
9
0,
t1 2t2
4
符合题意
在平面直角坐标系
高中直线方程的五种形式
高中直线方程的五种形式直线方程是高中数学中的重要内容之一，掌握不同形式的直线方程将有助于我们更好地理解和应用直线的性质。
在高中数学中，直线方程通常有五种形式：一般式、点斜式、斜截式、截距式和两点式。
这些形式各有特点，下面将一一介绍这五种形式的直线方程。
一、一般式直线的一般式方程为：Ax + By + C = 0。
其中，A、B和C分别代表直线方程的系数，是常数。
在一般式中，直线的方程可以表达为一条线性方程，且A、B和C的取值可以为正数、负数或零。
一般式的优点在于它可以表示任意一条直线，且方程的系数可以通过数学运算来得到。
然而，一般式的缺点在于不容易直接从方程中获得直线的斜率和截距等信息。
二、点斜式点斜式方程是一种比较常用的直线表达形式，它的方程形式为：y - y₁ = m(x -x₁)。
其中，(x₁, y₁)是直线上的一个已知点坐标，m是直线的斜率。
点斜式方程的优点在于通过已知点和斜率可以很容易地确定直线方程。
斜率可以通过两个点之间的纵向变化和横向变化的比值来计算。
然而，点斜式方程的缺点在于当直线垂直于x轴时，斜率不存在。
三、斜截式斜截式方程是一种常用的直线表达形式，也是最常见的一种形式。
它的方程形式为：y = mx + b。
其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴相交的截距。
斜截式方程的优点在于它可以直接获得直线的斜率和截距信息，方程简洁明了。
斜截式的缺点在于当直线与x轴平行时，斜率不存在，此时斜截式方程无法表示直线方程。
四、截距式截距式方程是一种常用的直线表达形式，也是最方便使用的一种形式。
它的方程形式为：x/a + y/b =1。
其中，a和b分别是直线与x轴和y轴相交的截距。
截距式方程的优点在于它可以直接获得直线与坐标轴的截距，方程形式简洁。
然而，截距式方程的缺点在于当直线平行于坐标轴时，截距不存在。
五、两点式两点式方程是一种确定直线方程的常用形式，它的方程形式为：(y - y₁)/(y₂ -y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)。
高中数学人教A版必修二 3.2.2 直线的两点式方程 课件(42张)
(2)求过点 M(m，0)和点 N(2，1)的直线方程．
【解析】 ①当 m＝2 时，过点 M(m，0)和点 N(2，1)的直线斜 率不存在，其方程为 x＝2.
②当 m≠2 时， 方法一：直线的斜率为 k＝m0－－12＝－m－1 2， 又∵直线过点 N(2，1)， ∴直线方程的点斜式为 y－1＝－m－1 2(x－2)． 即 x＋(m－2)y－m＝0.
D．4
3.直线 3x－2y＝4 的截距式方程是( )
A.34x－y2＝1
B.x1－y1＝4 32
C.34x－－y2＝1 答案 D
D.x4＋－y2＝1 3
4．已知△ABC 的顶点 A(0，5)，B(1，－2)，C(－6，4)，则 BC 边上的中线所在直线方程为________．
答案 8x－5y＋25＝0 解析 设 BC 的中点为 D(x，y)，则x＝－52，
则可设 l 的方程为xa＋ya＝1， 由已知 l 过点 A(4，1)，∴4a＋1a＝1，得 a＝5. l 的方程为x5＋y5＝1，即 x＋y－5＝0.
(2)若直线 l 在两坐标轴上的截距为 0(或者说直线 l 过原点)， 则可设 l 的方程为 y＝kx.
代入点 A 的坐标，得 k＝14. l 的方程为 y＝14x，即 x－4y＝0. ∴所求直线 l 的方程为 x＋y－5＝0 或 x－4y＝0.
y＝1. ∴D(－52，1)，∴kAD＝45＝85，∴y＝85x＋5.
2 即 8x－5y＋25＝0.
请做：课时作业（二十）
思考题 1 (1)求满足下列条件的直线方程：
①经过点 A(－3，－3)，斜率是 4； ②斜率是 3，在 y 轴上的截距是－3； ③斜率是－3＝4(x＋3)，得 4x－y＋9＝0. ②由斜截式，得 y＝3x－3，即 3x－y－3＝0. ③在 x 轴上的截距是 3，即过点(3，0)，由点斜式，得 y－0 ＝－3(x－3)，即 3x＋y－9＝0.
高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,)2πθ∈时，0k ≥；（2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k <（4）当倾斜角从0︒增加到90︒时，斜率从0增加到+∞；当倾斜角从90︒增加到180︒时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程（1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+（3）两点式：121121x x x x y y y y --=--（4）截距式：1x ya b+= （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：22122121()()PP x x y y =-+- （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：0022||Ax By C d A B++=+（3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：1222||C C d A B-=+4．位置关系（1）截距式：y kx b =+形式重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ⋅=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程（1）标准形式：222()()x a y b R -+-=（0R >）（2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系（1）点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外（2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=的距离22||Aa Bb C d A B++=+与半径R 的大小关系当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．3．圆和圆的位置关系判断圆心距12d OO =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系 当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线； 当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线；当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线； 当12d R R =-时，两圆内切，有1条公切线； 当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线； 4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减 5．弦长公式：222l R d =-例1若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k ＜ 3. 答案：(－3， 3)例2已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝0例3设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±33例4若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为24－⎝⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3.答案：2 3例5已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝223，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝12－89＝13，又∵|MQ |＝|MA |2|MP |，∴|MQ |＝3.设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5， 则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.例6过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177.答案：1或177例7圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：1例8圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，∴x 2＋y 2＝2.答案：x 2＋y 2＝2例9已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.[答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0例10 (1)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5. 答案：(1)322(2)5＋ 5 5－ 5例11已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：34例12已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为32－1.故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 2例13平面直角坐标系xoy 中，直线10x y -+=截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于x 轴于点（m ，０）和（n ，０），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解： ⑴因为O 点到直线10x y -+=的距离为12，所以圆O 的半径为2216()()222+=， 故圆O 的方程为222x y +=．⑵设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，即0bx ay ab +-=，由直线l 与圆O 相切，得222ab a b =+，即221112a b +=，2222222112()()8DE a b a b a b =+=++≥，当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20x y +-=． ⑶设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -，22112x y +=，22222x y +=，直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，122121x y x y m y y -=-， 直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，122121x y x y n y y +=+，222222221221122112211221222221212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y-+----====-+--，故mn 为定值2．例14圆x 2+y 2=8内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点. （1）当α=43π时,求AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.解:（1）当α=43π时，k AB =－1， 直线AB 的方程为y －2=－（x+1），即x ＋y －1=0. 故圆心（0，0）到AB 的距离d =2100-+=22， 从而弦长|AB|=2218-=30. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=－2，y 1+y 2=4.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,8,822222121y x y x两式相减得（x 1+x 2）（x 1－x 2）+（y 1+y 2）（y 1－y 2）=0， 即－2（x 1－x 2）+4（y 1－y 2）=0， ∴k AB =212121=--x x y y . ∴直线l 的方程为y －2=21（x ＋1），即x －2y ＋5=0.例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x －y +10=0上. (1)若动圆C 过点(－5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解: (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x －a)2+(y －b)2=25,其中圆心(a,b)满足a －b+10=0.又∵动圆过点(－5,0),∴(－5－a)2+(0－b)2=25.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-25)0()5(01022b a b a ,可得⎩⎨⎧=-=010b a 或⎩⎨⎧=-=55b a ,故所求圆C 的方程为(x+10)2+y 2=25或(x+5)2+(y －5)2=25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d=1110+=52.当r 满足r+5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切的圆；当r 满足r+5＞d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切； 当r 满足r+5=d,即r=52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切.题目1．自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，则切线l 的方程为 ．2．求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.3．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则PM 的最小值 ．4．设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·OQ =0. （1）求m 的值；（2）求直线PQ的方程.5．已知圆C：x2+y2－2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.6. 已知曲线C：x2+y2－4ax＋2ay－20＋20a=0.（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.。
高中数学直线与圆距离公式
高中数学直线与圆距离公式引言在高中数学中，我们学习了许多与几何相关的概念和公式。
其中，直线和圆是两个基础的几何图形。
直线是由无数个点组成的，而圆则是由一个固定点到平面上所有与该点距离相等的点构成的。
在解决几何问题时，我们常常需要计算直线与圆之间的距离。
本文将介绍高中数学中关于直线与圆距离的公式和解题方法。
直线与圆的方程在介绍距离公式之前，我们首先需要了解直线和圆在坐标系中的表示方法。
直线可以通过方程y = mx + c或者ax + by + c = 0来表示，其中m是直线的斜率，c是直线的截距。
圆可以通过方程(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2表示，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径。
这两种表示方法在计算直线与圆的距离时都会有所帮助。
直线与圆的距离在解决直线与圆距离的问题时，我们需要根据具体情况选用不同的公式和方法。
下面将介绍几种常见的情况。
1. 直线与圆心的距离首先考虑直线与圆心的距离。
如果我们知道直线的方程和圆的圆心坐标，那么可以通过计算直线上某一点到圆心的距离来得到直线与圆心的距离。
设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的圆心坐标为(h, k)，直线上一点(x_0, y_0)到圆心的距离为d，那么我们可以利用点到直线距离公式来计算：d = | a*x_0 + b*y_0 + c | / sqrt(a^2 + b^2)2. 直线与圆的切点接下来考虑直线与圆的切点。
切线是与圆有且仅有一个交点的直线。
如果我们已知直线的方程和圆的方程，并且想要求出切线与圆的切点坐标，可以通过以下步骤进行计算：1.将直线的方程和圆的方程联立，得到一个二元一次方程组。
2.利用方程组求解的方法，得到切点的坐标。
3.计算切点与圆心之间的距离，即为直线与圆的距离。
3. 直线与圆的两个交点最后考虑直线与圆的两个交点。
如果我们已知直线的方程和圆的方程，并且想要求出直线与圆的两个交点的坐标，可以通过以下步骤进行计算：1.将直线的方程和圆的方程联立，得到一个二元二次方程。
高中数学必修：直线方程的两点式和一般式
两点式求解实际问题举例
01
02
03
实际问题一
已知两点坐标，求直线方 程。
实际问题二
为$frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$。
02
一般式方程
直线方程的一般形式为$Ax + By + C = 0$，其中$A$和$B$不同时为
零。
03
斜率截距式与一般式的关系
斜率截距式$y = kx + b$可转化为一般式$kx - y + b = 0$。
计算斜率
利用两点坐标计算直线斜率$k = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
构造两点式方程
根据点斜式方程$y - y_1 = k(x x_1)$，将斜率$k$和点$P_1$坐标
代入，得到两点式方程$frac{y y_1}{y_2 - y_1} = frac{x x_1}{x_2 - x_1}$。
解题技巧分享
利用两点式求直线方程
01
当已知直线上两点时，可直接套用两点式方程求解。
一般式方程的求解
02
通过已知条件列出方程组，求解未知数$A$、$B$和$C$。
利用斜率截距式求一般式
03
当直线方程以斜率截距式给出时，可将其转化为一般式进行后
续计算。
拓展延伸：其他类型直线方程
点斜式方程
已知直线上一点$P(x_0, y_0)$和斜率$k$，直线方程可表示为$y - y_0 = k(x x_0)$。
高考数学直线方程知识点总结
高考数学直线方程知识点总结高考数学直线方程是高中数学中的一项基础知识，也是高考数学试题中经常出现的考点。
直线方程的掌握程度直接影响到解题的准确性和速度。
下面将对高考数学直线方程的知识点进行总结，希望对你的学习有所帮助。
一、直线的一般式方程直线的一般式方程表示为Ax+By+C=0。
通过两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)的坐标可以确定一条直线的一般式方程。
当直线过点P(x1, y1)且斜率存在时，直线的一般式方程可以表示为y-y1=k(x-x1)，其中k为直线的斜率。
二、直线的斜截式方程直线的斜截式方程表示为y=kx+b。
其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
通过直线的斜截式方程可以确定一条直线在平面直角坐标系中的位置。
三、直线的点斜式方程直线的点斜式方程表示为y-y1=k(x-x1)。
其中k为直线的斜率，(x1, y1)为直线上的一点。
通过直线的点斜式方程可以确定一条直线在平面直角坐标系中的位置。
四、直线的截距式方程直线的截距式方程表示为x/a+y/b=1。
其中a、b为直线在x轴和y轴上的截距。
通过直线的截距式方程可以确定一条直线在平面直角坐标系中的位置。
五、直线的平行和垂直关系1. 平行关系：两条直线的斜率相等时，两条直线平行。
2. 垂直关系：两条直线的斜率的乘积为-1时，两条直线垂直。
六、直线的截线式方程直线的截线式方程表示为x/a+y/b=1。
其中a、b为直线在x轴和y轴上的截距。
通过直线的截截式方程可以确定一条直线在平面直角坐标系中与坐标轴的交点。
七、直线的交点和距离1. 直线的交点：两条直线的交点可以通过联立方程求解得到。
2. 直线的距离：设直线L的一般式方程为Ax+By+C1=0，点P(x0, y0)到直线L的距离为d=|Ax0+B y0+C1|/√(A²+B²)。
八、直线的性质和常见问题1. 直线的斜率和方向角：直线的斜率k=tanθ，其中θ为直线的方向角。
高中数学——五个直线方程的简易记法
高中数学，告诉你一个方法能轻易记住直线方程中的五个公式。
用这个方法,甚至可以做到终生不会遗忘。
高考越来越近了，一些同学可能花时间和精力要记住五个直线公式而烦恼。
甚至可能会影响冲刺阶段的学习。
这五个方程直线公式1 点斜式:y-y 1=k(x-x 1)2 斜截式:y=kx+b3 两点式: 121211x x y y x x y y --=-- 4 截距式: 1=+ax b y 5 一般式：Ax+By+C=0（AB ≠0）下一页将介绍记住这五个公式中的一些技巧，只要记住这些技巧，即使在考试中也不会遗忘。
1 点斜式:y-y 1=k(x-x 1)，可化为下式（x-x1≠0）k x x y y =--11 在直角坐标中y-y 1表示两个纵坐标的差，x-x 1表示两个横坐标的差，两者的商就是斜率，可以理解为：斜率=斜率，这个理解非常重要。
2 斜截式:y=kx+b 可化为下式（x ≠0）k x b y =-，同理,y-b 表示两个纵坐标的差，x 示两个横坐标的差(x=x-0)，两者的商就是斜率，即斜率=斜率。
3 两点式: 121211x x y y x x y y --=-- （请留意x 1,y 1的位置)显然，纵坐标与横坐标的差的问题。
左边：k x x y y =--11,右边:k x x y y =--1212,于是，左边=右边 即斜率=斜率。
综上所述，点斜式: y-y 1=k(x-x 1)，斜截式: y=kx+b ，两点式: 121211x x y y x x y y --=--，都可以理解为斜率相等的问题4 截距式: 1=+ax b y ，要记住这个公式也不难，y= -x+1是经过点(0,1)与(1,0)的直线（），在第一象限的这直线上任取一点（x,y),于是11?)(1=±x y ，中间加号还是减号的呢？因为0<y <1,0<x<1,注意右边是1，中间只能是“+”号了，即1=+a xb y 。
高中数学直线与平面方程的求解方法
高中数学直线与平面方程的求解方法在高中数学中，直线与平面方程的求解是一个重要的内容。
掌握了这些求解方法，不仅可以解决直线与平面的相关问题，还能够帮助我们理解几何图形的性质和空间关系。
本文将介绍直线与平面方程的求解方法，并通过具体的题目来说明考点和解题技巧。
一、直线方程的求解方法直线是平面几何中最基本的图形，求解直线方程是我们学习几何的第一步。
常见的直线方程有点斜式方程、截距式方程和一般式方程等。
1. 点斜式方程点斜式方程是直线方程中最常用的一种形式。
对于已知直线上的一点P(x₁, y₁)和直线的斜率k，可以通过以下公式得到直线的方程：y - y₁ = k(x - x₁)例如，已知直线上的一点为P(2, 3)，斜率为2，那么直线的方程为：y - 3 = 2(x - 2)这种形式的方程可以直观地表示直线的位置和倾斜程度，适用于求解直线的各种性质。
2. 截距式方程截距式方程是直线方程中另一种常见的形式。
对于已知直线在x轴和y轴上的截距a和b，可以通过以下公式得到直线的方程：x/a + y/b = 1例如，已知直线在x轴和y轴上的截距分别为2和3，那么直线的方程为：x/2 + y/3 = 1这种形式的方程便于求解直线与坐标轴的交点和直线的截距等问题。
3. 一般式方程一般式方程是直线方程中最一般的形式。
对于已知直线的斜率k和截距b，可以通过以下公式得到直线的方程：y = kx + b例如，已知直线的斜率为2，截距为3，那么直线的方程为：y = 2x + 3这种形式的方程适用于求解直线的方程、斜率和截距等问题。
二、平面方程的求解方法平面是三维几何中的基本图形，求解平面方程是我们进一步探索空间关系的重要一步。
常见的平面方程有点法式方程和一般式方程等。
1. 点法式方程点法式方程是平面方程中最常用的一种形式。
对于已知平面上的一点P(x₁, y₁, z₁)和平面的法向量N(a, b, c)，可以通过以下公式得到平面的方程：a(x - x₁) + b(y - y₁) + c(z - z₁) = 0例如，已知平面上的一点为P(1, 2, 3)，法向量为N(2, -1, 3)，那么平面的方程为：2(x - 1) - (y - 2) + 3(z - 3) = 0这种形式的方程可以直观地表示平面的位置和法向量的方向，适用于求解平面的各种性质。
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1.斜率公式
①若直线的倾斜角为α, 则k=tan α (α2
π
≠
)
②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则21
21
y y k x x -=
-
2.方向向量坐标 ：
()()k y y x x x x p
p x x ,1,111
2
1
2
1
22
1
1
2=---=
-
3.两条直线的平行和垂直
(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+
①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.
(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,
①111122
2
2
||A B C l l A B C ⇔=≠；
②1212120l l A A B B ⊥⇔+= 4..直线的五种方程
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 11
2121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).
(4)截距式 1x
y a
b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
5.“到角”及“夹角”公式 ：
设l 1 ：b k x y 11+= ； l 2：b k x y 22+= （）
（1）当121-≠k k 时 ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+
-=+-=k k k k l l k k k k l l 212
1212
11
2
2
11tan 1tan θθθθ，则的角为与，则的角为到
（2）当121-=k k 时，两直线的夹角为 2
π 6.两点间的距离公式
若点()
y x A 21, ， ()y x B 22,
则 ()y y x x AB 1
2
1
2
,--=
即 终点坐标-始点坐标
(
)()y y x x 12122
2
--+
=
若()y x
y x a 2
2
,+=
⇒=
7.点到直线间的距离公式
点()
y x p 00,到 l : Ax+By+C=0的距离为
B
A y x C B
A d 2
2
00+++=
8.平行线间的距离公式
0:11=++C l By Ax 与 0:22=++C l By Ax ()c c 21≠ 的 距离为B
A c c d 2
2
21
+-=
9．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．
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