第6章 简单的超静定问题(修改12).

钢加固，已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200
GPa；木材的许用应力[σW ]=12MPa，EW=10GPa，求
许可载荷F。
F
F
解： 平衡方程:F FW Fst
几何相容方程: lst lw
FW
物理关系:
Fst
lW
FW l EW AW
lst
Fst l Est Ast
补充方程:
E=200GPa，/l=1/1000 1=33.3MPa， 2= - 66.6MPa，
二、温度应力
B
C
右图，静定问题无温度应力
12 A
B 1
DC
3
2
左图，静不定问题，当结构温度
由T1变到T2时，存在温度应力。
A
19
例题
a
阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固定,上下
两段的面积为 =cm2，=cm2，当温度
15
例题
图示3号杆的尺寸误差为，求
各杆的装配内力。 解：（1）平衡方程
FN3
B
3D C
1 2
A1
A
FN1 FN2
Fx FN1 sin FN 2 sin 0
A1
Fy FN1 cos FN2 cos FN3 0
16
例题
FN3
FN1 FN2
A1
B 1
D 3
C
2
ΔL3
F
根据角钢许用应力，确定F
st
0.283F Ast
st
F 698kN
根据木柱许用应力，确定F
W
0.717F AW
W
F 1046kN
许可载荷 F 698kN
250 250 12
该题说明：
该题的设计有点问题。
用角钢包角本希望能提高木柱的承载能 力（提高结构的许可载荷），但由于角钢选 择不当，木柱的承载能力并没有提高，还略 有降低。但作为超静定问题的练习，其解题 方法是值得借鉴的。
第六章 简单的超静定问题
1
目录
第六章 简单的超静定问题
§6.1 超静定问题及其解法 §6.2 拉压超静定问题 §6.3 扭转超静定问题 §6.4 简单超静定梁
目
录
2
目录
§6.1 超静定问题及其解法
1.基本概念回顾：
静定结构：约束反力可由静力平衡方程求得。
超静定结构：约束反力不能由平衡方程求得。
超静定次数：约束反力多于独立平衡方程的数。
E3
A3
17
例题 图示悬吊结构AB梁刚性，各杆EA相同，杆3短
求各杆装配应力。
F1
F2
F3
la
a
l1
l3
l2
解： 平衡方程 F1 F2 F3 0
M中点 0，F1 F3
:变形几何方程: l1 (l3 ) 2l2
物理方程: l i FNil i E i Ai
F2 EA 3l F1 EA 6l
A1
ΔL1
ΔL2
A
（2）变形方程
( L3 )cos L1
（3） 物理方程
( FN 3 L3 ) cos FN1L1
E3 A3
E1 A1
（4）联立求解
FN 1
FN 2
L3
1
E1 A1 cos2 2 cos3 E1 A1 /
E3 A3
FN 3
L3
1
2
2 E1 cos 3
A1
cos3
E1 A1 /
升至T2=25℃时,求各杆的温度应力。（弹性模
量E=200GPa，线膨胀系数 =12.5× 106 1 C ）
解：（1）平衡方程
F1
a
a
Fy F1 F2 0 F1 F2
（2）变形方程
a
L LT LF 0
F2
20
若增大杆2或杆3的拉（压）刚度 ， FN1必然减小， FN2 、 FN3 将增大。
9
目录
超静定结构的第一个特点： 超静定结构中,各杆内力按杆刚度比分配，刚
度越大的杆,内力越大；
注意； 在拉压静定结构的求解中，
构件的变形一定要与内力一致，拉—伸长，压—缩短
10
例题
木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角
独立平衡方程数： 空间任意力系：6个平衡方程 平面任意力系：3个平衡方程 平面共点力系：2个平衡方程 平面平行力系：2个平衡方程
3
目录
§6.1 超静定问题及其解法
多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。 基本静定系（相当系统）：用多余约束力代替多 余约束的静定系统。
2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形;
13
超静定结构的第二个特点： 超静定结构在温度变化和制造误差等变形
因素的影响下会引起应力。 温度变化引起的应力称为温度应力；制造
误差引起的应力称为装配应力。
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II、装配应力，温度应力
一、装配应力
右图，静定问题无装配应力 B
C
B
3D C
1 2
A1
A
12 A
左图，3号杆的尺寸误差为，
静不定问题存在装配应力
列变形几何相容方程——由物理关系建立补充方程; 利用静力平衡条件求其他约束反力。
4
目录
§6.2 拉压超静定问题
I、拉压超静定问题解法
B E2A2 l2
C E1A1 l1
D E3A3 l3=E2A2 l2
A FP
节点A的受力：
y
FN1
FN2 FN3
x
A
FP
5
目录
§6.2 拉压超静定问题
汇交力系平衡方程
Fst FW Est Ast EW AW
250
250 11
目录
Fst FW Est Ast EW AW
查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 Ast 3.086cm2 故 Ast 4 Ast 12.34cm2 , AW 25 25 625cm2
代入数据，得 FW 0.717F Fst 0.283F
FN 2 l 2 E2 A2
8
目录
§6.2 拉压超静定问题
结果：由平衡方程、几何相容方程、物理
关系联立解出。
E2 A2l1
F N1
1
FP 2E2 A2l1
，FN2
FN3
E1 A1l2 1 2E2 A2l1
FP
E1 A1l2
E1 A1l2
若增大杆1的拉（压）刚度 ，FN1必然增大， FN2 、 FN3 将减小；
l3 l1
FP
各杆变形的几何关系 l2 l3 l1cos l1cos
7
平衡方程:
Fx 0 : FN2sin FN3sin 0 Fy 0 : FN1 FN2cos FN3cos FP 0
几何相容方程：
l2 l3 l1 cos
物理关系
l1
FN1l1 E1 A1
，l2
l3
Fx 0 : FN2sin FN3sin 0
y
FN1
FN2 FN3 x
A
Fy 0 : FN1 FN2cos FN3cos FP 0
FP
多1个未知力，1次数超静定问题
6
BC
源自文库
D
设节点A的新位置 A
E2A2 l2
E1A1l1
E3A3l3=E2A2l2 几何相容方程：
A
l2
A'