最新数学必修3-4综合测试题

必修三、必修四综合测试题山东省实验中学 马炳新一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本记作①；某校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；那么，完成上述2项调查应采用的抽样方法是（ ）A.①用随机抽样法，②用系统抽样法B.①用分层抽样法，②用随机抽样法C.①用系统抽样法，②用分层抽样法D.①用分层抽样法，②用系统抽样法2.已知),1,5(),2,3(---N M 若,21=则P 点的坐标为（ ） A.)1,8(- B.)1,8(- C.)23,1(-- D.)23,1(3.若f(x)=cos2x ，且f(x+b)是奇函数，则b 可能是（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π4.x 是三角形的一个内角，且sinx+cosx=15-，则tanx 的值是（ ） A.43- B.43 C.34- D.345.已知,3,2,==⊥b a b a且b a 23+与b a -λ垂直，则实数λ的值为（ ）A.;23-B.;23C.;23± D.;16.甲乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲乙下成和棋的概率为（ ）A ．60%B ．30%C ．10%D ．50%7.已知点)2,1(),1,0(),1,2(),0,1(--D C B A ，则与的夹角大小为（ ） A.180 B.120 C.90 D.60 8.右面的程序输出的结果是（ ）A.3B.5C.9D.13 9.有下列四种变换方式:①向左平移4π,再将横坐标变为原来的21;②横坐标变为原来的21,再向左平移8π;③横坐标变为原来的21,再向左平移4π;④向左平移8π,再将横坐标变为原来的21;其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为42sin(π+=x y 的图像的是（ ）A.①和②B.①和③C.②和③D.②和④ 10.如图所示，在两个圆盘中，个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（ ） A.49B.29C.23 D.1311.右面程序框图的功能是（ ）A.求满足200421>+⋯⋯++n 的最小整数B.求满足2004121>-+⋯⋯++n 的最小整数C.求满足200421<+⋯⋯++n 的最大整数D.求满足2004121<-+⋯⋯++n 的最大整数 ★12.若对任意实数a ，函数⎪⎭⎫⎝⎛-+=6312sin 5ππx k y (k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( ) A.2 B.4 C.3或4 D.2或3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上13.为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有 ．①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；④样本容量为100；⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；⑥每个运动员被抽到的概率相等． 14.取一个边长为2a 的正方形及其内切圆,若随机地向正方形内丢一粒豆子,则豆子落入圆内的概率为★15.函数x y 22sin log =的单调减区间是____________________16.已知正方形ABCD 的边长为1，设,,,c a===则c b a +-的模为 .三、解答题：本大题共6小题，每小题有两小题，满分70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）2000年我国人口为13亿，如果人口每年的自然增长率为7‰，那么多少年后我国人口将达到16亿？设计一个算法的程序.变式：某次数学考试中,其中一个小组的成绩是：55, 89, 69, 73, 81, 56, 90, 74, 82.试画一个程序框图逐个输入学生的成绩,并从这些成绩中输出小于75的成绩.18.（10分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛, ⑴求所选3人都是男生的概率; ⑵求所选3人恰有1名女生的概率;⑶求所选3人中至少有1名女生的概率。

变式：甲盒中有一个红色球，两个白色球，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2个，每次从中任意地取出1个球，计算下列事件的概率。

⑴取出的2个球都是白球； ⑵取出的2个球中至少有1个白球经长期观察，)(t f y =的曲线可近似地看成函数b t A y +=ωsin 的图象⑴试根据以上数据，求出函数b t A t f y +==ωsin )(的振幅、最小正周期和表达式；⑵一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，M船底只需不碰海底即可）。

某船吃水深度（船底离水面的距离）为5.6米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？变式：已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π ⑴求f （8π）的值； ⑵将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.20.（12分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ ⑴求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 ⑵求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域变式：已知函数2()2sin cos 444x x x f x =-． ⑴求函数()f x 的最小正周期及最值；⑵令π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．21.（12分）四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===y x ⑴若//，试求x 与y 满足的关系式；⑵满足⑴的同时又有BD AC ⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。

变式：已知()()1,1,1,1=-=b a ，当k 为何值时：⑴k 2-+与垂直？⑵k 2-+与平行？平行时同向还是反向？★22.（14分）已知向量()())90sin(),90cos(,)sin(2),cos(2θθθθ--=--=b a⑴求证：b a⊥；⑵若存在不等于0的实数k 和t ，使b t a k y b t a x +-=-+=,)3(2满足y x ⊥。

试求此时tt k 2+的最小值。

变式：已知()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==与之间有关系k -=+k＞0, ⑴用k 表示b a ⋅ ；⑵求b a ⋅的最小值，并求此时b a 与夹角的大小。

备选题： 1．（选择题）根据人口普查，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是（ ） A.21 B.31 C.41 D.51 2.（填空题）若向量b a、的夹角为 150，4,3==b a ，则=+b a2 .3.（解答题）如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ωϕωA t A I 在一个周期内的图象.⑴试根据图象写出)sin(ϕω+=t A I 的解析式； ⑵为了使)sin(ϕω+=t A I 中t 在任意一段1001 秒的时间内I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数 ω的最小值为多少？答案一、选择题1.B2.C3.C ，提示：余弦型函数为奇函数，可应用()00=f 求解参数的值.4.A5.B6.D7.A8.B9.A 10.A ，提示：指针在两个圆盘中的位置可对应成坐标平面上的整点()y x ,，其中{}7,5,4,3,2,1∈x ，{}9,8,7,3,2,1∈y ，这样的点共有36个，横纵坐标都为奇数的点有16个，故所求概率为943616= 11.B ，提示：循环结束的条件是2004>m ，此时对应的n 的值已经变成了1+n ，故输出的n 的值比满足条件的第一个n 的值多1，故选B12.D ，提示：45在每个周期出现两次，欲使任意长度为3的闭区间上45出现不少于4次且不多于8次，需函数的周期T 满足：T T 432≤≤，即2343≤≤T ，解之得：2723≤≤k ，故满足条件的k 的值为2或3.二、填空题13.①②③④⑤ 14.4π15.Z k k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡-,,2πππ，提示：22c o s1l o gs i n l o g 222x x y -==，解不等式()ππk x k 2212<≤-即得函数的单调递减区间. 16. 2三、解答题17.解： 变式：解：18.解：基本事件的总数为20⑴所选3人都是男生的事件数为4，所求概率为512041==P ⑵所选3人恰有1女生的事件数为12，所求概率为5320122==P⑶所选3人恰有2女生的事件数为4，概率为512043==P所选3人中至少有1名女生的概率为314555+=变式：解：不妨将红球编号为1，白球编号为2，3，则实验结果有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，2）、（2，3）、（3，3）共6种结果，并且每种结果出现的可能性都相同， ⑴2个球都为白球的结果共有3个，故所求概率为21⑵至少有一白球的结果共有5个，故所求概率为65 19.解：⑴依题意有：最小正周期为： 12=T 振幅：3=A10=b 62ππω==T 10)6sin(3)(+⋅==t t f y π⑵该船安全进出港，需满足：55.6+≥y即：5.1110)6sin(3≥+⋅t π21)6sin(≥⋅t πZ k k t k ∈+≤⋅≤+∴652662πππππZ k k t k ∈+≤≤+512112又 240≤≤t 51≤≤∴t 或1713≤≤t依题意：该船至多能在港内停留：16117=-（小时）变式：解：⑴f (x )＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21)sin(232ϕωϕωx x＝2sin(ϕω+x -6π) 因为 f (x )为偶函数，所以 对x ∈R,f (-x )=f (x )恒成立，因此 sin （-ϕω+x -6π）＝sin(ϕω+x -6π). 即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π),整理得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R,所以 cos （ϕ-6π）＝0.又因为 0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2π)=2cos x ω.由题意得 .2,222　＝ 所以 ωπωπ⋅=故 f (x )=2cos2x . 因为 .24cos2)8(==ππf⑵将f (x )的图象向右平移个6π个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)64(ππ-f 的图象.所以).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=f f x g 当 2k π≤32ππ-≤2 k π+ π (k ∈Z),即 4k π＋≤32π≤x ≤4k π+38π(k ∈Z)时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++384,324ππππk k (k ∈Z) 20.解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+221cos 2sin 2sin cos 22x x x x =++-1cos 2sin 2cos 222x x x =+- sin(2)6x π=-2T 2ππ==周期∴ 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈⑵5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()1222f f ππ-=<=，当12x π=-时，()f x 取最小值-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[ 变式：解：⑴2()sin 2sin )24x x f x =+-sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． 当πsin 123x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2． ⑵由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是偶函数．21.解：),(y x = )2,4()2,4()(+---=-+-=++-=-=y x y x ⑴// 则有0)4()2(=--⋅-+-⋅x y y x 化简得：02=+y x⑵)1,6(++=+=y x )3,2(--=+=y x CD BC BD 又⊥ 则 0)3()1()2()6(=-⋅++-⋅+y y x x化简有：0152422=--++y x y x 联立⎩⎨⎧=--++=+015240222y x y x y x 解得⎩⎨⎧=-=36y x 或⎩⎨⎧-==12y x DA BC // ⊥ 则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形当⎩⎨⎧=-=36y x )0,8()4,0(-==BD AC此时1621==S ABCD 当⎩⎨⎧-==12y x )4,0()0,8(-==此时1621==S ABCD 变式：解：∵ ()()1,1,1,1=-=∴ ()()1,32,1,1--=-++-=+k k k⑴∵ )2()(k -⊥+∴ －3（-k+1）-(k+1)=0 => k=2⑵∵ )2//()(b a b a k -+ ∴)2()(b a b a k -=+λ∴ 2121-==⇒⎩⎨⎧-==λλλk k ∵21-=k∵0<λ ∴b a b a k 2-+与平行时是反向的.★22.解：由诱导公式得： ()())cos ,sin ,sin 2,cos 2θθθθ=-=b a12==b a⑴0cos )sin 2(sin cos 2=⋅-+⋅=⋅θθθθb a则 b a ⊥⑵b t a k y b t a x +-=-+=,)3(2y x ⊥ 0=⋅∴y x即：0][])3([2=+-⋅-+b t a k b t a0)3()])(3([2222=-+⋅--++-b t t b a k t t a k 4)3(0)3(422t t k t t k -==-+-∴ 47)2(41]7)2[(41434)(2222-+=-+=-+=+=∴t t t t t t k t f 即当2-=t 时，t t k 2+的最小值为47-.变式：解：⑴∵a k -=+ ∴k -=+ 即()k b k a k b a k ⋅-+=⋅++232222222 ∴()()k b k a k b a 81332222-+-=⋅∵()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==，所以1,122==b a∴kk b a 412+=⋅⑵ ∵k k 212≥+,∴2142412=≥+k k k k ∴⋅的最小值为21又∵1cos ==⋅=⋅b a γ ∴ 21cos =γ ∴ 60=γ备选题：1．C 2. 23. 解：⑴由已知，300=A ，周期5013001601=+=T ，则ππω1002==T ； 将⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,3001代入函数解析式得：03sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ϕπ，则3πϕ= 所以)3 100sin(300ππ+=t I .⑵欲使函数)sin(ϕω+=t A I 在任意一段1001秒的时间内同时取最大值|A|和最小值－|A|，需1001≤T ，即10012≤ωπ，所以628200>≥πω，正整数ω的最小值为629．。