梁的平面弯曲及微分方程公式
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第九章 梁的平面弯曲
与杆的拉压、轴的扭转一样,弯曲是又一种形式的基本变形。承受弯曲作用的杆,称之为梁。本章研究梁的应力和变形。
工程中最常见的梁,可以分为三类,即简支梁、外伸梁和悬臂梁。
由一端为固定铰,另一端为滚动铰链支承的梁,称为简支梁;若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点,则称为外伸梁(可以是一端外伸,也可以是二端外伸);一端为固定端,另一端自由的梁,则称为悬臂梁。分别如图9.1(a )、(b)、(c)所示。 在平面力系的作用下,上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个,故约束力可以由静力平衡方程完全确定,均为静定梁。
工程中常见的梁,其横截面一般至少有一个对称轴,如图10.2(a )所示。此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面,如图10.2(b)。如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内,则称平面弯曲梁。平面弯曲梁变形后,梁的轴线将在此
(a ) 简支梁
(b) 外伸梁 (c) 悬臂梁 图9.1 梁的分类
纵向对称面平面内弯曲成一条曲线,此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。
这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载荷平面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲,称为平面弯曲。
平面弯曲是最基本的弯曲问题,本章仅限于讨论平面弯曲。与前面研究拉压、扭转问题一样,先研究梁的内力,再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研究梁横截面上的应力,进而研究梁的变形,最后讨论梁的强度与刚度。 §9.1 用截面法作梁的内力图
如第四章所述,用截面法求构件各截面内力的一般步骤是:先求出约束力,再用截面法将构件截开,取其一部分作为研究对象,画出该研究对象的受力图;截面上的内力按正向假设,由平衡方程求解。在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法,还给出了构件横截面上内力的符号规定。下面将通过若干例题,进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。
例9.1 悬臂梁受力如图9.3(a )所示,求各截面内力并作内力图。
图9.2 平面弯曲梁
矩形截面 梯形截面
圆形截面
工字形截面 槽形截面
梁轴线
(a )
材料力学A弯曲应力作业答案
1. 图示悬臂梁,横截面为矩形,承受载荷F 1与F 2作用,且F 1=2 kN ,F 2=5 kN ,试计算梁 内的最大弯曲正应力,及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。 解:(1) 画梁的弯矩图 (2) 最大弯矩(位于F 2作用点所在横截面): M max =2kNm (3) 计算应力: 最大应力:MPa W M Z 9.4661080401029 23 max max =???==-σ K 点的应力:MPa I y M Z K 2.3512 1080401021233 max =???== -σ 1 z
5. 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。许用拉应力[σl ]=40 MPa ,许用压应力[σc ]=160 MPa 。 试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变,但将T 形截面倒置成为⊥形,是否 合理?何故? 解:(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知:可能危险截面是B 和C 截面 (2) 计算截面几何性质 形心位置和形心惯性矩 mm A y A y i Ci i C 5.15730 20020030100 3020021520030=?+???+??=∑∑= 4 6232 310125.60200 30)1005.157(12 2003020030)5.157215(1230200m I zC -?=??-+?+??-+?=(3) 强度计算 B 截面的最大压应力 3max 6 20100.157552.4 []60.12510 B C C C zC M y MPa I σσ-??===?p B 截面的最大拉应力 3max 6 (0.23)2010(0.230.1575) 24.12 []60.12510B C t t zC M y MPa I σσ--?-===?p C 截面的最大拉应力 3max 6 10100.157526.2 []60.12510 C C t t zC M y MPa I σσ-??===?p 梁的强度足够。 (4) 讨论:当梁的截面倒置时,梁内的最大拉应力发生在B 截面上。 3max 6 20100.157552.4 []60.12510 B C t t ZC M y MPa I σσ-??===?f 梁的强度不够。 x
材料力学习题解答弯曲应力
6.1. 矩形截面悬臂梁如图所示,已知l =4 m , b / h =2/3,q =10 kN/m ,[σ]=10 MPa ,试确 定此梁横截面的尺寸。 解:(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知: 2max 2 ql M = (2) 计算抗弯截面系数 32 323669 h bh h W === (3) 强度计算 2 2max max 33912[]29 416 277ql M ql h W h h mm b mm σσ= ==?≤∴≥==≥ 6.2. 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示,若[σ]=160 MPa ,试求许可载荷。 解:(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知: No20a x ql 2x
max 23 P M = (2) 查表得抗弯截面系数 6323710W m -=? (3) 强度计算 max max 66 22 3[] 33[]3237101601056.8822 P M P W W W W P kN σσσ-===?≤????∴≤== 取许可载荷 []57P kN = 6.3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图,并求轴内最大正应力。 解:(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知:可能危险截面是C 和B 截面 (2) 计算危险截面上的最大正应力值 C 截面: 3max 33 32 1.341063.20.0632 C C C C C M M MPa d W σππ??====? B 截面: 3max 34 3444 0.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B B B B B M M MPa D d W D σππ?====?-- (3) 轴内的最大正应力值 MPa C 2.63max max ==σσ x
材料力学基本公式
材料力学基本公式 (1)外力偶矩计算公式(P功率,n转速) (2)弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 (3)轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式(杆件横截面轴力,横截面面积A,拉应力为正) (4)轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式(夹角α从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正) (5)纵向变形和横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样标距l1;拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d1) (6)纵向线应变和横向线应变,
(7)泊松比 (8)胡克定律 (9)受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 (10)承受轴向分布力或变截面的杆件,纵向变形计算公式 (11)轴向拉压杆的强度计算公式 (12)延伸率 (13)截面收缩率 (14)剪切胡克定律(切变模量G,切应变g )
(15)拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 (16)圆截面对圆心的极惯性矩() (17)圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式(扭矩,所求点到圆心距离) (18)圆截面周边各点处最大切应力计算公式 (19)扭转截面系数,(a)实心圆(b)空心圆 (20)圆轴扭转角与扭矩、杆长l、扭转刚度的关系式 (21)等直圆轴强度条件 (22)扭转圆轴的刚度条件:或
(23)平面应力状态下斜截面应力的一般公式 (24)平面应力状态的三个主应力 (25)主平面方位的计算公式 (26)平面内剪应力最大值和最小值 (27)三向应力状态最大与最小正应力, (28)三向应力状态最大切应力 (29)广义胡克定律
(30)四种强度理论的相当应力 (31)一种常见的应力状态的强度条件, (32)组合图形的形心坐标计算公式 , , (33)平面图形对x轴,y轴,z轴的静矩 , , (34)任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩 之和的关系式 (35)截面图形对z轴和y轴的惯性半径, (36)矩形、圆形、空心圆形对中性轴的惯性矩 , , (37)平行移轴公式(形心轴zc与平行轴z1的距离为a,图形面积为A) (38)纯弯曲梁的正应力计算公式
材料力学常用公式
材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式(P功 率,n转速) 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式(杆件 横截面轴力F N,横截面面积A,拉应力为正) 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式(夹角a 从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正) 5.纵向变形和横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样标 距l1;拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d1) 6.纵向线应变和横向线应变 7.泊松比 8.胡克定律 9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 ? 10.承受轴向分布力或变截面的杆件,纵向变形计算公式 11.轴向拉压杆的强度计算公式 12.许用应力 ,脆性材料 ,塑 性材料 13.延伸率 14.截面收缩率 15.剪切胡克定律(切变模量G,切应变g ) 16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 17.圆截面对圆心的极惯性矩(a)实心圆 (b)空心圆 18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式(扭矩T,所 求点到圆心距离r) 19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式
20.扭转截面系数,(a)实心圆 (b)空心圆 21.薄壁圆管(壁厚δ≤ R0 /10 ,R0为圆管的平均半径) 扭转切应力计算公式 22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不 同(如阶梯轴)时 或 24.等直圆轴强度条件 25.塑性材料 ;脆性材料 26.扭转圆轴的刚度条件? 或 27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公 式, 28. 平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 29.平面应力状态的三个主应力 , , 30.主平面方位的计算公式 31.面内最大切应力 32.受扭圆轴表面某点的三个主应力, ,33.三向应力状态最大与最小正应力 , 34.三向应力状态最大切应力 35.广义胡克定律
材料力学习题弯曲应力
弯 曲 应 力 基 本 概 念 题 一、择题(如果题目有5个备选答案,选出2~5个正确答案,有4个备选答案选出一个正确答案。) 1. 弯曲正应力的计算公式y I M z = σ的适用条件是( ) 。 A . 粱材料是均匀连续、各向同性的 B .粱内最大应力不超过材料的比例极限 C .粱必须是纯弯曲变形 D .粱的变形是平面弯曲 E .中性轴必须是截面的对称轴 2. 在梁的正应力公式y I M z = σ中,I z 为粱的横截面对( )轴的惯性矩。 A . 形心轴 B .对称轴 C .中性轴 D .形心主惯性轴 3. 梁的截面为空心圆截面,如图所示,则梁的抗弯截面模量W 为( )。 A . 32 3 D π B . )1(32 4 3 απ-D C . 32 3 d π D . 32 32 3 3 d D ππ- E .2 6464 44 D d D ππ- 题3图 题4图 4. 欲求图示工字形截面梁上A 点剪应力τ,那么在剪应力公式z z S bI S F *=τ中,S *z 表示 的是( )对中性轴的静矩。 A .面积I B .面积Ⅱ C .面积I 和Ⅱ D .面积Ⅱ和Ⅲ E .整个截面面积 -21-
5.欲求题4图所示工字形截面梁上A 点剪应力τ,那么在剪应力公式z z S bI S F *=τ中,b 应取( )。 A .上翼缘宽度 B .下翼缘宽度 C .腹板宽度 D .上翼缘和腹板宽度的平均值 6.图为梁的横截面形状。那么,梁的抗弯截面模量W z =( )。 A . 6 2 bh B .32632d bh π- C .2641243h d bh ? ??? ??-π D .??? ? ?-???? ??-22641243d h d bh π 7.两根矩形截面的木梁叠合在一起(拼接面上无粘胶无摩擦),如图所示。那么该组合梁的抗弯截面模量W 为( ) A . 62bh B .??? ? ??622 bh C .)2(612 h b D .h bh 21222???? ?? 8.T 形截面的简支梁受集中力作用(如图),若材料的[σ]- >[σ]+,则梁截面位置的合理放置为( )。 -22-
材料力学基本公式
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 (1)强度要求;(2)刚度要求;(3)稳定性要求。 变形固体的基本假设 (1)连续性假设;(2)均匀性假设;(3)各向同性假设;(4)小变形假设。 外力分类:表面力、体积力;静载荷、动载荷。 内力:构件在外力的作用下,内部相互作用力的变化量,即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法:(1)欲求构件某一截面上的内力时,可沿该截面把构件切开成两部分,弃去任一部分,保留另一部分研究(2)在保留部分的截面上加上内力,以代替弃去部分对保留部分的作用。(3)根据平衡条件,列平衡方程,求解截面上和内力。 应力: dA dF A F p A = ??=→?lim 正应力σ、切应力τ。 变形与应变:线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 (1)拉伸或压缩;(2)剪切;(3)扭转;(4)弯曲; 静载荷:载荷从零开始平缓地增加到最终值,然后不再变化的载荷。 动载荷:载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因:脆性材料在其强度极限b σ破坏,塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统 称为极限应力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为: []s s n σσ=,[]b b n σσ= ,强度条件:[]σσ≤??? ??=max max A F N ,等截面杆 []σ≤A F max 轴向拉伸或压缩时的变形:杆件在轴向方向的伸长为:l l l -=?1,沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为: l l ?= ε, A F N =σ。横向应变为: b b b b b -=?= 1'ε,横向应变与轴
向应变的关系为:μεε-=',μ为横向变形系数或泊松比。 胡克定律:当应力低于材料的比例极限P σ时,应力与应变成正比,即 εσE =,这就是胡克定律。E 为弹性模量(GPa 1= pa MPa 931010=)。将应力与应变的表达式带入得:EA Fl l = ?EA 为抗拉或抗压刚度。 静不定(超静定):对于杆件的轴力,当未知力数目多于平衡方程的数目,仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。需要由几何关系构造变形协调方程。 扭转变形时的应力,薄壁圆筒扭转 δ πτ202R M e = 其中 )min () (9549 )(r n kw p m N M e =? 420d D r R R +=+=为圆筒的平均半径。剪切胡克定律:当剪切应力不超过材料的剪切比例极限时,切应力 τ 与切应变γ成正比。γ τ G =. 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设 dx d φ ρ γρ=。物理关系——剪切胡克定律 dx d G G φρ γτρρ==。力学关系P A A A I dx d G dA dx d G dx d G dA T ?ρ?φρρτρ====???2 2 圆轴扭转时的应力 : t p W T I TR == max τ, t W = R I p 称为抗弯截面系数;强度条件: ][max ττ≤= t W T ,可以进行强度 校核、截面设计和确定许可载荷。 圆截面对圆心的极惯性矩(a )实心圆 32 4 D I P π= ; 16 3 D W t π= (b )空心圆,() 4 4 44132 32 ) (αππ-= -= D d D I P ; () 43 116 απ-= D W t (D,d 分别是外,内径; D d = α) 圆轴扭转时的变形: ?? ==l p l p dx GI T dx GI T ?;等直杆: p GI Tl = ?其中为圆轴的抗弯刚度P GI
材料力学习题册答案-第5章 弯曲应力
第 五 章 弯 曲 应 力 一、是非判断题 1、设某段梁承受正弯矩的作用,则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。 ( × ) 2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时,其横截面绕中性轴旋转。 ( √ ) 3、 在非均质材料的等截面梁中,最大正应力max σ 不一定出现在max M 的截面上。( × ) 4、等截面梁产生纯弯曲时,变形前后横截面保持为平面,且其形状、大小均保持不变。 ( √ ) 5、梁产生纯弯曲时,过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。 ( × ) 6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。 ( × ) 7、横力弯曲时,横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。 ( √ ) 二、填空题 1、应用公式y I M z = σ时,必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。 2、跨度较短的工字形截面梁,在横力弯曲条件下,危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。 3、 如图所示的矩形截面悬臂梁,其高为h 、宽为b 、长为l ,则在其中性层的水平剪力 =S F bh F 23 。 4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示,则其抗弯截面系数分别为 226 1 61bH BH -、 H Bh BH 66132- 和 H bh BH 66132 - 。 x
三、选择题 1、如图所示,铸铁梁有A,B,C和D四种截面形状可以供选取,根据正应力强度,采用( C )图的截面形状较合理。 2、 如图所示的两铸铁梁,材料相同,承受相同的载荷F。则当F 增大时,破坏的情况是( C )。 A 同时破坏; B (a)梁先坏; C (b)梁先坏 3、为了提高混凝土梁的抗拉强度,可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示,则梁内钢筋(图中虚线所示)配置最合理的是( D ) A B C D A B D x
材料力学公式汇总
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 (1)强度要求;(2)刚度要求;(3)稳定性要求。 变形固体的基本假设 (1)连续性假设;(2)均匀性假设;(3)各向同性假设;(4)小变形假设。 外力分类: 表面力、体积力;静载荷、动载荷。 内力:构件在外力的作用下,内部相互作用力的变化量,即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法:(1)欲求构件某一截面上的内力时,可沿该截面把构件切开成两部分,弃去任一部分,保留另一部分研究(2)在保留部分的截面上加上内力,以代替弃去部分对保留部分的作用。(3)根据平衡条件,列平衡方程,求解截面上和内力。 应力: dA dP A P p A = ??=→?lim 0正应力、切应力。 变形与应变:线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 (1)拉伸或压缩;(2)剪切;(3)扭转;(4)弯曲;(5)组合变形。 静载荷:载荷从零开始平缓地增加到最终值,然后不在变化的载荷动载荷:载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因:脆性材料在其强度极限 b σ破坏,塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应 力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为: []3 n s σσ=, []b b n σσ=,强度条件: []σσ≤??? ??=max max A N ,等截面杆 []σ≤A N m a x 轴向拉伸或压缩时的变形:杆件在轴向方向的伸长为:l l l -=?1,沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为:l l ?= ε,A P A N ==σ。横向应变为:b b b b b -=?=1'ε,横向应变与轴向应变的关系为:μεε-=' 。 胡克定律:当应力低于材料的比例极限时,应力与应变成正比,即 εσE =,这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得:EA Nl l = ? 静不定:对于杆件的轴力,当未知力数目多于平衡方程的数目,仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φ ρ γρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φρ γτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ???===2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力:t p W T R I T == max τ;圆轴扭转的强度条件: ][max ττ≤=t W T ,可以进行强度校核、截面设计和确
平面弯曲梁
第九章平面弯曲梁 §9-1 弯曲变形的概念 一、平面弯曲 弯曲变形是工程实际中最常见的一种基本变形。弯曲变形构件的受力特点是:在通过杆轴线的平面内,受到力偶或垂直于轴线的外力的作用。变形的特点是:杆的轴线被弯曲为一条曲线,这种变形称为弯曲变形。在外力作用下产生弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件,称为梁。 由横截面的对称轴与梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面,当外力作用线都位于梁的纵向对称平面内,梁的轴线在纵向对称平面内被完成一条光滑的平面曲线,这种弯曲变形称为平面弯曲。 二、梁的分类 单跨静定梁,一般可分为三类: 1、悬臂梁:即一端固定,一端自由的梁; 2、简支梁:即一端为固定铰支座,另一端为可动铰支座的梁; 3、外伸梁:即一端或两端伸出支座之外的简支梁。 梁在两个支座之间的部分称为跨,其长度则称为跨长或跨度。 §9-2梁的弯曲内力-剪力与弯距图 一、梁的内力—剪力Q和弯矩M 梁在横截面上的内力可用截面法求得。 (一)截面法求内力 如图(a)所示的简支梁,受集中载荷P1、P2、P3的作用,为求距A端x处横截面m-m 上的内力,首先求出支座反力R A、R B,然后用截面法沿截面m-m假想地将梁一分为二,取如图(b)所示的左半部分为研究对象。因为作用于其上的各力在垂直于梁轴方向的投影之和一般不为零,为使左段梁在垂直方向平衡,则在横截面上必然存在一个切于该横截面的合力Q(或F S),称为剪力。它是与横截面相切的分布内力系的合力;同时左段梁上各力
对截面形心O 之矩的代数和一般不为零,为使该段梁不发生转动,在横截面上一定存在一个位于荷载平面内的内力偶,其力偶矩用M 表示,称为弯矩。它是与横截面垂直的分布内力偶系的合力偶的力偶矩。由此可知,梁弯曲时横截面上一般存在两种内力。如图(b )。 由 ∑=0Y 01=--Q P R A 解得 1P R Q A -= 由 0=∑o m ()01=+-+-m a x P x R A 解得 ()a x P x R m A --=1 用截面法计算内力步骤是: 1、 计算支座反力 2、 用假象的截面将梁截成两段,任取某一端为研究对象。 3、 画出研究对象的受力图。 4、 建立平衡方程,计算内力。 (二)剪力Q 和弯矩M 的正负号规定 剪力与弯矩的符号规定: 剪力符号:当截面上的剪力使分离体作顺时针方向转动时为正;反之为负。 弯矩符号:当截面上的弯矩使分离体上部受压、下部受拉时为正,反之为负。
梁的平面弯曲及微分方程公式
第九章 梁的平面弯曲 与杆的拉压、轴的扭转一样,弯曲是又一种形式的基本变形。承受弯曲作用的杆,称之为梁。本章研究梁的应力和变形。 工程中最常见的梁,可以分为三类,即简支梁、外伸梁和悬臂梁。 由一端为固定铰,另一端为滚动铰链支承的梁,称为简支梁;若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点,则称为外伸梁(可以是一端外伸,也可以是二端外伸);一端为固定端,另一端自由的梁,则称为悬臂梁。分别如图9.1(a )、(b)、(c)所示。 在平面力系的作用下,上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个,故约束力可以由静力平衡方程完全确定,均为静定梁。 工程中常见的梁,其横截面一般至少有一个对称轴,如图10.2(a )所示。此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面,如图10.2(b)。如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内,则称平面弯曲梁。平面弯曲梁变形后,梁的轴线将在此 (a ) 简支梁 (b) 外伸梁 (c) 悬臂梁 图9.1 梁的分类
纵向对称面平面内弯曲成一条曲线,此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。 这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载荷平面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲,称为平面弯曲。 平面弯曲是最基本的弯曲问题,本章仅限于讨论平面弯曲。与前面研究拉压、扭转问题一样,先研究梁的内力,再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研究梁横截面上的应力,进而研究梁的变形,最后讨论梁的强度与刚度。 §9.1 用截面法作梁的内力图 如第四章所述,用截面法求构件各截面内力的一般步骤是:先求出约束力,再用截面法将构件截开,取其一部分作为研究对象,画出该研究对象的受力图;截面上的内力按正向假设,由平衡方程求解。在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法,还给出了构件横截面上内力的符号规定。下面将通过若干例题,进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。 例9.1 悬臂梁受力如图9.3(a )所示,求各截面内力并作内力图。 图9.2 平面弯曲梁 矩形截面 梯形截面 圆形截面 工字形截面 槽形截面 梁轴线 (a )
第九章 梁的平面弯曲
第九章 梁的平面弯曲 9-1 试画出图中各梁的剪力图与弯矩图,并确定梁中的max Q F 和max M 。 (a) 解:(1) 求支座反力,根据平衡方程得, A B A B B A 002(2)0 2 51 44 y F F F q a a M F a q a a F q a F q a =?+=?=??-??+==?=-?∑∑求得: , (2) 截面法求内力, 0≤x <2a :F N =0, S A 14 F F qa ==- A 1 4 M F x qax ==- 2a ≤x ≤3a :F N =0, S A B (2) 15 (2)344F F F q x a qa qa q x a qx qa =+--=-+--=-+ 2 A B 2 22 1 (2)(2)2 151(2)(2)442 19322 M F x F x a q x a qax qa x a q x a qx qax qa =+---=-+---=-+- (3) 画梁的剪力图与弯矩图, 根据剪力方程和弯矩方程画梁的剪力图与弯矩图如图所示。 F 14 2 F 2A B C SA SB SC SB A B C 10 2 1 1 4 4 M M qa M F qa F qa F F qa == ==-=-==左右根据剪力方程和弯矩方程计算、、各点的剪力和弯矩,F F N 2 S max max 12, 2 x a F qa M qa === 显然,在处有,