梁的平面弯曲及微分方程公式
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第九章 梁的平面弯曲
与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。承受弯曲作用的杆，称之为梁。本章研究梁的应力和变形。
工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。
由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。分别如图9.1(a )、(b)、(c)所示。 在平面力系的作用下，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约束力可以由静力平衡方程完全确定，均为静定梁。
工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(a )所示。此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。平面弯曲梁变形后，梁的轴线将在此
(a ) 简支梁
(b) 外伸梁
(c) 悬臂梁
图9.1 梁的分类
纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。
这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载荷平面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲，称为平面弯曲。
平面弯曲是最基本的弯曲问题，本章仅限于讨论平面弯曲。与前面研究拉压、扭转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。
§9.1 用截面法作梁的内力图
如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面上的内力按正向假设，由平衡方程求解。在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。下面将通过若干例题，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。 例9.1 悬臂梁受力如图9.3(a )所示，求各截面内力并作内力图。 图9.2 平面弯曲梁
矩形截面 梯形截面
圆形截面 工字形截面
槽形截面
梁轴线
(a )
解：1）求固定端约束力。
固定端A 处有三个约束力，但因梁上无x 方
向载荷作用，故F A x =0；只有F A y 、M A 如图所示。列平衡方程有： ∑F y =F A y -F =0 ∑M A (F )=M A -Fl =0
得到： F A y =F ； M A =Fl 2）求截面内力。
在距A 为x 处将梁截断，取左段研究，截面内力按正向假设，如图9.3(b)所示。 在0≤x 得到： F Q =F ； M =-F (l -x ) 注意，在x =l 的右端B 点，因为梁处于平衡，B 点右边截面之内力均为零。梁二端点外内力为零，以后将不再赘述。 3) 画内力图。在0≤x ≤l 内，剪力F Q ≡F ，剪力图为水平线，如图9.3(c)所示。弯矩M 随截面位置线性变化；当x =0时，M =-Fl ；x =l 时，M =0；弯矩图为连接此二点的直线，如图9.3(d)所示。此悬臂梁在固定端A 处弯矩值最大。 例9.2 求图9.4所示简支梁各截面内力并作内力图。 解：1）求约束力。注意固定铰A 处F A x =0，故梁 AB 受力如图所示。列平衡方程有： 图9.3 例9.1图 M F M A F (b) F B y 1 F A (a ) (b) ∑M A (F )=F B y (2a +b)-Fa -F (a +b)=0 ∑F y =F A y +F B y -2F =0 得到： F A y =F B y =F ； 2）求截面内力。 0≤x 1 由平衡方程有： ∑F y =F A y -F Q1=0；⇒ F Q1=F A y =F ； ∑M C (F )=M 1-F A y x 1=0 ⇒ M 1=Fx 1 a ≤x 2 M 2=F A y x 2-F (x 2-a )=Fa a +b ≤x 3<2a +b ；左段受力如图9.4(d)。 由平衡方程有： F Q3=F A y -2F =-F M 3=F A y x 3-F (x 3-a )-F (x 3-a -b)=F (2a +b)-Fx 3 注意在x =2a +b 的右端B 点，截面之内力（F Q 、M ）必然回至零。 3) 画内力图。 剪力图如图9.4(e)所示。注意在a ≤x ≤a +b 段内，F Q ≡0。 在0≤x 2 F A (c) 图9.4 例9.2图 F F M ≡Fa ；故弯矩图如图9.4(f)所示。