全国初中数学竞赛模拟试题(九)(无答案)

全国初中数学竞赛模拟试题（九）

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．1996

1996

的十位上的数字是

（ ） （A ）1

（B ）3

（C ）5

（D ）9

2．如果凸n 边形F （n ≥4）的所有对角线都相等，那么

（ ）

（A ）F 是四边形

（B ）F 是五边形

（C ）F 是四边形或五边形

（D ）F 是边相等或内角相等的多边形

3．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，那么关于x 的方程x 2

＋(a ＋b ＋c )x ＋(a 2

＋b 2

＋c 2

)＝0

（ ）

（A ）有两个负根 （B ）有两个正根 （C ）有两个同号实根 （D ）无实根

4．使得正n 边形的每个内角都是整数度数的n 的个数是

（ ）

（A ）16

（B ）18

（C ）20

（D ）22

5．在｛1，2，…，100｝这100个整数中，任取k 个数，使得在这k 个数中，总有两个数字之和等于另两个不同的数字之和．那么，满足条件的最小的k 的取值是 （ ） （A ）21

（B ）24

（C ）27

（D ）30

6．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上一点．下面四种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是 （ ）

（A ）AD ·BC ＝AB ·BD （B ）AB 2

＝AD ·AC （C ）∠ABD ＝∠ACB

（D ）AB ·BC ＝AC ·BD

二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．若360x

＝3，360y

＝5，则)1(32172y y

x －－－＝__________． 2．如图所示，□ABCD ，A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥A 4B 4∥BC ，C 1D 1∥C 2D 2

∥AB ，把□ABCD 共划分成15个小平行四边形，若四边形

C 2A 4

D 1B 1面积为S 1，S □MNPQ ＝S 0，则S □ABCD ＝__________．

3．若x ＝2

1

－

x

41，1－2x ＋22x 2－23x 3＋24x 4－…－21995x 1995

的值为____________．

4．在Rt △ABC 中，∠B ＝90º，AB ＝4，BC ＝2，D 为Rt △ABC 内任意一点，过D 分别作三角形三边的平行线EF 、MN 、PT ，设S 为△DEP 、△DMF 和△DNT 的面积之和，则S 的最小值是__________．

5．如图，B 是半径为3的⊙O 的直径AC 上的一点，BC ＝2，以AB ，

BC 为直径作⊙O 1，⊙O 2，⊙P 分别与⊙O 1，⊙O 2，⊙O 相切，则

⊙P 的半径r 的长为__________．

6．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P ．则点P 到两圆外公切线的距离为__________．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1．如图，O 是△ABC 内任意一点，直线AO ，BO ，CO 分别与三边相交于P ，Q ，R ．若a ＞b ＞c ，求证：OP ＋OQ ＋OR ＜a ．

A

B

C

D E

F

A A 1 A 2 A 3 A 4

A B

C

P

Q R

O

A

1 2

2．设方程x2＋ax＋1＝b的两个根均是自然数，证明：a2＋b2是合数．

3．在一个8

即棋子A号位，隔过一棋子B，跳入3B．所有棋子只有这一种走法，但可以向上，向左，向右跳动棋子．按以下要求设计一种初始状态：（1）走棋之前，前4行无棋子；

（2）经过一系列走步后，只有第一行剩一枚棋子；

（3）初始状态所用的棋子数最少．

请画出初始状态所用的棋子分布图，并做简要的走步说明．