向量的减法课件.ppt
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2.2.2向量的减法
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一个向 量的起点指向最后一个向量的终点.
2、向量加法的平行四边形法则 Db C
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
a
b
b
练习2
(1)化简AB AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
Come on!
小结:
(一)知识
1．理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义， 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
A
方法C：平移向量a,
b,
D
使它们起点相同，那么
b的终点指向a的终点的向量就是a b.
二、向量减法的三角形法则
1在平面内任取一点O A
2作OA a,OB b
3则向量BA a b
.a
O
ab
B
b
注意：
1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同 （否则无法相减）
2、差向量的终点指向被减向量的终点
由向量的加减法知
AC 故|
a AC
b，DB || a b
ab |，| DB ||
a
b
|
D
因为DAB 120O，所以DAC 60O b
C
O
12`0o
a
B
A
所以ADC是正三角形，则 | AC | 3
由于菱形对角线互相垂直平分,所以AOD是直角三角形，
| OD || AD | sin 60o 3 3 3 3
所以
|
a
b
|
3，| a
b
2 |
3
2 3
return
数学使人聪颖 数学使人严谨 数学使人深刻 数学使人缜密 数学使人坚毅 数学使人智慧
( A) AD (B)CD (C)DB (D)DC
（2）AB AC DB C
( A) AD (B) AC (C)CD (D)DC
例3：如图，平行四边形ABCD，AB=a，
AD=b，用 a、 b表示向量AC、DB。
D
C
→b
A →a B
注意向量的方向，向量 AC= a + b,向量DB = a - b
向量的减法
•特殊情况
1.共线同向
a
b
ab
AC
B
2.共线反向
a
b
ab
B
AC
思考：向量a－b与b－a是什么关系？|a－b|
与|a|＋|b|、|a|－|b|的大小关系如何？
a－b与b－a是相反向量.
|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取
等号；
|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时
a b a (b)
定义：求两个向量差的运算叫向量的减法。 表示： a b a (b),
回顾：
１、与 b 长度相等、方向相反的向量， 叫做 b 的相反向量
２、零向量的相反向量仍是零向量 ３、任一向量和它相反向量的和是零向量
已知a,b,根据减法的定义，如何作出a b呢？
a
b
B
ab b
b O a
(二)重点
重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则
练习、如图,已知向量AB a, AD b，DAB 120o， 且 | a || b | 3，求 | a b | 和 | a b |
C
O
D b
`
120o
a
B
A
解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，
由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形
取等号.
思考：|a－b|与|a＋b|有什么大小关
系吗？为什么？
B
C
ｂ
a＋b
a－b
O
a
A
思考8：对于非零向量a与b，向量a＋b与
a－b可能相等吗？
例１：
• 如图，已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
bd
a
c
BБайду номын сангаас
ab
A b
a
O
D
d cd
C c
例2：选择题
（1）AB BC AD D
作法:(1)在平面内任取一点A；
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b. 注意起点相同.共线向量不适用
走进新课
已知：两个力的合力为 F 其中一个力为 F1 求：另一个力 F2
F F2
F1
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
例3：如图平行四边形ABCD, AB a,
DA b,OC c, 证明：b c a OA
D
C
b
c
O
A
a
B
证明：b c DA OC OC CB OB
b c a OB AB OB BA OA
练习1
1.如图，已知a,b,求作a b.
（1）
a
（2）
a
b
b
（3）
a
（4）
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一个向 量的起点指向最后一个向量的终点.
2、向量加法的平行四边形法则 Db C
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
a
b
b
练习2
(1)化简AB AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
Come on!
小结:
(一)知识
1．理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义， 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
A
方法C：平移向量a,
b,
D
使它们起点相同，那么
b的终点指向a的终点的向量就是a b.
二、向量减法的三角形法则
1在平面内任取一点O A
2作OA a,OB b
3则向量BA a b
.a
O
ab
B
b
注意：
1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同 （否则无法相减）
2、差向量的终点指向被减向量的终点
由向量的加减法知
AC 故|
a AC
b，DB || a b
ab |，| DB ||
a
b
|
D
因为DAB 120O，所以DAC 60O b
C
O
12`0o
a
B
A
所以ADC是正三角形，则 | AC | 3
由于菱形对角线互相垂直平分,所以AOD是直角三角形，
| OD || AD | sin 60o 3 3 3 3
所以
|
a
b
|
3，| a
b
2 |
3
2 3
return
数学使人聪颖 数学使人严谨 数学使人深刻 数学使人缜密 数学使人坚毅 数学使人智慧
( A) AD (B)CD (C)DB (D)DC
（2）AB AC DB C
( A) AD (B) AC (C)CD (D)DC
例3：如图，平行四边形ABCD，AB=a，
AD=b，用 a、 b表示向量AC、DB。
D
C
→b
A →a B
注意向量的方向，向量 AC= a + b,向量DB = a - b
向量的减法
•特殊情况
1.共线同向
a
b
ab
AC
B
2.共线反向
a
b
ab
B
AC
思考：向量a－b与b－a是什么关系？|a－b|
与|a|＋|b|、|a|－|b|的大小关系如何？
a－b与b－a是相反向量.
|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取
等号；
|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时
a b a (b)
定义：求两个向量差的运算叫向量的减法。 表示： a b a (b),
回顾：
１、与 b 长度相等、方向相反的向量， 叫做 b 的相反向量
２、零向量的相反向量仍是零向量 ３、任一向量和它相反向量的和是零向量
已知a,b,根据减法的定义，如何作出a b呢？
a
b
B
ab b
b O a
(二)重点
重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则
练习、如图,已知向量AB a, AD b，DAB 120o， 且 | a || b | 3，求 | a b | 和 | a b |
C
O
D b
`
120o
a
B
A
解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，
由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形
取等号.
思考：|a－b|与|a＋b|有什么大小关
系吗？为什么？
B
C
ｂ
a＋b
a－b
O
a
A
思考8：对于非零向量a与b，向量a＋b与
a－b可能相等吗？
例１：
• 如图，已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
bd
a
c
BБайду номын сангаас
ab
A b
a
O
D
d cd
C c
例2：选择题
（1）AB BC AD D
作法:(1)在平面内任取一点A；
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b. 注意起点相同.共线向量不适用
走进新课
已知：两个力的合力为 F 其中一个力为 F1 求：另一个力 F2
F F2
F1
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
例3：如图平行四边形ABCD, AB a,
DA b,OC c, 证明：b c a OA
D
C
b
c
O
A
a
B
证明：b c DA OC OC CB OB
b c a OB AB OB BA OA
练习1
1.如图，已知a,b,求作a b.
（1）
a
（2）
a
b
b
（3）
a
（4）