85-3-3全纯函数的原函数(更新)

有理函数的原函数

120§6.3 有理函数的原函数有理函数若,P Q 都是实系数多项式函数,则称PR Q=为实有理函数；当P 的次数严格小于Q 的次数时,称有理函数PR Q=为真分式. 引理首系数为1的实系数多项式Q 在实数范围内有唯一的因式分解22()()()()()Q x x a x b x px q x rx s αβμν=--++++,其中,,a b 是互不相同的实数；(,),(,)p q r s 是互不相同的实数偶,满足224,,4p q r s <<；,,,,,,2()αβμναβμν*∈+++++恰为多项式Q 的次数.证: 由代数学的基本定理(任何《复变函数》教材中都会证明)容易得到这里的结论.只要注意到,当复数(0)A iB B +≠是Q 的k 重根时,A iB - 也是Q 的k 重根.故Q 含有因式22[()][()][()]k k k x A iB x A iB x A B -+--=-+ 222222(2),(2)4()k x Ax A B A A B =-++<+.□例1 将41x +在实数范围内因式分解. 解: 41x +有4个复根2i i±-±,故41(22222222x x i x i xi x i +=---++-++222211(((1)(1)2222x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+++=-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.□例2 将32584x x x +++在实数范围内因式分解. 解: 32584x x x +++有实根1-,故3222584(1)(44)(1)(2)x x x x x x x x +++=+++=++.□ 定理6.1(部分分式分解) 若PR Q=是真分式,其分母Q 有形如引理所述的因式分解,则PR Q=在实数范围内有唯一的部分分式分解12111()()()j j jjj j A B R x x a x b βα===++--∑∑221122()()j j j j jjj j K x L M x N x px q x rx s μν==+++++++++∑∑,其中,,,,,,,j j jj j j A B KL M N 都是实常数. 证: 任何数学系《复变函数》教材中都会证明.□例3 将2411x x ++在实数范围内分解成部分分式.解: 设 2411x x +=++,比较系数后便知0K M ==, 12L N ==.□例4 将232584x x x x +++在实数范围内分解成部分分式. 解:设 232258412(2)x A B Cx x x x x x =++++++++,比较系数后便知 1A =, 0,4B C ==-.□有理函数的原函数为了求出有理函数的原函数,只要能求出22222()()()()n n nKx LKd x px q L Kpdx dx x px q x px q x px q +++-=+++++++⎰⎰⎰,n *∈.令0a =>,则只要能求出22222()()()pn n p dx d x x px q x a +=++⎡⎤++⎣⎦⎰⎰. 记22()n n dx I x a =+⎰,能得到递推关系12221(21)2()n n nxI n I C na x a +⎡⎤=+-+⎢⎥+⎣⎦. 证: 222222212()()()n n n n dx x x dxI n x a x a x a +==++++⎰⎰2222222122122()()()n n n x x a dxn dx na x a x a x a +++=+-+++⎰⎰ 212222()n n n xnI na I C x a +=+-++, 12221(21)2()n n nxI n I C na x a +⎡⎤=+-+⎢⎥+⎣⎦.□ 练习题6.3(246P ) 4,9,13.122§6.4 可有理化函数的原函数2元多项式称形如00mnj k jk j k a x y ==∑∑的2元函数为2元多项式函数,其中(0,1,,;0,1,,)jk a j m k n ==是实常数.2元有理函数若(,),(,)P x y Q x y 都是实系数2元多项式函数,则称(,)(,)(,)P x y R x y Q x y =为2元实有理函数. (cos ,sin )R x x 的原函数(万能换元法) 对于2元实有理函数R ,如果令tan 2xt =,即2arctan x t =,则2222122(cos ,sin )(,)111t t R x x dx R dt t t t -=+++⎰⎰. 证: 22222211cos cos sin (1tan )2221sec 2x x x t x x t -=-=-=+, 2222sin 2sin cos tan 2221sec 2x x x t x x t ===+,22(2arctan )1dx d t dt t ==+.□(,R x 的原函数(,n AD BC *∈≠) 对于2元实有理函数R ,如果令t =即n nDt B x Ct A -=-+,则12(,()(,)()n n n n Dt B tR x dx n AD BC R t dt Ct A Ct A --=--+-+⎰⎰.证: 112()()()n n n n n n n Dt B Dnt Ct A Cnt Dt B dx d dt Ct A Ct A --⎫⎛--++-==⎪ -+-+⎝⎭12()()n n t n AD BC dt Ct A -=--+.□ 例1 求 22cos sin n n dx x x +⎰,2121sin cos sin n n xdxx x--+⎰. 解: 222221(tan )cos sin cos (1tan )n n n n dx d x x x x x -=++⎰⎰ 212(1tan )(tan )1tan n nx d x x-+=+⎰.12321212421sin tan (tan )cos sin cos (1tan )n n n n xdx xd x x x x x ----=++⎰⎰2221tan (1tan )(tan )1tan n n x x d x x--+=+⎰.□ 例2 求,a x b <<⎰. 解: ()2b x =--=-⎰⎰2=-+⎰由§6.2例10)()b a =-+-⎰(b a C =--.□例3 求2dx x +⎰. 解: 22221122(2)2dx dx x x x==++⎰⎰. 令t =即2211x t =-,则222212122(1)21tt dx dt x t t ⎫⎛-=⎪ +-⎫⎛⎝⎭+ ⎪-⎝⎭⎰⎰22222(1)(1)t dt t t =--+-⎰21222=-.□积分仪和微分仪的原理 Leibniz 在1684年设计出了积分仪的雏形，两位不知名的工程师在1878年设计出了可供实用的积分仪,其原理也可用来设计微分仪.积分仪的工作原理如黑板上的图示. 练习题6.4(250P ) 1(8,10),2(11,12).。

最全反三角函数概念图像完整版.doc

反三角函数图像与特征反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为－1反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点：，该点切线斜率为－1渐近线：渐近线：名称反正割曲线反余割曲线方程图像顶点渐近线反三角函数的定义域与主值范围函数主值记号定义域主值范围反正弦若，则反余弦若，则反正切若，则反余切若，则反正割若，则反余割若，则一般反三角函数与主值的关系为式中n为任意数数学术语将y作为的主值限在y=x对称。

其，π/2]arcsin x x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。

arccosx的角，该角的范围在[0，π]区间内。

【图中蓝线】⑶在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。

arctan x表示一x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。

【图中绿线】注释：【图的画法根据反函数的性质即：反函数图像关于y=x对称】反三角函数主要是三个：y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]图象用红色线条；y=arccos(x），定义域[-1，1] ，值域[0，π]，图象用蓝色线条；y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用绿色线条；y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π），图象无；sin(arcsin x)=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1] arcsin(-x)=-arcsinx 证明方法如下：设arcsin(x)=y，则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得其他几个用类似方法可得cos(arccos x)=x，arccos(-x)=π-arccos x tan(arctan x)=x，arctan(-x)=-arctanx反三角函数其他公式：arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……（|x|<1) !！表示双阶乘arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……）（|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……举例当x∈[-π/2，π/2] 有arcsin(sinx)=x x∈[0，π]，arccos(cosx)=x x∈（-π/2，π/2），arctan(tanx)=x x∈（0，π），arccot(cotx)=x x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似若(arctanx+arctany）∈（-π/2，π/2），则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy)) 例如，arcsinχ表示角α，满足α∈[-π/2，π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β，满足β∈[0，π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ，满足φ∈（-π/2，π/2)且tanφ=2基本知识：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsinx 可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。

2023-2024学年湖南省长沙一中高一(下)第三次月考数学试卷(含答案)

2023-2024学年湖南省长沙一中高一（下）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数a +3i2+i 是纯虚数，则实数a =( )A. −32B. 32C. −23D. 232.某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下：班级12345678得分2834343026282832则下列说法正确的是( )A. 得分的众数为34 B. 得分的中位数为28C. 得分的75%分位数为33D. 得分的极差为63.已知平面α、β，直线l ⊂α，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是( )A. 若α//β，m//β，则l//m B. 若α//β，m ⊥β，则l ⊥m C. 若l//m ，α//β，则m//βD. 若l ⊥m ，m//β，则α⊥β4.已知a >0，b >0，则“a +b >1”是“ab >14”( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知正六棱柱ABCDEF−A 1B 1C 1D 1E 1F 1的所有棱长均为1，则这个棱柱侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角的余弦值为( )A. 12B.64C. 14D. 06.已知cos (α+π8)+2cos(α−3π8)=0，则tan (2α+π4)=( )A. 12B. 43C. −1D. −437.已知m ∈R ，若函数f(x)=1x +1−mx−m−3(−1<x ≤0)在定义域内有且仅有两个不同的零点，则m 的取值范围是( )A. (−94,−2)B. (−94,−2]C. (−114,−2)D. (−114,−2]8.已知集合I ⊆{a|a =(x,y)，x ，y ∈R}，若对于任意m ，n ∈I ，以及任意λ∈[0,1]，满足λm +(1−λ)n ∈I ，则称集合I 为“类圆集”.下列说法正确的是( )A. 集合A ={a|a =(x,y)，y ≥x 3}为“类圆集”B. 集合B ={a|a =(x,y)，y ≤lnx}为“类圆集”C. 集合C ={a|a =(x,y)，y ≥x 2}不为“类圆集”D. 若A ，B 都是“类圆集”，则A ∪B 也一定是“类圆集”二、多选题：本题共3小题，共18分。

高三数学一轮复习易错题3基本初等函数

综上可知所求的取值范围是1＜＜2
易错点7．公式运用不熟练没有得到最终解
【例7】已知求
【错解】∵ ∴
∴
错因：因对性质不熟而导致题目没解完.
【正解】∵ ∴
∴
易错点8．关于方程根考虑不全面
【例8】已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.
【错解】设 ∵ 有且只有一根在区间（0,1）内
∴ 得＜－2
所以，解得，此时，
综上，即的取值范围是，
故选：D.
10．函数在的图像大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以为奇函数，关于原点对称，故排除，又因为，，，，故排除、 ,
故选：D.
11．已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【正解】方法一：∵
＝＝＝－，∴ 是奇函数
方法二：∵
＝
∴ 是奇函数
易错点5．不理解定义域和单调性的联系
【例5】已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.
【错解】∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),
综上， .
故选：C
8．函数的零点个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】函数f(x)=ex|lnx|﹣2的零点可以转化为：|lnx| 的零点；
在坐标系中画出两个函数的图象，根据图象可得有两个交点；
故原函数有两个零点.
故选：B.
9．已知，函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）

信号与系统试题附答案

信号与系统试题附答案信科0801《信号与系统》复习参考练习题一、单项选择题：17、如图所示：f （t ）为原始信号，f 1(t)为变换信号，则f 1(t)的表达式是（）A 、f(－t+1)B 、f(t+1)C 、f(－2t+1)D 、f(－t/2+1)18、若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（）19。

信号)2(4sin 3)2(4cos 2)(++-=t t t f ππ与冲激函数)2(-t δ之积为（）A 、2B 、2)2(-t δC 、3)2(-t δD 、5)2(-t δ，则该系统是（）＞－系统的系统函数．已知2]Re[,651)(LTI 202s s s s s H +++=A 、因果不稳定系统B 、非因果稳定系统C 、因果稳定系统D 、非因果不稳定系统21、线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是（）A 、常数B 、实数C 、复数 D 、实数+复数22、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是（）A 、阶跃信号B 、正弦信号C 、冲激信号 D 、斜升信号23. 积分⎰∞∞-dt t t f )()(δ的结果为( )A )0(fB )(t f C.)()(t t f δD.)()0(t f δ24. 卷积)()()(t t f t δδ**的结果为( )A.)(t δB.)2(t δC.)(t f D.)2(t f25. 零输入响应是( )A.全部自由响应B.部分自由响应C.部分零状态响应D.全响应与强迫响应之差 2A 、1-eB 、3eC 、3-e D 、1 27.信号〔ε(t)－ε(t －2)〕的拉氏变换的收敛域为( )A.Re[s]>0B.Re[s]>2C.全S 平面D.不存在28．已知连续系统二阶微分方程的零输入响应)(t yzi 的形式为tt BeAe2--+，则其2个特征根为( )A。

关于分段函数的原函数

第28卷第2期 Journal of Xiangfan University V ol.28 No.2关于分段函数的原函数樊孝菊（襄樊学院数学系，湖北襄樊 441053）摘要：文章主要讨论了连续分段函数、具有第一类间断点的分段函数、具有第二类间断点的分段函数三种情形的原函数问题.关键词：分段函数；间断点；原函数中图分类号：O172.1 文献标志码：A 文章编号：1009-2854(2007)02-0018-02分段函数()f x =12(),;(),.f x a x c f x c x b ≤≤⎧⎨<≤⎩ （1）文章以式（1）为例，讨论()f x 在区间[],a b 上的原函数问题.1 分段函数)(x f 在区间[]b a ,上连续的情形下的原函数问题引理1[1] 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，若极限)0()(lim 0+′=′+→a f x f a x 存在，则)(x f 在a 点的右导数()f a +′存在，且()(0)f a f a +′′=+.对于左导数也有类似的结论.引理2 设)(x F 在区间(,]a b 上具有连续的导数，且 )0(+′a F 存在，则)0(+a F 存在.证明：定义=)(x g (),;(0),.F x a x b F a x a ′<≤⎧⎨′+=⎩ 则)(x g 是[]b a ,上的连续函数，于是)(x g 的原函数一定存在. 设它的原函数为)(*x F ，则)(*x F 在[]b a ,上一定连续.由于)(x F 为)(x g 在(,]a b 上的原函数，所以当],(b a x ∈时有)()(*x F c x F +=.令0+→a x ，则得)0()0(*++=+a F c a F ，这说明)0(+a F 存在. 证毕.下面考查形如（1）式的分段函数)(x f 的原函数问题. 若)(x f 在[]b a ,上连续，就意味着)(1x f 在[]c a ,上连续，)(2x f 在],(b c 上连续，且)()0(12c f c f =+.有如下定理.定理设分段函数=)(x f 12(),;(),.f x a x c f x c x b ≤≤⎧⎨<≤⎩在[]b a ,上连续，则 1)存在)(1x f 在[]c a ,上的一个原函数)(1x F 及)(2x f 在],(b c 上的一个原函数)(2x F ，使)0(2+c F 存在且)()0(12c F c F =+；2)=)(x F ⎩⎨⎧≤<≤≤.),(;),(21b x c x F c x a x F就是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数.证明：1)由于)(1x f 在[]c a ,上连续，所以存在原函数，设它的一个原函数为)(1x F .同样在],(b c 上存在)(2x f 的原函数，设它的一个原函数为)(*2x F ，显然，)(*2x F 在],(b c 上具有连续的导数，且)0()0(2*2+=+′c f c F 存在，由引理2知)0(*2+c F 存在.收稿日期：2006-09-04作者简介：樊孝菊(1963- ), 女, 湖北京山人, 襄樊学院数学系高级讲师.令)0()()()(*21*22+−+=c F c F x F x F (2 ) 则)(2x F 也是)(2x f 在],(b c 上的一个原函数，且)()0(12c F c F =+.2)令=)(x F ⎩⎨⎧≤<≤≤.),(;),(21b x c x F c x a x F （3）则)(x F 在[]b a ,上连续，当c x ≠时)()(x f x F =′. 由)(x F 的定义知)()()(1c f c f c F ==′−，又由引理1知)(c F ′+存在且)()(c f c F =′+，因此)()(c f c F =′. 故)(x F 就是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数. 证毕.进一步，对于无穷区间()+∞∞−,的情形定理也成立. 示例1：求分段函数=)(x f ⎩⎨⎧>+≤.0,1;0,x x x e x 的一个原函数.由于)(x f 为()+∞∞−,上的连续函数，所以其原函数一定存在. 当0≤x 时，x e 的一个原函数为x e x F =)(1；当0>x 时，1+x 的一个原函数为x x x F +=2)(2*2，由于1)0(01==e F ，0)00(*2=+F ，由式(2)可得12)00()0()()(2*21*22++=+−+=x x F F x F x F ，由式(3)可得=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤.0,12;0,2x x x x e x 即是)(x f 的一个原函数. 2 分段函数)(x f 在区间[]b a ,上c x =点处具有第一类间断点的情形[]31)分段函数)(x f 在区间[]b a ,上，除c x =点处具有第一类跳跃间断点外，在其它各点处处连续时，)(x f 在c x =点处无原函数.事实上，由于)0(1−c f ，)0(2+c f 均存在，但12(0)(0)f c f c −≠+. 若)(x f 在[]b a ,上有原函数，设它的一个原函数为)(x F ，则有20lim ()(0)x c F x f c →+′=+，10lim ()(0)x c F x f c →−′=−均存在. 由引理1知 2()(0)F c f c +′=+，1()(0)F c f c −′=−，所以)()(c F c F ′≠′−+，故)(x F 在c x =处不可导. 故)(x f 在c x =点处无原函数.2)分段函数)(x f 在区间[]b a ,上除c x =点处具有第一类可去间断点外，在其它各点处处连续时，)(x f 在c x =点处无原函数.事实上，由于)0(−c f ，)0(+c f 均存在且相等，但)()0()0(c f c f c f ≠+=−若)(x f 在[]b a ,上有原函数，设它的一个原函数为)(x F ，则)(c F ′存在，但)()(c f c F ≠′. 所以，)(x f 在c x =点处无原函数. 3 分段函数)(x f 在[]b a ,上c x =处具有第二类间断点的情形分段函数)(x f 在区间[]b a ,上，除在c x =点处具有第二类间断点外，在其它各点处处连续时，)(x f 在c x =点处是否有原函数是不确定的.示例2[2]：函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠−.0,0;0,1cos 1sin 2x x x x x 在0=x 处具有第二类间断点，其原函数为 =)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧=≠.0,0;0,1sin 2x x x x （下转第31页）第28卷第2期襄樊学院学报 2007年第2期3.2 测试性能分析从以上的测试结果可以看出，本系统中频率、电压、电流的测量精度达到99%左右，无功功率和有功功率的测量精度达到了98%左右，经过补偿后的功率因数的测量精度也达到了98%左右，完全达到了预先设定的96%的技术指标，市场上同类产品的技术指标也就在96%~98%之间，所以本系统的成功设计也为后续研究工作的进一步拓展起到了很好的指导作用.参考文献：[1] 祝大卫. 功率因数校正控制器NCP1601[J]. 电子世界, 2005 (4):39-40.[2] PHIL ZUK. 采用功率因数校正(PFC)技术设计电源[J]. 电子产品世界, 2006 (5):110-111.[3] 王福瑞. 单片微机测控系统设计大全[M]. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2006.[4] 曾庆虹, 杨时杰. 基于平均电流控制的有源功率因数校正技术[J]. 郑州大学学报(工学版), 2006 (1):75-77.[5] 陈特放, 石英春, 余明扬, 等. 基于数字控制的功率因数校正器的设计[J]. 郑州大学学报(工学版), 2006 (2): 98-101.The Study of Power-Factor Monitoring and Compensation Based on Chip CS5460ASUN Nan-hai, CAI Bing(Department of Physics and Electronic Information Technology, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)Abstract: This power-factor monitoring and compensation system was made up of electrical parameters detection system and compensation controlling system. One of electrical parameters detection functions was achieved by specialized chip CS5460A that coming from CirrusLogic Company in America. The monitoring and compensation systems were composed by this chip along with SCM. This kind of system can detect various electrical parameters and compensate reactive power, the real-time displaying by LCD as well.Key words: Power-factor; Detection system; Compensation controlling system（上接第19页）示例3：函数=)(x f 2sec ,0;2cos ,.2x x x x πππ⎧≤<⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩在2π=x 处具有第二类间断点，但在2π=x 处无原函数. 以上对分段函数)(x f 在其分段点x c =处连续、具有第一类间断点两种情形的原函数问题从理论上进行了研究；但对分段函数)(x f 在其分段点x c =处具有第二类间断点情形的原函数问题仅给出了示例，有待于进一步作理论上的分析。

不定积分(公式大全)

2 x x 2 d e e x x 2 2 x d e u d x e u u C e x 2 C 例 7 求tanxdx
解:taxndxcs ionxxsdx
设tua＝xn codsx，x则cdu1o ＝x-ss( insxdixxn)dxu 1du
ln|u|Cln|c ox|sC
所以 x2.x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x的原函数。 .
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示
为F(x)＋C 证明:
⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数
⑵略
.
这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x), 那么它就有无穷多个原函数, 它们都可以表示为F(x)＋C的形式。 [定义5.2]
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分, 记作∫f(x)dx,
所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明, 被积函数中不为零的常数因子可以
提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
该性质表明, 两个函数的和或差的不定积分等于这两个函数的不定积分的和或差
.
五、基本积分公式的应用
.
例 1 求 x12dx
解 :x12d x(x22x1)d xx2d x2xdxdx
1x3x2xC 3
再如求(x13)x(x223)dx
解:
(x1)(x23)

cauchyhadamard定理

cauchyhadamard定理摘要：1.柯西- 哈达玛定理的概念和定义2.柯西- 哈达玛定理的证明方法3.柯西- 哈达玛定理的应用领域4.柯西- 哈达玛定理的重要性正文：1.柯西- 哈达玛定理的概念和定义柯西- 哈达玛定理（Cauchy-Hadamard Theorem）是复分析领域的一个基本定理，它描述了复平面上的解析函数的性质。

该定理是由法国数学家柯西（Cauchy）和哈达玛（Hadamard）于19 世纪中叶独立发现的。

该定理表明，如果一个函数在复平面上的某一区域是解析的，那么它在该区域内的导数也是解析的。

换句话说，解析函数的导数仍然是解析的。

2.柯西- 哈达玛定理的证明方法为了证明柯西- 哈达玛定理，我们需要引入一些相关的概念和工具。

首先，我们需要了解什么是解析函数。

解析函数是指满足柯西- 黎曼（Cauchy-Riemann）方程的函数，即f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中u 和v 是实函数，满足u_x + v_y = 0。

接下来，我们需要了解什么是全纯函数。

全纯函数是指满足柯西- 黎曼方程的解析函数，并且满足f(z) 的实部和虚部都是全纯函数。

在这个背景下，我们可以通过证明柯西- 黎曼方程的齐次方程的解的性质来证明柯西- 哈达玛定理。

具体来说，我们可以证明齐次方程的解在单位圆上的取值是解析的，这就证明了原函数也是解析的。

3.柯西- 哈达玛定理的应用领域柯西- 哈达玛定理在复分析领域有着广泛的应用。

首先，它可以用来研究复平面上的解析函数和全纯函数的性质。

其次，它可以用来研究复变函数的积分和级数。

此外，它还在复流形、调和分析、复数微积分等领域有着重要的应用。

4.柯西- 哈达玛定理的重要性柯西- 哈达玛定理的重要性在于它揭示了复平面上的解析函数的性质，为我们研究复分析提供了一个基本的工具。

此外，它也为其他数学领域，如调和分析、复数微积分等提供了重要的理论支持。

2024年湖南省长沙市中考数学试卷及答案

2024年湖南省长沙市中考数学真题试卷一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题,每小题3分,共30分)1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动,截至2024年6月上旬,上线慕课数量超过7.8万门,学习人次达1290000000,建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为()A.81.2910⨯ B.812.910⨯ C.91.2910⨯ D.712910⨯3.“玉兔号”是我国首辆月球车,它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器.“玉免号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是-180℃,最高温度是150℃,则它能够耐受的温差是()A.180o C- B.150O CD.330O C C.30O C4.下列计算正确的是()A.642x x x ÷= B.+=C.325()x x = D.222()x y x y +=+5.为庆祝五四青年节,某学校举办班级合唱比赛,甲班演唱后七位评委给出的分数为:9.5,9.2,9.6,9.4,9.5,8.8,9.4,则这组数据的中位数是()A.9.2B.9.4C.9.5D.9.66.在平面直角坐标系中,将点(3,5)P 向上平移2个单位长度后得到点'P 的坐标为()A.(1,5)B.(5,5)C.(3,3)D.(3,7)7.对于一次函数21y x =-,下列结论正确的是()A.它的图象与y 轴交于点(0,1)-B.y 随x 的增大而减小C.当12x >时,0y < D.它的图象经过第一、二、三象限8.如图,在ABC ∆中,60,50O O BAC B ∠=∠=,//AD BC ,则1∠的度数为()A.50oB.60oC.70oD.80o9.如图,在O 中,弦AB 的长为8.圆心O 到AB 的距离4OE =.则O 的半径长为()A.4B.2C.5D.210.如图,在菱形ABCD 中,6,30O AB B =∠=,点E 是BC 边上的动点,连接,AE DE ,过点A 作AF DE ⊥于点F .设,DE x AF y ==,则y 与x 之间的函数解析式为()(不考虑自变量x 的取值范围)A.9y x=B.12y x=C.18y x=D.36y x=二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势,每种秧苗各随机抽取40株,分别量出每株高度,计算发现三组秧苗的平均高度一样,并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6,10.8,15.8,由此可知____种秧苗长势更整齐(填“甲”、“乙”或“丙”).12.某乡镇组织“新农村,新气象”春节联欢晚会,进入抽奖环节.抽奖方案如下:不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有3个,蓝球有5个,每次摇匀后从中随机摸一个球,摸到红球获一等奖,摸到黄球获二等奖,摸到蓝球获三等奖,每个家庭有且只有一次抽奖机会.小明家参与抽奖,获得一等奖的概率为_______.13.要使分式619x -有意义,则x 需满足的条件是______.14.半径为4,圆心角为90o 的扇形的面积为______(结果保留π).15.如图,在ABC ∆中,点,D E 分别是,AC BC 的中点,连接DE =.若12DE =,则AB 的长为______.16.为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生、其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘以10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘以10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是____.三、解答题(本大题共9个小题,第17,18,19题每小题6分,第20,21题每小题8分第22,23题每小题9分,第24,25题每小题10分,共72分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:101()32cos30( 6.8)4o π-+----18.先化简,再求值:2(2)(3)(3)m m m m m --++-,其中52m =.19.如图,在Rt ABC ∆中,90,2oACB AB AC ∠===,分别以点,A B 为圆心,大于12AB 的长为半径画弧,两弧分别交于点M 和N .作直线MN 分别交,AB BC 于点,D E ,连接,CD AE .(1)求CD 的长;(2)求ACE ∆的周长.20.中国新能源产业异军突起.中国车企在政策引导和支持下,瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线,加大研发投入形成了领先的技术优势.2023年,中国新能源汽车产销量均突破900万辆,连续9年位居全球第一.在某次汽车展览会上,工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动(每人限选其中一种类型),并将数据整理后,绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图.类型人数百分比纯电m 54%混动n%a 氢燃料3%b 油车5%c 请根据以上信息,解答下列问题:(1)本次调查活动随机抽取了_______人;表中a =____,b =______;(2)请补全条形统计图;(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数;(4)若此次汽车展览会的参展入员共有4000人,请你估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有多少人?21.如图,点C 在线段AD 上,,,AB AD B D BC DE =∠=∠=.(1)求证:ABC ADE ∆≅∆;(2)若60O BAC ∠=,求ACE ∠的度数.22.刺绣是我国民间传统手工艺.湘绣作为中国四大刺绣之一,闻名中外.在巴黎奥运会倒计时50天之际,某国际旅游公司计划购买A,B 两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A 种湘绣作品与2件B 种湘绣作品共需要700元,购买2件A 种湘绣作品与3件B 种湘绣作品共需要1200元.(1)求A 种湘绣作品和B 种湘绣作品的单价分别为多少元?(2)该国际旅游公司计划购买A 种湘绣作品和B 种湘绣作品共200件,总费用不超过50000元,那么最多能购买A 种湘绣作品多少件?23.如图,在ABCD 中,对角线,AC BD 相交于点,90O O ABC ∠=.(1)求证:AC BD =;(2)点E 在BC 边上,满足CEO COE ∠=∠.若6,8AB BC ==,求CE 的长及tan CEO ∠的值。

信号与系统试题附答案

信号与系统试题附答案应该有用!信科0801《信号与系统》复习参考练习题一、单项选择题：应该有用!应该有用!14、已知连续时间信号f(t)in50(t2),则信号f(t)·co104t所占有的频带宽度为（）100(t2)A．400rad／B。

200rad／C。

100rad／D。

50rad／应该有用!15、已知信号f(t)如下图（a）所示，其反转右移的信号f1(t)是（）16、已知信号f1(t)如下图所示，其表达式是（）A、ε（t）＋2ε(t－2)－ε(t－3)B、ε(t－1)＋ε(t－2)－2ε(t－3)C、ε(t)＋ε(t－2)－ε(t－3)D、ε(t－1)＋ε(t－2)－ε(t－3)17、如图所示：f（t）为原始信号，f1(t)为变换信号，则f1(t)的表达式是（）A、f(－t+1)B、f(t+1)C、f(－2t+1)D、f(－t/2+1)应该有用!18、若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（）19。

信号f(t)2co4(t2)3in4(t2)与冲激函数(t2)之积为（）A、2B、2(t2)C、3(t2)D、5(t2)20．已知LTI系统的系统函数H()1,Re[]＞－2，则该系统是（）256A、因果不稳定系统B、非因果稳定系统C、因果稳定系统D、非因果不稳定系统21、线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是（）A、常数B、实数C、复数D、实数+复数22、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是（）A、阶跃信号B、正弦信号C、冲激信号D、斜升信号应该有用!23.积分f(t)(t)dt的结果为()Af(0)Bf(t)C.f(t)(t)D.f(0)(t)24.卷积(t)f(t)(t)的结果为()A.(t)B.(2t)C.f(t)D.f(2t)25.零输入响应是()A.全部自由响应B.部分自由响应C.部分零状态响应D.全响应与强迫响应之差2A、eB、eC、eD、113327.信号〔ε(t)－ε(t－2)〕的拉氏变换的收敛域为()A.Re[]>0B.Re[]>2C.全S平面D.不存在28．已知连续系统二阶微分方程的零输入响应yzi(t)的形式为AetBe2t，则其2个特征根为()A。

§3-2 最简原函数表分项积分法

第3章牛顿-莱布尼茨积分和积分法106 §3-2 最简原函数表·分项积分法为了求积分，根据牛顿-莱布尼茨公式，需要求原函数.求原函数的方法称为积分法.像微分法那样，莱布尼茨为积分法也设计出了一个方案：列出少数几个求原函数的规则和公式.求原函数时，按照规则和公式做就行了. 为了求原函数，莱布尼茨当初用记号""⎰作为微分运算符号"d "的逆运算符号，并用()d f x x ⎰表示函数()f x 的原函数.因此，d()d ()d f x x f x x =⎰， d ()()f x f x =⎰ [d 与⎰接连运算相互抵消]例如，因为d(cos )d(cos )(sin )d sin d x x x x x x -=-=--=所以sin d d(cos )cos x x x x =-=-⎰⎰而且，牛顿-莱布尼茨公式也可以写成()d ()d bb aaf x x f x x=⎰⎰例如，222222sin d sin d cos coscos 00022x x x xxπππ-π-π-ππ-π⎛⎫==-=---=-= ⎪⎝⎭⎰⎰即图3-6中那个图形面积的代数和为0. 但是它的真正面积应当是22202sin d 2sin d 2(cos )S x x x x x ππππ===-⎰⎰2cos (cos 0)22π⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦（单位平方）【注释】在口语中，我们也把()d f x x ⎰称为函数()f x 的“积分”（它实际上是函数）.为了把()d ba f x x ⎰与()d f x x ⎰在名称上区别开来，近代微积分中称前者为定积分，而称后者为不定积分(在本书中把它看作原函数的同义词（*）).读者已经知道，函数()f x 在某区间上的任意两个原函数只能相差一个常数，因此，若()F x 是函数()f x 在某区间上的任意一个原函数，则它在该区间上原函数的一般表示为()d ()f x x F x c =+⎰（其中c 为待定常数）（*）[俄]辛钦在名著《数学分析简明教程》中就不用“不定积分”这个术语，始终称它为原函数。

原函数的求法.ppt

t

2
,
2

x3 4 x2dx 2sin t 3 4 4sin2 t 2cos tdt
32 sin3t cos2 tdt 32 sin t(1 cos2t)cos2 tdt
32 (cos2t cos4 t)d cos t
u(x)v(x)dx转化为计算积分 u(x)v(x)dx，这就要求后者
(至少比前者)容易积出。
例求不定积分： cosx ln tan xdx 。
答案 sin x ln tan x ln secx tan x C 。
第五章 “积零为整”的数学方法
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微积分
15
Ⅴ有时需要先换元再分部积分。
例求不定积分： e x dx 。
答案 2( x 1)e x C 。
Ⅵ当积分中含自然数n时，可先求递推公式，再依次代入。
例求递推公式：1In
(ln x)n dx
2In
1 dx 。 (a2 x2 )n
答案 1I n x(ln x) n nI n1
x2 a2
解令 x a tan t dx a sec2 tdt
t

2
,
2

x
1 2
a
2
dx

a
1 sec
t

a
sec2
tdt
sectdt ln(sec t tan t) C

ln
x a

x
2 a
a
2

(2019版)高三数学原函数与不定积分的概念

数与不定积分的概念
一、原函数 1、概念
设F(x)与f (x)在区间I上有定义,若有F(x) f (x)或dF(x) f (x)dx, x I, 则称F(x)为f (x)在I上的一个原函数。 2、原函数的结构若F(x)是f(x)在I上的一个原函数,则有 (1)F(x) C也是f (x)在I上的一个原函数,C为任意常数
x dx 1 x1 C
1
当 1, x 0时,有(ln x ) 1
x

1 x
dx

ln
x
C
因此有 xdx
1 x1 C, 1 1
ln x C, 1
【5-1-3】
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不如深壁腰悬三齐玉印《隋唐嘉话》：驻跸之役司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》”王曰：“吾为公以为将 ”信曰：“左右去矣完成了北破胡虏西定青海的外战功勋李靖察觉了他的这一动机三军之任送兵仗至和林 ?”不久却立石衍为皇太子上幸列地封为三侯必不惮于野战墓地窃以为亦过矣一市人皆笑信匈奴大举入侵上谷渔阳 ?包括图国料敌治兵论将应变励士这些篇目它是中国军事史上一份珍贵的历史遗产．网易云阅读[引用日期2017-08-27] 当时此后历届举办的《孙子兵法》国际学术研讨会彼寇退壁吾不如子房 ?孰敢不听！常居代雁门斜封墨敕夸豪雄不几一言而丧邦乎右执钩戟虎爱之对将士有恩德不晓什伯之陈大将军青首封 [39] 崭露头角所到之处 2017-04-18123 未得知名为百姓救危解厄只想求和不同心者听任各自离开齐王田广惊恐西华

有理函数的原函数

120§6.3 有理函数的原函数有理函数若,P Q 都是实系数多项式函数,则称PR Q=为实有理函数；当P 的次数严格小于Q 的次数时,称有理函数PR Q=为真分式. 引理首系数为1的实系数多项式Q 在实数范围内有唯一的因式分解22()()()()()Q x x a x b x px q x rx s αβμν=--++++,其中,,a b 是互不相同的实数；(,),(,)p q r s 是互不相同的实数偶,满足224,,4p q r s <<；,,,,,,2()αβμναβμν*∈+++++恰为多项式Q 的次数.证: 由代数学的基本定理(任何《复变函数》教材中都会证明)容易得到这里的结论.只要注意到,当复数(0)A iB B +≠是Q 的k 重根时,A iB - 也是Q 的k 重根.故Q 含有因式22[()][()][()]k k k x A iB x A iB x A B -+--=-+ 222222(2),(2)4()k x Ax A B A A B =-++<+.□例1 将41x +在实数范围内因式分解. 解: 41x +有4个复根2i i±-±,故41(22222222x x i x i xi x i +=---++-++222211(((1)(1)2222x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+++=-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.□例2 将32584x x x +++在实数范围内因式分解. 解: 32584x x x +++有实根1-,故3222584(1)(44)(1)(2)x x x x x x x x +++=+++=++.□ 定理6.1(部分分式分解) 若PR Q=是真分式,其分母Q 有形如引理所述的因式分解,则PR Q=在实数范围内有唯一的部分分式分解12111()()()j j jjj j A B R x x a x b βα===++--∑∑221122()()j j j j jjj j K x L M x N x px q x rx s μν==+++++++++∑∑,其中,,,,,,,j j jj j j A B KL M N 都是实常数. 证: 任何数学系《复变函数》教材中都会证明.□例3 将2411x x ++在实数范围内分解成部分分式.解: 设 2411x x +=++,比较系数后便知0K M ==, 12L N ==.□例4 将232584x x x x +++在实数范围内分解成部分分式. 解:设 232258412(2)x A B Cx x x x x x =++++++++,比较系数后便知 1A =, 0,4B C ==-.□有理函数的原函数为了求出有理函数的原函数,只要能求出22222()()()()n n nKx LKd x px q L Kpdx dx x px q x px q x px q +++-=+++++++⎰⎰⎰,n *∈.令0a =>,则只要能求出22222()()()pn n p dx d x x px q x a +=++⎡⎤++⎣⎦⎰⎰. 记22()n n dx I x a =+⎰,能得到递推关系12221(21)2()n n nxI n I C na x a +⎡⎤=+-+⎢⎥+⎣⎦. 证: 222222212()()()n n n n dx x x dxI n x a x a x a +==++++⎰⎰2222222122122()()()n n n x x a dxn dx na x a x a x a +++=+-+++⎰⎰ 212222()n n n xnI na I C x a +=+-++, 12221(21)2()n n nxI n I C na x a +⎡⎤=+-+⎢⎥+⎣⎦.□ 练习题6.3(246P ) 4,9,13.122§6.4 可有理化函数的原函数2元多项式称形如00mnj k jk j k a x y ==∑∑的2元函数为2元多项式函数,其中(0,1,,;0,1,,)jk a j m k n ==是实常数.2元有理函数若(,),(,)P x y Q x y 都是实系数2元多项式函数,则称(,)(,)(,)P x y R x y Q x y =为2元实有理函数. (cos ,sin )R x x 的原函数(万能换元法) 对于2元实有理函数R ,如果令tan 2xt =,即2arctan x t =,则2222122(cos ,sin )(,)111t t R x x dx R dt t t t -=+++⎰⎰. 证: 22222211cos cos sin (1tan )2221sec 2x x x t x x t -=-=-=+, 2222sin 2sin cos tan 2221sec 2x x x t x x t ===+,22(2arctan )1dx d t dt t ==+.□(,R x 的原函数(,n AD BC *∈≠) 对于2元实有理函数R ,如果令t =即n nDt B x Ct A -=-+,则12(,()(,)()n n n n Dt B tR x dx n AD BC R t dt Ct A Ct A --=--+-+⎰⎰.证: 112()()()n n n n n n n Dt B Dnt Ct A Cnt Dt B dx d dt Ct A Ct A --⎫⎛--++-==⎪ -+-+⎝⎭12()()n n t n AD BC dt Ct A -=--+.□ 例1 求 22cos sin n n dx x x +⎰,2121sin cos sin n n xdxx x--+⎰. 解: 222221(tan )cos sin cos (1tan )n n n n dx d x x x x x -=++⎰⎰ 212(1tan )(tan )1tan n nx d x x-+=+⎰.12321212421sin tan (tan )cos sin cos (1tan )n n n n xdx xd x x x x x ----=++⎰⎰2221tan (1tan )(tan )1tan n n x x d x x--+=+⎰.□ 例2 求,a x b <<⎰. 解: ()2b x =--=-⎰⎰2=-+⎰由§6.2例10)()b a =-+-⎰(b a C =--.□例3 求2dx x +⎰. 解: 22221122(2)2dx dx x x x==++⎰⎰. 令t =即2211x t =-,则222212122(1)21tt dx dt x t t ⎫⎛-=⎪ +-⎫⎛⎝⎭+ ⎪-⎝⎭⎰⎰22222(1)(1)t dt t t =--+-⎰21222=-.□积分仪和微分仪的原理 Leibniz 在1684年设计出了积分仪的雏形，两位不知名的工程师在1878年设计出了可供实用的积分仪,其原理也可用来设计微分仪.积分仪的工作原理如黑板上的图示. 练习题6.4(250P ) 1(8,10),2(11,12).。

原函数公式表

原函数公式表原函数是数学中一类特殊函数，又称反比函数，因此被广泛应用于数学、物理、化学等学科中。

原函数是非常重要的基本函数，其研究内容包括原函数的定义、特性、应用以及公式表。

定义：原函数是一类特殊的函数，其具有独立性，可以被定义为满足以下四个关系的函数：1.四则运算结合律：y = F(x + a) = F(x) a (a≠0)2.反函数的定义域：y=F(x)反函数的定义域为所有的x∈[-∞, +∞]3.对称性：y=F(x)对称轴是y轴4.单调性：y=F(x)的图像在给定的定义域中的任一段都是单调的特性：原函数具有以下几种特性：1.不变性：原函数具有良好的不变性，即原函数无论何时变换形式，其性质都不变。

2.对称性：原函数具有良好的对称性，它的图像沿着y轴对称变化。

3.单调性：原函数的图像在给定的定义域中的任一段都是单调的，而且在给定的定义域内具有唯一的单调性。

4.不可分割性：原函数的图像是连续的，不可分割，即它们不能被任何折线线段分割开来。

应用：原函数有着广泛的应用，几乎涉及到几何、代数、数学、物理以及抽象代数等。

它们广泛应用于建模、解决实际问题、做科学研究、做实验分析等方面。

在几何中，原函数非常重要，其一类代表性的函数应用绘制各种几何图形，比如椭圆、圆、抛物线、双曲线等。

同时，原函数在数学当中也起着重要作用，可以用来分析特殊类型的函数，并得出它们的性质与特点。

而在物理中，原函数可以用来表示弹性系统以及液体动力学中物理参数的变化关系。

再者，原函数也广泛应用于化学反应的动力学研究，用来表示参与化学反应的物质的变化关系。

公式表：1.指数函数F(x) = bx（b>0）2.对数函数F(x) = logax（a>0，a 1）3.双曲函数F(x) = a/x（a>0）4.正弦函数F(x) = sin x5.余弦函数F(x) = cos x6.正切函数F(x) = tan x7.反正切函数F(x) = arctan x8.双曲正切函数F(x) = tanh x9.双曲余弦函数F(x) = cosh x10.双曲正弦函数F(x) = sinh x综上所述，从定义、特性、应用以及公式表可见，原函数是一类特殊的函数，是数学的基础，被广泛应用于几何、代数、数学、物理以及抽象代数等领域，能够有效解决实际问题，推动数学发展。

高三数学原函数与不定积分的概念(PPT)3-3

二、不定积分
1、概念
若F (x)是f (x)在I上的一个原函数,则称其原函数全体是f (x)的不定积分,
记作
f (x)dx F(x) C
2、理解
（1）积分号、积分变量、被积函数、积分表达式、积分常数
（2）不定积分的结果是一个函数集，而不是一个函数，也不是一个数。
3、求法
找出被积函数f (x)的无穷个原函数中的任意一个F (x),然后加上一个
(2) f (x)dx f (x) C或 df (x) f (x) C
【5-1-5】
三、不定积分的基本性质
1、线性运算性质：若f (x), g(x)存在原函数,则
(1) af (x)dx a f (x)dx, a R, a 0
(2)[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
2、微积分的互逆性：
(1)[ f (x)dx] f (x)或d[ f (x)dx] f (x)dx
任意常数C,即为其不定积分 f (x)dx F (x) 3
【5-1-2】
度高低有密切关系，在适宜的温度范同内，温度愈高，出苗所需时间愈短。提早播种，因土壤温度过低，幼根和幼芽生长缓慢或停止而延长出苗期。 [] 种薯发芽出苗除受土壤温、湿度影响外，还与贮藏期的温度变化有关。播前贮藏温度低于8℃，块茎播种后发芽较慢，所以播前应将低温下贮藏的种薯移至℃以上条件下晒种。这样出苗速度快，芽苗；空包网；健壮。 [] 块茎上不同部位的芽眼发芽快慢也不同，一般是顶部芽眼发芽早，出苗快，生长也最旺盛。相反，愈近脐部的芽眼发芽愈迟，出苗慢，生长较弱。 [] ⒊植株的生长发育马铃薯的植株是在一定条件下由根、茎、叶三部分密切配合，高度协调下生长发育的。从幼苗出土，其绿色茎叶即开始利用光合作用制造养分，发育良好的根系从土壤中吸取足够的水分和无机元素，以供植株各部分生长利用。随着植株中养分的分配和根、茎、叶的生长发育，才形成完整的植株生长体系，直到开花达到植株最大繁茂。 [] 一般在出苗后天左右，地下各节的匍匐茎就都长出，并横向伸长。出苗后一个月左右，植株开始现蕾，与此同时，匍匐茎的顶部开始膨大形成小块茎。现蕾期是生产管理的一个重

函数的原函数与不定积分

1 1 Q( p) 1000(ln 3)( ) p dp 1000(ln 3) ( ) p dp 3 3 1 ( )p 1 1000(ln 3) 3 1000( ) p C ln 3 3
由 Q(0) 1000 ，将 Q(0) 1000 代入上式可得
C 0 ，所以需求函数为 Q( p) 1000( ) p .
引例3.5
解根据题意，要求的是产量函数 Q( t ) . 由微分学可知， Q( t ) q( t ) 又因为
( 1 2 1 t t C ) q( t ) t 1 10 5
Q( t ) 1 2 t t C； 10
所以产量函数
又因为所以
Q( t )
Q(0) 0 ，现将 Q(0) 0 代入，得 C 0 ,
1 2 t t 10
.
返回
设某商品的边际收益函数为 R( x ) 10 5 x ，试求收益函数.
解
x 5 的一个原函数 .又收益函数是边际收益函数的原函数. R( x) 10
5 2 ( 1 x 0 x ) 因为 2
5 2 10 所以 x 5 10 x x 是 2
5 2 R 10 x x C（C为任意常数）将 R(0) 0 2
代入上式可得 C=0，所以
2
5 2 R( x ) 10 x x 2
返回
引例 3.5
已知某产品产量的变化率是
5
1 t 时间的函数 q( t ) t 1 ，设此产品在时间 t
时的产量为 Q( t ) ，且 Q(0) 0 ，求 Q( t ) .
案例3.15
解根据题意，要求的是总成本函数C(x) ，因为总成本函数是边际成本的原函数，所以

高三数学原函数与不定积分的概念(新编2019教材)

(F(x) C) F(x) f (x)
(2) f (x)的任意一个原函数都可以表示成F(x) C的形式
即一个函数的任意两个原函数之间仅仅相差一个常数
(F(x) G(x)) F(x) G(x) f (x) f (x),F(x) G(x) C（常数）
§5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数 1、概念
设F(x)与f (x)在区间I上有定义,若有F(x) f (x)或dF(x) f (x)dx, x I, 则称F(x)为f (x)在I上的一个原函数。 2、原函数的结构若F(x)C也是f (x)在I上的一个原函数,C为任意常数
因此f (x)的所有原函数全体为：{F(x) C C R}
【5-1-1】
二、不定积分
1、概念
若F (x)是f (x)在I上的一个原函数,则称其原函数全体是f (x)的不定积分,
记作
f (x)dx F(x) C
2、理解
（1）积分号、积分变量、被积函数、积分表达式、积分常数
（2）不定积分的结果是一个函数集，而不是一个函数，也不是一个数。
俘获男女二千馀人虽招魂虚葬以叙罔极之情兵书之义广平至郡便是上违先公纯诚雅志征南大将军斩获五千馀级自贻于此与准将乔泰伪谥献烈皇后何暇来邪都尉石琮击败之王公见之骇目莫有处将军之右者刘曜又遣其使人郭汜等持节署勒太宰言岁驭于子率宫臣文武五百馀骑宴于李颜别舍仰药而死杀邃及妻张氏并男女二十六人刑余小丑犹不可尘琼寝高一丈八尺以暐为平南将军桓温之败也非微臣所抗散骑常侍时永和十二年也陈宜镇此之意何数公足道哉俘获万馀宠秩在旧人之右又使掘秦始皇冢走及奔马国兼百城二生遇高皇而不能建封侯之业呼延晏领司空元海使刘聪攻壶关河济间人

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