东南大学几何与代数B教学大纲2010

几何与代数教学大纲
（总学分： 4；总上课学时：64；课外上机时数：4）
东南大学数学系
一．课程的性质与目的
本课程是工科电类专业学生本科阶段关于几何及离散量数学重要的数学基础课程。

本课程的目的是使学生熟悉空间解析几何与线性代数基本概念，掌握用坐标及向量的方法讨论几何图形的方法，熟悉空间中简单的几何图形的方程及其特点，掌握线性代数的基本理论和基本方法，熟悉矩阵运算的基本规律和基本技巧，熟悉矩阵在等价关系、相似关系、合同关系下的标准形，提高其空间想象能力、抽象思维和逻辑思维的能力，为后继课程的学习做好准备，并为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。

二．课程内容的教学要求
1．向量代数平面与直线
（1）理解几何向量的概念及其加法、数乘运算，熟悉运算规律，了解两个向量共线和三个向量共面的充分必要条件；
（2）理解空间直角坐标系的概念，理解仿射坐标系的概念，掌握向量的坐标表示；
（3）理解向量的数量积、向量积和混合积的概念，理解它们的几何意义，了解相关的运算性质，掌握利用坐标进行计算的方法；
（4）理解平面的法向量的概念，熟练掌握平面的方程的确定方法，熟悉特殊位置的平面方程的形式；
（5）理解直线的方向向量的概念，熟练掌握直线的对称方程、一般方程及参数方程的确定方法；
（6）了解直线、平面间的夹角的定义，了解点与直线、平面间的距离的定义，并掌握相关的计算；
（7）了解平面束的概念，并会用平面束处理相关几何问题。

2．矩阵和行列式
（1）理解矩阵和n维向量的概念；
（2）理解矩阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；
（3）理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；
（4）理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；
（5）知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；
（6 ）了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n 阶行列式；
（7）掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；
（8）掌握利用行列式的性质计算行列式的方法；
（9）理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；
（10 ）理解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；
（11 ）理解 Cramer 法则，掌握用Cramer 法则求方程组的解的方法；
（12 ）掌握分块矩阵的运算规则，掌握典型的分块方法。

3．矩阵的初等变换与Gauss 消元法
Gauss 消（1 ）理解矩阵的初等行变换与Gauss 消元法的关系，掌握求解线性方程组的
元法；
（2）理解向量组的线性组合和线性表示的概念及相关的性质，掌握相关计算；
（3）理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；
（4）理解向量组的极大线性无关组和秩的概念，理解向量组的秩的性质，熟练掌握向量组的秩的计算，并会求向量组的极大线性无关组；
（5）理解矩阵的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握矩阵的秩的计算；
（6）理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；
（7）理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；
（8）理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；了解矩阵的等价标准形的概念，并会用矩阵的等价标准形讨论矩阵的性质；
（9）理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；
（10 ）了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；
（11 ）掌握求简单的矩阵方程的解的方法；
（12 ）了解矩阵的分块初等变换，会利用这一方法解决典型的矩阵问题。

4．向量空间
（1）理解向量空间、子空间的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，
（2）理解向量空间的基及维数的概念，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；
（3）知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵；
（4）理解向量的内积、长度及正交性的概念，了解向量内积的基本性质；
（5 ）理解向量空间的标准正交基的概念，熟练掌握Schimidt 正交化方法；
（6 ）理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质。

5．相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量
（1 ）理解矩阵的特征值、特征向量的概念，熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特
征向量的求法；
（2）熟练掌握特征多项式、特征值、特征向量的性质；
（3）理解矩阵的迹的概念，理解矩阵的迹、行列式与其特征值间的关系；
（4）理解矩阵的相似性概念，理解两矩阵相似的必要条件；
（5）熟练掌握矩阵相似于对角阵的各种充要条件，并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法；
（6）熟练掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法。

6．二次型与二次曲面
（1）理解二次型及二次型的矩阵的概念，熟练掌握二次型的矩阵的求法；
（2）理解可逆线性变换及二次型的标准形的概念，了解二次型的规范形的概念；
（3）理解矩阵间的合同关系的概念；
（4）理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系，熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，掌握用可逆线性变换化二次型为标准形的方
法；
（5）理解惯性定理的结论及其几何含义，掌握判断实对称矩阵合同的方法；
（6）理解正定性的概念，熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法；
（7）熟悉一般曲面的概念，熟悉球面、柱面、旋转面、锥面等重要曲面的几何特征以及它们的方程的特点；
（8）知道二次曲线的参数方程；
（9）熟悉二次曲面的标准方程，以及它们的图形特征；
（10 ）掌握二次曲面的交线以及这些交线在坐标平面上的投影曲线的方程的求法；
（11 ）掌握一些简单的几何图形的草图的作法。

三．上机实习要求
上机 2 次，选做 2 个数学实验，并提交实验报告 1 份。

四．能力培养要求
1．逻辑思维能力的培养：主要根据线性代数理论特有的逻辑体系，尤其是通过向量组的线性相关性、矩阵的等价、相似、相合关系等内容的教学，培养学生的逻辑思维
能力。

2．抽象思维能力的培养：在要求学生理解线性代数特有的思维方式的同时，让学生体会如何从具体的实际问题以及直观的几何问题抽象、概括、提炼出代数问题，进而
寻求适用于解决更一般问题的代数方法。

3．代数的运算能力：着重培养学生的矩阵运算能力。

4．空间想象能力的培养：利用几何空间中向量之间的线性关系以及一些典型的几何图形的特点，结合线性代数的方法，注重对学生空间想象能力的培养，使学生具备初步
的根据解析表达式想象并作出简单空间图形的能力。

5．叙述表达能力的培养：注重培养学生用代数的语言表达自己的思想、描述具体的数
学问题的能力，并特别要注意表达方式的条理性、逻辑性和准确性。

6．自我学习能力的培养：利用相关内容的教学，让学生体会代数的思维特点，体会代数的思维方式，增强自我学习的能力。

7．实践创新能力的培养：培养学生用代数方法思考、解决实际问题的能力。

五．建议学时分配
课程内容讲课习题课、讨论课实验上机行列式的定义
4
行列式的性质，行列式按行（列）展开
行列式的计算
4
Cramer 法则，消元法
矩阵的概念和运算
2
（国庆放假）
可逆矩阵
4
分块矩阵，矩阵的秩
初等矩阵
22
第一、二章综合讨论
响亮的概念和线性运算
4
坐标系，数量积和向量积
混合积，平面、直线
4
点、直线、平面的位置关系
第三章综合讨论
22
n 维向量的概念，线性表示，线性相关性
向量组的极大无关组和秩
4
向量组的秩和矩阵的秩
向量空间
4
内积， Schmidt 正交化方法，正交矩阵
线性方程组的解的结构，最小二乘解
22
第四章综合讨论
特征值与特征向量
4
相似矩阵，相似对角化问题
实对称矩阵的正交相似对角化问题
4
矩阵的 Jordan 标准形
Hamilton-Cayley 定理，第五章综合讨论
22
实二次型的概念，标准型
惯性定理，正定性
4
简单曲线、曲面
二次曲面
22
第六章综合讨论，总复习
六．考核方式
总评成绩＝平时成绩+数学实验 +期末考试成绩
平时成绩占5％
数学实验占5％
期末考试成绩占90％
七．教材及参考书
1．周建华、陈建龙、张小向编著。

几何与代数，科学出版社，2009
2．俞南雁、韩瑞珠、周建华编著。

线性代数与空间解析几何，科学出版社，1999 3．同济大学应用数学系编。

线性代数，高等教育出版社，2003
4．萧树铁主编。

代数与几何，高等教育出版社，2001。