(浙江专用)高考数学一轮复习第三章函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最值教案(含解析)

（浙江专用）高考数学一轮复习第三章函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最值教案（含解析）

第二节函数的单调性与最值

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意

两个自变量的值x1，x2

当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么

就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么

就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

①对于任意的x∈I，都有

f(x)≤M；

②存在x0∈I，使得f(x0)＝M

①对于任意x∈I，都有

f(x)≥M；

②存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论M为函数y＝f(x)的最大值M为函数y＝f(x)的最小值

[小题体验]

1．给定函数①y＝x

1

2

，②y＝log

1

2

(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

解析：选B ①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜1

2＜1，∴y

＝log 1

2(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x

＋1在(0,1)上递增，且2＞1，∴y ＝2x ＋1

在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数

序号是②③.

2．(2019·绍兴调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x

－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为

________．

解析：由于y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x

在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )

在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.

答案：3

3．(2018·丽水模拟)已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

log 13

x ，x ＞1，

－x 2－2x ＋3，x ≤1，则f (f (3))＝

________，f (x )的单调递减区间是________．

解析：∵f (3)＝log 1

33＝－1，

∴f (f (3))＝f (－1)＝－1＋2＋3＝4.

当x ≤1时，f (x )＝－x 2

－2x ＋3＝－(x ＋1)2

＋4， 对称轴x ＝－1，f (x )在[－1,1]上单调递减，且f (1)＝0， 当x ＞1时，f (x )单调递减，且f (x )＜f (1)＝0， ∴f (x )在[－1，＋∞)上单调递减． 答案：4 [－1，＋∞)

1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．

2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x

.

3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，

但f (x )·g (x )，

1

f x

等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．

[小题纠偏]

1．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．

答案：[－1,1]，[5,7] 2．函数f (x )＝

2

x －1

在[－6，－2]上的最大值是________，最小值是________． 解析：因为f (x )＝

2

x －1

在[－6，－2]上是减函数，所以当x ＝－6时，f (x )取得最大值－27.当x ＝－2时，f (x )取得最小值－23

. 答案：－27 －23

考点一 函数单调性的判断基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2

－3x C ．f (x )＝－

1

x ＋1

D ．f (x )＝－|x |

解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数；

当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2

－3x 为减函数，

当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2

－3x 为增函数；

当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－

1

x ＋1

为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 2．试讨论函数f (x )＝ax

x －1

(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．

解：法一：(定义法) 设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x )＝a ⎝

⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫1＋1x －1，