《刚体定轴转动》答案

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【大题】工科物理大作业04-刚体定轴转动

【大题】工科物理大作业04-刚体定轴转动

【大题】工科物理大作业04-刚体定轴转动 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN0404 刚体定轴转动班号 学号 姓名 成绩一、选择题(在下列各题中,均给出了4个~5个答案,其中有的只有1个是正确答案,有的则有几个是正确答案,请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内)1.某刚体绕定轴作匀变速转动,对刚体上距转轴为r 处的任一质元来说,在下列关于其法向加速度n a 和切向加速度τa 的表述中,正确的是:A .n a 、τa 的大小均随时间变化;B .n a 、τa 的大小均保持不变;C .n a 的大小变化,τa 的大小保持恒定;D .n a 的大小保持恒定,τa 大小变化。

(C )[知识点]刚体匀变速定轴转动特征,角量与线量的关系。

[分析与题解] 刚体中任一质元的法向、切向加速度分别为 r a n 2ω=,r a τβ=当β = 恒量时,t βωω+=0 ,显然r t r a n 202)(βωω+==,其大小随时间而变,ra τβ=的大小恒定不变。

2. 两个均质圆盘A 和B ,密度分别为ρA 和ρB ,且B ρρ>A ,但两圆盘的质量和厚度相同。

若两盘对通过盘心且与盘面垂直的轴的转动惯量分别为A I 和B I ,则 A .B I I >A; B. B I I <A ;C .B I I =A ; D. 不能确定A I 和B I 的相对大小。

(B )[知识点]转动惯量的计算。

[分析与题解] 设A 、B 两盘厚度为d ,半径分别为R A 和R B ,由题意,二者质量相等,即B B A A d R d R ρπρπ22=因为B A ρρ>, 所以22B A R R < 且转动惯量221mR I =,则B A I I <3.在下列关于刚体的表述中,不正确的是:A .刚体作定轴转动时,其上各点的角速度相同,线速度不同;B .刚体定轴转动的转动定律为βI M =,式中β,,I M 均对同一条固定轴而言的,否则该式不成立;C .对给定的刚体而言,它的质量和形状是一定的,则其转动惯量也是唯一确定的;D .刚体的转动动能等于刚体上各质元的动能之和。

第3章 刚体的定轴转动 习题答案

第3章 刚体的定轴转动 习题答案

1
1 v r 78 . 5 1 78 . 5 m s (3) 解:
an r 78.5 1 6162 .2 m s
2 2
2
a r 3.14 m s
2
3-13. 如图所示,细棒长度为l,设转轴通过棒上距中心d的一 点并与棒垂直。求棒对此轴的转动惯量 J O ',并说明这一转 动惯量与棒对质心的转动惯量 J O之间的关系。(平行轴定理)
n0
J 2 2 n 收回双臂后的角动能 E k J n 0 2 J 0 n
1 2 2 1 2
Ek 0 J
1 2
2 0
3-17. 一人张开双臂手握哑铃坐在转椅上,让转椅转动起来, 此后无外力矩作用。则当此人收回双臂时,人和转椅这一系 统的转速、转动动能、角动量如何变化?
解:首先,该系统的角动量守恒。
设初始转动惯量为 J ,初始角速度为 0 收回双臂后转动惯量变为 J n , 由转动惯量的定义容易知,n 1 由角动量守恒定理容易求出,收回双臂后的角速度 初始角动能
M t J
代入数据解得:M 12.5 N m
3-4. 如图所示,质量为 m、长为 l 的均匀细杆,可绕过其一 端 O 的水平轴转动,杆的另一端与一质量为m的小球固定在 一起。当该系统从水平位置由静止转过 角时,系统的角
速度、动能为?此过程中力矩所做的功?
解: 由角动能定理得:
解:设该棒的质量为m,则其
线密度为 m l
1 l d 2 1 l d 2
O
d O'
J O'

0
r dr
2
3
0
r dr

刚体的定轴转动习题解答

刚体的定轴转动习题解答

- 第五章 刚体的定轴转动一 选择题1. 一绕定轴转动的刚体,某时刻的角速度为,角加速度为,则其转动加快的依据是:( )A. > 0B. > 0,> 0C. < 0,> 0D.> 0,< 0解:答案是B 。

2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘,质量相等且具有相同的厚度,则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。

( )A. 相等;B. 铅盘的大;C. 铁盘的大;D. 无法确定谁大谁小解:答案是C 。

简要提示:铅的密度大,所以其半径小,圆盘的转动惯量为:2/2Mr J =。

3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上,轮对轴的转动惯量为J ,一是以力F向下拉绳使轮转动;二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动,若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2,则有: ( )A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解:答案是B 。

简要提示:(1) 由定轴转动定律,1αJ Fr =和11αr a =,得:J Fr a /21=(2) 受力分析得:⎪⎩⎪⎨⎧===-2222ααr a J Tr ma T mg ,其中m 为重物的质量,T 为绳子的力。

得:)/(222mr J Fr a +=,所以a 1 > a 2。

4. 一半径为R ,质量为m 的圆柱体,在切向力F 作用下由静止开始绕轴线- 作定轴转动,则在2秒F 对柱体所作功为: ( )A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m解:答案是A 。

简要提示:由定轴转动定律: α221MR FR =,得:mRF t 4212==∆αθ 所以:m F M W /42=∆=θ5. 一电唱机的转盘正以 0的角速度转动,其转动惯量为J 1,现将一转动惯量为J 2的唱片置于转盘上,则共同转动的角速度应为: ( )A .0211ωJ J J +B .0121ωJ J J +C .021ωJ JD .012ωJ J 解:答案是A 。

大学物理第四章 刚体的转动部分的习题及答案

大学物理第四章 刚体的转动部分的习题及答案

第四章 刚体的转动一、简答题:1、简述刚体定轴转动的角动量守恒定律并给出其数学表达式?答案:刚体定轴转动时,若所受合外力矩为零或不受外力矩,则刚体的角动量保持不变。

2、写出刚体绕定轴转动的转动定律文字表达与数学表达式?答案:刚体绕定轴转动的转动定律:刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。

表达式为:αJ M =。

3、写出刚体转动惯量的公式,并说明它由哪些因素确定?答案:dm r J V⎰=2①刚体的质量及其分布;②转轴的位置;③刚体的形状。

二、选择题1、在定轴转动中,如果合外力矩的方向与角速度的方向一致,则以下说法正确的是 ( A )A.合力矩增大时,物体角速度一定增大;B.合力矩减小时,物体角速度一定减小;C.合力矩减小时,物体角加速度不一定变小;D.合力矩增大时,物体角加速度不一定增大2、关于刚体对轴的转动惯量,下列说法中正确的是 ( C ) A.只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关; B.取决于刚体的质量和质量的空间分布,与轴的位置无关; C.取决于刚体的质量,质量的空间分布和轴的位置;D.只取决于转轴的位置,与刚体的质量和质量的空间分布无关;3、有一半径为R 的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动, 转动惯量为J ,开始时转台以匀角速度0ω转动,此时有一质量为m 的人站住转台中心,随后人沿半径向外跑去,当人到达转台边缘时,转台的角速度为 ( A ) A.()2mR J J +ω B.()2Rm J J +ω C.20mR J ω D.0ω4、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示。

今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆动到竖直位置的过程中,下述说法哪一种是正确的? ( A )A.角速度从小到大,角加速度从大到小.B.角速度从小到大,角加速度从小到大.C.角速度从大到小,角加速度从大到小.D.角速度从大到小,角加速度从小到大.5、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动,如图射来两个质量相同,速度大小相同,方向相反并在一条直线上的子弹,子弹射入圆盘并且留在盘内,则子弹射入后的瞬间,圆盘的角速度( C )A.增大B.不变C.减小 (D) 、不能确定6、在地球绕太阳中心作椭圆运动时,则地球对太阳中心的 ( B ) A.角动量守恒,动能守恒 B.角动量守恒,机械能守恒 C.角动量不守恒,机械能守恒 D.角动量守恒,动量守恒7、有两个半径相同,质量相等的细圆环A 和B ,A 环的质量分布均匀,B 环的质量分布不均匀,它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为A J 和B J ,则 ( C )A.B A J J >;B.B A J J <;C.B A J J =;D.不能确定A J 、B J 哪个大。

刚体定轴转动练习题及答案

刚体定轴转动练习题及答案

刚体定轴转动练习题一、选择题1、一刚体以每分钟60转绕Z 轴做匀速转动(ωϖ沿Z 轴正方向)。

设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为k j i r ϖϖϖϖ543++=,其单位为m 210-,若以s m /102-为速度单位,则该时刻P 点的速度为:( ) A υϖ=94.2i ϖ+125.6j ϖ+157.0k ϖ; B υϖ=34.4k ϖ; C υϖ=-25.1i ϖ+18.8j ϖ; D υϖ=-25.1i ϖ-18.8j ϖ;2、一均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示。

今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆动到竖直位置的过程中,下述说法哪一种是正确的?( )A 角速度从小到大,角加速度从大到小。

B 角速度从小到大,角加速度从小到大。

C 角速度从大到小,角加速度从大到小。

D 角速度从大到小,角加速度从小到大。

3、刚体角动量守恒的充分而必要的条件是:( )A 刚体不受外力矩的作用B 刚体所受合外力矩为零C 刚体所受的合外力和合外力矩均为零D 刚体的转动惯量和角速度均保持不变4、某刚体绕定轴做匀变速转动时,对于刚体上距转轴为r 出的任一质元m ∆来说,它的法向加速度和切向加速度分别用n a 和t a 来表示,则下列表述中正确的是 ( )(A )n a 、t a 的大小均随时间变化。

(B )n a 、t a 的大小均保持不变。

(C )n a 的大小变化, t a 的大小恒定不变。

(D )n a 的大小恒定不变, t a 的大小变化。

5、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体:(1)这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零;(2)这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零;(3)当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零;(1) 当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零。

A 只有(1)是正确的。

B (1),(2)正确,(3),(4)错误。

05刚体的定轴转动习题解答.

05刚体的定轴转动习题解答.

第五章刚体的定轴转动一选择题1. 一绕定轴转动的刚体,某时刻的角速度为ω,角加速度为α,则其转动加快的依据是:()A. α > 0B. ω > 0,α > 0C. ω < 0,α > 0D. ω > 0,α < 0解:答案是B。

2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘,质量相等且具有相同的厚度,则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。

()A. 相等;B. 铅盘的大;C. 铁盘的大;D. 无法确定谁大谁小解:答案是C。

简要提示:铅的密度大,所以其半径小,圆盘的转动惯量为:2/2Mr J =。

3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω 按图示方向转动。

若将两个大小相等、方向相反但不在同一条直线的力F 1和F 2沿盘面同时作用到圆盘上,则圆盘的角速度ω的大小在刚作用后不久 ( )A. 必然增大B. 必然减少C. 不会改变D. 如何变化,不能确定解:答案是B 。

简要提示:力F 1和F 2的对转轴力矩之和垂直于纸面向里,根据刚体定轴转动定律,角加速度的方向也是垂直于纸面向里,与角速度的方向(垂直于纸面向外)相反,故开始时一选择题3图定减速。

4. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上,轮对轴的转动惯量为J ,一是以力F 向下拉绳使轮转动;二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动,若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2,则有: ( )A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解:答案是B 。

简要提示:(1) 由刚体定轴转动定律,1αJ Fr =和11αr a =,得:J Fr a /21= (2) 受力分析得:⎪⎩⎪⎨⎧===-2222ααr a J Tr ma T mg ,其中m 为重物的质量,T 为绳子的张力。

得:)/(222mr J Fr a +=,所以a 1 > a 2。

5. 一半径为R ,质量为m 的圆柱体,在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动,则在2秒内F 对柱体所作功为: ( )A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m解:答案是A 。

大学物理AⅠ刚体定轴转动习题答案及解法

大学物理AⅠ刚体定轴转动习题答案及解法

《大学物理A Ⅰ》2010 刚体定轴转动习题、答案及解法一.选择题1.两个匀质圆盘A 和B 相对于过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为A J 和B J ,若A B J J >,但两圆盘的的质量和厚度相同,如两盘的密度各为A ρ和B ρ,则( A )(A )B A ρρ> (B )B A ρρ<(C )B A ρρ= (D )不能确定B A ρρ的大小参考答案: B B A Ah R h R M ρπρπ22== A A A h M MR J ρπ222121== BB B h M MR J ρπ222121== 2.有两个半径相同、质量相等的细圆环。

1环的质量分布均匀。

2环的质量分布不均匀,它们对通过圆心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为A J 和B J ,则( C )(A )21J J > (B )21J J <(C )21J J = (D )不能确定21J J 的大小 参考答案:∵ ⎰=Mdm r J 2 ∴ 21J J =3.一圆盘绕过圆心且于盘面垂直的光华固定轴O 以角速度1ω按图所示方向转动,将两个大小相等,方向相反的力F 沿盘面同时作用到圆盘上,则圆盘的角速度变为2ω,那么( C )(A )21ωω> (B )21ωω=(C )21ωω< (D )不能确定如何变化 参考答案:()12ωωJ J t r R F -=∆⋅- ()12ωω+∆⋅-=t r R JF4.均匀细棒OA 的质量为m 。

长为L ,可以绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图2所示,今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆到竖直位置的过程中,下述说法那一种是正确的[ A ](A )合外力矩从大到小,角速度从小到大,角加速度从大到小。

(B )合外力矩从大到小,角速度从小到大,角加速度从小到大。

(C )合外力矩从大到小,角速度从大到小,角加速度从大到小。

(D )合外力矩从大到小,角速度从大到小,角加速度从小到大。

刚体的定轴转动(带答案)

刚体的定轴转动(带答案)

刚体的定轴转动一、选择题1、(本题3分)0289关于刚体对轴的转动惯量,下列说法中正确的是[ C ] (A)只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关。

(B)取决于刚体的质量和质量的空间分布,与轴的位置无关。

(C)取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。

(D)只取决于转轴的位置,与刚体的质量和质量的空间分布无关。

2、(本题3分)0165均匀细棒OA可绕通过某一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示,今使棒从水平位置由静止开始自由下降,在棒摆到竖直位置的过程中,下述说法哪一种是正确的?(A)角速度从小到大,角加速度从大到小。

(B)角速度从小到大,角加速度从小到大。

(C)角速度从大到小,角加速度从大到小。

(D)角速度从大到小,角加速度从小到大。

3.(本题3分)5640一个物体正在绕固定的光滑轴自由转动,则[ D ](A)它受热或遇冷伸缩时,角速度不变.(B)它受热时角速度变大,遇冷时角速度变小.(C)它受热或遇冷伸缩时,角速度均变大.(D)它受热时角速度变小,遇冷时角速度变大.4、(本题3分)0292一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上,滑轮质量为m ,绳下端挂一物体,物体所受重力为P ,滑轮的角加速度为β,若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子,滑轮的角加速度β将 [ C ] (A )不变 (B )变小 (C )变大 (D )无法判断 5、(本题3分)5028如图所示,A 、B 为两个相同的绕着 轻绳的定滑轮,A 滑轮挂一质量为M 的物体,B 滑轮受拉力F ,而且F=Mg ,设A 、B 两滑轮的角加速度分别为βA 和βB ,不计滑轮轴的摩擦, 则有 [ C ] (A )βA =βB (B )βA >βB(C )βA <βB (D )开始时βA =βB ,以后βA <βB 6、(本题3分)0294刚体角动量守恒的充分而必要的条件是[ B ] (A )刚体不受外力矩的作用。

(B )刚体所受合外力矩为零。

第5章 刚体的定轴转动 习题解答

第5章 刚体的定轴转动 习题解答

对飞轮,由转动定律,有 式中负号表示摩擦力的力矩方向与角速度 方向相反。
联立解得

以 F 100 N 等代入上式,得
Fr R 2 (l1 l2 ) F J mRl1
5-1
第 5 章 刚体的定轴转动

2 0.40 (0.50 0.75) 40 100 rad s 2 60 0.25 0.50 3 t
由以上诸式求得角加速度

(2)
Rm1 rm2 g I m1 R 2 m2 r 2 0.2 2 0.1 2

1 1 10 0.202 4 0.102 2 0.202 2 0.102 2 2
9.8 6.13 rad s 2
T2 m2 r m2 g 2 0.10 6.13 2 9.8 20.8N T1 m1 g m1 R 2 9.8 2 0.2. 6.13 17.1N v 2a1h 2 Rh 2 6.13 0.2 2 2.21 m s 1
M M f J 1

t1
。移去力矩 M 后,根据转动定律,有
M f J 2
2
联立解得此转轮的转动惯量
0 t2
J
M 20 17.36 kg m 2 1 1 1 100 2 1 60 10 100 t1 t2
v0
6(2 3 3m M l J l 1M (1 2 ) (1 ) 2 ml 2 3m 12 m
(2) 由①式求得相碰时小球受到的冲量为:
I Fdt mv mv mv0
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。

大学物理上练习册 第2章《刚体定轴转动》答案-2013

大学物理上练习册 第2章《刚体定轴转动》答案-2013

第2章 刚体定轴转动一、选择题1(B),2(B),3(C),4(C),5(C) 二、填空题(1). 62.5 1.67s (2). 4.0 rad/ (3). 0.25 kg ·m 2(4). mgl μ21参考解:M =⎰M d =()mgl r r l gm l μμ21d /0=⎰(5). 2E 0三、计算题1. 如图所示,半径为r 1=0.3 m 的A 轮通过皮带被半径为r 2=0.75 m 的B 轮带动,B 轮以匀角加速度π rad /s 2由静止起动,轮与皮带间无滑动发生.试求A 轮达到转速3000 rev/min 所需要的时间.解:设A 、B 轮的角加速度分别为βA 和βB ,由于两轮边缘的切向加速度相同, a t = βA r 1 = βB r 2则 βA = βB r 2 / r 1 A 轮角速度达到ω所需时间为()75.03.060/2300021⨯π⨯π⨯===r r t B Aβωβωs =40 s2.一砂轮直径为1 m 质量为50 kg ,以 900 rev / min 的转速转动.撤去动力后,一工件以 200 N 的正压力作用在轮边缘上,使砂轮在11.8 s 内停止.求砂轮和工件间的摩擦系数.(砂轮轴的摩擦可忽略不计,砂轮绕轴的转动惯量为21mR 2,其中m 和R 分别为砂轮的质量和半径).解:R = 0.5 m ,ω0 = 900 rev/min = 30π rad/s ,根据转动定律 M = -J β ① 这里 M = -μNR ②μ为摩擦系数,N 为正压力,221mR J =. ③ 设在时刻t 砂轮开始停转,则有: 00=+=t t βωω从而得 β=-ω0 / t ④将②、③、④式代入①式,得 )/(2102t mR NR ωμ-=- ∴ m =μR ω0 / (2Nt )≈0.5r1. 有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上,平板与水平桌面的摩擦系数为μ,若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转,它将在旋转几圈后停止?(已知圆形平板的转动惯量221mR J =,其中m 为圆形平板的质量)解:在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为r r r R mgM d 2d 2⋅π⋅π=μ总摩擦力矩 mgR M M R μ32d 0==⎰故平板角加速度 β =M /J设停止前转数为n ,则转角 θ = 2πn由 J /Mn π==4220θβω可得 g R MJ n μωωπ16/342020=π=2. 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动,起初角速度为ω0.设它所受阻力矩与转动角速度成正比,即M =-k ω (k 为正的常数),求圆盘的角速度从ω0变为021ω时所需的时间.解:根据转动定律: J d ω / d t = -k ω ∴ t J kd d -=ωω两边积分:⎰⎰-=t t J k02/d d 100ωωωω得 ln2 = kt / J∴ t =(J ln2) / k5.一质量为m 的物体悬于一条轻绳的一端,绳另一端绕在一轮轴的轴上,如图所示.轴水平且垂直于轮轴面,其半径为r ,整个装置架在光滑的固定轴承之上.当物体从静止释放后,在时间t 内下降了一段距离S .试求整个轮轴的转动惯量(用m 、r 、t 和S 表示).解:设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T ,则根据牛顿运动定律和转动定律得:mg ­T =ma ① T r =J β ② 由运动学关系有: a = r β ③ 由①、②、③式解得: J =m ( g -a ) r 2 / a ④ 又根据已知条件 v 0=0 ∴ S =221at , a =2S / t 2 ⑤将⑤式代入④式得:J =mr 2(Sgt22-1)3.如图所示,设两重物的质量分别为m 1和m 2,且m 1>m 2,定滑轮的半径为r ,对转轴的转动惯量为J ,轻绳与滑轮间无滑动,滑轮轴上摩擦不计.设开始时系统静止,试求t 时刻滑轮的角速度. 解:作示力图.两重物加速度大小a 相同,方向如图.m 1g -T 1=m 1a T 2-m 2g =m 2a 设滑轮的角加速度为β,则 (T 1-T 2)r =J β 且有 a =r β 由以上四式消去T 1,T 2得: ()()J r m m gr m m ++-=22121β 开始时系统静止,故t 时刻滑轮的角速度.()()Jrm m grt m m t ++-==22121 βω7.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒,可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O 转动.棒的质量为m = 1.5 kg ,长度为l = 1.0 m ,对轴的转动惯量为J = 231ml .初始时棒静止.今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端,并留在棒中,如图所示.子弹的质量为m '= 0.020 kg ,速率为v = 400 m ·s -1.试问:(1) 棒开始和子弹一起转动时角速度ω有多大?(2) 若棒转动时受到大小为M r = 4.0 N ·m 的恒定阻力矩作用,棒能转过多大的角度θ?解:(1) 角动量守恒:ω⎪⎭⎫ ⎝⎛'+='2231l m ml l m v ∴ l m m m ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=31vω=15.4 rad ·s -1(2) 由转动定律,得: -M r =(231ml +2l m ')β0-ω 2=2βθ∴ rM l m m 23122ωθ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+==15.4 rad8.如图所示,A 和B 两飞轮的轴杆在同一中心线上,设两轮的转动惯量分别为 J =10 kg ·m 2 和 J =20 kg ·m 2.开始时,A 轮转速为600 rev/min ,B 轮静止.C 为摩擦啮合器,其转动惯量可忽略不计.A 、B 分别与C 的左、右两个组件相连,当C 的左右组件啮合时,B 轮得到加速而A 轮减速,直到两轮的转速相等为止.设轴光滑,求: mm , lOm '(1) 两轮啮合后的转速n ; (2) 两轮各自所受的冲量矩.解:(1) 选择A 、B 两轮为系统,啮合过程中只有内力矩作用,故系统角动量守恒J A ωA +J B ωB = (J A +J B )ω,又ωB =0得: ω ≈ J A ωA / (J A +J B ) = 20.9 rad / s 转速 ≈n 200 rev/min (2) A 轮受的冲量矩⎰t MAd = J A (J A +J B ) = -4.19×10 2 N ·m ·s负号表示与A ωϖ方向相反. B 轮受的冲量矩⎰t MBd = J B (ω - 0) = 4.19×102 N ·m ·s方向与A ωϖ相同.4.一匀质细棒长为2L ,质量为m ,以与棒长方向相垂直的速度v 0在光滑水平面内平动时,与前方一固定的光滑支点O 发生完全非弹性碰撞.碰撞点位于棒中心的一侧L 21处,如图所示.求棒在碰撞后的瞬时绕O 点转动的角速度ω.(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为231ml ,式中的m 和l 分别为棒的质量和长度.)解:碰撞前瞬时,杆对O 点的角动量为L m L x x x x L L 0202/002/30021d d v v v v ==-⎰⎰ρρρ式中ρ为杆的线密度.碰撞后瞬时,杆对O 点的角动量为ωωω2221272141234331mL L m L m J =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=因碰撞前后角动量守恒,所以 L m mL 022112/7v =ω ∴ ω = 6v 0 / (7L)10. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC 自由转动,转动惯量为J 0,环的半径为R ,初始时环的角速度为ω0.质量为m 的小球静止在环内最高处A 点,由于某种微小干扰,小球沿环向下滑动,问小球滑到与环心O 在同一高度的B 点和环的最低处的C 点时,环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的,小球可视为质点,环截面半径r <<R .)解:选小球和环为系统.运动过程中所受合外力矩为零,角动量守恒.对地球、小球和环系统机械能守恒.取过环心的水平面为势能零点.小球到B 点时: J 0ω0=(J 0+mR 2)ω ①2121()22220200212121BR m J mgR J v ++=+ωωω ② 式中v B 表示小球在B 点时相对于地面的竖直分速度,也等于它相对于环的速度.由式①得:ω=J 0ω 0 / (J 0 + mR 2) 1分代入式②得222002J mR RJ gR B ++=ωv 当小球滑到C 点时,由角动量守恒定律,系统的角速度又回复至ω0,又由机械能守恒定律知,小球在C 的动能完全由重力势能转换而来.即: ()R mg m C 2212=v , gR C 4=v 四 研讨题1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时,一般能不能认为它的质量集中于其质心,成为一质点,然后计算这个质点对该轴的转动惯量?为什么?举例说明你的结论。

刚体绕定轴的转动(一)

刚体绕定轴的转动(一)

J代入解得

3 2
g cos L
三、刚体绕定轴转动的转动定律
1、力矩——力矩才能改变刚体的转动状态
F
M rF
r 是力的在用点相对于转轴0的位矢。
(3)
r
0 d
M Fr sin Fd
d—力臂(力的作用线到转轴的垂直距离) 两点说明:
1)在定轴转动中,刚体不是逆时针转动就是顺时针转 动,因此力矩可用正、负号表示。
0
P
二、转动惯量
m/2

o (a)
m/2
m o (b)

转动惯量—描述定轴转动刚体的转 动惯性大小的物理量
1、转动惯量的定义
1 1 2 n 2 2 2 Ek 转 mi ri m r i i 2 2 i 1 i 1
n


m r
1 1 E i m i v i2 mi 2 ri2 2 2
J 环 m i R 2 R 2 m i mR 2
m 1 dx mR 2 2 R 2
3、在总质量一定且质量分布也一定的情况下,转动惯量与 所给定轴的位置有关。
o

1 J o mL2 3
m,L
o’


J o'
1 mL2 12
4、 转动惯量的可加性
一个具有复杂形状的刚体,如果可以分割成若干个简单部分, 则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分对同一轴转动惯 量之和。
i 1
n
(1)
2)在质量一定的情况下,转动惯量与质量的分布有关
m,R o o
m,R
J 环 mR
2
J

1 mR 2 2

《刚体定轴转动》答案

《刚体定轴转动》答案

第2章 刚体定轴转动一、选择题1(B),2(B),3(A),4(D),5(C),6(C),7(C),8(C),9(D),10(C) 二、填空题(1). v ≈15.2 m /s ,n 2=500 rev /min (2). 62.5 1.67s (3). g / l g / (2l ) (4). 5.0 N ·m (5). 4.0 rad/s (6). 0.25 kg ·m 2 (7).Ma 21(8). mgl μ21参考解:M =⎰M d =()mgl r r l gm l μμ21d /0=⎰(9).()212mRJ mr J ++ω(10).l g /sin 3θω=三、计算题1. 有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上,平板与水平桌面的摩擦系数为μ,若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转,它将在旋转几圈后停止?(已知圆形平板的转动惯量221mR J =,其中m 为圆形平板的质量) 解:在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为r r r R mgM d 2d 2⋅π⋅π=μ总摩擦力矩 mgR M M R μ32d 0==⎰故平板角加速度 β =M /J设停止前转数为n ,则转角 θ = 2πn由 J /Mn π==4220θβω可得 g R MJ n μωωπ16/342020=π=2. 如图所示,一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动.假设定滑轮质量为M 、半径为R ,其转动惯量为221MR ,滑轮轴光滑.试求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系.解:根据牛顿运动定律和转动定律列方程对物体: mg -T =ma ① 对滑轮: TR = J β ② 运动学关系: a =R β ③ 将①、②、③式联立得 a =mg / (m +21M ) ∵ v 0=0,∴ v =at =mgt / (m +21M )3. 为求一半径R =50 cm 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量,在飞轮上绕以细绳,绳末端悬一质量m 1=8 kg 的重锤.让重锤从高2 m 处由静止落下,测得下落时间t 1=16 s .再用另一质量m 2=4 kg 的重锤做同样测量,测得下落时间t 2=25 s .假定摩擦力矩是一个常量,求飞轮的转动惯量.解:根据牛顿运动定律和转动定律,对飞轮和重物列方程,得 TR -M f =Ja / R ① mg -T =ma ② h =221at ③ 则将m 1、t 1代入上述方程组,得a 1=2h /21t =0.0156 m / s 2 T 1=m 1 (g -a 1)=78.3 N J =(T 1R -M f )R / a 1 ④ 将m 2、t 2代入①、②、③方程组,得a 2=2h /22t =6.4×10-3 m / s 2 T 2=m 2(g -a 2)=39.2 NJ = (T 2R -M f )R / a 2 ⑤由④、⑤两式,得 J =R 2(T 1-T 2) / (a 1-a 2)=1.06×103 kg ·m 24. 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动,起初角速度为ω0.设它所受阻力矩与转动角速度成正比,即M =-k ω (k 为正的常数),求圆盘的角速度从ω0变为021ω时所需的时间.解:根据转动定律: J d ω / d t = -k ω ∴ t J kd d -=ωω两边积分:⎰⎰-=t t J k 02/d d 100ωωωω得 ln2 = kt / J ∴ t =(J ln2) / k5. 某人站在水平转台的中央,与转台一起以恒定的转速n 1转动,他的两手各拿一个质量为am 的砝码,砝码彼此相距l 1 (每一砝码离转轴21l 1),当此人将砝码拉近到距离为l 2时(每一砝码离转轴为21l 2),整个系统转速变为n 2.求在此过程中人所作的功.(假定人在收臂过程中自身对轴的转动惯量的变化可以忽略)解:(1) 将转台、砝码、人看作一个系统,过程中人作的功W 等于系统动能之增量:W =∆E k =212210222204)21(214)21(21n ml J n ml J π+-π+2 这里的J 0是没有砝码时系统的转动惯量.(2) 过程中无外力矩作用,系统的动量矩守恒:2π(J 0+2121ml ) n 1 = 2π (J 0+2221ml ) n 2 ∴ ()()1222212102n n n l n l m J --=(3) 将J 0代入W 式,得 ()2221212l l n mn W -π=6. 一质量均匀分布的圆盘,质量为M ,半径为R ,放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ),圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动.开始时,圆盘静止,一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求(1) 子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度. (2) 经过多少时间后,圆盘停止转动. (圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为221MR ,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)解:(1) 以子弹和圆盘为系统,在子弹击中圆盘过程中,对轴O 的角动量守恒.m v 0R =(21MR 2+mR 2)ω R m M m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=210v ω(2) 设σ表示圆盘单位面积的质量,可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 为 ⎰π⋅=Rf r rg r M 0d 2σμ=(2 / 3)πμσgR 3=(2 / 3)μMgR设经过∆t 时间圆盘停止转动,则按角动量定理有 -M f ∆t =0-J ω=-(21MR 2+mR 2)ω=- m v 0R ∴ ()Mg m MgR R m M R m t fμμ2v 33/2v v 000===∆mRO0v7.一匀质细棒长为2L ,质量为m ,以与棒长方向相垂直的速度v 0在光滑水平面内平动时,与前方一固定的光滑支点O 发生完全非弹性碰撞.碰撞点位于棒中心的一侧L 21处,如图所示.求棒在碰撞后的瞬时绕O 点转动的角速度ω.(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为231ml ,式中的m 和l 分别为棒的质量和长度.)解:碰撞前瞬时,杆对O 点的角动量为L m L x x x x L L 0202/002/30021d d v v v v ==-⎰⎰ρρρ式中ρ为杆的线密度.碰撞后瞬时,杆对O 点的角动量为ωωω2221272141234331mL L m L m J =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=因碰撞前后角动量守恒,所以 L m mL 022112/7v =ω ∴ ω = 6v 0 / (7L)8. 长为l 的匀质细杆,可绕过杆的一端O 点的水平光滑固定轴转动,开始时静止于竖直位置.紧挨O 点悬一单摆,轻质摆线的长度也是l ,摆球质量为m .若单摆从水平位置由静止开始自由摆下,且摆球与细杆作完全弹性碰撞,碰撞后摆球正好静止.求: (1) 细杆的质量.(2) 细杆摆起的最大角度θ.解:(1) 设摆球与细杆碰撞时速度为v 0,碰后细杆角速度为ω,系统角动量守恒 得: J ω = m v 0l由于是弹性碰撞,所以单摆的动能变为细杆的转动动能2202121ωJ m =v 代入J =231Ml ,由上述两式可得 M =3m (2) 由机械能守恒式mgl m =2021v 及 ()θωcos 121212-=Mgl J 并利用(1) 中所求得的关系可得 31arccos =θ四 研讨题1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时,一般能不能认为它的质量集中于其质心,成为一质点,然后计算这个质点对该轴的转动惯量?为什么?举例说明你的结论。

大学物理-刚体的定轴转动-习题和答案

大学物理-刚体的定轴转动-习题和答案

第4章 刚体的定轴转动 习题及答案1.刚体绕一定轴作匀变速转动,刚体上任一点是否有切向加速度?是否有法向加速度?切向和法向加速度的大小是否随时间变化?答:当刚体作匀变速转动时,角加速度β不变。

刚体上任一点都作匀变速圆周运动,因此该点速率在均匀变化,v l ω=,所以一定有切向加速度t a l β=,其大小不变。

又因该点速度的方向变化,所以一定有法向加速度2n a l ω=,由于角速度变化,所以法向加速度的大小也在变化。

2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系?答:刚体是一个特殊的质点系,它应遵守质点系的动量矩定理,当刚体绕定轴Z 转动时,动量矩定理的形式为zz dL M dt=,z M 表示刚体对Z 轴的合外力矩,z L 表示刚体对Z 轴的动量矩。

()2z i i L m l I ωω==∑,其中()2i i I m l =∑,代表刚体对定轴的转动惯量,所以()z z dL d d M I I I dt dt dtωωβ====。

既 z M I β=。

所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式,及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式。

3.两个半径相同的轮子,质量相同,但一个轮子的质量聚集在边缘附近,另一个轮子的质量分布比较均匀,试问:(1)如果它们的角动量相同,哪个轮子转得快?(2)如果它们的角速度相同,哪个轮子的角动量大?答:(1)由于L I ω=,而转动惯量与质量分布有关,半径、质量均相同的轮子,质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大,故角速度小,转得慢,质量分布比较均匀的轮子转得快;(2)如果它们的角速度相同,则质量聚集在边缘附近的轮子角动量大。

4.一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动,有一玩具车相对台面由静止启动,绕轴作圆周运动,问平台如何运动?如小汽车突然刹车,此过程角动量是否守恒?动量是否守恒?能量是否守恒?答:玩具车相对台面由静止启动,绕轴作圆周运动时,平台将沿相反方向转动;小汽车突然刹车过程满足角动量守恒,而能量和动量均不守恒。

大学物理 刚体的定轴转动 习题及答案

大学物理 刚体的定轴转动 习题及答案

第4章 刚体的定轴转动 习题及答案1.刚体绕一定轴作匀变速转动,刚体上任一点是否有切向加速度?是否有法向加速度?切向和法向加速度的大小是否随时间变化?答:当刚体作匀变速转动时,角加速度β不变。

刚体上任一点都作匀变速圆周运动,因此该点速率在均匀变化,v l ω=,所以一定有切向加速度t a l β=,其大小不变。

又因该点速度的方向变化,所以一定有法向加速度2n a l ω=,由于角速度变化,所以法向加速度的大小也在变化。

2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系?答:刚体是一个特殊的质点系,它应遵守质点系的动量矩定理,当刚体绕定轴Z 转动时,动量矩定理的形式为zz dL M dt=,z M 表示刚体对Z 轴的合外力矩,z L 表示刚体对Z 轴的动量矩。

()2z i i L m l I ωω==∑,其中()2i i I m l =∑,代表刚体对定轴的转动惯量,所以 ()z z dL d d M I I I dt dt dtωωβ====。

既 z M I β=。

所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式,及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式。

3.两个半径相同的轮子,质量相同,但一个轮子的质量聚集在边缘附近,另一个轮子的质量分布比较均匀,试问:(1)如果它们的角动量相同,哪个轮子转得快?(2)如果它们的角速度相同,哪个轮子的角动量大?答:(1)由于L I ω=,而转动惯量与质量分布有关,半径、质量均相同的轮子,质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大,故角速度小,转得慢,质量分布比较均匀的轮子转得快;(2)如果它们的角速度相同,则质量聚集在边缘附近的轮子角动量大。

4.一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动,有一玩具车相对台面由静止启动,绕轴作圆周运动,问平台如何运动?如小汽车突然刹车,此过程角动量是否守恒?动量是否守恒?能量是否守恒?答:玩具车相对台面由静止启动,绕轴作圆周运动时,平台将沿相反方向转动;小汽车突然刹车过程满足角动量守恒,而能量和动量均不守恒。

《刚体定轴转动》选择题解答与分析

《刚体定轴转动》选择题解答与分析

2 刚体定轴转动转动惯量1. 关于刚体对轴的转动惯量,下列说法中正确的是 (A )只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关. (B )取决于刚体的质量和质量的空间分布,与轴的位置无关. (C )取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置. (D )只取决于转轴的位置,与刚体的质量和质量的空间分布无关.答案:(C ) 参考解答:首先明确转动惯量的物理意义,从转动定律与牛顿第二定律的对称关系可以看出,与质量m 是平动惯性大小的量度相对应,转动惯量I 则是刚体转动惯性大小的量度。

从转动惯量的的公式∑=∆=ni ii r m I12可以看出,其大小除了与刚体的形状、大小和质量分布有关外,还与转轴的位置有关。

凡选择回答错误的,均给出下面的进一步讨论:1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时,一般能不能认为它的质量集中于其质心,成为一质点,然后计算这个质点对该轴的转动惯量?为什么?举例说明你的结论。

参考解答:不能.因为刚体的转动惯量∑∆i i m r 2与各质量元和它们对转轴的距离有关.如一匀质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为221mR ,若按质量全部集中于质心计算,则对同一轴的转动惯量为零.2. 一刚体由匀质细杆和匀质球体两部分构成,杆在球体直径的延长线上,如图所示.球体的半径为R ,杆长为2R ,杆和球体的质量均为m .若杆对通过其中点O 1,与杆垂直的轴的转动惯量为J 1,球体对通过球心O 2的转动惯量为J 2,则整个刚体对通过杆与球体的固结点O 且与杆垂直的轴的转动惯量为 (A) J =J 1+J 2. (B) J =mR 2+mR 2.(C) J =(J 1+mR 2)+(J 2+mR 2).(D) J =[J 1+m (2R )2]+[J 2+m (2R )2]. 答案:(C) 参考解答:根据转动惯量具有叠加性,则整个刚体对通过杆与球体的固结点0且与杆垂直的轴的转动惯量为细杆和球体分别对该轴转动惯量之合。

大学物理习题册及解答(第二版)第四章-刚体的定轴转动

大学物理习题册及解答(第二版)第四章-刚体的定轴转动

上环可以自由在纸面内外摆动。求此时圆环摆的转动惯量。 O
(*)(3)求两种小摆动的周期。哪种摆动的周期较长?
R C
解:(1)圆环放在刀口上O,以环中 心的平衡位置C点的为坐标原点。Z轴
J zc MR2
O
P
ŷ

x
指向读者。圆环绕Z轴的转动惯量为
Z
R
由平行轴定理,关于刀口的转动惯量为 J zo J zc MR 2 2MR 2
m(l a) J
杆摆动过程机械能守恒
J 1 Ml2 3
1 J 2 Mg l (1 cos )
2
2
解得小球碰前速率为 Ml
2gl sin
m(l a) 3 2
5.一轻绳绕过一半径R,质量为M/4的滑轮。质量为M的人抓住绳 子的一端,而绳子另一端系一质量为M/2的重物,如图。求当人相 对于绳匀速上爬时,重物上升的加速度是多少?
解:选人、滑轮、与重物为系统,系统所受对滑轮轴的
外力矩为
1 MgR

物2
设u为人相对绳的匀速度,为重物上升的
速度。则该系统对滑轮轴的角动量为
L M R M (u )R (1 M R2 ) 13 MR MRu
2
24
8
据转动定律
du 0 dt
dL dt
a
即 1 MgR d (13 MR MRu)
6. 一飞轮以角速度0绕光滑固定轴旋转,飞轮对轴的转动惯 量为J1;另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合,绕同一转 轴转动,该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍.啮合后整个系
统的角速度 / 3 0
7.一长为l,质量可以忽略的直杆,可绕通过其一端的 水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动,在杆的另一端固 定着一质量为m的小球,如图所示.现将杆由水平位置 无初转速地释放.则杆刚被释放时的角加速度a0 _ , 杆与水平方向夹角为60°时的角加速度a_
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第2章 刚体定轴转动一、选择题1(B),2(B),3(A),4(D),5(C),6(C),7(C),8(C),9(D),10(C) 二、填空题(1). v ≈15.2 m /s ,n 2=500 rev /min (2). s (3). g / l g / (2l ) (4). N ·m (5). rad/s (6). 0.25 kg ·m 2 (7).Ma 21(8). mgl μ21参考解:M =⎰M d =()mgl r r l gm l μμ21d /0=⎰(9).()212mRJ mr J ++ω(10).l g /sin 3θω=三、计算题1. 有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上,平板与水平桌面的摩擦系数为μ,若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转,它将在旋转几圈后停止(已知圆形平板的转动惯量221mR J =,其中m 为圆形平板的质量) 解:在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为r r r R mgM d 2d 2⋅π⋅π=μ总摩擦力矩 mgR M M R μ32d 0==⎰故平板角加速度 =M /J设停止前转数为n ,则转角 = 2n由 J /Mn π==4220θβω可得 g R MJ n μωωπ16/342020=π=2. 如图所示,一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动.假设定滑轮质量为M 、半径为R ,其转动惯量为221MR ,滑轮轴光滑.试求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系.解:根据牛顿运动定律和转动定律列方程mM R对物体: mg -T =ma ① 对滑轮: TR = J ② 运动学关系: a =R ③ 将①、②、③式联立得 a =mg / (m +21M ) ∵ v 0=0,∴ v =at =mgt / (m +21M )3. 为求一半径R =50 cm 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量,在飞轮上绕以细绳,绳末端悬一质量m 1=8 kg 的重锤.让重锤从高2 m 处由静止落下,测得下落时间t 1=16 s .再用另一质量m 2=4 kg 的重锤做同样测量,测得下落时间t 2=25 s .假定摩擦力矩是一个常量,求飞轮的转动惯量.解:根据牛顿运动定律和转动定律,对飞轮和重物列方程,得 TR -M f =Ja / R ① mg -T =ma ② h =221at ③ 则将m 1、t 1代入上述方程组,得a 1=2h /21t = m / s 2 T 1=m 1 (g -a 1)= N J =(T 1R -M f )R / a 1 ④ 将m 2、t 2代入①、②、③方程组,得a 2=2h /22t =×10-3 m / s T 2=m 2(g -a 2)= NJ = (T 2R -M f )R / a 2 ⑤由④、⑤两式,得 J =R 2(T 1-T 2) / (a 1-a 2)=×103 kg ·m 24. 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动,起初角速度为0.设它所受阻力矩与转动角速度成正比,即M =-k (k 为正的常数),求圆盘的角速度从0变为021ω时所需的时间.解:根据转动定律:J d / d t =-k∴ t J kd d -=ωω两边积分:⎰⎰-=t t J k02/d d 100ωωωω得 ln2 = kt / J∴ t =(J ln2) / kMRβTmgaTR Tmg5. 某人站在水平转台的中央,与转台一起以恒定的转速n 1转动,他的两手各拿一个质量为m 的砝码,砝码彼此相距l 1 (每一砝码离转轴21l 1),当此人将砝码拉近到距离为l 2时(每一砝码离转轴为21l 2),整个系统转速变为n 2.求在此过程中人所作的功.(假定人在收臂过程中自身对轴的转动惯量的变化可以忽略)解:(1) 将转台、砝码、人看作一个系统,过程中人作的功W 等于系统动能之增量:W =E k =212210222204)21(214)21(21n ml J n ml J π+-π+2 这里的J 0是没有砝码时系统的转动惯量.(2) 过程中无外力矩作用,系统的动量矩守恒:2(J 0+2121ml ) n 1 = 2 (J 0+2221ml ) n 2 ∴ ()()1222212102n n n l n l m J --=(3) 将J 0代入W 式,得 ()2221212l l n mn W -π=6. 一质量均匀分布的圆盘,质量为M ,半径为R ,放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为),圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动.开始时,圆盘静止,一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求(1) 子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度. (2) 经过多少时间后,圆盘停止转动. (圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为221MR ,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)解:(1) 以子弹和圆盘为系统,在子弹击中圆盘过程中,对轴O 的角动量守恒.mv 0R =(21MR 2+mR 2) R m M m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=210v ω(2) 设表示圆盘单位面积的质量,可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 为 ⎰π⋅=Rf r rg r M 0d 2σμ=(2 / 3)σgR 3=(2 / 3)MgR设经过t 时间圆盘停止转动,则按角动量定理有 -M f t =0-J =-(21MR 2+mR 2)=- mv 0R ∴ ()Mg m MgR R m M R m t fμμ2v 33/2v v 000===∆mRO0v ϖ7.一匀质细棒长为2L ,质量为m ,以与棒长方向相垂直的速度v 0在光滑水平面内平动时,与前方一固定的光滑支点O 发生完全非弹性碰撞.碰撞点位于棒中心的一侧L 21处,如图所示.求棒在碰撞后的瞬时绕O 点转动的角速度.(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为231ml ,式中的m 和l 分别为棒的质量和长度.)解:碰撞前瞬时,杆对O 点的角动量为L m L x x x x L L 0202/002/30021d d v v v v ==-⎰⎰ρρρ式中为杆的线密度.碰撞后瞬时,杆对O 点的角动量为ωωω2221272141234331mL L m L m J =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=因碰撞前后角动量守恒,所以 L m mL 022112/7v =ω ∴ = 6v 0 / (7L)8. 长为l 的匀质细杆,可绕过杆的一端O 点的水平光滑固定轴转动,开始时静止于竖直位置.紧挨O 点悬一单摆,轻质摆线的长度也是l ,摆球质量为m .若单摆从水平位置由静止开始自由摆下,且摆球与细杆作完全弹性碰撞,碰撞后摆球正好静止.求: (1) 细杆的质量.(2) 细杆摆起的最大角度.解:(1) 设摆球与细杆碰撞时速度为v 0,碰后细杆角速度为,系统角动量守恒 得: J = mv 0l由于是弹性碰撞,所以单摆的动能变为细杆的转动动能2202121ωJ m =v 代入J =231Ml ,由上述两式可得 M =3m (2) 由机械能守恒式mgl m =2021v 及 ()θωcos 121212-=Mgl J 并利用(1) 中所求得的关系可得 31arccos =θ四 研讨题1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时,一般能不能认为它的质量集中于其质心,成为一质点,然后计算这个质点对该轴的转动惯量为什么举例说明你的结论。

参考解答: 不能.L21L 21L O0v0vO θMm l l因为刚体的转动惯量∑∆i i m r 2与各质量元和它们对转轴的距离有关.如一匀质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为221mR ,若按质量全部集中于质心计算,则对同一轴的转动惯量为零.2. 刚体定轴转动时,它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。

对于非刚体也是这样吗为什么参考解答:根据动能定理可知,质点系的动能增量不仅决定于外力做的功,还决定于内力做的功。

由于刚体内任意两质量元间的距离固定,或说在运动过程中两质量元的相对位移为零,所以每一对内力做功之和都为零。

故刚体定轴转动时,动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。

非刚体的各质量元间一般都会有相对位移,所以不能保证每一对内力做功之和都为零,故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。

3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球,为什么乒乓球能自动返回参考解答:分析:乒乓球(设乒乓球为均质球壳)的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动.乒乓球在台面上滚动时,受到的水平方向的力只有摩擦力.若乒乓球平动的初始速度v c 的方向如图,则摩擦力 F r 的 方向一定向后.摩擦力的作用有二,对质心的运动来说,它使质心平动的速度v c 逐渐减小;对绕质心的转动来说,它将使转动的角速度逐渐变小.当质心平动的速度v c = 0而角速度 0 时,乒乓球将返回.因此,要使乒乓球能自动返回,初始速度v c 和初始角速度0的大小应满足一定的关系.解题:由质心运动定理:tm F c r d d v=-因mg F r μ=, 得 g c c μ-=0v v (1)由对通过质心的轴(垂直于屏面)的转动定律βI M =t mR RF r d d )32(2ω=-, 得 gt R μωω230-= (2)由(1),(2)两式可得 Rcc v v --=.023ωω, 令 0 0>=ω;c v可得 Rc 23.0v >ω 这说明当v c = 0和0的大小满足此关系时,乒乓球可自动返回.。

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